Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2021, № 4, стр. 90-97

ВВЕДЕНИЕ

В последнее десятилетие во всем мире различные варианты сплавов Гейслера подвергаются интенсивным исследованиям. Значительный интерес к этим тройным соединениям переходных металлов с элементами III–V групп обусловлен перспективностью их применения в спинтронике. В зонной структуре некоторых из этих соединений уровень ферми находится в запрещенной зоне для электронов со спинами вверх (или вниз), в то время как для электронов с противоположными спинами это не так. Таким образом, ток переносят исключительно электроны с одним направлением спинов. Благодаря этому в спиновых вентилях на основе сплавов Гейслера было достигнуто гигантское магнитосопротивление: 40% при комнатной температуре и 200% при 10 К [1]. Однако помимо зонной структуры важную роль в увеличении магнитосопротивления играет морфология границы раздела. Следовательно, для понимания механизма максимизации магнитосопротивления необходим анализ моделей пространственно-временнóй эволюции поверхности пленок при их росте.

К настоящему времени предпринято довольно много попыток описания формирования неоднородного рельефа на поверхности твердого тела в разных физических ситуациях с помощью дифференциальных уравнений в частных производных следующего вида [2–4]:

где функция $H({\mathbf{x}},t)$ – высота поверхности кристалла в точке ${\mathbf{x}} = ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ в каждый момент времени t, а нелинейная функция $F( \ldots )$ определяется физическими механизмами процессов роста или эрозии рассматриваемой поверхности. Порядок пространственных производных, являющихся аргументами функции $F( \ldots )$ в правой части уравнения (1), может быть весьма высок. Например, в модели Брэдли–Харпера для эволюции неоднородностей рельефа кристалла при бомбардировке его ионами [3] учитывают производные до четвертого порядка включительно.

Как правило [2–4], для уравнения (1) ставится задача Коши, начальное условие

задает начальный профиль исследуемой поверхности над областью ${{\Omega }_{0}}$ плоскости ${{R}^{2}},$ перпендикулярно к которой происходит временнáя эволюция этой поверхности.

В настоящей работе эта процедура применена к описанию роста поверхности пленок сплава Гейслера Fe₂CoAl. Приведена методика экспериментов, в результате которых получены образцы сплавов Гейслера. Предложена математическая модель роста этих образцов. Описаны результаты численных расчетов временнóй эволюции толщины пленки сплава Гейслера и ряда функционалов, связанных с этой физической величиной.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Эпитаксиальные пленки сплава Гейслера Fe₂CoAl выращивали методом импульсного лазерного испарения в сверхвысоком вакууме на R-плоскости сапфира (Al₂O₃) c подслоем вольфрама (W) толщиной 10 нм c ориентацией (001) и без подслоя при температурах подложки 20–550°С. Скорость роста пленок $с$ составляла 4 нм/мин, для получения средней толщины пленки 80 нм было выбрано время роста $\tau $ 20 мин. Технология выращивания пленок сплава Гейслера была аналогична той, которую с успехом применяли для эпитаксиального выращивания пленок никеля и железа на сапфире [5, 6]. Для исследований их морфологии использовали атомно-силовой микроскоп P47 solver НТ-МДТ, с помощью которого определяли начальный рельеф ${{H}_{0}}({\mathbf{x}})$ поверхности подложки (2) и пленки $\tilde {H}({\mathbf{x}},{\tau })$ после окончания ее роста в момент времени $\tau $. Исследовали участки поверхности размерами 0.5 × 0.5 мкм с разрешением 512 × 512 точек. Измерения проводили в полуконтактном режиме с использованием кантилеверов Tipsnano с резонансной частотой около 180 кГц.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ПЛЕНОК

Гипотезу о виде правой части уравнения (1), описывающего рост поверхности пленок сплава Гейслера Fe₂CoAl, сформулируем, отталкиваясь от феноменологической модели Кардара–Паризи–Жанга (КПЖ) [4]:

где $\nabla $ – двумерный градиент.

Это уравнение описывает два конкурирующих процесса: рост поверхности строго по локальной нормали ${\mathbf{n}}({\mathbf{x}},t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - \nabla H}}{{\sqrt {1 + {{{(\nabla H)}}^{2}}} }},}&{\frac{1}{{\sqrt {1 + {{{(\nabla H)}}^{2}}} }}} \end{array}} \right)$ к ней со скоростью $с$ и поверхностную диффузию осаждающегося на этой поверхности вещества с коэффициентом поверхностной диффузии ν.

