Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 5-6, стр. 770-778
Неустановившееся движение вязкой электропроводной жидкости между вращающимися параллельными стенками при наличии поперечного магнитного поля
1 Федеральный исследовательский центр Информатика и управление РАН
Москва, Россия
2 Национальный исследовательский университет “МАИ”
Москва, Россия
* E-mail: challenge2005@mail.ru
Поступила в редакцию 19.04.2019
После доработки 17.06.2019
Принята к публикации 24.09.2019
Аннотация
Изучаются движения вязкой электропроводной несжимаемой жидкости, вращающейся вначале как твердое тело с постоянной угловой скоростью вместе с ограничивающими ее параллельными стенками, под действием внезапно начинающихся продольных колебаний одной из стенок и внезапно включенным магнитным полем, приложенным к одной из стенок. Стенки составляют произвольный угол с осью вращения. Магнитное поле действует по нормали к стенкам. В общем случае решение представлено в виде ряда. Представлены векторы касательных напряжений, действующие из жидкости на стенки щели. Рассматривается ряд частных случаев движения стенки. На основе полученных результатов исследуются отдельные структуры пограничных слоев у стенок. Данное исследование обобщает результаты [1–3].
Данное исследование обобщает результаты [1–3].
Введение. В настоящей работе изучается нестационарный поток вязкой электропроводной несжимаемой жидкости во вращающейся щели при наличии внешнего однородного магнитного поля. Неустановившийся поток индуцируется некрутильными колебаниями одной из стенок щели. Схематично постановка задачи представлена на рис. 1. Задача в такой постановке, насколько известно автору, поставлена впервые. Показано, что при отсутствии вращения и магнитного поля, и при удалении неподвижной стенки на бесконечность, решение переходит в известное решение задачи о нестационарном движении жидкости, ограниченной перемещающейся плоской стенкой [1]. При отсутствии магнитного поля и удалении неподвижной стенки на бесконечность решение совпадает с результатами работы [2], а при отсутствии магнитного поля решение переходит в решение работы [3]. В одной из последних работ [4] рассматривается течение электропроводной жидкости между параллельными стенками, но жидкость предполагается идеальной и рассмотрено стационарное течение.
1. Точные решения уравнений магнитной гидродинамики. Задача рассматривается в следующей постановке. Щель шириной $l$, образованная двумя бесконечными параллельными стенками ${{Q}_{0}}$ и ${{Q}_{1}}$ с изолирующими свойствами, заполнена вязкой электропроводной несжимаемой жидкостью. Щель вместе с жидкостью вращается как одно целое с постоянной угловой скоростью ${{{\vec {\omega }}}_{0}} = {\text{const}}$, причем вектор ${{{\vec {\omega }}}_{0}}$ образует с этими плоскостями постоянный угол ${\beta }~\;\left( {0 < {\beta } \leqslant \frac{{\pi }}{2}} \right)$. Частный случай в отсутствие магнитного поля $\left( {{\beta } = \frac{{\pi }}{2}} \right)$ был исследован ранее [5].
Свяжем с пластиной ${{Q}_{0}}$ декартову систему координат ${{O}_{{xyz}}}$ с ортами ${{\vec {e}}_{x}}$, ${{\vec {e}}_{y}}$, ${{\vec {e}}_{z}}$ так, что плоскость ${{O}_{{xz}}}$ совпадает с плоскостью ${{Q}_{0}}$, а ось $y$ направлена по нормали к ней внутрь жидкости. В этой системе координат стенки и жидкость покоятся. В момент $t > 0$ стенка ${{Q}_{0}}$ начинает двигаться в продольном направлении со скоростью $\vec {u}\left( t \right)$. В тот же момент времени вносится внешнее однородное магнитное поле с индукцией ${{B}_{0}} = {\text{const}}$, направленной по нормали к стенкам. Схематично постановка задачи представлена на рис. 1.
Далее исследуется распространение возмущения в однородной проводящей среде под действием однородного магнитного поля и продольных колебаний стенки.
