Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 1, стр. 38-43

ВВЕДЕНИЕ

Дифракция электромагнитных волн на наноструктурах из благородных металлов (серебра, золота) в световом диапазоне длин волн 400 нм < $ < \lambda < 900\,\,{\text{нм}}$ (при достоверность экспериментальных данных вызывает сомнения [1]) сопровождается образованием поверхностных волн (плазмон-поляритонов), а также существованием их резонансов. При этом резонансы плазмонов приводят к образованию резонансов поперечника рассеяния и поглощения на частотах, близких к резонансам плазмонов. Одним из важных свойств плазмон-поляритонов является высокая локализация электромагнитного поля вблизи поверхности наноструктур, что и определило интерес как к их исследованию, так и практическому использованию в субволновом и ближнепольном зондировании. В монографии [1] отмечалось, что наноструктуры в виде нанопровода из серебра и золота широко применяются в качестве сенсоров. Плазмонные резонансы в цилиндрических наноструктурах (нитях) с постоянной (переменной кривизной, но постоянным знаком кривизны) исследовались в целом ряде работ. В [1] показано, что цилиндры с круглым сечением реализуют резонансы плазмонов в ультрафиолетовой части спектра. Используя нанотрубки, можно сместить частоты плазмонных резонансов в видимую область светового диапазона [2, 3]. Плазмонные резонансы в кварцевой нанонити, покрытой слоем золота переменной толщины в предположении, что границами оболочки являются круговые цилиндры со смещенными центрами, исследовались в [4]. Различные геометрии оболочек из серебра и кварца, контуры поперечного сечения которых образованы 2D-наноструктурами с различной формой поперечного сечения, анализировались в работах [5–9].

Цель данной работы – исследовать особенности плазмонных резонансов в 2D-наноструктуре из золота в случае, когда контур поперечного сечения структуры имеет звездообразную структуру. Из близких по тематике работ отметим [10, 11].

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим двумерную задачу дифракции плоской поляризованной электромагнитной ТМ-волны на двумерной цилиндрической диэлектрической наноструктуре, контур поперечного сечения которого представляет собой звездообразную структуру. Плоская волна распространяется в направлении единичного вектора ($\cos {{\varphi }_{0}},\;\sin {{\varphi }_{0}},\;0$) и характеризуется в цилиндрической системе координат $r,\varphi $ следующими компонентами электромагнитного поля:

Зависимость от времени выбрана в виде $\exp (i\omega t)$, где $\omega = kc$ – круговая частота, ($k = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \lambda }} \right. \kern-0em} \lambda }$ – волновое число свободного пространства, $c$ – скорость света в вакууме, $\lambda $ − длина волны), $\eta = 120\pi \;Ом$ − волновое сопротивление вакуума.

Контур поперечного сечения ${{r}_{S}}(\varphi )$ структуры в цилиндрической системе координат $r,\varphi $ описывается формулой (см. рис. 1)

Рис. 1.

Геометрия задачи и контура поперечного сечения звездообразного рассеивателя (2) при $a = 40\,\,{\text{нм}}$, $b = 25\,\,{\text{нм}}$, $\lambda = 625\,\,{\text{нм}}$.

Отметим, что, изменяя значение параметра $b$, можно изменять амплитуду колебаний “звездообразного” контура (2) рассеивающей наноструктуры. На рис. 1 изображен контур поперечного сечения структуры (2) при $a = 40\,\,{\text{нм}}$, $b = 25\,\,{\text{нм}}$ и $\lambda = 625\,\,{\text{нм}}$. Считается, что среда структуры представляет собой золото. При этом зависимость относительной диэлектрической проницаемости золота от длины волны $\lambda $ была рассчитана на основе интерполяции экспериментальных данных работы [12] кубическими сплайнами.

Пространственное распределение диэлектрической проницаемости для структуры, изображенной на рис. 1, имеет вид

Исследование сформулированной задачи дифракции удобнее проводить, используя $z$-компоненту $U(r,\varphi ) = {{H}_{z}}(r,\varphi )$ магнитного поля, так как краевая задача для функции $U(r,\varphi )$ является скалярной. Полное поле $U(r,\varphi )$, т.е. суперпозиция падающего и рассеянного полей, в кусочно-постоянной среде (3) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Компоненты электрического поля могут быть выражены через функцию $U(x,y)$

На границах структуры должны быть непрерывны величины $U$ и $\frac{1}{\varepsilon }\frac{{\partial U}}{{\partial N}}$, где $\frac{{\partial U}}{{\partial N}}$ – производная по направлению нормали к границе раздела сред.

Как уже отмечалось, полное поле $U(r,\varphi )$ вне структуры состоит из падающего ${{U}^{0}}$ и рассеянного ${{U}^{s}}$ полей:

Падающее поле задано функцией

Рассеянное поле ${{U}^{s}}(r,\varphi )$ в цилиндрической системе координат ($r,\varphi $), где $x = r\cos \varphi $ и $y = r\sin \varphi $, в дальней зоне ($kr \to \infty $) должно удовлетворять условию излучения

где $\Phi (\varphi )$ − диаграмма рассеяния.

Полное сечение рассеяния ${{\sigma }_{s}}$ и сечение поглощения ${{\sigma }_{a}}$ определяется формулами

2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Численное решение сформулированной задачи проводили модифицированным методом дискретных источников [13, 14]. При этом точность решения задачи контролировали путем вычисления невязки $\delta $ граничных условий в линейной норме в точках, расположенных в середине между точками, где граничные условия выполняются точно (в таких точках граничные условия выполняются наихудшим образом [13]). Во всех приведенных ниже расчетах максимальная невязка граничных условий не превышает величину $\delta < {{10}^{{ - 3}}}$.

На рис. 2а и 2б представлены соответственно результаты расчета нормированного поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{s}}$ и нормированного сечения поглощения $k{{\sigma }_{a}}$ для различных значений длин волн $\lambda $ и различных значений амплитуды $10\,\,{\text{нм}} \leqslant b \leqslant 25\,\,{\text{нм}}$ колебаний контура (2) структуры из реального золота. Угол падения плоской волны был равен ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$. Из рис. 2а следует, что у такой рассеивающей структуры нормированный поперечник рассеяния $k{{\sigma }_{s}}$ имеет только один максимум, который смещается в сторону больших значений длин волн $\lambda $ при увеличении амплитуды $b$ колебаний контура (2). При этом, как видно из рис. 2б, дополнительные максимумы у нормированного сечения поглощения $k{{\sigma }_{a}}$ появляются лишь при значениях $b > 20\,\,{\text{нм}}$.

Рис. 2.

Зависимость нормированных поперечника рассеяния (а) и сечения рассеяния (б) от длины волны $\lambda $ для структуры с параметрами $q = 6,$ $a = 40\,\,{\text{нм}}$ и различными b = 10 (1), 15 (2), 20 (3), 25 нм (4); угол падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$; потери золота – $\operatorname{Im} (\varepsilon )$.

Было исследовано влияние потерь $\operatorname{Im} (\varepsilon )$ на нормированный поперечник рассеяния $k{{\sigma }_{s}}$ и нормированное сечение поглощения $k{{\sigma }_{a}}$ для структуры, контур (2) которой имел следующие параметры $q = 6,$ $a = 40\,\,{\text{нм}}$, $b = 25\,\,{\text{нм}}$, при угле падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$ (рис. 3а, 3б). При расчетах мнимая часть $\operatorname{Im} (\varepsilon )$ относительной диэлектрической проницаемости золота принимала следующие значения: $\operatorname{Im} (\varepsilon )$, $0.5\operatorname{Im} (\varepsilon )$ и $0.1\operatorname{Im} (\varepsilon )$. Из результатов, представленных на рис. 3, следует, что реальные потери золота (кривая 1) приводят к исчезновению резонансов, связанных с мультипольными резонансами плазмонов(кривые 2, 3). Аналогичный эффект имеет место и для случая нормированного сечения поглощения $k{{\sigma }_{a}}$ (см. рис. 4) – резонансы, связанные с мультипольными резонансами плазмонов, здесь так же начинают проявляются лишь со значений $0.1\operatorname{Im} (\varepsilon )$.

Рис. 3.

Зависимость нормированного поперечника рассеяния (a) и сечения рассеяния (б) от длины волны $\lambda $ для структуры с параметрами $q = 6,$ $a = 40\,\,{\text{нм}}$, $b = 25\,\,{\text{нм}}$; угол падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$; кривая 1 – потери золота $\operatorname{Im} (\varepsilon )$, кривая 2 – потери золота $0.5\operatorname{Im} (\varepsilon )$, кривая 3 – потери золота $0.1\operatorname{Im} (\varepsilon )$.

