Прикладная математика и механика, 2020, T. 84, № 1, стр. 64-76

1. Постановка задачи. При закачке нагретой жидкости в однородную холодную пористую среду, насыщенную той же самой жидкостью, образуется фронт температуры $S$. Предположим, что в одномерном течении он распространяется от границы $x = 0$ в область $x > 0$ (рис. 1). Перед фронтом сохраняется начальная температура ${{T}_{ - }}$, а за ним пористая среда нагревается до температуры закачиваемой жидкости ${{T}_{ + }}$. Предполагая локальное тепловое равновесие и малость кондуктивного переноса тепла по сравнению с конвективным, фронт можно рассматривать как сильный разрыв, на котором температура скачком возрастает от ${{T}_{ - }}$ до ${{T}_{ + }}$ (рис. 1, линия 1). Решения с такими разрывами, скорость которых выражается из конечного соотношения, рассматривались ранее (напр. [1, 2]). Если кондуктивный перенос тепла сопоставим с конвективным, то теплопроводность сглаживает разрывное распределение температуры. В результате фронт $S$ представляет собой протяженную область, в которой температура непрерывно возрастает от ${{T}_{ - }}$ до ${{T}_{ + }}$ (рис. 1, кривая 2). Фильтрация с подобными температурными слоями, протяженность которых растет со временем, $t$, как $\sqrt t $, рассматривалась в [3–5].

При высоких скоростях фильтрации течение осложняется отсутствием локального теплового равновесия между жидкостью и скелетом пористой среды. В этом случае время, за которое фронт проходит некоторое характерное расстояние, имеет тот же или больший порядок величины, что и время, за которое в элементарном объеме выравниваются температуры жидкости и скелета пористой среды. Подобные неравновесные эффекты, также как и теплопроводность, могут привести к образованию переходного слоя $S$ конечной толщины, в котором температура непрерывна. Структура таких фронтов рассматривалась в работах [6, 7], в которых показано, что при характерных размерах зерен геологических пористых сред (10⁰–10⁴ мкм) подобные неравновесные эффекты несущественны для геофизических приложений теории фильтрации.

В настоящей работе рассмотрена структура температурного фронта при фильтрации в трещиновато-пористых средах, когда течение осложняется наличием двух различных масштабов пористости и проницаемости. Существуют высокопроницаемые трещины или каналы, между которыми располагаются низкопроницаемые пористые блоки. Для прогнозирования фильтрации в таких средах часто используют модель двойной пористости [8, 9]. В этой модели трещиновато-пористая среда рассматривается в виде двух взаимопроникающих континуумов (пористых сред) – трещин, ${{\Phi }_{f}}$, и блоков, ${{\Phi }_{m}}$, между которыми происходит тепломассообмен [8, 10]. В практических приложениях часто рассматривается предельный случай, когда ${{\Phi }_{f}}$ имеет малую пористость и высокую проницаемость, а ${{\Phi }_{m}}$, наоборот, – высокую пористость и малую проницаемость [11–13]. В этом случае течение жидкости в основном происходит по трещинам, тогда как больший ее объем находится в блоках. В настоящей работе для общности исследования данных предположений о ${{\Phi }_{f}}$ и ${{\Phi }_{m}}$ не делается, а существенным для дальнейшего изложения является только наличие двух различных масштабов пористости проницаемости.

При фильтрации в трещиновато-пористой среде нагретая жидкость может переносить высокие значения температуры ${{T}_{ + }}$ существенно быстрее по трещинам ${{\Phi }_{f}}$, чем по блокам ${{\Phi }_{m}}$ (рис. 1, кривые 3 и 4). В результате локальное тепловое равновесие между ${{\Phi }_{f}}$ и ${{\Phi }_{m}}$ нарушается, а фронт $S$ имеет конечную толщину. При этом в обоих взаимопроникающих континуумах возможен конвективный перенос тепла жидкостью, который в отличие от [6, 7, 14, 15] учитывается в настоящей работе. Так как характерный размер низкопроницаемых блоков в среде ${{\Phi }_{m}}$ (>1 м) существенно больше характерного размера зерен (10⁰–10⁴ мкм), то неравновесное распределение температуры в трещиновато-пористых средах может развиваться в существенно большем диапазоне параметров течения, чем в случаях, рассмотренных ранее [6, 7]. Подобную неравновесность необходимо учитывать в геофизических приложениях, связанных с получением геотермальной энергии и природными процессами [11, 13].