Однако уравнение (3) нелинейно и потому чрезвычайно сложно для исследования. Упростим его, рассмотрев малоугловое приближение: $\left| {\nabla H} \right| \ll 1.$ Тогда после разложения, входящего в правую часть этого уравнения квадратного корня в ряд Тейлора получим:

Для уравнения (4) известны точные решения [7], однако будем считать, что характерная высота поверхности $H$ удовлетворяет неравенству $H \gg {\nu \mathord{\left/ {\vphantom {\nu c}} \right. \kern-0em} c}.$ В этом случае второй член в правой части уравнения (4) доминирует над третьим членом. Это означает, что поверхностной диффузией можно пренебречь.

Таким образом, будем предполагать, что рост поверхности пленок сплава Гейслера Fe₂CoAl описывается следующей упрощенной моделью КПЖ:

Решение $H({\mathbf{x}},t)$ уравнения (5) с начальным условием (2) в момент времени $t$ с помощью метода характеристик [8] записывается неявно: где первый член в формуле (8) выражает однородный рост высоты пленки.

Однако представление решения уравнения КПЖ (5) в виде выражений (6)–(8) справедливо только до некоторого момента времени ${{t}_{*}}$ – до наступления так называемой градиентной катастрофы [8]. После же градиентной катастрофы решение уравнения (5) строится с помощью принципа абсолютного максимума Олейник–Лакса [8].

Для того чтобы определить величину ${{t}_{*}},$ нужно обратиться к геометрическому смыслу переменных х и у, входящих в формулы (6)–(8). Вектор ${\mathbf{y}} \in {{\Omega }_{0}}$ является вектором лагранжевых координат, которые по формуле (6) преобразуются в эйлеровы координаты х. Для получения высоты пленки $H({\mathbf{x}},t)$ необходимо обратить (6), т.е. получить зависимость лагранжевых координат от эйлеровых ${\mathbf{y}} = {\mathbf{y}}({\mathbf{x}},t)$ в момент времени $t$ и подставить эту зависимость в формулу (7).

Взаимная однозначность отображения (6) определяется его якобианом:

Вычисление величины (9) с помощью формулы (6) дает:

где определитель матрицы Гессе начального профиля (2):

Время ${{t}_{*}},$ когда отображение (6) теряет свою взаимную однозначность, и место ${{{\mathbf{y}}}_{*}},$ где это происходит, т.е. пространственно-временнóе положение градиентной катастрофы, находятся из системы уравнений:

На рис. 1 приведен типичный результат измерения начального рельефа поверхности исследуемых образцов с помощью атомно-силового микроскопа (АСМ). Из этого рисунка видно, что функция ${{H}_{0}}({\mathbf{x}})$ является существенно негладкой и, вообще говоря, фрактальной во всей области своего определения. Очевидно также, что любые попытки какой-либо аппроксимации [9] этих экспериментальных данных с гладкостью не меньше третьего порядка для того чтобы задать функцию (10), входящую в уравнения (12), обречены на неудачу. К счастью, вычислительный эксперимент, проведенный в [10] для одномерного варианта уравнения (5), т.е. для поверхностей с цилиндрической образующей, показал, что для начального профиля со сколько-нибудь заметной фрактальностью градиентная катастрофа наступает практически мгновенно. Это означает, что можно сразу применять принцип абсолютного максимума Олейник–Лакса, дающий слабое решение задачи Коши для уравнения (5).

Напомним, следуя [8], основные положения этого принципа. Выделим из функции $H({\mathbf{x}},t)$ однородный рост высоты пленки:

где $h({\mathbf{x}},t)$ – приведенная высота поверхности, и рассмотрим следующую функцию пяти переменных: экстремум которой определяется условием ${{\nabla }_{{\mathbf{y}}}}G({\mathbf{y}};{\mathbf{x}},t)$ = $\nabla {{H}_{0}}({\mathbf{y}}) - \frac{{{\mathbf{y}} - {\mathbf{x}}}}{{ct}} = 0$ и совпадает с формулой (6), определяющей отображение лагранжевых координат в эйлеровы.

Пусть ${{{\mathbf{y}}}_{w}}({\mathbf{x}},t)$ – точка абсолютного максимума функции (14) при фиксированных х и t, которая найдена каким-либо методом:

Тогда согласно принципу Олейник–Лакса приведенная высота поверхности равна:

ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ В РАМКАХ ПРЕДЛОЖЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Для соответствия с методикой проведенного эксперимента в качестве области ${{\Omega }_{0}}$ целесообразно выбрать квадрат ${{\Omega }_{0}} = (0,L) \times (0,L)$ со стороной L = 0.5 мкм. Поскольку данные АСМ о высоте поверхности образцов представляют собой квадратную матрицу большого размера, естественно в области ${{\Omega }_{0}}$ ввести квадратную сетку ${{\omega }_{\Delta }} = \left\{ {(l\Delta ,m\Delta )} \right.;$ $l,m = \overline {1,N} \} $ с $N = 512$ и шагом $\Delta = {L \mathord{\left/ {\vphantom {L {N \approx 1}}} \right. \kern-0em} {N \approx 1}}$ нм. Результаты измерений начального профиля ${{H}_{0}}({\mathbf{x}})$ в момент времени $t = 0$ и приведенной высоты образца $h({\mathbf{x}},t)$ в моменты времени $t = {{t}_{k}}$ становятся сеточными функциями на ${{\omega }_{\Delta }}{\text{:}}$ $h_{{lm}}^{0} = {{H}_{0}}(l\Delta ,m\Delta )$ и $h_{{lm}}^{k} = h(l\Delta ,m\Delta ,{{t}_{k}})$ соответственно.

