Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2022, № 6, стр. 34-46

ВВЕДЕНИЕ

В кристалле без центра симметрии воздействие электромагнитной волны вызывает ток, связанный с возникновением асимметрии распределения электронов по скоростям или сдвигом электронов в координатном пространстве при квантовых переходах [1–3]. В кристаллах с центром симметрии, очевидно, такой же эффект может возникнуть при наложении магнитного поля. При воздействии на центросимметричный кристалл импульса быстрых частиц в магнитном поле также возникает электрический ток (эффект Кикоина–Носкова [4, 5]). В отсутствие магнитного поля такой эффект проявляется в нецентросимметричных кристаллах. Для возбуждения полупроводника наиболее удобен [6, 7] пучок каналированных частиц, поскольку эффекты повреждения кристалла такими быстрыми частицами отсутствуют, а изменение энергии быстрых ориентированных заряженных частиц или их угла влета относительно кристаллографических плоскостей приводит к контролируемым изменениям уровня возбуждения кристалла и спектра генерируемых в нем возбуждений [8]. Основные представления о физике каналированных частиц изложены в [9]. В настоящей работе показано, что прохождение каналированных частиц в кристалле без центра симметрии или в магнитном поле приводит к появлению тока – квазифотогальваническому и квазифотомагнитному эффектам. Построена теория этих явлений.

ВОЗБУЖДАЕМЫЙ В КРИСТАЛЛЕ ТОК

Будем рассматривать кристалл, помещенный в скрещенные электрическое E и магнитное H поля и испытывающий воздействие импульса быстрых заряженных (каналированных) частиц, движущихся в направлении, параллельном выбранным кристаллографическим плоскостям, в конфигурации, представленной на рис. 1. Для плотностей токов электронов j_e и дырок j_h, возбуждаемых в кристалле, находящемся под воздействием магнитного и электрического полей, быстрой, ориентированной относительно кристаллографических плоскостей заряженной частицей, в работе рассматривали следующие уравнения:

Здесь e – заряд электрона, j_e и j_h – векторы плотности тока электронов и дырок соответственно, возбуждаемого в кристалле импульсом ориентированной частицы, n_e и n_h, μ_e и μ_h – концентрации и дрейфовые подвижности электронов и дырок соответственно, D_e и D_h – коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно, G_e и G_h, R_e и R_h – коэффициенты, описывающие интенсивность генерации (рекомбинации) электронов (дырок) ориентированных частиц в кристалле. Холловские подвижности μ_He электронов и дырок μ_Hh не считали равными их дрейфовым подвижностям μ_e и μ_h. В случае генерации электронов и дырок в кристалле ориентированной частицей G_e и G_h, а также R_e и R_h полагали равными.

МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ ВОЗБУЖДЕННОГО КРИСТАЛЛА

Общее выражение для плотности тока j в макроскопической пространственно однородной электронно-фононной системе кристалла, описываемой неравновесной матрицей плотности $\hat {\rho },$ имеет вид:

