Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 2, стр. 175-201

Была иссследована устойчивость положений равновесия гамильтоновых систем при наличии однократного параметрического резонанса [1]. Изучены периодические и условно-периодические движения близкой к автономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы в случае параметрического резонанса [2–4]. Рассмотрены резонансные периодические движения в системе с двумя степеням свободы при однократном параметрическом резонансе основного типа [5]. Изучались случаи кратных параметрических резонансов в близких к автономным линейных гамильтоновых системах [6–8] (см. также монографию [9]), установлено существование нескольких областей параметрического резонанса, выходящих из порождающей точки. Эти области были построены при исследовании ряда задач динамики спутника (моделируемого твердым телом) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Были рассмотрены периодические движения близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, их бифуркации и устойчивость в случаях, когда одна из частот малых колебаний невозмущенной системы равна целому или полуцелому числу, а другая равна нулю [10].

В работе для аналогичных систем исследуется другой случай кратного параметрического резонанса, когда одна из частот малых линейных колебаний невозмущенной системы целое, а другая полуцелое число. Описаны периодичские движения системы, исследована их бифуркация и устойчивость в линейном приближении. Исследованы резонансные периодические движения динамически симметричного спутника в окрестности стационарного вращения на слабоэллиптической орбите.

1. Постановка задачи. Рассмотрим движения близкой к автономной, $2\pi $-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Пусть гамильтониан системы зависит от малого параметра $\varepsilon $ ($0 < \varepsilon \ll 1$) и параметров $\alpha $ и $\beta $, меняющихся в некотором диапазоне, и аналитичен по ним. При достаточно малых значениях $\varepsilon $ представим гамильтониан в виде ряда

где ${{q}_{j}}$ и ${{p}_{j}}$ ($j = 1,2$) – канонически сопряженные координаты и импульсы.

Будем считать, что начало координат ${{q}_{j}} = {{p}_{j}} = 0$ ($j = 1,2$) фазового пространства – положение равновесия системы, в его окрестности гамильтониан (1.1) аналитичен по ${{q}_{j}}$, ${{p}_{j}}$, а функции ${{H}^{{(k)}}}$ записываются в виде рядов, содержащих слагаемые четных степеней по координатам и импульсам:

Здесь ${{H}_{{lk}}}$ ($l = 2,4,\; \ldots $; $k = 0,1,2,\; \ldots $) – совокупности слагаемых степени $l$ по ${{q}_{j}}$ и ${{p}_{j}}$ с постоянными (при $k = 0$) или $2\pi $-периодическими по времени (при $k = 1,2,\; \ldots $) коэффициентами, а многоточие означает совокупность слагаемых не менее шестой степени по ${{q}_{j}}$ и ${{p}_{j}}$.

Пусть при $\varepsilon = 0$ имеется область изменения параметров $\alpha $ и $\beta $, в которой рассматриваемое положение равновесия устойчиво в линейном приближении, корни $ \pm i{{\omega }_{j}}(\alpha ,\beta )$ ($j = 1,2$) характеристического многочлена линеаризованных уравнений возмущенного движения чисто мнимые. Пусть, кроме того, для некоторых значений – $\alpha = {{\alpha }_{{\text{*}}}}$ и $\beta = {{\beta }_{{\text{*}}}}$ из этой области одна из частот ${{\omega }_{j}}$ – целое (отличное от нуля), а другая – полуцелое число и, таким образом, в системе реализуется двойной параметрический резонанс. При достаточно малых, но отличных от нуля значениях $\varepsilon $ в окрестности резонансной точки (0, ${{\alpha }_{{\text{*}}}}$, ${{\beta }_{{\text{*}}}}$) трехмерного пространства параметров появляются области неустойчивости (области параметрического резонанса).

Цель данной работы – решение задачи о существовании, бифуркациях и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений системы с гамильтонианом (1.1), (1.2) в малой окрестности точки (0, ${{\alpha }_{{\text{*}}}}$, ${{\beta }_{{\text{*}}}}$) кратного параметрического резонанса рассматриваемого типа. Исследование будет проводиться в сечениях $\beta = {{\beta }_{{\text{*}}}}$ трехмерного пространства параметров при достаточно малых, но отличных от нуля значениях $\varepsilon $ и близких к резонансным значениям $\alpha $.

В качестве приложения будут построены (в соответствующих сечениях трехмерного пространства параметров) резонансные периодические движения динамически симметричного спутника в окрестности его цилиндрической прецессии на слабоэллиптической орбите. Для одной из резонансных точек предложенный в теории алгоритм будет обобщен и применен при рассмотреннии трехмерной окрестности этой точки. Будет проведен полный, линейный и нелинейный, анализ устойчивости найденных периодических движений спутника.

2. Преобразование гамильтониана. Модельные гамильтонианы. Пусть при $\varepsilon = 0$, α = = ${{\alpha }_{{\text{*}}}}$ и $\beta = {{\beta }_{{\text{*}}}}$ в системе с гамильтонианом (1.1), (1.2) выполнены соотношения ${{\omega }_{1}} = n$, $2{{\omega }_{2}} = m$, где $n$ – целое число и $m$ – целое нечетное число.

Будем рассматривать движения системы в малой окрестности резонансной точки (0, ${{\alpha }_{{\text{*}}}}$, ${{\beta }_{{\text{*}}}}$) при $\beta = {{\beta }_{{\text{*}}}}$, полагая

Тогда гамильтониан (1.1), (1.2) может быть переписан в виде

где коэффициенты ${{H}_{{20}}}$ и ${{H}_{{40}}}$ – функции аргументов (${{q}_{j}}$, ${{p}_{j}}$, ${{\alpha }_{{\text{*}}}}$, ${{\beta }_{{\text{*}}}}$), а коэффициенты ${{H}_{{21}}}$ и ${{H}_{{22}}}$ – аргументов (${{q}_{j}}$, ${{p}_{j}}$, $t$, ${{\alpha }_{{\text{*}}}}$, ${{\beta }_{{\text{*}}}}$). Штрих означает дифференцирование по параметру $\alpha $. Будем полагать, что $\overline {{{H}_{{21}}}(t,{{\alpha }_{{\text{*}}}},{{\beta }_{{\text{*}}}})} $ = 0; здесь и далее черта означает среднее за период (по времени) значение стоящей под ней функции. Отметим, что указанное условие довольно часто выполняется в близких к автономным гамильтоновых системах, исследуемых в классической и небесной механике.

2.1. Преобразование гамильтониана. Осуществим ряд канонических преобразований, упрощающих структуру гамильтониана (2.1), (2.2) в слагаемых до четвертого порядка включительно по ${{q}_{j}}$, ${{p}_{j}}$ ($j = 1,2$) с учетом имеющихся резонансов.

Сначала нормализуем автономную (при $\varepsilon = 0$) часть гамильтониана (2.1), (2.2). Оставляя за переменными прежние обозначения, запишем результат в виде (${{c}_{{ij}}}$ = const)

Далее упростим структуру квадратичной части гамильтониана при $\varepsilon \ne 0$. Результат будем представлять в виде

Рассмотрим слагаемые порядка $\varepsilon $. Пусть после нормализации автономной части гамильтониана функции $H_{{20}}^{'}$ и ${{H}_{{21}}}$ из (2.2) преобразуются к виду

где ${{a}_{k}}$ – некоторые постоянные коэффициенты, а ${{b}_{k}}(t)$ – $2\pi $-периодические функции времени ($\overline {{{b}_{k}}(t)} = 0$).

Осуществим унивалентное, $4\pi $-периодическое по времени преобразование поворота по обеим парам переменных, определяемое формулами

При этом в гамильтониане (2.3) исчезнет квадратичная часть ${{H}_{{20}}}$, а форма ${{H}_{{40}}}$ (2.4) с точностью до обозначений переменных не изменится.

Сделаем затем линейное, близкое к тождественному (и отличающееся от него слагаемыми порядка $\varepsilon $), $4\pi $-периодическое по времени каноническое преобразование ${{x}_{j}}$, ${{X}_{j}} \to {{\tilde {x}}_{j}}$, ${{\tilde {X}}_{j}}$, уничтожающее время $t$ в слагаемых порядка $\varepsilon $ в квадратичной части гамильтониана. В результате в квадратичной части, вместо исходных десяти, останется шесть слагаемых, разбитых на две группы, зависящие от своей пары сопряженных переменных:

где, как показывают расчеты,

Проведем дальнейшее упрощение квадратичной формы (2.5), осуществив еще одно преобразоование поворота по каждой паре переменных, описываемое соотношениями

Углы ${{\varphi }_{{0j}}}$ задаются равенствами

Предполагается, что $\beta {\text{'}} \ne 0$ и $\beta {\text{''}} \ne 0$.

