Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 11, стр. 1067-1075

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Если плоское электромагнитное поле¹¹ существует в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$, разделенном системой диэлектрических слоев на два полупространства $\mathbb{R}_{ - }^{3}$ и $\mathbb{R}_{ + }^{3}$, то, в общем случае, в $\mathbb{R}_{ - }^{3}$ и $\mathbb{R}_{ + }^{3}$ имеются по две плоские волны, одна из которых распространяется к СДС, а другая – от нее. Обозначим²² $C_{0}^{{\left( - \right)}}$ амплитуду волны, распространяющейся к СДС в $\mathbb{R}_{ - }^{3}$, $C_{1}^{{\left( - \right)}}$ – от СДС в $\mathbb{R}_{ + }^{3}$, $C_{1}^{{\left( + \right)}}$ – распространяющейся к СДС в $\mathbb{R}_{ + }^{3}$, а $C_{0}^{{\left( + \right)}}$ – от СДС в $\mathbb{R}_{ + }^{3}$. Показано, что при не слишком больших величинах электромагнитных полей существует линейная связь между векторами амплитуд ${{{\mathbf{C}}}_{ - }}$ и ${{{\mathbf{C}}}_{ + }}$

Матрица $\mathcal{T}$ всегда не вырождена и называется матрицей передачи СДС³³. В данной работе при минимальных ограничивающих предположениях получены универсальные аналитические выражения для элементов матрицы $\mathcal{T}$, описывающей всевозможные в таких СДС связи между плоскими электромагнитными полями в $\mathbb{R}_{ - }^{3}$ и $\mathbb{R}_{ + }^{3}$, как функционалов от физических свойств слоев диэлектрической системы и частоты поля, которые позволяют проанализировать природу имеющихся в таких системах спектральных закономерностей и необходимы при разработке математического аппарата для постановки и решения важных для практики оптимизационных и обратных задач.

Описание любых спектральных характеристик произвольных СДС может быть основано на существенно расширенном толковании анонсированных в [3] и обоснованных в [4] формул, положенных в основу работ авторов [1, 2].

Выяснилось удобство использования электродинамических параметров⁴⁴, отличных от адмитансов:

и электрических толщин слоев системы: Важнейшими из “новых” параметров оказываются отношения адмитансов соседних слоев системы которые мы называем параметрами Френеля слоистой системы, так как они однозначно связаны формулой с амплитудными коэффициентами отражения Френеля ${{q}_{j}}$ для границы раздела соседних сред: При этом – заданная величина, которая служит основанием введенных в пространстве адмитансов показательных координат, линеаризующих соотношения между параметрами Френеля и “распрямляющих” все возникающие гиперповерхности второго порядка в гиперплоскости. Новые представления элементов матрицы $\mathcal{T}$ позволили провести подробное изучение спектральных свойств произвольных плоских диэлектрических структур.

Полученные формулы для коэффициентов Фурье экспоненциального представления элементов ${{\tau }_{{lk}}}$ матрицы передачи $\mathcal{T}$ приводят к рассмотрению вопросов вырождения $N$-слойных СДС в $\left( {N - 1} \right)$-слойные и еще “менее” слойные системы, доходя в крайнем случае $0$-слойной системы до случая Френеля – “составного” пространства ${{\mathbb{R}}^{3}}$, т.е. составленного из двух полупространств $\mathbb{R}_{ - }^{3}$ и $\mathbb{R}_{ + }^{3}$. Коэффициенты тригонометрического представления элементов ${{\tau }_{{lk}}}$ матрицы передачи $\mathcal{T}$ названы в работе вычислительными параметрами СДС (см. ниже). Оказывается, что именно через них аналитически выражаются многие спектральные свойства СДС, а их квадраты участвуют в описании ячеистой структуры пространства импедансов ${{\mathcal{P}}_{N}}$ $N$-слойных СДС.

Введены понятия порождающих и профилирующих функций $N$-слойных СДС, оценки которых в разных нормах позволяют получить оценки энергетических коэффициентов отражения и пропускания. Полученные результаты могут быть широко использованы при решении задач анализа и оптимизационных задач синтеза диэлектрических фильтров различного назначения.