Движение жидкости в системе ${{O}_{{xyz}}}$, вращающейся с угловой скоростью ${{\vec {\omega }}_{0}}$, в магнито-гидродинамическом приближении (бесконечно проводящая жидкость) описывается уравнениями магнитной гидродинамики, а также граничными и начальными условиями, которые в обычных обозначениях имеют вид
(1.1)
$\begin{gathered} \vec {v}\left( {\vec {r},t} \right) = \vec {u}\left( t \right)\quad {\text{при}}\quad \vec {r} \in {{Q}_{0}},~\quad t > 0 \\ \vec {v}\left( {\vec {r},t} \right) = 0\quad {\text{при}}\quad \vec {r} \in {{Q}_{1}},~\quad t > 0 \\ \end{gathered} $Решение системы уравнений (1.1) будем искать в виде
Тогда система (1.1) распадается на две подсистемы
(1.2)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {{v}_{x}}}}{{\partial t}} + 2{\Omega }{{v}_{z}} = {\nu }\frac{{{{\partial }^{2}}{{v}_{x}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{1}{{{\mu \rho }}}{{B}_{0}}\frac{{\partial {{B}_{x}}}}{{\partial y}}} \\ {\frac{{\partial {{v}_{z}}}}{{\partial t}} - 2{\Omega }{{v}_{x}} = {\nu }\frac{{{{\partial }^{2}}{{v}_{z}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{1}{{{\mu \rho }}}{{B}_{0}}\frac{{\partial {{B}_{z}}}}{{\partial y}}} \\ {\frac{{\partial {{B}_{x}}}}{{\partial t}} = {{B}_{0}}\frac{{\partial {{v}_{x}}}}{{\partial y}};\quad \frac{{\partial {{B}_{z}}}}{{\partial t}} = {{B}_{0}}\frac{{\partial {{v}_{z}}}}{{\partial y}},\quad {\Omega } = {{{{\vec {\omega }}}}_{0}} \cdot {{{\vec {e}}}_{y}}} \end{array}$Уравнение для определения поля давлений записывается как
(1.3)
$\frac{{\partial q}}{{\partial y}} = 2\vec {v}\left( {{{{{\vec {\omega }}}}_{0}} \times {{{\vec {e}}}_{y}}} \right) - \frac{1}{{{\mu \rho }}}\left( {{{B}_{x}}\frac{{\partial {{B}_{x}}}}{{\partial y}} + {{B}_{z}}\frac{{\partial {{B}_{z}}}}{{\partial y}}} \right);\quad 0 \leqslant y \leqslant l$Введем комплексную структуру
Тогда система уравнений (1.2) примет вид
(1.4)
$\begin{gathered} \frac{{\partial{ \hat {v}}}}{{\partial t}} - i2\Omega \hat {v} = \nu \frac{{{{\partial }^{2}}\hat {v}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{B}_{0}}}}{{{\mu \rho }}}\frac{{\partial{ \hat {B}}}}{{\partial y}} \\ \frac{{\partial{ \hat {B}}}}{{\partial t}} = {{B}_{0}}\frac{{\partial{ \hat {v}}}}{{\partial y}} \\ \end{gathered} $Исключая магнитную индукцию из уравнений (1.4), получаем
(1.5)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}\hat {v}}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \left( {i2{\Omega } + \nu \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right)\frac{{\partial{ \hat {v}}}}{{\partial t}} - \frac{{B_{0}^{2}}}{{\mu \rho }}\frac{{{{\partial }^{2}}\hat {v}}}{{\partial {{y}^{2}}}} = 0 \\ \hat {v}\left( {0,t} \right) = \hat {u}\left( t \right) \\ \hat {v}\left( {l,t} \right) = 0,\quad ~\hat {v}\left( {y,0} \right) = 0 \\ \end{gathered} $Решение уравнения (1.5) запишем с использованием интеграла Дюамеля
(1.6)
$\hat {v}\left( {y,t} \right) = \frac{\partial }{{\partial t}}\mathop \smallint \limits_0^t \hat {u}\left( {t - {\tau }} \right){{\hat {v}}_{1}}\left( {y,{\tau }} \right)d{\tau }~$Здесь ${{{v}}_{1}}\left( {y,t} \right)$ – решение краевой задачи