В результате получаем

Тривиальное положение равновесия линейной системы с гамильтонианом (2.7) устойчиво при выполнении условий

и неустойчиво при изменении на противоположный знак хотя бы в одном из неравенств.

Области устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров $\varepsilon $, $\alpha $ показаны в этом случае на фиг. 1а. Здесь и далее области неустойчивости тривиального равновесия закрашены серым или, при наложении двух областей неустойчивости, темно-серым цветом, области устойчивости (в линейном приближении) не закрашены. Границы внешней и внутренней областей неустойчивости на фиг. 1а задаются соответственно уравнениями

Если обе величины $\mu _{1}^{'}$ и $\mu _{1}^{{''}}$ отличны от нуля, то процесс нормализации квадратичной части гамильтониана заканчивается.

В случаях, когда квадратичная форма ${{H}_{{21}}}$ имеет специальную структуру, величины $\beta {\text{'}}$ и $\beta {\text{''}}$ могут обратиться в нуль. Пусть, например, в разложениях функций ${{b}_{k}}(t)$ в ряды Фурье содержатся только гармоники $sin(2k + 1)t$ и $cos(2k + 1)t$, где $k$ – целые числа. Тогда, как следует из формул (2.6), ${{\beta }_{1}} = {{\beta }_{2}} = 0$, и значит, $\beta {\text{'}} = 0$. В этом случае нормализованная квадратичная часть ${{K}_{{21}}}$ имееет вид

и внутренняя область неустойчивости на фиг. 1а при рассмотрении первого приближения исчезает.

Если, кроме того, в разложении функций ${{b}_{2}}(t)$, ${{b}_{4}}(t)$ и ${{b}_{5}}(t)$ не содержатся гармоники $cosmt$ и $sinmt$, то $\beta {\text{''}} = 0$, и исчезает (в данном приближении) также и вторая область неустойчивости, а функция ${{K}_{{21}}}$ принимает вид

В этих случаях полагаем ${{\mu }_{1}} = 0$; для того чтобы выявить расщепление в уравнениях границ областей неустойчивости, рассматриваем следующие приближения по $\varepsilon $.

На этапе второго приближения сначала, как и ранее, уничтожаем время в слагаемых $O({{\varepsilon }^{2}})$ квадратичной части гамильтониана, а затем, при необходимости, делаем преобразования поворота. В случае, отвечающем соотношению (2.8), получаем в итоге (${{\eta }_{j}}$ – постоянные, а за переменными оставляем прежние обозначения)

Этому случаю соответствует фиг. 1б, уравнения границ областей параметрического резонанса имеют вид ($\mu _{2}^{'} = {{\eta }_{1}}{\text{/}}{{\gamma }_{1}}$, $\mu _{2}^{{{\text{''}}}} = {{\eta }_{2}}{\text{/}}{{\gamma }_{1}}$)

Если в соотношении (2.11) ${{\eta }_{1}} = {{\eta }_{2}}$, то $\mu _{2}^{'} = \mu _{2}^{{''}}$, и вторая область неустойчивости на этом этапе еще не определяется. Полагая ${{\mu }_{2}} = \mu _{2}^{'}$, проводим нормализацию квадратичной части в слагаемых порядка ${{\varepsilon }^{3}}$. Получаем в этом случае (${{\xi }_{j}}$ – постоянные, за переменными оставлены прежние обозначения)

Границы второй области неустойчивости задаются соотношениями

Рассмотрим теперь случай $\mu _{1}^{'} = \mu _{1}^{{''}} = 0$, отвечающий квадратичной форме (2.9). При ${{\mu }_{1}} = 0$ имеем ${{K}_{{21}}} = 0$, а нормализованная квадратичная часть ${{K}_{{22}}}$ определяется выражением (2.11). При ${{\eta }_{1}} \ne {{\eta }_{2}}$ и ${{\eta }_{3}} \ne {{\eta }_{4}}$ в этом приближении получаем две области неустойчивости, которые могут располагаться одна внутри другой (аналогично фиг. 1а), либо частично пересекаться, либо не иметь общих точек.

В случае выполнения одного из равенств ${{\eta }_{1}} = {{\eta }_{2}}$ или ${{\eta }_{3}} = {{\eta }_{4}}$ в данном приближении определяется только одна область параметричекого резонанса. При ${{\eta }_{3}} = {{\eta }_{4}}$ ее границы задаются вторым и третьим соотношениями в (2.12). В этом случае для ${{\mu }_{2}} = {{\hat {\mu }}_{2}}$ = ${{{{\eta }_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{3}}} {{{\gamma }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\gamma }_{2}}}}$ проводится нормализация квадратичной части в слагаемых третьей степени по $\varepsilon $. Получаем

а форма ${{K}_{{23}}}$ выписана в (2.14). Отсюда находим уравнения границ второй области параметрического резонанса:

Если величина ${{\hat {\mu }}_{2}}$ находится в интервале между $\mu _{2}^{'}$ и $\mu _{2}^{{''}}$, то вторая область лежит внутри первой (фиг. 1в), а если вне этого интервала, то две области параметрического резонанса не пересекаются (фиг. 1а).

В случае, когда в соотношении (2.11) выполнены оба равенства ${{\eta }_{1}} = {{\eta }_{2}}$ и ${{\eta }_{3}} = {{\eta }_{4}}$, области параметрического резонанса могут проявиться в слагаемых не менее третьего порядка по $\varepsilon $. Границы одной из них (при ${{\mu }_{2}} = {{\hat {\mu }}_{2}}$) определяются соотноошениями (2.16), а границы другой (при ${{\mu }_{2}} = {{\tilde {\mu }}_{2}}$ = ${{{{\eta }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{1}}} {{{\gamma }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\gamma }_{1}}}}$) – аналогичными соотношениями ($\tilde {\mu }_{3}^{'}$, $\tilde {\mu }_{3}^{{''}}$ – постоянные)

Если ${{\hat {\mu }}_{2}} = {{\tilde {\mu }}_{2}}$, то для этого общего значения параметра μ₂ имеем ${{K}_{{22}}} = 0$, а нормализованная форма ${{K}_{{23}}}$ определена равенством (2.14). Процесс нормализации заканчивается, если в этом случае выделяются обе области неустойчивости; если это не так, то рассматриваются следующие приближения по $\varepsilon $.

Замечание. Для всех рассмотренных случаев предполагалось, что величины $\beta {\text{'}}$ и $\beta {\text{''}}$ имеют порядок единицы (по сравнению с ε). Случаи, когда величины $\beta {\text{'}}$ и/или $\beta {\text{''}}$ малы (вместе с ε), требуют дополнительного исследования; в данной работе такое исследование не проводится.

2.2. Модельные гамильтонианы. Нормализованный гамильтониан возмущенного движения, полученный в результате преобразований, описанных в разд. 2.1, представляется в виде

Квадратичные формы ${{K}_{{2l}}}$ вычисляются по формулам из разд. 2.1, а многоточие означает совокупность слагаемых не менее шестой степени по ${{y}_{j}}$, ${{Y}_{j}}$ с $4\pi $-периодическими по времени коэффициентами.

Наименьший порядок $k$ нормализованных слагаемых квадратичной части (для которого в окрестности резонансной точки обнаруживаются обе области неустойчивости тривиального равновесия системы) определяется структурой периодических слагаемых исходного гамильтониана возмущенного движения и рассматриваемым резонансным соотношением. Далее считаем, что $k \leqslant 3$. Сценарием $k + l$ будем называть случай, когда области неустойчивости проявляются в слагаемых порядков ${{\varepsilon }^{k}}$ и ${{\varepsilon }^{l}}$ ($l \leqslant k$).

Случай $k = 1$. При $k = 1$ (сценарий 1 + 1) перейдем в малую, порядка ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$, окрестность начала координат фазового пространства, полагая

и введем новую независимую переменную ${{\tau }_{1}} = \varepsilon t$. Тогда гамильтониан (2.17) может быть переписан в виде

Здесь и далее ${{\Gamma }_{{2l}}}$ и ${{\Gamma }_{{40}}}$ – это формы ${{K}_{{2l}}}$ и ${{K}_{{40}}}$ из соотношений (2.17), в которых сделана замена ${{y}_{j}} = {{z}_{j}}$, ${{Y}_{j}} = {{Z}_{j}}$ ($j = 1,2$). В равенствах (2.18) выражение для ${{\Gamma }_{{21}}}$ определяется из соотношения (2.7). Приближенный гамильтониан ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ будем называть модельным для отвечающего ему резонансного случая. Слагаемое $O(\varepsilon )$ в равенствах (2.18) периодично по ${{\tau }_{1}}$ (с периодом ${{T}_{1}} = 4\pi \varepsilon $) и в достаточно малой окрестности начала координат фазового пространства аналитично по переменным ${{z}_{j}}$, ${{Z}_{j}}$ ($j = 1,2$).

Случай $k = 2$. Если $k = 2$, то при ${{\mu }_{1}} \ne 0$ исследование также проводится ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$-окрестности начала координат и гамильтониан приводится к виду (2.18), в котором ${{\Gamma }_{{21}}}$ вычисляется при помощи формул (2.8) для сценария 2 + 1 или (2.9) для сценария 2 + 2.

При ${{\mu }_{1}} = 0$ нормализованная квадратичная часть в слагаемых первого и второго порядков по $\varepsilon $ определяется формулами (2.10) и (2.11). Перейдем в $\varepsilon $-окрестность начала координат, полагая

Если в равенстве (2.10) ${{K}_{{21}}} \ne 0$ (сценарий 2 + 1), то, вводя новую независимую переменную ${{\tau }_{1}}$, получим гамильтониан вида

Если же ${{K}_{{21}}} = 0$ (сценарий 2 + 2), то вводим ${{\tau }_{2}} = {{\varepsilon }^{2}}t$. Тогда имеем

Модельными для данного случая будут гамильтонианы ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ (при ${{\mu }_{1}} \ne 0$) и ${{\Gamma }^{{(21)}}}$ или ${{\Gamma }^{{(22)}}}$ (при ${{\mu }_{1}} = 0$). Слагаемые $O({{\varepsilon }^{2}})$ и $O(\varepsilon )$ в равенствах (2.19) и (2.20) аналитичны по ${{z}_{j}}$, ${{Z}_{j}}$ и периодичны по ${{\tau }_{1}}$ и ${{\tau }_{2}}$ с периодами ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}} = 4\pi {{\varepsilon }^{2}}$ соответственно.

Случай $k = 3$. При ${{\mu }_{1}} \ne 0$ исследуется ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$-окрестность начала координат и модельный гамильтониан ${{\Gamma }^{{(1)}}}$, в котором функция ${{\Gamma }_{{21}}}$ вычисляется с учетом формулы (2.8) для сценария 3 + 1 и формулы (2.9) для сценариев 3 + 2 и 3 + 3.

Если ${{\mu }_{1}} = 0$, то переходим в $\varepsilon $-окрестность начала координат. Для сценария 3 + 1 модельным на этом этапе будет гамильтониан ${{\Gamma }^{{(21)}}}$, в котором функции ${{\Gamma }_{{21}}}$ и ${{\Gamma }_{{22}}}$ вычисляются с учетом формул (2.10) и (2.11) (при ${{\eta }_{1}} = {{\eta }_{2}}$). Для сценариев 3 + 2 и 3 + 3 имеем ${{K}_{{21}}} = 0$, модельным будет гамильтониан ${{\Gamma }^{{(22)}}}$, в котором функция ${{\Gamma }_{{22}}}$ вычисляется с учетом формулы (2.11) при ${{\eta }_{3}} = {{\eta }_{4}}$ и ${{\eta }_{1}} = {{\eta }_{2}}$, ${{\eta }_{3}} = {{\eta }_{4}}$ соответственно.

На этапе третьего приближения по $\varepsilon $ следует перейти в ${{\varepsilon }^{{3/2}}}$-окрестность начала координат по формулам

Проводя нормализацию для сценария 3 + 1 и вводя независимую переменную ${{\tau }_{1}}$, получим

Формы ${{\Gamma }_{{21}}}$, ${{\Gamma }_{{22}}}$, ${{\Gamma }_{{23}}}$ вычисляются с учетом соотношений (2.13) и (2.14).

При выполнении сценария 3 + 2 после нормализации и введения в качестве независимой переменной ${{\tau }_{2}}$ имеем

Учтено, что ${{K}_{{21}}} = 0$, а формы ${{\Gamma }_{{22}}}$ и ${{\Gamma }_{{23}}}$ определяются из соотношений (2.15) и (2.14).

Наконец, при условии ${{\eta }_{1}} = {{\eta }_{2}}$, ${{\eta }_{3}} = {{\eta }_{4}}$ (сценарий 3 + 3) и ${{\hat {\mu }}_{2}} \ne {{\tilde {\mu }}_{2}}$ получаем тот же гамильтониан (2.22), в котором следует принять

а форма ${{\Gamma }_{{23}}}$ вычисляется при помощи равенства (2.14).

Если же ${{\hat {\mu }}_{2}} = {{\tilde {\mu }}_{2}}$, то имеем ${{\Gamma }_{{22}}} = 0$, и тогда

Независимой для этого гамильтониана является переменная ${{\tau }_{3}} = {{\varepsilon }^{3}}t$

Слагаемые $O({{\varepsilon }^{3}})$, $O({{\varepsilon }^{2}})$ и $O(\varepsilon )$ в соотношениях (2.21), (2.22) и (2.24) аналитичны по ${{z}_{j}}$, ${{Z}_{j}}$ и периодичны по $\tau $ с периодами ${{T}_{1}}$ , ${{T}_{2}}$ и ${{T}_{3}} = 4\pi {{\varepsilon }^{3}}$ соответственно.

При рассмотрении соответствующей окрестности резонансной точки модельными для случаев $k = 3$ будут гамильтонианы ${{\Gamma }^{{(1)}}}$, ${{\Gamma }^{{(2i)}}}$ ($i = 1$ или 2) и ${{\Gamma }^{{(3j)}}}$ ($j = 1$, 2 или 3).

3. Резонансные периодические движения системы. Решим вопрос о существовании, числе и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений систем с гамильтонианами ${{\tilde {\Gamma }}^{{(k)}}}$ ($k = 1,2,3$), определяемыми формулами (2.18)–(2.22), (2.24). На первом этапе найдем отличные от тривиального положения равновесия соответствующих им модельных систем.

3.1. Случай $k = 1.$ Рассмотрим сначала модельную систему с гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ (2.18), в котором квадратичная часть вычисляется с помощью формулы (2.7) при $\beta {\text{'}} \ne 0$, $\beta {\text{''}} \ne 0$ (сценарий 1 + 1). Приравнивая нулю частные производные ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ по ${{z}_{j}}$ и ${{Z}_{j}}$ ($j = 1,2$), получим систему уравнений для определения положений равновесия этой модельной системы

Исключим комбинации $z_{2}^{2} + Z_{2}^{2}$ и $z_{1}^{2} + Z_{1}^{2}$ соответственно из первых двух и последних двух уравнений (3.1), в результате получим два уравнения-следствия вида ${{z}_{1}}{{Z}_{1}} = 0$, ${{z}_{2}}{{Z}_{2}} = 0$. Рассматривая их совместно с системой (3.1), определим две группы положений равновесия.

К первой группе относятся четыре пары равновесий, задаваемые сооотношениями

В скобках здесь и далее в аналогичных соотношениях указаны условия существования решений. Из этих условий следует, что данные положения равновесия появляются (или исчезают), в зависимости от знаков коэффициентов ${{c}_{{20}}}$ и ${{c}_{{02}}}$, при переходе через бифуркационные точки ${{\mu }_{1}} = \pm \mu _{1}^{'}$ и ${{\mu }_{1}} = \pm \mu _{1}^{{''}}$.

Вторую группу положений равновесия составляют четверки решений, описываемые соотношениями

Здесь введены обозначения

Решения (3.3) существуют, если правые части в выражениях с квадратами неотрицательны. Бифуркационными являются восемь точек

Здесь верхние и нижние знаки берутся в любом сочетании.

Рассмотрим вопрос об устойчивости в линейном приближениии найденных решений. Зададим возмущения ${{\tilde {z}}_{j}}$, ${{\tilde {Z}}_{j}}$ ($j = 1,2$) переменных ${{z}_{j}}$, ${{Z}_{j}}$ системы относительно их равновесных значений. Для обоих решений из первой пары в равенствах (3.2) квадратичная часть гамильтониана возмущенного движения имеет вид

Отсюда следует, что в области существования данного решения условия устойчивости сводятся к неравенствам

Для решений из второй, третьей и четвертой пар аналогичные условия имеют соответственно вид ${{c}_{{20}}} < 0$, ${{({{\kappa }_{2}}{{\mu }_{1}} + {{c}_{{11}}}\beta {\text{'}})}^{2}}$ > $4({{c}_{{20}}}\beta {\text{''}}{{)}^{2}}$; ${{c}_{{02}}} > 0$, ${{({{\kappa }_{1}}{{\mu }_{1}} + {{c}_{{11}}}\beta {\text{''}})}^{2}}$ > $4({{c}_{{02}}}\beta {\text{'}}{{)}^{2}}$ и ${{c}_{{02}}} < 0$, ${{({{\kappa }_{1}}{{\mu }_{1}} - {{c}_{{11}}}\beta {\text{''}})}^{2}}$ > $4({{c}_{{02}}}\beta {\text{'}}{{)}^{2}}$. Таким образом, характер устойчивости исследуемых равновесных точек определяется расположением величины ${{\mu }_{1}}$ относительно бифуркационных значений (3.4).

