Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 11, стр. 1076-1086

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Желаемое поведение энергетического коэффициента отражения или пропускания слоистой системы в заданной полосе волновых чисел $\left[ {{{\mathcal{K}}_{1}},{{\mathcal{K}}_{2}}} \right]$ обычно задается спектральными характеристиками¹¹ $\tilde {R}\left( \kappa \right)$ и $\tilde {T}\left( \kappa \right)$ (см. соответствующие рисунки в [1]).

Математическая постановка задачи оптимального синтеза слоистооднородных диэлектрических систем (СДС) в смысле П.Л. Чебышева рассмотрена в [2]:

где $\vec {\nu }$– электрические толщины и $\vec {p}$ – импедансы всех слоев СДС.

В [1] рассмотрена математическая постановка задачи синтеза в виде

и эквивалентная указанной выше, исходной, упрощeнная постановка: где $F\left( {\kappa ,\vec {p},\vec {\nu }} \right)$ – профилирующая функция для СДС, $\tilde {F}\left( \kappa \right)$ – идеал для профилирующей функции, пересчитанный из идеала для коэффициента отражения $\tilde {R}\left( \kappa \right)$ или пропускания $\tilde {T}\left( \kappa \right)$ (см. [1, 2]), а $\vec {\nu }$ – элементы пространства ${{\mathcal{N}}_{N}}$ – электрических толщин и $\vec {p}$ – импедансы слоев СДС – элементы параллелепипеда ${{{\mathbf{P}}}_{N}}$ из пространства импедансов ${{\mathcal{P}}_{N}}$ материалов.

Последние постановки задач синтеза СДС естественно называть задачами оптимизации в смысле П.Л. Чебышева с ограничениями.

Получены принципиальные для теории и практики СДС результаты.

$1.$ Точные выражения для коэффициентов ${{\alpha }_{I}}$, $~I = \left( {{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{N}}} \right)$, ${{i}_{k}} = 0.1$ (I – двоичная запись индекса α_I) представлений числителя и знаменателя коэффициентов отражения $N$-слойных систем ($N - {\text{число\;слоев\;в\;системе}}$), которые в [3] названы вычислительными параметрами²² СДС, через основные параметры таких систем $\vec {\theta } = \left( {{{\theta }_{1}}, \ldots ,{{\theta }_{{N + 1}}}} \right)$, где ${{\theta }_{j}}$, $j = 1, \ldots ,N + 1$ – отношение импедансов слоев системы (номера $j = 0$ и $j = N + 1$ присвоены полупространствам, “окружающим” $N$-слойную СДС слева и справа).

$2.$ Формулы для выражения средних значений числителя и знаменателя энергетических коэффициентов отражения и пропускания через вычислительные параметры для любых $N$-слойных СДС, а также их компактные выражения через основные параметры СДС.

$3$. Показано, что средние и экстремальные значения профилирующих функций связаны с двумя типами метрики в пространстве вычислительных параметров СДС: а) среднеквадратической – для средних значений и б) чебышевской – для максимумов числителя и знаменателя $R\left( \kappa \right).$

$4.$ Приведены примеры совместного эффективного использования указанных новых понятий при решении задач синтеза просветляющих, антипросветляющих и полосовых фильтров для $N = 2$.

2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В [4] рассмотрена математическая постановка задачи о распространении через СДС (по нормали к ней) плоской электромагнитной волны и ее аналитическое решение. Введены порождающие функции СДС ${{\tau }_{s}}\mathop = \limits^{{\text{def}}} C_{s}^{{\left( 0 \right)}}\left( {\vec {\theta },{\text{\;}}\vec {t}} \right)$, $s = 0,1$, которые являются амплитудами падающей ($s = 0$) и отраженной ($s = 1$) волн в левом полупространстве, т.е. знаменателем и числителем коэффициента отражения от такой системы, где $\vec {\theta }$ – вектор отношений импедансов ${{p}_{j}} = \sqrt {{{\varepsilon }_{j}}{\text{/}}{{\mu }_{j}}} $, $j = 0,1, \ldots ,N,N + 1,{\text{\;}}$ соседних слоев: ${{\theta }_{j}} = {{p}_{j}}{\text{/}}{{p}_{{j - 1}}}$, $\vec {t} = \vec {\nu }\kappa $, $\kappa $ – волновое число, $~\vec {\nu }$ – вектор электрических толщин ${{\nu }_{j}} = \sqrt {{{\varepsilon }_{j}}{{\mu }_{j}}} $ каждого из слоев $j = 1, \ldots ,N$ системы.

