Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 7, стр. 693-703

ВВЕДЕНИЕ

Технические устройства с пучком прямоугольного сечения существовали задолго до того, как актуальным стал вопрос теоретического рассмотрения подобных проблем. Ряд диафрагм соответствующей формы решал эту задачу при малой мощности пучка и несущественного с практической точки зрения токоперехвата. В последние десятилетия потоки с прямоугольным или эллиптическим сечением широко используются в мощных приборах СВЧ, а стремление к более высокочастотному диапазону, связанному с миниатюризацией конструкций, требует проведения математического моделирования с высокой точностью. Лобовые численные методы исследования не обеспечивают адекватного описания сингулярных прикатодных зон при эмиссии в $\rho $- и Т-режимах. Существующие теоретические модели трехмерных пучков могут давать либо полное решение проблемы, либо поставлять локальную информацию о поведении формирующих электродов вблизи катода, либо, наконец, определять качественную картину электрического поля в более сложных случаях.

Цель работы – формулировка современного состояния теории формирования трехмерных электронных потоков в наиболее часто встречающемся варианте пучков с прямой осью.

1. МЕТОД РИМАНА

Решение проблемы формирования как в двумерном, так и в трехмерном случаях сводится к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка вида

с коэффициентами, зависящими от x, y.

Метод Римана, разработанный для уравнений гиперболического типа с действительными характеристиками, модифицирован для эллиптических уравнений и излагается в монографии [1]. Если начальные условия ${{\Phi }_{e}}$ и ${{\left( {{{\partial \Phi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Phi } {\partial n}}} \right. \kern-0em} {\partial n}}} \right)}_{e}}$ известны на линии $\Gamma $

и G – функция Римана, удовлетворяющая сопряженному уравнению и некоторым условиям на характеристиках, проходящих через точку наблюдения С, то решение задачи описывается выражением

Функции на Г во внеинтегральном члене и одинарном интеграле, зависящие от u, испытали аналитическое продолжение $u \to u + iv$, $u \to u + i{{\xi }}$ соответственно; в двойном интеграле функции от u, v подвергнуты следующей трансформации: $u \to u + i{{\xi }}$, $v \to \eta $. Двойной интеграл в (3) не вносит вклад в потенциал и нормальную производную на Г.

“Распрямляющее” отображение с однозначной сеткой ортогональных криволинейных координат u, v с равными коэффициентами Ляме ${{h}_{1}} = {{h}_{2}} = h$, переводящее контур Г в прямую $v = 0$, определено формулами

Функции a, f в (3) связаны с коэффициентами уравнения (1) соотношениями

Решение строится в характеристическом треугольнике, изображенном на рис. 1. Для гиперболических уравнений он определяет ограниченную область, в то время как в случае уравнений с мнимыми характеристиками решение “выплескивается” в полупространство – внешность границы пучка.

2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ПУЧОК С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Эталонные задачи. Необходимо найти решение уравнения Лапласа

для цилиндрического пучка с определяемым формулами (2) контуром Г поперечного сечения и условиями на границе вида

с дробным показателем степени $\nu $.

Выполнение интегрального преобразования

с контурным интегралом в комплексной плоскости параметра р (обход особенности в нуле обозначен символом (0)) приводит уравнения для функций Ф, G к уравнению Гельмгольца с соответствующими начальными данными для Ф:

где $\Gamma \left( { - \nu } \right)$ – гамма-функция.

Функцией Римана оказывается функция Бесселя нулевого порядка:

причем r имеет смысл расстояния от произвольной точки $\left( {x,y} \right)$ до точки наблюдения $\left( {{{x}_{c}},{{y}_{c}}} \right)$.

Применение формулы Римана (3) и использование известного контурного интеграла Липшица–Ганкеля дает решение задачи в форме, включающей определенный интеграл:

где F – гипергеометрическая функция Гаусса.

