Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2022, № 5, стр. 37-41

ВВЕДЕНИЕ

Фазовые переходы (ФП) и связанные с ними критические явления (КЯ) чрезвычайно широко распространены в конденсированных средах. При определенных условиях во всех конденсированных средах происходят один или несколько фазовых переходов. На разработку эффективной теории ФП и КЯ были затрачены значительные усилия, и к настоящему моменту времени в этом направлении достигнут существенный прогресс [1–3]. С другой стороны, следует отметить, что большинство результатов в этой области получены для однородных, идеализированных и сильно упрощенных моделей. В реальном мире мы имеем дело со спиновыми системами и материалами, которые существенно отличаются от идеализированных систем. Как с точки зрения практики, так и с точки зрения теории, всегда возникает вопрос о влиянии дефектов и случайных структур, присутствующих в реальных системах, на различные тепловые и магнитные характеристики. В этом плане особенный интерес представляет определение трикритической точки p_с, отделяющей на фазовой диаграмме область ФП первого рода от области ФП второго рода [4, 5]. Кроме того, возникает вопрос уверены ли мы в том, что ФП первого рода наблюдаются в присутствии разбавления? Точная величина p_с имеет большое значение при создании различных новых магнитных материалов, а также при изучении высоко температурной сверхпроводимости, возникающей при замещении небольшого количества магнитных атомов La немагнитными атомами стронция Sr в антиферромагнитном диэлектрике LaCuO₄ [6].

МОДЕЛЬ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

В узлах i кубической решетки L × L × L с периодическими граничными условиями расположены спины ${{S}_{i}},$ которые могут находиться в одном из следующих состояний q = 1, 2, 3, 4, 5, и немагнитные примеси (S_i = 0). Немагнитные примеси неподвижны. Энергия связи между двумя узлами равна нулю, если хотя бы в одном узле находится немагнитная примесь или, если взаимодействующие спины находятся в различных состояниях, и равна J, если оба узла заняты магнитными атомами, находящимися в одинаковых состояниях. Гамильтониан такой системы можно записать в следующем виде [7]:

где $\delta ({{S}_{i}},{{S}_{j}}) = \left\{ \begin{gathered} 1,\,\,{\text{если}}\,\,{{S}_{i}} = {{S}_{j}}, \hfill \\ 0,\,\,{\text{если}}\,\,{{S}_{i}} \ne {{S}_{j}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ${{\rho }_{i}} = \left\{ \begin{gathered} 1,\,\,{\text{если}}\,\,{\text{в}}\,\,{\text{узле}}\,\,{\text{расположен}}\,\,{\text{спин}} \hfill \\ {\text{0,}}\,\,{\text{если}}\,\,{\text{в}}\,\,{\text{узле}}\,\,{\text{расположена}}\,\,{\text{немагнитная}}\,\,{\text{примесь}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

и J – параметр обменного ферромагнитного взаимодействия ближайших соседей (в дальнейшем считаем J = 1 и работаем с безразмерной температурой). Концентрация магнитных атомов определяется суммированием всех состояний атомов во всех узлах решетки:

где ${{N}_{\alpha }} = \left\{ {{{N}_{1}},{{N}_{2}},{{N}_{3}},{{N}_{4}},{{N}_{5}}} \right\},$ N₁ – число спинов в состоянии с q = 1, N₂ – число спинов в состоянии с q = 2, N₃ – число спинов в состоянии с q = 3, N₄ – число спинов в состоянии с q = 4, N₅ – число спинов в состоянии с q = 5. При этом рассматривались системы с линейными размерами L × L × × L = N, L = 10–80.

Исследования проводили на основе высокоэффективного кластерного алгоритма Вольфа метода Монте-Карло (МК) [8]. Расчеты проводили для систем с периодическими граничными условиями при концентрациях спинов р =1.00, 0.90. Начальные конфигурации задавались таким образом, чтобы все спины были упорядочены вдоль оси Z. Для вывода системы в равновесное состояние отсекался неравновесный участок длиной τ₀ для системы с линейными размерами L. Этот неравновесный участок отбрасывали. Затем усреднение проводилось по участку марковской цепи длиной τ = 150τ₀. Для самой большой системы L = 80, ${{\tau }_{0}} = 2.3 \times {{10}^{3}}$ МК шагов/спин. Кроме того, проводилось усреднение по различным начальным конфигурациям. В случае p = 1.0 для усреднения использовалось 15 начальных конфигураций. Для слабо разбавленных систем с концентрацией спинов p = 0.90 осуществлялось конфигурационное усреднение по 2000 различным конфигурациям, причем для каждой примесной конфигурации выполнялось усреднение по длине цепи τ = 150τ₀.

РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Наблюдение за температурным ходом поведения теплоемкости и восприимчивости осуществлялось с использованием флуктуационных соотношений [9]:

где K = |J|/k_BT, N = p*L³ – число магнитных узлов, U – внутренняя энергия, m_F – намагниченность системы, угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю. В качестве намагниченности m_F, для ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q = 5 использовалось следующее выражение [10] где ${{N}_{{\max }}} = \max \left\{ {{{N}_{1}},{{N}_{2}},{{N}_{3}},{\kern 1pt} {{N}_{4}},{{N}_{5}}} \right\},$ N_i – число спинов в состоянии с q = i.

На рис. 1, 2 представлены характерные зависимости восприимчивости χ и теплоемкости C от температуры T для трехмерной слабо разбавленной ферромагнитной модели Поттса c числом состояний спина q = 5 на простой кубической решетке для систем с линейными размерами L = 10–80 при концентрации спинов p = 0.90. Здесь и далее на всех рисунках погрешность данных не превышает размеров символов, используемых для построения графиков. Отметим, что в зависимости восприимчивости χ и теплоемкости C от температуры для всех исследуемых нами систем проявляются четко выраженные максимумы, и эти максимумы (в пределах погрешности) приходятся на одну температуру. Как видно из этих рисунков, представленные температурные зависимости восприимчивости и теплоемкости проявляют слабую размерную зависимость. Это связано с тем, что на исследуемую разбавленную систему накладывались периодические граничные условия. Кроме того, в рассматриваемой неупорядоченной модели Поттса с q = 5 наблюдается слабо выраженный фазовый переход первого рода, при этом размерные эффекты ярко не проявляются.

На рис. 3 представлены температурные зависимости намагниченности m_F для трехмерной слабо разбавленной модели Поттса при p = 0.90. Как видно из рис. 3, наблюдается монотонное уменьшение величины m_F c ростом температуры и заметное уменьшение высокотемпературных “хвостов” при увеличении линейного размера L.

В случае компьютерного моделирования фазовых переходов при определении температуры ФП T_L наилучшим образом зарекомендовал метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [11]:

где Е – энергия и т – намагниченность системы с линейным размером L. Выражения (6) и (7) позволяют определить температуру ФП Т_L (p) с большой точностью в фазовых переходах первого и второго рода. Кроме того, изучение кумулянтов Биндера V_L(T, p) и U_L(T, p) очень полезно для определения рода ФП [12–16]. Характерные зависимости энергетических кумулянтов Биндера V_L(T, p) от температуры для слабо разбавленных систем с разными линейными размерами при концентрации спинов p = 0.90 приведены на рис. 4. Как следует из вставки на рис. 4, нетривиальная величина $V{\text{*}}$ не стремится к 2/3 в соответствии с выражением $V(T,p) = V{\text{*}} + b{{L}^{{ - d}}}$ при $L \to \infty .$ Такое поведение, как известно, характерно для ФП первого рода. Кроме того, для кумулянтов Биндера U_L(T, p) (рис. 5) в точке ФП не наблюдается четко выраженная точка пересечения, что также свидетельствует о ФП первого рода. Определенные методом кумулянтов Биндера температуры фазовых переходов Т_L(p) в единицах |J|/k_B равны: Т_L(1.00) = = 1.452 (1) и Т_L(0.90) = 1.31(1).

Параллельно с методом кумулянтов Биндера для анализа рода ФП нами использовался и гистограммный анализ данных метода Монте-Карло [17, 18]. Гистограммный анализ данных, проведенный нами для трехмерной слабо разбавленной ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q = 5 на простой кубической решетке, также свидетельствует о наличии ФП первого рода. Это продемонстрировано на рис. 6. На данном рисунке представлена гистограмма распределения энергии вблизи точки фазового перехода T_L для систем с линейным размером L = 80 при концентрации спинов p = 0.90. Как видно из вставки на рис. 6, наблюдается бимодальность в распределении энергии, характерная для ФП первого рода. Для этой модели при концентрации спинов p = 0.8 в работе [19] было выявлено распределение энергии с одним максимумом. По-видимому, трикритическая точка для трехмерной модели Поттса с q = 5 находится в интервале изменения концентраций спинов 0.80 < p_c < 0.9. Определение точного значения трикритической точки p_c требует отдельного рассмотрения. Значение p_c также зависит от числа состояний спина q рассматриваемой модели Поттса. В частности, в трехмерной модели Поттса с числом состояний спина q = 3 наличие незначительных количества немагнитных примесей (порядка 5%) оказывается существенным, при этом происходит смена фазового перехода первого рода на фазовый переход второго рода [20].

Таким образом, полученные в результате наших исследований данные свидетельствуют о том, что в трехмерных структурах, описываемых ферромагнитной моделью Поттса с q = 5 на простой кубической решетке, слабый беспорядок, реализованный в виде немагнитных примесей концентрацией 10%, не оказывается существенным, и в рассматриваемой спиновой системе наблюдается фазовый переход первого рода, как и в случае однородной модели Поттса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе с соблюдением единой методики исследованы фазовые переходы в трехмерной слабо разбавленной ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q = 5 на простой кубической решетке методами компьютерного моделирования. С использованием кумулянтов Биндера четвертого порядка определены температуры фазового перехода в зависимости от концентрации спинов p. Показано, что температурные зависимости для намагниченности, теплоемкости и восприимчивости не проявляют конечно-размерные эффекты. Полученные данные на основе вычислительного эксперимента свидетельствуют о том, что в рассматриваемой модели Поттса внесение небольшого беспорядка в виде немагнитных примесей в количестве c = 10% (с = = 1 – p) каноническим способом не существенно для фазового перехода первого рода.