Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 3, стр. 303-312

ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о релятивистских потоках с прямолинейными траекториями, в том числе об одномерных релятивистских диодах, занимал исследователей, начиная с середины прошлого века. В работах [1, 2] показано, что моноэнергетические пучки при учете собственного магнитного поля не могут существовать в диодах с плоской, цилиндрической или сферической геометрией. Однако модели, в которых принимается во внимание только релятивистская форма интеграла энергии, из-за своей простоты успешно конкурировали с немногочисленными точными решениями со строгим учетом собственного магнитного поля и эмитирующими поверхностями в виде полуплоскости или спирального цилиндра [3]. Наиболее простая задача о плоском диоде привлекала наибольшее внимание. Распределение потенциала $\varphi = \varphi \left( z \right)$ в этом случае в релятивистской нормировке, исключающей из уравнений пучка все физические постоянные используемой системы единиц, описывается уравнением

где J – плотность тока эмиссии.

В работе [4] решение получено в параметрической форме с использованием интеграла Якоби, в [5] оно выражено через эллиптические интегралы. Расчет функции ${{\varphi }}\left( z \right)$ приведен в работе [6], а в более подробном виде – в [7], где релятивистский диод играл роль вспомогательной задачи при определении коэффициента усиления электронного тока в биполярном диоде с релятивистскими электронами. Ультрарелятивистское приближение с линейной зависимостью плотности тока от потенциала, приводимое во всех монографиях, имеющих отношение к интенсивным релятивистским пучкам, также основано на приближении (1).

Аналогичные (1) модели цилиндрического и сферического диодов описываются уравнениями

где ${{R}_{0}}$, ${{r}_{0}}$ – радиусы катодов.

Обзор ранних работ по этим задачам приведен в [8], причем решение в них строилось в виде рядов, в лучшем случае медленно сходящихся. Подробный численный анализ сферического диода выполнен в работе [9].

Предположение об отсутствии зависимости от координаты, изменяющейся в направлении движения, позволило описать течение очень общего вида [10] с одной компонентой скорости ${{v}_{z}} = {{v}_{z}}\left( {x,y} \right)$ при учете собственного магнитного поля

где $\Psi $, f – произвольные функции, причем вторая из них – гармоническая. Частный случай решения (3), соответствующий моноэнергетическому течению, приведен в [11].

Радиальное движение с прямолинейными траекториями в сферических координатах r, $\theta $, $\psi $, описывающее конический поток бриллюэновского типа с ${{v}_{r}} = {{v}_{r}}\left( \theta \right)$, исследовано в работах [12, 13]:

В монографии [14] этот электронный поток получил название парапотенциального.

Приближенный характер моделей (1), (2), и не только в релятивистском случае, ставил вопрос о противоречивости одномерной модели, ответом на который стала формулировка условий возможности пренебречь действием собственного магнитного поля. Обзор ранее известных результатов с их оценкой и предложением новых моделей (модель периферической частицы и параксиальная модель) приведен в работах [7, 15] для плоского диода. Критерий справедливости одномерного рассмотрения был сформулирован исходя из требования малого возмущения траектории электрона под действием собственного магнитного поля с учетом стабилизирующего эффекта внешнего продольного магнитного поля и сведен к ограничениям на относительные размеры пучка. В работах [9, 15] аналогичное исследование выполнено для сферического диода.

В работе [16] при рассмотрении электронных потоков, описываемых трехмерной параксиальной теорией В.Н. Данилова [17], обнаружено, что требование постоянства сечения пучка приводит к распределению потенциала на оси, отличному от (1), причем этот факт связан с учетом в [17] собственного магнитного поля:

Принимая во внимание приближенный характер параксиального подхода, интересно выяснить смысл этого результата. Во всяком случае ясно, что хотя бы частичный учет эффекта может привести к более обоснованным ограничениям, чем те, которые сформулированы в [7, 15] для модели (1). Имеет смысл распространить рассмотрение также на цилиндрический и сферический диоды.

1. АДЕКВАТНОСТЬ МОДЕЛИ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ С УЧЕТОМ СОБСТВЕННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Аппаратом для решения этой задачи является геометризованная теория плотных электронных пучков [18], наиболее полное изложение которой содержат монографии [19, 20]. В отличие от параксиальной теории геометризованный подход позволяет построить точное соотношение на трубке тока для эмиссии, ограниченной пространственным зарядом или температурой, при произвольной ориентации магнитного поля $\vec {H}$ на катоде, причем член, содержащий плотность тока эмиссии, имеет ту же форму, что и в (5).

Классические параксиальные модели обеспечивают выполнение условий термоэмиссии в ${{\rho }}$-режиме только при специальной ориентации $\vec {H}$:

где L, M, N – компоненты напряженности магнитного поля в системе ${{x}^{1}}$, ${{x}^{2}}$, ${{x}^{3}}$, связанной с геометрией течения: ${{x}^{1}}$ – продольная координата на трубке тока ${{x}^{2}} = {\text{const}}$, ${{x}^{3}} = \psi $ – азимут или ${{x}^{3}} = x$ для плоских пучков; индекс ноль соответствует величинам на катоде ${{x}^{1}} = 0$. Произвольная ориентация магнитного поля обеспечивается благодаря локально неортогональной системе ${{x}^{1}}$, ${{x}^{2}}$ в меридиональной плоскости R, z (или y, z для плоских течений) с метрикой вида Здесь ${{\theta }_{{12}}}$ – угол между осями ${{x}^{1}}$, ${{x}^{2}}$. В исследуемых задачах нас интересует собственное азимутальное магнитное поле ${{H}_{\psi }} = N$ (или ${{H}_{x}} = N$). Недиагональный элемент метрического тензора определен выражением причем в формулу (8) включена гасящая экспонента, обеспечивающая трансформацию системы к ортогональной.

Соотношение на трубке тока при отсутствии внешнего магнитного поля принимает вид

В формуле (9) величина θ определяет угол между осями ${{x}^{1}}$ и z; ${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$ – главные кривизны поверхности ${{x}^{2}} = {\text{const}}$; u – скорость, ${{E}_{\nu }}$ – нормальное электрическое поле на трубке тока; ${{h}_{{20}}}$, ${{h}_{{30}}}$ – значения функций ${{h}_{2}}$, ${{h}_{3}}$ на катоде ${{x}^{1}}$= 0. Для частных производных по ${{x}^{1}}$, ${{x}^{2}}$ приняты следующие сокращенные обозначения:

Слагаемое с плотностью тока J в (9) образовано разностью членов, описывающих действие пространственного заряда ${{\rho }}$ и учет собственного магнитного поля посредством уравнения ${\text{rot}}{\kern 1pt} \vec {H} = {{\rho }}\vec {v}$. Отношение второго члена к первому определено функцией [19, 20]

Слагаемое с ${{N}^{2}}$ существует и в нерелятивистском случае и обязано своим возникновением фрагменту силы Лоренца, в котором учтен “шир” продольной скорости, пропорциональный N. Член с $E_{\nu }^{2}$, порождающий слагаемое ${{u}^{2}}{{N}^{2}}$, имеет исключительно релятивистский характер и тот же знак в (9), что и член с пространственным зарядом, и описывает тем самым эффект релятивистского антипинча.

Таким образом, в дальнейшем будем говорить о возможности пренебрежения двумя последними эффектами (члены, содержащие квадрат собственного поля ${{N}^{2}}$) при учете поперечных градиентов в уравнении для ${\text{rot}}{\kern 1pt} \vec {H}$.

В случае сплошных осесимметричных и плоскосимметричных пучков соотношение на вырожденной трубке тока – оси $z$ – описывается формулой [19–21]

где значения ${{\alpha }}$, ${{\beta }}$ соответствуют указанным случаям.

Уравнение (9) при заданных параметрах трубки тока (${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$, $\theta $), пучка (${{\varphi }}$, N, J ) и способе отсчета продольной координаты (${{h}_{1}}$) позволяет рассчитать функцию ${{h}_{2}}({{x}^{1}})$; при заданной метрике (7) оно становится уравнением для потенциала φ.

Заранее неочевидная возможность существования периферической трубки тока с прямолинейной границей не противоречит точным уравнениям пучка. Уравнение (12) при распределении потенциала на оси (5) и аналогичном распределении для осесимметричных потоков имеет точное решение вида ${{h}_{2}} = {{c}_{1}}{{x}^{1}} + {{c}_{0}}$, для которого производная кривизны трубки тока на оси ${{k}_{{1,2}}} = {{h}_{{2,11}}} = 0$. В результате близкая к оси трубка тока ${{x}^{2}} = {\text{const}}$ также имеет нулевую кривизну.

Ленточный пучок рассматривается в декартовых координатах

Цилиндрической трубке тока соответствуют выражения

Клиновидная граница пучка определена формулами

Для конической поверхности $\theta = {{\theta }_{0}}$ имеем

Уравнение (9) для периферической трубки тока в случае ленточного и цилиндрического пучков принимает вид

Для клиновидного потока получаем

Граница конического пучка описывается уравнением

Уравнения (17)–(19) для периферической трубки тока совпадают с уравнением на оси пучка (12) и не отличаются от соотношений (1), (2) с модифицированной в соответствии с (5) правой частью, если можно пренебречь неортогональностью системы и слагаемым с квадратом собственного магнитного поля ${{N}^{2}}$.

Оценить первый фактор можно, используя прикатодные асимптотики входящих в уравнения (17)–(19) величин, ответственных за неортогональность системы [18–21]:

Легко видеть, что неортогональные члены и слагаемое с магнитным полем вблизи катода имеют порядок ${{{{\xi }}}^{0}}$ и много меньше членов порядка ${{{{\xi }}}^{{{{ - 2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 2} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ со второй производной потенциала и члена с J.

Необходимыми условиями одномерного течения являются требования однородности плотности тока эмиссии J и постоянства кривизны ${{\kappa }_{1}}$ эмитирующей поверхности.

В работе [22] сформулированы выражения для производных ${{J}_{{,22}}}$, ${{J}_{{,2222}}}$ и ${{\kappa }_{{1,22}}}$ на оси z, определенные формулами

Между коэффициентами разложения потенциала ${{\varphi }}$ (${{{{\varphi }}}_{{10}}}$, ${{{{\varphi }}}_{{13}}}$) и функции ${{h}_{2}}$ (${{\bar {b}}_{6}}$, ${{\bar {b}}_{9}}$) существуют связи, приведенные ниже для плоскосимметричных и осесимметричных потоков:

Антипараксиальные разложения [19, 20] при эмиссии в ${{\rho }}$-режиме обладают тем свойством, что произвольно заданные коэффициенты осевого распределения потенциала ${{{{\varphi }}}_{4}}$, ${{{{\varphi }}}_{7}}$, ${{{{\varphi }}}_{{10}}}$, ${{{{\varphi }}}_{{13}}}$, ${{{{\varphi }}}_{{16}}}$ определяют соответственно следующие величины, описывающие характер физической задачи: J, ${{\kappa }_{1}}$, ${{J}_{{,22}}}$, ${{\kappa }_{{1,22}}}$, ${{J}_{{,2222}}}$. Коэффициенты ${{{{\varphi }}}_{{4 + k + 1}}}$, ${{{{\varphi }}}_{{4 + k + 2}}}$, k = 0, 1,…, расположенные между ${{{{\varphi }}}_{{4 + k}}}$ и ${{{{\varphi }}}_{{4 + k + 3}}}$, не могут быть заданы произвольно, но жестко определены и зависят от компонент магнитного поля на катоде, а при больших значениях индекса – еще и от ранее введенных произвольных элементов ${{{{\varphi }}}_{{4 + k}}}$. Из формул (22) видно, что регламентированные коэффициенты не входят в описание величин ${{\bar {b}}_{6}}$, ${{\bar {b}}_{9}}$, в то время как коэффициент ${{\bar {b}}_{{12}}}$ в выражении для ${{J}_{{,2222}}}$ в [22] от них зависит.

При рассмотрении точных уравнений пучка и приближенной модели типа (5) с одинаковыми значениями произвольно задаваемых параметров регламентированные коэффициенты разложений будут иметь разные значения.

Уравнение (5) для плоского диода вблизи стартовой поверхности $z = 0$ имеет следующее решение:

Уравнение сферического диода, аналогичное уравнению (5), и его локальное решение при эмиссии со сферы $r = {{r}_{0}}$ определены формулами

Построение решения точных уравнений пучка [22] с коэффициентами ${{{{\varphi }}}_{7}}$, ${{{{\varphi }}}_{{10}}}$, ${{{{\varphi }}}_{{13}}}$ из (23), (24) приводит к следующему результату:

Различие регламентированных коэффициентов при сравнении функций ${{{{\varphi }}}_{{ap}}}$, ${{{{\varphi }}}_{{ex}}}$ в (23)–(25) очевидно.

По изложенным причинам нет возможности воспользоваться результатами [22] и сформулировать условие малости члена $\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {24}}} \right. \kern-0em} {24}}} \right){{\bar {J}}_{{,2222}}}{{\eta }^{4}}$, $\eta \equiv {{b}_{0}}{{x}^{2}}$ по сравнению с единицей, что привело бы к ограничению на величину ${{J}^{2}}{{\eta }^{4}}$.

Однако подстановка коэффициентов ${{{{\varphi }}}_{7}}$, ${{{{\varphi }}}_{{10}}}$, ${{{{\varphi }}}_{{13}}}$ из (23), (24) в формулы (21), (22) приводит к нулевым значениям производных плотности тока и кривизны катода на оси, и это результат, соответствующий точным уравнениям пучка:

Вдали от особенности можно пренебречь магнитным полем в уравнениях (17)–(19), если

где $G = 1$, ${{{{R}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{0}}} R}} \right. \kern-0em} R}$, ${{r_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{r_{0}^{2}} {{{r}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}^{2}}}}$ для соответствующих потоков.

Продолжение оценок основано на выражениях для собственного магнитного поля в предположении о прямолинейном движении зарядов:

где а – полуширина ленточного пучка или радиус цилиндрического потока; ${{\psi }_{0}}$, ${{\theta }_{0}}$ – полураствор и раствор клиновидного и конического пучков соответственно.

В случае ленточного пучка условие (27) для плотности тока J и тока с “квадрата” ${{I}_{\square }} = J{{a}^{2}}$ принимает вид

Входящая в формулы (29) функция F достигает максимума ${{F}_{m}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ при ${{\varphi }} = \sqrt 2 - 1$ (рис. 1).

Для цилиндрического пучка аналогичные (29) формулы выглядят следующим образом:

Параметры клиновидного пучка должны удовлетворять условиям

В случае конического пучка имеем

Для перехода к размерным величинам в формулах (28)–(32) необходимо провести следующие замены:

где ${{\varepsilon }_{0}}$ – диэлектрическая постоянная вакуума, с – скорость света, $\eta = {e \mathord{\left/ {\vphantom {e m}} \right. \kern-0em} m}$ – удельный заряд электрона, $L{{{\kern 1pt} }_{*}}$ – выбранный масштаб длины; потенциал нормируется на ${{{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}} \eta }} \right. \kern-0em} \eta } \approx 500$ кВ.

Приведем численные оценки критериев (29)–(32) при ${{L}_{{{\kern 1pt} *}}} = a = {{R}_{0}} = {{r}_{0}} = 1$ см. Характерные значения плотности тока и тока численно совпадают, ${{I}_{*}} = 1335$ А. Вдали от особенности, где в оценках присутствует функция F, заменим ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 F}} \right. \kern-0em} F}$ ее минимальным значением (${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 F}} \right. \kern-0em} F}$ = 2), чтобы усилить неравенства. Для ленточного пучка критерий (29) принимает вид

В случае цилиндрического пучка получаем

Клиновидному пучку с компрессией ${{{{R}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{0}}} R}} \right. \kern-0em} R} = 5$ и “квадратом” $R \times {{{\pi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\pi }} 3}} \right. \kern-0em} 3}$ соответствует неравенство

Для сферического диода при ${{\theta }_{0}} = 60^\circ $ ограничения (32) принимают вид

2. ПЛОСКИЕ ДИОДЫ С ИОННЫМ ФОНТАНОМ ПРИ УЧЕТЕ СОБСТВЕННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Работа [23] посвящена исследованию эффекта увеличения коэффициента усиления электронного тока в униполярном и биполярном плоских диодах за счет использования ионного фонтана – ионов, инжектируемых через проницаемый термокатод. При этом плотность электронного тока с катода соответствовала модели (1). Анализ тех же задач на основании модели (5) с учетом собственного магнитного поля представляет очевидный интерес.