(1.7)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{{\hat {v}}}_{1}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \left( {i2{\Omega } + {\nu }\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right)\frac{{\partial {{{\hat {v}}}_{1}}}}{{\partial t}} - \frac{{B_{0}^{2}}}{{{\mu \rho }}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{\hat {v}}}_{1}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} = 0 \\ {{{\hat {v}}}_{1}}\left( {0,t} \right) = \left\{ \begin{gathered} 1,~\quad t > 0 \hfill \\ 0,\quad ~t < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad {{{\hat {v}}}_{1}}\left( {l,t} \right) = 0 \\ \end{gathered} $В образах Лапласа $\tilde {v}\left( {y,p} \right)$ [6] уравнение (1.7) примет вид
(1.8)
$\begin{gathered} {{p}^{2}}{{{\tilde {v}}}_{1}}\left( {y,p} \right) - \left( {i2{\Omega } + {\nu }\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right)p{{{\tilde {v}}}_{1}}\left( {y,p} \right) - \frac{{B_{0}^{2}}}{{{\mu \rho }}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}{{{\tilde {v}}}_{1}}\left( {y,p} \right) = 0 \\ {{{\tilde {v}}}_{1}}\left( {0,p} \right) = \frac{1}{p},\quad {{{\tilde {v}}}_{1}}\left( {l,p} \right) = 0 \\ \end{gathered} $(1.9)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{{\tilde {v}}}_{1}}\left( {y,p} \right)}}{{\partial {{y}^{2}}}} - \frac{{{{p}^{2}} - i2{\Omega }p}}{{{\nu }p + \frac{{B_{0}^{2}}}{{{\mu \rho }}}}}{{{\hat {v}}}_{1}}\left( {y,p} \right) = 0 \\ {{{\tilde {v}}}_{1}}\left( {0,p} \right) = \frac{1}{p};\quad {{{\tilde {v}}}_{1}}\left( {l,p} \right) = 0~ \\ \end{gathered} $Решение уравнения (1.9) имеет вид
Определяя из граничных условий постоянные интегрирования ${{c}_{1}}$, ${{c}_{2}}$, получаем
Введем функцию ${\Psi } = \frac{{\operatorname{sh} {\lambda }\left( {l - y} \right)}}{{\operatorname{sh} {\lambda }l}}$ разложим ее на простые дроби [7]
Обозначим ${{{\lambda }}_{n}} = {\pi }n{\text{/}}l$. Тогда
(1.11)
$\Psi = 1 - \frac{y}{l} + \frac{2}{\pi }\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{n}}}}{n}\sin {{\lambda }_{n}}\left( {l - y} \right)\frac{{{{p}^{2}} - i2\Omega p}}{{{{p}^{2}} + p(\lambda _{n}^{2}\nu - i2\Omega ) + \frac{{\lambda _{n}^{2}B_{0}^{2}}}{{\mu \rho }}}}~$Согласно известным из операционного исчисления формулам [6], получаем
(1.12)
${{L}^{{ - 1}}}\left( {\frac{{p + {{\alpha }_{n}}}}{{{{{\left( {p + {{\alpha }_{n}}} \right)}}^{2}} + \omega _{n}^{2}}} - \frac{{{{\alpha }_{n}} + i2\Omega }}{{{{{\left( {p + {{\alpha }_{n}}} \right)}}^{2}} + \omega _{n}^{2}}}} \right) = {{e}^{{ - {{\alpha }_{n}}t}}}\left( {\cos {{\omega }_{n}}t - \frac{{{{\alpha }_{n}} + i2\Omega }}{{{{\omega }_{n}}}}\sin {{\omega }_{n}}t} \right)~,$Подставляя (1.11) в (1.10) с учетом (1.12), в пространстве оригиналов получим решение уравнений (1.7)
(1.13)
${{{\hat {v}}}_{1}}\left( {y,t} \right) = 1 - \frac{y}{l} - \frac{2}{l}\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \frac{{\sin {{\lambda }_{n}}y}}{{\lambda n}}{{e}^{{ - {{\alpha }_{n}}t}}}\left( {\cos {{\omega }_{n}}t - \frac{{{{\alpha }_{n}} + i2\Omega }}{{{{\omega }_{n}}}}\sin {{\omega }_{n}}t} \right)~$Таким образом, решение задачи (1.5) определяется формулами (1.6), (1.13). Подставляя (1.13) в (1.6), получим искомое поле скоростей вязкой электропроводной жидкости.
