Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 3, стр. 299-312

1. Введение. В динамике твердого тела с неподвижной точкой важное значение имеют как классические случаи полной интегрируемости (Эйлера, Лагранжа и Ковалевской), так и случаи частичной интегрируемости, когда удается получить параметрические семейства точных решений. Такой частично интегрируемый случай с трехпараметрическим семейством решений был установлен в 1893г. независимо Д.К. Бобылевым [1] и В.А. Стекловым [2]. Хотя предложенные [1, 2] подходы формально различны, но, по существу, они эквивалентны, поэтому в монографиях по динамике твердого тела обычно используется единый термин “случай Бобылева–Стеклова” и излагается только один из этих подходов, например: [3] – подход Стеклова, [4] – подход Бобылева, [5] – случай Бобылева–Стеклова изложен на основе подхода Бобылева с использованием гамильтониана.

Начатые [1, 2] исследования, успешно продолжаются и в настоящее время по нескольким направлениям. Изучались [6] асимптотические движения тяжелого твердого тела, предельное движение которых описывается решением Бобылева–Стеклова. Исследовалась [7] задача об орбитальной устойчивости периодических решений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае Бобылева–Стеклова, к которой был применен алгоритм Ковачича [8], что позволило установить при определенных условиях свойства решений периодической системы линейного приближения и получить на этой основе выводы об устойчивости.

Подход Бобылева был обобщен П.В. Харламовым [9] на гиростат, представленный твердым телом с полостями, заполненными идеальной жидкостью. При определенных условиях [9] можно получить семейство решений уравнений движения гиростата, выражаемое через эллиптические функции. Был получен [10] аналог случая Бобылева–Харламова для уравнений движения гиростата в псевдоевклидовом пространстве.

Объектом исследования в данной статье являются уравнения движения гиростата с неподвижной точкой при действии момента сил (потенциальных, гироскопических, циркулярно-гироскопических). Основные цели состоят в получении аналогов случая Бобылева–Стеклова для гиростата при действии момента гироскопических сил. В этом случае подходы Бобылева и Стеклова неэквивалентны, и дают взаимодополняющие результаты по построению параметрических семейств частных решений. Рассматриваются также вопросы построения стационарных решений и получения условий их устойчивости с помощью метода интегральных связок Четаева [11].

2. Уравнения движения, первые интегралы, постановка задачи

Рассмотрим векторную форму уравнений движения гиростата с неподвижной точкой под действием момента сил

Здесь $\omega = {\text{col}}\left( {p,q,r} \right)$ – вектор угловой скорости, $\gamma = {\text{col}}\left( {{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}}} \right)$ – единичный вектор оси симметрии силового поля, заданные проекциями на оси связанной системы координат, $I = {{I}^{T}} > 0$ – симметричная положительно определенная матрица тензора инерции относительно неподвижной точки, ${\mathbf{\lambda }} = {\text{col}}\left( {{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}}} \right)$ – вектор гиростатического момента, $M = M\left( {t,\gamma ,\omega } \right)$ – вектор момента сил, действующих на гиростат. Будем, следуя [12–14], рассматривать в качестве первых интегралов следующие функции

где $S = {{S}^{T}}$ – некоторая симметричная матрица.

Отметим, что геометрический интеграл (2.5) имеет место при любом выборе момента $M = M\left( {t,\gamma ,\omega } \right)$. Но для того, чтобы у системы (2.1), (2.2) существовали интеграл энергии (2.3) и интеграл площадей (2.4), момент $M = M\left( {t,\gamma ,\omega } \right)$ не может быть произвольным, а должен удовлетворять определенным условиям. Эти необходимые и достаточные условия даются следующим утверждением, доказанным в [15].

Утверждение 1. Для того, чтобы функции (2.3) и (2.4) были первыми интегралами для системы (2.1), (2.2) необходимо и достаточно, чтобы момент M был представим в виде

где $L\left( {t,\gamma ,\omega } \right)$ – произвольная функция.

Данное утверждение показывает, что первые интегралы (2.3) и (2.4) определяют момент M в правой части (2.1) единственным образом с точностью до циркулярно-гироскопической составляющей $L\left( {t,\gamma ,\omega } \right)\omega \times \gamma $. Первые два слагаемых в формуле момента (2.6) представляют собой соответственно момент потенциальных сил $\gamma \times \frac{{\partial U}}{{\partial \gamma }}$ с потенциалом $U\left( \gamma \right)$ и момент гироскопических сил $ - \omega \times S\gamma $, определяемый матрицей S.