Для решений (3.3) составляем характеристические уравнения соответствующих линеаризованных уравнений возмущенного движения

Если выполнены соотношения

то корни уравнения (3.5) чисто мнимые, и исследуемое решение устойчиво в линейном приближении. При изменении знака хотя бы одного неравенства на противоположный уравнение (3.5) имеет корни с положительными вещественными частями, и имеет место неустойчивость.

Рассмотрим первую четверку решений (3.3), существующих при выполнении неравенств

Коэффициенты уравнения (3.5) для каждого из этих решений таковы:

Отсюда находим, что в области существования первые два неравенства (3.6) сводятся к системе

Таким образом, при $\Delta > 0$ данные равновесия всегда неустойчивы.

Пусть $\Delta < 0$. Величина $d$ из третьего условия (3.6) представляет собой квадратный относительно ${{\mu }_{1}}$ трехчлен с положительным старшим коэффициентом

и отрицательным дискриминантом, равным $s{{\Delta }^{{ - 1}}}\beta {\text{'}}{{{\kern 1pt} }^{2}}\beta {\text{''}}{{{\kern 1pt} }^{2}}c_{{11}}^{2}{{f}^{2}}$, где $s > 0$ и $f = {{\gamma }_{1}}\beta {\text{''}}$ – ‒ γ₂β'. Следовательно, для рассматриваемых решений неравенство $d > 0$ всегда удовлетворяется.

Рассматривая систему неравенств (3.7), (3.8), находим, что если ${{\kappa }_{1}}{{\kappa }_{2}} > 0$ и ${{c}_{{20}}}f < 0$, то ее решение задается интервалом $min({{\mu }_{{11}}},{{\mu }_{{12}}})$ < ${{\mu }_{1}}$ < $max({{\mu }_{{11}}},{{\mu }_{{12}}})$. Если ${{\kappa }_{1}}{{\kappa }_{2}} < 0$ и ${{c}_{{20}}} < 0$, то при $\delta < 0$ имеем ${{\mu }_{1}} < min({{\mu }_{{11}}},{{\mu }_{{12}}})$, а при $\delta > 0$ получаем ${{\mu }_{1}} > max({{\mu }_{{11}}},{{\mu }_{{12}}})$. Для невыписанных значений параметров из области существования имеем неустойчивость.

Вторая четверка равновесий (3.3) существует при выполнении условий (3.7), в которых величину $\beta {\text{''}}$ следует взять с противоположным знаком. Аналогично предыдущему заключаем, что в области существования неравенство $b > 0$ удовлетворяется при условии $\Delta > 0$; при $\Delta < 0$ имеем неустойчивость.

В случае $\Delta > 0$ дискриминант квадратного относительно ${{\mu }_{1}}$ трехчлена $d$ из третьего условия (3.6), равный $s{{\Delta }^{{ - 1}}}{{\beta }^{{'2}}}{{\beta }^{{''2}}}c_{{11}}^{2}f_{1}^{2}$ (${{f}_{1}} = {{\gamma }_{1}}\beta {\text{''}} + {{\gamma }_{2}}\beta {\text{'}}$), положителен, и $d$ имеет два вещественных корня, обозначим их через ${{\mu }_{1}}_{*}$ и ${{\mu }_{1}}{{{\kern 1pt} }_{{{\text{**}}}}}$ (${{\mu }_{1}}_{*}$ < ${{\mu }_{1}}{{{\kern 1pt} }_{{{\text{**}}}}}$). При этом старший коэффициент трехчлена $d$, вычисляемый по формуле (3.9) при замене $\beta {\text{''}}$ на $ - \beta {\text{''}}$, может быть как положительным, так и отрицательным.

Если ${{\kappa }_{1}}{{\kappa }_{2}} > 0$, то всегда ${{d}_{2}} > 0$, и в случае ${{c}_{{20}}}{{c}_{{02}}} < 0$ условия устойчивости удовлетворяются для значений ${{\mu }_{1}}$ из двух интервалов

В случае же ${{c}_{{20}}}{{c}_{{02}}} > 0$ условия устойчивости при ${{\delta }_{1}} > 0$ и ${{\delta }_{1}} < 0$ задаются первым и вторым неравенством (3.10) соответственно.

Исследование устойчивости при ${{\kappa }_{1}}{{\kappa }_{2}} < 0$ несколько сложнее. Приведем его результаты для случая ${{\kappa }_{1}} > 0$, ${{\kappa }_{2}} < 0$ (случай ${{\kappa }_{1}} < 0$, ${{\kappa }_{2}} > 0$ рассматривается аналогично). Выражение в квадратных скобках в равенстве (3.9) при замене $\beta {\text{''}}$ на $ - \beta {\text{''}}$ можно переписать, выделив в нем квадратный трехчлен относительно величины $x = \beta {\text{'}}{{\kappa }_{1}}{\text{/}}(\beta {\text{''}}{{\kappa }_{2}})$, где $x < 0$. Его дискриминант, равный $c_{{11}}^{2}\Delta $, положителен, поэтому квадратный трехчлен имеет два вещественных (отрицательных) корня, обозначим из через ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$ (${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$). При $x < {{x}_{1}}$ и $x > {{x}_{2}}$ справедливо неравенство ${{d}_{2}} > 0$, а при ${{x}_{1}} < x < {{x}_{2}}$ имеем ${{d}_{2}} < 0$.

Пусть сначала ${{d}_{2}} > 0$. Если ${{c}_{{20}}} > 0$, ${{c}_{{02}}} > 0$, то в случаях ${{\delta }_{1}} > 0$ и ${{\delta }_{1}} < 0$ условия устойчивости приводятся к неравенствам

соответственно. Если ${{c}_{{20}}} < 0$, ${{c}_{{02}}} < 0$, то получаем

Если же ${{c}_{{20}}} < 0$, ${{c}_{{02}}} > 0$, то в случае ${{f}_{1}} > 0$ на левой ($x < {{x}_{1}}$) ветви положительных значений ${{d}_{2}}$ условие устойчивости определяется объединением первого неравенства из (3.11) и неравенства (3.12), а на правой ($x > {{x}_{2}}$) ветви – вторым неравенством (3.11). При ${{f}_{1}} < 0$ условия устойчивости на левой и правой ветвях меняются местами.

В случае ${{d}_{2}} < 0$ исследуемые решения устойчивы, если ${{c}_{{02}}} > 0$ и выполнено неравенство

Для третьей четверки решений (3.3) из условия $b > 0$ имеем в области существования $\Delta > 0$, а для четвертой $\Delta < 0$; проверка других условий устойчивости проводится так же, как для второй и первой четверок решений соответственно.

3.2. Случай $k = 2$. Рассмотрим два сценария, возможных в случае $k = 2.$

3.2.1. Сценарий 2 + 1. В случае $\beta {\text{'}} = 0$, $\beta {\text{''}} \ne 0$ реализуется сценарий 2 + 1; картина устойчивости имеет вид, представленный на фиг. 1б.

Первое приближение. В модельной системе с гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(1)}}}$, в котором квадратичная часть определяется формулой (2.8) при ${{\mu }_{1}} \ne 0$, в ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$-окрестности резонансной точки происходит перестройка фазового пространства (по сравнению со случаем, рассмотренным в разд. 3.1). В системе появляется первый интеграл $z_{1}^{2} + Z_{1}^{2} = 2c$ = = const. Приведенной системе с одной степенью свободы отвечает гамильтониан вида

Тривиальное положение равновесия этой системы устойчиво при выполнении условия

и неустойчиво в противном случае. Точки бифуркации задаются соотношениями

Другие положения равновесия системы с гамильтонианом (3.13) определяются формулами

В области существования равновесия (3.14) устойчивы в линейном приближении, если $\beta {\text{''}}{{c}_{{02}}} < 0$, и неустойчивы, если $\beta {\text{''}}{{c}_{{02}}} > 0$. Для равновесий (3.15) эти условия устойчивости и неустойчивости меняются местами.

Фазовые портреты системы с гамильтонианом (3.13) показаны на фиг. 2а–2в для случаев

соответственно и в предположении, что ${{\gamma }_{2}} > 0$, ${{c}_{{02}}} > 0$. Для других вариантов знаков величин ${{\gamma }_{1}}$ и ${{c}_{{02}}}$ картина качественно та же (в некоторых случаях направления движения по траекториям меняются на противоположные или оси координат меняются местами). Приведенные фазовые портреты характерны для модельных систем с одной степенью свободы в случае параметрического резонанса [3].

Вернемся к модельной системе с двумя степенямии свободы с гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(1)}}}$. Ее положениями равновесия будут точки

соответствующие решениям (3.14) и (3.15) при $c = 0$.

Квадратичная часть гамильтониана возмущенного движения для решений (3.16) имеет вид

откуда следует, что при ${{\mu }_{1}} \ne {{c}_{{11}}}\beta {\text{''}}\kappa _{1}^{{ - 1}}$ условия устойчивости (в линейном приближении) и неустойчивости совпадают с теми же условиями для решения (3.14). Аналогично, при ${{\mu }_{1}} \ne - {{c}_{{11}}}\beta {\text{''}}\kappa _{1}^{{ - 1}}$ совпадают условия устойчивости (в линейном приближении) и неустойчивости решений (3.17) и (3.15).

Для значений ${{\mu }_{1}} = {{c}_{{11}}}\beta {\text{''}}\kappa _{1}^{{ - 1}}$ и ${{\mu }_{1}} = - {{c}_{{11}}}\beta {\text{''}}\kappa _{1}^{{ - 1}}$ (если они находятся в области существования) равновесия (3.16) и (3.17) соответственно являются сложными особыми точками.

Кроме изолированных положений равновесия, в модельной системе с гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ могут существовать семейства положений равновесия. Так, при выполнении условия ${{\mu }_{1}}{{\gamma }_{1}}{{c}_{{20}}} < 0$ в системе имеется семейство неустойчивых положений равновесия (сложных особых точек), образующих в плоскости переменных ${{z}_{1}}$, ${{Z}_{1}}$ окружность вида

Еще две пары симметричных семейств (окружностей) из неустойчивых сложных особых точек, задаваемых соотношениями

существуют, если дроби, стоящие в правых частях этих соотношений, неотрицательны. При ${{\mu }_{1}} = {{c}_{{11}}}\beta {\text{''}}\kappa _{1}^{{ - 1}}$ семейства первой пары, а при ${{\mu }_{1}} = - {{c}_{{11}}}\beta {\text{''}}\kappa _{1}^{{ - 1}}$ семейства второй пары (при условии их существования) стягиваются в точки (3.16) и (3.17) соответственно.

Второе приближение. При ${{\mu }_{1}} = 0$ переходим в $\varepsilon $-окрестность тривиального равновесия и рассматриваем модельную систему с гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(21)}}}$, квадратичная часть которой вычисляется при помощи выражений (2.10) и (2.11). Положения равновесия модельной системы таковы:

Квадратичная часть гамильтониана возмущенного движения имеет вид

Таким образом, при достаточно малых значениях $\varepsilon $ данные равновесия неустойчивы в области существования.

Объединяя результаты исследования модельных систем первого и второго приближений и исключая отмеченные случаи сложных особых точек, приходим к следующему выводу. Внутри большей области неустойчивости (см. фиг. 1б) существует, в зависимости от знаков величин ${{\gamma }_{2}}$ и ${{c}_{{02}}}$, одна из пар устойчивых в линейном приближении положений равновесия (3.16) или (3.17). Вне этой зоны неустойчивости по одну сторону существует та же пара равновесий, оставаясь устойчивой, и другая, неустойчивая, пара равновесий; по другую сторону в модельной системе отсутствуют положения равновесия, отличные от тривиального. Исключение составляет внутренняя зона неустойчивости и ее малая, ширины $O({{\varepsilon }^{2}})$, окрестность. В этой окрестности, аналогично, существуют, по одну сторону от зоны неустойчивости, две пары равновесий (3.18), по другую сторону – ни одной, а внутри самой зоны – одна из этих пар, и все эти равновесия неустойчивы.

3.2.2. Сценарий 2+2. В этом случае $\beta {\text{'}} = \beta {\text{''}} = 0$. При ${{\mu }_{1}} \ne 0$ модельная система с гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(1)}}}$, вычисляемым с учетом выражения (2.9) для квадратичной части, не имеет положений равновесия, отличных от тривиального. Переходя при ${{\mu }_{1}} = 0$ в $\varepsilon $-окрестность тривиального равновесия, получим систему с модельным гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(22)}}}$ (второе равенство (2.20)), квадратичная часть которого определена равенством (2.11). По своей структуре гамильтониан ${{\Gamma }^{{(22)}}}$ аналогичен модельному гамильтониану ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ (с квадратичной частью (2.7)), исследование которого проведено в разд. 3.1.

3.3. Случай $k = 3$. 3.3.1. Сценарий 3+1. При реализации сценария 3 + 1 взаимное расположение областей неустойчивости аналогично показанному на фиг. 1б, только внутренняя область неустойчивости имеет ширину $O({{\varepsilon }^{3}})$.

При ${{\mu }_{1}} \ne 0$ для квадратичной части модельного гамильтониана ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ первого приближения используется выражение (2.8), и имеем случай, рассмотренный в разд. 3.2.1.

На этапе второго приближения (случай ${{\mu }_{1}} = 0$) исследуется модельный гамильтониан ${{\Gamma }^{{(21)}}}$ из (2.19), в котором формы ${{\Gamma }_{{21}}}$ и ${{\Gamma }_{{22}}}$ вычисляются с помощью соотношений (2.10) и (2.11) при ${{\eta }_{1}} = {{\eta }_{2}}$. В модельной системе имеется первый интеграл $z_{1}^{2} + Z_{1}^{2} = 2c$ = = const. Кроме тривиального равновесия, в области ${{c}_{{20}}}({{\mu }_{2}}{{\gamma }_{1}} - {{\eta }_{1}}) < 0$ существуют два семейства неустойчивых сложных особых точек, для которых

Других положений равновесия нет.

Модельный гамильтониан ${{\Gamma }^{{(31)}}}$ третьего приближения определен вторым равенством (2.21), а положения равновесия отвечающей ему модельной системы таковы:

Как и в описанных выше аналогичных случаях, во внутренней зоне неустойчивости тривиального равновесия существует одна пара положений равновесия, вне ее по одну сторону имеются две пары равновесий, а по другую сторону ни одной. Найденные положения равновесия, находясь в зоне неустойчивости тривиального равновесия системы, неустойчивы в области своего существования. Квадратичная часть гамильтониана возмущенного движения имеет вид

3.3.2. Сценарий 3 + 2. При ${{\mu }_{1}} \ne 0$ квадратичная часть первого приближения имеет вид (2.9); в модельной системе с гамильтонаном ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ нет положений равновесия, отличных от тривиального.

В модельном гамильтониане второго приближения (случай ${{\mu }_{1}} = 0$) имеем ${{\Gamma }_{{21}}} = 0$. Форма ${{\Gamma }_{{22}}}$ определяется соотношением (2.11), в котором ${{\eta }_{1}} = {{\eta }_{2}}$ или ${{\eta }_{3}} = {{\eta }_{4}}$, и с точностью до обозначений совпадает с формой (2.8); соответствующее ей исследование проведено в разд. 3.2.1. Изолированными положениями равновесия в случае, например, ${{\eta }_{3}} = {{\eta }_{4}}$ будут точки

устойчивые в линейном приближении в области существования при условии ${{c}_{{20}}}({{\eta }_{2}}$ – – η₁) > 0 (за исключением случая сложной особой точки при ${{\mu }_{2}} = ({{\eta }_{2}}{{c}_{{11}}} - 2{{\eta }_{4}}{{c}_{{20}}})\kappa _{2}^{{ - 1}}$, если это значение ${{\mu }_{2}}$ попадает в область существования равновесий) и неустойчивые при ${{c}_{{20}}}({{\eta }_{2}} - {{\eta }_{1}})$ < 0.

Кроме того, существуют еще два положения равновесия, соответствующие точкам (3.20) при замене ${{\tilde {z}}_{1}} \leftrightarrow {{Z}_{1}}$, ${{\eta }_{1}} \leftrightarrow {{\eta }_{2}}$, устойчивые в линейном приближении в области существования, если ${{c}_{{20}}}({{\eta }_{2}} - {{\eta }_{1}}) < 0$ (кроме, может быть, точки ${{\mu }_{2}} = ({{\eta }_{1}}{{c}_{{11}}}$ – $2{{\eta }_{4}}{{c}_{{20}}})\kappa _{2}^{{ - 1}}$), и неустойчивые, при ${{c}_{{20}}}({{\eta }_{2}} - {{\eta }_{1}}) > 0$.

При ${{\mu }_{2}} = {{\hat {\mu }}_{2}}$ рассматриваем модельный гамильтониан ${{\Gamma }^{{(32)}}}$ третьего приближения (второе равенство (2.22)) с квадратичными формами согласно равенствам (2.15) и (2.14). В модельной системе имеются положения равновесия вида

Квадратичная часть гамильтонианов возмущенного движения задается выражением

Отсюда следует, что если значение ${{\mu }_{2}} = {{\hat {\mu }}_{2}}$ находится в зоне неустойчивости тривиального равновесия (см. фиг. 1в), то в области существования эти положения равновесия неустойчивы. В случае двух непересекающихся областей параметрического резонанса (как на фиг. 1г) первая пара равновесных точек устойчива в области существования при ${{c}_{{02}}}({{\xi }_{3}} - {{\xi }_{4}}) > 0$, а вторая – при ${{c}_{{02}}}({{\xi }_{3}} - {{\xi }_{4}}) < 0$.

Таким образом, в рассматриваемом случае отличные от тривиального равновесия системы могут существовать в ${{\varepsilon }^{2}}$-окрестности резонансной точки при ${{\mu }_{1}} = 0$. В случае, относящемся к фиг. 1в, описание положений равновесия и характера их устойчивостии аналогично сделанному в разд. 3.2.1 описанию, относящемуся к фиг. 1б. Для случая (фиг. 1г) двух непересекающихся областей параметрического резонанса (ширины порядка $O({{\varepsilon }^{2}})$ и $O({{\varepsilon }^{3}})$) вблизи каждой из них существуют либо две пары равновесных точек (одна устойчивая в линейном приближении и одна неустойчивая), либо ни одной, а в самой области – одна (устойчивая) пара.

3.3.3. Сценарий 3 + 3. На этапах первого и второго приближений в соответствующих модельных системах нет положений равновесия, отличных от тривиального. При рассмотрении третьего приближения в случае ${{\hat {\mu }}_{2}} \ne {{\tilde {\mu }}_{2}}$ имеем модельный гамильтониан ${{\Gamma }^{{(32)}}}$ (второе равенство (2.22)), вычисляемый с учетом соотношений (2.23) и (2.14), и два значения ${{\mu }_{2}} = {{\hat {\mu }}_{2}}$ и ${{\mu }_{2}} = {{\tilde {\mu }}_{2}}$, для которых в третьем приближении строятся две непересекающиеся области параметрического резонанса. Описание результатов аналогично предыдущему описанию, относящемуся к фиг. 1г.

Если ${{\hat {\mu }}_{2}} = {{\tilde {\mu }}_{2}}$, то для обеих областей параметрического резонанса имеем ${{\mu }_{1}} = {{\mu }_{2}}$ = 0, значения ${{\mu }_{3}}$ на граничных кривых определяются при помощи соотношения (2.14) для формы ${{K}_{{23}}}$. Модельным будет гамильтониан ${{\Gamma }^{{(33)}}}$ (второе равенство (2.24)), аналогичный по структуре гамильтониану ${{\Gamma }^{{(1)}}}$, равновесные точки которого описаны в разд. 3.1.

В таблице 1 представлена сводка результатов исследования отличных от тривиального изолированных положений равновесия рассмотренных модельных систем. Указано максимальное число равновесных точек для каждого сценария и соответствующих ему приближений.

Для сценариев $k + k$ в случаях, когда различия в уравнениях всех четырех границ областей неустойчивости выявляются в слагаемых порядка $k$, в модельной системе имеется до 24 положений равновесия, при этом существует большое число вариантов их взаимного расположения и характера их устойчивости (см. разд. 3.1). Для сценариев $k + l$ ($l < k$), а также первого варианта сценария 3 + 3 внутри каждой области неустойчивости и вблизи нее существуют от нуля до двух пар положений равновесия. Если при этом одна из областей лежит внутри другой, то все положения равновесия, относящиеся к внутренней области, неустойчивы. Для внешней области имеем внутри одну устойчивую равновесную пару, а вне ее по одну из сторон от нее устойчивую и неустойчивую пары; этот же вывод относится к каждой из двух непересекающихся областей для первого варианта сценария 3 + 3.

3.4. Периодические движения системы и их устойчивость. Вернемся к исследованию полных систем с гамильтонианами (2.18)–(2.22). В окрестности каждого положения равновесия ${{z}_{j}} = {{z}_{{j*}}}$, ${{Z}_{j}} = {{Z}_{{j*}}}$ ($j = 1,2$) (исключим из рассмотрения равновесия, являющиеся сложными особыми точками) соответствующих модельных систем полные системы являются квазилинейными с возмущениями $O(\varepsilon )$ (для случаев (2.18), (2.20) и (2.24)), $O({{\varepsilon }^{2}})$ (для случаев (2.19) и (2.22)) или $O({{\varepsilon }^{2}})$ (для случая (2.21)). Корни характеристических уравнений линеаризованных, в окрестности рассматриваемых положений равновесия, уравнений возмущенного движения либо $O(1)$ (для ${{\Gamma }^{{(1)}}}$, ${{\Gamma }^{{(22)}}}$ и ${{\Gamma }^{{(33)}}}$), либо $O(1)$ и $O(\varepsilon )$ (для ${{\Gamma }^{{(21)}}}$ и ${{\Gamma }^{{(32)}}}$), либо $O(1)$ и $O({{\varepsilon }^{2}})$ (для ${{\Gamma }^{{(31)}}}$). Возмущения же имеют по соответствующим независимым переменным периоды ${{T}_{1}}$ (для случаев (2.18), (2.19) и (2.21)), ${{T}_{2}}$ (для случаев (2.20) и (2.22)) или ${{T}_{3}}$ (для случая (2.24)), где ${{T}_{k}} = 4\pi {{\varepsilon }^{k}}$, $k = 1,2,3$.

Во всех случаях имеет место нерезонансный случай теории периодических движений Пуанкаре [13], и из каждого положения равновесия модельной системы рождается единственное, ${{T}_{k}}$-периодическое по ${{\tau }_{k}}$, периодическое решение полной системы, представляемое сходящимся рядом по целым степеням $\varepsilon $ и имеющее вид

где $\ell $ – порядок возмущений в полном гамильтониане.

Производя в обратной последовательности замены переменных, описанные в разд. 2, получим единственное резонансное периодическое (с периодом $4\pi $) движение исходной системы. При этом, если порождающими для данного движения являются положения равновесия системы с гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ или с гамильтонианами ${{\Gamma }^{{(21)}}}$, ${{\Gamma }^{{(22)}}}$ , то получаемое движение аналитично по ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$ или $\varepsilon $ соответственно. Если порождающим является положение равновесия системы, определяемой одним из гамильтонианов ${{\Gamma }^{{(31)}}}$, ${{\Gamma }^{{(32)}}}$, ${{\Gamma }^{{(33)}}}$, то в исходных переменных резонансное периодическое движение представляется в виде

в котором функции ${{\tilde {q}}_{j}}(t,\varepsilon )$ и ${{\tilde {p}}_{j}}(t,\varepsilon )$ аналитичны по $\varepsilon $.

Периодические движения, рождающиеся из устойчивых в линейном приближении или неустойчивых положений равновесия модельных систем, также устойчивы в линейном приближении или неустойчивы. Это следует из непрерывности по малому параметру соответствующих характеристических показателей линеаризованных уравнений возмущенного движения.

4. Резонансные периодические движения спутника на слабоэллиптической орбите в окрестности цилиндрической прецессии. Рассмотрим движение динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Орбиту центра масс спутника предполагаем слабоэллиптической с эксцентриситетом $e$ ($0 < e \ll 1$). Пусть ${{\omega }_{0}}$ – среднее движение центра масс спутника по орбите, $r$ – проекция вектора угловой скорости тела в орбитальной системе координат на ось динамической симметрии ($r = {{r}_{0}} = {\text{const}}$), $A$ и $C$– его экваториальный и осевой моменты инерции. Ориентацию системы главных центральных осей инерции спутника в орбитальной системе координат определим при помощи углов Эйлера $\psi $, $\theta $, $\phi $.

Движение динамически симметричного спутника относительно центра масс на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета описывается каноническими дифференциальными уравнениями с функцией Гамильтона [11]

Здесь $\nu $ – истинная аномалия, принимаемая за независимую переменную, а безразмерные параметры $\alpha $ и $\beta $ вычисляются по формулам $\alpha = C{\text{/}}A$ ($0 \leqslant \alpha \leqslant 2$) и $\beta = {{r}_{0}}{\text{/}}{{\omega }_{0}}$.

Система уравнений движения спутника допускает частное решение

соответствующее стационарному вращению – цилиндрической прецессии, для которой спутник равномерно вращается вокруг оси динамической симметрии, расположенной перпендикулярно плоскости орбиты. Вводя в функцию (4.1) возмущения по формулам и рассматривая эксцентриситет $e$ как малый параметр, можно получить гамильтониан возмущенного движения, представляемый в виде (2.1), где $\varepsilon $ надо заменить на $e$, а

В невозмущенной ($e = 0$) задаче, отвечающей круговой орбите центра масс спутника, в плоскости параметров $\alpha $, $\beta $ имеются три точки

в которых реализуются рассматриваемые здесь резонансные случаи.

Ранее [8] в окрестности этих точек при малых значениях $e$ построены области параметрического резонанса. Опираясь на теоретические результаты, полученные в предыдущих разделах данной работы, опишем резонансные периодические движения оси симметрии спутника для значений параметров, лежащих в малых окрестностях точек (4.2).

4.1. Точка ${{P}_{1}}.$ Рассмотрим окрестность точки ${{P}_{1}}$, полагая

Первое приближение. Проведем нормализацию гамильтониана возмущенного движения в слагаемых второй и четвертой степеней относительно возмущений. Нормализованные при $e = 0$ слагаемые четвертой степени представляются в виде

а квадратичная часть гамильтониана в слагаемых первого порядка по $e$ определяется выражением

Отсюда находим точки бифуркации ${{\mu }_{1}} = \pm 3{\text{/}}2$, задающие границы внешней области параметрического резонанса, и точку ${{\mu }_{1}} = 0$, вблизи которой далее определится внутренняя область неустойчивости (фиг. 1б).

При помощи формул (4.3) и (4.4) приведем гамильтониан к виду (2.18). В соответствующей модельной системе с гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(1)}}}$ (см. разд. 3.2.1) при ${{\mu }_{1}} < 0$ имеется семейство неустойчивых сложных особых точек вида ${{z}_{2}} = {{Z}_{2}} = 0$, $z_{1}^{2} + Z_{1}^{2} = - 3{{\mu }_{1}}$, а на интервале $ - 6 < {{\mu }_{1}} < - 3{\text{/}}2$ еще два семейства вида

Изолированными положениями равновесия системы являются точки

устойчивые в линейном приближении в области существования (при ${{\mu }_{1}} \ne 0$, ${{\mu }_{1}} \ne - 6$), и неустойчивые точки

Исключим из дальнейшего рассмотрения значения ${{\mu }_{1}} = 0$, ${{\mu }_{1}} = - 6$, относящиеся к решению (4.5). Используя результаты разд. 3.4 заключаем, что из каждого положения равновесия (4.5) и (4.6) модельной системы в ${{e}^{{1/2}}}$-окрестности начала координат фазового пространства рождается единственное $4\pi $-периодическое решение исходной полной системы, отвечающее периодическому движению оси симметрии спутника. В переменных ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ эти движения определяются соотношениями

Равновесные значения ${{z}_{{20}}}$ и ${{Z}_{{20}}}$ заданы последними равенствами (4.5) и (4.6) соответственно.

Замена $\nu $ на $\nu + 2\pi $ меняет знаки решений (4.7) и (4.8) на противоположные. Поэтому каждой паре положений равновесия (4.5) и (4.6) отвечает одно и то же периодическое движение спутника.

Если в соотношениях (4.7) и (4.8) отбросить слагаемые $O({{e}^{{3/2}}})$ и выше, то получаем гармонические колебания вдоль оси $O{{q}_{1}}$ с амплитудами $O({{e}^{{1/2}}})$. В случае существования обоих движений (${{\mu }_{1}} < - 3{\text{/}}2$) они имеют друг относительно друга сдвиг по фазе, равный $\pi $; при этом движение с меньшей ($\sim {\kern 1pt} {{Z}_{{20}}}$) и большей ($\sim {\kern 1pt} {{z}_{{20}}}$) по модулю амплитуде соответственно неустойчиво и устойчиво в линейном приближении.

Для строгого решения вопроса об устойчивости периодического движения (4.7) следует провести нормализацию гамильтониана в окрестности этого движения в слагаемых до четвертой степени включительно относительно возмущений. Частоты малых колебаний линеаризованных уравнений возмущенного движения вычисляются по формулам

Если величины ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ не связаны резонансным соотношением четвертого порядка, то в симплектических полярных координатах ${{\varphi }_{j}}$, ${{r}_{j}}$ ($j = 1,2$), задаваемых формулами ${{z}_{j}} = \sqrt {2{{r}_{j}}} sin{{\varphi }_{j}}$, ${{Z}_{j}} = \sqrt {2{{r}_{j}}} cos{{\varphi }_{j}}$, нормализованный гамильтониан имеет вид

“Поправки” $O(e)$ в выражениях для ${{C}_{{ij}}}$ постоянны, а слагаемое $O(e)$ в гамильтониане (4.9) имеет по ${{r}_{j}}$ порядок, не меньший трех, и периодично по независимой переменной ${{\tau }_{1}} = e\nu $ с периодом ${{T}_{1}} = 4\pi e$.

Для выписанных значений коэффициентов ${{C}_{{ij}}}$ имеем

откуда следует, что при достаточно малых значениях $e$ и при ${{\mu }_{1}} \ne - 2$ величина $\tilde {\Delta }$ отлична от нуля. Поэтому исследуемое периодическое движение устойчиво для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий [12]. Кроме того, квадратичная форма ${{C}_{{20}}}r_{1}^{2}$ + ${{C}_{{11}}}{{r}_{1}}{{r}_{2}}$ + ${{C}_{{02}}}r_{2}^{2}$ отрицательно определена в области существования движения (4.7), и имеет место его формальная устойчивость [12, 14].

В области существования данных движений для значений

реализуются резонансы четвертого порядка соответственно.

Расчеты показывают, что соответствующие им резонансные слагаемые имеют порядок не меньший, чем $e$. В этих резонансных случаях можно продолжить нормализацию в членах шестой, восьмой и т.д. степеней относительно возмущений, учитывая наличие резонансов восьмого, двенадцатого и т.д. порядков при $3{{\Omega }_{1}} = {{\Omega }_{2}}$ и ${{\Omega }_{1}} = 3{{\Omega }_{2}}$, или резонансов четных порядков, начиная с шестого, при ${{\Omega }_{1}} = {{\Omega }_{2}}$.

Так как частоты ${{\Omega }_{j}}$ несоизмеримы с частотой внешнего возмущения ($\sim {\kern 1pt} {{e}^{{ - 1}}}$), то независимая переменная ${{\tau }_{1}}$ на каждом этапе будет уничтожаться. В результате получаем автономный гамильтониан, являющийся формальным первым интегралом, главная (линейная по ${{r}_{j}}$) часть которого положительно определена. В достаточно малой окрестности начала координат этот формальный интеграл также положительно определен, поэтому для рассматриваемых резонансных случаев периодическое движение (4.7) формально устойчиво.

Второе приближение. При ${{\mu }_{1}} = 0$ имеем

а нормализованная квадратичная часть ${{K}_{{22}}}$ такова:

Точками бифуркации, задающими внутреннюю область неустойчивости (фиг. 1б), будут ${{\mu }_{2}} = 4{\text{/}}5$, ${{\mu }_{2}} = 44{\text{/}}5$.

Используя соотношения (4.10) и (4.11), составим гамильтониан (2.19) с модельной частью ${{\Gamma }^{{(21)}}}$. В соответствующей модельной системе имеются положения равновесия

неустойчивые в областях существования.

В исходной полной системе этим решениям отвечают два неустойчивых, аналитических по $e$ периодических движения оси симметрии спутника, определяемые формулами

Если пренебречь слагаемыми $O({{e}^{2}})$ и выше, то эти соотношения описывают гармонические колебания вдоль оси $O{{q}_{2}}$, происходящие с амплитудами порядка $e$ и имеющие друг относительно друга (в случае существования обоих движений) сдвиг по фазе, равный $\pi $.