Описанный выше алгоритм не может быть использован при целочисленном значении $\nu = n$. Для условий на Г вида

решение имеет полиномиальную структуру

Функция Римана для этой задачи равна единице $\left( {G = 1} \right)$, а двойной интеграл в формуле Римана (3) удовлетворяет нужным условиям на Г:

Функции ${{\Phi }_{m}}$ вычисляются в порядке убывания индекса при ${{\Phi }_{n}} = {{a}_{n}}$.

Эмиссия в $\rho $-режиме. Решению Чайлда–Лэнгмюра для плоского диода соответствует значение $\nu = {4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}$. В результате формула (11) принимает вид [2]

Выражение (15) удобно для изучения структуры решения и выполнения численных расчетов.

Локальное уравнение нулевой эквипотенциали в плоскости $\left( {X,z} \right)$ (Х – нормаль к Г), построенное на основе (15), описывается формулой

где ${{k}_{\Gamma }}$ – кривизна контура.

Эмиссия в Т-режиме. Потенциал в плоском диоде в соответствующих нормировках может быть представлен в универсальной параметрической форме [3]:

В явном виде функция ${{\varphi }}\left( z \right)$ определена рядом по полуцелым степеням z:

При сохранении коэффициента ${{{{\varphi }}}_{7}}$ в (18) и $z = 1$, ${{\tau }} = 1.196$ точное значение потенциала ${{{{\varphi }}}_{{{\text{ex}}}}} = 1.826$ из (17) отличается от приближенного ${{{{\varphi }}}_{{{\text{ap}}}}} = 1.813$ из (18) на 0.7%.

Дробные степени в формуле (18) допускают использование алгоритма (11), а для слагаемых с целочисленными степенями z справедливы соотношения (13). В результате суммирования на границе пучка воспроизводится ряд (18), который эквивалентен соотношениям (17) и может быть ими заменен, что приводит к выполнению точных условий на поверхности произвольного цилиндра.

Решение в виде двойного интеграла при эмиссии в $\rho $-режиме. Воспользуемся предложением, высказанным В.Т. Овчаровым в [5] для осесимметричных параксиальных пучков, и представим решение уравнения (6) в виде

(${{{{\varphi }}}_{i}}$ – потенциал в потоке), отказавшись от требования параксиальности. Функция S при этом удовлетворяет уравнению Пуассона

($\rho $ – плотность пространственного заряда) и однородным условиям на границе потока.

Двойной интеграл в (3) определяет новую форму решения для цилиндрической вырезки из плоского диода [6]:

3. КОНИЧЕСКИЙ ПУЧОК С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Перейдем в уравнении Лапласа, записанного в сферических координатах r, $\theta $, $\psi $, к новым переменным ${{\xi }}$, $\eta $, $\psi $:

где ${{r}_{0}}$ – радиус катода. В уравнении (22) на псевдоплоскости ${{\xi }}$, $\psi $ выделен двумерный лапласиан с декартовой метрикой.

Конус с произвольным сечением определен параметрическими уравнениями

После выполнения интегрального преобразования, аналогичного (8), функции Ф, G удовлетворяют одному уравнению

однако выразить G через известные специальные функции не удается. В работе [7] построен асимптотический ряд для функции Римана, нулевое и первое приближение которого определены формулами

Этапы построения сводятся к следующему. Будем искать решение в виде ряда

Требование конечности функции G при $r = 0$ выполняется для разложения по четным степеням r, причем функции ${{f}_{{2k}}}$ оказываются полиномами степени k по параметру Р:

Коэффициенты ${{{{\tau }}}_{{2k,l}}}$ представим в виде разложений

Подстановка (28) в уравнение (27) позволяет получить рекуррентные соотношения для коэффициентов бесконечных рядов, суммирование которых приводит к функциям Бесселя в выражении (25) для функции Римана. В результате появляется возможность использовать интеграл Липшица–Ганкеля для выполнения обратного интегрального преобразования, приводящего решение исходной задачи к виду, аналогичному (11).

