Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 6, стр. 998-1012
Давление и дебит при переходных режимах работы скважины с вертикальной трещиной гидроразрыва
Р. А. Башмаков 1, 2, *, Н. О. Фокеева 1, **, В. Ш. Шагапов 1, ***
1 Институт механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского федерального
исследовательского центра РАН
Уфа, Россия
2 Башкирский государственный университет
Уфа, Россия
* E-mail: Bashmakov_Rustem@mail.ru
** E-mail: ffoxnina@gmail.com
*** E-mail: Shagapov@rambler.ru
Поступила в редакцию 21.07.2022
После доработки 30.08.2022
Принята к публикации 30.08.2022
- EDN: UROLGR
- DOI: 10.31857/S0032823522060017
Аннотация
В работе получены точные аналитические решения системы уравнений, описывающих фильтрацию жидкости в пластах, подверженных ГРП, при переходных режимах работы скважины. Рассмотрены случаи, когда забойное давление или дебит скважины изменяются, принимая кусочно-постоянные значения. Данные решения обобщены для случая, когда давление на забое и дебит от времени являются непрерывными функциями. Полученные решения позволяют определить дебит или забойное давление при заданном законе изменения давления на забое или дебита скважины, а также эволюцию давления в трещине ГРП. В определенных случаях, например, при П-образном законе изменения дебита полученные решения из сравнения промысловых кривых дебита и забойного давления позволяют определить проводимость трещины ГРП. Показано хорошее совпадение теоретических кривых изменения давления, построенных по данным изменения дебита, и результатов полевых наблюдений.
1. Введение. К настоящему времени вышло много работ, описывающих распределение давления в трещине ГРП при работе нефтяной скважины. В большинстве из них рассматривается стационарная фильтрация (см., напр., [1]). Модели, приведенные в [2–5], описывают нестационарную фильтрацию жидкости в трещине и показывают связь между постоянным давлением, поддерживаемым после ее начала работы, и расходом жидкости на скважине или изменение давления при поддержании постоянного расхода. В статье [5] приводятся решения для нахождения распределения давления в трещине ГРП конечной длины и, окружающем трещину пласте. В работе [6] рассмотрены режимы работы скважины с кусочно-постоянными изменениями давления на скважине или расхода жидкости.
В данной работе рассматриваются более общие режимы работы нефтяной скважины; случаи ступенчатого и непрерывного изменения давления или изменения дебита скважины. И в том и другом случае получены точные аналитические решения, описывающие распространение давления в трещине, по которым, в свою очередь, используя закон Дарси, можно определить фильтрационные потоки в пласте и трещине. Показана практическая значимость полученных результатов.
Полученные теоретические результаты апробируются на данных измерений суточного дебита и изменения давления на забое реальной нефтяной скважины. По начальному П-образному режиму изменения дебита скважины и, соответствующим данным изменения давления был найден коэффициент, определяемый характеристиками пласта и трещины ГРП (значениями проницаемостей и пористости трещины и пласта, шириной и высотой трещины, вязкостью флюида). Далее, по аналитическим решениям, полученным в работе, по кривой годового изменения дебита скважины получена кривая изменения давления на забое. Из представленных в работе графиков следует достаточно хорошее совпадение теоретических кривых с промысловыми данными.
2. Основные уравнения. Рассмотрим нефтяную скважину с вертикальной, закрепленной пропантом трещиной, полученной путем гидроразрыва пласта (ГРП) (рис. 1). Пласт предполагается однородным, ширина трещины df значительно меньше ее высоты hf. Считаем, что жидкость в пласте течет перпендикулярно плоскости трещины и, далее, по трещине течет от скважины (билинейная схема). Предполагается, что давление жидкости в пласте и трещине мало зависит от изменения глубины, поэтому рассматриваем движение флюида в трещине, как квазиодномерное вдоль оси OX, направленной вдоль трещины. В силу симметрии можно рассматривать одно крыло трещины. Начало координат поместим на стенку забойного участка. Ось OY направим перпендикулярно трещине. Отсчет будет идти от границы “пласт–трещина”. Скелет пористой среды пласта и трещины считаем несжимаемым, длину трещины бесконечной.