Рис. 4.

Зависимость нормированных поперечника рассеяния (а) и сечения рассеяния (б) от длины волны $\lambda $ для структуры с параметрами $q = 6,$ $a = 80\,\,{\text{нм}}$, b = 10 (1), 20 (2), 30 (3), 40 (4), 50 нм (5); угол падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$; потери золота $\operatorname{Im} (\varepsilon )$.

На рис. 4а, 4б представлены соответственно результаты расчета частотной зависимости нормированного поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{s}}$ и нормированного сечения поглощения $k{{\sigma }_{a}}$ для структуры из реального золота и с увеличенными значениями параметров ее контура, по сравнения с рассмотренными выше случаями. Параметры контура (2) указаны в подрисуночной подписи. Угол падения плоской волны был равен ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$. Из рис. 4а следует, что и при таких размерах рассеивающей структуры нормированный поперечник рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ имеет только один максимум при всех значениях длин волн $\lambda $ из светового диапазона $400\,\,{\text{нм}} < \lambda < 900\,\,{\text{нм}}$. Расположение максимума $k{{\sigma }_{s}}$ зависит от величины амплитуды $b$, определяющей колебания контура (2). Увеличение значений $b$ приводит к смещению максимума $k{{\sigma }_{s}}$ в сторону больших значений $\lambda $.

Рисунки 5а, 5б иллюстрируют влияние потерь золота на результаты расчетов диаграмм рассеяния Φ(φ) для структуры с параметрами a = 40 нм, $b = 25\,\,{\text{нм}}$, угле падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$ и трех длин волн: λ = 670 (1), 600 (2), 510 нм (3). Данные, представленные на рис. 5а, соответствуют случаю отсутствия потерь золота $\operatorname{Im} (\varepsilon ) = 0$, а рис. 5б – $0.5\operatorname{Im} (\varepsilon )$. Из рисунков видно, что даже относительно малые потери золота существенно сказываются на форме диаграммы рассеяния.

Рис. 5.

Диаграмма рассеяния при $\operatorname{Im} (\varepsilon ) = 0$ (а) и при потерях золота 0.5$\operatorname{Im} (\varepsilon )$ (б) для структуры с параметрами $a = 40\,\,{\text{нм,}}\,\,b = 25\,\,{\text{нм}}$, ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$ на разной длине волны: λ = 670 (1), 600 (2), 510 нм (3).

Результаты расчетов пространственного распределения линий равных амплитуд поля ${{H}_{z}}$ вблизи поверхности рассивателя (2) для трех длин волн : λ = 670, 600 и 510 нм представлены соответственно на рис. 6а–6в.

Рис. 6.

Пространственное распределение линий равных амплитуд модуля компоненты ${{H}_{z}}$ поля структуры с параметрами $a = 40\,\,{\text{нм}},\,\,b = 25\,\,{\text{нм}}$, ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$, потери золота – $0.5\operatorname{Im} (\varepsilon )$ и длине волны λ = 670 (а), 600 (б) и 510 нм (в).

Отметим, что для выбранных длин волн имеют место максимумы поперечника рассеяния (см. рис. 3). При этом параметры контура (2) характеризовались следующими значениями a = 40 нм, $b = 25\,\,{\text{нм}}$; угол падения плоской волны был равен ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}} \right. \kern-0em} 6}$; потери золота – $0.5\operatorname{Im} (\varepsilon )$. Из рис. 6 а–6в видно, что вариации поля непосредственно вблизи границы рассивателя исчезают при удалении от нее точки наблюдения. Этот эффект свидетельствует о вырождении колебаний ближнего поля и объясняет двухлепестковую структуру диаграммы рассеяния рис. 5б.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена дифракция плоской волны на цилиндрической 2D-структуре, представляющей наноструктуру из золота, контур которой имеет звездообразную форму. Строгими численными методами рассчитаны спектральные и пространственные характеристики рассеянного поля. Показано, что для такой структуры характерно существование одного резонанса поперечника рассеяния и нескольких резонансов спектра рассеяния (последние связаны с существованием дипольных и квадрупольных резонансов плазмонов). Показано, что реальные потери золота делают невозможным наблюдение мультипольных резонансов у поперечника рассеяния. Обнаружен эффект вырождения в ближнем поле структуры. Продемонстрировано влияние геометрических размеров структуры на поперечник рассеяния и спектр поглощения.