Функции ${{\tau }_{s}}\mathop = \limits^{{\text{def}}} C_{s}^{{\left( 0 \right)}}\left( {\vec {\theta },{\text{\;}}\vec {t}} \right)$ названы порождающими, так как при различных выборах векторов $\vec {\theta }$, $\vec {\nu }$ они дают решение задачи анализа для любой СДС.

Экспоненциальные представления $C_{s}^{{\left( 0 \right)}}\left( {\vec {\theta },\vec {t}} \right)$ получаются при ${{j}_{{N + 1}}} = 0$:

где³³ $~ \oplus {\text{\;}}$ – сложение по модулю 2. Алгебраические представления таких функций: где $~{{x}_{k}} = {\text{cos}}\left( {{{t}_{k}}} \right)$, ${{y}_{k}} = {\text{sin}}\left( {{{t}_{k}}} \right)$, которые в силу обозначения являются $~2\pi $-периодическими по $~{{t}_{k}} = {{\nu }_{k}}\kappa ~{\text{\;}}\left( {k = 1,2} \right)$ функциями.

Введено понятие вычислительных параметров $~\vec {\alpha } = \left( {{{\alpha }_{0}}, \ldots ,{{\alpha }_{{{{2}^{N}} - 1}}}} \right)$ СДС, $\vec {\alpha } = \mathcal{H}{{\vec {Q}}}$, ${{\vec {Q}}} = \left( {{{Q}_{0}}, \ldots ,{{Q}_{{{{2}^{N}} - 1}}}} \right)$, где $\mathcal{H}$ – матрица Адамара ${\text{\;}}{{2}^{N}} \times {{2}^{N}}$.

Докажем принципиальные формулы, дающие точные выражения для вычислительных параметров ${{\alpha }_{I}},I = \left( {{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{N}}} \right),{\text{\;где\;}}{{i}_{s}} = 0,1$.⁴⁴ Для этого преобразуем определение вычислительных параметров:

где $J = \left( {{{j}_{0}},{{j}_{1}}, \ldots ,{{j}_{N}},{{j}_{{N + 1}}}} \right)$, ${{j}_{0}} = s,{\text{\;\;\;}}{{j}_{k}} = 0,1$,${\text{\;\;}}{{j}_{{N + 1}}}$ = 0, а ${\text{вектор}}$ $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{J} = \left( {{{j}_{1}}, \ldots ,{{j}_{N}}} \right)$, $ - {\text{\;укороченный\;}}J$, при помощи формулы суммирования по частям, применив еe к двоичным векторам $I,\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{J} $.

В результате преобразований получим

где ${{\tau }_{L}}\mathop = \limits^{{\text{def}}} \prod\nolimits_{s = 2}^{N + 1} {\theta _{s}^{{{{l}_{s}}}}} $, двоичный вектор L = (l₂, …, ${{l}_{{N + 1}}})\mathop = \limits^{{\text{def}}} L\left( I \right)\mathop = \limits^{{\text{def}}} {\mathbf{DI}}~$ является образом вектора $~{\mathbf{I}}$ (двоичного номера $~{{\alpha }_{I}}$) при применении к нему линейного оператора в виде двоичной матрицы: а вектор ${\mathbf{\bar {L}}}$ двоично противоположен к ${\mathbf{L}}$.

Из формулы (1) вытекает следующее базовое представление:

где использован символ $M\left[ {f\left( t \right)} \right]$ для среднего значения функции $f\left( t \right)$.

С помощью (2) получаем выражение указанной суммы через $\vec {\theta }$:

Из (5) и ортогональности матриц Адамара получаем для ${{\left\| {\vec {Q}} \right\|}^{2}}$:

что выражает среднее ${{\left| {C_{s}^{{\left( 0 \right)}}\left( {\vec {t}} \right)} \right|}^{2}}$ через среднее квадратов вычислительных параметров, пропорциональное квадрату нормы вектора $~\vec {\alpha }$ (см. рис. 4):

В [3] получена точная оценка профилирующих функций СДС:

правая часть которой является чебышевской нормой (см. рис. 5) в пространстве векторов – квадратов $\alpha _{I}^{2},{\text{\;\;}}I = 0, \ldots ,{{2}^{N}} - 1$ (индекс $I - $ десятичный номер с двоичным представлением $I = \left( {{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{N}}} \right),{\text{\;\;}}{{i}_{k}} = 0,1{\text{\;\;}})$.

2. КЛАССЫ СДС И ИХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

Для эффективного использования дополнительных ограничений, наложенных на электродинамические параметры $\vec {p} \in {{{\mathbf{P}}}_{N}} \subset {{\mathcal{P}}_{N}}$, для наглядности будем рассматривать случай $N = 2$, для него в [3] описано пространство параметров импедансов ${{\mathcal{P}}_{2}}$, которое при естественном ограничении: $\varepsilon > 0$, $\mu > 0$ оказалось плоским графом с $19$ конечными вершинами (${\text{одна}}$ вершина в бесконечности), 66 ребрами и 48 гранями, что свидетельствует о большом разнообразии всех СДС, даже при $N = 2$. (Здесь и далее везде под СДС будем понимать двухслойные СДС, специально оговаривая другие случаи.)

Граф ${{\mathcal{P}}_{2}}$ – пространство импедансов двухслойных СДС в исходных координатах ${{p}_{1}},{{p}_{2}}$ – представляет собой четверть плоскости: ${{p}_{1}} > 0$, ${{p}_{2}} > 0$, на которой часто изображают диаграмму Шустера [6], описывающую области существования нулей двухслойных СДС.

Определение. Показательными координатами в пространстве ${{\mathcal{P}}_{2}}$ будем называть пару чисел $\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right)$, удовлетворяющих определяющим их (при заданных величинах импедансов ${{p}_{0}},{{p}_{3}}$), соотношениям:

Граф ${{\mathcal{P}}_{2}}{\text{\;}}$в координатах ${{s}_{1}},{{s}_{2}}$ изображен на рис. 1.

Из (15) вытекает, что множество всех точек четверти плоскости параметров $\left( {{{p}_{1}},{{p}_{2}}} \right)$, – ${{\mathcal{P}}_{2}}$, получается при изменении $\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right)$ во всей плоскости: $ - \infty < {{s}_{i}} < + \infty ,~~i = 1,2,$ и соответствие (15) взаимнооднозначно.

Для различения двух указанных выше смыслов символа ${{\mathcal{P}}_{2}}$ будем писать дополнительную букву $\mathcal{G}$ сверху в обозначении пространства: $\mathcal{P}_{2}^{\mathcal{G}}$.

В силу взаимной однозначности отображения (15): $\left( {{{p}_{1}},{{p}_{2}}} \right) \in {{\mathcal{P}}_{2}}{\text{\;\;}} \leftrightarrow \left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right) \in \mathcal{P}_{2}^{\mathcal{G}}$ геометрическая структура исходной четверти плоскости (p₁, p₂) полностью сохраняется на рис. 1, с точностью до “распрямления” некоторых кривых второго порядка.

Лемма. Имеют место принципиальные тождества сравнения:

Доказательство формул леммы проводится вычислением разностей квадратов α_j, j = 1, 2, 3 по определению вычислительных параметров.

Теорема. (О перечислении граней и основных свойств графа 𝒫₂)

$1$. 𝒫₂ имеет 48 граней, которые на рис. 1 обозначены подстановками: (ijkl) и $\left( {\overline {ijkl} } \right)$⁵⁵, в зависимости от того содержит или нет данная грань внутренние точки диаграммы Шустера. Классы СДС, соответствующие граням, устойчивы в том смысле, что малые вариации $\left( {{{p}_{1}},{{p}_{2}}} \right)$ или $\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right)$, не выводящие за пределы грани, мало меняют свойства этих СДС, т.к. мало меняют их вычислительные параметры.

$2$. 66 классов СДС, отвечающих ребрам графа ${\text{G}}$, относительно устойчивы в том смысле, что малые вариации $\left( {{{p}_{1}},{{p}_{2}}} \right)$ или $\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right){\text{\;}}$вдоль ребра мало меняют свойства СДС, так как мало меняют их вычислительные параметры. Вариации же $~\left( {{{p}_{1}},{{p}_{2}}} \right)$ или $\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right)$ в перпендикулярном ребру направлении могут существенно менять некоторые свойства СДС.

Системы, относящиеся к ребрам вырождения, являются однослойными.

