Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 5, стр. 440-446

ВВЕДЕНИЕ

Одним из традиционно применяемых в технике сверхвысоких частот (СВЧ) материалов являются резистивные пленки [1–3]. Как показано в работах [4, 5], пленка приобретает емкостную компоненту поверхностного сопротивления, если она имеет островковый характер или дефекты типа трещин, вызванные деформацией. Емкостную компоненту пленке можно придать и искусственно, если разделить ее на элементы с зазорами между ними [6, 7]. Как было показано в работах [7, 8], применение такой резистивно-емкостной пленки (РЕП) в радиопоглощающих структурах позволяет улучшить их характеристики. В работах [9, 10], с помощью приближенных моделей, рассмотрены искусственные диэлектрики на основе решеток резистивных квадратов, разделенных диэлектрическими слоями. Эффективная диэлектрическая проницаемость (ЭДП) такой системы вычислена в [9] в квазистатическом приближении с применением формулы для эффективного поверхностного сопротивления РЕП из полос с малыми зазорами между ними, полученной в работе [6]. В [10] приближенные вычисления ЭДП проведены методами теории электрических цепей и длинных линий. Также в [10] показано, что такие системы обладают характером дисперсии ЭДП релаксационного типа. Возможность варьировать в широких пределах ЭДП материалов на основе РЕП путем изменения параметров структуры делает их перспективными для применения в поглотителях электромагнитных волн.

Целью данной работы является расчет ЭДП слоистой структуры на основе резистивных квадратов дифракционным методом, ранее примененным для расчета ЭДП структур на основе решеток проводящих диполей [11]. Метод позволяет не только получить точные значения ЭДП, но и оценить применимость процедуры сопоставления рассматриваемой структуре однородного слоя, не ограничиваясь предположением о малости характерных размеров по сравнению с длиной волны без соответствующих оценок.

1. ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ

На рис. 1 изображена плоская решетка из предельно тонких резистивных квадратов со стороной s и поверхностным сопротивлением (ПС) ρ. Полупериоды решетки по осям x, y равны ${{b}_{x}}$ и ${{b}_{y}}.$ Зазоры ${{\tau }_{x}}$ и ${{\tau }_{y}}$ между соседними квадратами в “лентах” $L1$ и $L2$ равны соответственно $2({{b}_{x}} - s)$ и $2({{b}_{y}} - s).$ Исследуемая структура состоит из $K$ таких решеток, расположенных одна над другой в слое недиспергирующего диэлектрика толщиной d c относительной диэлектрической проницаемостью ε. Рассматриваются случаи расположения структуры на металлическом и магнитном зеркале, а также на полупространстве из диэлектрика с проницаемостью ε. Плоская электромагнитная волна, поляризованная вдоль оси y, нормально падает на структуру из области свободного пространства. Ввиду симметрии и периодичности структуры задача дифракции сводится к задаче рассеяния $TEM$-волны в эквивалентном волноводе – канале Флоке [12], изображенном на рис. 2, содержащем четверти резистивных квадратов и имеющем электрические стенки $y = 0,{{b}_{y}}$ и магнитные стенки $x = 0,{{b}_{x}}.$

Рис. 1.

Плоская решетка из резистивных квадратов.

Рис. 2.

К задаче рассеяния в эквивалентном волноводе.

Решение задачи рассеяния в эквивалентном волноводе основывается на разделении “больших” резистивных квадратов со стороной s на малые “элементарные” прямоугольники (ЭП) и решении задачи возбуждения волновода токами [13] с поверхностной плотностью ${{I}_{{n\,x}}},$ ${{I}_{{n\,y}}},$ текущими по ЭП вдоль осей x, y

