Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2021, № 8, стр. 95-99

ВВЕДЕНИЕ

Оптические свойства нелинейных слоистых структур находят широкое техническое применение в различных оптических устройствах. Для теоретического описания распространяющихся вдоль границ раздела сред локализованных пучков света часто используется нелинейное уравнение Шредингера [1]. Известно множество форм нелинейного члена в этом уравнении, таких как степенная [2] (квадратичная или керровская – ее частный случай [3]), логарифмическая [4], насыщаемая [5], ступенчатая [6–11]. Недавно в [12] было предложено использовать модель, в которой нелинейный коэффициент меняется скачком в зависимости от амплитуды решения. Также изучали взаимодействие локализованных в пространстве возбуждений (волн, в том числе и солитонов) с дефектами [13]. Такое взаимодействие моделируется потенциалом в нелинейном уравнении Шредингера. Для получения результатов в точном аналитическом виде применяется приближение точечного потенциала с дельта-функцией Дирака. Решения нелинейного уравнения Шредингера с таким потенциалом и со скачкообразным изменением линейного слагаемого были получены в [14].

Изменения оптических свойств приповерхностных слоев кристаллов в зависимости от интенсивности излучения наблюдались в [15]. Поэтому возникает интерес построения моделей для теоретического изучения механизмов контроля изменений оптических свойств вследствие распространения высокоинтенсивного излучения вдоль приграничных областей среды в волноводах.

В настоящей работе для моделирования особенностей локализованного распространения света вдоль границы раздела нелинейных сред предлагается использовать нелинейное уравнение Шредингера с точечным потенциалом и особой формой нелинейного слагаемого. В предлагаемой модели при достижении амплитуды волны (интенсивности света) определенной величины линейный коэффициент преломления и коэффициент квадратичной нелинейности керровского типа меняются скачком. Такая модель удобна для теоретического описания изменения оптических свойств приграничных областей сред вблизи зоны контакта в зависимости от интенсивности распространяющегося пучка света, а также позволяет получать основные результаты в явном аналитическом виде.

ФОРМУЛИРОВКА И УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ

Приближение точечного потенциала можно использовать для моделирования ультратонкого слоя между широкими слоями нелинейного волновода, когда характерный масштаб локализации возмущений параметров среды, создаваемых им, существенно превосходит его толщину. В этом случае ультратонкий слой можно считать плоским дефектом, расположенным в плоскости x = 0 и разделяющим два нелинейных широких слоя (полубесконечных в поперечном к границе направлении). Вдоль такого ультратонкого слоя, расположенного на оси Ох, будет происходить локализация пучка света. Возмущения в широких слоях будем считать однородными вдоль плоскости дефекта yz и неоднородными в поперечном направлении вдоль оси Ох.

Поэтому для описания стационарного распределения пучка света, локализованного в поперечном к плоскости дефекта направлении, будем использовать одномерное нелинейное уравнение Шредингера в традиционной форме:

где δ(x) – дельта-функция Дирака. В нелинейной оптике принято, что u(х) – y-компонента напряженности электрического поля [16], E – константа распространения (или эффективный показатель преломления), m = 1/2D > 0, D – коэффициент дифракции (всюду постоянный), $\Omega (\left| u \right|)$ – функция, пропорциональная показателю преломления и описывающая оптические свойства широких слоев волновода, в том числе их нелинейный отклик [17, 18].

Интенсивность взаимодействия волны с дефектом U₀ пропорциональна показателю преломления в ультратонкой границе раздела широких слоев n_b: U₀ ∼ hn_b, где h – толщина прослойки (малая величина); при U₀ > 0 дефект отталкивающий, а при U₀ < 0 – притягивающий. Более детальную формулировку физической модели, приводящей к стационарному нелинейному уравнению Шредингера (1), можно найти в [17, 18].

На границе раздела линейных сред с постоянной и одинаковой всюду характеристикой Ω локализованное состояние существует только в случае притяжения (U₀ < 0) и описывается экспоненциально убывающим полем [19]:

где c энергией локального уровня квадратично зависящей от “мощности” дефекта.

В случае контакта линейной среды с нелинейной, в которой характеристика Ω (невозмущенный показатель преломления) зависит от поля переключения, условие локализации меняется [7]. Пусть первоначально среда характеризуется квадратичной самофокусирующейся нелинейностью с параметром

по обе его стороны от дефекта при |u| < u_s, где u_s > 0 – пороговое значение поля переключения. Затем с ростом поля происходит мгновенный скачок до другого значения при |u| > u_s. Здесь коэффициенты Ω_1, 2 и α_1, 2 считаются постоянными и положительными. Положительные значения коэффициентов нелинейности соответствуют самофокусирующейся нелинейности. Случай U₀ = 0 и α_1,2 = 0 был рассмотрен в [7–11], U₀ = 0 и α_1,2 ≠ 0 – в [12], U₀ ≠ 0 и α_1,2 = 0 – в [14].

В результате вблизи дефекта, где |u| > u_s, формируется симметричная область (оптический домен) конечной ширины 2x_s с оптическими свойствами, отличающимися от остальной среды. Образование такого домена обусловлено специфической структурой поля локализованного состояния, которая состоит из различных компонентов внутри домена и вне него [7–12, 14].

ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ

Структура поля локализованного состояния характеризуется симметрией (u(–x) = u(x)) и при E < Ω_1,2 определяется составляющими, описываемыми солитонным решением стационарного нелинейного уравнения Шредингера (1):

где верхний знак соответствует области x < 0, а нижний – x > 0, индекс 1 соответствует случаю, когда |u| < u_s, а 2 – |u| > u_s.

Все параметры локализованного состояния (2) определяются из уравнения (1) и условий непрерывности поля и скачка его производной на границе раздела сред х = 0 [14], а также непрерывности поля и его производной при х = ±x_s – координата, при которой поле локализованного состояния равно полю переключения: |u(x_s)| = u_s [7].

Важно отметить, что положение границы домена x_s не является исходным параметром модели, а определяется в ходе решения задачи как функция коэффициентов нелинейного уравнения Шредингера (1).

Из указанных условий для поля получаем соотношения:

Из (3)–(5) следует, что пороговое значение поля переключения не является произвольным параметром, а полностью определяется свойствами среды:

Из (3)–(5) удается найти в явном виде все параметры решения (2):

где полуширина домена Амплитуда поля в плоскости дефекта: где E_L(Ω₂) – локальный уровень при Ω = Ω₂.

Для существования решения (2) должно выполняться условие u₀ > u_s. Амплитуда поля в плоскости дефекта (9) убывает квадратичным образом с увеличением “мощности” дефекта при E ≤ E_L(Ω₂). Максимальная амплитуда (9) достигается при отсутствии взаимодействия волны с дефектом. Получается, что наличие такого взаимодействия приводит к снижению амплитуды в плоскости дефекта.

ОБСУЖДЕНИЕ

Выражения (6)–(9) определяют зависимости параметров локализованного состояния как функции Е, являющейся в данном контексте свободным параметром. Такой подход к анализу обычно используется в нелинейной оптике, когда параметр Е выступает в роли константы распространения (или эффективного показателя преломления) [20]. Все характеристики световых поверхностных волн и локализованных пучков света обычно выражаются через константу распространения. Это связано с тем, что в реальных экспериментах ее может варьировать путем изменения угла падения светового луча на плоскость дефекта (границу раздела).

В теории нелинейных колебаний и солитонов принято выражать энергию (или частоту) через амплитуду колебаний [21]. Частоты колебаний в нелинейном молекулярном кристалле находятся вне непрерывного спектра и зависят от амплитуды колебаний [22]. Устойчивость таких колебаний обусловлена ангармонизмом межмолекулярного взаимодействия. Поэтому представляется важным проанализировать зависимость энергии E локализованных состояний и других характеристик от амплитуды поля u₀ на дефекте. Тогда из (9) получаем энергию локального состояния в виде:

Из (10) видно, что зависимость энергии локального состояния от амплитуды колебаний дефекта квадратичная, что характерно для свободного солитона, описываемого нелинейным уравнением Шредингера (в среде без дефектов и постоянными параметрами). Поскольку из (9) следует, что амплитуда на дефекте не должна превосходить критическое значение ${{u}_{0}} < {{\left( {2{{\Omega }_{2}} + mU_{0}^{2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {2{{\Omega }_{2}} + mU_{0}^{2}} \right)} {{{\alpha }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\alpha }_{2}}}},$ с учетом условия существования решения (2) u₀ > u_s и выражения для амплитуды поля переключения получаем ограничение на допустимые значения “мощности” дефекта: $\left| {{{U}_{0}}} \right| < {{\{ {{2[{{{{\alpha }_{2}}({{\Omega }_{1}} - {{\Omega }_{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{2}}({{\Omega }_{1}} - {{\Omega }_{2}})} {({{\alpha }_{1}} - {{\alpha }_{2}}) - {{\Omega }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {({{\alpha }_{1}} - {{\alpha }_{2}}) - {{\Omega }_{2}}}}]} \mathord{\left/ {\vphantom {{2[{{{{\alpha }_{2}}({{\Omega }_{1}} - {{\Omega }_{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{2}}({{\Omega }_{1}} - {{\Omega }_{2}})} {({{\alpha }_{1}} - {{\alpha }_{2}}) - {{\Omega }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {({{\alpha }_{1}} - {{\alpha }_{2}}) - {{\Omega }_{2}}}}]} m}} \right. \kern-0em} m}\} }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ Следовательно, локализованное состояние, описываемое нелинейным уравнением Шредингера (1), существует как для притягивающего, так и для отталкивающего дефекта, т.е. для потенциальной ямы ограниченной мощности (конечной глубины).

Параметры решения (2) также можно выразить через амплитуду поля на дефекте с использованием (10):

где полуширина домена В случае слабого взаимодействия с дефектом, когда |U₀| $ \ll $ q₀/2m, полуширина домена зависит линейно от “мощности” дефекта: где не зависящая от U₀ часть

С ростом интенсивности взаимодействия в случае притягивающего дефекта толщина домена уменьшается, а в случае отталкивающего − увеличивается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе найдено точное решение нелинейного уравнения Шредингера с меняющимися скачкообразно параметрами, в том числе положительным коэффициентом квадратичной нелинейности, а также точечным потенциалом, моделирующим взаимодействие волны с ультратонкой границей раздела, рассматриваемой в качестве плоского дефекта.

Проанализированы параметры полученного решения в зависимости от “мощности” дефекта и амплитуды поля на дефекте. Найденное решение существует только в случае “потенциальной ямы” конечной мощности. Показано, что взаимодействие волн с плоским дефектом приводит к новым возможностям управления профилем локализации пучка света вдоль границы раздела нелинейных сред. Взаимодействие волн с дефектом в среде со скачком квадратичной нелинейности позволяет снизить амплитуду поля на границе по сравнению с полем в приграничных областях.

Полученные в работе результаты могут иметь значение при проектировании элементов электронно-оптических устройств, использующих контролируемую локализацию волн вдоль слоев. Предложенная теория расширяет представления о механизмах формирования нелинейных локализованных состояний и возможности управления ими.