Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 4, стр. 380-387

Математическая модель двухэлементной микрополосковой излучающей структуры с подложкой из кирального метаматериала

А. Л. Бузов a, Д. С. Клюев b*, Д. А. Копылов a, А. М. Нещерет a

a АО “Самарское инновационное предприятие радиосистем”
443022 Самара, просп. Кирова, 26, Российская Федерация

b Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
443010 Самара, ул. Льва Толстого, 23, Российская Федерация

* E-mail: klyuevd@yandex.ru

Поступила в редакцию 06.12.2018
После доработки 17.01.2019
Принята к публикации 25.01.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Представлена математическая модель двухэлементной антенной решетки, подложка которой выполнена из кирального метаматериала. На основе метода сингулярного интегрального представления поля получена система интегральных уравнений относительно неизвестных функций распределений поверхностных плотностей токов по излучателям антенной решетки. Приведены результаты расчета токовых функций, а также зависимость развязки между излучателями от параметра киральности.

DOI: 10.31857/S0033849420020035

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в связи с все более интенсивным развитием систем подвижной радиосвязи и, соответственно, ужесточением требований, предъявляемых к ним, происходит перенасыщение объектов связи (например, башен, мачт, опор и т.п.) радиосредствами различных диапазонов частот, типов и назначения. Следствием этого является ухудшение и без того сложной электромагнитной обстановки, напрямую влияющей на обеспечение работоспособности систем радиосвязи. Поэтому вопросы обеспечения электромагнитной совмести (ЭМС) радиоэлектронных средств (РЭС) на данный момент особенно актуальны и нуждаются в дальнейшей проработке.

Вследствие того, что обычно РЭС, а точнее, их составные части – антенны, располагаются на компактных площадках, традиционные подходы к обеспечению ЭМС (пространственное разнесение антенн в случае направленных антенн, их разворот относительно друг друга и т.д.) не всегда применимы. В связи с этим в настоящее время существует потребность в разработке новых мер к обеспечению ЭМС РЭС, компактно располагаемых на объектах. Перспективный подход к совершенствованию ЭМС связан с использованием искусственных композитных структур с проводящими включениями зеркально-асимметричной формы – киральных метаматериалов [1, 2] в качестве подстилающих поверхностей, а также средств дополнительного экранирования.

Как показывает анализ отечественной и зарубежной литературы, а также результаты исследований [3], использование в составе антенных систем дополнительных экранов и подстилающих поверхностей на основе киральных метаматериалов позволяет существенно уменьшить взаимное влияние между излучателями и тем самым повысить развязку между ними.

В виду того, что киральные метаматериалы представляют собой сложную электродинамическую структуру, возникает ряд сложностей, связанных с их электродинамическим анализом. На сегодняшний день наиболее распространенным подходом к анализу подобных структур является использование зарубежных программных комплексов EMCoS, CST Microwave Studio, HFSS, Feko и т.п. В основу данных комплексов положены численные методы, предполагающие разбиение исследуемой структуры на элементарные ячейки. При этом очень важным является выбор шага дискретизации структуры. В случае если этот шаг будет относительно большим, то разбиение будет достаточно грубым и исходные свойства структуры могут существенным образом исказиться. Особенно это касается резонансных структур, в том числе и киральных метаматериалов, где небольшие отклонения в геометрии структуры могут привести к большим погрешностям результатов расчета. Безусловно, при уменьшении шага дискретизации точность результатов расчета будет повышаться, однако будут существенно расти и требования к вычислительным ресурсам. Кроме того, ввиду “закрытости” используемых в данных комплексах алгоритмов, вопрос доверия к полученным результатам по-прежнему остается открытым.

Перспективными методами анализа подобных антенных систем, содержащих структуры из киральных метаматериалов, являются проекционные методы [4]. В данной работе был использован метод сингулярных интегральных представлений электрического поля, приводящий к неоднородному сингулярному интегральному уравнению или системе таких уравнений. В отличие от самосогласованного подхода к решению краевых задач электродинамики [57] данный подход предполагает наличие заданных сторонних источников электромагнитного поля, но не накладывает ограничения на их вид (т.е. может использоваться источник ЭДС, электромагнитная волна и т.п.). В работах [8, 9] была разработана математическая модель микрополосковой структуры с одиночным излучателем, расположенным на подложке из кирального метаматериала. Поверхность подложки считалась однородной. Метод интегральных уравнений в задачах отражения электромагнитных волн от неоднородных границ раздела сред подробно описан в [1012]. Было получено сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши относительно неизвестной функции распределения поверхностной плотности тока по излучателю. Как показали результаты исследований, подобный подход обладает рядом достоинств, основными из которых являются высокая точность и сходимость получаемых результатов расчета, а также относительно невысокие требования к вычислительным ресурсам. Следует также отметить, что численное решение сингулярных интегральных уравнений является корректной математической задачей по Адамару.