Основываясь на законе сохранения масс, законе Дарси в работах [2–5] получена система уравнений, описывающая фильтрацию флюида в трещине ГРП и пласте:
(2.1)
$\frac{{\partial {{P}_{f}}}}{{\partial t}} = {{{{\unicode{230} }}}_{f}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{f}}}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right) + \frac{{2{{m}_{p}}{{{{\unicode{230} }}}_{p}}}}{{{{m}_{f}}{{d}_{f}}}}{{\left. {\left( {\frac{{\partial {{P}_{p}}}}{{\partial y}}} \right)} \right|}_{{y = 0}}}\quad (0 < x < \infty )~$(2.2)
$\frac{{\partial {{P}_{p}}}}{{\partial t}} = {{{{\unicode{230} }}}_{p}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{p}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right)\quad \left( {0 < x < \infty ,\;0 < y < \infty } \right),$Давление в трещине и в пласте на поверхности стенки трещины совпадает:
Вдали от трещины считаем, что давление постоянно и равно первоначальному значению P0:
Система уравнений (2.1)–(2.2) сводится в работе [4] к одному интегро-дифференциальному уравнению, описывающему распределение давления в трещине ГРП:
(2.5)
$\frac{{\partial \Delta {{P}_{f}}}}{{\partial t}} = {{{{\unicode{230} }}}_{f}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}\Delta {{P}_{f}}}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right) - \left( {\frac{{2{{m}_{p}}{{{{\unicode{230} }}}_{p}}}}{{{{m}_{f}}{{d}_{f}}}}} \right)\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^t \left( {\frac{{\partial \Delta {{P}_{f}}\left( {\tau ,~x} \right)}}{{\partial \tau }}} \right)\left( {\frac{{d\tau }}{{\sqrt {\pi {{{{\unicode{230} }}}_{p}}\left( {t - \tau } \right)} }}} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {\Delta {{P}_{f}} = {{P}_{f}} - {{P}_{0}}} \right)$Здесь мы считаем, что при $t \to - \infty $ система находится в покое, т.е.
Из сравнения слагаемых в уравнении (2.5) можно получить критические условия для характерного времени $\tilde {t}$, когда левая часть этого уравнения, отвечающая за упругоемкость флюида в трещине несущественна (см. [4]).
Для рассматриваемых задач справедлива оценка
(2.6)
$\tilde {t} \gg t*;\quad t* = \frac{\pi }{4}{{\left( {\frac{{{{m}_{f}}}}{{{{m}_{p}}}}} \right)}^{2}}\left( {\frac{{d_{f}^{2}}}{{{{{{\unicode{230} }}}_{p}}}}} \right)$Для нефтепромысловых задач обычно рассматриваются времена, удовлетворяющие условию (2.6) (минуты, часы, сутки). Поэтому будем вместо (2.5) пользоваться упрощенным уравнением
(2.7)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\Delta {{P}_{f}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} = \frac{{2{{m}_{p}}{{{{\unicode{230} }}}_{p}}}}{{{{m}_{f}}{{d}_{f}}{{{{\unicode{230} }}}_{f}}}}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^t \left( {\frac{1}{{\sqrt {\pi {{{{\unicode{230} }}}_{p}}\left( {t - \tau } \right)} }}\frac{{\partial \Delta {{P}_{f}}\left( {\tau ,~x} \right)}}{{\partial \tau }}} \right)d\tau $3. Случай последовательного скачкообразного закона изменения давления в скважине. В работе [4] получено решение задачи о распространении давления в трещине ГРП при резком изменении давления в момент времени τ на постоянную величину $\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}} = {{P}_{{\left( w \right)}}} - {{P}_{0}}$. Предполагается, что далее давление поддерживается постоянным ($\Delta {{P}_{{\left( w \right)~}}} = \operatorname{const} $, $t \geqslant \tau $). Для определенности будем в дальнейшем считать, что $\Delta {{P}_{{\left( w \right)~}}} > 0$, т. е. рассматривается случай, когда жидкость нагнетается в пласт, случай откачивания жидкости из скважины приводит лишь к изменению знака величины $\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}$.