$3$. Девятнадцать классов формально “двухслойных” СДС, отвечающих вершинам графа ${\mathbf{G}},~$ являются “фантомными”, поскольку имеют теоретическое значение, состоят ровно из одной СДС в каждом классе и абсолютно неустойчивы, так как сколь угодно малые вариации $\left( {{{p}_{1}},{{p}_{2}}} \right)$ или $\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right)$, выводят за пределы данного класса систем. Точки ${\text{I'}},{\text{II'}},{\text{III'}}$, отвечают нульслойным системам.

Замечание 1. На рис. 1 три жирные линии вырождения$~{{V}_{j}}$: ${{\theta }_{j}} = 1$ (на них $\alpha _{j}^{2} = \alpha _{0}^{2}$ и $\alpha _{i}^{2} = \alpha _{l}^{2}$, $i \ne j,0,l$) образуют треугольник вырождения ${\text{I'}},{\text{II'}},{\text{III'}}$. Три полужирные линии ${{U}_{j}}$, двойственные к линиям вырождения – ${{\theta }_{j}} = \theta $ (на них $\alpha _{j}^{2} = \alpha _{0}^{2}$), – образуют большой треугольник $~{\text{I}},{\text{II}},{\text{III}}$. Три тонкие линии ${{N}_{j}}{\text{\;}}$ стационарных нулей: ${{\theta }_{j}} = {{\theta }^{{1/2}}}$ (на них ${{\alpha }_{j}} = 0$), образуют малый треугольник 1, 2, 3. Кроме того, нанесены три медианы треугольников$~{{M}_{j}}$: $~~~{{\theta }_{i}} = {{\theta }_{j}}$ (на них $\alpha _{j}^{2} = \alpha _{k}^{2}$). Условие существования нулей выполнено внутри и на границах малого треугольника и его внешних углов, что соответствует диаграмме Шустера.

Замечание 2. Свойства графа ${\mathbf{G}}$ использованы нами при решении оптимизационных задач синтеза просветляющих покрытий, диэлектрических зеркал (антипросветляющих покрытий) и полосовых фильтров на базе СДС. Принципиальным является факт “неоднородности” квадрата ограничений ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}:$

изображенного на рис. 2 в показательных координатах ${{s}_{1}},{{s}_{2}}$, который получается преобразованием координат (15) из исходного квадрата ограничений ${{{\mathbf{P}}}_{2}}:$

Свою “неоднородную” структуру $~{\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$ наследует от $~\mathcal{P}_{2}^{\mathcal{S}}{\kern 1pt} :$ каждая часть грани $~\mathcal{P}_{2}^{\mathcal{S}}{\kern 1pt} :$, попадающая в $~{\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$, определяет подкласс одного из классов $\left( {ijkl} \right)$ или $\left( {\overline {ijkl} } \right)$ (см. рис. 1). Попадание внутрь ограничений $\hat {s},\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{s} $, соответствующих $\hat {p},\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} $, существенно зависит от величины этих ограничений (см. объяснения ниже). Классы же двухслойных СДС введены в [2, 3], где $i,j,k,l = 0,1,2,3$ – различные между собой целые числа.

Количество различных подклассов СДС, образующих ${{{\mathbf{P}}}_{2}}$, существенно зависит от величины ограничений снизу $\hat {p}$ и сверху $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} $.

На рис. 2 представлен важный случай, когда ограничение $~\hat {p}{\text{\;}}$ больше “характерной” величины $\sqrt {{{p}_{0}}{{p}_{3}}} $, а $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} $ для ${{{\mathbf{P}}}_{2}}$ удовлетворяет неравенству $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} > {{p}_{3}}$, где ${{p}_{3}}$ – импеданс правого полупространства. При этом рис. 2 полезно представить включенным в серию аналогичных рисунков: первый вариант $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} < {{p}_{3}}$, второй ${{p}_{3}} < \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} < \sqrt {p_{3}^{3}{\text{/}}{{p}_{0}}} $, третий $\sqrt {p_{3}^{3}{\text{/}}{{p}_{0}}} < \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} < p_{3}^{2}{\text{/}}{{p}_{0}}$ и, наконец, четвертый $p_{3}^{2}{\text{/}}{{p}_{0}} < \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} $. Важно, что не меньшее число вариантов по составу “реальных” классов СДС, входящих в $~{\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$, получается при вариации нижней границы $\hat {p}$ квадрата ограничений ${{{\mathbf{P}}}_{2}}$.

3. ОСНОВНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СДС ($N = 2$)

Если в основной системе (при $N = 2$) (см. [2, 3]) принять: $C_{0}^{{\left( 3 \right)}} = 1$ и $C_{0}^{{\left( 3 \right)}} = 0$, то система имеет единственное решение и числитель и знаменатель амплитудного коэффициента отражения $~r\left( \omega \right)$ являются элементами первого столбца произведения матриц передачи ${{{\mathbf{T}}}_{1}},{{{\mathbf{T}}}_{2}},{{{\mathbf{T}}}_{3}}$, где ${{T}_{j}} = {{({{B}_{{j - 1}}})}^{{ - 1}}}{{B}_{j}}{{S}_{j}}\left( {{{\nu }_{j}}\omega } \right)$, и, если в матрицах обозначить: ${{\nu }_{1}}\omega = {\text{\;}}{{t}_{1}},{{\nu }_{2}}\omega = {\text{\;}}{{t}_{2}}$ (см. (8)), то естественно ввести следующее определение.

Определение. Порождающими функциями СДС будем называть:

где коэффициенты $Q_{j}^{{\left( s \right)}}$, $j = 0,1,2,3$, $s = 0,1$:

Замечание. В силу (18) при значении каждого относительного параметра ${{\theta }_{j}} = 1$, $j = 1,2,3$, одна из пар коэффициентов $Q_{j}^{{\left( s \right)}},Q_{k}^{{\left( s \right)}},j \ne k$ в (17) обращается в нуль, что означает вырождение СДС в однослойную.

Замечание. При выборе конкретных значений ${{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}}{\text{\;}}$ в (8) формула (6) порождает семейства амплитуд $C_{s}^{{\left( 0 \right)}}\left( \omega \right),{\text{\;}}s = 0,1$, для конкретной СДС.

Определение. Профилирующие функции СДС имеют вид

Числитель (s = 1) и знаменатель (s = 0) ${{\left| {C_{s}^{{\left( 0 \right)}}\left( {{{\nu }_{1}}\omega ,{{\nu }_{2}}\omega } \right)} \right|}^{2}}$ энергетического коэффициента отражения $R\left( \omega \right)$ СДС получаются из $~{{F}_{s}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ при подстановке в них (8) с конкретными значениями $~{{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}}$. Коэффициенты этих квадратичных по паре переменных ${{x}_{j}},{{y}_{j}}$ (${{x}_{j}} = {\text{cos}}{\kern 1pt} {{\nu }_{j}}\omega $, ${{y}_{j}} = {\text{sin}}{{\nu }_{j}}\omega $), $\left( {j = 1,2} \right)$ форм выражаются через “вычислительные” параметры СДС ${{\vec {\alpha }}_{{\mathbf{s}}}} = \left( {\alpha _{0}^{{\left( s \right)}},\alpha _{1}^{{\left( s \right)}},\alpha _{2}^{{\left( s \right)}},\alpha _{3}^{{\left( s \right)}}} \right)$, а вектор ${{\vec {\alpha }}_{s}}$ линейным преобразованием

связан с вектором ${{\vec {Q}}_{s}}$ коэффициентов Фурье этих квадратичных форм: где $\mathcal{H}$ — матрица Адамара $4 \times 4$.

Определение. (4) будем называть исходной формой профилирующих функций СДС.

Замечание. F_s(t₁, t₂), s = 0, 1, представляют собой семейства функций, зависящих от параметров ${{p}_{1}},{{p}_{2}}$ через коэффициенты$~\alpha _{j}^{{\left( s \right)}}$, $j = 1,2,3$.

Функции ${{F}_{0}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ и ${{F}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ связаны между собой тождеством:

Поэтому, по-существу, мы имеем дело с одной профилирующей функцией, ${{F}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ и будем, в случае необходимости, называть ее базовой.

Замечание. В нуль может обращаться только ${{F}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$, а ${{F}_{0}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ в точках, где ${{F}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right) = 0$, принимает свое минимальное значение $\theta > 0$.