где ${\mathbf{\hat {V}}}$ – оператор скорости электронов кристалла, ${{\hat {\rho }}_{e}}$ – матрица плотности электронов в кристалле. Общее выражение для тока j (5) распадается на вклады диагональных элементов матрицы плотности электронов, т.е. функций распределения ${{f}_{{p \equiv }}}{{\hat {\rho }}_{{pp}}}{\text{:}}$и недиагональных элементов матрицы плотности и скорости электронов: В некоторых ситуациях, например, для электронов Ландау в скрещенных электрическом и магнитном полях, диагональные элементы оператора скорости отсутствуют, т.е. j_диаг в выражении (6) обращается в нуль [10]. При подстановке в выражения (6) и (7) равновесной матрицы плотности ${{\hat {\rho }}^{{\left( 0 \right)}}}$ выражения для токов тождественно обращаются в нуль. Получим теперь квантовые кинетические уравнения для матрицы плотности ρ электронно-фононной системы кристалла, возбуждаемой быстрыми заряженными ориентированными частицами. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид: где ${{\hat {H}}_{1}} = {{\hat {H}}_{{{\text{кр}}}}} + {{\hat {H}}_{{{\text{ч - кр}}}}}$ – гамильтониан электронно-фононной системы кристалла (при наличии или в отсутствие магнитного поля с индукцией B) и гамильтониан взаимодействия быстрой, “одетой”, заряженной ориентированной частицы с кристаллом; ${{\hat {H}}_{2}} \equiv {{\hat {H}}_{{\text{ч}}}}$ – гамильтониан “одетых” ориентированных частиц в кристалле, т.е. гамильтониан частиц в каналированном надбарьерном или подбарьерном состоянии. Уравнение для полной матрицы плотности $\hat {\rho }$ системы имеет вид (здесь и в дальнейшем ħ = с = 1): Введем теперь согласно [11, 12] гамильтониан ${{\hat {H}}_{0}}$ кристалла, эволюционирующего в усредненном, строго периодическом потенциале ориентированной частицы (с периодом, совпадающим с периодом кристалла) где $\hat {\rho }_{2}^{{\left( 0 \right)}}$ – равновесная матрица плотности ориентированной частицы, диагональная в представлении собственных функций ее гамильтониана ${{\hat {H}}_{2}}.$ Оператор есть оператор неупругого взаимодействия кристалла с ориентированной частицей. Оператор $\hat {W}$ не имеет диагональных по состояниям ориентированной частицы матричных элементов, поскольку Матрица плотности ${{\hat {\rho }}_{1}}$ взаимодействующей электронно-фононной системы кристалла находится при суммировании $\hat {\rho }$ по переменным ориентированной частицы Из уравнения (9) получаем: Ограничимся квадратичным приближением по оператору неупругого взаимодействия $\hat {W}.$ В случае не очень толстого кристалла, когда можно пренебречь влиянием рассеивающей системы (кристалла) на матрицу плотности ориентированной частицы $\hat {\rho }_{2}^{{\left( 0 \right)}},$ полная матрица плотности может быть заменена на Далее, учитывая, что характерные для некогерентного изменения ${{\hat {\rho }}_{1}}$ времена велики по сравнению с продолжительностью столкновений, и пренебрегая вкладом членов с главными значениями интегралов по энергии при переходе от выражения (13) к интегральному представлению, т.е. пренебрегая перенормировкой энергетических спектров в кристалле, в полной аналогии с [12] находим кинетическое уравнение для электронно-фононной системы кристалла, возбуждаемой ориентированной частицей: где Здесь индексом S обозначены состояния кристалла с гамильтонианом ${{\hat {H}}_{0}},$ индексом $\alpha $ – состояния ориентированной частицы в кристалле. Усредняя уравнение (15) по фононной ${{\hat {\rho }}_{{{\text{ph}}}}}$ и электронной ${{\hat {\rho }}_{{{\text{el}}}}}$ матрицам плотности, получаем уравнения для электронной и фононной подсистем кристалла, возбуждаемого пучком ориентированных частиц с учетом взаимного увлечения электронов и фононов. Диагональный вклад в ток должен находиться путем решения кинетического уравнения для электронной подсистемы. Взятие шпура по ${{\hat {\rho }}_{{{\text{ph}}}}}$ в выражении (15) будет сопровождаться появлением фактора Дебая–Уоллера в потенциале электронно-фононного взаимодействия и в потенциале взаимодействия фононной подсистемы кристалла с ориентированной частицей [7]. Приведем здесь вклады в ток за счет недиагональных элементов электронной матрицы плотности ${{\hat {\rho }}_{{{\text{el}}}}}{\text{:}}$где ${\mathbf{j}}_{{{\text{недиаг}}}}^{{{\text{оч}}}}$ – “недиагональный” вклад в плотность тока за счет прямого взаимодействия ориентированной частицы (оч) с электронной подсистемой кристалла, ${\mathbf{j}}_{{{\text{недиаг}}}}^{{{\text{phot}}}}$ и ${\mathbf{j}}_{{{\text{недиаг}}}}^{{{\text{phon}}}}$ – “недиагональные” вклады за счет взаимодействия электронов кристалла с неравновесными поперечными возбуждениями (например, фотонами) и фононами, генерированными ориентированной частицей при ее прохождении в кристалле.