Далее всюду будем считать матрицу инерции диагональной $I = {\text{diag}}\left( {A,B,C} \right)$, потенциал линейным $U = a{{\gamma }_{1}} + b{{\gamma }_{2}} + c{{\gamma }_{3}}$ (это соответствует тяжелому твердому телу), и задающую момент гироскопических сил матрицу также диагональной $S = {\text{diag}}\left( {{{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}}} \right)$. Запишем систему (2.1), (2.2) в координатной форме

Здесь $L = L\left( {t,\gamma ,\omega } \right)$ – некоторая непрерывная функция $t,\gamma ,\omega $.

Задачи исследования в данной статье состоят в том, чтобы:

1) установить аналоги случая Бобылева–Стеклова [1, 2] для системы (2.7), (2.8) и выполнить для них интегрирование уравнений движения;

2) выявить стационарные решения, которые задаются постоянными, обращающими правые части уравнений движения (2.7), (2.8) в нуль;

3) используя первые интегралы получить методом интегральных связок Четаева [11] достаточные условия устойчивости выявленных стационарных решений.

В ходе анализа установлено, что аналоги случая Бобылева–Стеклова для системы (2.7), (2.8) могут быть получены только при следующих дополнительных условиях: ${{\lambda }_{3}} = 0$, $a = c = 0$, ${{k}_{2}} = {{k}_{3}} = 0$, $L = 0$. При этом уравнения движения (2.7) перепишутся в виде

Если гиростатический момент отсутствует (${{\lambda }_{1}} = {{\lambda }_{2}} = 0$), момент гироскопических сил не действует $\left( {{{k}_{1}} = 0} \right)$, и моменты инерции удовлетворяют условию $B = 2A$, то система (2.8), (2.9) соответствует классическому случаю Бобылева–Стеклова [1, 2].

Интегралы (2.3) и (2.4) для системы (2.8), (2.9) перепишутся так

3. Построение решений методом Стеклова. В этом разделе для построения решений уравнений гиростата с моментом гироскопических сил (2.8), (2.9) применим подход, предложенный В.А. Стекловым [2] для уравнений тяжелого твердого тела (см. также [3]). Будем, следуя [2], искать решение (2.8), (2.9) в виде

где ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$ – некоторые вещественные постоянные, подлежащие определению (считается [2, 3], что ${{a}_{0}} = 0$). Подставляя (3.1) в систему (2.9), придем к тождествам

Подставляя (3.1) в систему (2.8), получим систему трех дифференциальных уравнений для нахождения ${{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}}$

Отсюда следует, что ${{q}_{0}} \ne 0,{{a}_{0}},{{a}_{1}}$ должны удовлетворять системе трех алгебраических уравнений

В зависимости от условий на параметры $A,B,b,{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{k}_{1}}$ система (3.3) имеет следующие решения ${{q}_{0}},{{a}_{0}},{{a}_{1}}$:

если ${{\lambda }_{2}} = {{k}_{1}} = 0$, $B = 2A$, то ${{a}_{0}} = {{\lambda }_{1}}{\text{/}}A$, ${{a}_{1}} = b{\text{/}}\left( {A{{q}_{0}}} \right)$, а ${{q}_{0}} \ne 0$ произвольное вещественное число;

если ${{\lambda }_{1}} = 0$, $\left( {A - B} \right)b + {{k}_{1}}{{\lambda }_{2}} = 0$, ${{\lambda }_{2}} \ne 0$, $B \ne A$, то ${{q}_{0}} = {{\lambda }_{2}}{\text{/}}\left( {A - B} \right)$, a₁ = b(A – ‒ $B{\text{)/}}(A{{\lambda }_{2}})$, ${{a}_{0}}$ – произвольное вещественное число;

если ${{k}_{1}} \ne 0$, $B \ne A$, ${{D}_{1}} = {{b}^{2}}{{\left( {2A - B} \right)}^{2}} + 4Ab{{k}_{1}}{{\lambda }_{2}} \geqslant 0$, то в качестве ${{q}_{0}}$ можно взять те из двух чисел ${{q}_{0}} = \left( {b\left( {B - 2A} \right) \pm \sqrt {{{D}_{1}}} } \right){\text{/}}\left( {2A{{k}_{1}}} \right)$, которые отличны от нуля и от ${{\lambda }_{2}}{\text{/}}\left( {A - B} \right)$, а ${{a}_{0}}$ и ${{a}_{1}}$ вычисляются по формулам ${{a}_{0}} = \left( {{{\lambda }_{1}}{{q}_{0}}} \right){\text{/}}\left( {\left( {B - A} \right){{q}_{0}} + {{\lambda }_{2}}} \right)$, ${{a}_{1}} = b{\text{/}}\left( {A{{q}_{0}}} \right)$.

Проведем интегрирование системы (3.2). Эта система имеет интегралы J₃ = = $\gamma _{1}^{2} + \gamma _{2}^{2} + \gamma _{3}^{2}$ = 1 и ${{J}_{4}} = {{a}_{0}}{{\gamma }_{1}} + 0.5{{a}_{1}}\gamma _{1}^{2} + {{q}_{0}}{{\gamma }_{2}} = {{c}_{4}}$ = const. Используя эти интегралы, выразим ${{\gamma }_{2}}$ и ${{\gamma }_{3}}$ через ${{\gamma }_{1}}$:

Теперь ${{\gamma }_{1}}\left( t \right)~$ находится из первого уравнения системы (3.2) обращением эллиптического интеграла

Тем самым установлена справедливость следующих утверждений.

Утверждение 2. В случае ${{{{\lambda }}}_{2}} = {{k}_{1}} = 0$, $B = 2A$ система (2.8), (2.9) имеет семейство решений (3.1), (3.4), (3.5), где ${{q}_{0}} \ne 0$ произвольное вещественное число, ${{a}_{0}} = {{{{\lambda }}}_{1}}{\text{/}}A$, ${{a}_{1}} = b{\text{/}}\left( {A{{q}_{0}}} \right)$.

Утверждение 3. В случае ${{\lambda }_{1}} = 0$, $\left( {A - B} \right)b + {{k}_{1}}{{\lambda }_{2}} = 0$, ${{\lambda }_{2}} \ne 0$, $B \ne A$ система (2.8), (2.9) имеет семейство решений (3.1), (3.4), (3.5), где ${{q}_{0}} = {{\lambda }_{2}}{\text{/}}\left( {A - B} \right)$, a₁ = = $b\left( {A - B} \right){\text{/}}\left( {A{{\lambda }_{2}}} \right)$, ${{a}_{0}}$ – произвольное вещественное число.

Утверждение 4. В случае ${{k}_{1}} \ne 0$, $B \ne A$, ${{D}_{1}} = {{b}^{2}}{{\left( {2A - B} \right)}^{2}}$ + $4Ab{{k}_{1}}{{\lambda }_{2}} \geqslant 0$, система (2.8), (2.9) имеет семейство решений (3.1), (3.4), (3.5), где в качестве ${{q}_{0}}$ допускаются те из двух чисел $q_{0}^{ \pm } = \left[ {b\left( {B - 2A} \right) \pm \sqrt {{{D}_{1}}} } \right]{\text{/}}\left( {2A{{k}_{1}}} \right)$, которые отличны от нуля и от ${{\lambda }_{2}}{\text{/}}\left( {A - B} \right)$, а числа ${{a}_{0}}$ и ${{a}_{1}}$ даются формулами ${{a}_{0}}$ = ${{\lambda }_{1}}{{q}_{0}}{\text{/}}\left( {\left( {B - A} \right){{q}_{0}} + {{\lambda }_{2}}} \right)$, ${{a}_{1}} = b{\text{/}}\left( {A{{q}_{0}}} \right)$.

Тем самым установлено, что при условиях утверждений 2–4 упоминаемые в них решения системы (2.8), (2.9) выражаются эллиптическими функциями времени. Утверждение 2 дает трехпараметрическое семейство решений (параметры ${{q}_{0}},{{c}_{4}},{{c}_{5}}$). Утверждение 3 дает трехпараметрическое семейство решений (параметры ${{a}_{0}},{{c}_{4}},{{c}_{5}}$). Утверждение 4 дает два двухпараметрических семейства решений (параметры $~{{c}_{4}},{{c}_{5}}$).

Как известно [3], эллиптический интеграл вида (3.5) берется в элементарных функциях только в случаях, когда у полинома четвертой степени в подкоренном выражении имеются кратные корни. Иногда это дает возможность получить точное решение системы уравнений гиростата (2.8), (2.9), представленное элементарными функциями в явном виде.

Пример 1. Будем рассматривать трехпараметрическое семейство систем вида (2.8), (2.9), где свободными параметрами являются $A,C,{{\lambda }_{2}}$, удовлетворяющие неравенствам $0 < A < C < 3A$, $\lambda _{2}^{2} \ne {{A}^{2}}$, а остальные коэффициенты $B,{{\lambda }_{1}},{{k}_{1}},b$ выражаются через параметры по формулам

Тогда из утверждения 4 следует, что каждая система из названного семейства имеет точное решение

Очевидно, что для всех компонент решения (3.6) существуют пределы

Таким образом, данное решение описывает случай такого движения гиростата, когда далекое прошлое и далекое будущее абсолютно симметричны. Система медленно “выходит” из неустойчивого по Ляпунову стационарного состояния $(p*,q*,r*,\gamma _{1}^{*},\gamma _{2}^{*},\gamma _{3}^{*})$, в котором находилась в бесконечно далеком прошлом (при $t \to - \infty $), совершает интенсивное движение в настоящем (на сравнительно коротком интервале времени вблизи $t = 0$), и медленно возвращается в то же самое неустойчивое стационарное состояние в бесконечно далеком будущем (при $t \to + \infty $). При этом постоянно действуют как момент потенциальных сил ($b \ne 0$), так и момент гироскопических сил (${{k}_{1}} \ne 0$), присутствует также постоянный гиростатический момент ($\lambda \ne 0$).