Базовую функцию СДС можно записать в виде

где вектор $\vec {u} = {{(u,v)}^{T}}$ (^T – знак транспонирования) является значением двух линейных преобразований ${{{\mathbf{A}}}_{1}}{{\vec {x}}_{1}} = \vec {u}$, ${{{\mathbf{A}}}_{2}}{{\vec {x}}_{2}} = \vec {u}$, матрицы операторов ${{{\mathbf{A}}}_{1}},{{{\mathbf{A}}}_{2}}$ которых имеют вид а участвующие в (18) параметры ${{\alpha }_{j}},j = 0,1,2,3$ записаны для $s = 1$.

В работе также используется развернутая форма записи ${{F}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$:

где ${{B}_{3}} = 1{\text{/}}2\left( {{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} - {{\alpha }_{0}}{{\alpha }_{3}}} \right)$, и форма записи пониженной степени: коэффициенты которой: $\vec {A} = {{\left( {{{A}_{0}},{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}} \right)}^{T}}$ – квадратичные формы от $\vec {\alpha }$: с диагональными матрицами ${{I}_{j}},{\text{\;}}\left( {j = 0,1,2,3} \right)$, диагонали которых – столбцы матрицы Адамара $4 \times 4$.

Учитывая (20) при $s = 1$, получаем коэффициенты $~{{A}_{j}}{\text{\;\;}}\left( {j = 0,1,2,3} \right)$:

которые имеют мультипликативную структуру, как в (14), относительно квадратов параметров ${{\theta }_{j}}\left( {j = 1,2,3} \right)$: в силу чего, знаки ${{A}_{k}},k = 1,2,3$ тесно связаны со структурой графа ${\mathbf{G}}$.

Для доказательств утверждений в работе использованы еще три квадратичные формы от ${{Q}_{j}}\left( {j = 0,1,2,3} \right)$:

для которых справедливы мультипликативные представления:

4. СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ ПРОСВЕТЛЕНИЯ ${{F}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ ПРИ РАЗНЫХ $\vec {p} \in \mathcal{P}_{2}^{\mathcal{S}}$

Определение. Функция ${{F}_{{\vec {p}}}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ при данном $\vec {p}$ имеет область просветления $~G_{{\vec {p}}}^{j}$ в ее $j$-м периоде ${{T}_{j}}$, если $\forall \vec {t} \in G_{{\vec {p}}}^{j} \subset {{T}_{j}}:{\text{\;}}{{F}_{{\vec {p}}}}\left( {\vec {t}} \right) < \alpha _{0}^{2}$.

Областей просветления счетное множество (если они существуют!). При $a = \alpha _{1}^{2} - \alpha _{0}^{2}$, $c = \alpha _{2}^{2} - \alpha _{0}^{2}$, $d = \alpha _{3}^{2} - \alpha _{0}^{2}$ граница ${{G}_{{\vec {p}}}}$ имеет вид:

где $b = {{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} - {{\alpha }_{0}}{{\alpha }_{3}}$. Граница ${{G}_{{\vec {p}}}}$ имеет разный характер в зависимости от того, какому из $133$ конечных элементов графа ${{\mathcal{P}}_{2}}$ принадлежит точка $\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right)$. Однако для всех внутренних точек трапеций ${\text{I}},{\text{II}},{\text{III}}$ на рис. 1 области просветления существуют, и их граница во всех случаях является гиперболой на вспомогательной плоскости переменных $\xi = {{t}_{1}},\eta = {{t}_{2}}$.

Лемма о структуре областей просветления в $T_{0}^{2}$ для граней $\mathcal{P}_{2}^{\mathcal{S}}$.

$1$. Для областей $\left( {0jkl} \right)$ на рис. 1, где $j,k,l = 1,2,3$, область просветления ${{G}_{{\vec {p}}}}{\text{\;}}$ двухсвязна и имеет “каплевидный” характер.

$2.$ Для областей $\left( {i0kl} \right)$, где $i,k,l = 1,2,3$, область просветления ${{G}_{{\vec {p}}}}$ имеет полувершинный характер (охватывает одну полувершину $T_{0}^{2}$).

$3$. Для областей $\left( {ij0l} \right)$, где $i,j,l = 1,2,3$, область просветления ${{G}_{{\vec {p}}}}$ имеет предтотальный характер, охватывая две полувершины $T_{0}^{2}$.

$4$. Для областей $\left( {ijk0} \right)$, где $i,j,k = 1,2,3$, область просветления ${{G}_{{\vec {p}}}}$ имеет тотальный характер, захватывая весь $T_{0}^{2}{\text{\;}}$за исключением его вершин.

Доказательство леммы проводить не будем, а проиллюстрируем ее содержание одним типичным изображением области просветления с кодом$~\left( {2301} \right)$, принципиальным для данной статьи, так как часть именно этой и аналогичной ей по своим свойствам области $~\left( {3201} \right){\text{\;}}$параметров попадает внутрь квадрата ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$ на рис. 2.

Замечание. Структура областей просветления для областей параметров с кодом$~\left( {\overline {ijkl} } \right)$ (для которых просветление существует) такая же, как областей просветления для параметров с кодом $~\left( {ijkl} \right),$ с тем же набором целых чисел $i,j,k,l$ , и описана в лемме, но с важным отличием – внутри таких областей просветления нет нулей профилирующей функции, а ее минимальное значение достигается в полувершине, отвечающей минимальному $\alpha _{i}^{2}$.

На рис. 3 кроме границ области просветления нанесены также линии, ограничивающие области, внутри которых профилирующая функция не превосходит одного из базовых уровней: ${{F}_{{\vec {p}}}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right) \leqslant \alpha _{j}^{2},{\text{\;\;}}j = 1,2,3$. А также те линии, вдоль которых профилирующая функция ${{F}_{{\vec {p}}}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ достигает своего максимального и минимального значений при изменении только одного параметра: ${{t}_{1}}$ по горизонтали или ${{t}_{2}}$ по вертикали. В точке пересечения линий минимумов (горизонтального и вертикального) внутри квадрата периодов располагается нуль профилирующей функции ${{F}_{{\vec {p}}}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$.

5. ВКЛЮЧЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЙ ПРИ РАЗНЫХ $\vec {p} \in \mathcal{P}_{2}^{\mathcal{S}}$

В теореме О перечислении граней и основных свойств графа $\mathcal{P}_{2}^{\mathcal{S}}$, рассмотрены все 133 класса двухслойных СДС. Однако большая часть теоретически возможных СДС до сих пор остается недоступной для практического применения. Для задач синтеза из-за реально присутствующих в постановке таких задач ограничений на величины импедансов используемых материалов единственно доступной частью пространства импедансов СДС является его пересечение с квадратом ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$, который задает типичные для задач синтеза ограничения: $\hat {p} \leqslant {{p}_{1}} \leqslant \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} ,$ $\hat {p} \leqslant {{p}_{2}} \leqslant \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} $ в координатах ${{s}_{1}},{{s}_{2}}$ при значении ограничивающих параметров $\hat {s} = 1{\text{/}}8$, $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{s} = 3{\text{/}}4$, соответствующих $\hat {p} > \sqrt {{{p}_{0}}{{p}_{3}}} $, $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} > {{p}_{3}}{\text{\;\;}}({\text{см}}.{\text{\;}}$ рис. 2). Как видно из рисунка, квадрат ограничений ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}:\left\{ {\hat {s} \leqslant {{s}_{1}},{{s}_{2}} \leqslant \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{s} } \right\}$ пересекается при различных величинах $\left\{ {\hat {p},\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{p} } \right\}$ примерно с четвертью граней ${{\mathcal{P}}_{2}}$, примыкающих к точке $~{\text{II'}}$. В варианте на рис. 2 таких граней десять.

Части классов $\left( {\overline {2310} } \right)$ и $\left( {\overline {2130} } \right)$ СДС, попадающие в ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$, в соответствии с работой [3] хорошо приспособлены для решения задач просветления на больших и очень больших интервалах частот, так как все такие СДС обладают просветляющим свойством: ${\mathbf{R}}\left( \omega \right) < {{{\mathbf{R}}}_{F}}$ (${{{\mathbf{R}}}_{F}}$ – коэффициент отражения Френеля) для всех частот, не попадающих в счетное число исключительных, определяемых вершинами квадратов периодов профилирующей функции, для которых произведение соответствующего волнового числа на вектор электрических толщин $\vec {\nu } = \left( {{{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}}} \right)$ попадает в какую-либо вершину какого-либо квадрата периодов.

Части классов $\left( {\overline {0312} } \right)$ и $\left( {\overline {0132} } \right)$ СДС, попадающие в ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$, хорошо приспособлены для решения задач антипросветления на больших и очень больших интервалах частот, так как СДС с такими параметрами обладают антипросветляющим свойством: ${\mathbf{R}}\left( \omega \right) > {{{\mathbf{R}}}_{F}}$ для всех частот, не попадающих в счетное число исключительных, определяемых, как в задаче просветления.

Части же классов $\left( {\overline {1203} } \right)$, $\left( {\overline {1023} } \right)$ и $\left( {\overline {3201} } \right)$, $\left( {\overline {3021} } \right)$ СДС, попадающие в ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$, можно использовать для решения задач фильтрации, просветления или антипросветления, не получая, вообще говоря, оптимальных решений.

Профилирующие функции$~{{F}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right){\text{\;}}$СДС классов $~\left( {2301} \right)$ и $\left( {3201} \right){\text{\;}}$из ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$ имеют два нуля внутри квадрата периодов. Они оптимально решают задачу просветления на заданной частоте $~{{\omega }_{0}}$, а также задачу просветления в смысле П.Л. Чебышева с ограничениями для небольшого интервала частот.

Оптимальность указанных чебышевских систем объясняется тем, что СДС, получаемые при реализации в других классах ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$, ограничены по уровню доставляемого ими просветления ${{\gamma }_{{{\text{min}}}}}{\text{\;}}$ снизу величиной $\alpha _{2}^{2} > 0$ для класса $\left( {2301} \right)$, величиной $\alpha _{3}^{2} > 0$ для $\left( {3201} \right)$ или другим $~\alpha _{j}^{2} > 0$.

Замечание. Рисунки 4 и 5 помогают ставить и решать задачи синтеза и в других постановках. Например, задача наилучшего просветления в смысле среднего значения профилирующей функции с указанными на рис. 2 ограничениями имеет единственное решение с параметрами $({{s}_{1}},{{s}_{{2{\text{\;}}}}})$, определяющими радиус среднеквадратической квазиокружности с рис. 4, касающейся левой границы ${{s}_{1}} = \hat {s}~{\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$. Чебышевская квазиокружность с наименьшим возможным радиусом, совместимая с ограничениями ${{{\mathbf{P}}}_{2}}$, “касается” левой стороны ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$ в точке $s_{1}^{{\text{*}}} = \hat {s}$, $s_{2}^{{\text{*}}} = 1{\text{/}}2\hat {s} + 1{\text{/}}4$. Задача наилучшего антипросветления в смысле среднего значения профилирующей функции с указанными на рис. 4 ограничениями имеет единственное решение с параметрами ${{s}_{1}} = \hat {s}$,$~{{s}_{2}} = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{s} $ – координатами нижней правой вершины квадрата ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$, определяющей радиус наибольшей среднеквадратической квазиокружности с рис. 4, пересекающей квадрат ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$. Квазиокружности рис. 5 незаменимы при оценках возможных уровней отсечки сверху $~{{\gamma }_{{\max {\text{\;}}}}}$ полосовых или режекторных фильтров, так как для их реализации необходимо выполнение строгого неравенства: ${{\gamma }_{{{\text{max}}}}} < \alpha _{{{\text{max}}}}^{2}$.

Из рис. 5 следует, например, вывод о том, что в рамках ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$ величина $j$ может принимать значения 1 или 3, но не 2, так как для классов $\left( {\overline {0132} } \right)$ и $\left( {\overline {0312} } \right)$ соответствующие СДС не будут иметь ни одной области просветления, что для фильтров недопустимо. Допускаемая фиксированным квадратом ограничений максимальная величина радиуса чебышевской квазиокружности достигается в нижней правой вершине ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$, имеющей координаты ${{s}_{1}} = \hat {s}$, ${{s}_{2}} = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{s} $, так как эта точка определяет радиус такой квазиокружности, представленной на рис. 5, еще пересекающей ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$. При этом величина наибольшего радиуса будет $\alpha _{3}^{2}$ для этой точки, что больше, чем радиус подобной квазиокружности, но с максимально возможным значением $\alpha _{1}^{2}$, которое достигается в любой точке верхней границы ${\mathbf{P}}_{2}^{\mathcal{S}}$ при ${{s}_{2}} = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{s} $.

Для практического решения задач просветления, антипросветления и синтеза двухслойных полосовых фильтров предлагается использовать обобщенные и модифицированные методы углового сканирования и подвижного отрезка, ранее описанные и успешно примененные к глобальным задачам просветления и антипросветления в [2, 5, 7].