Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 5, стр. 628-637

Точное решение универсальным методом моделирования контактной задачи в четверти плоскости многослойной среды

В. А. Бабешко^1, 2, *, О. В. Евдокимова^1, **, О. М. Бабешко^2, ***

¹ Южный научный центр Российской академии наук
Ростов-на-Дону, Россия

² Кубанский государственный университет
Краснодар, Россия

^* E-mail: babeshko41@mail.ru
^** E-mail: evdokimova.olga@mail.ru
^*** E-mail: babeshko49@mail.ru

Поступила в редакцию 17.03.2022
После доработки 18.05.2022
Принята к публикации 18.05.2022

EDN: KASRZW
DOI: 10.31857/S0032823522050046

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе впервые строится точное решение контактной задачи, поставленной на поверхности многослойной среды в четверти плоскости. Это достигается в результате применения нового универсального метода моделирования, разработанного с целью исследования и решения граничных задач для уравнений в частных производных. В данной работе метод применяется к двумерным интегральным уравнениям Винера–Хопфа в четверти плоскости, возникающим в смешанных задачах механики деформируемого твердого тела, в контактных задачах. Особенностью смешанных задач для слоистых сред является наличие мероморфных функций в преобразованиях Фурье ядер интегральных уравнений. Это обстоятельство позволяет построить точное решение смешанной задачи в четверть плоскости.

Ключевые слова: контактная задача, блочный элемент, жесткий штамп, интегральное уравнение Винера–Хопфа

1. Введение. Одним из основоположников теории контактных задач является член-корреспондент АН СССР Л.А. Галин [1–4], которому в текущем году исполняется 110 лет. Он одним из первых обнаружил, что теория сингулярных интегральных уравнений может найти важное применение в смешанных, контактных, задачах теории упругости, и успешно это реализовал в своих выдающихся работах. В зоне контакта задавались условия скольжения, трения, сцепления, вязкоупругого, пластического поведения. Анализируя современные исследования ученых в области контактных задач, можно видеть, что импульс, данный публикациями Л.А. Галина, получивший современное добавление, в соответствии с запросами новых технологий, остается и преумножается в прекрасных работах не только его учеников [5], но и ученых разных стран, высоко ценящих его вклад. Так, в работе [6] исследуется вопрос роли трения в проблеме разрушения материала. В работе [7] исследуется частичное скольжение в зоне контакта, в работе [8] изучается контактная задача в условиях поверхностной упругости, в работе [9] изучается для жестких параболических штампов контакт с градуированной поверхностью полупространства. В работе [10] исследуется двумерный контакт с трением функционально градиентных материалов, в [11] исследуется упруго-пластический контакт, в [12] решается ряд линейных контактных задач механики, в [13] изучаются контактные задачи с Кулоновским трением, в [14] изучается нелинейным подходом класс динамических контактных задач в условиях вязкоупругости. Список можно продолжить. Исследования проводятся чаще всего, численными методами, которые, далеко не всегда, способны улавливать различные тонкие свойства решений, вскрывающиеся лишь при значительном приближении к точным решениям. Примером может служить изучение методом контактных задач взаимодействия сближающихся литосферных плит. Выполнявшиеся исследования численными методами не позволили обнаружить новый тип землетрясений, выявленный точным решением смешанной задачи [15]. Решению новых задач, в частности, граничных для дифференциальных уравнений и двумерных уравнений Винера–Хопфа способствует совершенствование математического аппарата, объединение чисто теоретических топологических методов с прикладной математикой [16].

Наличие мероморфной функции в преобразовании Фурье ядра интегрального уравнения Винера–Хопфа, как и в случае дифференциальных уравнений [16], позволило найти фрагменты дифференциальных уравнений в представлении интегральных уравнений Винера–Хопфа. Это позволило найти способ сведения двумерного интегрального уравнения к одномерным.

Его применение позволяет свести интегральные уравнения в этой области к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, имеющих обратную бесконечную матрицу. Этот тип интегральных уравнений не доступен для численного решения, в связи с неограниченностью области задания уравнения, и ранее не был исследован аналитически.

Точное решение двумерного уравнения Винера–Хопфа в четверть плоскости открывает возможность построения высокоточных решений контактных задач в ограниченных областях, подобно тому, как это делалось в одномерном случае. Интегральные уравнения Винера–Хопфа имеют широкое применение в различных областях для материалов сложной реологии, в том числе, в теории прочности, дифракции, дефектоскопии, трибологии.

2. Определяющие уравнения. Интегральное уравнение контактной задачи для изотропной слоистой среды в четверти плоскости в декартовой системе координат имеет вид [17, 18].