Отметим, что в отличие от классического случая Бобылева–Стеклова [1, 2] для тяжелого твердого тела, для гиростата при действии момента гироскопических сил (т.е. при ${{k}_{1}} \ne 0$), уже не удается получить в утверждениях 2 и 3 семейство решений с произвольным ${{q}_{0}} \ne 0$. Зато в них не требуется выполнения условия на моменты инерции $B = 2A$.

4. Построение решений методом Бобылева. В этом разделе для построения решений уравнений гиростата с моментом гироскопических сил (2.8), (2.9) применим подход, предложенный Д.К. Бобылевым [1] для уравнений тяжелого твердого тела и распространенный на гиростат (без момента гироскопических сил) П.В. Харламовым [9]). Будем, следуя [1], искать решение системы (2.8), (2.9) в виде

Подставляя (4.1) в систему (2.9), придем к тождеству

Отсюда находим

Из интеграла (2.10), используя равенства (4.1), получим

Первое уравнение системы (2.9) теперь записывается в виде

где полином четвертой степени ${{P}_{4}}\left( p \right)$ записывается с учетом (4.2) и (4.3) так

Однако пользоваться уравнением (4.4), которое сводится к обращению эллиптического интеграла, можно только при некоторых дополнительных условиях на параметры системы (2.9). Эти условия порождаются необходимостью соблюдения интеграла площадей (2.11). Подставляя ${{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}$ из (4.2), (4.3) в интеграл (2.11) и учитывая (4.1), перепишем этот интеграл в виде полинома по степеням p следующим образом

Здесь коэффициенты K_j полинома (4.5) задаются выражениями

Чтобы полином (4.5) был интегралом, т.е. сохранял постоянное значение на любом решении $p\left( t \right)$, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты удовлетворяли равенствам ${{K}_{1}} = 0$, ${{K}_{2}} = 0$. Отсюда следует, что

либо

либо

Используя три различных решения системы уравнений (4.6) на параметры, а также уравнение (4.4), приходим к справедливости следующих трех утверждений.

Утверждение 5. В случае ${{\lambda }_{2}} = {{k}_{1}} = 0$, $B = 2A$ система (2.8), (2.9) имеет семейство решений, для которых $q\left( t \right) = {{q}_{0}} = {\text{const}}$, $r\left( t \right) = 0$, $p\left( t \right)$ находится обращением эллиптического интеграла

после чего ${{\gamma }_{1}}\left( t \right)$, $~{{\gamma }_{2}}\left( t \right)$ определяются по формулам (4.2), (4.3), а ${{\gamma }_{3}}\left( t \right)$ находится дифференцированием ${{\gamma }_{3}}\left( t \right)$ = $ - \frac{A}{b}\dot {p}\left( t \right)$. Здесь ${{q}_{0}}$ произвольное вещественное число.

Утверждение 6. В случае ${{k}_{1}} = 0$, $B \ne 2A$ система (2.8), (2.9) имеет семейство решений, для которых $q\left( t \right) = {{q}_{0}}$ = ${{\lambda }_{2}}{\text{/}}\left( {2A - B} \right)$ = const, $r\left( t \right) = 0$, $p\left( t \right)$ находится обращением эллиптического интеграла

где ${{P}_{4}}\left( p \right) = 1 - \frac{{\lambda _{2}^{2}}}{{{{b}^{2}}{{{\left( {2A - B} \right)}}^{2}}}}{{\left( {Ap - {{\lambda }_{1}}} \right)}^{2}} - \frac{1}{{4{{b}^{2}}}}{{\left( {{{c}_{1}} - A{{p}^{2}} - \frac{{B\lambda _{2}^{2}}}{{{{{\left( {2A - B} \right)}}^{2}}}}} \right)}^{2}}$. После чего функции ${{\gamma }_{1}}\left( t \right)$, $~{{\gamma }_{2}}\left( t \right)$ определяются по формулам (4.2), (4.3), а ${{\gamma }_{3}}\left( t \right)$ находится дифференцированием ${{\gamma }_{3}}\left( t \right)$ = $ - \frac{A}{b}\dot {p}\left( t \right)$. Здесь ${{q}_{0}}$ не произвольное, а фиксированное вещественное число.