При решении задач синтеза фильтров желаемое поведение энергетического коэффициента отражения или пропускания слоистой системы в заданной полосе волновых чисел $\left[ {{{\mathcal{K}}_{1}},{{\mathcal{K}}_{2}}} \right]$ обычно задается спектральными характеристиками⁵⁵ этого фильтра $\tilde {R}\left( \kappa \right)$ и $\tilde {T}\left( \kappa \right)$ (см. соответствующие рисунки в [2]). Математическая постановка задачи оптимального в смысле П.Л. Чебышева синтеза слоистого диэлектрического фильтра рассмотрена в [1]:

где $\vec {p}$ – адмитансы и $\vec {\nu }$ – электрические толщины слоев СДС.

В [2] мы рассмотрели математическую постановку задачи синтеза:

и эквивалентную указанной выше исходной упрощенную постановку: где $F\left( {\kappa ,\vec {p},\vec {\nu }} \right)$ – профилирующая функция для СДС, $\tilde {F}\left( \kappa \right)$ – идеал для профилирующей функции, пересчитанный из идеала для коэффициента отражения $\tilde {R}\left( \kappa \right)$ или пропускания $\tilde {T}\left( \kappa \right)$ (см. [1, 2]), а $\vec {\nu }$ – элементы из пространства ${{\mathcal{N}}_{N}}$ – возможных электрических толщин, $\vec {p}$ – адмитансы слоев СДС – элементы заданного куба ${{K}_{N}}$ в пространстве адмитансов ${{\mathcal{P}}_{N}}$ материалов СДС. Последние постановки задач синтеза СДС естественно называть задачами оптимизации в смысле П.Л. Чебышева с ограничениями.

2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА И ЕЕ РЕШЕНИЕ. МАТРИЦА ПЕРЕДАЧИ СДС

Используя обозначения [1, 2] и [4–6], приведем основной результат. Элементы ${{\tau }_{{lm}}},{\text{\;\;}}l,m = 0,1$, матрицы $\mathcal{T}$ естественно назвать порождающими функциями СДС, так как при различных выборах “управляющих” векторов $\vec {\theta }$, $\vec {\nu }$ они представляют решение задачи анализа для любой СДС.

Экспоненциальное представление порождающих функций при $\vec {t} = k\vec {\nu }$ имеет вид

где ${\mathbf{J}} = \left( {{{j}_{0}} = l,{{j}_{1}}, \ldots ,{{j}_{N}},{{j}_{{N + 1}}} = m} \right),{\text{\;\;}}{{j}_{k}} = 0,1,$– “коэффициенты Фурье”, – “показатели Фурье”.

Замечание. Формулы (5) показывают, что при совпадении адмитансов соседних слоев p_j – 1 = p_j при каком-либо $j = 1, \ldots ,N + 1$, т.е. выполнении условия “вырождения”: ${{\theta }_{j}} = 1$, половина из всех коэффициентов Фурье (имеющих множитель 1 – θ_j) обратится в нуль, что превратит N-слойную СДС в (N – 1)-слойную. При выполнении двух условий вырождения для разных $j$ в нуль обратятся $3{\text{/}}4$ коэффициентов Фурье и СДС превратится в (N – 2)-слойную. При выполнении  N условий “вырождения” N-СДС превратится в $0$-слойную – пространство ${{\mathbb{R}}^{3}}$, составленное из полупространств $\mathbb{R}_{ - }^{3}$ и $\mathbb{R}_{ + }^{3}$ (случай Френеля). Это явление влечет целую серию следствий, вскрывающих геометрическую структуру пространства адмитансов ${{\mathcal{P}}_{N}}N$-слойных СДС.

3. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА АДМИТАНСОВ

Поскольку изображение ${{\mathcal{P}}_{N}}$ при $N \geqslant 3$ практически невозможно, графически проиллюстрируем соответствующие построения при N = 2. Они носят общий характер и справедливы при любом N.⁶⁶ На рис. 1 и 2 показаны пространства ${{\mathcal{P}}_{2}}$ адмитансов двухслойных систем⁷⁷. Различие между рисунками связано с использованием разных систем координат. На первом из них в качестве координат использованы исходные адмитансы ${{p}_{1}} > 0$, ${{p}_{2}} > 0$ и пространство ${{\mathcal{P}}_{2}}$ представляет собой четверть плоскости. На рис. 2 использованы “показательные координаты”, основанием которых служит базовый параметр рассматриваемых СДС: $\theta \mathop = \limits^{{\text{def}}} {{p}_{3}}{\text{/}}{{p}_{0}}$, а координаты ${{s}_{1}},{{s}_{2}}$ изменяются в пределах $ - \infty < {{s}_{1}} < + \infty ,~~ - \infty < {{s}_{2}} < + \infty $:

На рис. 1 и 2 по общим обозначениям вершин и линий легко идентифицируются основные графовые структуры пространства ${{\mathcal{P}}_{2}}$.⁸⁸ На обоих рисунках изображены три линии вырождения: вертикальная V₁, диагональная V₂, горизонтальная V₃ c соответствующими формулами:

В пересечении линии вырождения образуют треугольник вырождения с вершинами ${\text{I'}},\,\,{\text{II'}},\,\,{\text{III'}}$. Также на рисунке есть три линии U₁, …, U₃, две из них, ${{U}_{1}},{{U}_{3}}$, параллельны вертикальной ${{V}_{1}}$ и горизонтальной ${{V}_{3}}$ линиям вырождения, двойственны к ним и описываются уравнениями соответственно:

Третья линия ${{U}_{2}}$ является двойственной по отношению к биссектрисе координатного угла ${{p}_{2}} = {{p}_{1}}$. Линия ${{U}_{2}}$ является лучом из начала координат через вершину прямого угла между ${{V}_{1}}$ и ${{V}_{3}}$ и имеет уравнение

На рис. 2 эта линия параллельна линии вырождения ${{V}_{2}}$. Двойственные линии в пересечении образуют “большой треугольник” с вершинами ${\text{I}},\,\,{\text{II}},\,\,{\text{III}}$.

Кроме того, на рис. 1 и 2 есть три линии ${{N}_{1}},\,\, \ldots ,\,\,~{{N}_{3}}$, две из них, ${{N}_{1}},~{{N}_{3}}$, параллельные вертикальной ${{V}_{1}}$ и горизонтальной ${{V}_{3}}$ линиям вырождения, будем называть линиями “нулей” с соответствующими индексами и даются уравнениями соответственно

Третья линия ${{N}_{2}}$ на рис. 1 имеет уравнение

а на рис. 2 эта линия параллельна линии вырождения ${{V}_{2}}$. Три линии “нулей” в пересечении образуют “малый треугольник” с вершинами 1, 2, 3, стороны которого параллельны сторонам большого треугольника ${\text{I}},\,\,{\text{II}},\,\,{\text{III}}$.

Также на рис. 1 изображены три кривые второго порядка, М₁, …, М₃, две параболы и одна гипербола, уравнения которых получаются при подстановке координат ${{p}_{1}},\,\,{{p}_{2}}$ в уравнения линий в переменных Френеля соответственно:

Соответствующие линии на рис. 2 являются медианами всех трех треугольников, а потому они пересекаются в одной общей для них точке – центре всех этих треугольников, который мы будем обозначать символом $\square $ – стилизованным “римским” нулем. Названия медианы для этих линий мы будем использовать и для рис. 1.

Четыре области на рис. 1, заштрихованные светло-серым цветом, совпадают с диаграммой Шустера [7], указавшего те области в пространстве ${{\mathcal{P}}_{2}}$, внутри которых существуют нули коэффициентов отражения для соответсвующих СДС, а на рис. 2 области Шустера – внутренность малого треугольника и внутренности его внешних углов.

4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Формулы Эйлера переводят (6) в тригонометрическое представление порождающих функций:

Преобразование $\vec {t} = \vec {\nu }\omega $ делает эти функции $2\pi $-периодическими функциями по переменным t_k = $ = {{v}_{k}}\omega {\text{\;\;}}\left( {k = 1, \ldots ,N} \right)$. Коэффициенты ${{{\mathbf{\alpha }}}_{m}}\, = \,(\alpha _{0}^{m}, \ldots ,$ $\alpha _{{{{2}^{{N - 1}}}}}^{m})$, $\alpha _{L}^{m},\left( {m = 0,1} \right),\,\,{\mathbf{L}} = \left( {{{l}_{1}}, \ldots ,{{l}_{N}}} \right),\,\,\left( {{{l}_{k}} = 0,1} \right)$ представления (8) мы называем вычислительными параметрами СДС⁹⁹. Обе серии вычислительных параметров ($m = 0,1$) преобразованием Адамара связаны с отвечающими им коэффициентами Фурье в (4):

где $\mathcal{H}$ – матрица Адамара порядка ${{2}^{N}} \times {{2}^{N}}$.