Цель данной работы – проанализировать двухэлементную микрополосковую структуру (МПС) с подложкой из кирального метаматериала.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХЭЛЕМЕНТНОЙ МИКРОПОЛОСКОВОЙ СТРУКТУРЫ С КИРАЛЬНОЙ ПОДЛОЖКОЙ

Рассмотрим МПС, представляющую собой подложку из кирального метаматериала конечной толщины $d$, металлизированную с нижней стороны, на которой параллельно друг к другу на расстоянии $S$ расположены два плоских прямоугольных излучателя (рис. 1). Длина излучателей $2{{l}_{1}}$ и $2{{l}_{2}},$ а ширина $2{{a}_{1}}$ и $2{{a}_{2}}$ соответственно. Относительные диэлектрические и магнитные проницаемости киральной подложки равны ${{\varepsilon }_{1}}$ и ${{\mu }_{1}}$. Кроме того, при описании кирального метаматериала вне зависимости от типа проводящих включений зеркально-асимметричной формы также используется некий коэффициент, а именно параметр киральности $\chi $ [1, 2], связывающий векторы напряженностей поля с векторами индукции в материальных уравнениях [1, 2, 13, 14]:

(1)
$\begin{gathered} \vec {D} = {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{1}}\vec {E} \mp i\chi \sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}} \vec {H}, \\ \vec {B} = {{\mu }_{0}}{{\mu }_{1}}\vec {H} \pm i\chi \sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}} \vec {E}, \\ \end{gathered} $
где ${{\varepsilon }_{0}}$, ${{\mu }_{0}}$ – электрическая и магнитная постоянные.

Рис. 1.

Геометрия двухэлементной МПС с киральной подложкой.

В выражениях (1), верхние знаки соответствуют киральной среде на основе правосторонних элементов (например, правовинтовых спиралей), а нижние – на основе левосторонних.

Над киральной подложкой и, соответственно, над излучателями расположено диэлектрическое полупространство с параметрами ${{\varepsilon }_{2}}$, ${{\mu }_{2}}$.

Будем считать, что напряженность сторонних электрических полей, возбуждающих излучатели, имеет лишь одну продольную составляющую $\vec {E}_{1}^{{{\text{ст}}}} = \left( {0,E_{{1y}}^{{{\text{ст}}}},0} \right)$ и $\vec {E}_{2}^{{{\text{ст}}}} = \left( {0,E_{{2y}}^{{{\text{ст}}}},0} \right).$ Ширина излучателей много меньше как их длины, так и длины волны $\lambda $ $\left( {2{{a}_{1}},2{{a}_{2}} \ll 2{{l}_{1}},2{{l}_{2}},\lambda } \right),$ поэтому значение продольной компоненты плотности поверхностного тока ${{\eta }_{y}}$ будет гораздо больше значения поперечной компоненты ${{\eta }_{x}}$. Исходя из данных соображений поперечной компонентной плотности поверхностного тока ${{\eta }_{x}}$ можно пренебречь. Предполагается также, что излучатели являются идеально проводящими и бесконечно тонкими. Считается, что источники электродвижущей силы (ЭДС), приложенные к зазорам излучателей, являются гармоническими и формируемые ими токи являются непрерывными как в областях зазоров, так и на плечах. Ширина зазоров излучателей при этом равна $2{{b}_{1}}$ и $2{{b}_{2}}$ соответственно. На поверхности излучателей должны выполняться следующие граничные условия для тангенциальных составляющих напряженности электрического поля (${{E}_{{1\tau }}},$ ${{E}_{{2\tau }}}$) и продольных составляющих плотности поверхностного тока (${{\eta }_{{1y}}},$ ${{\eta }_{{2y}}}$):

(2а)
$\begin{gathered} {{\eta }_{{1y}}}\left( {x, - {{l}_{1}}} \right) = {{\eta }_{{1y}}}\left( {x,{{l}_{1}}} \right) = 0,\,\,\,\,x \in \left[ { - {{a}_{1}},{{a}_{1}}} \right], \\ {{\eta }_{{2y}}}\left( {x, - {{l}_{2}}} \right) = {{\eta }_{{2y}}}\left( {x,{{l}_{2}}} \right) = 0, \\ x \in \left[ {S - {{a}_{2}},S + {{a}_{2}}} \right], \\ \end{gathered} $
(2б)
$\begin{gathered} {{E}_{{1\tau }}}\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{gathered} - E_{{1\tau }}^{{{\text{ст}}}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,x \in \left[ { - {{a}_{1}},{{a}_{1}}} \right], \hfill \\ y \in \left[ {{{l}_{{01}}} - {{b}_{1}},{{l}_{0}} + {{b}_{1}}} \right], \hfill \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} 0\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,x \in \left[ { - {{a}_{1}},{{a}_{1}}} \right], \hfill \\ y \in \left[ { - {{l}_{1}},{{l}_{{01}}} - {{b}_{1}}} \right] \cup \left[ {{{l}_{{01}}} + {{b}_{1}},{{l}_{1}}} \right], \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \hfill \\ {{E}_{{2\tau }}}\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{gathered} - E_{{2\tau }}^{{{\text{ст}}}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,x \in \left[ {S - {{a}_{2}},S + {{a}_{2}}} \right], \hfill \\ y \in \left[ {{{l}_{{02}}} - {{b}_{2}},{{l}_{{02}}} + {{b}_{2}}} \right], \hfill \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} 0\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,x \in \left[ {S - {{a}_{2}},S + {{a}_{2}}} \right], \hfill \\ y \in \left[ { - {{l}_{2}},{{l}_{{02}}} - {{b}_{2}}} \right] \cup \left[ {{{l}_{{02}}} + {{b}_{2}},{{l}_{2}}} \right], \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{gathered} $
где ${{l}_{{01}}}$ и ${{l}_{{02}}}$ – координаты центров зазоров излучателей 1 и 2 соответственно (точки питания).

Как и в случае одноэлементной МПС [8, 9], на поверхностях излучателей фурье-образы ${{\vec {T}}_{\tau }} = \left\{ {{{T}_{x}},{{T}_{y}}} \right\}$ тангенциальных составляющих напряженностей электрических полей ${{\vec {E}}_{\tau }}$ связаны с фурье-образами $\vec {F} = \left\{ {{{F}_{x}},{{F}_{y}}} \right\}$ поверхностных плотностей токов $\vec {\eta }$ через матрицу поверхностных импедансов $\left[ Z \right]$ границы раздела диэлектрик–киральная среда с односторонней металлизацией:

(3)
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{T}_{y}}} \\ {{{T}_{x}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{Z}_{{11}}}}&{{{Z}_{{12}}}} \\ {{{Z}_{{21}}}}&{{{Z}_{{22}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{F}_{y}}} \\ {{{F}_{x}}} \end{array}} \right],$

где ${{Z}_{{ij}}}$ $\left( {i,j = 1,2} \right)$ – элементы матрицы поверхностных импедансов $\left[ Z \right]$, которые являются функциями переменных $\beta $, h фурье-пространства: ${{Z}_{{ij}}} = {{Z}_{{ij}}}\left( {\beta ,h} \right).$

Поскольку матрица поверхностных импедансов связывает именно фурье-образы, то возникает необходимость разложения напряженностей электрического и магнитного полей, а также поверхностных плотностей токов в интегралы Фурье.

Следует отметить, что на поверхности подложки предполагается выполнение следующих граничных условий:

$\begin{gathered} E_{x}^{{\left( 1 \right)}} = E_{x}^{{\left( 2 \right)}},\,\,\,\,E_{y}^{{\left( 1 \right)}} = E_{y}^{{\left( 2 \right)}}, \\ {{\eta }_{x}} = H_{y}^{{\left( 2 \right)}} - H_{y}^{{\left( 1 \right)}},\,\,\,\,{{\eta }_{y}} = H_{x}^{{\left( 2 \right)}} - H_{x}^{{\left( 1 \right)}}, \\ \end{gathered} $

где $E_{x}^{{\left( 1 \right)}}$ и $E_{x}^{{\left( 2 \right)}},$ $E_{y}^{{\left( 1 \right)}}$ и $E_{y}^{{\left( 2 \right)}}$x- и y-составляющие вектора напряженности электрического поля на границе раздела в киральном слое 1 и в диэлектрическом полупространстве 2 соответственно, $H_{x}^{{\left( 1 \right)}}$ и $H_{x}^{{\left( 2 \right)}},$ $H_{y}^{{\left( 1 \right)}}$ и $H_{y}^{{\left( 2 \right)}}$x- и y-составляющие вектора напряженности магнитного поля на границе раздела в киральном слое 1 и в диэлектрическом полупространстве 2 соответственно, ${{\eta }_{x}}$, ${{\eta }_{y}}$x- и y-составляющие вектора плотности тока на поверхностях излучателей.