Для ${\mathbf{j}}_{{{\text{недиаг}}}}^{{{\text{оч}}}}$ в результате подстановки решения уравнения (15), усредненного по ${{\hat {\rho }}_{{{\text{ph}}}}},$ в выражение (7) получаем:

где $W_{S}^{{\left( {{\text{op}}} \right)}}\left( {{{K}_{2}},{{K}_{1}}} \right)$ – дифференциальная вероятность перехода с участием ориентированной частицы, записанная в предложении отсутствия межзонных электронных переходов: Здесь предполагается, что блоховские периодические амплитуды U_SK(r) нормированы на объем элементарной ячейки a³: Вектор R_S, имеющий размерность длины, определяется соотношением: где введены обозначения т.е. Ω_S(K) – диагональная по импульсу и номерам зон часть матричного элемента координаты, а Ф_S – фаза комплексной величины $W_{{{{{\mathbf{K}}}_{2}}{{{\mathbf{K}}}_{1}}}}^{{SS}}.$ Выражения для j^(phot) и j^(phon) совпадают с приведенными в [2]. Однако неравновесная фононная функция распределения N^(phon), входящая в j^(phon), должна определяться из уравнения (15) после усреднения его по ${{\hat {\rho }}_{{{\text{el}}}}}.$ В отличие от обычного вклада в плотность тока (9), связанного с изменением скорости электронов кристалла под действием пролетающей ориентированной частицы, ${\mathbf{j}}_{{{\text{недиаг}}}}^{{{\text{оч}}}}$ представляет собой вклад, связанный со смещением блоховских электронов в R-пространстве [2]. Часть плотности тока j^(оч) в выражении (18), пропорциональная $\hat {\rho }_{{2d}}^{{\left( 0 \right)}},$ представляет собой ток ионизации. Второе слагаемое в выражении (18) от матрицы плотности явно не зависит и имеет смысл тока рекомбинации. Кроме того, должен быть еще вклад в ток, связанный с рассеянием блоховских электронов, например, на примесях [2]. Матричные элементы оператора рассеяния $\hat {W},$ фигурирующие в выражении (18), исследованы в случае взаимодействия квантовой каналированной частицы с плазмонами кристалла в [13]. В случае резонансного рассеяния ориентированной частицы в кристалле [14] матрицу ее плотности ${{\hat {\rho }}_{2}}$ нельзя считать постоянной во времени, и уравнения (15), (16) для отклика кристалла в этом случае не применимы. В случае взаимодействия ориентированной частицы с электронными возбуждениями кристалла матричный элемент оператора неупругого взаимодействия $\hat {W}\left( {{\text{el}}} \right)$ обсуждается в [15], а при ее взаимодействии с фононными возбуждениями кристалла – в [7]. Из [15] следует, что матричный элемент $W_{{SS{\kern 1pt} '}}^{{\alpha \alpha {\kern 1pt} {\text{'}}}}$ зависит как от квазизонной структуры поперечного движения каналированных частиц в кристалле, так и от диагональных и недиагональных элементов матрицы диэлектрической проницаемости кристалла, т.е. от микроскопической структуры кристалла на расстояниях порядка межатомных.

РОЛЬ ДВУХ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА ВОЗБУЖДЕНИЕ ТОКА

Рассмотрим относительную роль эффектов локальной неоднородности электронной плотности в кристалле с одной стороны и эффектов непрямолинейности распространения каналированных частиц в кристалле, влияющих на возбуждение квазифотогальванического тока каналированной частицей в кристалле, с другой. Такое сравнение проведем в области как надбарьерных, так и подбарьерных состояний каналированной частицы. Считая, как это обычно бывает в теории явлений каналирования, потенциал кристалла V(r) зависящим только от координаты х, отсчитываемой вдоль оси, перпендикулярной плоскостному каналу, для волновой функции ориентированной частицы $U_{p}^{{\left( n \right)}}\left( r \right)$ из [15–17] получаем уравнение

В уравнении (23) периодический усредненный по плоскости каналирования потенциал кристалла V(x) представлен в виде разложения по векторам обратной решетки кристалла. В области высоколежащих надбарьерных состояний, т.е. когда ${{2EV\left( x \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{2EV\left( x \right)} {{{c}^{2}}P_{{x0}}^{2}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}P_{{x0}}^{2}}},$ решение уравнения (23) легко находится квазиклассически и имеет вид: где $~{{\tilde {P}}_{x}} = {{\left( {P_{x}^{2} - {{2E\bar {V}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2E\bar {V}} {{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}}}} \right)}^{{0.5}}},$ $\bar {V} = \int_c^d {\frac{{V\left( x \right)dx}}{d}} ,$ d – расстояние между эквивалентными точками двух соседних каналов, $\hat {V} = V - \bar {V}.$ Ясно, таким образом, что $\bar {V}$ представляет собой нулевую фурье-компоненту плоскостного потенциала кристалла. В решении (24) приведена только падающая волна. Для коэффициентов сшивки с использованием решения (24) непосредственно находим Для матричных элементов и переходов каналированной частицы получаем: Ограничиваясь учетом первого наиболее важного слагаемого в коэффициенте сшивки (25) и подставляя матричные элементы (26) в выражение (24), получаем в случае нерелятивистских частиц, выражение для интенсивности процессов возбуждения среды через потери энергии ориентированной частицы: где V_x и V_z – соответствующие компоненты скорости частицы, M – ее масса. Первое слагаемое в квадратных скобках приводит к обычному линдхардовскому вкладу в потери энергии каналированной частицы. Как следует из выражения (27), недиагональные по импульсу элементы обратной матрицы диэлектрической проницаемости кристалла ε^–1(q,q_x + G_x,ω) входят в выражение для потерь с различными и резко отличающимися от единицы весовыми множителями, зависящими от вектора обратной решетки K_x. Как известно, если точечная группа кристалла содержит инверсию, то для потенциала кристалла выполняется соотношение V_–G = V_–G'. Для таких кристаллов, например кремния, германия, InSb, GaAs, Возьмем для конкретности потенциал решетки при направлении каналирования, приводящем к эквидистантности плоскостей каналирования. Для таких кристаллов значительная часть пространственно неоднородных слагаемых в усредненном плоскостном потенциале (28) обращается в нуль, а оставшиеся выражаются через фурье-компоненты V_4n,0,0 (n = 1, 2, 3, …) пространственного решеточного потенциала V(r), так что $V\left( x \right)\bar { = }\bar {V} + 2\sum\nolimits_{n\,\,{\kern 1pt} = {\kern 1pt} \,1,2} {{{V}_{{4n,0,0}}}} \cos \left( {4Gx} \right).$ Ограничиваясь двумя первыми наибольшими слагаемыми в сумме (24), можно аналитически рассмотреть задачу о каналировании и о потерях энергии на возбуждение квазифотогальванического тока быстрой заряженной частицей. В этом случае уравнение (23) после обезразмеривания коэффициентов сводится к известному уравнению Матье [18]: где d – постоянная решетки. В случае каналированных положительно заряженных частиц q > 0, поскольку $\bar {V}$ и V₄₀₀ больше нуля. В случае же отрицательно заряженных частиц $\bar {V} < 0,$ –V₄₀₀. После такого сдвига q можно полагать положительным и для отрицательных частиц. Значение a в обоих случаях может быть как меньше, так и больше нуля в зависимости от значения поперечной энергии каналированной частицы Е_⊥. Оценим значение q в уравнении (29). При Е = 50 МэВ, $\bar {V} \approx 15$ эВ (т.е. глубина ямы 30 эВ, G_x = 10¹⁰ м^–1) получаем q ≈ 20, значение a меняется в зависимости от Е_⊥(P_x) и может быть как большим, так и малым. Решения уравнения (29) имеют зонный характер. Границы энергетических зон определяются хорошо известными в теории Матье [18] числами a_l и b_{l + 1}, где l = 0, 1, 2, …, причем разрешенные значения поперечной энергии каналированной частицы Е_⊥(P_x) определяются из условия a_l < a < b_{l + 1} (l – номер разрешенной зоны). Ясно, что причисление тех или иных зон к дискретному или непрерывному спектру условно и определяется исключительно шириной зоны каналированной частицы. На рис. 2 приведены графики зависимости a_l и b_{l + 1} от q для наиболее низко лежащих пяти зон [18]. Как видим, при q = 10 (Е ~ 25 МэВ) уже четвертую энергетическую зону каналированной частицы нельзя считать дискретным “уровнем”, в то время как пятая энергетическая зона должна остаться зоной непрерывного спектра. Приведем также общее выражение ширины зоны “дискретного” спектра каналированной частицы, справедливое при больших q [18]: Волновые функции – решения уравнения (25) – будут иметь блоховский вид: где D(2Gx) – блоховский модулятор, периодичный по x с периодом, равным a_x/4 – одной четверти периода кристаллической решетки вдоль оси х: Функции (32) исследованы в теории функций Матье, где они именуются решениями уравнений Матье в форме Флоке [18]. В выражении (32) ${{\nu }_{n}}\left( {{{E}_{ \bot }},E} \right)$ – безразмерный так называемый характеристический показатель. Величина ${{\nu }_{n}}\left( {{{E}_{ \bot }},E} \right)G$ представляет собой обычный блоховский квазиимпульс ${{K}_{n}}\left( {{{E}_{ \bot }},E} \right)$ каналированной частицы. Обращение зависимости приведет к обычному закону дисперсии частицы в зоне для каждого номера n. Задача нахождения зависимости ${{\nu }_{n}}\left( {{{E}_{ \bot }},E} \right)$ решена в теории функции Матье. Аналитические и графические результаты, воспроизводящие эти зависимости, приведены в [18]. Учитывая свойства характеристического показателя $\nu ,$ непосредственно устанавливаем, что длина волнового вектора каналированной частицы в n-й зоне изменяется в пределах от nG до (n + 1)G, т.е. изменяется на один вектор обратной решетки G. При квазиимпульсах каналированной частицы, отвечающих границам ее энергетических зон, т.е. при G_n = 2πn/a (n = 0, 1, 2, …) функции типа Флоке переходят в хорошо изученные волновые функции Матье Cl_l(S,q) и Sl_l(S,q), где Cl_l(S,q) – четные волновые функции каналированной частицы, отвечающие нижнему краю l-й энергетической зоны, в то время как Sl_l(S,q) – нечетные волновые функции каналированной частицы, отвечающие верхним краям соответствующих энергетических зон ее поперечного движения. На рис. 3 приведены графики волновых функций, соответствующих верхним и нижним краям наиболее низколежащих зон поперечного движения каналированной частицы. В соответствии со сказанным ранее, волновые функции Sl₅, Sl₅ и Cl₅, Cl₆ отвечают уже надбарьерному каналированию.