Потенциал ${{{{\varphi }}}_{i}}$ в потоке описывается хорошо сходящимся рядом по $\eta = \ln r$ [8] с первым членом ${{\eta }^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$. Как и в случае цилиндра при эмиссии в Т-режиме, первые слагаемые в формуле для ${{\varphi }}$ после суммирования могут быть заменены известным точным решением для сферического диода в параметрической форме с функциями Бесселя [9].

Кривизна нулевой эквипотенциали ${{\varphi }} = 0$ в плоскости, содержащей нормаль к контуру, определена формулой

Угол 67.5° наклона нулевой эквипотенциали к границе пучка оказывается универсальной величиной при эмиссии в $\rho $-режиме и связан вне зависимости от конфигурации и физических характеристик потока с аналитическим продолжением члена ${{\eta }^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$.

Решение задачи о формировании биполярных электронно-ионных потоков в виде цилиндра и конуса с произвольными сечениями представлено в работах [10, 11].

4. СЕЧЕНИЕ В ВИДЕ СКРУГЛЕННОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА

В работе [12] сформулирован способ построения сечения, которое представляет собой скругленный прямоугольник с гладким контуром, являющимся координатной линией $v = 0$ системы u, v конформного отображения “повышенной гладкости”. Алгоритм состоит в разложении в ряд Лорана подынтегрального выражения в интеграле Кристоффеля–Шварца, осуществляющего отображение внешности прямоугольника на внешность единичного круга, и почленном интегрировании полученного выражения с удержанием n членов:

Здесь с – масштабный множитель; ${{\gamma }}$ – параметр, определяющий отношение сторон ${a \mathord{\left/ {\vphantom {a b}} \right. \kern-0em} b}$ прямоугольника. Контур приемлемой конфигурации [12] с ${a \mathord{\left/ {\vphantom {a b}} \right. \kern-0em} b} = 1,\,{\kern 1pt} 2,\,{\kern 1pt} 10$ получается при n = 2, 3, 4 соответственно (рис. 2).

На рис. 3 представлена картина поля в диагональном сечении скругленного квадрата [12], рассчитанная по формуле (14). Поведение эквипотенциалей соответствует картине в плоской пушке Дж. Р. Пирса в области порядка радиуса скругления угла с последующим поворотом кривых к катоду. Рисунок 4 иллюстрирует конфигурацию кривых ${{\varphi }} = {\text{const}}$ в поперечных сечениях $z = {\text{const}}$, которая в качественном отношении остается той же при ${a \mathord{\left/ {\vphantom {a b}} \right. \kern-0em} b}\sim 10$. Исследование скругленных прямоугольных контуров на сфере выполнено в работе [13]. Поскольку уравнение (22) включает двумерный лапласиан по ${{\xi }}$, $\psi $ с декартовой метрикой, аппарат комплексных переменных и конформных отображений может быть использован и на псевдоплоскости ${{\xi }}$, $\psi $.

Для контура ${{\xi }} = {{{{\xi }}}_{e}}\left( u \right)$, $\psi = {{\psi }_{e}}\left( u \right)$ имеем

с теми же коэффициентами, что и в (30).

“Прямоугольник” на сфере единичного радиуса образован пересечением линий $\theta = {{\theta }_{1}}$, $\theta = {{\theta }_{2}}$, $\psi = \pm {{\psi }_{0}}$, причем переменные $\theta $, $\psi $ играют роль полярного радиуса и азимута. Длины сторон описываются формулами

На рис. 5 изображен “квадрат” ${{\theta }_{1}} = 30^\circ $, ${{\theta }_{2}} = 60^\circ $, ${{\psi }_{0}} = 22^\circ $, нулевая аппроксимация “кругом” ${{{{\bar {\xi }}}}^{2}} + $ $ + \,\,{{\psi }^{2}} = {\text{const}}$ и скорректированный вариант контура при n = 4. Истинная окружность диаметром, равным размеру сечения $\psi = 0$, проведена для сравнения с нулевым приближением. Растяжение контура 3 в 1.206 раз дает приемлемую аппроксимацию исходной кривой, соответствие с которой может быть увеличено при бòльших значениях n.

5. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ

Эллипс является нулевой аппроксимацией прямоугольного контура. В фундаментальной работе теории формирования [14] метод разделения переменных использован в двумерных задачах с пучком в виде кругового цилиндра и конуса при эмиссии в ${{\rho }}$-режиме. Решение является точным только в формальном смысле, так как выражено через контурный интеграл в комплексной плоскости параметра р, допускающий исключительно асимптотические оценки [14].

В работе [15] подход [14] распространен на случай эллиптического сечения, причем эллиптическая цилиндрическая система ξ, η, z определена формулами

Начальные данные (7) не зависят от $\eta $, поэтому автор искал решение ${{\varphi }} = {{\varphi }}\left( {{{\xi }},{\kern 1pt} \,z} \right)$ в форме контурного интеграла с интеграндом в виде бесконечного ряда по функциям Матье $\mathcal{M}_{{2m}}^{{\left( j \right)}}\left( {{\xi }} \right)$, описываемым бесконечными рядами из произведений функций Бесселя и Ганкеля. Отсутствие зависимости от $\eta $ привело к изменению угла наклона эквипотенциали ${{\varphi }} = 0$ на контуре вместо постоянного значения ${{3{{\pi }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{3{{\pi }}} 8}} \right. \kern-0em} 8}$.

Формула (15) с решением в виде определенного интеграла использована для расчета электродов в случае эллиптического сечения [16]. В плоскостях $z = {\text{const}}$ эквипотенциали представляют собой эллипсоидальные овалы, близкие к эллипсу с соответствующими полуосями. На рис. 6 для ${b \mathord{\left/ {\vphantom {b a}} \right. \kern-0em} a} = {\kern 1pt} \,\,10$ координаты эллипса отмечены кружочками. При удалении от границы пучка отношение полуосей ${b \mathord{\left/ {\vphantom {b a}} \right. \kern-0em} a}$ эквипотенциали ${{\varphi }} = 0$ быстро стремится к константе, зависящей от значения этого параметра ${{\left( {{b \mathord{\left/ {\vphantom {b a}} \right. \kern-0em} a}} \right)}_{0}}$ на Г и отличной от единицы (рис. 7).

В 2005 г. в журнале “Physical Review. Accelerators and Beams” была опубликована статья [17] двух авторов, на 30 лет отставшая от развития теории. В ней исправлена ошибка работы [15] за счет включения в подынтегральное выражение контурного интеграла бесконечного ряда с произведениями радиальных и угловых функций Матье. Это же решение вошло в диссертацию одного из авторов [18].

Чрезвычайно громоздкое по сравнению с [2, 16] решение, как и результаты [14], имеет формальный характер, связанный с отсутствием точного выражения для соответствующих контурных интегралов.

6. ПАРАКСИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ФОРМИРУЮЩИХ ЭЛЕКТРОДОВ

Узкие пучки. Практические потребности не могут быть закрыты описанными выше электронно-оптическими системами с одномерными электронными потоками в плоском и сферическом диодах. Узкие пространственные пучки произвольного сечения, испытывающего деформацию с ростом продольной координаты z, являются предметом исследования трехмерной параксиальной теории релятивистских потоков во внешнем неоднородном магнитном поле В.Н. Данилова [19] или геометризованной модели электростатических потоков [20].

В работе [21] исследованы возможности, предоставляемые теорией [19] для поперечного сечения пучка, сохраняющего свою ориентацию и меняющегося по закону

Начальная конфигурация сечения ${{\xi }} = {{{{\xi }}}_{e}}\left( u \right)$, η = $ = {{\eta }_{e}}\left( u \right)$ в ${{\rho }}$- или Т-режиме эмиссии является скругленным прямоугольником или эллипсом.

Подобно тому как выше рассматривались фрагменты одномерных потоков с произвольным сечением, аналогичные вырезки могут быть выполнены для плоских течений, описываемых классической параксиальной теорией [3], теорией В.Т. Овчарова [22] или геометризованными моделями [23–28], которые имеют более широкие возможности (произвольная ориентация магнитного поля на катоде). Эволюция контролируемого сечения в этом случае определена формулами

Геометризованная теория основана на новой форме уравнений пучка, записанных в заранее неизвестной системе координат ${{x}^{i}}$, i = 1, 2, 3, которая связана с траекториями (координатные линии ${{x}^{1}}$) или трубками тока (поверхности ${{x}^{2}} = {\text{const}}$). Условия эвклидовости пространства (шесть тождеств Ляме – нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка относительно элементов метрического тензора ${{g}_{{ik}}}$) дополняют уравнения для физических параметров потока.

Система ${{x}^{i}}$ в общем случае является неортогональной. Для двумерных пучков выполнение условий термоэмиссии обеспечивается локальной неортогональностью системы вблизи сингулярной стартовой поверхности. Уравнения 2D геометризованной теории удалось подвергнуть декомпозиции. Они представлены в виде соотношения на трубке тока для элемента ${{g}_{{22}}}$, которое выглядит как обыкновенное уравнение второго порядка по продольной координате ${{x}^{1}}$ с поперечной координатой ${{x}^{2}}$ в качестве параметра, и системы эволюционных уравнений. Последняя описывает производные по ${{x}^{2}}$ от всех геометрических и физических параметров потока с правыми частями, определяемыми заданной информацией на базовой трубке тока ${{x}^{2}} = 0$:

В качестве ${{x}^{1}}$ при ${{x}^{2}} = 0$ может быть использована произвольная функция l – длины дуги образующей трубки тока. Эту модель поэтому удобно называть l-представлением геометризованной теории. В работах [26, 27] построен вариант ${{\varphi }}$‑представления, когда в качестве продольной координаты во всем потоке используется потенциал электрического поля ${{x}^{1}} = {{\varphi }}$. Изменение статуса ${{\varphi }}$ – переход от искомой функции к независимой переменной – приводит к снижению порядка уравнения Пуассона со второго до первого. Соотношение на трубке тока становится нелинейным во всем поле течения в отличие от l-варианта теории, где нелинейность связана с локальной неортогональностью. Тестирование геометризованных моделей на известных точных решениях [30] показало, что использование ${{\varphi }}$-представления может приводить к большей точности приближенного решения.

Построение третьего варианта геометризованной теории (W-представление) [28] связано с потенциальными релятивистскими пучками (отсутствие нормальной компоненты магнитного поля на катоде, W – потенциал обобщенного импульса).

К геометризованной теории примыкают модели пучков с эллиптическим поперечным сечением, рассматриваемых в системе координат, связанной с эллиптическим трубками тока. В работе [31] это потенциальные нерелятивистские потоки с плоской криволинейной осью, а в [32–36] – релятивистские вихревые пучки, для исследования которых алгоритм [31] не пригоден. Модели этого типа представляют собой пример известного в механике жидкости “иррационального приближения” [37], основное свойство которого состоит в невозможности построения цепочки моделей все более высокого порядка. В моделях [31–36] потенциал квадратичен по поперечной координате, но нет возможности уточнения этой зависимости или перехода от эллипса к более сложному контуру.

Общий вид решения. Идею построения параксиального решения, сформулированную в [5] для осесимметричных потоков, которая выражается формулой (19) в предположении, что S является функцией второго порядка малости (${{\partial {{\varphi }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\varphi }}} {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}}\sim \varepsilon $), можно использовать при формировании трехмерных потоков. В силу принятых предположений S удовлетворяет двумерному уравнению Пуассона и описывается выражением

Цилиндр и конус с произвольным сечением при эмиссии в ${{\rho }}$-режиме. Формула (37) в случае цилиндра принимает вид [38]

Функция ${{h}^{2}}\left( {u,v} \right)$ для скругленного прямоугольника определена формулой

с сохранением членов с коэффициентом ${{c}_{4}}$.

Интегрирование в формуле (28) для ${{h}^{2}}$ из (39) может быть выполнено в элементарных функциях [38].

На рис. 8 приведено сравнение точного и параксиального решений для скругленного квадрата в диагональном сечении. Картины близки в качественном отношении, но приближенное решение характеризуется меньшими градиентами в очертании эквипотенциальных поверхностей при $z = {\text{const}}$.

Рассмотрение окрестности катода на основании решения (38) приводит к следующему уравнению нулевой эквипотенциали:

Угол наклона $\vartheta \approx 64.76^\circ $ при параксиальном описании пучков в связанной с геометрией потока системе координат имеет столь же универсальный характер, как угол 67.5° в точном решении задачи. Вычисленные на основании (16), (40) значения кривизны и ее производной линии ${{\varphi }} = 0$ на границе пучка различаются на 5.7 и 19.5% соответственно.

Биполярный цилиндрический пучок с сечением в виде скругленного прямоугольника рассмотрен в работе [39].

Сравнение приближенного и точного решений для эллиптического контура приведено на рис. 9. Параксиальное решение для эллиптического цилиндра ранее построено в работе [31].

Для конуса с произвольным сечением функция S определена формулой

Торцевая область планарного гиротрона. В работах [40, 41] при расчетах электронно-оптической системы прибора используются исключительно численные методы. Формирование торцов первоначально прямоугольного пучка, сечение которого под действием сносовой скорости трансформируется в параллелограмм, требует привлечения аппарата, которым не располагают численные модели. В работе [42] подход [38] распространен на новый вид сечения. Решение уравнения Лапласа в торцевой области в параксиальном приближении выражено через элементарные функции. Значение параметра γ, определяющего углы параллелограмма, следует из расчета электронного потока на основании параксиальной [43] или геометризованной [25] теории плоских течений и является функцией продольной координаты.

Асимптотический ряд с уменьшающимся порядком особенности. Параксиальное разложение существенно неравномерно: второй член в (38) имеет особенность более высокого порядка, чем первый. Этим объясняется максимальная ошибка приближенного решения в прикатодной области. Выше мы видели, что успех решения для произвольного цилиндра и конуса основан на выделении двумерного лапласиана с декартовой метрикой и построении функции Римана, выраженной через бесселевы функции.

Для трехмерных электростатических пучков и пучков в режиме магнитного сопровождения [44] подобный результат достигнут с использованием метода многих масштабов [37], адаптированного к задачам оптики плотных электронных потоков в работе [45]. При этом уравнение Лапласа записывается в системе деформированных координат ${{\zeta }}$, $\bar {x}$, $\bar {y}$, связанных с граничной трубкой тока $v = 0$ и катодом ${{\zeta }} = 0$:

Вместо продольной координаты ${{\zeta }}$ введем две координаты: быструю z и медленную Z для описания особенности и регулярных функций соответственно:

Вторые производные по z в уравнении Лапласа сохраняются, а эволюцию трубки тока будем считать медленной

Деформирующие функции ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{y}_{1}}$, ${{y}_{2}}$ в (42) подберем из условия равенства коэффициентов при ${{{{\partial }^{2}}{{\varphi }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}{{\varphi }}} {\partial {{u}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{u}^{2}}}}$, ${{{{\partial }^{2}}{{\varphi }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}{{\varphi }}} {\partial {{v}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{v}^{2}}}}$ и отсутствия перекрестной производной ${{{{\partial }^{2}}{{\varphi }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}{{\varphi }}} {\partial u\partial v}}} \right. \kern-0em} {\partial u\partial v}}$. На языке контравариантного метрического тензора ${{g}^{{ik}}}$ эти требования определены равенствами

В дальнейшем процесс построения решения аналогичен случаю произвольного конуса с тем отличием, что уравнения для двумерного потенциала Ф и функции Римана G содержат члены с первыми производными по u, v. В работе [44] решение построено с использованием одинарного интеграла в формуле Римана (3), в то время как в [46] при рассмотрении клиновидных пучков с произвольным сечением использована форма (37) с двойным интегралом.