Утверждение 7. В случае ${{\lambda }_{2}} = 0$, ${{k}_{1}} \ne 0$ система (2.8), (2.9) имеет семейство решений, для которых $q\left( t \right) = {{q}_{0}} = 0 = {\text{const}}$, $r\left( t \right) = 0$, ${{\gamma }_{1}}\left( t \right) = 0$,$~$ $p\left( t \right)$ находится обращением эллиптического интеграла

где ${{P}_{4}}\left( p \right) = 1 - \frac{1}{{4{{b}^{2}}}}{{\left( {{{c}_{1}} - A{{p}^{2}}} \right)}^{2}}$. После чего функция ${{\gamma }_{2}}\left( t \right)$ определяется по формуле, (4.2), а ${{\gamma }_{3}}\left( t \right)$ находится дифференцированием ${{\gamma }_{3}}\left( t \right)$ = $ - \frac{A}{b}\dot {p}\left( t \right)$.

Утверждение 5 дает трехпараметрическое семейство решений (параметры ${{q}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{5}}$). Утверждения 6 и 7 дают двухпараметрические семейства решений (параметры $~{{c}_{1}},~{{c}_{5}}$).

Используя решение системы уравнений (4.7) на параметры, а также уравнение (4.4), приходим к справедливости следующего утверждения.

Утверждение 8. В случае ${{\lambda }_{1}} = 0$, ${{k}_{1}} \ne 0$, ${{D}_{2}} = {{\left( {b\left( {2A - B} \right) + {{k}_{1}}{{\lambda }_{2}}} \right)}^{2}}$ + $4Bb{{k}_{1}}{{\lambda }_{2}} \geqslant 0$, система (2.8), (2.9) имеет семейство решений, для которых $q\left( t \right) = {{q}_{0}} = {\text{const}}$, $r\left( t \right) = 0$, $p\left( t \right)$ находится обращением эллиптического интеграла

где ${{P}_{4}}\left( p \right) = 1 - \frac{1}{{{{{\left( {b + {{k}_{1}}{{q}_{0}}} \right)}}^{2}}}}{{\left( {\left( {B - A} \right){{q}_{0}} + {{\lambda }_{2}})p} \right)}^{2}} - \frac{1}{{4{{b}^{2}}}}{{\left( {{{c}_{1}} - A{{p}^{2}} - Bq_{0}^{2}} \right)}^{2}}$. После чего функции ${{\gamma }_{1}}\left( t \right)$, $~{{\gamma }_{2}}\left( t \right)$ определяются по формулам (4.2), (4.3), а ${{\gamma }_{3}}\left( t \right)$ находится дифференцированием ${{\gamma }_{3}}\left( t \right)$ = $ - \frac{A}{b}\dot {p}\left( t \right)$. Здесь в качестве ${{q}_{0}}$ допускаются те из двух чисел $q_{0}^{ \pm } = [ - (b(2A - B)$ + ${{k}_{1}}{{\lambda }_{2}}) \mp \sqrt {{{D}_{2}}} ]{\text{/}}(2B{{k}_{1}})$, которые отличны от $\widehat {{{q}_{0}}} = - b{\text{/}}{{k}_{1}}$.

Утверждение 8 дает два двухпараметрических семейства решений (параметры $~{{c}_{1}},{{c}_{5}}$).

Тем самым установлено, что при условиях утверждений 5–8 упоминаемые в них решения системы (2.8), (2.9) выражаются эллиптическими функциями времени. Отметим, что условия утверждений 2 и 5 совпадают, поэтому они дают практически одно и то же семейство решений (кроме ситуации $q\left( t \right) = {{q}_{0}} = 0$, не охватываемой утверждением 2). Для случая тяжелого твердого тела, когда дополнительно к условиям утверждений 2 и 5 будет и ${{\lambda }_{1}} = 0$, методы Бобылева [1] и Стеклова [2] эквивалентны, поэтому в монографиях обычно излагают под общим названием “случай Бобылева–Стеклова” только какой-либо один из этих методов. В более общем случае гиростата с моментом гироскопических сил, когда ${{k}_{1}} \ne 0$, как следует из утверждений 3, 4, 6, 7, 8 методы Стеклова и Бобылева не следуют один из другого и могут давать взаимодополняющие результаты. В частности, решения, полученные выше в примере 1 на основе утверждения 4, не могут быть получены из утверждений 5–8, так как в этом примере все параметры не нулевые.