Замечание. Указанные на рис. 1 и 2 линии: вырождения, двойственные к ним и медианы при переходе к пространствам ${{\mathcal{P}}_{N}}$ более высокой размерности, чем $N = 2$, заменяются на гиперплоскости, а в нужных местах рис. 1 – гиперповерхностями, не более второго порядка по каждой переменной ${{p}_{k}}{\text{\;}}\left( {k = 1, \ldots ,N} \right)$.

Переход к показательным координатам $\vec {s}\mathop = \limits^{{\text{def}}} \left( {{{s}_{1}}, \ldots ,{{s}_{N}}} \right)$ в пространствах ${{\mathcal{P}}_{N}}$ большей, чем $N = 2$ размерности, проводится с использованием параметров Френеля ${{\theta }_{k}}{\text{\;}}\left( {k = 1, \ldots ,N + 1} \right)$ по формулам, в которых координаты ${{s}_{k}}$ изменяются в пределах $ - \infty < {{s}_{k}} < + \infty $:

5. ТОЖДЕСТВА СРАВНЕНИЯ

Запишем принципиальные тождества сравнения для квадратов вычислительных параметров $\alpha _{I}^{m}$ для случая $m = 1$, не указывая $m$ явно, так как при $m = 0$ они заменяются на аналогичные. Сначала выпишем эти тождества при $N = 2$ (в этом случае их ровно 6), чтобы их было удобно проинтерпретировать с использованием рис. 1 и 2:

В правых частях написанных формул стоят произведения двух сомножителей, зависящих от параметров Френеля, так, что при изменении знаков этих скобок будут выполняться определенные отношения “доминирования” между квадратами вычислительных параметров: $\alpha _{I}^{2}{\kern 1pt} > $ или $ < {\kern 1pt} \alpha _{J}^{2}$. Обращение же скобок в нуль указывает на равенство записанных слева величин. Отметим, что в правой части участвуют скобки, отвечающие уравнениям в переменных Френеля, введенных выше линий: вырождения ${{V}_{j}},j = 1,2,3$, двойственных к ним ${{U}_{j}},j = 1,2,3$, и медиан ${{M}_{j}},j = 1,2,3$.

На рис. 2 видно, что указанные линии разбивают все пространство параметров ${{\mathcal{P}}_{2}}$ на 24 треугольника, внутри каждого из которых (для всех его точек!) выполняется неравенство упорядочения:

символическая запись которого $\left( {ijkl} \right)$ приведена на рис. 2. Таким образом, при переходе через двойственные линии ${{U}_{j}}~\left( {j = 1,2,3} \right)$ и медианы ${{M}_{j}}~\left( {j = 1,2,3} \right)$ в каждом упорядочении меняются местами два соседних параметра, например, $\alpha _{i}^{2}$ и $\alpha _{j}^{2}$, а при переходе через линию вырождения ${{V}_{j}}{\text{\;}}\left( {j = 1,2,3} \right)$ меняются между собой сразу две пары параметров, что и отмечено на рис. 2 надписями вида $\left( {ijkl} \right)$ для тех треугольников, которые попадают внутрь диаграммы Шустера, и $\overline {\left( {ijkl} \right)} $, для тех треугольников, которые лежат вне диаграммы Шустера.

Группировка областей $\left( {ijkl} \right)$ по доминированию состоит в фиксации какого-либо числа из $0,1,2,3$ в “старшей” позиции $l$. При этом вся плоскость $\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right)$ будет разбита на четыре зоны, которым присвоены “римские” номера $l$, ${\text{I}},{\text{II}},{\text{III}},{\text{\;}}\square $. Справедливо разбиение пространства ${{\mathcal{P}}_{N}}$ на $\left( {{{2}^{N}}} \right)!$ непересекающихся класса точек, заключенных в гипертетраэдры, аналогичные $\left( {{{2}^{2}}} \right)! = 24$ треугольникам для ${{\mathcal{P}}_{2}}$.

6. СВЯЗЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ С ПАРАМЕТРАМИ ФРЕНЕЛЯ

Чтобы обосновать сказанное, получим новые формулы, выражающие вычислительные параметры α_j (j = 0, 1, …, 2^N – 1) через параметры Френеля. Для этого в формуле (5), определяющей коэффициенты Фурье, проведем перемножение биномов, воспользовавшись аддитивной формой обобщенного бинома:

где вектор ${\mathbf{L}} = \left( {{{l}_{1}}, \ldots ,{{l}_{n}}} \right),\,\,{{l}_{k}} = 0,1,\,\,\left( {k = 1, \ldots ,n} \right)$ дает номер слагаемого в указанной сумме, а ${{\bar {l}}_{k}}$ – двоичное отрицание ${{l}_{k}}$. Проведя суммирование по частям для вновь введенного для этого двоичного вектора ${\mathbf{L}} = \left( {{{l}_{0}}, \ldots ,{{l}_{{N + 1}}}} \right)$ и используя укороченные векторы ${{{\mathbf{L}}}_{0}} = \left( {0,{{l}_{1}}, \ldots ,{{l}_{{N + 1}}}} \right)$, придем к следующей формуле: где двоичный вектор получается применением к ${\mathbf{I}}$, номеру ${{\alpha }_{I}}$, линейного оператора: а ${\mathbf{\bar {L}}}~$ – вектор, двойственный к ${\mathbf{L}}$. Формула (14) при $m = 1$ позволяет получить для пространства ${{\mathcal{P}}_{N}}$ все те результаты, что мы анонсировали для ${{\mathcal{P}}_{2}}$.

Для векторов ${\mathbf{L}}$, имеющих только одну единицу, соответствующее ${{\tau }_{L}}$ будет иметь вид ${{\theta }_{s}}{\text{\;\;}}\left( {s = 2, \ldots ,N} \right)$, и мы получим $N - 1$ гиперплоскостей вырождения ${{V}_{s}}$ при ${{\theta }_{s}} = 1$ и столько же двойственных им гиперплоскостей ${{U}_{s}}$ при ${{\theta }_{s}} = \theta $. Еще одна гиперплоскость вырождения ${{V}_{1}}$ получится при θ₁ = 1, а двойственная к ней гиперплоскость ${{U}_{1}}$ получится при ${{\theta }_{1}} = \theta $. Последние гиперплоскости вырождения ${{V}_{{N + 1}}}$ и двойственная к ней ${{U}_{{N + 1}}}$ соответствуют ${{\theta }_{{N + 1}}} = 1$ и ${{\theta }_{{N + 1}}} = \theta $. Ровно посредине между каждой плоскостью вырождения ${{V}_{s}}$ и двойственной к ней ${{U}_{s}}$ располагается нулевая плоскость ${{N}_{s}}$. Подобно (11) при $m = 1$ можно выписать ${{2}^{{N - 1}}}\left( {{{2}^{N}} - 1} \right)$ тождеств сравнения:

где ${\mathbf{I}} = {\mathbf{DL}},{\mathbf{J}} = {\mathbf{DM}}$, а ${\mathbf{LM}}$ – покоординатное умножение двоичных векторов ${\mathbf{L}}$ и ${\mathbf{M}}$.

7. КВАЗИОКРУЖНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ${{\mathcal{P}}_{N}}$

Прежде всего отметим, что для элементов ${{\tau }_{{lm}}}$ матрицы передачи $\mathcal{T}$ – порождающих функций – справедливо равенство

выражающее квадрат их среднеквадратичной нормы в виде суммы квадратов их коэффициентов Фурье, где для второго равенства использованы свойства матриц Адамара, связывающих векторы коэффициентов Фурье и вычислительных параметров между собой. Запись квадрата нормы порождающих функций в виде суммы квадратов вычислительных параметров позволяет интерпретировать последнюю как квазиевклидову метрику в пространстве ${{\mathcal{P}}_{N}}$.

На рис. 3 при $N = 2$ изображена серия “квазиевклидовых” “квазиокружностей”, отвечающих нескольким значениям их “квазирадиусов”: ${{\rho }_{k}} = {{d}_{k}}\alpha _{0}^{2}{\text{\;\;\;}}\left( {k = 1, \ldots ,5} \right)$. На рис. 4 при $N = 2$ представлена серия “квазичебышевских квазиокружностей”: ${{\rho }_{k}} = {{d}_{k}}\alpha _{0}^{2}{\text{\;\;}}\left( {k = 1, \ldots ,5} \right),$ одна из которых совпала со сторонами среднего треугольника ${\text{I}}{\kern 1pt} ',\,\,{\text{II}}{\kern 1pt} {\text{'}},\,\,{\text{III}}{\kern 1pt} {\text{'}}$. Смысл названия “квазичебышевские квазиокружности” тесно связан со следующей точной (в том смысле, что она достигается в некоторой вершине куба периодов ${{T}^{N}}$ порождающих функций) оценкой:

которая легко получается и позволяет рассматривать в пространстве ${{\mathcal{P}}_{N}}$ “квазичебышевскую” метрическую функцию.

С иcпользованием (17) получены эффективные, точные и неулучшаемые на классе СДС оценки энергетических коэффициентов отражения сверху и пропускания снизу:

С помощью неравенства Бернштейна эти оценки дают точные оценки производных указанных характеристик СДС.

8. ПРИМЕР СИНТЕЗА ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА ПРИ N = 2

Рассмотрим пример синтеза полосового фильтра для заданного идеала $\tilde {F}\left( \kappa \right)$ ≡ 0 профилирующей функции, отвечающего такому же идеалу для коэффициента отражения $\tilde {R}\left( \kappa \right) \equiv 0$. Традиционно примем p₀ = 1, а величину p₃ – равной 1.52. Тогда получим ${{\theta }} = 1.52$, а $\sqrt {{{p}_{0}}{{p}_{3}}} \approx 1.233$. Размеры куба ${{K}_{N}}$ допустимых адмитансов выберем в соответствии с формулами (7) в условных единицах при значениях параметров ${{s}_{1}} = 0.125$, $~{{s}_{2}} = 0.875$.

При таком выборе параметров ${{s}_{1}}$ и ${{s}_{2}}$ в соответствии с работой [8] нули порождающей функции для части области пространства адмитансов, помеченной символом (2301) и лежащей внутри куба ограничений ${{K}_{2}}$, попадают на луч ${{\nu }_{2}} = 2{{\nu }_{1}}$, исходящий на плоскости ${{t}_{1}} = {{\nu }_{1}}\kappa $, ${{t}_{2}} = {{\nu }_{2}}\kappa $ из начала координат и определяющий оптимальную обмотку на торе, соответствующем порождающей функции. Профиль сечения порождающей функции вдоль указанного луча будет иметь вид фильтра квазичебышевского типа, если поместить середину интересующего нас интервала волновых чисел $\left[ {{{\mathcal{K}}_{1}},{{\mathcal{K}}_{2}}} \right]$ в точку ${{t}_{1}} = \pi {\text{/}}2$, ${{t}_{2}} = {\text{\;}}\pi $, выбрав величину $\nu = \sqrt {\nu _{1}^{2} + \nu _{2}^{2}} $. При этом в широком диапазоне волновых чисел отношение максимального значения профилирующей функции на луче к ее минимально допустимому уровню просветления $\alpha _{2}^{2} \approx 0.004167$ заведомо будет превосходить величину $(\alpha _{1}^{2} + ~\alpha _{3}^{2}){\text{/}}(2\alpha _{2}^{2}) \approx 27.6$, которая является важнейшей характеристикой построенного таким образом фильтра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовано взаимодействие структур пространств электродинамических параметров адмитансов и электрических толщин слоев СДС. Объединение изложенных выше построений с полученными нами ранее результатами по детальному исследованию расположения нулей коэффициента отражения [8, 9] в зависимости от адмитансов материалов системы выводит математический аппарат решения задачи синтеза оптимальных полосовых фильтров на новый уровень.