Отметим символами С, В, А катод, плоскость отражения ионов и анод. Потенциал ${{\varphi }}$ удовлетворяет уравнениям

где ${{J}_{e}}$, ${{J}_{{iB}}}$, ${{J}_{i}}$ – плотность тока электронов, фонтана и ионного тока с анода соответственно, ${{z}_{B}}$ – координата плоскости отражения ионов; длины нормированы на расстояние между электродами; в униполярном диоде ${{\alpha }} = 0$.

Первые интегралы уравнений (38) при условии сопряжения по полю при $z = {{z}_{B}}$ описываются выражениями

Повторное интегрирование определяет неявную зависимость потенциала от координаты

Условия эмиссии в ${{\rho }}$-режиме выполнены в (39) на катоде, потребуем, чтобы они имели место и в плоскостях В, А:

В результате величины ${{{{J}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{i}}} {{{J}_{e}}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{e}}}}$, ${{{{J}_{{iB}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{{iB}}}} {{{J}_{e}}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{e}}}}$ выражаются через потенциалы ${{{{\varphi }}}_{B}}$, ${{{{\varphi }}}_{A}}$ следующим образом:

Отнесем потенциал к значению на аноде

и введем новые обозначения:

Интегралы в (40) в результате перенормировки примут вид

Запишем соотношения (40), (45) при $z = {{z}_{B}}$ и $z = 1$:

Плотность электронного тока, коэффициент усиления ${{K}_{e}}$ по отношению к току релятивистского диода по модели (1) и координата плоскости отражения ${{z}_{B}}$ ионного фонтана описываются формулами

На рис. 2 приведены результаты расчетов для униполярного диода с ионным фонтаном при различных значениях потенциала анода в интервале (0.1,…,2). Аналогичные кривые для биполярного диода демонстрирует рис. 3. В табл. 1 представлены данные о коэффициенте усиления ${{K}_{e}}$ и координате плоскости отражения ионов ${{z}_{B}}$ в случае униполярного диода при нескольких значениях потенциала анода ${{{{\varphi }}}_{A}}$ и потенциала инжекции ионов ${{{{\varphi }}}_{B}}$. Таблица 2 содержит сравнение этих параметров при ${{{{\varphi }}}_{A}} = 2$ для моделей (1) [23] и (5). Таблицы 3, 4 соответствуют биполярному диоду, причем табл. 3 аналогична табл. 1, а в табл. 4 проведено сравнение максимального коэффициента усиления ${{K}_{{em}}}$ для нескольких значений ${{{{\varphi }}}_{A}}$ по моделям (1) [23] и (5) с указанием соответствующих величин ${{{{\varphi }}}_{B}}$, ${{z}_{B}}$.

Из сопоставления результатов видно, что коэффициент усиления ${{K}_{e}}$ при учете собственного магнитного поля растет по мере увеличения потенциала анода, а плоскость отражения ионов приближается к катоду. Максимальный коэффициент усиления примерно в три раза больше по сравнению со случаем, когда собственное магнитное поле не принимается во внимание. Сказанное справедливо как для униполярного, так и для биполярного потоков.

Отметим, что модель (5) не имеет ультрарелятивистского приближения, так как уравнение (5) при ${{\varphi }} \to \infty $ принимает вид

и не может быть привязано к катоду. Соотнесение с анодом вводит в формулы неизвестное значение поля на аноде и по этой причине представляется бесполезным. Впрочем, как отмечалось в работе [9], ультрарелятивистское приближение модели (1) не имеет практического смысла из-за чрезвычайно медленного стремления к пределу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Модели одномерных релятивистских диодов при учете поперечных градиентов собственного магнитного поля, описываемых уравнениями Максвелла, и принебрежении эффектами пинча и релятивистского антипинча приводят к распределению потенциала на оси пучка, которое обеспечивает равенство нулю вторых производных плотности тока эмиссии и кривизны катода и тем самым реализует в окрестности оси необходимое условие одномерного движения: $J = {\text{const}}$, ${{\kappa }_{1}} = {\text{const}}$. Сформулированы ограничения на ток пучка при различных конфигурациях потока, позволяющие пренебречь упомянутыми эффектами.

Решение задачи об усилении электронного тока в релятивистской области для плоских униполярного и биполярного диодов с ионным фонтаном показывает, что учет собственного магнитного поля приводит к трехкратному увеличению мощности при том же ускоряющем напряжении.