Пример 2. Рассмотрим систему (2.8), (2.9) при следующих значениях параметров $B = A$, ${{\lambda }_{2}} = 0$, ${{k}_{1}} \ne 0$, $b > 0$ и будем искать решение на нулевом уровне интеграла энергии ${{c}_{1}} = 0$, используя утверждение 7. Тогда получим выраженное через функции Якоби решение $q\left( t \right) = r\left( t \right) = {{\gamma }_{1}}\left( t \right)$ ≡ 0, $p\left( t \right)$ = $ - \sqrt {\frac{{2b}}{A}} \operatorname{JacobiSN} \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt {Ab} }}\left( {t + {{c}_{5}}} \right),\sqrt { - 1} } \right)$, ${{\gamma }_{2}}\left( t \right) = - \frac{A}{{2b}}{{p}^{2}}$, ${{\gamma }_{3}}\left( t \right) = - \frac{A}{{2b}}\dot {p}$. Отметим, что методом Стеклова это решение не находится, так как параметры не удовлетворяют системе (3.3).

5. Стационарные решения. Под стационарными решениями будем понимать такие постоянные $\left( {\bar {p},\bar {q},\bar {r},{{{\bar {\gamma }}}_{1}},{{{\bar {\gamma }}}_{2}},{{{\bar {\gamma }}}_{3}}} \right)$, которые обращают в нуль правые части системы (2.8), (2.9). Не останавливаясь на элементарном анализе получения таких решений, приведем шесть типов стационарных решений (в порядке возрастания количества ненулевых компонент), а также условия на параметры системы (2.8), (2.9), при которых эти решения имеют место.

а) При любых значениях параметров $A,B,C,{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}{{k}_{1}}$ система (2.8), (2.9) имеет стационарное решение

б) При условии ${{\lambda }_{1}} = 0$ система (2.8), (2.9) имеет стационарное решение

в) При условии ${{\lambda }_{2}} \ne 0$ система (2.8), (2.9) имеет стационарное решение

г) При условиях $A \ne B$, $b\left( {A - B} \right) + {{k}_{1}}{{\lambda }_{2}} \ne 0$, $\left| {\frac{{{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{b\left( {A - B} \right) + {{k}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}} \right| < 1$ система (2.8), (2.9) имеет стационарное решение

д) При условиях ${{k}_{1}} \ne 0$, $b\left( {A - B} \right) + {{k}_{1}}{{\lambda }_{2}} \ne 0$ полагаем

В случаях а)–д) стационарные решения вычисляются через параметры по явным формулам.

е) При условии ${{\lambda }_{1}} \ne 0$ стационарное решение строится следующим образом. Положим $\bar {r} = \overline {{{\gamma }_{3}}} = 0$, $\bar {q} \in R$ – произвольно, но $\bar {q} \ne {{\lambda }_{2}}{\text{/}}\left( {A - B} \right)~$ и $~\bar {q} \ne 0$. Далее вычислим ${{a}_{0}} = {{\lambda }_{1}}\bar {q}{\text{/}}\left[ {\left( {B - A} \right)\bar {q} + {{\lambda }_{2}}} \right]$, ${{a}_{1}} = \left( {b + {{k}_{1}}\bar {q}} \right){\text{/}}\left[ {\left( {B - A} \right)\bar {q} + {{\lambda }_{2}}} \right]$, и рассмотрим уравнение

Это уравнение всегда имеет либо 2, либо 4 вещественных корня, которые не превосходят 1 по модулю. Положим $\overline {{{\gamma }_{1}}} = z$ – любому из таких корней. После чего вычислим $\bar {p} = {{a}_{0}} + {{a}_{1}}\overline {{{\gamma }_{1}}} $, $\overline {{{\gamma }_{2}}} = \frac{{\bar {q}}}{{\bar {p}}}\overline {{{\gamma }_{1}}} $. Компоненты стационара $\overline {{{\gamma }_{1}}} $, $\bar {p}$, $\overline {{{\gamma }_{2}}} $ получаются зависящими от выбора $\bar {q} \in R$. Таким образом, в случае е) у системы (2.8), (2.9) имеется континуум стационарных решений.

6. Анализ устойчивости стационарных решений. Для получения достаточных условий устойчивости стационарных решений воспользуемся методом интегральных связок, предложенным Н.Г. Четаевым [11]. Введем обозначения для отклонений от стационарного решения $\left( {\bar {p},\bar {q},\bar {r},{{{\bar {\gamma }}}_{1}},{{{\bar {\gamma }}}_{2}},{{{\bar {\gamma }}}_{3}}} \right)$

В этих переменных интегралы уравнений возмущенного движения запишутся следующим образом:

Здесь и далее через ${{\bar {J}}_{i}}$ обозначено значение интеграла ${{J}_{i}}$ на стационарном решении.