Аналогичные граничные условия справедливы и для соответствующих фурье-образов напряженностей электрического и магнитного полей и поверхностных плотностей токов.

Метод определения матрицы поверхностных импедансов границы раздела диэлектрик–киральная среда с односторонней металлизацией, подробно описан в [15, 16], там же приведены аналитические выражения для определения ее элементов.

Определим ${{T}_{y}}$ из (3) и выполним обратное преобразование Фурье, предварительно найдя ${{Z}_{{11}}}$ [15] и не забывая при этом, что согласно выбранной физической модели ${{\eta }_{{1x}}} = {{\eta }_{{2x}}} = 0.$ В результате получаем следующее выражение для $E_{y}^{{}}$ на поверхности подложки $z = d$:

(4)
$\begin{gathered} {{E}_{y}}\left( {x,y} \right) = \int\limits_{ - {{l}_{1}}}^{{{l}_{1}}} {\int\limits_{ - {{a}_{1}}}^{{{a}_{1}}} {{{\eta }_{{1y}}}\left( {x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '} \right)G\left( {x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ';x,y} \right)dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '} } + \\ + \,\,\int\limits_{ - {{l}_{2}}}^{{{l}_{2}}} {\int\limits_{S - {{a}_{2}}}^{S + {{a}_{2}}} {{{\eta }_{{2y}}}\left( {x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '} \right)G\left( {x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ';x,y} \right)dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '} } , \\ \end{gathered} $

где

(5)
$\begin{gathered} G\left( {x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ';x,y} \right) = \\ = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right)\exp \left[ { - i\beta \left( {x - x{\kern 1pt} '} \right)} \right]} \times } \\ \times \,\,\exp \left[ { - ih\left( {y - y{\kern 1pt} '} \right)} \right]d\beta dh. \\ \end{gathered} $

Поскольку ширина излучателей много меньше длины волны, то поперечные вариации продольных составляющих поверхностных плотностей токов можно считать квазистатическими [17, 18]. В связи с этим функции распределения плотностей токов ${{\eta }_{{1y}}}\left( {x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '} \right)$ и $\eta _{{2y}}^{{}}\left( {x,y} \right)$ можно представить в виде

(6)
$\begin{gathered} {{\eta }_{{1y}}}\left( {x,y} \right) = \frac{{{{f}_{1}}\left( y \right)}}{{\sqrt {1 - {{{\left( {{x \mathord{\left/ {\vphantom {x {{{a}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{1}}}}} \right)}}^{2}}} }}, \\ {{\eta }_{{2y}}}\left( {x,y} \right) = \frac{{{{f}_{2}}\left( y \right)}}{{\sqrt {1 - {{{\left( {{{\left( {x - S} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {x - S} \right)} {{{a}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{2}}}}} \right)}}^{2}}} }}, \\ \end{gathered} $

где ${{f}_{1}}\left( y \right)$ и ${{f}_{2}}\left( y \right)$ – функции, описывающие продольные распределения поверхностных плотностей токов на излучателях.

Несобственный интеграл в выражении (5) является расходящимся, поскольку асимптотическое представление элемента матрицы поверхностных импедансов ${{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right)$ при $\left| h \right| \to \infty $ имеет вид

$Z_{{11}}^{\infty }\left( h \right) = C\left| h \right|,\,\,\,\,C = \frac{{i\omega {{\mu }_{0}}\left( {{{\mu }_{1}} + {{\mu }_{2}}} \right)}}{{\left( {{{k}^{2}}\left( {{{\varepsilon }_{1}} + {{\varepsilon }_{2}}} \right)\left( {{{\mu }_{1}} + {{\mu }_{2}}} \right) - {{{\left( {k\chi } \right)}}^{2}}} \right)}}.$

Используя аналитические условия излучения для слоистых сред [19], выделим аналитически особенность в представлении (5). Для этого прибавим и вычтем в подынтегральном выражении в (5) слагаемые с асимптотическим сомножителем $Z_{{11}}^{\infty }\left( h \right).$ Затем, подставив (6) в (4), учитывая граничные условия для плотности поверхностного тока на концах излучателей (2а), производя интегрирование по $y{\kern 1pt} '$ по частям и выполняя ряд математических преобразований, получим сингулярное интегральное представление (СИП) y‑составляющей напряженности электрического поля на поверхности подложки ($z = d$):

(7)
$\begin{gathered} {{E}_{y}}\left( {x,y,z = d} \right) = - \frac{{{{a}_{1}}}}{{4\pi }}\int\limits_{ - {{l}_{1}}}^{{{l}_{1}}} {f_{1}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{J}_{0}}\left( {\beta {{a}_{1}}} \right)}}{{ih}}} } } \Delta {{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right)\exp \left[ { - i\beta x - ih\left( {y - y{\kern 1pt} '} \right)} \right]d\beta dhdy{\kern 1pt} '\,\, - \\ - \,\,{{a}_{1}}\zeta \left( {{{a}_{1}},x} \right)\frac{C}{\pi }\int\limits_{ - {{l}_{1}}}^{{{l}_{1}}} {\frac{{f_{1}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)}}{{y{\kern 1pt} '\,\, - y}}dy{\kern 1pt} '} - \frac{{{{a}_{2}}}}{{4\pi }}\int\limits_{ - {{l}_{2}}}^{{{l}_{2}}} {f_{2}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)} \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{J}_{0}}\left( {\beta {{a}_{2}}} \right)}}{{ih}}\Delta {{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right)\exp \left[ { - i\beta \left( {x - S} \right) - ih\left( {y - y{\kern 1pt} '} \right)} \right]} } \times \\ \times \,\,d\beta dhdy{\kern 1pt} '\,\, - {{a}_{2}}\zeta \left( {{{a}_{2}},x - S} \right)\frac{C}{\pi }\int\limits_{ - {{l}_{2}}}^{{{l}_{2}}} {\frac{{f_{2}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)}}{{y{\kern 1pt} '\,\, - y}}dy{\kern 1pt} '} , \\ \end{gathered} $

где

$f_{1}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right) = \frac{{d{{f}_{1}}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)}}{{dy{\kern 1pt} '}},\,\,\,f_{2}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right) = \frac{{d{{f}_{2}}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)}}{{dy{\kern 1pt} '}},$
$\Delta {{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right) = {{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right) - Z_{{11}}^{\infty }\left( {\beta ,h} \right),$
$\zeta \left( {a,x} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{\sqrt {{{a}^{2}} - {{x}^{2}}} }},\,\,\,\,\left| x \right| < a,} \\ {0,\,\,\,\,\left| x \right| > a.} \end{array}} \right.$

После подстановки СИП (7) в граничные условия (2б) получим систему сингулярных интегральных уравнений (СИУ) относительно неизвестных функций $f_{1}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)$ и $f_{2}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)$:

(8)
$\begin{gathered} - E_{{1y}}^{{{\text{ст}}}}\left( {x,y} \right) = - \frac{{{{a}_{1}}}}{{4\pi }}\int\limits_{ - {{l}_{1}}}^{{{l}_{1}}} {f_{1}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)} \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{J}_{0}}\left( {\beta {{a}_{1}}} \right)}}{{ih}}} } \Delta {{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right)\exp \left[ { - ih\left( {y - y{\kern 1pt} '} \right)} \right]d\beta dhdy{\kern 1pt} '\,\, - \\ - \,\,{{a}_{1}}\zeta \left( {{{a}_{1}},x} \right)\frac{C}{\pi }\int\limits_{ - l}^l {\frac{{f_{1}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)}}{{y{\kern 1pt} '\,\, - y}}dy{\kern 1pt} '} - \frac{{{{a}_{2}}}}{{4\pi }}\int\limits_{ - {{l}_{2}}}^{{{l}_{2}}} {f_{2}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)} \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{J}_{0}}\left( {\beta {{a}_{2}}} \right)}}{{ih}}} } \Delta {{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right)\exp \left[ {i\beta S - ih\left( {y - y{\kern 1pt} '} \right)} \right]d\beta dhdy{\kern 1pt} ', \\ - E_{{2y}}^{{{\text{ст}}}}\left( {x,y} \right) = - \frac{{{{a}_{1}}}}{{4\pi }}\int\limits_{ - {{l}_{1}}}^{{{l}_{1}}} {f_{1}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{J}_{0}}\left( {\beta {{a}_{1}}} \right)}}{{ih}}} } } \Delta {{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right)\exp \left[ { - i\beta S - ih\left( {y - y{\kern 1pt} '} \right)} \right]d\beta dhdy{\kern 1pt} '\,\, - \\ - \,\,\frac{{{{a}_{2}}}}{{4\pi }}\int\limits_{ - {{l}_{2}}}^{{{l}_{2}}} {f_{2}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{J}_{0}}\left( {\beta {{a}_{2}}} \right)}}{{ih}}} } } \Delta {{Z}_{{11}}}\left( {\beta ,h} \right)\exp \left[ { - ih\left( {y - y{\kern 1pt} '} \right)} \right]d\beta dhdy{\kern 1pt} {\kern 1pt} '\,\, - {{a}_{2}}\zeta \left( {{{a}_{2}},x - S} \right)\frac{C}{\pi }\int\limits_{ - l}^l {\frac{{f_{2}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)}}{{y{\kern 1pt} '\,\, - y}}dy{\kern 1pt} '} . \\ \end{gathered} $

Здесь учтено, что СИП (7) справедливо на всей поверхности подложки, включая оси симметрии излучателей 1 ($x = 0$) и 2 ($x = S$).

Для решения полученной системы СИУ (8) предлагается использовать метод моментов. В качестве базисных функций были использованы полиномы Чебышева 1-го рода:

$\begin{gathered} f_{1}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{A}_{{1n}}}{{T}_{n}}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)}}{{\sqrt {1 - {{{\left( {{{y{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{y{\kern 1pt} '} {{{l}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{1}}}}} \right)}}^{2}}} }}} , \\ f_{2}^{'}\left( {y{\kern 1pt} '} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{A}_{{2n}}}{{T}_{n}}\left( {y{\kern 1pt} '} \right)}}{{\sqrt {1 - {{{\left( {{{y{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{y{\kern 1pt} '} {{{l}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{2}}}}} \right)}}^{2}}} }}.} \\ \end{gathered} $

Кроме того, в целях упрощения процедуры интегрирования, в ядрах данной системы СИУ экспоненты были разложены в ряды по функциям Бесселя и полиномам Чебышева 1-го и 2-го рода [19]:

$\begin{gathered} \exp \left[ { - ihy} \right] = \frac{{2i}}{{hl}}\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{i}^{{ - k}}}} k{{J}_{k}}\left( {hl} \right){{U}_{{k - 1}}}\left( {{y \mathord{\left/ {\vphantom {y l}} \right. \kern-0em} l}} \right), \\ \exp \left[ {ihy{\kern 1pt} '} \right] = 2\sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{{{i}^{p}}}}{{\left( {1 + {{\delta }_{{0,p}}}} \right)}}{{J}_{p}}} \left( {hl} \right){{T}_{p}}\left( {{{y{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{y{\kern 1pt} '} l}} \right. \kern-0em} l}} \right), \\ \end{gathered} $

где ${{\delta }_{{0,p}}}$ – символ Кронекера,

${{\delta }_{{0,p}}} = \left\{ \begin{gathered} 1,\,\,\,\,p = 0, \hfill \\ 0,\,\,\,\,p \ne 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Также было использовано известное соотношение для полиномов Чебышева [20]

$\int\limits_{ - l}^l {\frac{{{{T}_{n}}\left( {{{y{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{y{\kern 1pt} '} l}} \right. \kern-0em} l}} \right)}}{{\sqrt {1 - {{{\left( {{{y{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{y{\kern 1pt} '} l}} \right. \kern-0em} l}} \right)}}^{2}}} \left( {y{\kern 1pt} '\,\, - y} \right)}}dy{\kern 1pt} ' = \pi {{U}_{{n - 1}}}\left( {{{y{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{y{\kern 1pt} '} l}} \right. \kern-0em} l}} \right).} $

Результаты исследований показали, что при определенном количестве членов аппроксимирующего ряда данный метод позволяет достичь необходимой точности вычисления.

Функции продольных распределений поверхностных плотностей токов на излучателях определяются в соответствии со следующим выражением:

${{f}_{{1,2}}}\left( y \right) = - \sqrt {1 - {{{\left( {{y \mathord{\left/ {\vphantom {y l}} \right. \kern-0em} l}} \right)}}^{2}}} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{A}_{{1,2n}}}}}{n}{{U}_{{n - 1}}}\left( {{y \mathord{\left/ {\vphantom {y l}} \right. \kern-0em} l}} \right).} $

В свою очередь, функция распределения тока определяется как:

$\begin{gathered} {{I}_{y}}\left( y \right) = \int\limits_{ - a}^a {{{\eta }_{y}}\left( {x,y} \right)dx} = \\ = \int\limits_{ - a}^a {\frac{{f\left( y \right)}}{{\sqrt {1 - {{{\left( {{x \mathord{\left/ {\vphantom {x a}} \right. \kern-0em} a}} \right)}}^{2}}} }}dx} = a\pi f\left( y \right). \\ \end{gathered} $

2. АПРОБАЦИЯ РАЗРАБОТАННОЙ МОДЕЛИ ДВУХЭЛЕМЕНТНОЙ МИКРОПОЛОСКОВОЙ СТРУКТУРЫ С КИРАЛЬНОЙ ПОДЛОЖКОЙ

При разработке новых моделей любых электродинамических структур непременно возникает ряд вопросов, связанных с достоверностью и точностью получаемых с ее помощью результатов расчета. В целях апробации разработанной модели двухэлементной МПС с киральной подложкой было проведено сравнение токовых функций, вычисленных на основе данной математической модели, а также с помощью программного комплекса Feko 7.0, на примере решения тестовой задачи. В обоих случаях модель представляла собой диэлектрическую подложку (параметр киральности равен нулю) толщиной $d = 0.1\lambda ,$ металлизированную с нижней стороны, на которой параллельно расположены два прямоугольных плоских излучателя длиной $2{{l}_{1}} = 2{{l}_{2}} = 0.5\lambda $ и шириной $2{{a}_{1}} = 2{{a}_{2}} = 0.05\lambda {\kern 1pt} .$ При этом излучатели расположены на расстоянии, равном $S = \lambda .$ Диэлектрическая и магнитная проницаемости подложки и диэлектрического полупространства равны ε1 = μ1 = $ = {{\varepsilon }_{2}} = {{\mu }_{2}} = 1.$

На рис. 2 представлены функции распределения тока по излучателю 1 и излучателю 2, полученные для разных вариантов возбуждения. В частности, на рис. 2а приведены токовые функции для случая синфазного возбуждения излучателей, а на рис. 2б – для случая квадратурного возбуждения (фаза напряжения, приложенного к зазору излучателя 2, сдвинута относительно фазы напряжения, приложенного к зазору излучателя 1, на ${\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$).

Рис. 2.

Функции распределения токов по излучателю 1 (слева) и излучателю 2 (справа) МПС с диэлектрической подложкой, полученные с помощью разработанной модели (сплошные линии) и Feko 7.0 (штриховые) для синфазного (а) и квадратурного (б) способов возбуждения.

Из данных графиков видно, что вычисленные с помощью различных методов функции распределения тока практически совпадают, что в свою очередь свидетельствует об адекватности разработанной модели.

3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На основе разработанной математической модели двухэлементной микрополосковой излучающей структуры с киральной подложкой были рассчитаны функции распределения тока по излучателям для синфазного (рис. 3а) и квадратурного (рис. 3б) способов возбуждения, а также для различных типов киральных подложек, а именно подложек на основе левосторонних элементов и правосторонних элементов, при следующих общих параметрах: ${{\varepsilon }_{1}} = {{\varepsilon }_{2}} = 1{\kern 1pt} ,$ ${{\mu }_{1}} = {{\mu }_{2}} = 1{\kern 1pt} ,$ 2a1 = 2a2 = $ = 0.05\lambda {\kern 1pt} ,$ $2b = 0.02\lambda {\kern 1pt} ,$ $d = 0.1\lambda {\kern 1pt} ,$ $2{{l}_{1}} = 2{{l}_{2}} = 0.5\lambda {\kern 1pt} ,$ $S = 0.25\lambda {\kern 1pt} ,$ $\chi = 0.2.$

Рис. 3.

Функции распределения токов по излучателю 1 (слева) и излучателю 2 (справа) МПС с киральной подложкой на основе лево- (сплошные линии) и правосторонних (штриховые) элементов для синфазного (а) и квадратурного (б) способов возбуждения.

Как видно из графиков, приведенных на рис. 3, распределение тока по излучателям сильно зависит от типа киральной подложки.

При проведении расчетов значение амплитуды напряжения в зазоре излучателя было принято равным 1 В ($V = 2b{{E}_{0}} = 1\,\,{\text{В,}}$ где ${{E}_{0}}$ – амплитуда напряженности стороннего электрического поля, приложенного к зазору излучателя).

Для определения возможности уменьшения взаимного влияния между излучателями (в контексте обеспечения ЭМС – повышения развязки) было проведено исследование двухэлементной МПС с киральной подложкой с целью определения зависимости развязки от параметров структуры, в частности, от параметра киральности. На рис. 4 приведена зависимость развязки между излучателем 1 и излучателем 2 МПС от параметра киральности при следующих параметрах: ${{\varepsilon }_{1}} = {{\varepsilon }_{2}} = 1{\kern 1pt} ,$ ${{\mu }_{1}} = {{\mu }_{2}} = 1{\kern 1pt} ,$ $2{{a}_{1}} = 2{{a}_{2}} = 0.05\lambda {\kern 1pt} ,$ $2b = 0.02\lambda {\kern 1pt} ,$ $d = 0.1\lambda {\kern 1pt} ,$ $2{{l}_{1}} = 2{{l}_{2}} = 0.5\lambda {\kern 1pt} ,$ $S = 0.5\lambda {\kern 1pt} .$ Как уже было упомянуто, нулевое значение параметра киральности соответствует подложке, выполненной из диэлектрика. Положительные значения параметра киральности соответствуют киральной подложке на основе правосторонних элементов, отрицательные – на основе левосторонних. Из рис. 4 видно, что при некоторых параметрах использование подстилающих поверхностей из кирального метаматериала позволяет повысить уровень развязки между излучателями.

Рис. 4.

Зависимость уровней развязки между излучателями МПС от параметра киральности.

* * *

Таким образом, в работе предложена математическая модель двухэлементной микрополосковой излучающей структуры с подложками из кирального метаматериала различных типов, позволяющая определять функции распределения плотности тока на поверхностях излучателей, которые, в свою очередь, позволяют рассчитывать поле в любой точке пространства, включая ближнюю зону, а кроме того, определять другие характеристики структуры. Проведена апробация разработанной модели. На основании представленной зависимости уровней развязки между излучателями от параметра киральности, был сделан вывод о перспективности применения подстилающих поверхностей на основе киральных метаматериалов в антенных системах с целью совершенствования обеспечения электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств.

Список литературы

  1. Неганов В.А., Осипов О.В. Отражающие, волноведущие и излучающие структуры с киральными элементами. М.: Радио и связь, 2006.

  2. Lindell I.V., Sihvola A.H., Tretyakov S.A. et al. Electromagnetic waves in chiral and bi-isotropic media. Boston, London: Artech House, 1994.

  3. Бадалов В.В., Беляев С.О., Копылов Д.А., Нещерет А.М. // Антенны. 2017. № 11. С. 31.

  4. Ильинcкий A.C. // PЭ. 2005. T. 50. № 2. C. 134.

  5. Вдовиченко И.А., Раевский А.С., Раевский С.Б. // Антенны. 2016. № 11. С. 68.

  6. Михалицын Е.А., Раевский А.С., Седаков А.Ю. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2015. Т. 18. № 2. С. 33.

  7. Раевский А.С., Раевский С.Б. // РЭ. 2018. Т. 63. № 1. С. 14.

  8. Бузова М.А., Клюев Д.С., Минкин М.А. и др. // Письма в ЖТФ. 2018. Т. 44. Вып. 11. С. 80.

  9. Бузова М.А., Дементьев А.Н., Клюев Д.С. и др. // ДАН. 2018. Т. 480. № 5. С. 533.

  10. Ильинский А.С., Галишникова Т.Н. // РЭ. 2013. Т. 58. № 1. С. 46.

  11. Ильинский А.С. // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 9. С. 1284.

  12. Ильинский А.С., Галишникова Т.Н. // РЭ. 2016. Т. 61. № 9. С. 829.

  13. Lakhtakia A., Varadan V.K., Varadan V.V. Time-harmonic electromagnetic fields in chiral media. Lecture notes in physics. Berlin: Springer-Verlag, 1989.

  14. Semchenko I.V., Tretyakov, S.A., Serdyukov A.N. // Progress in Electromagnetics Research (PIER). 1996. V. 12. P. 335.

  15. Клюев Д.С., Нещерет А.М., Осипов О.В., Почепцов А.О. // Успехи соврем. радиоэлектроники. 2015. № 11. С. 67.

  16. Нещерет А.М. // Радиотехника. 2016. № 4. С. 118.

  17. Дементьев А.Н., Клюев Д.С., Неганов В.А., Соколова Ю.В. Сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения в теории зеркальных и полосковых антенн. М.: Радиотехника, 2015.

  18. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот. М: Физматлит, 1996.

  19. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И., Захаров Е.В. // Проблемы вычислительной математики. М.: Изд-во МГУ, 1980. С. 57.

  20. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби) / Под ред. Люстерника Л.А. и Янпольского А.Р. М.: Физматгиз, 1961.

  21. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица М. и Стиган И. М.: Физматгиз, 1979.

Дополнительные материалы отсутствуют.