(1.14)
$\hat {v}\left( {y,t} \right) = \frac{\partial }{{\partial t}}\mathop \smallint \limits_0^t \,\hat {u}\left( {t - {\tau }} \right){{\hat {v}}_{1}}\left( {y,{\tau }} \right)d{\tau }~$Векторы касательных напряжений, действующие со стороны жидкости на верхнюю и нижнюю стенки щели, находятся по формулам
Полученные поле скоростей, вектор магнитной индукции и векторы касательных напряжений, действующие из жидкости на пластины, могут быть использованы для учета силовых воздействий при движении жидкости в каналах различной формы, а также в задачах фильтрации и при моделировании различных физических явлений в движущейся жидкости.
2. Поле скоростей потока, индуцированного движением одной из стенок. Пусть одна из плоскостей ${{Q}_{0}}$, составляющих границы щели, движется в продольном направлении со скоростью $u\left( t \right) = u\left( 0 \right){{e}^{{\lambda t}}}$, $\lambda = - \alpha + i\omega $.
Рассмотрим “нормальные” колебания вязкой электропроводной жидкости во вращающейся щели, т.е. будем изучать класс движений, в которых все временные факторы зависят от времени посредством множителя ${{e}^{{{\lambda }t}}}$. Тогда система уравнений (1.4) примет вид
(2.1)
$\begin{gathered} \lambda \hat {v} - i2\Omega \hat {v} = \nu \frac{{{{\partial }^{2}}\hat {v}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{B}_{0}}}}{{{\mu \rho }}}\frac{{\partial{ \hat {B}}}}{{\partial y}} \\ ~\lambda \hat {B}~~ = {{B}_{0}}\frac{{\partial{ \hat {v}}}}{{\partial y}} \\ \end{gathered} $Граничные и начальные условия:
Исключая из (2.1) магнитную индукцию, для функции $\hat {v}\left( y \right)$ получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
(2.2)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\hat {v}}}{{\partial {{y}^{2}}}} = \frac{{\lambda - i2\Omega }}{{\nu + \frac{{B_{0}^{2}}}{{{\mu \rho \lambda }}}}}\hat {v},\quad 0 < y < l$Общее решение уравнения (2.2) имеет вид
где ${{\hat {C}}_{1}}$, ${{\hat {C}}_{2}} - $ произвольные комплексные постоянные, а(2.4)
$q = \sqrt {\frac{{\lambda - i2{\Omega }}}{{{\nu } + \frac{{B_{0}^{2}}}{{{\mu \rho \lambda }}}}}} ,~$Определяя постоянные интегрирования из граничных условий (2.3), получаем “нормальные” колебания вязкой электропроводной жидкости в постоянном магнитном поле во вращающейся щели
(2.5)
$\tilde {v}\left( {y,t} \right) = ~~~{{e}^{{{\lambda }t}}}\hat {u}\left( 0 \right)\frac{{{\text{sh}}\left( {l - y} \right)q{\text{\;\;\;\;}}}}{{\operatorname{sh} ql}}$Отсюда видно, что в качестве $q$ можно взять любое из двух значений корня (2.4). С помощью (2.5) находим векторы касательных напряжений, действующие со стороны жидкости на верхнюю и нижнюю пластины щели
(2.6)
${{\hat {f}}_{0}} = - {\rho \nu }q{{e}^{{{\lambda }t}}}\hat {u}\left( 0 \right)\frac{{\operatorname{ch} ql}}{{\operatorname{sh} ql}}$( 2.7)
${{\hat {f}}_{l}} = - {\rho \nu }q{{e}^{{{\lambda }t}}}\hat {u}\left( 0 \right)\frac{1}{{\operatorname{sh} ql}}$Из выражений (2.5)–(2.7) видно, что поле скоростей жидкости и силы трения существенно зависят от комплексного параметра $q$, связывающего параметры гармонических колебаний пластин и вращения щели.