$\int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty k } ({{x}_{1}} - {{\xi }_{1}},{{x}_{2}} - {{\xi }_{2}})\varphi ({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})d{{\xi }_{1}}d{{\xi }_{2}} = f({{x}_{1}},{{x}_{2}});\quad 0 \leqslant {{x}_{1}},\quad {{x}_{2}} \leqslant \infty $

$k({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{{{\gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\gamma }_{2}}} K } ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{e}^{{ - i\left\langle {{\mathbf{\alpha x}}} \right\rangle }}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}}$

(2.1)

$K({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}) \equiv K(u) = \frac{{R(u)}}{{P(u)}};\quad u = \sqrt {\alpha _{1}^{2} + \alpha _{2}^{2}} $

$K(u) = \frac{{R(u)}}{{P(u)}} = \prod\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{R}_{n}}(u)}}{{{{P}_{n}}(u)}}} ;\quad {{R}_{n}}(u) = \left( {{{u}^{2}} - z_{n}^{2}} \right),\quad {{P}_{n}}(u) = \left( {{{u}^{2}} - \xi _{n}^{2}} \right)$

$K(u) = \frac{1}{u}(1 + o(1)),\quad u \to \pm \infty $

Здесь ${{\gamma }_{1}}$, ${{\gamma }_{2}}$ – контуры, лежащие на вещественной оси и отклоняющиеся от нее в динамических задачах гармонической во времени вибрации лишь обходя вещественные полюса, по малым полуокружностям, если они возникают [18].

В работе авторов [19], наверно впервые, исследовалось интегральное уравнение (2.1), которое методом факторизации было сведено к решению системы интегральных уравнений. Функции $R(u)$, $P(u)$ являются четными целыми функциями, представимыми бесконечными произведениями. Предполагается, что функции $R(u)$ и $P(u)$ являются целыми функциями первого порядка и конечного типа, то есть трансцендентными, в частности, полиномами. В принятых обозначениях целая функции $R(u)$ обращается в нуль на множествах значений и ${{u}_{n}} = \pm {{z}_{n}}$. Разрешая эти соотношения относительно переменных ${{\alpha }_{s}}$, $s = 1,2$, имеем нули в форме ${{\alpha }_{{11m \pm }}} = \pm i\sqrt {\alpha _{2}^{2} - z_{m}^{2}} $, ${{\alpha }_{{21m \pm }}}$ = $ \pm i\sqrt {\alpha _{1}^{2} - z_{m}^{2}} $. Соответственно, целая функция $P(u)$ имеет нули на множествах на ${{u}_{n}} = \pm {{\zeta }_{n}}$, ${{\alpha }_{{12r \pm }}}$ = = $ \pm i\sqrt {\alpha _{2}^{2} - \xi _{r}^{2}} $, ${{\alpha }_{{22r \pm }}}$ = $ \pm i\sqrt {\alpha _{1}^{2} - \xi _{r}^{2}} $. Все нули, предполагаемые однократными, имеют точки сгущения на бесконечности в некоторых клиновидных областях, содержащих мнимые полуоси комплексной плоскости. Для нулей приняты обозначения: плюс – принадлежность верхней полуплоскости комплексной плоскости, минус – нижней. Примеры подобных интегральных уравнений возникают в смешанных граничных задачах механики сплошных сред для слоистых областей конечной толщины [17, 18]. Например, для статических задач в случае слоя с закрепленной нижней границей или слоя, лежащего на жестком основании без трения, имеем ${{K}_{1}}\left( u \right)$ и ${{K}_{2}}\left( u \right)$ соответственно

${{K}_{1}}\left( u \right) = - \frac{{2(3 - 4\nu )\operatorname{sh} 2u - 4u}}{{u\left[ {2(3 - 4\nu )\operatorname{ch} 2u + 4{{u}^{2}} + 1 + {{{\left( {1 - \nu } \right)}}^{2}}} \right]}},\quad {{K}_{2}}\left( u \right) = - \frac{{\operatorname{ch} 2u - 1}}{{u\left[ {\operatorname{sh} 2u + 2u} \right]}}$

В динамическом случае для этих задач имеем

${{K}_{1}}\left( u \right) = \frac{{\chi _{2}^{2}\left( {{{\sigma }_{1}}\operatorname{sh} 2{{\sigma }_{1}}\operatorname{ch} 2{{\sigma }_{2}} - \sigma _{2}^{{ - 1}}{{u}^{2}}\operatorname{sh} 2{{\sigma }_{2}}\operatorname{ch} 2{{\sigma }_{1}}} \right)}}{{2{{\Delta }_{1}}\left( u \right)}}$

${{\Delta }_{1}}\left( u \right) = {{u}^{2}}\left( {2{{u}^{2}} - \chi _{2}^{2}} \right) - \left( {2{{u}^{4}} - {{u}^{2}}\chi _{2}^{2} + 0.25\chi _{2}^{4}} \right)\operatorname{ch} 2{{\sigma }_{1}}\operatorname{ch} 2{{\sigma }_{2}} + $

$ + \;\sigma _{1}^{{ - 1}}\sigma _{2}^{{ - 1}}{{u}^{2}}\left[ {2{{u}^{4}} - {{u}^{2}}\left( {2\chi _{2}^{2} + \chi _{1}^{2}} \right) + \chi _{1}^{2}\chi _{2}^{2} + 0.25\chi _{2}^{4}} \right]\operatorname{sh} 2{{\sigma }_{1}}\operatorname{sh} 2{{\sigma }_{2}}$

