Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 6, стр. 615-624

ВВЕДЕНИЕ

Геометризованная теория, основанная на введении заранее неизвестной неортогональной системы координат ${{x}^{i}}$ (i = 1, 2, 3), связанной с траекториями или трубками тока, в наиболее полном виде изложена в монографиях [1, 2]. Там же приведено минимальное количество сведений из тензорного анализа и дифференциальной геометрии координатных поверхностей, необходимое для понимания и использования результатов этого подхода.

При синтезе непараксиальных потоков на базовой траектории или трубке тока роль продольной координаты играет [1, 2] длина дуги l соответствующей кривой или любая функция l. По этой причине удобно говорить о l-представлении или l-варианте теории. В работе [3] при тестировании двумерных геометризованных моделей на полном наборе точных решений уравнений пучка с аддитивным и мультипликативным разделением переменных обнаружено, что точность приближенного решения может возрастать, если в качестве продольной координаты ${{x}^{1}}$ использовать потенциал электрического поля $\varphi $: ${{x}^{1}} = \varphi $. При этом подходе делается еще один шаг от физической постановки к полной геометризации задачи, сводящейся к нахождению системы координат (ее метрического тензора ${{{\text{g}}}_{{ik}}}$), а модель естественно назвать $\varphi $-вариантом теории [4–6].

Релятивистские потоки с потенциальным вектором $\vec {P}$ обобщенного импульса $\vec {P} = \nabla W$ позволяют сформулировать еще один вариант модели с потенциалом W (действием) в качестве продольной координаты (W-представление).

Зависимость точности приближенного решения от способа измерения продольной координаты известна, помимо [3], в теории антипараксиальных разложений [1, 2] (понятие оптимального параметра, логарифм радиуса в классических решениях И. Лэнгмюра для цилиндрического и сферического диодов). Кроме того, в работе [3] обнаружено существенное влияние на точность решения способа отсчета поперечной координаты.

Построение W-варианта геометризованной теории, связанной, как и предыдущие модели [1, 2, 4–6], с действительными характеристиками [7] системы дифференциальных уравнений интенсивного электронного пучка в частных производных, которое является целью работы, поставляет новый материал, относящийся к формулировке наиболее эффективных приближенных моделей синтеза плотных непараксиальных потоков, обладающих не меньшими возможностями [8–10], чем численные модели.

Частным случаем потенциального течения является электронный пучок с катодом, экранированным от магнитного поля.

1. УРАВНЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО РЕЛЯТИВИСТСКОГО ПОТОКА

Трехмерные течения. Стационарный потенциальный моноэнергетический пучок в произвольной системе координат ${{x}^{i}}$ с метрическим тензором ${{{\text{g}}}_{{ik}}}$ описывается уравнениями движения и уравнениями Максвелла для самосогласованного электромагнитного поля. В релятивистской нормировке [1, 2], исключающей из уравнений все физические константы используемой системы единиц, имеем

Замыкается система (1) тремя тождествами Ляме, содержащими вторые производные по продольной координате от элементов ${{{\text{g}}}_{{22}}}$, ${{{\text{g}}}_{{33}}}$, ${{{\text{g}}}_{{23}}}$ метрического тензора, которые выражают факт эвклидовости пространства и приведены в [4].

Помимо уравнений (1) полезны следующие из них уравнение сохранения тока, уравнения для ${\text{div}}\vec {H}$ и ${\text{rot}}{\kern 1pt} \vec {P}$:

В формулах (1), (2) использованы следующие обозначения: $\vec {p}$ – импульс частицы; $\varphi $, $\rho $ – скалярный потенциал электрического поля и плотность пространственного заряда; $\vec {H}$, $\vec {A}$ – напряженность магнитного поля и векторный потенциал; ${{g}^{{ik}}}$ – контравариантный метрический тензор; тильдой отмечены члены, исчезающие в нерелятивистском пределе; индекс после запятой означает частную производную по соответствующей координате:

Не ограничивая общности, доопределим векторный потенциал $\vec {A}$ условием

Диагональные элементы метрического тензора ${{g}_{{11}}}$, ${{g}_{{22}}}$, ${{g}_{{33}}}$ удобно определить через функции ${{h}_{k}}$, становящиеся в случае ортогональной системы коэффициентами Ляме:

Геометризованные уравнения пучка для потенциальных потоков при наличии магнитного поля возможны только в варианте с трубками тока ${{x}^{2}} = const$, так как координатные линии ${{x}^{1}} = W$ не совпадают с траекториями:

Введем косоугольные проекции L, M, N вектора $\vec {H}$ и u, w вектора скорости ${\vec {v}}$ на касательные к координатным осям

Детерминант метрического тензора определен выражением

где ${{\theta }_{{ab}}}$ – угол между осями ${{x}^{a}}$ и ${{x}^{b}}$.

2. СТРУКТУРА РЕШЕНИЯ

Эмиссия в $\rho $-режиме. В l-варианте теории [1, 2] при эмиссии в $\rho $-режиме структура метрики и параметров потока определена рядами по ${{l}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ с главными членами вида

При переходе от ${{x}^{1}}$ к новой продольной координате ${{\bar {x}}^{1}} = W({{x}^{i}})$ прежние координаты выражаются через новые при помощи соотношений

Квадрат расстояния ${{\left( {ds} \right)}^{2}}$ между двумя бесконечно близкими точками определяет элементы метрического тензора ${{\bar {g}}_{{ik}}}$ в новой системе. Продифференцировав первое выражение (10) по ${{x}^{1}}$, ${{x}^{2}}$, ${{x}^{3}}$, найдем значения производных в дифференциале $d{{x}^{1}}$:

В результате метрика в системе ${{\bar {x}}^{i}}$ определяется выражениями

Учитывая формулы (9), убеждаемся, что параметром антипараксиальных разложений вблизи катода будет ${{W}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 5}} \right. \kern-0em} 5}}}}$, а главные члены, соответствующие (9), имеют вид (черту опускаем)

Таким образом, при переходе к ${{x}^{1}} = W$ метрика получилась сингулярной, причем в отличие от $\varphi $‑варианта теории [4–6] в бесконечность на катоде обращается не только ${{g}_{{11}}}$, но и недиагональные элементы ${{g}_{{12}}}$, ${{g}_{{13}}}$.

Асимптотики (13) не противоречат известному факту старта частиц с нулевой начальной скоростью по нормали к эквипотенциальному катоду ${{x}^{1}} = W = 0$ (далее – $W \equiv x$):

Для полной и гауссовой кривизн катода справедливы выражения [1, 2]

где ${{\kappa }_{1}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{{\kappa }_{2}}$ – главные кривизны поверхности. Из формул (15) видно, что они принимают конечные значения, если разложения для функций ${{h}_{2}}$, ${{h}_{3}}$, ${{g}_{{23}}}$ имеют вид

В соответствии с (13) для прочих искомых функций справедливы разложения

Элемент ${{g}_{{13}}}$ имеет разложение, подобное разложению для ${{g}_{{12}}}$; компоненты М, N магнитного поля представимы рядами, однотипными с рядом для L с коэффициентами ${{M}_{k}}$, ${{N}_{k}}$.

Эмиссия в Т-режиме. При эмиссии, ограниченной температурой, ряды идут по полуцелым степеням l с главными членами, описываемыми формулами:

Параметром разложений при переходе к $x \equiv W$ будет ${{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ при следующих асимптотиках искомых функций:

3. УРАВНЕНИЯ W-ВАРИАНТА ГЕОМЕТРИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ

Трехмерные потоки в магнитном поле. Переход к ${{x}^{1}} \equiv W$ не меняет числа уравнений и искомых функций: четырнадцать уравнений в (1) при пятнадцати подлежащих определению функциях, шесть из которых – элементы ${{g}_{{ik}}}$, позволяют использовать систему ${{x}^{i}}$ с нулевым элементом ${{g}_{{13}}}$:

Выбор (20) при симметричных направлениях ${{x}^{2}}$, ${{x}^{3}}$ объясняется тем, что при переходе к двумерным потокам (осесимметричным и плоским) циклическая координата ${{x}^{3}}$ ортогональна осям ${{x}^{1}}$, ${{x}^{2}}$ в плоскости течения (меридиональной в первом случае):

Для элементов контравариантного метрического тензора ${{g}^{{ik}}}$ и детерминанта ${{g}_{{ik}}}$ получаем

Уравнения (1) принимают вид

где ${{p}_{u}}$, ${{p}_{w}}$ – косоугольные проекции импульса на оси ${{x}^{1}}$, ${{x}^{3}}$.

Вместо двух первых уравнений (2) имеем

Уравнения для ${\text{rot}}\,\vec {P}$ из (2) запишутся следующим образом:

Трехмерные электростатические потоки. При отсутствии магнитного поля ось ${{x}^{1}}$ совпадает с траекторией и формулы (22) принимают вид

а вместо уравнений (23), (24) имеем

Дополняющие их условия эвклидовости пространства определены соотношениями

Двумерные потоки в магнитном поле. Наличие циклической координаты (азимута в осесимметричном случае и декартовой координаты для плоских течений) приводит к ортогональности осей ${{x}^{1}}$, ${{x}^{2}}$ и ${{x}^{3}}$:

Двумерный пучок описывается уравнениями

Уравнения (24) принимают вид

где J – плотность тока эмиссии; индекс нуль относит величины к катоду.

Уравнения (25) для ${\text{rot}}\,\vec {P}$ определены соотношениями

Условия эвклидовости пространства для двумерных течений состоят из двух уравнений:

Элемент ${{g}_{{33}}}$ метрического тензора для осесимметричных течений известен: ${{g}_{{33}}} = {{R}^{2}} = {{y}^{2}} + {{z}^{2}}$, для плоских потоков ${{h}_{3}} = 1$.

Двумерные электростатические потоки. Течения этого вида могут быть описаны в ортогональной системе координат:

Уравнения (34) дополняются соотношениями (33).

Формулы, в общем случае связывающие криволинейные и декартовы координаты, необходимые после построения решения в системе ${{x}^{i}}$, приведены в работе [4].

4. РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ СТАРТОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ПОТОКОВ

Построение без потери общности локального решения уравнений пучка на основе выявленных выше асимптотик элементов ${{g}_{{ik}}}$ и параметров потока доказывает непротиворечивость предлагаемой модели, дает описание зоны вблизи сингулярной стартовой поверхности и позволяет установить возможные произвольные элементы, обращение которых в нуль способствует упрощению результатов.

Эмиссия в $\rho $-режиме. Начнем рассмотрение с уравнения Пуассона и интеграла энергии в (23), а также уравнения сохранения тока из (24). Первый член в первой квадратной скобке в уравнении Пуассона имеет порядок ${{x}^{{{{ - 4} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 4} 5}} \right. \kern-0em} 5}}}}$, в то время как все остальные слагаемые в левой части – порядок ${{x}^{0}}$ и, таким образом, не участвуют в балансах вплоть до этого порядка. Приравнивая слагаемые порядка ${{x}^{{{{ - 4} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 4} 5}} \right. \kern-0em} 5}}}}$, используя интеграл энергии и определение плотности тока эмиссии, найдем выражения для первых коэффициентов разложений (17)

Следующая тройка соотношений позволяет выразить коэффициенты ${{\bar {U}}_{3}}$, ${{\bar {\varphi }}_{5}}$, ${{\bar {\rho }}_{1}}$ через ${{\bar {a}}_{1}}$:

Уравнение для ${{р}_{1}}$ из (23) приводит к тому, что все функции в (36) обращаются в нуль

Рассмотрим первые коэффициенты разложения полной Т и гауссовой К кривизн поверхности ${{x}^{1}} = const$ из (15) в окрестности ${{x}^{1}} = 0$:

Главные кривизны ${{\kappa }_{1}}$, ${{\kappa }_{2}}$ связаны с Т, К двумя соотношениями, включающими три функции ${{\bar {b}}_{3}}$, ${{\bar {c}}_{3}}$, ${{\bar {d}}_{3}}$. Не теряя общности, последнюю из них можно принять равной нулю

Кривизны ${{\kappa }_{1}}$, ${{\kappa }_{2}}$ при этом определены формулами

Для функции $\delta $ из (8) получаем

Функция ${{U}_{2}}$ принимает более простой вид

Приравнивая в соотношениях из (23), (24) члены более высокого порядка малости, получаем системы уравнений для вычисления коэффициентов с возрастающими индексами. Уравнение Пуассона дает

Интеграл энергии порождает соотношения

Уравнение сохранения тока приводит к следующим балансам:

Второе уравнение для ${\text{rot}}\,\vec {P}$ из (25) связывает функции ${{W}_{k}}$ и ${{M}_{k}}$:

в то время как третье уравнение служит для определения коэффициентов разложения элемента ${{g}_{{12}}}$:

Уравнение для ${\text{div}}{\kern 1pt} \vec {H}$ позволяет выразить функции ${{L}_{k}}$ через коэффициенты разложений компонент касательного к катоду магнитного поля с меньшими индексами

Первое уравнение для ${\text{rot}}{\kern 1pt} \vec {H}$ из (23) связывает компоненты ${{M}_{0}}$, ${{N}_{0}}$ на поверхности катода:

второе и третье уравнения образуют системы для определения коэффициентов ${{M}_{k}}$, ${{N}_{k}}$ при известных ${{L}_{k}}$, ${{f}_{k}}$:

Первое уравнение для ${\text{rot}}{\kern 1pt} \vec {A}$ из (23) приводит к следующим равенствам:

Обращение в нуль нормальной компоненты магнитного поля на катоде является условием реализации потенциального течения, на что впервые было указано в работе [11], где также отмечен факт старта частиц по нормали к эквипотенциальному катоду при нулевой начальной скорости.

Уравнение для ${{p}_{1}}$ в (23) связывает коэффициенты ${{a}_{k}}$, ${{U}_{k}}$:

Компоненты векторного потенциала определены через скорость w на основании равенств ${{P}_{2}} = {{P}_{3}} = 0$

Первое уравнение (48) может быть преобразовано следующим образом:

Величины в формулах (54) имеют ясный геометрический или физический смысл: ${{k}_{{21}}}$, ${{k}_{{22}}}$ и ${{k}_{{31}}}$, ${{k}_{{32}}}$ – главные кривизны поверхностей ${{x}^{2}} = {\text{const}}$ и ${{x}^{3}} = {\text{const}}$ при ${{x}^{1}} = 0$; ${{{{L}_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{L}_{3}}} {{{a}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{0}}}}$, ${{{{M}_{{0,2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{M}_{{0,2}}}} {{{b}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{b}_{0}}}}$, ${{{{N}_{{0,3}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{N}_{{0,3}}}} {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}}$ – ортогональные проекции градиентов функций L, M, N на касательные к координатным осям при ${{x}^{1}} = 0$; аналогичный смысл у агрегатов ${{{{{\left( {\sin {{\theta }_{{23}}}} \right)}}_{{,2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left( {\sin {{\theta }_{{23}}}} \right)}}_{{,2}}}} {{{b}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{b}_{0}}}}$, ${{{{{\left( {\sin {{\theta }_{{23}}}} \right)}}_{{,3}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left( {\sin {{\theta }_{{23}}}} \right)}}_{{,3}}}} {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}}$.

Тождества Ляме служат для определения функций ${{b}_{k}}$, ${{c}_{k}}$, ${{d}_{k}}$, начиная с $k = 4$.

Разрешая ${\text{п}}$оследовательно уравнения (43)–(47) относительно искомых функций, имеем

где ${{H}_{{n3}}}$ – ортогональная проекция магнитного поля на касательную к оси ${{x}^{3}}$.

Первая пара уравнений (50) относительно ${{M}_{1}}$, ${{N}_{1}}$ позволяет определить эти функции

Следующая группа соотношений описывает параметры с возросшими на единицу индексами

Эмиссия в Т-режиме. Главные члены, описывающие потенциал, скорость и действие вблизи катода при эмиссии, ограниченной температурой, определены формулами

где Е – электрическое поле при ${{x}^{1}} = 0$. Выражения (56) позволяют вычислить коэффициент ${{{{\varphi }}}_{2}}$ в асимптотике потенциала из (19):

Уравнения Пуассона, сохранения тока, интеграл энергии и равенство ${{p}_{1}} = 1$ из (23) приводят к первой группе соотношений

разрешая которые относительно искомых функций, имеем

Следующая система балансов принимает вид

Удовлетворяющие ей функции описываются формулами

Для продольного магнитного поля получаем

Функции ${{M}_{0}}$, ${{N}_{0}}$ удовлетворяют уравнению (49), а для коэффициентов с индексами 1, 2 имеют место связи

Из уравнений (64), (65) следуют выражения

Коэффициенты разложений элемента ${{g}_{{12}}}$ и компоненты скорости w описываются формулами

Формулы (58)–(67) определяют локальное решение геометризованных уравнений при эмиссии в Т-режиме.

5. ДЕКОМПОЗИЦИЯ УРАВНЕНИЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ПУЧКА

Уравнения геометризованной теории в l-варианте удалось представить [1, 2] в виде соотношения на трубке тока, формально имеющего вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка относительно функции ${{h}_{2}}({{x}^{1}})$, в которое поперечная координата ${{x}^{2}}$ входит как параметр, и системы уравнений первого порядка, выражающих частные производные по ${{x}^{2}}$ от физических и геометрических параметров пучка через информацию на базовой трубке тока. Тем самым появляется возможность синтеза непараксиальных потоков либо за счет сращивания решения в нескольких узких полосах вблизи поверхности ${{x}^{2}} = 0$, либо в результате построения высших приближений теории, приводящего к фрагментам тэйлоровских разложений параметров пучка по ${{x}^{2}}$.

Как первая, так и вторая группы связей выписаны для произвольного значения элемента ${{g}_{{12}}}$ метрического тензора, который в l-варианте теории имеет локальный характер и назначается, исходя из соображений регуляризации решения, обеспечивающей выполнение условий термоэмиссии на стартовой поверхности.

В силу сказанного исходным материалом для декомпозиции уравнений в W-варианте теории являются формулы l-варианта, которые необходимо подвергнуть модификациям, связанным с новым подходом.

Соотношение на трубке тока для потенциальных течений имеет вид

где ${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$ – главные кривизны трубки тока, причем ${{k}_{2}}$ отвечает за осесимметричность; ${{H}_{{n1}}}$ – ортогональная проекция магнитного поля на касательную к оси ${{x}^{1}}$; ${{E}_{\nu }}$ – нормальное электрическое поле на трубке тока; $\theta $ – угол наклона образующей трубки тока к продольной декартовой оси z.

Часть эволюционной системы, относящаяся к геометрическим величинам, описывается формулами

Поперечные производные от физических параметров потока с учетом особенностей W-представления определены выражениями

Производная ${{E}_{{\nu ,2}}}$ легко получается из определения нормального поля и приведенных уравнений эволюционной системы. Для компонент магнитного поля имеем

Принципиальное отличие рассматриваемой модели от l-варианта состоит в том, что недиагональный элемент метрического тензора ${{g}_{{12}}}$ является искомой функцией, лишенной статуса локальности. В l-представлении азимутальная скорость w при ${{x}^{2}} = 0$ описывается уравнением первого порядка, не зависящим от соотношения на трубке тока, и определена компонентой М магнитного поля. В W-варианте теории задание продольного импульса ${{p}_{u}}$ при ${{x}^{2}} = 0$ приводит к выражению для функции ${{h}_{1}}$

и связывает в систему три уравнения: соотношение на трубке тока, уравнение для изменения азимутального импульса ${{p}_{w}}$ в продольном направлении (второе уравнение (32))

и трансформированное уравнение из (32), описывающее эволюцию функции ${{g}_{{12}}}$:

При известных компонентах импульса потенциал определен выражением

которое путем дифференцирования по ${{x}^{1}}$ может быть преобразовано в уравнение для ${{{{\varphi }}}_{{,1}}}$ при ${{x}^{2}} = 0$.

Встречающиеся в уравнениях (68)–(71) производные от ${{g}_{{12}}}$, ${{\theta }_{{12}}}$, $\sin {{\theta }_{{12}}}$, $\cos {{\theta }_{{12}}}$ исключим при помощи соотношений, следующих из формулы (74):

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлен третий вариант геометризованной теории, описывающей плотные потенциальные релятивистские электронные пучки при использовании в качестве продольной координаты действия (потенциала обобщенного импульса). Для двумерных потоков проведена декомпозиция уравнений пучка, которые представлены как соотношение на трубке тока ${{x}^{2}} = {\text{const}}$, связывающее функции продольной координаты ${{x}^{1}}$, и система эволюционных уравнений. Первое имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка относительно элемента ${{g}_{{22}}}$ метрического тензора (${{h}_{2}} = \sqrt {{{g}_{{22}}}} $), в которое координата ${{x}^{2}}$ входит как параметр; вторая выражает частные производные по поперечной координате ${{x}^{2}}$ от геометрических и физических параметров потока через известную информацию на базовой трубке тока ${{x}^{2}} = {\text{0}}$.

Подобное представление открывает возможность синтеза непараксиальных пучков либо сшиванием решения в нескольких узких полосах, либо при формулировке фрагментов рядов Тэйлора по поперечной координате в высших приближениях теории.

Как и в ${{\varphi }}$-формализме (потенциал электрического поля в качестве продольной координаты), модель описывается существенно нелинейными дифференциальными соотношениями на трубке тока в неортогональной системе координат в отличие от первого l-варианта теории (продольная координата – произвольная функция длины дуги образующей трубки тока), где неортогональность координат и нелинейность уравнений носили локальный характер.

Использование как потенциала, так и действия для отсчета в продольном направлении меняет структуру исходных уравнений пучка (в ${{\varphi }}$-варианте уравнение Пуассона становится уравнением первого порядка) и по этой причине не эквивалентно переходу от одной криволинейной системы координат к другой.

Можно предположить, что эффект повышения точности приближенного решения при использовании ${{\varphi }}$-формализма [3] связан с нелинейным характером уравнений модели.

Определение первых коэффициентов антипараксиальных разложений в W-варианте путем обращения к известным результатам l-представления возможно только в непосредственной близости к катоду, где действие определяется продольной компонентой импульса в силу локально одномерного характера течения. Антипараксиальные разложения W-модели не переходят в разложения l-варианта, как и сами два этих подхода.