3. Структура пограничных слоев. Исследуем подробнее выражение (2.5) для поля скоростей. Выражение для частот $q$ представим в виде
где ${\delta }$ – толщина пограничного слоя, k – волновое число.Рассмотрим
Обозначим
Тогда ${{m}^{2}} + {{n}^{2}} = {{\nu }^{2}} + \frac{{B_{0}^{2}(B_{0}^{2} - 2\nu \alpha \mu \rho )}}{{{{\mu }^{2}}{{\rho }^{2}}({{\alpha }^{2}} + {{\omega }^{2}})}}$
Имеем
Обозначим
Рассмотрим
Введем для удобства следующие обозначения:
Тогда величины ${{{\delta }}_{{1,~2}}}$, ${{k}_{{1,2}}}$, имеющие физический смысл толщины пограничного слоя и волнового числа, определены посредством формул
(3.2)
$\frac{1}{{{\delta }_{{1,2}}^{2}}} = \frac{{\sqrt {{{C}^{2}} + {{D}^{2}}} + C}}{2};\quad k_{{1,2}}^{2} = {{\left( {\frac{2}{{\sqrt {{{C}^{2}} + {{D}^{2}}} - C}}} \right)}^{{ - 1}}}$Поле скоростей (2.5) представим в виде суперпозиции двух бегущих волн:
(3.3)
$\hat {v}\left( {y,t} \right) = \hat {A}{{e}^{{ - i\left( {ky + \omega t} \right)}}} + \hat {B}{{e}^{{i\left( {ky + \omega t} \right)}}},$(3.4)
$\hat {A} = \frac{{\exp \left[ { - \alpha t - y{\text{/}}\delta } \right]\hat {u}\left( 0 \right)}}{{2\operatorname{sh} ql}}{{e}^{{ql}}},\quad \hat {B} = \frac{{\exp \left[ { - \alpha t + y{\text{/}}\delta } \right]\hat {u}\left( 0 \right)}}{{2\operatorname{sh} ql}}{{e}^{{ - ql}}}$При этом волновые числа имеют вид
(3.5)
$k = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt {\frac{{{{\alpha }^{2}} + {{{\left( {\omega - 2\Omega } \right)}}^{2}}}}{{{{\nu }^{2}} + \frac{{B_{0}^{2}(B_{0}^{2} - 2\nu \alpha \mu \rho )}}{{{{\mu }^{2}}{{\rho }^{2}}({{\alpha }^{2}} + {{\omega }^{2}})}}}}} ~~ + \frac{{\alpha \nu ~ + \frac{{B_{0}^{2}({{\omega }^{2}} - {{\alpha }^{2}} - 2\omega \Omega )}}{{{{\mu }^{2}}{{\rho }^{2}}({{\alpha }^{2}} + {{\omega }^{2}})}}}}{{{{\nu }^{2}} + \frac{{B_{0}^{2}(B_{0}^{2} - 2\nu \alpha \mu \rho )}}{{{{\mu }^{2}}{{\rho }^{2}}({{\alpha }^{2}} + {{\omega }^{2}})}}}}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}$(3.6)
$\delta = \sqrt 2 {{\left( {\sqrt {\frac{{{{\alpha }^{2}} + {{{\left( {\omega - 2\Omega } \right)}}^{2}}}}{{{{\nu }^{2}} + \frac{{B_{0}^{2}(B_{0}^{2} - 2\nu \alpha \mu \rho )}}{{{{\mu }^{2}}{{\rho }^{2}}({{\alpha }^{2}} + {{\omega }^{2}})}}}}} ~~ - \frac{{\alpha \nu ~ + \frac{{B_{0}^{2}({{\omega }^{2}} - {{\alpha }^{2}} - 2\omega \Omega )}}{{{{\mu }^{2}}{{\rho }^{2}}({{\alpha }^{2}} + {{\omega }^{2}})}}}}{{{{\nu }^{2}} + \frac{{B_{0}^{2}(B_{0}^{2} - 2\nu \alpha \mu \rho )}}{{{{\mu }^{2}}{{\rho }^{2}}({{\alpha }^{2}} + {{\omega }^{2}})}}}}} \right)}^{{ - \frac{1}{2}}}}$Эти волны распространяются по оси y навстречу друг другу с одинаковой фазовой скоростью и зависят от частоты. Это означает, что поток вязкой электропроводной жидкости представляет собой диспергирующую среду.