${{K}_{2}}\left( u \right) = \frac{{\chi _{2}^{2}{{\sigma }_{1}}\operatorname{sh} {{\sigma }_{1}}\operatorname{sh} {{\sigma }_{2}}}}{{2\Delta \left( u \right)}},\quad {{\Delta }_{2}}\left( u \right) = {{\left( {{{u}^{2}} - 0.5\chi _{2}^{2}} \right)}^{2}}{{\sigma }_{1}}{{\sigma }_{2}}\operatorname{ch} {{\sigma }_{1}}\operatorname{sh} {{\sigma }_{2}} - {{u}^{2}}\operatorname{sh} {{\sigma }_{1}}\operatorname{ch} {{\sigma }_{2}}$

${{\sigma }_{n}} = \sqrt {{{u}^{2}} - \chi _{n}^{2}} ,\quad u = \sqrt {\alpha _{1}^{2} + \alpha _{2}^{2}} ;\quad n = 1,2$

$\chi _{1}^{2} = \rho {{{\text{(}}\lambda {\text{ + 2}}\mu {\text{)}}}^{{ - {\text{1}}}}}{{\omega }^{{\text{2}}}},\quad \chi _{2}^{2} = \rho {{\mu }^{{ - {\text{1}}}}}{{\omega }^{{\text{2}}}}$

Другое представление интегрального уравнения (2.1), получаемое в результате перехода к преобразованиям Фурье для ядра и искомого решения, имеет вид

(2.2)

$\frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{{{\gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\gamma }_{2}}} K } ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}})\Phi ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{e}^{{ - i({{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}})}}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}} = f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$

Принятые обозначения нулей целых функций позволяют построить целые функции в форме бесконечных произведений. Построим сходящиеся четные целые функции $R\left( {{{z}_{p}}} \right)$ $P\left( {{{z}_{p}}} \right)$ в такой форме, приняв традиционные обозначения $ \pm {{z}_{s}} = z_{S}^{ \pm }$ [20]

${{R}_{m}}\left( u \right) = {{R}_{{m \pm }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right){{R}_{{m \mp }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right),\quad {{R}_{{m \mp }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right) = {{T}_{{m \mp }}}{{e}^{{ \mp i{{\alpha }_{m}}}}}\prod\limits_{s = 1}^\infty {\left( {1 - \frac{{{{\alpha }_{m}}}}{{{{\alpha }_{{m1s \pm }}}}}} \right)} {{e}^{{\tfrac{{{{\alpha }_{m}}}}{{{{\alpha }_{{m1s \pm }}}}}}}}$

${{P}_{m}}\left( u \right) = {{P}_{{m \pm }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right){{P}_{{m \mp }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right),\quad {{P}_{{m \mp }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right) = {{S}_{{m \mp }}}{{e}^{{ \mp i{{\alpha }_{m}}}}}\prod\limits_{s = 1}^\infty {\left( {1 - \frac{{{{\alpha }_{m}}}}{{{{\alpha }_{{m2s \pm }}}}}} \right)} {{e}^{{\tfrac{{{{\alpha }_{m}}}}{{{{\alpha }_{{m2s \pm }}}}}}}}$

(2.3)

$m = 1,2$

${{K}_{{ + m}}}\left( {{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right) = \frac{{{{R}_{{m - }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right)}}{{{{P}_{{m - }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right)}},\quad {{K}_{{ - m}}}\left( {{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right) = \frac{{{{R}_{{m + }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right)}}{{{{P}_{{m + }}}\left( {{{\alpha }_{m}}} \right)}}$

${{T}_{{m \mp }}} = \operatorname{const} ,\quad {{S}_{{m \mp }}} = \operatorname{const} ;\quad m = 1,2$

После деления ${{R}_{m}}(u)$ на ${{P}_{m}}(u)$ дадут мероморфные функции, обозначенные $K(u)$. Их нулями являются $ \pm {{z}_{{mp}}}$. Примем правую часть $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ интегрального уравнения (2.1) в форме

(2.4)

$f({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty A } ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}){{e}^{{ - i({{\eta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\eta }_{2}}{{x}_{2}})}}}d{{\eta }_{1}}d{{\eta }_{2}}$

Тогда для упрощения исследования и возможности построения решения для функции $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ достаточно в правой части взять выражение

(2.5)

$\begin{gathered} A{{e}^{{ - i({{\eta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\eta }_{2}}{{x}_{2}})}}};\quad A = \operatorname{const} ,\quad \operatorname{Im} {{\eta }_{n}} = 0,\quad n = 1,\;2 \\ \int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty k } ({{x}_{1}} - {{\xi }_{1}},{{x}_{2}} - {{\xi }_{2}})\varphi ({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})d{{\xi }_{1}}d{{\xi }_{2}} = A{{e}^{{ - i({{\eta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\eta }_{2}}{{x}_{2}})}}};\quad 0 \leqslant {{x}_{1}},\quad {{x}_{2}} \leqslant \infty \\ \end{gathered} $

Введем постоянные $A = {{A}_{1}}{{A}_{2}}$, как коэффициенты перед каждой экспонентой, то есть ${{A}_{1}}{{e}^{{ - i{{\eta }_{1}}{{x}_{1}}}}}$, ${{A}_{2}}{{e}^{{ - i{{\eta }_{2}}{{x}_{2}}}}}$.

Применим для исследования и решения новый универсальный метод моделирования [16], который позволит установить общий вид решения интегрального уравнения и построить его представление.

Преобразуя представление двумерного интегрального уравнения (2.2), можно, с учетом свойств целых функций $R(u)$ и $P(u)$, записать его в виде дифференциального уравнения в частных производных

(2.6)

$\prod\limits_{s = 1}^\infty {{{R}_{s}}} \left( {i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right)\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{f}_{0}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\quad {{f}_{0}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv \prod\limits_{s = 1}^\infty {{{P}_{s}}} \left( {i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right)f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$

Здесь дифференциальные операторы ${{R}_{s}}\left( {i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right)$ и ${{P}_{s}}\left( {i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right)$ имеют вид

${{R}_{s}}\left( {i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right) = - \left( {\Delta + z_{s}^{2}} \right),\quad {{P}_{s}}\left( {i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right) = - \left( {\Delta + \xi _{s}^{2}} \right)$

В соответствии с общей теорией, решение дифференциального уравнения (2.6), принадлежащее классу суммируемых функций, можно представить в виде

$\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{\varphi }_{0}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\varphi }_{ * }}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$

Функция ${{\varphi }_{0}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ является общим решением однородного уравнения, а ${{\varphi }_{ * }}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – частным решением неоднородного. Частное решение неоднородного уравнения для экспоненциальных правых частей (2.5) определяется просто и имеет для случая ${{f}_{0}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ = $A{{e}^{{ - i({{\eta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\eta }_{2}}{{x}_{2}})}}}$ вид

${{\varphi }_{ * }}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = P({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}})A{{e}^{{ - i({{\eta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\eta }_{2}}{{x}_{2}})}}}$

Общее решение ${{\varphi }_{o}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ однородного дифференциального уравнения (2.5) представимо в виде

${{\varphi }_{0}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \sum\limits_{s = 1}^\infty {{{\varphi }_{s}}} ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$

Здесь ${{\varphi }_{s}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, $s = 1,2, \ldots $ – общие решения уравнений

(2.7)

${{R}_{s}}\left( {i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right){{\varphi }_{s}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv - \left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}} + z_{s}^{2}} \right){{\varphi }_{s}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = 0,\quad s = 1,2, \ldots $

Последнее следует из вида характеристического уравнения для дифференциального оператора $\prod\nolimits_{s = 1}^\infty {{{R}_{s}}} \left( {i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right)$, даваемое функцией $R(u)$.

3. Метод решения. Описанные свойства интегрального уравнения, с использованием нового универсального метода моделирования [16], позволяют применить к рассматриваемому интегральному уравнению метод разделения переменных. Этот метод, в некотором смысле, является аналогом метода разделения переменных в многомерных дифференциальных уравнениях, но имеет свою специфику в интегральных уравнениях Винера–Хопфа.

Предварительно установим общий вид решения интегрального уравнения. Следуя указанному методу [16], применяемому как к дифференциальным уравнениям, так и к интегральным, будем искать общее решение $\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ дифференциальных уравнений (2.6) в форме разложения по общим решениям однородных дифференциальных уравнений (2.7) для $s = 1,2,3, \ldots $. Экспоненциальная подстановка ${{\varphi }_{s}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ = $C{{e}^{{i({{\beta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\beta }_{2}}{{x}_{2}})}}}$, где ${{\beta }_{n}}$, $n = 1,2$ – произвольные параметры, внесенная в дифференциальное уравнение (2.7) позволяет на основе характеристического уравнения $\beta _{1}^{2} + \beta _{2}^{2} - z_{s}^{2} = 0$ получить две группы корней

$\left\{ {{{\beta }_{{11s + }}} = i\sqrt {\beta _{2}^{2} - z_{s}^{2}} ,{{\beta }_{2}}} \right\},\quad \left\{ {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{{21s + }}} = i\sqrt {\beta _{1}^{2} - z_{s}^{2}} } \right\};\quad \operatorname{Im} {{\beta }_{{n1 + }}} \geqslant 0,\quad n = 1,2$

Каждая группа корней зависит от ${{\beta }_{1}}$ или от ${{\beta }_{2}}$. Поэтому однородная составляющая решения дифференциального уравнения (2.7) ищется в форме

${{\varphi }_{{so}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{C}_{{s1}}}{{e}^{{i({{\beta }_{{11s + }}}{{x}_{1}} + {{\beta }_{2}}{{x}_{2}})}}} + {{C}_{{s2}}}{{e}^{{i({{\beta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\beta }_{{21s + }}}{{x}_{2}})}}}$

Тогда общее решение интегрального уравнения (2.1) принимает вид

$\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{\varphi }_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\varphi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$

Здесь приняты обозначения

(3.1)

$\begin{gathered} {{\varphi }_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{\varphi }_{{10}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\varphi }_{{1 * }}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\quad {{\varphi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{\varphi }_{{20}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\varphi }_{{2 * }}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \\ {{\varphi }_{{10}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \sum\limits_{s = 1}^\infty {{{C}_{{s1}}}} {{e}^{{i({{\beta }_{{11s + }}}{{x}_{1}} + {{\beta }_{2}}{{x}_{2}})}}},\quad {{\varphi }_{{1 * }}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{D}_{1}}{{e}^{{ - i{{\eta }_{1}}{{x}_{1}}}}} \\ {{\varphi }_{{20}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \sum\limits_{s = 1}^\infty {{{C}_{{s2}}}} {{e}^{{i({{\beta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\beta }_{{21s + }}}{{x}_{2}})}}},\quad {{\varphi }_{{2 * }}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{D}_{2}}{{e}^{{ - i{{\eta }_{2}}{{x}_{2}}}}} \\ \end{gathered} $

Воспользуемся интегральным уравнением в форме (2.2). Здесь функции ${{D}_{1}}$, ${{D}_{2}}$ и постоянные ${{C}_{{s1}}}$, ${{C}_{{s2}}}$ являются неизвестными. Свойства описанных выше нулей целых функций (3) обеспечивают рядам экспонент сходимость и независимость экспоненциальных членов [21].

С учетом независимости экспоненциальных гармоник, будем искать решение в виде двух составляющих ${{\varphi }_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ и ${{\varphi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$.

4. Разделение переменных в двумерном уравнении Винера–Хопфа. Рассмотрим интегральное уравнение (2.2), представленное с применением преобразований Фурье в виде

(4.1)

$\frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{{{\Gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} K } ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}})\Phi ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{e}^{{ - i({{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}})}}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}} = A{{e}^{{ - i\left( {{{\eta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\eta }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}};\quad 0 \leqslant {{x}_{1}},\quad {{x}_{2}} \leqslant \infty $

Здесь и в дальнейшем прописными буквами обозначаются преобразования Фурье, вычисленные от строчных функций

$\Phi ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}) = \int\limits_0^\infty \varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}){{e}^{{i({{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}})}}}d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}$

Для использования представления (4.1) необходимо построить преобразования Фурье $\Phi ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}})$ искомого решения. Ищем $D({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}})$ в форме произведения функций с разделенными переменными ${{D}_{1}}({{\eta }_{1}}){{D}_{2}}({{\eta }_{2}})$.

Вычисления позволяют получить для фрагментов решений следующие представления

${{\Phi }_{{10}}}({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}):\quad \int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {{{C}_{{s1}}}} } {{e}^{{i({{\beta }_{{11s + }}}{{x}_{1}} + {{\beta }_{2}}{{x}_{2}})}}}{{e}^{{i\left( {{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}}d{{x}_{1}}d{{x}_{2}} = - \frac{{2\pi {{C}_{{s1}}}\delta ({{\beta }_{2}} + {{\alpha }_{2}})}}{{i({{\beta }_{{11s + }}} + {{\alpha }_{1}})}}$

${{\Phi }_{{1 * }}}({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}):\quad \int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty D } ({{\eta }_{1}}){{e}^{{ - i{{\eta }_{1}}{{x}_{1}}}}}{{e}^{{i\left( {{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}}d{{x}_{1}}d{{x}_{2}} = - \frac{{2\pi {{D}_{1}}({{\eta }_{1}})\delta ({{\alpha }_{2}})}}{{i({{\alpha }_{1}} - {{\eta }_{1}})}}$

${{\Phi }_{{20}}}({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}):\quad \int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {{{C}_{{s2}}}} } {{e}^{{i({{\beta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\beta }_{{21s + }}}{{x}_{2}})}}}{{e}^{{i\left( {{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}}d{{x}_{1}}d{{x}_{2}} = - \frac{{2\pi {{C}_{{s2}}}\delta ({{\beta }_{1}} + {{\alpha }_{1}})}}{{i({{\beta }_{2}} + {{\beta }_{{21s + }}})}}$

${{\Phi }_{{2 * }}}({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}):\quad \int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty D } ({{\eta }_{2}}){{e}^{{ - i\left( {{{\eta }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}}{{e}^{{i\left( {{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}}d{{x}_{1}}d{{x}_{2}} = - \frac{{2\pi {{D}_{2}}({{\eta }_{2}})\delta ({{\alpha }_{1}})}}{{i({{\alpha }_{2}} - {{\eta }_{2}})}}$

Используя приведенные представления и вычислив интегралы, получаем следующие выражение интегрального уравнения (2.5)

$\frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{{{\Gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} K ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{\Phi }_{{10}}}({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{e}^{{ - i({{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}})}}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}} = } \sum\limits_{s = 1}^\infty {\frac{{{{C}_{{s1}}}{{e}^{{ - i({{\alpha }_{{12r - }}}{{x}_{1}} - {{\beta }_{2}}{{x}_{2}})}}}}}{{({{\alpha }_{{12r - }}} + {{\beta }_{{11s + }}})\left[ {{{K}^{{ - 1}}}({{\alpha }_{{12r - }}},{{\beta }_{2}})} \right]'}}} $

$\frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{{{\Gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} {K({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{\Phi }_{{1*}}}({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{e}^{{ - i({{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}})}}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}} = } } $

$ = \sum\limits_{s = 1}^\infty {\frac{{2\pi {{D}_{1}}({{\eta }_{1}}){{C}_{{s1}}}{{e}^{{ - i({{\alpha }_{{12r - }}}{{x}_{1}})}}}}}{{({{\alpha }_{{12r - }}} - {{\eta }_{1}})[{{K}^{{ - 1}}}({{\alpha }_{{12r - }}},0)]'}} + K({{\eta }_{1}},0){{D}_{1}}({{\eta }_{1}}){{e}^{{ - i({{\eta }_{1}}{{x}_{1}})}}}} $

$\frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{{{\Gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} K ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{\Phi }_{{20}}}({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{e}^{{ - i({{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}})}}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}}} = \sum\limits_{s = 1}^\infty {\frac{{{{C}_{{s2}}}{{e}^{{ - i( - {{\beta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{{22r - }}}{{x}_{2}})}}}}}{{({{\alpha }_{{22r - }}} + {{\beta }_{{21s + }}})\left[ {{{K}^{{ - 1}}}({{\beta }_{1}},{{\alpha }_{{22r - }}})} \right]'}}} $

$\frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{{{\Gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} K } ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{\Phi }_{{2 * }}}({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){{e}^{{ - i({{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}})}}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}} = $

$ = \sum\limits_{s = 1}^\infty {\frac{{2\pi {{D}_{2}}({{\eta }_{2}}){{C}_{{s2}}}{{e}^{{ - i({{\alpha }_{{22r - }}}{{x}_{2}})}}}}}{{({{\alpha }_{{22r - }}} - {{\eta }_{2}})[{{K}^{{ - 1}}}(0,{{\alpha }_{{22r - }}})]'}} + K(0,{{\eta }_{2}}){{D}_{2}}({{\eta }_{2}}){{e}^{{ - i({{\eta }_{2}}{{x}_{2}})}}}} $

Отсюда из требования равенства соотношений слева правым частям интегрального уравнения, находим

${{D}_{1}}({{\eta }_{1}}) = {{K}^{{ - 1}}}({{\eta }_{1}},0){{A}_{1}},\quad {{D}_{2}}({{\eta }_{2}}) = {{K}^{{ - 1}}}(0,{{\eta }_{2}}){{A}_{2}}$

После преобразований это приводит к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, свойственных одномерным уравнениям Винера–Хопфа и детально изученным в [17, 18].

$\sum\limits_{m = 1}^{} {\frac{{{{C}_{{m1}}}}}{{({{\alpha }_{{12r + }}} - {{\beta }_{{11m + }}})}}} = \frac{{{{A}_{1}}}}{{({{\alpha }_{{12r + }}} + {{\eta }_{1}})K({{\eta }_{1}},0)}},\quad \sum\limits_{m = 1}^{} {\frac{{{{C}_{{m2}}}}}{{({{\alpha }_{{22r + }}} - {{\beta }_{{21m + }}})}}} = \frac{{{{A}_{2}}}}{{({{\alpha }_{{22r + }}} + {{\eta }_{2}})K(0,{{\eta }_{2}})}}$

Запишем операторы бесконечных систем, стоящих слева в матричном виде

$A = \left\| {{{a}_{{rm}}}} \right\| = \left\| {\frac{1}{{{{\xi }_{r}} - {{z}_{m}}}}} \right\|$

Для них в [17, 18] построены двусторонние обратные бесконечные матрицы, имеющие вид

${{A}^{{ - 1}}} = \left\| {{{\tau }_{{gr}}}} \right\|,\quad {{\tau }_{{gr}}} = \frac{1}{{K_{ + }^{'}( - {{z}_{g}})({{\xi }_{r}} - {{z}_{g}})\left[ {K_{ + }^{{ - 1}}( - {{\xi }_{r}})} \right]'}}$

${{A}^{{ - 1}}}A = A{{A}^{{ - 1}}} = I,\quad {{\tau }_{{gr}}}{{a}_{{rm}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \ldots g = m} \\ {0 \ldots g \ne m} \end{array}} \right.$

В рассматриваемом случае эти соотношения приводят к равенствам

$\sum\limits_{r = 1}^\infty {\frac{1}{{K_{{ + 1}}^{'}\left( { - {{\beta }_{{11g + }}},{{\beta }_{2}}} \right)\left( {{{\alpha }_{{12r + }}} - {{\beta }_{{11g + }}}} \right)\left[ {K_{{ + 1}}^{{ - 1}}( - {{\alpha }_{{12r + }}},{{\beta }_{2}})} \right]'({{\alpha }_{{12r + }}} - {{\beta }_{{11s + }}})}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \ldots g = s} \\ {0 \ldots g \ne s} \end{array}} \right.$

$\sum\limits_{r = 1}^\infty {\frac{1}{{K_{{ + 2}}^{'}\left( {{{\beta }_{1}}, - {{\beta }_{{21g + }}}} \right)\left( {{{\alpha }_{{22r + }}} - {{\beta }_{{21g + }}}} \right)\left[ {K_{ + }^{{ - 1}}({{\beta }_{1}}, - {{\alpha }_{{22r + }}})} \right]'({{\alpha }_{{22r + }}} - {{\beta }_{{21s + }}})}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \ldots g = s} \\ {0 \ldots g \ne s} \end{array}} \right.$

Применяя обратные матрицы, получаем следующее представление решений бесконечных систем линейных алгебраических уравнений

${{C}_{{g1}}} = \sum\limits_{r = 1}^\infty {\frac{1}{{K_{{ + 1}}^{'}\left( { - {{\beta }_{{11g + }}},{{\beta }_{2}}} \right)\left( {{{\alpha }_{{12r + }}} - {{\beta }_{{11g + }}}} \right)\left[ {K_{{ + 1}}^{{ - 1}}( - {{\alpha }_{{12r + }}},{{\beta }_{2}})} \right]'}}} \frac{{{{A}_{1}}}}{{\left( {{{\alpha }_{{12r + }}} + {{\eta }_{1}}} \right)K({{\eta }_{1}},0)}}$

${{C}_{{g2}}} = \sum\limits_{r = 1}^\infty {\frac{1}{{K_{{ + 2}}^{'}\left( {{{\beta }_{1}}, - {{\beta }_{{21g + }}}} \right)\left( {{{\alpha }_{{22r + }}} - {{\beta }_{{21g + }}}} \right)\left[ {K_{{ + 2}}^{{ - 1}}({{\beta }_{1}}, - {{\alpha }_{{22r + }}})} \right]'}}} \frac{{{{A}_{2}}}}{{\left( {{{\alpha }_{{22r + }}} + {{\eta }_{2}}} \right)K(0,{{\eta }_{2}})}}$

Ряды суммируются в интегралы [5] и принимают вид

${{C}_{{g1}}} = - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{1}}} {\frac{{{{K}_{{ + 1}}}(\xi ,{{\beta }_{2}})}}{{K_{{ + 1}}^{'}\left( { - {{\beta }_{{11g + }}},{{\beta }_{2}}} \right)\left( { - \xi - {{\beta }_{{11g + }}}} \right)}}\frac{{{{A}_{1}}}}{{\left( { - \xi + {{\eta }_{1}}} \right)K({{\eta }_{1}},0)}}} d\xi $

${{C}_{{g2}}} = - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{2}}} {\frac{{{{K}_{{ + 2}}}({{\beta }_{1}},\xi )}}{{K_{{ + 2}}^{'}\left( {{{\beta }_{1}}, - {{\beta }_{{21g + }}}} \right)\left( { - \xi - {{\beta }_{{21g + }}}} \right)}}\frac{{{{A}_{2}}}}{{\left( { - \xi + {{\eta }_{2}}} \right)K(0,{{\eta }_{2}})}}} d\xi $

Используя представление (3.1) и, применив свертывание рядов в интегралы, получим представление решений, справедливое для данных частных значений параметров ${{\beta }_{1}}$, ${{\beta }_{2}}$, которое имеет вид

$\begin{gathered} {{\varphi }_{1}}\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\beta }_{2}},{{\eta }_{1}}} \right) = \\ = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{{{\gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\gamma }_{3}}} {\frac{{{{K}_{{ + 1}}}(\xi ,{{\beta }_{2}})}}{{{{K}_{{ + 1}}}(\lambda ,{{\beta }_{2}})( - \xi + \lambda )}}\frac{{{{A}_{1}}}}{{( - \xi + {{\eta }_{1}})K({{\eta }_{1}},0)}}{{e}^{{i( - \lambda {{x}_{1}} + {{\beta }_{2}}{{x}_{2}})}}}} d\xi } d\lambda + \frac{{{{A}_{1}}}}{{K({{\eta }_{1}},0)}}{{e}^{{ - i{{\eta }_{1}}{{x}_{1}}}}} \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{\varphi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\beta }_{1}},{{\eta }_{2}}) = \\ = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{{{\gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\gamma }_{3}}} {\frac{{{{K}_{{ + 2}}}({{\beta }_{1}},\xi )}}{{{{K}_{{ + 2}}}({{\beta }_{1}},\lambda )( - \xi + \lambda )}}\frac{{{{A}_{2}}}}{{( - \xi + {{\eta }_{2}})K(0,{{\eta }_{2}})}}{{e}^{{i({{\beta }_{1}}{{x}_{1}} - \lambda {{x}_{2}})}}}d\xi } } d\lambda + \frac{{{{A}_{2}}}}{{K(0,{{\eta }_{2}})}}{{e}^{{ - i{{\eta }_{2}}{{x}_{2}}}}} \\ \end{gathered} $

Примем во внимание, что эти вещественные параметры имеют диапазон изменения $\left| {{{\beta }_{n}}} \right| \leqslant \infty $, а интегральные уравнения являются линейными. Для построения решения, справедливого для любых вещественных значений параметров ${{\beta }_{1}}$, ${{\beta }_{2}}$, проинтегрируем полученные функции по диапазонам изменения параметров. В результате решение интегрального уравнения Винера–Хопфа (2.5) имеют представление в форме

$\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}) = {{\varphi }_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\eta }_{1}}) + {{\varphi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\eta }_{2}})$

${{\varphi }_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\eta }_{1}}) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\varphi }_{1}}} ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\beta }_{2}},{{\eta }_{1}})d{{\beta }_{2}} = $

(4.2)

$ = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{{{\gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\gamma }_{3}}} {\frac{{{{K}_{{ + 1}}}(\xi ,{{\beta }_{2}})}}{{{{K}_{{ + 1}}}(\lambda ,{{\beta }_{2}})(\xi - \lambda )}}\frac{{{{A}_{1}}}}{{(\xi - {{\eta }_{1}})K({{\eta }_{1}},0)}}{{e}^{{i( - \lambda {{x}_{1}} + {{\beta }_{2}}{{x}_{2}})}}}d\xi } d\lambda } d{{\beta }_{2}}} + \frac{{{{A}_{1}}}}{{K({{\eta }_{1}},0)}}{{e}^{{ - i{{\eta }_{1}}{{x}_{1}}}}}$

${{\varphi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\eta }_{2}}) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\varphi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\beta }_{1}},{{\eta }_{2}})d{{\beta }_{1}}} = $

$ = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{{{\gamma }_{1}}} {\int\limits_{{{\gamma }_{3}}} {\frac{{{{K}_{{ + 2}}}({{\beta }_{1}},\xi )}}{{{{K}_{{ + 2}}}({{\beta }_{1}},\lambda )(\xi - \lambda )}}\frac{{{{A}_{2}}}}{{(\xi - {{\eta }_{2}})K(0,{{\eta }_{2}})}}{{e}^{{i({{\beta }_{1}}{{x}_{1}} - \lambda {{x}_{2}})}}}d\xi } d\lambda } d{{\beta }_{1}}} + \frac{{{{A}_{2}}}}{{K(0,{{\eta }_{2}})}}{{e}^{{ - i{{\eta }_{2}}{{x}_{2}}}}}$

Решение для произвольной правой части $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ уравнения (2.1) получаются, с учетом (2.4), в результате вычисления интеграла при ${{A}_{1}} = {{A}_{2}} = 1$

$\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty \varphi } ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}})A({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}){{e}^{{ - i({{\eta }_{1}}{{x}_{1}} + {{\eta }_{2}}{{x}_{2}})}}}d{{\eta }_{1}}d{{\eta }_{2}}$

Здесь функции ${{\varphi }_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, ${{\varphi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ берутся из формулы (4.2).

Вывод. В работе впервые построена формула, позволяющая решать уравнение Винера–Хопфа в четверть плоскости. Она зависит только от аналитических свойств, именно, факторизационных свойств функций, входящих в описание формулы. Таким образом, возможно, установлен общий вид решения уравнения Винера–Хопфа в четверть плоскости, справедливый для более широкого класса функций, а не только имеющих мероморфные функции в представлении ядра. Этот результат дополняет результат подхода, изложенного в работе [19].

Благодаря развитым в [17, 18] подходам, этот метод позволяет исследовать контактные задачи не только в четверть плоскости, но и в некоторых ограниченных двумерных областях.

Работа поддержана Российским научным фондом, проект № 22-29-00213.

Список литературы

Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953. 206 с.
Галин Л.А. Смешанная задача теории упругости с силами трения для полуплоскости // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39. № 3. С. 88–93.
Галин Л.А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления // ПММ. 1945. Т. 9. Вып. 5. С. 413–424.
Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. 303 с.
Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 256 с.
Papangelo A., Ciavarella M., Barber J.R. Fracture mechanics implications for apparent static friction coefficient in contact problems involving slip-weakening laws // Proc. Roy. Soc. 2015. A 471. Iss. 2180: Art. No. 20150271.
Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. I-Theory, II-Examples // Int. J. Solids Struct. 1998. V. 35. P. 2349–2378.
Zhou S., Gao X.L. Solutions of half-space and half-plane contact problems based on surface elasticity // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2013. V. 64. P. 145–166.
Guler M.A., Erdogan F. The frictional sliding contact problems of rigid parabolic and cylindrical stamps on graded coatings // Int. J. Mech. Sci. 2007. V. 49. P. 161–182.
Ke L.-L., Wang Y.-S. Two-dimensional sliding frictional contact of functionally graded materials // Eur. J. Mech. A/Solids. 2007. V. 26. P. 171–188.
Almqvist A., Sahlin F., Larsson R., Glavatskih S. On the dry elasto-plastic contact of nominally flat surfaces // Tribol. Int. 2007. V. 40 (4). P. 574–579.
Almqvist A. An lcp solution of the linear elastic contact mechanics problem // http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/43216.
Andersson L.E. Existence results for quasistatic contact problems with Coulomb friction // Appl. Math. Optim. 2000. V. 42. P. 169–202.
Cocou M. A class of dynamic contact problems with Coulomb friction in viscoelasticity // Nonlin. Anal.: Real World Appl. 2015. V. 22. P. 508–519.
Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On the possibility of predicting some types of earthquake by a mechanical approach // Acta Mech. 2018. V. 229. № 5. P. 2163–2175. https://doi.org/10.1007/s00707-017-2092-0
Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Фрактальные свойства блочных элементов и новый универсальный метод моделирования // Докл. РАН. 2021. Т. 499. С. 21–26. https://doi.org/10.31857/S2686740021040039
Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости М.: Наука, 1974. 456 с.
Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.
Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Метод блочного элемента для интегральных уравнений контактных задач в клиновидной области // ПМТФ. 2017. Т. 58. № 2. С. 133–140. https://doi.org/10.15372/PMTF20170214
Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 2. М.: Наука, 1968. 624 с.
Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 537 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал