Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 3, стр. 225-233
Исследование характеристик распространения ультракоротких радиоволн в неоднородной тропосфере для трилинейной модели индекса преломления. Теоретическая часть
В. А. Светличный a, О. В. Смирнова a, *
a СПИИРАН – Научно-техническое Бюро Высоких Технологий
199178 Санкт-Петербург, 14-я линия Васильевского острова, 39, Российская Федерация
* E-mail: sov@oogis.ru
Поступила в редакцию 23.03.2021
После доработки 19.07.2021
Принята к публикации 07.09.2021
- EDN: IWMEPB
- DOI: 10.31857/S0033849422030147
Аннотация
Построено аналитическое решение задачи о поле вертикального электрического и магнитного диполя в неоднородной тропосфере над импедансной поверхностью для трилинейной модели вертикального профиля индекса преломления. Задача решена в декартовой системе координат, кривизна Земного шара учитывается в параболическом приближении. Выполнено асимптотическое исследование характеристического уравнения и показано, что корни горизонтальной ветви спектра нормальных волн существуют при любых знаках градиента индекса преломления в первых двух участках трилинейного профиля. Выявлено ограничение применимости параболического приближения для учета кривизны Земли в подобных задачах.
Данная работа продолжает исследование характеристик распространения УКВ-радиоволн в неоднородной по высоте тропосфере на основе метода нормальных волн и нового метода численного нахождения корней характеристического уравнения, начатое в работе [1]. В ней использована более сложная трилинейная модель вертикального профиля индекса преломления тропосферы. Ранее она была применена в работах [2–4], однако в них аналитическая часть решения граничной задачи не была доведена до расчетных формул в той форме, которая является канонической для поля в слоистой тропосфере [5], и в указанных публикациях недостаточно информации о результатах исследования спектра нормальных волн, а также особенностей формирования поля в данной задаче. Необходимость подобного исследования, на наш взгляд, обусловлена тем, что, несмотря на большое количество публикаций, посвященных изучению характеристик распространения радиоволн в неоднородной тропосфере, закономерности формирования поля в различных условиях выяснены далеко не в полной мере. Метод нормальных волн подходит для этой цели в большей степени, чем широко применяющиеся для расчета поля численные пошаговые методы решения волнового параболического уравнения [6, 7].
В работе использована декартова система координат с осью $z$, направленной вертикально вверх, кривизна земного шара учитывается в параболическом приближении линейно растущей с высотой $z$ добавкой к обычному индексу преломления $N\left( z \right)$. Соответственно, вертикальный профиль модифицированного индекса преломления тропосферы описывается выражением
(1)
$M\left( z \right) = \left\{ \begin{gathered} {{N}_{1}} + {{g}_{1}}z,\,\,\,\,0 \leqslant z \leqslant {{h}_{1}} \hfill \\ {{N}_{2}} + {{g}_{2}}z,\,\,\,\,{{h}_{{\text{1}}}} \leqslant z \leqslant {{h}_{2}} \hfill \\ {{g}_{3}}z,\,\,\,\,{\text{ }}z > {{h}_{2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$(2)
$\begin{gathered} {{N}_{1}} = N\left( 0 \right) - N\left( {{{h}_{2}}} \right) - {{{\tilde {g}}}_{3}}{{h}_{2}}; \\ {{N}_{2}} = - \left[ {\frac{{N\left( {{{h}_{2}}} \right) - N\left( {{{h}_{1}}} \right)}}{{{{h}_{2}} - {{h}_{1}}}} + {{{\tilde {g}}}_{3}}} \right]{{h}_{2}}; \\ {{g}_{1}} = \frac{{N\left( {{{h}_{1}}} \right) - N\left( 0 \right)}}{{{{h}_{1}}}} + \frac{1}{a}; \\ {{g}_{2}} = \frac{{N\left( {{{h}_{2}}} \right) - N\left( {{{h}_{1}}} \right)}}{{{{h}_{2}} - {{h}_{1}}}} + \frac{1}{a};\,\,\,\,{{g}_{3}} = \frac{1}{a} - {{{\tilde {g}}}_{3}}; \\ \end{gathered} $В качестве источника поля выбраны точечный вертикальный электрический или магнитный диполь, расположенный на высоте ${{z}_{0}}$, зависимость поля от времени – гармоническая exp(–iωt), поле описывается при помощи однокомпонентного векторного потенциала Герца $\Pi \left( {\vec {r},z} \right)$, который удовлетворяет уравнению Гельмгольца
(3)
$\Delta \Pi + k_{0}^{2}\left[ {1 + 2M\left( z \right)} \right]\Pi = - {{M}_{{ст\,0}}}\delta \left( {\vec {r}} \right)\delta \left( {z - {{z}_{0}}} \right),$Для решения поставленной граничной задачи применим преобразование Фурье по горизонтальным координатам:
(4)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}{{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {t,y,{{y}_{0}}} \right)}}{{d{{y}^{2}}}} - \left( {t - {{y}_{1}} - p_{1}^{3}y} \right){{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {t,y,{{y}_{0}}} \right) = \\ = - \frac{{{{M}_{{ст0}}}{{m}_{e}}}}{{4{{\pi }^{2}}{{k}_{0}}}}\delta \left( {y - {{y}_{0}}} \right); \\ \frac{{{{d}^{2}}{{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( 2 \right)}}}\left( {t,y,{{y}_{0}}} \right)}}{{d{{y}^{2}}}} - \left( {t - {{y}_{2}} - p_{2}^{3}y} \right){{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( 2 \right)}}}\left( {t,y,{{y}_{0}}} \right) = 0; \\ \frac{{{{d}^{2}}{{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( 3 \right)}}}\left( {t,y,{{y}_{0}}} \right)}}{{d{{y}^{2}}}} - \left( {t - y} \right){{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( 3 \right)}}}\left( {t,y,{{y}_{0}}} \right) = 0, \\ \end{gathered} $(5)
${{\left[ {\frac{{d{{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {t;y,{{y}_{0}}} \right)}}{{dy}} + q{{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {t;y,{{y}_{0}}} \right)} \right]}_{{y = 0}}} = 0$(6)
$\begin{gathered} {{\Pi }^{{\left( 1 \right)}}}\left( {r;y,{{y}_{0}}} \right) = \frac{{i{{M}_{{ст\,0}}}{{m}_{e}}}}{{8{{\pi }^{2}}{{k}_{0}}{{p}_{1}}}}\int {{{d}^{2}}\vec {\kappa }\frac{{\exp \left( {i\vec {\kappa }\vec {r}} \right)}}{{1 - R{}_{1}\left( t \right){{R}_{2}}\left( t \right)}}} \times \\ \times \,\,\left[ {{{w}_{1}}\left( {\frac{{t - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}{{y}_{ > }}} \right) - } \right.\left. {{{R}_{2}}\left( t \right){{w}_{2}}\left( {\frac{{t - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}{{y}_{ > }}} \right)} \right] \times \\ \times \,\,\left[ {{{w}_{2}}\left( {\frac{{t - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}{{y}_{ < }}} \right) - {{R}_{1}}\left( t \right){{w}_{1}}\left( {\frac{{t - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}{{y}_{ < }}} \right)} \right], \\ 0 \leqslant y \leqslant {{y}_{{h1}}}; \\ \end{gathered} $(7)
$\begin{gathered} {{\Pi }^{{\left( 2 \right)}}}\left( {r;y,{{y}_{0}}} \right) = \frac{{{{M}_{{ст\,0}}}{{m}_{e}}}}{{4{{\pi }^{2}}{{k}_{0}}{{p}_{2}}}}\int {{{d}^{2}}\vec {\kappa }\frac{{\exp \left( {i\vec {\kappa }\vec {r}} \right)}}{{1 - R{}_{1}\left( t \right){{R}_{2}}\left( t \right)}}} \times \\ \times \,\,\left[ {{{w}_{1}}\left( {\frac{{t - {{y}_{2}}}}{{p_{2}^{2}}} - {{p}_{2}}y} \right) - {{{\tilde {\tilde {R}}}}_{2}}\left( t \right){{w}_{2}}\left( {\frac{{t - {{y}_{2}}}}{{p_{2}^{2}}} - {{p}_{2}}y} \right)} \right] \times \\ \times \,\,\left[ {{{w}_{2}}\left( {\frac{{t - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}{{y}_{0}}} \right) - {{R}_{1}}\left( t \right){{w}_{1}}\left( {\frac{{t - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}{{y}_{0}}} \right)} \right] \times \\ \times \,\,\frac{{F_{{12}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)}}{{{{Z}_{2}}\left( t \right)}},\,\,\,{\text{ }}{{y}_{{h1}}} \leqslant y \leqslant {{y}_{{h2}}}; \\ \end{gathered} $(8)
$\begin{gathered} {{\Pi }^{{\left( 3 \right)}}}\left( {r;y,{{y}_{0}}} \right) = - \frac{{i{{M}_{{ст\,0}}}{{m}_{e}}}}{{2{{\pi }^{2}}{{k}_{0}}{{p}_{2}}}} \times \\ \times \,\,\int {{{d}^{2}}\vec {\kappa }\frac{{\exp \left( {i\vec {\kappa }\vec {r}} \right)}}{{1 - R{}_{1}\left( t \right){{R}_{2}}\left( t \right)}}} \frac{{{{w}_{1}}\left( {t - y} \right)}}{{{{Z}_{2}}\left( t \right)}} \times \\ \times \,\,\left[ {{{w}_{2}}\left( {\frac{{t - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}{{y}_{0}}} \right) - {{R}_{1}}\left( t \right){{w}_{1}}\left( {\frac{{t - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}{{y}_{0}}} \right)} \right], \\ y \geqslant {{y}_{{h2}}}; \\ \end{gathered} $(9)
$\begin{gathered} {{R}_{1}}\left( t \right) = \frac{{F_{2}^{{\left( 0 \right)}}\left( t \right)}}{{F_{1}^{{\left( 0 \right)}}\left( t \right)}}; \\ {{R}_{2}}\left( t \right) = \frac{{F_{{12}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)F_{{11}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right) - F_{{11}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)F_{{21}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right)}}{{F_{{12}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)F_{{12}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right) - F_{{11}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)F_{{22}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right)}}; \\ {{{\tilde {\tilde {R}}}}_{2}}\left( t \right) = \frac{{F_{{11}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)}}{{F_{{12}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)}}; \\ {{Z}_{2}}\left( t \right) = F_{{12}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)F_{{12}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right) - F_{{11}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)F_{{22}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right); \\ \end{gathered} $(10)
$\begin{gathered} F_{{nm}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right) = w_{n}^{'}\left( {{{{\tilde {t}}}_{2}}} \right){{w}_{m}}\left( {{{{\tilde {t}}}_{1}}} \right) - \frac{{{{p}_{1}}}}{{{{p}_{2}}}}{{w}_{n}}\left( {{{{\tilde {t}}}_{2}}} \right)w_{m}^{'}\left( {{{{\tilde {t}}}_{1}}} \right); \hfill \\ F_{{nm}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right) = \frac{1}{{{{p}_{2}}}}w_{n}^{'}\left( {{{{\tilde {t}}}_{4}}} \right){{w}_{m}}\left( {{{{\tilde {t}}}_{3}}} \right) - {{w}_{n}}\left( {{{{\tilde {t}}}_{4}}} \right)w_{m}^{'}\left( {{{{\tilde {t}}}_{3}}} \right); \hfill \\ F_{n}^{{\left( 0 \right)}}\left( t \right) = w_{n}^{'}\left( {{{{\tilde {t}}}_{0}}} \right) - \frac{q}{{{{p}_{1}}}}{{w}_{n}}\left( {{{{\tilde {t}}}_{0}}} \right),_{{}}^{{}} \hfill \\ \end{gathered} $Интегралы в (6)–(8) сводятся к однократным, поскольку те части подынтегральных функций, которые являются функциями спектральной переменной $t$, не зависят от угловой переменной на плоскости двумерных волновых векторов $\vec {\kappa }$:
(11)
$\begin{gathered} {{\Pi }^{{\left( j \right)}}}\left( {r;y,{{y}_{0}}} \right) = \int {{{d}^{2}}\vec {\kappa }\exp \left( {i\vec {\kappa }\vec {r}} \right){{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( j \right)}}}\left( {t;y,{{y}_{0}}} \right)} = \\ = \pi \int\limits_{ - \infty }^\infty {d\kappa {\kern 1pt} \kappa {\kern 1pt} H_{0}^{{\left( 1 \right)}}\left( {\kappa r} \right){{{\tilde {\Pi }}}^{{\left( j \right)}}}\left( {t;y,{{y}_{0}}} \right)} . \\ \end{gathered} $После этого переходим к переменной интегрирования $t = {{m_{e}^{2}\left( {{{\kappa }^{2}} - k_{0}^{2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{m_{e}^{2}\left( {{{\kappa }^{2}} - k_{0}^{2}} \right)} {k_{0}^{2}}}} \right. \kern-0em} {k_{0}^{2}}}$. Ветвь корня в обратном преобразовании $\kappa = {{k}_{0}}\sqrt {1 + {t \mathord{\left/ {\vphantom {t {m_{e}^{2}}}} \right. \kern-0em} {m_{e}^{2}}}} $ фиксируем условием $\operatorname{Im} \sqrt {t + m_{e}^{2}} \geqslant 0$, для чего на комплексной плоскости $\left( t \right)$ проведем разрез так, как показано на рис. 2. Исходный контур интегрирования ${{\Gamma }_{0}}$ охватывает разрез и обходит его по часовой стрелке. Поскольку при такой фиксации ветви корня мнимая часть аргумента функции Ганкеля на всей комплексной плоскости $\left( t \right)$ больше нуля и эта функция стремится к нулю при $t \to \infty $, то возникает идея “разогнуть” исходный контур в прямую $\left( { - \infty + i0,\infty + i0} \right)$, а затем вычислить интеграл с помощью леммы Жордана, замкнув его полуокружностью бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости. Каких-либо других точек ветвления подынтегральная функция не имеет; из физических соображений ясно, что полюсов в нижней полуплоскости (т.е. корней характеристического уравнения $1 - {{R}_{1}}\left( t \right){{R}_{2}}\left( t \right) = 0$) не может быть (см. ниже). Однако при этом остальная часть подынтегральной функции должна обеспечить возможность указанной деформации исходного контура и замыкания его в верхней полуплоскости. Для этого было исследовано ее поведение при $t \to \infty $ как в нижней, так и верхней полуплоскости $\left( t \right)$ с использованием асимптотических разложений для функций Эйри. Поскольку это исследование довольно громоздко, соответствующие результаты вынесены в Приложение. В итоге было установлено, что рассматриваемые части подынтегральных функций в (6)–(8) не препятствуют описанной выше деформации исходного контура интегрирования в нижней полуплоскости $\operatorname{Im} t < 0$, так как они быстро убывают при $t \to \infty $. Иное положение имеет место в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} t > 0$. Здесь функции ${{\tilde {\Pi }}^{{\left( {1,2} \right)}}}\left( {t;y,{{y}_{0}}} \right)$ стремятся к нулю при $t \to \infty $, тогда как ${{\tilde {\Pi }}^{{\left( 3 \right)}}}\left( {t;y,{{y}_{0}}} \right)$ стремится к нулю только в секторе $0 \leqslant \arg t \leqslant {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 3}} \right. \kern-0em} 3}$ и растет в секторе ${\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 3}} \right. \kern-0em} 3} < \arg t \leqslant \pi $ при достаточно больших $y$ как $t\exp \left[ {\left( {y + {{y}_{0}} - 2{{y}_{{h2}}}} \right)\sqrt t } \right]$ (см. Приложение, формула (П.6)). Заметим, однако, что интеграл по развернутому контуру $\left( { - \infty + i0,\infty + i0} \right)$ сходится, в том числе на левом конце интервала интегрирования, где функции ${{\tilde {\Pi }}^{{\left( {1,2,3} \right)}}}\left( {t;y,{{y}_{0}}} \right)$ убывают как ${{t}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$. Тем не менее из-за стремления к нулю функции Ганкеля при $t \to \infty $
Следует отметить, что выявленное ограничение возможности применения леммы Жордана характерно уже для задачи о поле источника над сферической подстилающей поверхностью в однородной тропосфере, если ее решать в рассматриваемом приближении. В конечном счете, это связано с ограниченной применимостью метода учета кривизны Земли в параболическом приближении – строго говоря, необходимо решать задачу в сферической системе координат, и лишь на последнем этапе асимптотически упрощать полученные расчетные формулы для того, чтобы легче было находить корни характеристического уравнения и получать другие численные результаты. В случае однородной тропосферы можно обосновать возможность применения леммы Жордана при решении задачи в сферической системе координат, используя асимптотики Дебая для функций Риккати–Бесселя, но при этом нужно учитывать явление Стокса. Однако возможности построения аналитического решения задачи в сферической системе координат для различных профилей $N\left( z \right)$ весьма ограничены, а в то же время рассматриваемый подход имеет широкую область применимости, позволяющую решать различные прикладные вопросы.
После вычисления интегралов по вычетам аргумент функции Ганкеля в подынтегральных выражениях упрощается:
(12)
$\Pi \left( {r;y,{{y}_{0}}} \right) = \frac{{{{M}_{{ст\,0}}}}}{{4\pi }}\frac{{\exp \left( {i{{k}_{0}}r} \right)}}{r}V\left( {x;y,{{y}_{0}}} \right),$(13)
$V\left( {x;y,{{y}_{0}}} \right) = 2\sqrt {i\pi x} \sum\limits_{s = 1}^\infty {{{\Lambda }_{s}}\exp \left( {i{{t}_{s}}x} \right){{f}_{s}}\left( y \right){{f}_{s}}\left( {{{y}_{0}}} \right)} .$(14)
$\begin{gathered} {{f}_{s}}\left( y \right) \equiv f_{s}^{{\left( 1 \right)}}\left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}y} \right) = \\ = \frac{i}{2}\left[ {F_{1}^{{\left( 0 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right){{w}_{2}}\left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}y} \right)} \right. - \\ \left. { - \,\,\,\,F_{2}^{{\left( 0 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right){{w}_{1}}\left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - {{p}_{1}}y} \right)} \right],\,\,\,0 \leqslant y \leqslant {{y}_{{h1}}}; \\ {{f}_{s}}\left( y \right) \equiv f_{s}^{{\left( 2 \right)}}\left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{2}}}}{{p_{2}^{2}}} - {{p}_{2}}y} \right) = \\ = \frac{1}{4}\left\{ {\left[ {F_{{22}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right)F_{1}^{{\left( 0 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right) - F_{{21}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right)F_{2}^{{\left( 0 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right)} \right] \times \frac{{^{{}}}}{{_{{}}}}} \right. \\ \times \,\,{{w}_{1}}\left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{2}}}}{{p_{2}^{2}}} - {{p}_{2}}y} \right) - \\ - \left[ {F_{{12}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right)F_{1}^{{\left( 0 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right) - F_{{11}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right)F_{2}^{{\left( 0 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right)} \right] \times \\ \times \,\,\left. {{{w}_{2}}\left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{2}}}}{{p_{2}^{2}}} - {{p}_{2}}y} \right)} \right\},\,\,\,\,{{y}_{{h1}}} \leqslant y \leqslant {{y}_{{h2}}}; \\ {{f}_{s}}\left( y \right) \equiv f_{s}^{{\left( 3 \right)}}\left( {{{t}_{s}} - y} \right) = \\ = 2i\frac{{{{p}_{1}}}}{{{{p}_{2}}}}\frac{{F_{2}^{{\left( 0 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right){{w}_{1}}\left( {{{t}_{s}} - y} \right)}}{{F_{{12}}^{{\left( 2 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right)F_{{12}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right) - F_{{11}}^{{\left( 2 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right)F_{{22}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{t}_{s}}} \right)}},\,\,\,y \geqslant {{y}_{{h2}}}, \\ \end{gathered} $(15)
$\begin{gathered} \Lambda _{s}^{{ - 1}} = \frac{1}{{{{p}_{1}}}}\left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{2}}} - \frac{{{{q}^{2}}}}{{p_{1}^{2}}}} \right) + \left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{2}}}}{{p_{2}^{3}}} - \frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{1}}}}{{p_{1}^{3}}}} \right) \times \\ \times \,\,{{\left[ {f_{s}^{{\left( 2 \right)}}\left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{2}}}}{{p_{2}^{2}}} - {{p}_{2}}{{y}_{{h1}}}} \right)} \right]}^{2}} + p_{1}^{2}\left( {\frac{1}{{p_{1}^{3}}} - \frac{1}{{p_{2}^{3}}}} \right) \times \\ \times \,\,{{\left[ {f_{s}^{{\left( 2 \right)'}}\left( {\frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{2}}}}{{p_{2}^{2}}} - {{p}_{2}}{{y}_{{h1}}}} \right)} \right]}^{2}} + \left( {{{t}_{s}} - \frac{{{{t}_{s}} - {{y}_{2}}}}{{p_{2}^{3}}}} \right) \times \\ \times \,\,{{\left[ {f_{s}^{{\left( 3 \right)}}\left( {{{t}_{s}} - {{y}_{{h2}}}} \right)} \right]}^{2}} + \left( {\frac{1}{{p_{2}^{3}}} - 1} \right){{\left[ {f_{s}^{{\left( 3 \right)'}}\left( {{{t}_{s}} - {{y}_{{h2}}}} \right)} \right]}^{2}}. \\ \end{gathered} $Штрихи у высотных множителей в (15) означают производную по полным аргументам тех функций Эйри в них, которые зависят от переменной высоты $y$. Попутно отметим, что высотные множители непрерывны вместе с первой производной по переменной $y$ при переходе через границы слоев $y = {{y}_{{h1,2}}}$.
Вид представления (13) функции ослабления в данной задаче полностью соответствует общей записи этой функции для поля в слоистой среде в работе В.А. Фока [5]. Более того, оказалось, что выражение (15) для коэффициентов возбуждения нормальных волн, которое сначала было получено в данной работе в результате описанного хода решения задачи и преобразований полученных выражений, может быть выведено гораздо проще с помощью формулы, которая следует из [5, с. 305, формула (6.27)]:
(16)
$\Lambda _{s}^{{ - 1}} = \int\limits_0^{\infty \exp \left( {{{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 3}} \right. \kern-0em} 3}} \right)} {f_{s}^{2}\left( y \right)dy} ,$(17)
$\int\limits_a^b {{{W}^{2}}\left( {\tilde {y}} \right)d\tilde {y}} = \left. {\left\{ {\tilde {y}{{W}^{2}}\left( {\tilde {y}} \right) - {{{\left[ {\frac{{dW\left( {\tilde {y}} \right)}}{{d\tilde {y}}}} \right]}}^{2}}} \right\}} \right|_{a}^{b},$Характеристическое уравнение 1 – R1(t)R2(t) = 0 данной задачи, которое служит для нахождения комплексных постоянных распространения нормальных волн (спектра), целесообразно записать в следующем виде:
(18)
$\begin{gathered} D\left( t \right) \equiv F_{{12}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)\left[ {F_{{12}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right)F_{1}^{{\left( 0 \right)}}\left( t \right) - F_{{11}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right)F_{2}^{{\left( 0 \right)}}\left( t \right)} \right] - \\ - \,\,F_{{11}}^{{\left( 2 \right)}}\left( t \right)\left[ {F_{{22}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right)F_{1}^{{\left( 0 \right)}}\left( t \right) - F_{{21}}^{{\left( 1 \right)}}\left( t \right)F_{2}^{{\left( 0 \right)}}\left( t \right)} \right] = 0. \\ \end{gathered} $В Приложении выводятся асимптотические формулы для подынтегральных функций ${{\tilde {\Pi }}^{{\left( j \right)}}}\left( {t;y,{{y}_{0}}} \right)$ и выполняется асимптотический анализ корней характеристического уравнения задачи при $\left| t \right| \gg 1$.
Вторая часть работы будет посвящена численному исследованию спектра нормальных волн в данной задаче, а также особенностей формирования поля в зависимости от длины радиоволны, высоты расположения источника и параметров тропосферы.
Список литературы
Светличный В.А., Смирнова О.В. // РЭ. 2018. Т. 63. № 7. С. 682.
Marcus S.W. // Radio Sci. 1982. V. 17. № 5. P. 895.
Baumgartner G.B., Jr. XWVG: A Waveguide Program for Trilinear Tropospheric Ducts. Technical document № 610. San Diego, CA: NCCOSC RDT&E Div., 1983.
Baumgartner G.B., Hitney H.V., Pappert R.A. // IEE Proc. 1983. V. 130. Pt. F. № 7. P. 630.
Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970.
Barrios A.E. // IEEE Trans. 1992. V. AP-40. № 7. P. 791.
Dockery G.D., Kuttler J.R. // IEEE Trans. 1996. V. AP-44. № 12. P. 1592.
Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965.
Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника