Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 2, стр. 202-214

Введение. Задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, является обобщением классической задачи о движении твердого тела под действием силы тяжести. Первые результаты в этой задаче принадлежат Д.Н. Горячеву [1]. Решая обратные задачи механики, он построил потенциальные функции, для которых имеют место первые интегралы уравнений движения (линейные и нелинейные). В частности, Д.Н. Горячев предполагал, что наряду с полиномиальными слагаемыми потенциальная функция содержит и сингулярные слагаемые по компоненте единичного вектора оси симметрии силового поля. Полученные им результаты были посвящены и случаям, в которых распределение масс тела удовлетворяло условиям Ковалевской и Горячева–Чаплыгина [1, 2]. Потенциал Д.Н. Горячева был обобщен Х.М. Яхьей [3, 4] в задаче о движении твердого тела под действием потенциальных и гироскопических сил. Обзор исследований по данному направлению в динамике твердого тела выполнен в полной мере в обзорной монографии А.В. Борисова, И.С. Мамаева [5], где представлен и обширный список публикаций по данной теме. Следует отметить и статью Х.М. Яхьи [6], которая, по-видимому, является одной из последних по данной проблеме. Таким образом, изучение задачи о движении твердого тела происходило, главным образом, в направлении, посвященном построению первых интегралов уравнений движения. Как отмечал П.В. Харламов [7], при построении частных решений уравнений динамики твердого тела особое значение имеет метод инвариантных соотношений (ИС) [8, 9], на основе которого можно построить и полную картину движения тела [10].

Применение метода построения частных решений уравнений движения твердого тела объясняется неинтегрируемостью их в квадратурах (была доказана неинтегрируемость уравнений Эйлера [11] и уравнений Кирхгофа [12]). Результаты, полученные по этой теме, изложены в книгах [13–15]. Известно, что кинематические уравнения Пуассона используются в многочисленных задачах динамики твердого тела [13], и поэтому их интегрирование при заданных функциях – компонентах угловой скорости – – представляет самостоятельную задачу. Было уделено основное внимание этой проблеме, и указаны многие типы ИС, на основании которых решение уравнений Пуассона получено в квадратурах [14, 15].

При построении частных решений уравнений динамики твердого тела следует учитывать отмеченные [16] особенности применения методов ИС, и результаты [17, 18], посвященные изучению особых решений уравнений Эйлера–Пуассона. Были рассмотрены [19] особые решения для обобщенной задачи.

Ниже исследуются три нелинейных ИС уравнений движения тела в потенциальном поле сил. Предполагается, что эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения. Получено дифференциальное уравнение относительно двух характерных функций, из которых одну можно считать произвольной функцией от третьей компоненты единичного вектора вертикали. Показано, что это дифференциальное уравнение имеет решение полиномиального типа, если главные моменты инерции тела удовлетворяют условию ${{A}_{1}} = {{A}_{3}}(n + 2)$, где $n \in N$, является новым и описывает целый класс твердых тел.

1. Постановка задачи. Запишем уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, в потенциальном поле сил [1]

где ${\mathbf{\omega }} = ({{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}})$ – вектор угловой скорости; ${\mathbf{\nu }} = ({{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},{{\nu }_{3}})$ – единичный вектор вертикали, $U({{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},{{\nu }_{3}})$ – силовая функция; $A = ({{A}_{{ij}}})$ – тензор инерции тела, точка над переменными ${\mathbf{\omega }}$, ${\mathbf{\nu }}$ обозначает производную по времени $t$.

Уравнения (1.1), (1.2) имеют первые интегралы

где $k$ и $E$ – произвольные постоянные.

Пусть ${{A}_{i}}$ ($i = \overline {1,3} $) – главные моменты инерции, тогда в скалярной форме из равенств (1.1)–(1.3) имеем

Зададим для системы (1.4)–(1.7) три ИС [20, 21]:

В системе (1.10) ${{\beta }_{1}}$ и ${{\beta }_{2}}$ – постоянные параметры, $\varepsilon ({{\nu }_{3}})$, $g({{\nu }_{3}})$ и $h({{\nu }_{3}})$ – дифференцируемые функции переменной ${{\nu }_{3}}$. Исследование ИС (1.10) будем вести в рамках решения обратной задачи, т. е. силовую функцию $U({{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},{{\nu }_{3}})$ будем находить с помощью соотношения (1.9):

Подставим величины (1.10) в уравнения (1.7):

Сформулируем постановку задачи: найти условия существования ИС (1.10) для системы (1.4)–(1.6), (1.12).

2. Интегрирование уравнений (1.12), (1.4)–(1.6). Рассмотрим вначале интегрирование уравнений (1.12). Они допускают геометрический интеграл $\nu _{1}^{2} + \nu _{2}^{2} + \nu _{3}^{2} = 1$ и интегральное соотношение [21]

где ${{c}_{0}}$ – произвольная постоянная.

В дальнейшем полагаем, что функция (2.2) вычисляется в конечной форме в классе известных функций. Выбор ИС (1.10) объясняется тем, что интегрирование уравнений (1.12) на ИС (1.10) можно выполнить в квадратурах. Действительно, полагая

где $\varphi $ – вспомогательная переменная, из геометрического интеграла $\nu _{1}^{2} + \nu _{2}^{2} + \nu _{3}^{2} = 1$ получим тождество. Если в равенстве (2.3) ${{\nu }_{3}} = \cos \theta $, то где $\theta $, $\varphi $ – углы Эйлера. Пусть т.е. постоянная ${{\varphi }_{0}}$ имеет значение ${\text{arctg}}\frac{{{{\beta }_{2}}}}{{{{\beta }_{1}}}}$. В силу равенств (2.4) и (2.5) соотношение (2.1) и третье уравнение системы (1.12) запишем в виде

Откуда следует, что функция ${{\nu }_{3}}(t)$ определяется путем обращения интеграла

Зависимость $\varphi (t)$ при ${{\nu }_{3}}(t)$ из (2.7) найдем по первой формуле системы (2.6):

Таким образом, при известной функции $F({{\nu }_{3}})$ решение уравнений (1.12) характеризуется соотношениями (2.3), (2.7) и (2.8).

Рассмотрим интегрирование уравнений (1.4)–(1.6). Вид силовой функции (1.11) и структура ИС (2.1) показывают, что дальнейшее изучение условий существования ИС (1.10) целесообразно вести в предположении, что моменты инерции тела удовлетворяют условию

которое принято ранее [21]. В этом случае силовая функция (1.11) примет вид

Здесь вместо суммы $\nu _{1}^{2} + \nu _{2}^{2}$ использована разность $1 - \nu _{3}^{2}$, что возможно в силу полученного ранее результата [16]. Имеем равенства

где штрихом обозначена производная по переменной ${{\nu }_{3}}$.

Подставим в уравнение (1.6) компоненту ${{\omega }_{3}}$ из (1.10) и учтем равенства (2.9) и (2.11). Тогда функцию $\varepsilon ({{\nu }_{3}})$ можно выразить через $h'({{\nu }_{3}})$:

В дальнейшем будем полагать, что $h({{\nu }_{3}}) \ne {\text{const}}$, так как в противном случае из ИС (1.10) получим тривиальный случай маятникового движения тела. ИС (1.10) на основании равенства (2.12) примут вид

Частные производные (2.11) в силу равенства (2.12) запишутся так

Преобразуем интеграл моментов из (1.8) и соотношение (2.1) с помощью формул (1.10), (2.9) и (2.12). Введя обозначения

получим

Внося выражение (2.15) в уравнение (2.16) и дифференцируя полученное уравнение по ${{\nu }_{3}}$, получим дифференциальное уравнение

относительно двух функций $h({{\nu }_{3}})$ и $g({{\nu }_{3}})$.

Запишем уравнения (1.12) при условии (2.12):

С помощью формулы (2.15), третьего уравнения (2.18) зависимость ${{\nu }_{3}}(t)$ можно определять из интегрального соотношения

где

Рассмотрим уравнения (1.4) и (1.5) при условии ${{A}_{2}} = {{A}_{1}}$. Их целесообразно изучать в следующей независимой линейной комбинации:

При использовании уравнения (2.21) выражение ${{\nu }_{1}}\frac{{\partial U}}{{\partial {{\nu }_{2}}}} - {{\nu }_{2}}\frac{{\partial U}}{{\partial {{\nu }_{1}}}}$ будем заменять левой частью уравнения (1.6), а выражение ${{\omega }_{2}}{{\nu }_{1}} - {{\omega }_{1}}{{\nu }_{2}}$ – правой частью третьего уравнения системы (2.18). В результате такого подхода из равенства (2.21) получим уравнение (2.17).

Если в уравнение (2.22) подставим ${{\dot {\omega }}_{1}}$ и ${{\dot {\omega }}_{2}}$ из уравнений (1.4) и (1.5), ${{\omega }_{j}}$ $(j = \overline {1,3} )$ из (1.10), $\frac{{\partial U}}{{\partial {{\nu }_{j}}}}$ $(j = \overline {1,3} )$ из (2.14) и учтем (2.17), то получим тождество.

Доказано утверждение: Условиями существования ИС (1.10) служат условия действительных решений уравнений (2.12) и (2.17). Из уравнения (2.12) находим функцию $\varepsilon ({{\nu }_{3}})$, уравнение (2.17) служит дифференциальным уравнением относительно функций $h({{\nu }_{3}})$ и $g({{\nu }_{3}})$. Если функция $h({{\nu }_{3}})$ задана, то функция $g({{\nu }_{3}})$ определяется по формуле

где $\sigma _{0}^{{}}$ – произвольная постоянная.

Отметим, что ${{\Phi }_{1}}({{\nu }_{3}}) \ne 0$, так как в противном случае из формул (2.15) и (2.16) следуют условия, которые противоречат друг другу.

3. Прецессионные движения тела. Рассмотрим соотношение (2.16); положим

Уравнение (3.1) имеет общее решение

где $\mu _{0}^{{}}$ – произвольная постоянная. В силу равенства (3.1) соотношение (2.16) упрощается:

Обозначим через ${\mathbf{\beta }} = ({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},0)$, тогда в векторном виде из соотношения (3.3) следует

Условие (3.4) описывает прецессионное движение тела [14] (угол между векторами ${\mathbf{\beta }}$ и ${\mathbf{\nu }}$ постоянен в течение всего времени). Для определения типа прецессии из уравнения (2.15), используя решение (3.2), получим

Зависимость ${{\nu }_{3}}(t)$ получим из равенства (2.7), используя равенство $F({{\nu }_{3}}) = 0$ и функцию (3.5). Тогда

где полагаем $\kappa _{0}^{2} > c_{0}^{2}$ (это неравенство ограничивает величину постоянной $c_{0}^{{}}$). Тип прецессии (3.4) можно определить, представив соотношения (2.13) в векторном виде т.е. прецессионное движение тела является прецессией общего вида [14].

В частном случае $\alpha _{0}^{{}} = 1$ (эллипсоид инерции тела – сфера) функции $h({{\nu }_{3}})$ и $g({{\nu }_{3}})$ из формул (3.2) и (3.5) упрощаются:

Из равенств (3.6) и (3.8) следует, что $\nu _{3}^{{}}(t)$ – элементарная функция времени.

В силу формул (2.12), (3.2) и (3.5) силовая функция (2.10) содержит сингулярные слагаемые по переменной $\nu _{3}^{{}}$ (были рассмотрены в [2, 4, 5] аналоги таких функций). Поэтому полученный в этом разделе результат для классических задач динамики твердого тела представляет лишь теоретический интерес. Однако для обобщенных задач механики они имеют определенное значение. Например, при рассмотрении гироскопов Горячева–Чаплыгина и Ковалевской в квантовой механике И.В. Комаров и В.Б. Кузнецов [22, 23] указали некоторую квантово-механическую интерпретацию сингулярного слагаемого в силовой функции.

4. Случай $g({{\nu }_{3}}) = g_{0}^{{}} = {\text{const}}$. Положим в уравнении (2.17) $g({{\nu }_{3}}) = g_{0}^{{}}$. Тогда получим

Уравнение (4.1) допускает решения полиномиального типа:

В примере (4.2) ИС (1.10) таковы: т.е. уравнения (1.4)–(1.7) допускают три линейных ИС, где ${{h}_{1}}$ и ${{g}_{0}}$ – постоянные. В случае (4.2), (4.4) формула (2.7) примет вид

При этом принято условие $k = 0$. Действительности функции $\nu _{3}^{{}}(t)$ можно добиться, положив, например, $9\kappa _{0}^{2}g_{0}^{2}$ – $h_{1}^{2} > 0$. Тем самым показано, что решение (4.4), ν₁ = = $\sqrt {1 - \nu _{3}^{2}} \sin \phi $, ${{\nu }_{2}} = \sqrt {1 - \nu _{3}^{2}} \cos \varphi $ действительно.

Отметим, что в случае (4.4) силовая функция имеет второй порядок, т.е. уравнения (1.1) и (1.2) описывают движение твердого тела в центральном ньютоновском поле сил. В динамике твердого тела задачу об исследовании трех инвариантных соотношений рассматривали С.А. Чаплыгин, П.В. Харламов, Х.М. Яхья, Г.В. Горр, Е.К. Узбек (см. обзоры [13–15]). Однако изучаемый здесь случай ${{A}_{1}} = {{A}_{2}} = 3{{A}_{3}}$ в этих исследованиях не отмечается.

Формулы (4.2) и (4.3) показывают, какой в общем случае характер решения уравнения (4.1) в классе полиномиальных функций

Здесь $n \ne 0$ в силу предположения, принятого ранее.

Подставив значение $h({{\nu }_{3}})$ (4.5) в уравнение (4.1), получим следующие свойства чисел $h_{i}^{{}}$ ($i = \overline {0,n} $). Главные моменты инерции ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{3}}$ должны удовлетворять условию

Если $n = 2m$ ($m \in N$), то ${{h}_{n}}$ – произвольное число, все члены разложения с нечетной степенью равны нулю. Если $n = 2m - 1$, $m \in N$, то ${{h}_{n}}$ – произвольное число, все члены разложения (4.5) с четной степенью равны нулю. Для последних членов имеют место равенства

Остальные коэффициенты многочлена (4.5) должны удовлетворять системе уравнений

Разрешимость условий (4.7) и (4.8), налагаемых на коэффициенты функций ${{h}_{n}}({{\nu }_{3}})$ $(n \in N)$, следует из последовательного использования уравнений (4.7) и (4.8). При этом в силу равенства (4.6) условия треугольника, налагаемые на главные моменты инерции выполняются. Действительности функции ${{\nu }_{3}}(t)$ в соотношении (2.19) можно добиться выбором постоянной $k$: если $n = 2m$ то полагаем $k_{{}}^{2} < A_{1}^{2}g_{0}^{2}\kappa _{0}^{2}$; если $n = 2m$ – 1, то полагаем $(k + A_{3}^{{}}h_{1}^{{}})_{{}}^{2}$ < $A_{1}^{2}g_{0}^{{}}\kappa _{0}^{2}$.

Наряду с линейными ИС (4.4) имеют место и нелинейные ИС, и первые интегралы. Например, в примере (4.3) ИС (1.10) таковы

В случае (4.9) уравнения (2.18) имеют первый интеграл

который имеет третий порядок относительно ${{\nu }_{3}}$.

5. Случай $g({{\nu }_{3}}) \ne const$. Рассмотрим уравнение (2.17). Это – дифференциальное уравнение относительно двух функций: $h({{\nu }_{3}})$ и $g({{\nu }_{3}})$. Если функция $h({{\nu }_{3}})$ задана, то функцию $g({{\nu }_{3}})$ можно определить по формулам (2.23) и (2.24). Результаты разд. 4 дают основание для изучения полиномиальных по ${{\nu }_{3}}$ решений уравнения (2.17). Пусть в этом уравнении выполняется условие $k = 0$, а функции $h({{\nu }_{3}})$ и $g({{\nu }_{3}})$ – одночлены:

где $h_{n}^{{}}$, $g_{{n - 1}}^{{}}$ – постоянные параметры. Если главные моменты тела ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{3}}$ удовлетворяют равенству то уравнение (2.17) при наличии равенств (5.1) становится тождеством (случай $n = 1$ рассмотрен в разд. 4). В силу соотношений (5.1) и (5.2) ИС (2.13) примут вид

На этом решении уравнения Пуассона (2.18) запишем так:

Уравнения (5.4) имеют ИС

($c_{*}^{{}}$ – фиксированная постоянная)

Обратимся к формуле (2.19). В силу равенств (5.1) функция ${{F}_{*}}({{\nu }_{3}})$ (2.20) принимает значение

откуда следует, что для действительности решения (5.3), ${{\nu }_{j}} = {{\nu }_{j}}(t)$ ($j = 1,2$), ${{\nu }_{3}}(t)$, достаточно потребовать выполнения неравенства которое показывает выбор параметров $h_{n}^{{}}$, $g_{{n - 1}}^{{}}$, если заданы $\kappa _{0}^{{}}$ и $n$.