Приведем теперь точный вид коэффициентов сшивки $C_{{{{P}_{{x0}}}}}^{{\left( n \right)}}\left( {{{q}_{x}}} \right)$ в случае блоховского поведения каналированной частицы в кристалле:

$D_{{{{P}_{x}}}}^{{\left( n \right)}}\left( x \right)$ в выражении (35) есть фурье-образ блоховского модулятора волновой функции ориентированной частицы. Ясно, что для частицы, каналированной в кристаллах со структурой алмаза, для направления каналирования [100] сумма по G_x в выражении (35) распространяется на обратные волновые векторы типа nG (n = 0, ±1, ±2, …). Для матричных элементов по волновым функциям каналированной частицы, входящих в выражение (26), получаем аналогичное выражение:

В уравнении (36) символом M обозначен фурье-образ произведения модуляторов волновых функций каналированной частицы, входящих в матричный элемент

Подставим теперь выведенные выражения (36) и (37) в общее выражение для потерь (28) энергии на возбуждение кристалла ориентированной частицы. При этом автоматически будут учтены все типы переходов, поскольку волновая функция (28) описывает в зависимости от номера зоны n как подбарьерные, так и надбарьерные состояния. При сделанных предположениях потери энергии ориентированной частицы будут описываться следующей формулой:

Здесь ${{p}_{x}}\left( {{{p}_{x}} \in BZ} \right)$ однозначно определяется через р_х0 так, чтобы р_х0 – р_х было равно целому числу векторов обратной решетки, $p_{x}^{'}$ и K_x однозначно определяются через р_х и q_x из условия, чтобы ${{p}_{x}} - p_{x}^{'} + {{q}_{x}} + {{K}_{x}}$ обращалось в нуль. Как видим из формулы (38), даже если не учитывать локальные кристаллические поля, т.е. когда в сумме по G_x остается единственное слагаемое с G_x = 0, выражение для потерь энергии ориентированной частицы коренным образом отличается от линдхардовского [9] наличием в подынтегральном выражении фактора

Полученные выражения (38) являются общими, поскольку в их выводе нигде не использованы какие-либо свойства волновой функции ориентированной частицы, связанные с типом выбранного приближения для кристаллического потенциала. Поведение функции (39) резко немонотонное по q_x. Действительно, при q_x, равных длинам векторов обратной решетки, в выражении (39) вычисление сведется к нахождению фурье-образа через р_х и произведения различных функций Матье, которое обращается в нуль при K_x = 0. Эффект немонотонности квадрата модуля матричного элемента (39) в зависимости от передаваемого импульса приводит к осцилляциям квазифотогальванического тока, возбуждаемого в кристалле быстрой заряженной частицей, при изменении угла влета такой частицы по отношению к кристаллографическим плоскостям.

СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ

Как видим из формул (35), (38), для исследования кинетических эффектов в кристалле при прохождении ориентированной частицы необходимо знать коэффициенты заселенности состояний поперечного движения при влете частицы в кристалл, а также матричные элементы квантовых переходов ориентированной частицы M_if = $ = \left\langle {{{\psi }_{{iq}}}{\text{exp}}\left( { - i{{q}_{x}}x} \right){{\psi }_{{fq{\kern 1pt} '}}}} \right\rangle .$

Потенциал кристаллографической плоскости может быть аппроксимирован выражением вида

где R – эффективная толщина кристаллографической плоскости, V₀ – глубина потенциальной ямы. Ограничимся рассмотрением переходов в дискретном спектре. Для волновой функции поперечного движения каналированного электрона уравнение Шредингера будет иметь вид: Решение уравнения (41), удовлетворяющее условиям сшивки в точке расположения плоскости x = 0, имеет вид: для четных состояний каналированного электрона. Несколько иной вид имеет набор нечетных волновых функций каналированного электрона: Причем q_n, определяющее положение n-го уровня поперечного движения каналированного электрона, находят из условий для четных состояний и для нечетных состояний. В выражениях (42), (43) $q_{n}^{2} = - K_{n}^{2}{{R}^{2}} > 0,$ $q_{0}^{2} = 2E\left| {{{V}_{0}}} \right| > 0.$ Нормировочные константы в уравнениях (42), (43) имеют вид: В случае больших ${{q}_{{0~}}}\left( {{{q}_{0}} \gg 1} \right)$ и ${{q}_{n}} \ll {{q}_{0}}$ пределы интегрирования могут быть расширены до бесконечности, давая для C_q: В (47) в ${{C}_{q}}$ отброшены слагаемые под корнем, примерно равные –1/πq₀. Волновые функции ${{\Psi }_{{{{q}_{n}}}}}\left( x \right)$ (42), (43) аналитические при любых x, кроме x = 0 – точки кристаллографической плоскости, в окрестности которой локализована волновая функция (46), (47) – двумерный аналог функций Ванье. Волновые функции каналированного электрона ${{\Psi }_{{{{q}_{n}}}}}\left( x \right)$ взаимно ортогональны при различных индексах q_n, удовлетворяющих условиям (44) для четных и (45) для нечетных состояний соответственно. Разумеется, при прочих q и q' интеграл $\int {{{\psi }_{q}}{{\psi }_{{q{\kern 1pt} '}}}\left( x \right)dx} $ отличен от нуля. Для доказательства сделанного утверждения достаточно отметить, что В силу условий сшивки (42), (43) правая часть выражения (48) обращается в нуль при любой (четно-четной, нечетно-нечетной, четно-нечетной) комбинации волновых функций ${{\psi }_{{{{q}_{m}}}}}\left( x \right)$ и ${{\psi }_{{{{q}_{n}}}}}\left( x \right).$ Для амплитуд заселенностей уровней поперечного движения имеем: Выражение (49) может быть преобразовано без приближений к виду: где Ряд в выражении (50) сходится по K как 1/K ². Приближенно с точностью до слагаемых $\sim {\kern 1pt} - 2\sqrt {{{q}^{2}} + q_{1}^{2}} $ получаем: При малых поперечных импульсах влета быстрого электрона в кристалл уравнение (52) упрощается до вида:

В уравнении (53) виден эффект осцилляций заселенности уровней поперечного движения с вариацией поперечного импульса влета q₁. Такой же эффект осцилляций, но менее очевидный, содержится и в более общих выражениях (50) и (52). Приведем теперь результаты аналитических расчетов матричных элементов квантовых переходов каналированных электронов M_q между подбарьерными уровнями поперечного движения, не прибегая к предположению о дипольности переходов, что особенно существенно при расчете эффектов генерации возбужденных каналированной частицей фотонов и электронов в кристалле, а также фононов в кристалле [16, 17]:

Для четно-четных (чч) и нечетно-нечетных (нн) переходов каналированных электронов получаем: а для переходов между состояниями с различной четностью будем иметь: где

После разложения функции J_q (без ограничения общности полагаем q > q') в ряд по степеням аргумента интеграл в уравнении (57) берется для каждого члена ряда [18, 19], в результате имеем:

Здесь S_μ,ν(x) – функции Ломмеля [18, 19]. После точного аналитического суммирования первого и четвертого рядов по m в выражении (58) Здесь $K_{{nn{\kern 1pt} '}}^{{\left( a \right)}}\left( {{{q}_{x}}} \right)$ имеет вид: $K_{{nn{\kern 1pt} '}}^{{\left( d \right)}}\left( {{{q}_{x}}} \right)$ в уравнении (59) описывается выражением:

В случае надбарьерных каналированных электронов в кристалле нельзя ограничиваться приближением изолированной плоскости, и потенциал кристаллографической плоскости запишем в виде:

Нетрудно видеть, что потенциал (62) обладает свойством непрерывности. В интервале –a < x < a (2a – расстояние между кристаллографическими плоскостями) блоховская волновая функция каналированного электрона в потенциале (62) запишется в виде (с точностью до общего множителя, который будет добавлен позднее, исходя из условия нормировки блоховской волновой функции на поток из одного каналированного электрона):

Коэффициенты А, С, D в выражениях (63), (64) и зонный спектр блоховского каналированного электрона определяются из условий сшивки волновой функции (42), (43) в точке x = 0:

и в точке x = a Здесь q_x – поперечный волновой вектор каналированного электрона. Из условий сшивки получаем: а коэффициент А задается выражением: где знаки “плюс” и “минус” соответствуют двум наборам (четным и нечетным) зон поперечного движения каналированного электрона: В уравнении (70) введено обозначение β = = q₀exp(–a/2R). Зонный спектр поперечного движения каналированного электрона, т.е. зависимость q ² от q_x, находится из следующего дисперсионного уравнения: Все выражения, приведенные выше, упрощаются при учете неравенства ${{q}_{0}} \gg 1$. В этом случае, например, При учете $\frac{\lambda }{R} \sim 10$ имеем $\beta \ll 1$, так что

Формулы (63), (64), (71) описывают как надбарьерный, так и подбарьерный зонный спектр каналированного электрона. В соответствующих формулах мнимые индексы функций Бесселя следует заменить на действительные iq → q. Зонные волновые функции подбарьерного движения необходимо применять для описания состояний каналированного электрона вблизи границы дискретного и непрерывного спектров, где приближение изолированной кристаллографической плоскости (62) неоправданно. В случае подбарьерных зон дисперсионное уравнение (71) (после замены ±iq → ±q) позволяет вычислить и ширины соответствующих зон. Для определения верхней и нижней по энергии границы зоны необходимо решить уравнение (71) относительно q, подставляя вместо exp(iq_x2a) “+1” и “–1” соответственно.

ИНТЕНСИВНОСТЬ ИНДУЦИРОВАННЫХ ТОКОВ В КРИСТАЛЛЕ

Вычислим спектрально-угловую плотность вероятности не дипольного излучения жестких фотонов высокоэнергетической каналированной частицей с энергией, удовлетворяющей неравенству U₀E ≥ 1. Известно, что не дипольные процессы излучения жестких фотонов не могут быть описаны при этих значениях энергии в квазиклассическом приближении [16, 17, 20–25]. В случае неполяризованного излучения можно записать следующее выражение для такой плотности вероятности [20, 21]:

Как видно из рис. 4, матричные элементы квантового перехода ориентированной частицы ${{I}^{{\left( 1 \right)}}} = \left\langle {{{\Psi }_{n}}\left| {{\kern 1pt} {\text{exp}}\left( {ikx} \right)} \right|{{\Psi }_{{n{\kern 1pt} '}}}} \right\rangle $ имеют отличные от нуля значения, когда безразмерная составляющая ее импульса, направленная поперек плоскостей кристалла, значительно меньше единицы. Этот импульс в безразмерной форме измеряется в долях вектора обратной решетки K = 2π/a = 2π × 10¹⁰ м^–1 в случае кристалла кремния. В то же время волновой вектор фотона с энергией Е, равной 10 ГэВ, равен k_phot = ħE/cħ = 10¹⁷ м^–1. Таким образом, для того, чтобы k_x имел более низкие значения по сравнению с вектором обратной решетки k_x ≤ ≤ 0.1K, угол θ = k_x/k_phot должен иметь значения, не превышающие θ ≤ 2π × 10⁹/10⁷ ≈ 6 × 10^–8. В то же время угол φ может меняться в широком диапазоне, так что можно положить $\partial \varphi \sim 0.1.$ Рассмотрим вероятность излучения фотона каналированной частицей с энергией Е = 10 ГэВ в телесном угле dΩ = sin θdθdφ ≈ θdθdφ ≈ 6 × 10^–8 × 6 × 10^–8 × 10^–1 = = 3.6 × 10^–16 ср. Рассмотрим, например, четно-четные квантовые переходы каналированной частицы, когда матричные элементы второго рода ${{I}^{{\left( 2 \right)}}} = \left\langle {{{\Psi }_{n}}\left| {{\kern 1pt} {\text{exp}}\left( {ikx} \right)} \right|\frac{\partial }{{\partial x}}{{\Psi }_{{n{\kern 1pt} '}}}} \right\rangle $ малы: ${{\left| {I_{{if}}^{{(2)}}({{k}_{x}} = 0)} \right|}^{2}} = 0.$ Для неполяризованного излучения при малых углах наблюдения $\theta \ll 1,~\varphi \ll 1~\left( {{{k}_{x}} \ll 1} \right)~$ и в пределе $~\theta \ll {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {E,}}} \right. \kern-0em} {E,}}$ $\theta \ll {u \mathord{\left/ {\vphantom {u E}} \right. \kern-0em} E}$ при указанных условиях вероятность излучения фотона с энергией ω ≤ Е каналированной частицей описывается следующим упрощенным выражением: Здесь u_ij = ω_ij/(E – ω_ij) при условиях, определяемых не дипольным излучением. Выделив только один наиболее важный член в (75), (76), легко получить вероятность излучения фотона с энергией ω_if = E(E – ω_if)[ε_i(E) – ε_f(E – ω)]/2: Рассмотрим случай, когда ħω_ij ≈ 0.4E, так что ${{u}_{{if}}} \sim 0.66$. В условиях не дипольного излучения, указанных ранее, ħω_ij/ħ = 0.4 × 10¹⁰ эВ/0.66 × × 10^–15 эВ · с = 0.6 × 10²⁵ с^–1. Обращаясь к размерным единицам и принимая во внимание тот факт, что ${{\left| {I_{{if}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{k}_{x}} \approx 0} \right)} \right|}^{2}} \approx 5$ (рис. 4), получаем следующую оценку вероятности перехода, которая пропорциональна интенсивности генерации свободных электронов G_e и дырок G_h в кристалле, вносящих вклад в квазифотомагнитный ток в кристалле, в соответствии с (1)–(4):

Поскольку индуцированный ориентированной частицей квазифотомагнитный ток пропорционален интенсивности испускаемых фотонов, получаем весьма заметный квазифотомагнитный ток даже от одной каналированной частицы, испускающей фотоны в кристалле. При этом квазифотомагнитный ток ориентационно зависит от угла влета каналированной частицы в кристалл.

ВЫВОДЫ

Обсуждаемые в настоящей работе квазифотогальванический и квазифотомагнитный эффекты будут весьма удобным инструментом для изучения ориентационных явлений [7, 8, 16, 17, 20–28] при прохождении ориентированной частицы через кристалл, а также для изучения анизотропии электронно-фононного взаимодействия [29]. Из ориентационной зависимости многих эффектов, обусловленных эффектом каналирования, а также из ориентационной зависимости интенсивности испускаемых каналированной частицей жестких фотонов [16, 17, 20–28] следует ориентационная зависимость квазифотогальванического и квазифотомагнитного токов, которую легко можно будет наблюдать в эксперименте. Уравнения (1)–(4) в случае воздействия ультракороткого импульса ориентированной частицы на кристалл описывают динамический отклик электронно-фононной системы кристалла на такое воздействие [30], вполне аналогичный отклику кристалла на пикосекундные возбуждающие световые импульсы [31, 32]. В случае прохождения через кристалл ультракороткого (например, пикосекундного) пространственно-модулированного импульса ориентированной частицы в кристалле будут наблюдаться динамические решетки на неравновесных носителях заряда, аналогичные решеткам, индуцируемым в кристаллах полем двух когерентных интерферирующих электромагнитных волн [33].