Рассмотрим вначале условия устойчивости стационарных решений для случая а). Функцию Ляпунова строим в виде линейной связки (линейной комбинации) интегралов (6.1) и (6.3), которая для решений типа а) примет вид

Коэффициенты ${{\alpha }_{i}}$, $i = 1,3{\text{\;}}$ с целью уничтожения линейных слагаемых в связке выберем следующим образом ${{\alpha }_{1}} = 1$, ${{\alpha }_{3}} = - b\sigma $. Тогда получаем $V = Ax_{1}^{2}$ + $Bx_{2}^{2}$ + $Cx_{3}^{2}$ – ‒ $b\sigma \left( {x_{4}^{2} + x_{5}^{2} + x_{6}^{2}} \right)$. Для стационарного решения типа а), отвечающего условию $\sigma = - {\text{sign}}\left( b \right)$, эта функция положительно определена. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Утверждение 9. Соответствующее $\sigma = - {\text{sign}}\left( b \right)$ стационарное решение типа а) устойчиво по Ляпунову.

Рассмотрим теперь вопрос о необходимых условиях устойчивости стационарных решений. Пусть Q есть 6 × 6 матрица линейной системы $\dot {x} = Qx$, получаемой линеаризацией системы (2.8), (2.9) в окрестности стационарного решения $\left( {\bar {p},\bar {q},\bar {r},{{{\bar {\gamma }}}_{1}},{{{\bar {\gamma }}}_{2}},{{{\bar {\gamma }}}_{3}}} \right)$. Эта матрица Q есть матрица Якоби, составленная из частных производных от правых частей (2.8), (2.9), вычисленных на стационарном решении $\left( {\bar {p},\bar {q},\bar {r},{{{\bar {\gamma }}}_{1}},{{{\bar {\gamma }}}_{2}},{{{\bar {\gamma }}}_{3}}} \right)$. Явный вид этой матрицы Q приводить не будем ввиду ее громоздкости. Характеристическое уравнение матрицы Q имеет вид ${{s}^{2}}\left( {{{s}^{4}} + {{q}_{1}}{{s}^{2}} + {{q}_{2}}} \right)$ = 0, где коэффициенты ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ зависят от параметров системы (2.8), (2.9) и выбранного стационарного решения.

Необходимые условия устойчивости стационарного решения $\left( {\bar {p},\bar {q},\bar {r},{{{\bar {\gamma }}}_{1}},{{{\bar {\gamma }}}_{2}},{{{\bar {\gamma }}}_{3}}} \right)$ даются неравенствами ${{q}_{1}} \geqslant 0$, ${{q}_{2}} \geqslant 0$, $q_{1}^{2} - 4{{q}_{2}} \geqslant 0$. Если хотя бы одно из этих трех неравенств нарушено, то у характеристического уравнения имеется по крайней мере один корень с положительной вещественной частью, что по теореме Ляпунова влечет неустойчивость соответствующего решения.

Для стационарного решения типа а), отвечающего $\sigma = - {\text{sign}}\left( b \right)$, необходимые условия устойчивости заведомо выполнены. Для стационарного решения типа а), отвечающего $\sigma = {\text{sign}}\left( b \right)$, получаем следующие коэффициенты характеристического уравнения

Поэтому это стационарное решение будет неустойчивым при выполнении хотя бы одного из трех следующих неравенств

При $\lambda _{1}^{2} > 0$ и малых $\left| b \right|$ будет выполняться первое неравенство, а при больших $\left| b \right|$ второе. В случае отсутствия гиростатического момента ${{\lambda }_{1}} = {{\lambda }_{2}} = 0$ выполняется второе неравенство. Однако нет никаких оснований утверждать, что соответствующее $\sigma = {\text{sign}}\left( b \right)$ стационарное решение типа а) всегда (т.е. при любых значениях параметров) неустойчиво по линейному приближению. Например, для следующих значений параметров $A = 2$, $B = 3$, $C = 4$, $b = 1$, ${{\lambda }_{1}} = 1$, ${{\lambda }_{2}} = 4$ при $\sigma = 1 = {\text{sign}}\left( b \right)$ коэффициенты характеристического уравнения равны ${{q}_{1}} = {\text{4/3}}$ и ${{q}_{2}} = {\text{1/12}}$ и оно не имеет корней с положительной вещественной частью.

Перейдем теперь к получению условий устойчивости стационарных решений $\left( {\bar {p},\bar {q},\bar {r},{{{\bar {\gamma }}}_{1}},{{{\bar {\gamma }}}_{2}},{{{\bar {\gamma }}}_{3}}} \right)$ = $\left( {0,\bar {q},0,0,{{{\bar {\gamma }}}_{2}},0} \right)$ типа б), предполагая, что ${{\lambda }_{1}} = 0$.

Будем строить функцию Ляпунова по методу Четаева [11] в виде связки интегралов уравнений возмущенного движения (6.1)–(6.3)

Коэффициенты ${{\alpha }_{i}}$, $i = 2,3$ с целью уничтожения линейных слагаемых в связке выберем следующим образом

Тогда получаем

Для положительной определенности квадратичной части ${{V}_{2}} = V - o\left( {{{{\left\| x \right\|}}^{2}}} \right)$ интеграла V при достаточно больших ${{\beta }_{i}} > 0$ необходимо и достаточно [16], чтобы V₂ была положительно определенной на множестве ${{\Theta }} = \{ B{{\bar {\gamma }}_{2}}{{x}_{2}}$ + $\left( {B\bar {q} + {{\lambda }_{2}}} \right){{x}_{5}}$ = 0, $2{{\bar {\gamma }}_{2}}{{x}_{5}} = 0\} $. На этом множестве Θ получаем

Применяя критерий Сильвестра к двум квадратичным формам, из суммы которых состоит V₂, получаем условия положительной определенности интеграла V:

Из теоремы Ляпунова теперь следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение 10. Каждое стационарное решение $\left( {0,\bar {q},0,0,{{{\bar {\gamma }}}_{2}},0} \right)$ типа б), для которого выполнены неравенства (6.4), является устойчивым в смысле Ляпунова.

Отметим, что нарушение условий (6.4) еще не означает, что соответствующее стационарное решение будет неустойчиво, поскольку условия (6.4) являются только достаточными. Чтобы сравнить достаточные условия устойчивости (6.4) с необходимыми отметим, что для стационара типа б) неравенство ${{q}_{2}} \geqslant 0$ для коэффициента характеристического уравнения ${{s}^{2}}\left( {{{s}^{4}} + {{q}_{1}}{{s}^{2}} + {{q}_{2}}} \right)$ = 0 выражается следующим образом ${{q}_{2}} = {{{{\Delta }}}_{1}}{{{{\Delta }}}_{2}}{\text{/}}AC$ ≥ 0.

Аналогично доказательству утверждения 10 методом Н.Г. Четаева доказываются следующие утверждения.

Утверждение 11. Каждое стационарное решение $\left( {\bar {p},0,0,{{{\bar {\gamma }}}_{1}},0,0} \right)$ типа в), для которого выполнены неравенства

является устойчивым в смысле Ляпунова.

Утверждение 12. Каждое стационарное решение $\left( {\bar {p},\bar {q},0,{{{\bar {\gamma }}}_{1}},{{{\bar {\gamma }}}_{2}},0} \right)$ типов г)–е), для которого выполнены неравенства

является устойчивым в смысле Ляпунова.

Замечание. Второе неравенство в условиях утверждения 12 заведомо будет выполнено для тех стационарных решений типов г)–е), для которых выполняются неравенства $A\bar {p}{{\lambda }_{1}} > 0$, $\left( {A - B} \right){{\bar {p}}^{2}}$ + $\bar {p}\left( {{{\lambda }_{1}} + {{k}_{1}}{{{\bar {\gamma }}}_{1}}} \right)$ > 0.

Рассмотрим теперь более общую по сравнению с (2.8), (2.9) систему уравнений (2.7), (2.8), где дополнительно присутствует момент циркулярно-гироскопических сил, а параметры удовлетворяют условиям

Будем обозначать составленную таким образом систему как систему (2.7а), (2.8). Из утверждения 1 следует, что система (2.7а), (2.8) имеет те же самые первые интегралы (6.1)–(6.3), что и система (2.8), (2.9). Очевидно также, что (2.7а), (2.8) имеет те же стационарные решения типов а)–е) при условиях, указанных в разд. 5. Поэтому утверждения 9–12 справедливы и для более общей системы (2.7а), (2.8).

Заключение. В заключение обсудим кратко возможные направления дальнейшего развития результатов статьи. Полезно выяснить существование аналогов случая Бобылева–Стеклова для нелинейного потенциала $U\left( {{{\gamma }_{2}}} \right)$, заданного аналитической функцией. Также целесообразно, рассматривая момент $L\left( {t,\gamma ,\omega } \right)\omega \times \gamma $ как управляющее воздействие, сохраняющее первые интегралы, выяснить, какие дополнительные динамические свойства можно обеспечить за счет выбора такого управления. Выявлен ряд стационарных решений и проведен анализ их устойчивости методом Четаева. Было бы интересно расширить перечень стационарных движений и провести более полный их анализ, аналогично тому, как это сделано в работах [17–19] для гиростата с одними потенциальными силами или методом Рауса [20] для твердого тела в случае Гесса.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-29-00819).