Условие (5.2), налагаемое на моменты инерции, с учетом равенства ${{A}_{2}} = {{A}_{1}}$ запишем в форме

Если $n = 2$, то из условия (5.8) получим условие Горячева–Чаплыгина классической задачи. Однако решение (5.1) для уравнений Эйлера–Пуассона не имеет смысла в силу структуры силовой функции. В разд. 4 при рассмотрении в случае $g({{\nu }_{3}}) = {\text{const}}$ решений (4.5) получено условие (4.6). Полагая в условиях (4.6) и (5.8) $n = 1,2,\;...$, получим для величины $n_{{}}^{2} + n + 1$ значения: 3, 7, 13, 21, …, а для выражения $n + 2$ – значения 3, 4, 5, 6, …, т.е. последнее из указанных множеств натуральных чисел содержит первое множество. Однако структура ИС (1.10) в случаях (4.6) и (5.8) различна. При этом следует иметь в виду, что $n \ne 0$ в силу предположения $h({{\nu }_{3}}) \ne {\text{const}}$.

Решение (5.1) уравнения (2.17) может быть обобщено на основании соотношений (2.23) и (2.24). Приведем следующий пример:

Полагая $k = 0$, из соотношений (2.23) и (2.24) получим

где $\mu _{0}^{{}}$ – постоянная. Из выражения (5.10) при наличии условия (5.2) следует рассмотренный случай (5.1). Показатель, зависящий от ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{3}}$, положителен при ${{\alpha }_{0}}$ = = $\frac{{{{A}_{1}}}}{{{{A}_{3}}}} < n + 2$. Для выполнения неравенств треугольника связывающих ${{A}_{j}}$ $(j = \overline {1,3} )$ необходимо полагать ${{\alpha }_{0}} > \frac{1}{2}$.

6. Случай постоянства модуля момента количества движения. Этот случай рассмотрен ранее [21]. Однако тщательный анализ показывает, что результаты статьи [21] требуют существенной доработки. Для этой цели рассмотрим уравнение (1.1). Зададим ИС

где $c$ – постоянная. В случае (6.1) модуль момента количества движения тела постоянен: ${\text{|}}A{\mathbf{\omega }}{\text{|}} = c$. Умножим скалярно обе части уравнения (1.1) на вектор $A{\mathbf{\omega }}$:

Если имеет место ИС (6.1), то должно выполняться равенство

и наоборот: если силовая функция $U = U\left( {{{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},{{\nu }_{3}}} \right)$ удовлетворяет равенству (6.3), то выполняется ИС (6.1). Неточность выводов [21] состоит в том, что не сделана проверка равенства (6.3). Особенно важно данное обстоятельство при исследовании решений уравнений (1.1) и (1.2) в рамках обратной задачи механики, так как в этом случае силовая функция $U$ из (6.2) находится с помощью заданных ИС.

Следуя принятому ранее подходу [21], рассмотрим ИС в виде (1.10) и положим ${{A}_{2}} = {{A}_{1}}$. Подставим в равенство (6.3) значения (2.13) и величины (2.14). Тогда получим уравнение относительно $g_{{}}^{2}({{\nu }_{3}})$

Непосредственной подстановкой можно показать, что оно имеет решение

Если в этом решении произвольную постоянную $c_{*}^{{}}$ выбрать так, что $c_{*}^{{}} = c_{{}}^{2}$, где $c$ – постоянная из (6.1), то из равенства (6.5) следует ИС (6.1), т.е. не в общем случае решение уравнения (6.5) приводится к ИС (6.1), что ранее [21] не отмечено.

Подставим выражение (6.5) в уравнение (2.17):

где вместо $c_{{}}^{2}$ введен параметр ${{\beta }_{0}}$: $c_{{}}^{2} = A_{3}^{2}\beta _{0}^{2}$. Уравнение (6.6) служит дифференциальным уравнением относительно функции $h({{\nu }_{3}})$, после нахождения которой функция $g({{\nu }_{3}})$ находится из равенства (6.5).

Сведение задачи интегрирования уравнений (1.1) и (1.2) на ИС (2.13), (6.1) будем проводить с использованием соотношений (2.15), (2.19) и (2.20).

В дополнение к равенствам (2.3), запишем основные формулы

где

По второй формуле (6.7) путем обращения интеграла определяется функция ${{\nu }_{3}}(t)$, по первой формуле (6.7) – $\varphi = \varphi (t)$, а из равенств (2.3) – функции ${{\nu }_{1}} = {{\nu }_{1}}(t)$ и ${{\nu }_{2}} = {{\nu }_{2}}(t)$. При этом должно выполняться условие неотрицательности функции (6.8)

Например, следует исключить случай ${{\beta }_{0}} = 0$, $k = 0$.

7. Интегрирование уравнения (6.6). Интегрирование уравнения (6.6) будем проводить при условии (6.9). Также необходимо учитывать вид функции $g_{{}}^{2}({{\nu }_{3}})$ (6.5) при ${{c}_{{\text{*}}}}$ = $A_{3}^{2}\beta _{0}^{2}$. Для этого представим равенство (6.5) иначе:

На основании неравенства $1 - \nu _{3}^{2} > 0$ получим, что при условии (6.9) правая часть равенства (7.1) положительна, и поэтому функция $g({{\nu }_{3}})$ в этом случае действительна.

Введение новых переменных

приводит уравнение (6.6) к следующей динамической системе:

Докажем существование решения этой системы. Выберем начальные данные (при ${{\nu }_{3}} = \nu _{3}^{{(0)}}$): ${{y}_{1}}(\nu _{3}^{{(0)}})$ и ${{y}_{2}}(\nu _{3}^{{(0)}})$ так, чтобы выполнялись условия

При условиях (7.3) сохранен геометрический смысл переменной ${{\nu }_{3}}$, а также выполнены требования действительности функции $g({{\nu }_{3}})$ из равенства (7.1) и второй функции ${{\nu }_{3}}(t)$ из формулы (6.7). Кроме этого, существуют непрерывные частные производные правых частей системы (7.2) по переменным ${{y}_{j}}$ ($j = \overline {1,3} $). Таким образом, система (7.2) допускает единственное решение ${{y}_{j}}({{\nu }_{3}})$ $(j = \overline {1,3} )$ в области $\nu _{3}^{{}}$ ∈ $[\nu _{3}^{{(0)}}$, $\nu _{3}^{{(0)}} + {{\alpha }_{0}}]$, где ${{\alpha }_{0}}$ – постоянная [24]. Следовательно, система дифференциальных уравнений (1.1), (1.2) допускает ИС (1.10), (6.1). Зависимость ${{\nu }_{3}}(t)$ устанавливается путем обращения интеграла из второй формулы (6.7).

8. Интерпретация полученных результатов. В результате решения обратной задачи получены условия существования трех нелинейных ИС уравнений движения динамически симметричного тела в потенциальном силовом поле; установлены два дифференциальных уравнения относительно заданных функций, характеризующих исходные ИС. Приведены примеры полиномиальных по вспомогательной переменной решений редуцированных уравнений. Особое значение имеют условия, налагаемые на моменты инерции

которые в данной статье позволяют построить новые решения уравнений (1.4)–(1.7) при $n \in N$. Если в первом условии положить $n = 2$, то получим условие Горячева–Чаплыгина, рассмотренное в классической задаче о движении тяжелого твердого тела [14]. Но построенное здесь решение не является аналогом решения Горячева–Чаплыгина, так как для них силовая функция $U({{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},{{\nu }_{3}})$ не совпадает с силовой функцией для уравнений Эйлера–Пуассона. При $n > 2$ первое условие (8.1) и при $n \in N$ второе условие – новые условия в динамике твердого тела. Формально первое условие можно рассматривать и при $n = 0$, т.е. можно получить и условие Ковалевской. Но при этом построенные здесь решения теряют смысл.

Рассмотрена задача об исследовании ИС уравнений движения тела, которые характеризуют постоянство модуля момента количества движения тела. Найдено дифференциальное уравнение относительно третьей компоненты вектора угловой скорости. Показано, что результат, полученный ранее [21], требует некоторого уточнения на значение параметра, который характеризует указанное выше ИС. Кроме этого, установлено, что задача [21] имеет решение только в случае, когда силовая функция, характеризующаяся заданными ИС, будет формировать первый интеграл исходных уравнений (это свойство ранее [21] не проверялось).

Полученный результат не может быть установлен с помощью метода, предложенного ранее [16], так как, согласно этому методу, должно выполняться условие

которое в силу соотношений (1.10) противоречит равенству (2.12), в связи с тем, что интеграл моментов (второе соотношение (1.8)) не обращается в тождество на ИС (1.10), (2.12). Лишь при выполнении этого свойства имеет место равенство (8.2).