Тепловой зазор. В работе [47] обсуждается принятая в пакетах траекторного анализа практика задания теплового зазора, не имеющего отношения к решению уравнений пучка и уравнения Лапласа вблизи кромки катода. Зазор обычно выполняется в виде горизонтальной щели, параллельной оси прибора. В двумерном случае существует точное решение локальной задачи на основе теории антипараксиальных разложений [1] о конфигурации поля в этой области, приводящее к профилированному зазору, образованному боковой поверхностью катода в третьем квадранте и отрицательной эквипотенциалью, расположенной между двумя асимптотами нулевой эквипотенциали $\vartheta = 67.5^\circ $ и ϑ = 180° + + 22.5°.

Практикуемый способ задания зазора можно уподобить предложению определять потенциал вблизи катода не степенью ${4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}$ расстояния по нормали n, а любой произвольной функцией, например, $1 - \exp ( - {{n}^{2}})$. Достижение результата с ошибкой порядка 0.3%, необходимого при расчетах пучков с линейной компрессией 30, при таком способе действий представляется невероятным, тем более что оценить реальную ошибку в рамках пакетов, использующих вблизи катода гидродинамическое приближение (самый грубый вариант – локальный закон ${4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}$), невозможно.

В трехмерном случае решение соответствующей задачи отсутствует, но обсуждавшиеся выше результаты для произвольного цилиндра и конуса позволяют сформулировать некоторые разумные предложения. Формула (16) выражает локальный принцип независимости сечений, согласно которому конфигурация нулевой эквипотенциали зависит в данном сечении от локальной кривизны ${{k}_{\Gamma }}$ контура, а не от ее изменения вдоль Г. Решение для кругового цилиндра с радиусом, соответствующим ${{k}_{\Gamma }}$, известно и включает форму боковой поверхности катода и отрицательных эквипотенциалей. Таким образом, пользуясь решением двумерной задачи и обойдя контур трехмерного пучка, получим эквипотенциали, реализующие обоснованный ${\text{c}}$ точки зрения теории тепловой зазор. Для конического пучка с искривленным катодом принцип независимости сечений действует, включая квадратичные члены.

Описанный алгоритм формирования теплового зазора реализован в работе [36] для ленточного пучка с эллиптическим сечением, стартовавшим с цилиндрического катода и достигавшим линейной компрессии порядка 30.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Пакеты траекторного анализа, широко используемые в последние десятилетия для расчета ленточных пучков с сечением, близким к прямоугольному, не прошли надлежащего тестирования на эталонных точных решениях, используют обычно весьма грубую модель прикатодной зоны (одномерные диоды без учета неоднородного токоотбора и наличия магнитного поля), абсурдную модель теплового зазора, не обеспеченную теоретическим базисом, и эмпирический учет торцевых эффектов. В результате в разномасштабных задачах (пучки с высокой компрессией, прямоугольные сечения с большим отношением сторон) достижение требуемой точности является проблематичным, а несовершенства математической модели должны компенсироваться экспериментальной доводкой прибора. По мере продвижения в сторону более высоких частот и миниатюризации конструкций значение перечисленных проблем будет возрастать.

Существующие результаты теории трехмерных потоков способны содействовать устранению перечисленных недостатков, а модели, основанные в конечном счете на решении обыкновенных дифференциальных уравнений, могут быть использованы для тех же электронно-оптических расчетов, что и пакеты анализа. Примером такого рода являются исследования, проведенные в работе [36].

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.