Здесь E_nx, E_ny – тангенциальные компоненты электрического поля на поверхности ЭП с номером n в его центре, ${{N}_{A}},$ ${{N}_{B}}$ – числа разбиений стороны s соответственно вдоль осей x, y. Решение по существу не отличается от такового для решеток из проводящих волокон и диполей [11, 14] и сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно токов $\left\{ {{{I}_{{n\,x}}}} \right\},$ $\left\{ {{{I}_{{n\,y}}}} \right\},$ по значениям которых определяются амплитуды волноводных мод и коэффициент отражения (КО). Вместо используемого в [11, 14] условия связи между полем и током в проводе, имеют место соотношения (1). В представлении полей участвуют $TEM$-моды канала Флоке ${{H}_{{m\,n}}}$ и ${{E}_{{m\,n}}},$ где m, n – номера гармоник по осям x, y [12]. Соотношения между прямыми и обратными модами в области $d > z > {{z}_{k}}$ выражаются через КО по электрическому полю в плоскости $z = d,$ который равен нулю, если за структурой находится полупространство диэлектрика с проницаемостью ε; –1, если в этой плоскости расположено электрическое зеркало; +1, если зеркало магнитное. Порядок СЛАУ, из которой определяются токи, равен $2K{{N}_{A}}{{N}_{B}}.$ Числа ${{N}_{A}}$ и ${{N}_{B}},$ как и числа учитываемых гармоник MM, NN, определялись путем наращивания до значений, выше которых КО по амплитуде переставал меняться в пределах абсолютной погрешности 0.002.

При ${{b}_{x}} = s$ решетка рис. 1 переходит в однородную вдоль оси x решетку из лент $L1,$ поэтому, с учетом y-поляризации падающей на структуру $TEM$-волны, при решении задачи рассеяния в представлениях полей достаточно оставить $TEM$‑ и ${{E}_{{0n}}}$-моды [15]. При вычислениях следует разделить ленту на полоски шириной ${s \mathord{\left/ {\vphantom {s {{{N}_{B}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{B}}}}.$ Выбор периода ${{b}_{x}}$ при этом произволен, а из СЛАУ исключается система токов $\left\{ {{{I}_{{n\,x}}}} \right\}$. Порядок СЛАУ относительно токов $\left\{ {{{I}_{{n\,y}}}} \right\}$ составляет $K{{N}_{B}}.$ По аналогии с волноводными диафрагмами, решетку из лент $L1$ можно охарактеризовать как емкостную.

При ${{b}_{y}} = s$ решетка рис. 1 переходит в однородную вдоль оси y (решетку индуктивного типа из лент $L2,$ и в представлениях полей участвуют лишь $TEM$- и ${{H}_{{m0}}}$-моды [15]. При вычислениях ленту делят на полоски шириной ${s \mathord{\left/ {\vphantom {s {{{N}_{A}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{A}}}}.$ Вследствие равенства нулю токов $\left\{ {{{I}_{{n\,x}}}} \right\}$ порядок СЛАУ равен $K{{N}_{A}}.$

При ${{b}_{x}} = {{b}_{y}} = s$ решетка рис. 1 переходит в сплошную пленку. В этом случае КО не зависит от выбора чисел ${{N}_{A}} \geqslant 1,$ ${{N}_{B}} \geqslant 1,$ а также от числа учитываемых гармоник $E$- и $H$-типов. Значения КО при этом, как показали расчеты, практически точно совпадают со значениями, получаемыми из решения задачи отражения от многослойной плоской структуры, если рассматривать пленки как слои предельно малой толщины $\tilde {d} \ll d,$ обладающие относительной диэлектрической проницаемостью $\tilde {\varepsilon }$ [3, 5]:

где $\omega $ – циклическая частота, ${{\varepsilon }_{0}}$ – диэлектрическая проницаемость вакуума, $i$ – мнимая единица.

Численные расчеты проводили при значениях $d = 10$ мм и $\varepsilon = 3$ в диапазоне длин волн $\lambda \; = \;0.02\, \ldots 2$ м.

Расчет при ${\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau s}} \right. \kern-0em} s} < 0.4$ КО структур из лент $L2$ и расчет КО от структур со сплошными пленками показали, что ${{R}_{{L2}}}$ и $R$ оказываются практически равными, если рассматривать плоскую решетку из лент $L2$ с ПС ${{\rho }_{{L2}}}$ как сплошную пленку с эффективным ПС:

В табл. 1 значения ${{R}_{{L2}}}$ и R приведены при различных параметрах структуры на крайних и геометрически средней длинах волн. Расчеты проводили при ${{N}_{A}} = 10,$ $MM = 20,$ $s = 5$ мм.

Таблица 1.  

Коэффициент отражения от структур из лент $L2$ (${{R}_{{L2}}}$) и сплошных пленок ($R$)

№	$\lambda $, м	$K$	${{\rho }_{{L2}}}$, Ом	$\rho _{{L2}}^{{{\text{э ф }}}}$, Ом	${{\tau }_{x}}$, мм	$R$		${{R}_{{L2}}}$
						$R{\text{'}}$		$R_{{L2}}^{'}$
1	0.02	1	400	381	0.5	–0.381	0.765	–0.381	0.766
2	0.2	5	800	696	1.5	–0.691	–0.496	–0.692	–0.496
3	2	5	400	333	2	–0.995	–0.006	–0.995	–0.007

Расчет КО от структуры из лент $L1$ с ПС ${{\rho }_{{L1}}}$ и расчет КО от структуры из квадратов с ПС $\rho $ при ${{\tau }_{x}} = {{\tau }_{y}} = \tau ,$ ${\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau s}} \right. \kern-0em} s} \leqslant 0.4,$ показали, что ${{R}_{{L1}}}$ и R оказываются практически равными, если выполняется соотношение:

В табл. 2 приведены значения ${{R}_{{L1}}}$ и R при различных параметрах структуры. Расчет ${{R}_{{L1}}}$ проводили при ${{N}_{B}} = 25$ и $NN = 40,$ а расчет R – при ${{N}_{A}} = 10,$ ${{N}_{B}} = 25,$ $MM = 20,$ $NN = 40.$

Таблица 2.  

Коэффициент отражения от структур из лент $L1$ (${{R}_{{L1}}}$) и квадратов ($R$)

№	$\lambda $, м	$K$	$\rho $, Ом	$2s$, мм	$\tau $, мм	$R$		${{R}_{{L1}}}$
						$R{\text{'}}$		$R_{{L1}}^{'}$
1	0.02	5	1500	9	1	–0.293	0.481	–0.293	0.480
2	0.2	3	800	10	1.5	–0.719	–0.592	–0.719	–0.591
3	2	2	500	10	1	–0.997	–0.006	–0.998	–0.007

Отметим, что приведенное выше расчетное обоснование использования в дифракционной задаче формулы (3), являющейся точной в теории цепей и примененной в [10], объясняет причину высокой точности соотношения (4) при зазорах ${\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {s \leqslant 0.4}}} \right. \kern-0em} {s \leqslant 0.4}}.$

Результаты, приведенные в табл. 1, 2, относятся к структурам, расположенным на металлическом зеркале. Аналогичные результаты имеют место при расположении структур на магнитном зеркале и на диэлектрическом полупространстве.

При числе решеток $K = 5,$ принятом ниже при расчете ЭДП, время счета КО структур из лент $L1$ и $L2$ на одной длине волны приблизительно в 1500 раз меньше времени счета для структуры из квадратов, которое занимает более 2 ч на компьютере со скоростью выполнения операций 36 гигафлопсов при двойной точности представления чисел в ФОРТРАН-программе. Это обусловлено тем, что в случае квадратов размерность комплексной СЛАУ при ${{N}_{A}} = 10,$ ${{N}_{B}} = 25$ равна 2500, а матричные элементы нужно вычислять суммированием двойных рядов [11]. В связи с этим, учитывая практическую тождественность в плане взаимодействия с первичной электромагнитной волной структуры из лент $L1$ и структуры из квадратов при ${\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau s}} \right. \kern-0em} s} \leqslant 0.4$ и выполнении соотношения (4), приведенные ниже расчеты КО и ЭДП структуры из квадратов были выполнены также как для структуры из лент $L1$ с использованием связи (4).

Отметим, что применение к численному решению СЛАУ специальных программ с факторизацией матриц не приводит к результатам, отличным от полученных методом Гаусса. Это объясняется достаточной обусловленностью матриц [16], не требующей предварительных преобразований для повышения точности решения СЛАУ.

2. ДИСПЕРСИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ

Аналогично [11], cопоставление многослойной структуре однородного слоя с ЭДП ${{\varepsilon }_{{{\text{э ф }}}}}$ выполняется на основе соотношения

где ${{R}_{e}},$ ${{R}_{m}}$ – коэффициенты отражения в плоскости $z = 0$ по электрическому полю нормально падающей волны от немагнитного слоя с диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon }_{{{\text{э ф }}}}},$ занимающему область $d \geqslant z \geqslant 0$ и расположенному соответственно на металлической или магнитной плоскости. Из формулы (5) находим:

Подставляя в (5) вместо ${{R}_{e}},$ ${{R}_{m}}$ значения коэффициентов отражения от исследуемой структуры при расположении на металлическом и магнитном зеркале, получим ее ЭДП.

При расчете ЭДП полагали $K = 5,$ поскольку при меньшем числе решеток процедура сопоставления рассматриваемой структуре однородного слоя имеет более низкую точность.

В табл. 3 приведены результаты расчетов ЭДП структуры из сплошных пленок с поверхностным сопротивлением 500 Ом. Через обозначена “точная” ЭДП, полученная из расчета коэффициента отражения от многослойной структуры по формуле (5), а через – значение, полученное усреднением проницаемостей диэлектрических слоев и резистивных пленок с учетом их толщин. Видно, что ${{\varepsilon }_{{{\text{э ф }}}}}$ и $\left\langle {{{\varepsilon }_{{{\text{э ф }}}}}} \right\rangle $ мало отличаются, причем отличие уменьшается с увеличением длины волны. На промежуточных длинах волн как действительная, так и мнимая части ЭДП меняются почти линейно.

Таблица 3.  

Точная ${{\varepsilon }_{{{\text{э ф }}}}}$ и усредненная $\left\langle {{{\varepsilon }_{{{\text{э ф }}}}}} \right\rangle $ эффективные диэлектрические проницаемости структур из сплошных пленок

№	$\lambda $, м	$\varepsilon _{{{\text{э ф }}}}^{'}$	$\left\langle {\varepsilon _{{{\text{э ф }}}}^{'}} \right\rangle $
1	0.02	2.81	3.00	1.45	1.20
2	0.2	2.86	3.00	12.01	12.0
3	2	2.86	3.00	119.7	119.7

На рис. 3–7 представлены результаты расчета дисперсии ЭДП структур из резистивных квадратов.

Рис. 3.

Влияние периода структуры из квадратов на действительную $\varepsilon _{{{\text{э ф }}}}^{'}$ (кривые 1, 3) и мнимую (кривые 2, 4) части ЭДП. Кривые 1, 2 соответствуют $s = 8$ мм, $\tau = 1$ мм; кривые 3, 4 – $s = 4$ мм, $\tau = 0.5$ мм.

Рис. 4.

Влияние поверхностного сопротивления квадратов на действительную $\varepsilon _{{{\text{э ф }}}}^{'}$ (кривые 1, 3) и мнимую (кривые 2, 4) части ЭДП. Кривые 1, 2 соответствуют $\rho = 1000$ Ом; кривые 3, 4 – $\rho = 250$ Ом.

Рис. 5.

Влияние размера квадрата на действительную $\varepsilon _{{{\text{э ф }}}}^{'}$ (кривые 1, 3) и мнимую (кривые 2, 4) части ЭДП. Кривые 1, 2 соответствуют $s = 8$ мм, кривые 3, 4 – $s = 4$ мм.

Рис. 6.

Влияние зазора между квадратами на действительную $\varepsilon _{{{\text{э ф }}}}^{'}$ (кривые 1, 3) и мнимую (кривые 2, 4) части ЭДП. Кривые 1, 2 соответствуют $\tau = 0.5$ мм; кривые 3, 4 – $\tau = 1$ мм.

Рис. 7.

Влияние диэлектрической проницаемости матрицы на действительную $\varepsilon _{{{\text{э ф }}}}^{'}$ (кривые 1, 3) и мнимую (кривые 2, 4) части ЭДП. Кривые 1, 2 соответствуют $\varepsilon = 3$; кривые 3, 4 – $\varepsilon = 4.5$.

На рис. 3 показано влияние периода $2s + \tau $ структуры из квадратов с ПС равным 500 Ом на дисперсию ЭДП. Видно, что при уменьшении периода резонансная длина волны (РДВ), на которой максимальна мнимая часть ЭДП, несколько сместилась в сторону коротких длин волн, при этом максимальные значения компонент ЭДП уменьшились.

На рис. 4 показано влияние ПС квадратов на дисперсию ЭДП при $s = 4$ мм, $\tau = 0.5$ мм. Видно, что при уменьшении сопротивления РДВ существенно сместилась в сторону коротких длин волн, при этом максимальные значения компонент ЭДП увеличились.

На рис. 5 показано влияние размера квадратов на дисперсию ЭДП при $\rho = 1000$ Ом, $\tau = 1$ мм. Видно, что при уменьшении размера РДВ сместилась в сторону коротких длин волн, при этом максимальные значения компонент ЭДП уменьшились.

На рис. 6 показано влияние зазора между квадратами на дисперсию ЭДП при $s = 4$ мм, $\rho = 750$ Ом. Видно, что при увеличении зазора РДВ несколько сместилась в сторону коротких длин волн, при этом максимальные значения компонент ЭДП уменьшились.

Выше во всех расчетах ЭДП полагали $\varepsilon = 3$. На рис. 7 показано влияние диэлектрической проницаемости матрицы на дисперсию ЭДП при s = 4 мм, $\tau = 1$ мм, $\rho = 500$ Ом. Видно, что при увеличении ε РДВ сместилась в длинноволновую область, при этом максимальные значения компонент ЭДП увеличились.

Процедура сопоставления неоднородной структуре однородного слоя имеет практическую ценность, если по эффективной проницаемости можно рассчитывать с приемлемой точностью характеристики взаимодействия структуры с полем, например, КО, при помещении структуры в различные условия и изменении ее толщины. На рис. 8 показана ошибка вычисления КО в результате замены структуры из квадратов толщиной $d = 10$ мм при $s = 4$ мм, $\tau = 0.5$ мм, $\rho = 250$ Ом, $\varepsilon = 3$ однородным слоем. Здесь $\left| R \right|$ – КО, полученный из решения задачи рассеяния, $\left| {\tilde {R}} \right|$ – КО однородного слоя с диэлектрической проницаемостью, равной вычисленной ЭДП структуры. Рассмотрено расположение структуры на металлическом и магнитном зеркалах. В обоих случаях расхождение между $R$ и $\tilde {R}$ достигает нескольких процентов на длинах волн $\lambda \leqslant 0.05$ м, что составляет около пяти периодов структуры. Если принять допустимую абсолютную ошибку вычисления КО по амплитуде равной 0.02, то на таких длинах волн сопоставление структуре однородного слоя некорректно. Приблизительно такая же оценка ошибки имеет место при сравнении КО от структуры из квадратов и однородного слоя при помещении их на диэлектрическое полупространство, а так же при удвоении толщины структуры с числом решеток $K = 10$ и сравнении КО от нее с КО однородного слоя двойной толщины с диэлектрической проницаемостью, равной ЭДП одинарного слоя.

Рис. 8.

Точные значения КО по амплитуде $\left| R \right|$ от структуры из квадратов (кривые 1, 3), и значения $\left| {\tilde {R}} \right|$, соответствующие однородному слою (кривые 2, 4) при расположении структуры на металлическом зеркале (кривые 1, 2) и на магнитном (кривые 3, 4).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенное в работах [11, 14] решение задачи дифракции нормально падающей электромагнитной волны на решетках из резистивных элементов применено к многослойным решеткам из резистивных лент и квадратов в диэлектрическом слое, расположенном на отражающей плоскости или диэлектрическом полупространстве. Численными расчетами показано, что при достаточно малых зазорах между элементами решеток индуктивная структура с высокой точностью отражает так же, как решетка из сплошных резистивных пленок с измененным поверхностным сопротивлением, а решетка из квадратов отражает так же, как емкостная решетка с аналогично измененным поверхностным сопротивлением. Предложено вычислять ЭДП структуры по значениям комплексного КО от нее при расположении структуры на электрическом и магнитном идеальных отражателях. Точными расчетами показан релаксационный характер дисперсии ЭДП решетки из квадратов, что согласуется с результатами, полученными ранее путем приближенных оценок. Рассмотрено влияние параметров решетки на ЭДП и показана возможность варьирования ЭДП в широких пределах. Показано, что при использовавшихся расчетных параметрах сопоставление решетке из квадратов однородного слоя с эффективной диэлектрической проницаемостью дает абсолютную ошибку вычисления коэффициента отражения по амплитуде менее 0.02, если длина волны приблизительно в пять раз превосходит период структуры. Результаты расчетов применимы к другим диапазонам длин волн при соответствующем масштабировании геометрических размеров рассмотренных структур.