Максимум (15) функции (14) принципа Олейник–Лакса отыскивали методом простого перебора, а именно для фиксированного вектора ${\mathbf{x}} \in {{\omega }_{\Delta }}$ при $t = {{t}_{k}}$ вычисляли значения функции (14), когда вектор y пробегал всю сетку ${{\omega }_{{\Delta }}}.$ Затем по найденным индексам $(l,m),$ соответствующим максимальной величине этой функции, определялся вектор ${\mathbf{y}}_{{lm}}^{k},$ т.е. отображение эйлеровых координат в лагранжевы в момент времени ${{t}_{k}}$ на сетке ${{\omega }_{{\Delta }}},$ и затем по нему рассчитывали по формуле (16) приведенную высоту поверхности $h({\mathbf{x}},t)$. Результаты этих расчетов приведены на рис. 2.

Знание сеточной функции $h_{{lm}}^{k}$ позволяет исследовать временну́ю эволюцию таких важных характеристик приведенной высоты h(x, t) поверхности образца, как автокорреляционная функция

и ее спектральная плотность Особенно интересна следующая интегральная характеристика функции (18): т.е. ее норма в гильбертовом пространстве ${{L}^{2}}({{R}^{2}}).$

Для того чтобы избежать вычисления двумерного преобразования Фурье в (18) и последующего интегрирования по всей плоскости, величину (19) удобно переписать с помощью формулы Планшереля следующим образом:

Для приведенной высоты поверхности $h({\mathbf{x}},t)$ можно рассмотреть еще один функционал – информацию по Шеннону:

где ${{\sigma }_{0}} = \sqrt {\left\langle {H_{0}^{2}({\mathbf{x}})} \right\rangle } \equiv K(0,0).$

По известной сеточной функции $h_{{lm}}^{k}$ функционалы (20) и (21) можно оценить следующим образом:

и где $K_{{lm}}^{k}$ – значения функции (17) на сетке ${{\omega }_{{\Delta }}}.$ Результаты вычислений по формулам (22) и (23) представлены на рис. 3 и 4 соответственно.

Приведенная высота поверхности $h({\mathbf{x}},t)$ в каждый момент времени также может быть охарактеризована своей фрактальной размерностью. На рис. 5 показана зависимость фрактальной размерности смоделированного согласно теории КПЖ рельефа поверхности пленок, растущих на подложке сапфира, от нормированного времени роста. Эту величину оценивали с помощью методик [11] подсчета кубов, триангуляции, декомпозиции.

На рис. 6 показаны зависимости фрактальной размерности пленок сплава Гейслера от температуры роста, вычисленные по АСМ-изображениям с помощью разных методик [11]: подсчета кубов, триангуляции, декомпозиции, а также расчета спектральной плотности флуктуаций. Для пленок, выращенных с подслоем W, фрактальная размерность повышается с увеличением температуры роста, однако имеется локальный минимум при 480°C. Фрактальная размерность пленок, выращенных без подслоя, минимальна при 270°C, однако метод спектральной плотности показывает минимум при большей температуре. Возможно, это связано с ошибками, вносимыми прибором при сканировании поверхности. Таким образом, оптимальная по фрактальной размерности температура роста пленок без подслоя составляет 270°C, а с подслоем W 480°C.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сравнение АСМ-изображений выращенных пленок сплавов Гейслера с упрощенной моделью роста поверхности КПЖ (5) показало качественное согласие. Безусловно, на сигнал АСМ и, соответственно, на его расшифровку помимо топографии поверхности влияет еще много факторов, а именно жесткость и амплитудно-частотные характеристики системы кантилевер–поверхность, адгезионные свойства поверхности, зависящие от ее кривизны, внутренние напряжения и дефекты структуры. В рамках представленного анализа влияние этих факторов считается пренебрежимо малым, однако в перспективе планируется оценка масштаба вклада в сигнал АСМ всех этих факторов.

Значение отработки методов оценки спектрального (20) и информационного (21) функционалов, связанных с высотой растущей поверхности, состоит в следующем. Особенностью моделей вида (1), к которым принадлежит и рассмотренная выше модель КПЖ (5), является возможность введения в них управления $u$:

где $u({\mathbf{x}},t) \in {{R}^{m}}$ – вектор-функция, определенная на цилиндре ${{\Omega }_{0}} \times [0,\tau ].$ Каждую из $m$ компонент вектор-функции $u({\mathbf{x}},t)$ можно трактовать как распределение тензора упругих напряжений на поверхности, напряженность электрического или магнитного поля на поверхности, температуру поверхности и так далее. Очевидно, что в отсутствие управления функция $\tilde {F}$ должна переходить в функцию $F{\text{:}}$ ${{\left. {\tilde {F}} \right|}_{{u = 0}}} = F.$

Для уравнения (24) целесообразно выбрать пространство состояний – функциональное пространство, для того чтобы рассматривать в нем это уравнение как бесконечномерную динамическую систему. Наиболее удобным выбором является банахово пространство ${{L}^{p}}({{\Omega }_{0}})$ c нормой:

Управление $u({\mathbf{x}},t)$ можно считать элементом банахова пространства $L_{m}^{p}({{\Omega }_{0}})$ с нормой:

Рассмотрим функционал вида:

В этом случае возможна постановка задачи оптимального управления распределенной системой [12]: найти функции $H \in {{L}^{p}}({{\Omega }_{0}})$ и $u \in L_{m}^{p}({{\Omega }_{0}})$ такие, что на отрезке времени $t \in [0,\tau ]$ эти функции удовлетворяют уравнению (24) и минимизируют функционал (27). Это означает, что при придании функционалу (27) ясного физического смысла открывается возможность для осуществления наноинженерии, т.е. выращивания наноструктур с заданными свойствами. В частности, в [13] был предложен следующий функционал:

имеющий смысл наитеснейшего приближения (в норме пространства ${{L}^{2}}({{\Omega }_{0}})$) с помощью управления $u({\mathbf{x}},t)$ фиксированного профиля ${{H}_{*}}({\mathbf{x}})$ высотой поверхности образца $H({\mathbf{x}},\tau )$ к моменту времени τ.

Однако для практической реализации наноинженерии в каждом конкретном случае в первую очередь необходимо верифицировать уравнение (1), т.е. убедиться, что для каждого конкретного материала формирование неоднородного рельефа поверхности кристалла идет согласно этому уравнению с соответствующей данному материалу и физическому процессу функцией $F( \ldots ).$ Для формализации процедуры верификации рассмотрим вектор-функцию:

в которую входят функционалы (20) и (21), а также фрактальная размерность поверхности, определенные по решению $H({\mathbf{x}},t)$ задачи Коши (1), (2) с выбранным априори видом функции $F( \ldots ).$ И пусть ${\mathbf{\tilde {Q}}}(t)$ – вектор той же структуры, компоненты которого оцениваются по данным АСМ-измерений.

Введем в пространстве вектор-функций (29) норму

и зафиксируем порог $\varepsilon > 0.$ Тогда, если для кривых ${\mathbf{Q}}(t)$ и ${\mathbf{\tilde {Q}}}(t),$ начинающихся в одной точке, ${{\left\| {{\mathbf{Q}} - {\mathbf{\tilde {Q}}}} \right\|}_{p}} < \varepsilon ,$ то выбор функции $F( \ldots )$ считается соответствующим эксперименту. В противном случае функцию $F( \ldots )$ надо изменить – дополнить новыми членами, модифицировать уже имеющиеся в ней выражения и так далее. Поскольку норма (30) определяется по разности векторов вида (29), критерий качества ${{\left\| {{\mathbf{Q}} - {\mathbf{\tilde {Q}}}} \right\|}_{p}} < \varepsilon $ был назван векторным критерием качества.

Подчеркнем, что включение в векторный критерий качества функционала, характеризующего фрактальность поверхности, обусловлено обработкой результатов эксперимента. Ранее это обстоятельство привело к рассмотрению в [5] процессов рассеяния электронов на фрактальных поверхностях эпитаксиальных металлических пленок и ферромагнитных наноструктур. Более того, в [14] на основе изучения АСМ-изображений поверхностей для целого ряда образцов конструкционных материалов, подвергнутых типовым процессам физико-химической обработки, таким как микродуговое оксидирование, алмазное шлифование, однозначно показано, что исследованные поверхности являются фрактальными. Таким образом, фрактальность в физике поверхности является правилом, а не исключением.

В векторный критерий качества могут быть включены не только величины, связанные с АСМ, но и результаты других возможных, не повреждающих поверхность измерений. Так, в [15] рассматривали не только АСМ-измерения, но данные рассеяния света на поверхности образца. Интегралы (20) и (21) можно вычислять не только по формулам прямоугольных параллелепипедов (22) и (23), но и с помощью более точных кубатурных формул [16]. Освоение таких продвинутых численных алгоритмов открывает дорогу к верификации нелокальных моделей эволюции поверхности [17, 18] на суперЭВМ экзафлопсной производительности [19].