Групповые скорости этих волн ${{v}_{{{\text{гр}}}}} = \frac{{d{\omega }}}{{dk}} = ~\frac{1}{{dk{\text{/}}d{\omega }}}$ также совпадают. Они зависят от коэффициента затухания, параметров движения стенок, скорости вращения системы, магнитной индукции и параметров жидкости.
Амплитуды этих волн зависят от глубины щели, величины проекции угловой скорости на ось у, параметров движения стенки, магнитной индукции и параметров жидкости.
Выберем индукцию поля $B_{0}^{2} = 2\nu \alpha \mu \rho $. Рассмотрим случай резонанса ${\omega } = 2{\Omega }$, тогда
(3.8)
$k = \sqrt {\frac{\alpha }{\nu }} \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{{4{{\Omega }^{2}}}}} }},\quad \delta = \sqrt {\frac{\nu }{\alpha }} \sqrt {1 + \frac{{4{{\Omega }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}}}} $В этом резонансном случае волновое число и величина пограничного слоя зависят только от вязкости жидкости, коэффициента затухания и проекции угловой скорости вращения щели на ось Оу. Волновое число и величина пограничного слоя не зависят от магнитной проницаемости и электропроводности жидкости.
При ${\alpha } = 0$ волновое число $k = 0$ и движение жидкости сводится к колебательному процессу. Пограничный слой при этом заполняет всю ширину щели. В этом случае говорят, что погранслой отсутствует.
Заключение. Проведен анализ задачи неустановившегося течения вязкой электропроводной несжимаемой жидкости в плоско-параллельной конфигурации. Найдены точные решения трехмерных нестационарных уравнений магнитной гидродинамики. При этом никаких ограничений на характер движения пластины не накладывается. Определены поле скоростей в потоке и векторы касательных напряжений, действующие из жидкости на стенки щели. Для случая “нормальных” колебаний одной из стенок рассмотрен случай резонанса и исследована структура пограничных слоев, примыкающих к стенкам. Математическая процедура интегрирования системы дифференциальных уравнений рассматриваемой задачи может быть использована при исследовании более сложных задач. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы для учета силовых воздействий при движении жидкости в каналах различной формы, а также в задачах фильтрации и при моделировании различных физических явлений в движущейся жидкости.
Список литературы
Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955. 521 с.
Гурченков А.А., Яламов Ю.И. Нестационарный поток на пористой пластине при наличии вдува (отсоса) среды // ПМТФ. 1980. № 4. С. 66–69.
Гурченков А.А. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 251–255.
Холодова Е.С. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, С.-Петербургский государственный университет, С.-Петербург. 2019, 451 с.
Thornley Cl. On Stokes and Rayleigh layers in a rotating system // Quart J. Mech. Appl. Math. V. 21. № 4. P. 455–462.
Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. M.: Наука, 1971. 288 с.
Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.M.: Наука, 1981. 632 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Прикладная математика и механика
Пн.-пт.: 10.00-19.00