4.2. Точка ${{P}_{2}}$. Рассмотрим теперь окрестность точки ${{P}_{2}}$, полагая

Нормализованная форма четвертой степени ${{H}_{{40}}}$ имеет вид

а нормализованная квадратичная часть ${{K}_{{21}}}$ на этапе первого приближения такова:

При ${{\mu }_{1}} \ne 0$ тривиальное положение равновесия устойчиво в линейном приближении. Других положений равновесия модельная система первого приближения не имеет (см. разд. 3.3.2).

Второе приближение. При ${{\mu }_{1}} = 0$ имеем ${{K}_{{21}}} = 0$, а

Точки бифуркации ${{\mu }_{2}}$ = –820/357 и ${{\mu }_{2}}$ = –180/119 задают границы первой области неустойчивости, а для значения ${{\mu }_{2}}$ = 17685/7616 на этапе следующего приближения будет определена вторая область неустойчивости. Две области неустойчивости не имеют общих точек, их взаимное расположение соответствует фиг. 1г.

При помощи соотношений (4.12) и (4.13) получаем гамильтониан (2.20) с модельной частью ${{\Gamma }^{{(22)}}}$. Положениями равновесия соответствующей модельной системы являются семейства неустойчивых сложных особых точек

а также изолированные равновесия неустойчивые в области существования (при ${{\mu }_{2}}$ = –9295/1344 – сложные особые точки), и устойчивые в линейном приближении в области существования (при ${{\mu }_{2}}$ = –40725/7616 – сложные особые точки).

Для каждого из случаев (4.14) и (4.15), исключив сложные особые точки, найдем аналитические по $e$ резонансные периодические движения исходной полной системы. Получаем неустойчивое движение вида

и устойчивое в линейном приближении движение вида

При учете в этих выражениях слагаемых не выше первого порядка по $e$, имеем гармонические колебания вдоль оси $O{{q}_{2}}$ с амплитудой порядка $O(e)$.

Проведем нелинейный анализ устойчивости движения (4.17). Частоты малых линейных колебаний линеаризованных уравнений возмущенного движения определяются выражениями

Нормализованный гамильтониан возмущенного движения при отсутствии резонансов четвертого порядка приводится к виду (4.9), причем

Точка ${{\mu }_{2}}$ = –3560/3927, для которой главная часть величины $\tilde {\Delta }$ обращается в нуль, не входит в область существования движения (4.17). Кроме того, в области существования коэффициенты ${{C}_{{ij}}}$ отрицательны при достаточно малых значениях $e$. Поэтому в нерезонансном случае рассматриваемое движение устойчиво для большинства начальных условий и формально устойчиво (кроме исключенной точки ${{\mu }_{2}}$ = –40725/7616).

Резонанс $2{{\Omega }_{1}} = 2{{\Omega }_{2}}$ четвертого порядка реализуется для ${{\mu }_{2}}$ ≈ –11.1922, причем резонансные слагаемые в членах четвертой степени нормализованного гамильтониана имеют порядок не меньший, чем $e$. Повторяя рассуждения, проведенные для резонансных случаев решения (4.7), заключаем, что в данном резонансном случае движение (4.17) формально устойчиво.

Третье приближение. Для значений ${{\mu }_{1}} = 0$, ${{\mu }_{2}}$ = 17685/7616 проводим нормализацию в слагаемых $O({{e}^{3}})$ в квадратичной части гамильтониана. Имеем в результате

Отсюда находим, что точками бифуркации, определяющими границы второй области неустойчивости, будут ${{\mu }_{3}} = \mu _{3}^{ \pm }$.

При помощи соотношений (4.12) и (4.18) получим гамильтониан (2.22). Положения равновесия модельной системы с гамильтонианом ${{\Gamma }^{{(32)}}}$ описываются соотношениями

В области существования равновесия из первой пары устойчивы в линейном приближении, а из второй неустойчивы.

В исходных переменных первой паре соответствует устойчивое (в линейном приближении) $4\pi $-периодическое движение оси спутника вида

а второй паре – неустойчивое периодическое движение вида

Если пренебречь слагаемыми $O({{e}^{{5/2}}})$ и выше, то данные движения – гармонические колебания вдоль оси $O{{q}_{1}}$ с амплитудой $O({{e}^{{3/2}}})$.

Продолжая нормализацию, приведем гамильтониан возмущенного движения для решения (4.19) к виду (4.9), где с точностью до слагаемых O(e) включительно

Отсюда находим

При достаточно малых значениях $e$ частоты ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ несоизмеримы и, кроме того, в области существования рассматриваемого решения справедливы соотношения ${{C}_{{20}}} > 0$ и $\tilde {\Delta } < 0$. Таким образом, для всех значений ${{\mu }_{3}}$ из области существования периодическое движение (4.19) устойчиво для большинства начальных условий и формально устойчиво.

Замечание. Исследование резонансных точек P₁ и P₂ и их окрестностей, проведенное при фиксированном значении одного из параметров (α), опирается на теоретические результаты, полученные в разд. 1–3. Разработанные подходы могут быть применены и при рассмотрении полной (трехмерной) окрестности резонансной точки. При этом общая теория была бы слишком громоздкой из-за большого числа вариантов взаимного расположения областей параметрического резонанса и бифуркационных поверхностей в пространстве параметров. Поэтому такие рассмотрения лучше проводить для конкретной задачи, что в качестве примера будет выполнено для третьей резонансной точки P₃.

4.3. Точка ${{P}_{3}}$. Рассмотрим окрестность точки ${{P}_{3}}$, полагая

Нормализация гамильтониана возмущенного движения в слагаемых четвертой степени при $e = 0$ и квадратичной части в слагаемых порядка $O(e)$ дает

При ${{\nu }_{1}} \ne - (2{\text{/}}5){{\mu }_{1}}$ тривиальное положение равновесия системы устойчиво в линейном приближении. В модельной системе первого приближения других положений равновесия нет.

В случае ${{\nu }_{1}} = - (2{\text{/}}5){{\mu }_{1}}$ проведем нормализацию квадратичной части гамильтониана в слагаемых порядка до $O({{e}^{2}})$ включительно, получая в итоге

Отсюда следует, что на границах области параметрического резонанса

При помощи соотношений (4.21) и (4.22) составим гамильтониан (2.19) с модельной частью ${{\Gamma }^{{(21)}}}$. При выполнении условий ${{\mu }_{2}} < \mu _{2}^{ + }$ и ${{\mu }_{2}} < \mu _{2}^{ - }$ в отвечающей ему модельной системе имеются положения равновесия, для которых ${{z}_{1}} = {{Z}_{1}} = 0$, а

соответственно. В области существования первая пара равновесных точек устойчива в линейном приближении при ${{\mu }_{1}} > 0$ и неустойчива при ${{\mu }_{1}} < 0$, а вторая пара, наоборот, устойчива в линейном приближении при ${{\mu }_{1}} < 0$ и неустойчива при ${{\mu }_{1}} > 0$.

В исходных переменных каждой паре точек (4.24) отвечает аналитическое по $e$, $4\pi $-периодическое по $\nu $ движение, описываемое с точностью до слагаемых $O({{e}^{2}})$ включительно соотношениями

и

Если в этих соотношениях пренебречь слагаемыми $O({{e}^{2}})$ и выше, то в плоскости величин ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ имеем движения по окружностям с радиусами $O(e)$, происходящие в направлении против часовой стрелки. В областях существования обоих движений их фазы различаются на $\pi $.

Выводы об устойчивости (в линейном приближении) и неустойчивости найденных периодических движений совпадают, в соответствующих областях, с аналогичными выводами для порождающих их положений равновесия модельной системы.

Для геометрической интерпретации полученных результатов перепишем уравнения границ области параметрического резонанса (в данном приближении) в эквивалентном виде, с учетом соотношений (4.20) и (4.23):

Верхний и нижний знаки отвечают аналогичным знакам в условии (4.23).

На фиг. 3 область параметрического резонанса в окрестности точки ${{P}_{3}}$ построена в плоскости параметров $\alpha $, $\beta $ для значения $e = 0.15$. В части плоскости, расположенной выше и правее этой области, в окрестности невозмущенного движения (цилиндрической прецессии) нет периодических движений спутника. Внутри части области параметрического резонанса, задаваемой условием $\alpha < 1$, существует и устойчиво в линейном приближении периодическое движение (4.25). В малой ($O({{e}^{2}})$) окрестности, расположенной ниже и левее этой части области неустойчивости, существуют оба периодических движения (4.25) и (4.26), первое из которых остается устойчивым в линейном приближении, а второе неустойчиво. В случае $\alpha > 1$ при описании области существования и результатов устойчивости движения (4.25) и (4.26) следует поменять местами.

Работа выполнена в рамках государственного задания (3.3858.2017/4.6).