Эти условия запишем в виде
В работе [4] получено решение поставленной задачи через специальную функцию
(3.1)
$\operatorname{Gil} \left( z \right) = 1 - \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_0^\infty \left( {\frac{{\sin \left( {z{{\eta }^{{\frac{1}{4}}}}} \right)}}{\eta }~} \right)~{{e}^{{ - \eta - z{{\eta }^{{\frac{1}{4}}}}}}}dz$Распределение давления в трещине находится, как
(3.2)
$\Delta {{P}_{f}} = \Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}{\text{Gil}}\left( {\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} ~x{{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}} \right);\quad t > \tau \quad \left( {{{\mathcal{X}}_{f}} = \frac{2}{{{{d}_{f}}}}\frac{{{{m}_{p}}}}{{{{m}_{f}}}}\frac{{\sqrt {{{{{\unicode{230} }}}_{p}}} }}{{{{{{\unicode{230} }}}_{f}}}}} \right)$На основе этого решения можно определить формулу для объемного расхода флюида в одном крыле трещины на единицу высоты трещины:
Введем величину $\mathcal{F} = \frac{\mu }{{\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2~~} {{d}_{f}}{{k}_{f}}}}$ (от англ. Feature – характеристика, свойство), характеризующую проводимость трещины. Используя выражение для ${{\mathcal{X}}_{f}}$ из (3.2) и выражения для коэффициентов пьезопроводности ${{{{\unicode{230} }}}_{p}}$, ${{{{\unicode{230} }}}_{f}}$, входящих в уравнения (2.1) и (2.2), для параметра $\mathcal{F}$ можем записать:
(3.3)
$\mathcal{F} = \frac{{{{{{\mu }}}^{{\frac{3}{4}}}}\sqrt C ~{{\rho }^{{\frac{1}{4}}}}}}{{\sqrt {{{d}_{f}}{{k}_{f}}\sqrt {{{m}_{p}}{{k}_{p}}} } }}$Отсюда
(3.4)
$q \approx - \frac{{3.6}}{\pi }\frac{{\left( {\Delta {{P}_{{f\left( w \right)}}}{{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}} \right)}}{\mathcal{F}};\quad t > \tau $Здесь использовано
Рассмотренное уравнение (2.7), линейное для ΔPf, это позволяет (см. [6]), представленную формулу (3.2) для нахождения расхода, обобщить для случая, когда давление изменяется скачкообразно в моменты времени ${{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}, \ldots ,{{\tau }_{n}}$ и на участках $\left[ {{{\tau }_{i}},{{\tau }_{{i + 1}}}} \right)$, i = 1, 2, …, n принимает постоянные значения.
Пусть в исходном состоянии жидкость в скважине и трещине неподвижна
В момент времени $t = {{\tau }_{1}}$ скважина начинает функционировать при постоянном перепаде давления $\Delta {{P}_{{\left( w \right)1~}}}$ до момента времени ${{\tau }_{2}}$, с момента времени ${{\tau }_{2}}~$скважина функционирует при перепаде давления $\Delta {{P}_{{\left( w \right)2~}}}$ до момента времени ${{\tau }_{3}}$ и т.д. Для удобства записи формулы будем считать, что $\Delta {{P}_{{\left( w \right)0}}} = 0~$. Тогда решение, описывающее изменение давления в трещине, может быть записано в виде
(3.5)
$\Delta {{P}_{f}}\left( {t,x} \right) = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \,H\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)\left( {\Delta {{P}_{{\left( w \right)i}}} - \Delta {{P}_{{\left( w \right)i - 1}}}} \right){\text{Gil}}\left( {\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2~~} x~{{{\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)}}^{{\frac{1}{4}}}}} \right),$Далее, по аналогии с (3.2), получим величину расхода на единицу высоты трещины:
(3.6)
$q = - \frac{{3.6}}{{\pi ~\mathcal{F}}}\,\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left[ {~H\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)\left( {\Delta {{P}_{{\left( w \right)i}}} - \Delta {{P}_{{\left( w \right)i - 1}}}} \right){{{\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}~} \right]$Объем флюида, поступающий (расходуемый) за время, прошедшее с момента τ начала работы скважины до момента времени t через два крыла трещины высотой ${{h}_{f}}$, будет определяться формулой
(3.7)
$V = 2{{h}_{f}}\,\mathop \smallint \limits_\tau ^t \,q\left( \tau \right)d\tau = - 9.6\frac{{{{h}_{f}}}}{{\pi \mathcal{F}}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \,H\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)\left( {\Delta {{P}_{{\left( w \right)i}}} - \Delta {{P}_{{\left( w \right)i - 1}}}} \right){{\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)}^{{\frac{3}{4}}}}$4. Случай непрерывного изменения давления на скважине. Пусть первоначальное давление в пласте и на забое равно P0, давление в скважине изменяется непрерывно:
Разобьем временной промежуток $[{{\tau }_{0}},t)$ точками ${{\tau }_{0}},{{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}$, …, τn. Введем следующую сумму:
(4.1)
$\Delta {{P}_{f}}\left( {t,x} \right) = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \,H\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right){\text{Gil}}\left( {\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} x{{{\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}} \right)\left( {\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}\left( {{{\tau }_{i}}} \right) - \Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}\left( {{{\tau }_{{i - 1}}}} \right)} \right)$Согласно (3.5), выражение (4.1) соответствует ступенчатому изменению давления на скважине. При ${\text{max}}\left( {~{{\tau }_{i}} - {{\tau }_{{i - 1}}}} \right) \to 0$ оно может рассматриваться, как интегральная сумма для интеграла
(4.2)
$\Delta {{P}_{f}}\left( {t,x} \right) = \mathop \smallint \limits_{{{\tau }_{0}}}^t \,{\text{Gil}}\left( {\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2~} x{{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}~} \right)d{{P}_{{\left( w \right)}}}\left( \tau \right)$Отсюда можно найти расход жидкости на скважине:
Поэтому
(4.3)
$q = - 1.154\frac{1}{\mathcal{F}}\mathop \smallint \limits_{{{\tau }_{0}}}^t {{\left( {t - \tau } \right)}^{{ - \frac{1}{4}}}}\left( {\frac{{\partial {{P}_{{\left( w \right)}}}\left( \tau \right)}}{{\partial \tau }}} \right)d\tau $Формулы (4.2) и (4.3) позволяют, зная непрерывный закон изменения давления на скважине, определять закон изменения расхода жидкости в скважине с вертикальной трещиной ГРП и в самой трещине.
5. Решения, соответствующие кусочно-постоянным законам изменения расхода жидкости на скважине. Пусть до момента времени $\tau $ флюид в пласте и трещине находится в покое (${{{v}}_{p}} = {{{v}}_{f}} = 0$). В работах [3], [4] получен закон изменения давления при постоянном расходе. Пусть, первоначальный расход жидкости на скважине до момента времени $t = \tau $ нулевой, и, начиная с момента времени $t = \tau $ поддерживается постоянный расход q. Тогда распределение давления в трещине ГРП выражается формулой при ($\tau \leqslant t$)
(5.1)
$\Delta {{P}_{f}}\left( {t,x} \right) = - {{\left( {t - \tau } \right)}^{{\frac{1}{4}}}}q~\mathcal{F}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{Zil}}\left( {x\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} ~{{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}} \right),$Так как $\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}} = {{\left. {\Delta {{P}_{f}}} \right|}_{{x = 0}}}$, из (5.1) получим закон изменения перепада давления на скважине:
(5.2)
$\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}} = - {\text{Zil}}\left( 0 \right){{\left( {t - \tau } \right)}^{{\frac{1}{4}}}}q\mathcal{F}$Величина ${\text{Zil}}\left( 0 \right) \approx 0.78$. Графики функций ${\text{Gil}}\left( z \right)$ и ${\text{Zil}}\left( z \right)$ приведены в работе [4].
В силу линейности уравнения (2.7), выше представленное решение (5.1), можно обобщить для случаев, когда расход представляет кусочно-постоянную функцию.
Пусть до момента τ1 флюид в пласте находится в покое и расход жидкости на скважине ${{q}_{0}} = 0$, в момент времени τ1 расход выходит на значение ${{q}_{1}}$ и поддерживается постоянным до момента времени τ2, когда он резко изменяется до величины ${{q}_{2}}$ и держится постоянным до момента τ3, и так далее.
Решение, описывающее эволюцию давления в трещине, принимает вид:
(5.3)
$\Delta {{P}_{f}}\left( {t,x} \right) = - \mathcal{F}\,\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \,H\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)\left( {{{q}_{i}} - {{q}_{{i - 1}}}} \right){{\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)}^{{\frac{1}{4}}}}{\text{Zil}}\left( {x\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} {{{\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)}}^{{\frac{1}{4}}}}} \right)$Для перепада давления $\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}$ между значениями на забое скважины и пластом $\left( {\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}} = \Delta {{P}_{f}}\left( {t,0} \right)} \right)$ получим
(5.4)
$\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}} = - {\text{Zil}}\left( 0 \right)\mathcal{F}\,\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \,H\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)\left( {{{q}_{i}} - {{q}_{{i - 1}}}} \right){{\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)}^{{\frac{1}{4}}}}$6. Случай непрерывного изменения расхода жидкости на скважине. Рассмотрим теперь случай, когда расход жидкости на скважине изменяется непрерывно, начиная с нулевого значения q = q(t), q(0) = 0, t ≥ 0.
Разобьем временной промежуток $[{{\tau }_{0}},t)$ точками ${{\tau }_{0}},{{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}$, …, τn. Введем следующую сумму:
При ${\text{max}}\left( {{{\tau }_{i}} - {{\tau }_{{i - 1}}}} \right) \to 0$ $\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right)$ она может рассматриваться, как интегральная сумма для интеграла
(6.1)
$\Delta {{P}_{f}}\left( {t,x} \right) = - \mathcal{F}\,\mathop \smallint \limits_0^t {{\left( {t - \tau } \right)}^{{\frac{1}{4}}}}{\text{Zil}}\left( {\left( {x\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} } \right){{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}} \right)dq\left( \tau \right),$(6.2)
$\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}\left( t \right) = - {\text{Zil}}\left( 0 \right)\mathcal{F}\,\mathop \smallint \limits_0^t {{\left( {t - \tau } \right)}^{{\frac{1}{{4~}}}}}dq\left( \tau \right)$7. Результаты расчетов. На основе полученных аналитических решений, рассмотрим численные примеры. Для параметров, определяющих физические свойства флюида, а также пласта, подверженного ГРП (если специально не оговорено иное) примем следующие величины: $~{{\rho }_{0}} = {{10}^{3}}$ кг/м3, $~{{m}_{f}} = 0.3$, $\mu = {{10}^{{ - 3}}}$ Па · с, $C = 1500$ м/с, ${{k}_{p}} = {{10}^{{ - 15}}}$ м2, ${{m}_{p}} = 0.1$, ${{k}_{f}} = {{10}^{{ - 10}}}$ м2, ${{d}_{f}} = 5 \times {{10}^{{ - 3}}}$ м.
Рассмотрим эволюцию фильтрационных полей в трещине и дебит жидкости через нее при заданном законе изменения давления в забое скважины. Поскольку уравнения, описывающие поле давления движения в трещине и окружающем ее пласте, представляют собой линейно однородные интегро-дифференциальные уравнения, то решения, описывающие возмущения давления в пласте и трещине, пропорционально изменяются относительно исходного пластового давления, то есть задание начального пластового давления при получении решений роли не играет. Допустим в исходном состоянии пластовое давление однородно и вдали от скважины сохраняется постоянное значение. Это означает, что здесь рассматриваем “начальный” этап эксплуатации скважины, в течение которого дальняя граница трещины ГРП и пласта слабо влияют на эволюцию давления в трещине и пласте. Пусть (рис. 2а) в момент времени $t = 0$ давление в забое повышается на 10 МПа и поддерживается постоянным в течение суток. Далее, давление опускается до исходного значения и сохраняется постоянным. Видно (рис. 2б), что в течение суток происходит нагнетание $(q < 0)$, а далее (t > 1 сутки) происходит поступление жидкости в скважину. На рис. 2в представлена эволюция давления в трещине ГРП. Линии 1, 2, 3 и 4 соответствуют моментам времени t = 6 часов, 1 сутки, 1 сутки и 30 минут, 2 суток.
Заметим, что в моменты скачкообразного изменения давления расход жидкости на скважине приобретает бесконечное значение (всплеск), но количество извлекаемой или закачиваемой жидкости за любой промежуток времени конечно и изменяется непрерывно.
Рассмотрим случай, когда перепад давления $\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}$ растет по линейному закону от нулевого значения до значения $\Delta {{P}_{{\left( w \right)1}}}$ за время ${{\tau }_{1}}$. Тогда
(7.1)
$\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}\left( t \right) = \frac{{\Delta {{P}_{{\left( w \right)1}}}}}{{{{\tau }_{1}}}}t$В этом случаи из (4.2) для эволюции давления в трещине получим
(7.2)
$\Delta {{P}_{f}}\left( {t,x} \right) = \frac{{\Delta {{P}_{{\left( w \right)1}}}}}{{{{\tau }_{1}}}}\mathop \smallint \limits_0^t \,{\text{Gil}}\left( {\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} x{{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}~} \right)d\tau $На основе (4.3), используя решение (7.2), для расхода жидкости на единицу высоты трещины получим
(7.3)
$q = - 1.53\frac{1}{\mathcal{F}}\frac{{\Delta {{P}_{{\left( w \right)1}}}}}{{{{\tau }_{1}}}}{{t}^{{\frac{3}{4}}}}$На рис. 3 представлено линейное изменение давления (а) в скважине и соответствующее изменение расхода жидкости на единицу высоты трещины (б), а также эволюция поля давления (в) в трещине ГРП для линейного изменения давления. Приняты следующие значения $\Delta {{P}_{{\left( w \right)1}}} = 10$ МПа, ${{\tau }_{1}} = 1$ сутки, линии 1, 2, 3 соответствуют моментам времени $t = 1$, 5 и 10 сут.
Пусть теперь давление $\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}$ в скважине в течение времени ${{\tau }_{1}}$ линейно растет до значения $\Delta {{P}_{{\left( w \right)1}}}$, затем снижается по линейному закону до нулевого значения до момента времени ${{\tau }_{2}}$ (Λ – образное изменение). Тогда для значений времени $t$ между ${{\tau }_{1}}$ и ${{\tau }_{2}}$ получим значения давления в трещине:
(7.4)
$\Delta {{P}_{f}} = \frac{{\Delta {{P}_{{\left( w \right)1}}}}}{{{{\tau }_{1}}}}\mathop \smallint \limits_0^{{{\tau }_{1}}} \,{\text{Gil}}\left( {\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} x{{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}~} \right)d\tau - \frac{{\Delta {{P}_{{\left( w \right)1}}}}}{{{{\tau }_{2}} - {{\tau }_{1}}}}\mathop \smallint \limits_{{{\tau }_{1}}}^t \,{\text{Gil}}\left( {\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} x{{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}~} \right)d\tau $Если ${{\tau }_{2}} = 2{{\tau }_{1}}$ для несжимаемой жидкости при значениях времен $0 < t < {{\tau }_{1}}$ величина расхода будет изменяться по формуле (7.3), а при временах ${{\tau }_{1}} < t < {{\tau }_{2}}$ при принятых выше параметрах трещины и вязкости жидкости по формуле
(7.5)
$q = - 1.53\frac{{\Delta {{P}_{{\left( w \right)1}}}}}{\mathcal{F}}\left( {{{t}^{{\frac{3}{4}}}} - 2{{{\left( {t - {{\tau }_{1}}} \right)}}^{{\frac{3}{4}}}}} \right)$На рис. 4а представлено Λ-образное изменение давления, соответствующий закон изменения расхода на единицу высоты трещины (б), а также эволюция давления в трещине (в) при ΔP1 = 10 МПа, τ2 = 2τ1 = 2 суток. Линии 1, 2, 3 и 4 соответствуют моментам времени t = 0.5 суток, 1 сутки, 1.5 суток и 2 суток.
Наиболее важной с целью приложения является задача определения графика изменения давления, когда известен закон изменения дебита скважины. Решение таких задач и их сопоставление с промысловыми данными для кривых “дебит – забойное давление” позволяет судить о коллекторских характеристиках в призабойной зоне пласта. Наиболее простой и интересной задачей в этом плане является задача определения характеристик пласта для П-образного по времени дебиту.
Пусть до момента времени ${{\tau }_{0}} = 0$ расход был нулевой и, затем мгновенно повышается до значения $q$ и это значение поддерживается постоянным до момента времени $\tau $. Начиная с это момента расход становится нулевым. Тогда на основе общего решения (5.3) будем иметь
(7.6)
$\Delta {{P}_{f}} = - \mathcal{F}q\left( {H\left( t \right){{t}^{{\frac{1}{4}}}}\operatorname{Zil} \left( {x\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} {{t}^{{\frac{{ - 1}}{4}}}}} \right) - H\left( {t - \tau } \right){{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{\frac{1}{4}}}}{\text{Zil}}\left( {x\sqrt {{{\mathcal{X}}_{f}}{\text{/}}2} {{{\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)}}^{{ - \frac{1}{4}}}}} \right)} \right)$Отсюда при $x = 0$ получим выражение для перепада давления между забойным и пластовым значениями
(7.7)
$\Delta {{P}_{{f\left( w \right)}}} = - {\text{Zil}}\left( 0 \right)\mathcal{F}q\left( {H\left( t \right){{t}^{{\frac{1}{4}}}} - H\left( {t - \tau } \right){{{\left( {t - \tau } \right)}}^{{\frac{1}{4}}}}} \right);\quad {\text{Zil}}\left( 0 \right) = 0.78$Величины всех параметров, входящих в формулы (3.2) и (3.3), обычно являются известными, кроме проводимости трещины ${{d}_{f}}{{k}_{f}}$. Значение этого параметра можно определить из П-образного закона изменения дебита и соответствующего изменения давления на забое скважины.
На рис. 5 представлено для П-образного изменения дебита (а) – изменение давления на забое скважины (б), и эволюция давления в трещине ГРП (в) при величине расхода на единицу высоты трещины q = 1 м2/сут. Цифры 1, 2, 3 и 4 на линиях соответствуют моментам времени t = 0.5, 1, 1.5, 2 суток.
Видно, что для П-образного закона изменения давления соответствующая кривая для перепада давления $\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}$ имеет форму зубчика. Причем максимальная величина зубчика достигается при $t = \tau $.
Согласно формуле (7.7) для величины зубчика можем записать
(7.8)
$\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}\left( \tau \right) = {\text{Zil}}\left( 0 \right)\mathcal{F}q{{\tau }^{{1/4}}}$Эта формула по величине “зубчика” $\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}\left( \tau \right)$ наблюдаемого при П-образном дебите определяет неизвестную величину проводимости трещин ${{d}_{f}}{{k}_{f}}$.
Действительно, из (7.8), учитывая выражение для $\mathcal{F}$ из (3.3), получаем
(7.9)
$\sqrt {{{d}_{f}}{{k}_{f}}} = - 0.78\frac{{{{{{\mu }}}^{{\frac{3}{4}}}}\sqrt C {{\rho }^{{\frac{1}{4}}}}q{{\tau }^{{\frac{1}{4}}}}~}}{{\sqrt[4]{{{{m}_{p}}{{k}_{p}}}}\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}}\left( \tau \right)}}$При положительном значении дебита ($q > 0$) значения “зубчика” отрицательны, поэтому в правой части выражения (7.9) стоит знак минус.
8. Сравнение результатов численных расчетов с промысловыми данными. На рис. 6а представлена кривая изменения дебита во времени для реальной промысловой скважины. Для параметров скважины и пласта использованы следующие данные: ${{m}_{p}} = 0.17$, ${{k}_{p}} = {{10}^{{ - 15}}}$ м2, $\mu = 0.00115$ Па · с, высота трещины $h = 18.3$ м. Кривая для дебита аппроксимировалась кусочно-постоянными значениями c интервалом $\Delta \tau $ = 1 сут. Видно, что в начальный период (примерно до 28 суток) скважина два цикла работала в режиме П-образного дебита с общим расходом $Q_{1}^{{\left( 1 \right)}} = 17$ м3/сут, $Q_{2}^{{\left( 2 \right)}} = 2.4$ м3/сут.
Причем величины зубчиков для изменения давления составляют $\Delta P_{{\left( w \right)}}^{{\left( 1 \right)}} = 1.26$ MПа (для ${{\tau }_{1}} = 4$ сут), $\Delta P_{{\left( w \right)}}^{{\left( 2 \right)}} = 2.14$ МПа (для 29 сут).
Для практического применения запишем формулу (5.4) изменения давления на забое скважины в виде
(8.1)
$\Delta {{P}_{{\left( w \right)}}} = - {{C}_{f}}\left[ {{{Q}_{0}}H\left( t \right){{t}^{{\frac{1}{4}}}} + \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \,H\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)\left( {{{Q}_{i}} - {{Q}_{{i - 1}}}} \right){{{\left( {t - {{\tau }_{i}}} \right)}}^{{\frac{1}{4}}}}} \right]$Здесь ${{Q}_{0}},{{Q}_{1}},{{Q}_{2}}$, …, ${{Q}_{n}}$ – значения дебита скважины в моменты времени ${{\tau }_{0}} = 0,{{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}$, …, ${{\tau }_{n}}$. При этом может быть выбрана любая единица измерения времени (часы, сутки) и дебита (м3/ч, т/сут, бар/сут). По величине первого “зубчика” определим величину ${{C}_{f}}$ = $\Delta P_{{\left( w \right)}}^{{\left( 1 \right)}}{\text{/}}\tau _{1}^{{1/4}}$, которую при подстановке в формулу (8.1) можем использовать для определения изменения давления на скважине.
Согласно формуле (7.9) определяется проводимость трещины. В рассматриваемом примере ${{d}_{f}}{{k}_{f}} = 2.2 \times {{10}^{{ - 12}}}$ м3.
Проводились расчеты, согласно решению (5.4), для продолжительного этапа, который длился 365 суток. На рис. 6б сплошная линия давления соответствует промысловым значениям, а пунктирная линия – рассчитанным по формулам (5.4). На рис. 6в представлена эволюция давления в трещине, согласно решению (5.3). Линии 1, 2, 3, 4, 5 и 6 показывают распределение давление в трещине ГРП в моменты времени t = = 2, 100, 185, 220, 280, 320 сут, соответствующим различным характерным изменениям дебита скважины.
Заключение. Получены аналитические решения, описывающие эволюцию давления в трещине по известным законам изменения давления на забое скважины или дебита скважины. Эти решения позволяют получить кривые “дебит–давление на забое”. Наиболее важным результатом, представляется решение для П-образного изменения дебита: сопоставление кривых “дебит–давление на забое” с промысловыми данными, что позволяет оценить по величине “зубчика” на кривой давления проводимость трещины ГРП.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-11-00207, https://rscf.ru/project/21-11-00207/
Список литературы
Каневская Р.Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта. М.: ООО “Недра-Бизнесцентр”, 1999. 212 с.
Cinco-Ley H. Evaluation of hydraulic fracturing by transient pressure analysis methods // Int. Petrol. Exh. and Tech. Symp., Beijing (China). Mar 18–26, SPE 10043, 1982.
Шагапов В.Ш., Нагаева З.М. К теории фильтрационных волн давления в трещине, находящейся в пористой проницаемой среде // ПМТФ. 2017. Т. 58. № 5 (345). С. 121–130.
Нагаева З.М., Шагапов В.Ш. Об упругом режиме фильтрации в трещине, расположенной в нефтяном или газовом пласте // ПММ. 2017. Т. 81. № 3. С. 319–329.
Хабибуллин И.Л., Хисамов А.А. Нестационарная фильтрация в пласте с трещиной гидроразрыва // Изв. РАН. МЖГ. 2019. № 5. С. 6–14.
Шагапов В.Ш., Башмаков Р.А., Фокеева Н.О. Особенности фильтрации флюидов в коллекторах, подверженных гидроразрыву пласта, при переходных режимах работы скважины // ПМТФ. 2022. Т. 63. № 3 (373). С. 117–127.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Прикладная математика и механика