2. Основные уравнения. Поровое пространство трещиновато-пористой среды охарактеризуем параметром $\gamma = {{{{V}_{f}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{V}_{f}}} V}} \right. \kern-0em} V}$ – относительным объемом среды ${{\Phi }_{f}}$, где $V = {{V}_{f}} + {{V}_{m}}$ – полный элементарный объем среды, а ${{V}_{i}}$, $i = f,m$ – объем, относящийся к континууму ${{\Phi }_{i}}$. Тогда относительный объем среды ${{\Phi }_{m}}$ равен $1 - \gamma = {{{{V}_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{V}_{m}}} V}} \right. \kern-0em} V}$. Для каждого континуума зададим пористость ${{\phi }_{i}} = {{{{V}_{{\operatorname{por} ,i}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{V}_{{\operatorname{por} ,i}}}} {{{V}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{V}_{i}}}}$, абсолютную проницаемость ${{K}_{i}}$, и коэффициент теплопроводности насыщенной пористой среды ${{\lambda }_{i}}$, где ${{V}_{{\operatorname{por} ,i}}}$ – объем пустот, заполненных жидкостью в соответствующем континууме. Тогда поровые пространства в средах ${{\Phi }_{f}}$ и ${{\Phi }_{m}}$ занимают, соответственно, доли $\gamma {{\phi }_{f}}$ и $(1 - \gamma ){{\phi }_{m}}$ элементарного объема $V$.

Неизотермическая фильтрация несжимаемой жидкости в тонком горизонтальном слое трещиновато-пористой среды описывается системой уравнений [8, 11, 13, 16, 17]

Здесь ${{{{\partial }_{t}} = \partial } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }_{t}} = \partial } {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$, ${\mathbf{u}}$ – скорость фильтрации, $\mu = {\text{const}}$ – динамическая вязкость жидкости, $P$ – давление, $\sigma = 12{\text{/}}(L_{0}^{2})$ – параметр формы блоков в изотропной среде ${{\Phi }_{m}}$, характеризующий форму и размер блоков и, следовательно, интенсивность тепломассообмена между трещинами и блоками [12], ${{L}_{0}}$ – характерный размер блоков, $\rho = {\text{const}}$ – плотность жидкости, а $e$ – ее удельная внутренняя энергия, ${{(\rho e)}_{i}}$ – эффективная внутренняя энергия насыщенной пористой среды ${{\Phi }_{i}}$, $T$ – температура, ${{{v}}_{{mf}}}$ и ${{q}_{{mf}}}$ – потоки жидкости и энергии, передающейся посредством теплопроводности, из среды ${{\Phi }_{m}}$ в ${{\Phi }_{f}}$, введены константы ${{n}_{f}} = 1$, ${{n}_{m}} = - 1$, а индекс $i = m,f$ обозначает параметры, относящиеся к среде ${{\Phi }_{i}}$.

Соотношение (2.1) – закон фильтрации Дарси, а (2.2) – уравнения неразрывности для каждого ${{\Phi }_{i}}$. Закон сохранения энергии (2.3) основывается на предположении о малой скорости фильтрации ${\mathbf{u}}$, которое заведомо выполняется для широкого класса течений в пористых средах [16]. Тогда, считая ${\mathbf{u}}$ малым, при записи баланса энергии можно пренебречь изменением кинетической энергии $E\sim {{{\mathbf{u}}}^{2}}$ и притоком тепла вследствие диссипации кинетической энергии $dQ{\text{**}}\sim {{{\mathbf{u}}}^{2}}$. В результате закон сохранение энергии для каждого континуума ${{\Phi }_{i}}$ постулируем в виде

где $dU$ – изменение внутренней энергии, $d{{A}^{{(e)}}}$ – элементарная работа внешних сил, $d{{Q}^{{(e)}}}$ – элементарный приток тепла [18]. В сформулированной задаче массовые силы отсутствуют, поэтому член $d{{A}^{{(e)}}}$ содержит работу только поверхностных сил. Левые части уравнений (2.3) соответствуют приращению $d{{U}_{i}}$ в законе (2.5). Члены $ - \nabla \left( {{{P}_{i}}{{{\mathbf{u}}}_{i}}} \right)$ и ${{n}_{i}}{{P}_{i}}{{{v}}_{{mf}}}$ соответствуют работе внешних сил давления $dA_{i}^{{(e)}}$, приводящих к течению по средам ${{\Phi }_{i}}$ и между ${{\Phi }_{m}}$ и ${{\Phi }_{f}}$, соответственно. Последние три члена в правой части (2.3), равны кондуктивному (т.е. из-за теплопроводности) притоку тепла $dQ_{i}^{{(e)}}$ по среде ${{\Phi }_{i}}$, а также конвективному и кондуктивному перетоку тепла между ${{\Phi }_{m}}$ и ${{\Phi }_{f}}$, соответственно.

Соотношения (2.4) задают переток жидкости и кондуктивный поток тепла между взаимопроникающими средами, согласно которым ${{{v}}_{{mf}}}$ прямо пропорционально разности давлений ${{P}_{m}} - {{P}_{f}}$, а ${{q}_{{mf}}}$ – температур ${{T}_{m}} - {{T}_{f}}$.

Температура ${{T}_{{mf}}}$ жидкости во втором слагаемом в правой части уравнения (2.3), ответственном за конвективный перенос тепла между ${{\Phi }_{i}}$, сносится против направления потока. Если течение происходит из ${{\Phi }_{m}}$ в ${{\Phi }_{f}}$, т.е. при ${{P}_{m}} \geqslant {{P}_{f}}$, ${{{v}}_{{mf}}} \geqslant 0$, то ${{T}_{{mf}}} = {{T}_{m}}$, а если, наоборот, – из ${{\Phi }_{f}}$ в ${{\Phi }_{m}}$, т.е. при ${{P}_{m}} < {{P}_{f}}$, ${{{v}}_{{mf}}} < 0$, то ${{T}_{{mf}}} = {{T}_{f}}$.

Эффективная плотность внутренней энергии ${{(\rho e)}_{i}}$ (и теплоемкость ${{(\rho С)}_{i}}$) бесконечно малого объема среды ${{\Phi }_{i}}$ записывается в виде суммы объемных энергий (и теплоемкостей) жидкости и скелета пористой среды:

где ${{\rho }_{r}} = {\text{const}}$ – плотность, а $e_{{r,i}}^{{}}$ – удельная внутренняя энергия скелета пористой среды. Здесь предполагается, что ${{e}_{i}} = C{{T}_{i}}$ и $e_{{r,i}}^{{}} = {{C}_{r}}{{T}_{i}}$, где $С$ и ${{С}_{r}}$ – теплоемкости.

3. Уравнения в безразмерной форме и предложения. Учитывая сформулированную задачу (рис. 1), определим безразмерные параметры в виде

где звездочкой обозначены безразмерные переменные, а $L$, ${{t}_{s}}$, $\Omega $, ${{P}_{s}}$ и ${{T}_{s}}$ – характерные масштабы длины, времени, скорости фильтрации, давления и температуры, соответственно. Далее предполагается, что введенные масштабы связаны соотношениями где $\bar {\phi }$, $\bar {K}$ и $\bar {\lambda }$ – эффективные (т.е. осредненные по масштабам ${{\Phi }_{i}}$) пористость, проницаемость и коэффициент теплопроводности. Согласно уравнениям (3.2), $L$ есть перемещение за время ${{t}_{s}}$ частицы жидкости в одномерном однофазном течении с истинной скоростью ${\Omega \mathord{\left/ {\vphantom {\Omega {\bar {\phi }}}} \right. \kern-0em} {\bar {\phi }}}$ [16], а, согласно закону Дарси (2.1), ${{P}_{s}}$ есть характерный перепад давления на масштабе $L$, обеспечивающий течение со скоростью фильтрации $\Omega $. Безразмерные температуры нагнетаемой жидкости и ее значение при $t = 0$ равны 1 и 0, соответственно.

Подставляя соотношения (2.4)–(3.2) в уравнения (2.1)–(2.3) и всюду далее опуская символ звездочки у безразмерных величин, систему уравнений фильтрации в трещиновато-пористой среде представим в виде

где введены параметры подобия

Так как ${{\kappa }_{f}} + {{\kappa }_{m}} = 1$ и ${{\Lambda }_{f}} + {{\Lambda }_{m}} = 1$, то из параметров ${{\kappa }_{i}}$ и ${{\Lambda }_{i}}$ только ${{\kappa }_{m}}$ и ${{\Lambda }_{m}}$ независимые, а ${{\kappa }_{f}} = 1 - {{\kappa }_{m}}$, ${{\Lambda }_{f}} = 1 - {{\Lambda }_{m}}$.

Параметр подобия $\Upsilon $ характеризует влияние работы внешних поверхностных сил (давления) на распределение температуры. Для типичных параметров течения воды, рассматривающихся в данной работе ($\rho = 1000$ кг/м³, $С = 4200$ Дж/(кг K), ${{P}_{s}} = {{10}^{5}}$ Па, ${{T}_{s}} \geqslant 1$°C), выполняется условие $\Upsilon \ll 1$, поэтому всюду далее полагаем $\Upsilon \equiv 0$.

Параметр подобия $B$ характеризует интенсивность тепломассообмена между ${{\Phi }_{i}}$. Если $B \to 0$, то множители перед разностями давлений ${{P}_{m}} - {{P}_{f}}$ и температур ${{T}_{m}} - {{T}_{f}}$ в правых частях уравнений (3.4) и (3.5) стремятся к бесконечности, а, следовательно, эти разности стремятся к нулю. Это означает, что при $B \to 0$ $P$ и $T$ в средах ${{\Phi }_{i}}$ быстро выравниваются. Чем больше $B$, тем больше могут различаться давления ${{P}_{i}}$ и температуры ${{T}_{i}}$, а локальное равновесие между средами нарушается. Таким образом, $B$ есть мера неравновесности течения из-за различной динамики процессов в средах ${{\Phi }_{i}}$.

В условиях локального теплового равновесия ($B = 0$) фильтрация описывается уравнениями, полученными попарным суммированием уравнений (3.3)–(3.5) при $i = f$ с $i = m$:

Заметим, что система уравнений (3.3)–(3.5) расщепляется на две подсистемы, которые можно решить последовательно одну за другой. Сначала достаточно решить уравнения (3.3), (3.4) относительно ${{P}_{i}}$ и ${{{\mathbf{u}}}_{i}}$, а затем, используя полученные распределения давления и скорости, решить два уравнения на температуру (3.5).

Далее ограничимся случаем, когда на границе $x = 0$ давления в средах равны, а объемы жидкости, закачиваемой в среды ${{\Phi }_{i}}$, пропорциональны соответствующей проницаемости ${{K}_{i}}$, т.е. в безразмерных переменных заданы граничные условия

где ${{P}_{ + }} = {\text{const}}$. Учитывая (3.8), получим, что решение системы (3.3), (3.4) дается соотношениями

Таким образом, давления в средах ${{\Phi }_{i}}$ равны друг другу во всей области $x > 0$ и, согласно соотношениям (2.4), переток жидкости между ${{\Phi }_{i}}$ равен нулю: ${{{v}}_{{mf}}} = 0$. Тогда второй член в правой части уравнения (3.5) тождественно равен нулю, а уравнения на температуру упрощаются:

Учитывая уравнения (3.7) и соотношения (2.5), получим, что температура в равновесном течении ($B = 0$) удовлетворяет уравнению

4. Малые возмущения и сильные разрывы. При ${\text{Pe}} \to \infty $ система двух уравнений (1.16) на распределение температуры в неравновесном течении имеет две характеристические скорости [1]

С характеристикой ${{c}_{m}}$ (или ${{c}_{f}}$) в среде ${{\Phi }_{m}}$ (или ${{\Phi }_{f}}$) переносятся малые возмущения температуры ${{T}_{m}}$ (или ${{T}_{f}}$), а параметры в смежной среде ${{\Phi }_{f}}$ (или ${{\Phi }_{m}}$) не изменяются. Таким образом, малые возмущения (4.1) описывают перенос возмущений ${{T}_{i}}$ жидкостью в условиях пренебрежимо малой теплопроводности и отсутствия теплообмена между средами ${{\Phi }_{i}}$.

Из интегральной формы записи законов сохранения (3.10) [18, 19] следует, что при ${\text{Pe}} \to \infty $ и любом $B$ возможны разрывы двух типов, ${{S}_{f}}$ и ${{S}_{m}}$, распространяющихся со скоростями ${{c}_{f}}$ и ${{c}_{m}}$. Разрывы ${{S}_{f}}$ (и ${{S}_{m}}$) переносят возмущения ${{T}_{f}}$ (и ${{T}_{m}}$), а температура ${{T}_{m}}$ (и ${{T}_{f}}$) в них непрерывна. На каждом разрыве ${{S}_{i}}$ выполняется два условия, соответствующие законам сохранения (3.10), поэтому для эволюционности разрыва ${{S}_{i}}$ необходимо потребовать, чтобы от него уходила ровно одна характеристика [19]. Так как в среде ${{\Phi }_{i}}$ скорость разрыва равна ${{c}_{i}}$, то, в случае общего положения ${{c}_{f}} \ne {{c}_{m}}$, и от разрыва ${{S}_{i}}$ уходит только одна характеристика другого типа ${{c}_{j}}$, $j \ne i$. Это означает, что любой разрыв ${{S}_{i}}$ эволюционен.

При ${\text{Pe}} \to \infty $ уравнение (3.11) на распределение температуры в равновесном течении имеет одну характеристическую скорость

Заметим, что из выражения (4.2) ясен физический смысл параметра $\overline {{\text{Sh}}} $. Температурное число Струхаля $\overline {{\text{Sh}}} > 1$ показывает во сколько раз в равновесном течении частица жидкости движется быстрее, чем распространяются возмущения температуры $T$, вызванные конвективным переносом тепла. Действительно, если частица нагретой жидкости догоняет $S$, то далее она в переходном слое отдает тепло скелету пористой среды, охлаждается и движется дальше, обгоняя $S$. Числа ${\text{S}}{{{\text{h}}}_{i}}$ характеризуют те же самые процессы в средах ${{\Phi }_{i}}$ при $B \to \infty $.

Из интегральной формы записи уравнения (3.11) следует, что в равновесном течении возможны разрывы только одного типа $S$, распространяющегося с характеристической скоростью $c$. При $B = 0$ на разрыве $S$ выполняется одно условие, соответствующее закону сохранения (3.11), поэтому для эволюционности разрыва $S$ необходимо потребовать, чтобы характеристики (4.2) от него не уходили. Так как разрыв распространяется со скоростью $c$, то в равновесной модели разрыв $S$ всегда эволюционен.

Рассмотрим разрыв $S$ в рамках более общей неравновесной модели (3.10), из которой в пределе $B = 0$ получено уравнение (3.11). В случае общего положения $c \ne {{c}_{i}}$, поэтому при $B \ne 0$ разрыв $S$ неэволюционен, так как от него обязательно уходит одна характеристика ${{c}_{m}}$ и одна ${{c}_{f}}$. Таким образом, имеется кажущееся противоречие, связанное с тем, что разрыв $S$ эволюционен только в предельном случае $B = 0$ и неэволюционен при любом $B > 0$, несмотря на то, что уравнение (3.11) есть частный случай системы (3.10). Для разрешения противоречия рассмотрим структуру фронта разрыва $S$ в неравновесном течении.

5. Характерные масштабы в температурном фронте. Введем переменную

равную числу вовлеченных в неизотермическое течение блоков в среде ${{\Phi }_{m}}$, умноженному на коэффициент ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {12} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {12} }}$. Таким образом, $X$ характеризует пространственный масштаб течения, если за единицу длины взят размер одного блока. Тогда, согласно (3.2), возрастание $X$ соответствует пропорциональному росту времени закачки нагретой жидкости ${{t}_{s}}$.

Используя переменную $X$, параметры $\alpha $ и $\beta $ в уравнениях (3.10) представим в виде

Здесь ${\text{P}}{{{\text{e}}}_{0}}$ – число Пекле, если масштаб длины равен ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt \sigma }}} \right. \kern-0em} {\sqrt \sigma }}\sim {{L}_{0}}$. Таким образом, параметр $\alpha $, пропорциональный кондуктивному переносу тепла внутри каждой среды ${{\Phi }_{i}}$, убывает с $X$ как ${{X}^{{ - 1}}}$, а параметр $\beta $, пропорциональный интенсивности теплообмена между средами, возрастает прямопропорционально $X$. Согласно (5.1), кривые $\alpha (X)$ и $\beta (X)$ на рис. 2 пересекаются в точке $O$ с координатами $X = 1$, $\alpha = \beta = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{\text{P}}{{{\text{e}}}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{P}}{{{\text{e}}}_{0}}}}$.

Введем малую величину $\varepsilon \ll 1$, такую что при $\alpha < \varepsilon $ и $\beta < \varepsilon $ можно пренебречь правой частью уравнения (3.10) по сравнению с конвективным членом ${{\kappa }_{i}}\nabla {{T}_{i}}$, имеющим порядок единицы в силу выбранных единиц измерения (3.1), (3.2). Определим значения ${{X}_{\lambda }}$, ${{X}_{s}}$, ${{X}_{{ne}}}$ и ${{X}_{e}}$ так, чтобы выполнялись равенства (рис. 2)

Тогда, согласно (5.1), получим

В силу введенных определений, при $t\sim 1$ и $X \geqslant {{X}_{s}}$ (${\text{Pe}} \gg 1$) влиянием теплопроводности на распределение параметров в пространстве можно пренебречь, а при $X < {{X}_{\lambda }}$ (${\text{Pe}} \ll 1$) кондуктивный перенос тепла преобладает над конвективным. При ${{X}_{\lambda }} \leqslant X < {{X}_{s}}$ необходимо учитывать оба механизма переноса тепла внутри каждого континуума ${{\Phi }_{i}}$. При $X \geqslant {{X}_{e}}$ ($B{\text{Pe}} \ll 1$) происходит течение близкое к локальному тепловому равновесию, т.е. ${{T}_{f}} \approx {{T}_{m}}$, а при $X < {{X}_{{ne}}}$ ($B{\text{Pe}} \gg 1$) теплообмен между средами пренебрежимо мал и, следовательно, распределения температур ${{T}_{m}}$ и ${{T}_{f}}$ не зависят друг от друга. При ${{X}_{{ne}}} \leqslant X < {{X}_{e}}$ существенны неравновесные эффекты из-за теплообмена между средами ${{\Phi }_{i}}$.

Предположим, что ${{X}_{s}} < {{X}_{{ne}}}$, т.е., согласно обозначениям (5.2), ${\text{P}}{{{\text{e}}}_{0}} \gg 1$, а точка $O$ на рис. 2 лежит ниже горизонтальной прямой с ординатой $\varepsilon $. Тогда выполняется следующая цепочка неравенств

Введем переменные

и далее рассмотрим распределения ${{T}_{i}}$ на плоскостях $\left\{ {\xi ,T} \right\}$ и $\left\{ {\eta ,T} \right\}$. По определению (5.4) сильный разрыв $S$ (при $\alpha ,\beta \to 0$) расположен при $\xi = 0$ и $\eta = 0$. Переменные $\xi $ и $\eta $ удобны для выделения распределений в структуре фронта разрыва $S$, в которых характерный масштаб длины $\Delta x$ пропорционален $\sqrt t $ и $t$, соответственно.

На масштабах $X < {{X}_{\lambda }}$, $t\sim 1$ уравнения (3.10) сводятся к системе двух уравнений теплопроводности, решение которых зависит только от переменной ${{\xi }_{0}}$:

где ${\text{erf}}(x)$ – функция ошибок. Согласно выражениям (5.4), на начальных этапах закачки жидкости, т.е. при $Xt \to 0$, выполняется условие ${{\xi }_{0}} \to \xi $, а в решении (5.5) можно заменить ${{\xi }_{0}}$ на $\xi $. Уравнения (5.5) описывают автомодельные температурные пограничные слои в средах ${{\Phi }_{i}}$, образующиеся мгновенно при $Xt \to 0$ (рис. 3а, кривые 1, 2). Толщина этих слоев $\Delta {{x}_{i}}$ дается оценкой

При $X < {{X}_{\lambda }}$ и возрастании $Xt$ кривые 1 и 2 на плоскости $\left\{ {\xi ,T} \right\}$ смещаются влево, так как переменная $\xi $ убывает при ${{\xi }_{0}} = {\text{const}}$ (рис. 3а). Решение (5.5) на плоскости $\left\{ {\eta ,T} \right\}$, $\eta \sim 1$ дает прямые линии (рис. 3б). В пределе $Xt \to 0$ они совпадают с горизонтальной прямой $T = 1$, а при возрастании $Xt$ их наклон к оси $\eta $ увеличивается.

На масштабах ${{X}_{\lambda }} < X < {{X}_{s}}$, $t\sim 1$, когда члены ${{\kappa }_{i}}\nabla {{T}_{i}}$ и ${{{{\Lambda }_{i}}\Delta {{T}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\Lambda }_{i}}\Delta {{T}_{i}}} {{\text{Pe}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Pe}}}}$ в уравнениях (3.10) сравнимы, а теплообмен между средами ${{\Phi }_{i}}$ еще пренебрежимо мал ($X < {{X}_{e}}$), распределение температуры описывается уравнениями

Решение системы (5.7) имеет вид

Следовательно, температуры ${{T}_{i}}$ имеют автомодельные распределения от различных переменных ${{\xi }_{i}}$. Решения (5.8) описывают постепенное формирование двух различных фронтов температуры ${{S}_{i}}$ в средах ${{\Phi }_{i}}$, для толщины которых $\Delta {{x}_{i}}$ остается справедливой оценка (5.6). C возрастанием $Xt$ толщины фронтов на плоскости $\left\{ {\xi ,T} \right\}$ уменьшаются и в результате переходных процессов при ${{X}_{\lambda }} \leqslant X < {{X}_{s}}$ распределения температуры непрерывным образом эволюционируют к следующему асимптотическому распределению при ${{X}_{s}} \leqslant X < {{X}_{{ne}}}$.

На масштабах ${{X}_{s}} \leqslant X < {{X}_{{ne}}}$, $t\sim 1$ можно пренебречь как теплопроводностью (${{X}_{s}} \leqslant X$), так и теплообменом между средами ($X < {{X}_{{ne}}}$), а (3.10) сводится к двум уравнениям переноса

Система (5.9) описывает разрывные распределения температуры в среде ${{\Phi }_{i}}$, связанные с распространением со скоростями ${{c}_{i}}$ (4.1) двух сильных разрывов ${{S}_{i}}$ (рис. 3, кривые 3, 4). В результате ${{T}_{i}}$ в структуре фронта $S$ имеют автомодельные распределения от переменной $\eta $

где $\theta (x)$ – функция Хевисайда. Если эти решения построить на плоскости $\left\{ {\xi ,T} \right\}$, то график ${{T}_{i}}$ имеет форму “ступеньки”, смещающейся в случае разрыва ${{S}_{f}}$ (или ${{S}_{m}}$) в положительном (или отрицательном) направлении оси $\xi $ (предполагается, что ${{c}_{m}} < {{c}_{f}}$). На плоскости $\left\{ {\eta ,T} \right\}$ распределения (5.10) при возрастании $X$ не изменяются, т.е. при ${{X}_{s}} \leqslant X < {{X}_{{ne}}}$ реализуется автомодельное распределение температуры ${{T}_{i}}$ от переменной $\eta $. Для толщины $\Delta x$ фронта $S$, определяемой как расстояние от разрыва ${{S}_{m}}$ до ${{S}_{f}}$, справедлива оценка

При этом разрывы ${{S}_{i}}$ нужно понимать как узкие температурные подслои, имеющие толщины (5.6).

На промежуточных масштабах ${{X}_{{ne}}} \leqslant X < {{X}_{e}}$ температуры ${{T}_{i}}$ непрерывным образом эволюционируют к следующему асимптотическому распределению при $X \geqslant {{X}_{e}}$. Здесь при возрастании $Xt$ температуры ${{T}_{i}}$ между разрывами ${{S}_{m}}$ и ${{S}_{f}}$ начинают выравниваться из-за теплообмена между средами ${{\Phi }_{i}}$, сближаясь при $X\sim {{X}_{e}}$.

При $X > {{X}_{e}}$, $t\sim 1$ можно пренебречь как теплопроводностью (${{X}_{s}} \leqslant X$), так и считать течение равновесным ($X > {{X}_{e}}$), происходящим при локально однородной температуре $T = {{T}_{i}}$. В этом случае уравнение на температуру (3.11) сводится к уравнению переноса (${\text{Pe}} \gg 1$)

которое описывает разрывное распределение $T$, связанное с распространением со скоростью $c$ (4.2) сильного разрыва $S$ (рис. 3б, линия 5):

Для оценки толщины температурного слоя при $X \geqslant {{X}_{e}}$ заметим, что, в соответствии с (3.10), время установления локального теплового равновесия ${{t}_{e}}$ пропорционально константе $B{\text{Pe}}$, т.е. ${{t}_{e}}\sim B{\text{Pe}}$. Следовательно, так как скорость разрыва $S$ постоянна и равна $c$ (4.2), то для протяженности переходного слоя $\Delta {{x}_{e}}$, определяющегося только теплообменом между средами ${{\Phi }_{i}}$ ($B{\text{Pe}}\sim 1$, ${\text{Pe}} \to \infty $), получим оценку

Если же пренебречь неравновесными эффектами, рассмотрев фронт, определяющийся только теплопроводностью ($B = 0$, ${\text{Pe}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\sim 1}$), то, согласно (3.11), для его протяженности $\Delta {{x}_{\lambda }}$ получим

Таким образом, согласно выражениям (3.6), (3.10) и (5.1), при $X > {{X}_{e}}$, $t\sim 1$ имеем $\Delta {{x}_{{ne}}}\sim {{X}^{{ - 1}}}$, $\Delta {{x}_{\lambda }}\sim {{X}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$. Следовательно, при $X \gg 1$ выполняется неравенство $\Delta {{x}_{\lambda }} > \Delta {{x}_{e}}$, а толщина фронта $S$ определяется теплопроводностью. В этом случае $T$ есть решение уравнения (3.11)

Соотношение (5.16) определяет кривую 5 на рис. 3а, которая с возрастанием $Xt$ не перемещается на плоскости $\left\{ {\xi ,T} \right\}$. Заметим, что устремив в выражении для температуры (5.16) $t$ к бесконечности и перейдя к переменной $\eta $, получим решение (5.13).

Таким образом, при $X < {{X}_{{ne}}}$ толщина $\Delta x$ фронта $S$, в соответствии с соотношением (5.11), растет прямо пропорционально времени $t$. При этом фронт содержит два температурных подслоя, соответствующих разрывам ${{S}_{i}}$, толщины которых $\Delta {{x}_{i}}$ растут как $\sqrt t $ (см. (5.6)). При ${{X}_{{ne}}} \leqslant X < {{X}_{e}}$ $\Delta x$ достигает значения $\Delta x\sim {{B{\text{Pe}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{B{\text{Pe}}} {\overline {{\text{Sh}}} }}} \right. \kern-0em} {\overline {{\text{Sh}}} }}$ (см. (5.14)) и при $X > {{X}_{e}}$ растет как $\sqrt t $ (см. (5.15)), а внутренние температурные подслои исчезают из-за теплообмена между средами ${{\Phi }_{i}}$. Следовательно, неэволюционный в рамках неравновесной модели разрыв $S$ всегда имеет структуру конечной протяженности. В рамках неравновесной модели на таких масштабах, что $B \ll 1$, фронт $S$ нужно понимать не как сильный разрыв, а бесконечно узкий переходный слой.

В заключение отметим, что если не выполняется условие ${\text{P}}{{{\text{e}}}_{0}} \gg 1$, то ${{X}_{s}} > {{X}_{{ne}}}$, а цепочка неравенств (5.3) нарушается. При ${\text{P}}{{{\text{e}}}_{0}}\sim 1$ сразу после образования температурных слоев в средах ${{\Phi }_{i}}$ при $X < {{X}_{\lambda }}$ может становиться существенным теплообмен между средами ${{\Phi }_{i}}$, а промежуточный асимптотический этап ${{X}_{s}} \leqslant X < {{X}_{{ne}}}$, на котором фронт ограничен сильными разрывами ${{S}_{i}}$, не реализуется.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ (МД-3567.2018.1)