Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 8, стр. 782-787

ВВЕДЕНИЕ

Коды, корректирующие ошибки (помехоустойчивые коды), используются для обеспечения требуемой надежности передачи информации по каналам с помехами [1–5]. Известны два класса корректирующих кодов – систематические блоковые коды с параметрами длины кодового слова и объема информационных символов и коды со сверточной структурой с параметрами кодовой скорости и кодового ограничения [1]. Эти коды используются в сочетании с сигналами с различными видами “созвездий” при формировании сигнальных конструкций [2, 3]. Основные требования, предъявляемые к данным кодам, определяются достижением вероятностных характеристик при приеме сигнальных конструкций, близких к предельным вероятностным характеристикам шенноновской пропускной способности каналов с помехами, а также приемлемой сложностью алгоритмов приема при реализации [5].

В литературе известны два общих класса алгоритмов оптимального приема сигнальных конструкций: алгоритмы, реализующие посимвольный прием с минимизацией вероятности ошибки на кодовый символ, и алгоритмы, реализующие правило максимального правдоподобия с минимизацией вероятности ошибки кодовых слов [5–7].

Алгоритмы посимвольного приема являются основой вычислительных процедур, реализующих итеративную обработку при приеме сигнальных конструкций на основе корректирующих кодов, наиболее эффективных относительно сформулированных критериев (на основе блоковых и сверточных турбокодов, низкоплотностных кодов) [5, 8].

Известен ряд алгоритмов посимвольного приема сигнальных конструкций, соответствующих линейным корректирующим кодам в двоичных полях Галуа $GF(2)$, например, на основе решетчатой структуры порождающих или проверочных матриц кодов, на основе спектрального преобразования в базисе Уолша–Адамара [5, 6, 8].

Актуальной является проблема разработки и исследования алгоритмов посимвольного приема для сигнальных конструкций, соответствующих кодам в недвоичных полях Галуа $GF({{2}^{m}})$ и сигналам со сложными “созвездиями”, интенсивно используемым в приложениях, в частности, сигналам с многоуровневой (с $M = {{2}^{m}}$-уровневой) фазовой манипуляцией (ФМ-M-сигналы) [2, 5, 9–11]. Этот подход позволяет расширить класс эффективных сигнальных и кодовых конструкций и согласуется с направлением развития теории класса помехоустойчивых кодов в недвоичных полях [5, 12–15]. В этот класс входят коды Рида–Соломона и низкоплотностные коды [1, 5, 13], интенсивно используемые в приложениях.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть $H = ({{h}_{{ij}}};0 \leqslant i < k;0 \leqslant j < n)$ – проверочная матрица корректирующего блокового кода с параметрами $(n,k)$; $\vec {B} = ({{b}_{j}};0 \leqslant j < n)$ – кодовое слово; ${{h}_{{ij}}}$ и ${{b}_{j}}$ являются элементами поля Галуа $GF({{2}^{m}})$ [1]. Параметры кода: $n$ – длина кодовых слов; $k$ – информационный параметр, задающий объем кодовых слов ${{2}^{{mk}}}$ (информационный объем кодового слова $mk$); $n - k$ – число проверочных символов; $r = {k \mathord{\left/ {\vphantom {k n}} \right. \kern-0em} n}$ – кодовая скорость.

Поле $GF({{2}^{m}})$ (элементы поля ${{b}_{j}}$) задается в виде множества многочленов степени $m$ [1]:

Алгебраические операции в поле $GF({{2}^{m}})$ выполняются по модулю неприводимого многочлена $\gamma (x)$ [1, 5].

Кодовые символы ${{b}_{j}}$, $j = 0,1,...,n - 1$ задают сигналы ${{\dot {s}}_{j}}(t)$, которые передаются по физическим каналам.

На вход приемного устройства поступает реализация ${{\vec {Y}}} = ({{\dot {y}}_{j}};0 \leqslant j < n)$, ${{\dot {y}}_{j}}$ – “мягкие” (многоуровневые) комплексные отсчеты с выхода демодулятора сигналов.

Оптимальное посимвольное правило приема заключается в вычислении апостериорных вероятностей относительно кодовых символов $Pr({{b}_{j}} = \beta \left| {\vec {Y}} \right.)$, $\beta \in GF({{2}^{m}})$ и в принятии “жесткого” решения относительно переданного кодового символа [5, 9, 16]:

Апостериорные вероятности $\Pr ({{b}_{j}} = \beta \left| {\vec {Y}} \right.)$ задаются выражением

Здесь $\Pr (\vec {B}\left| {\vec {Y})} \right.$ – условная вероятность кодового слова $\vec {B}$ для реализации $\vec {Y}$.

Функция правдоподобия ${\text{p}}(\vec {Y}\left| {\vec {B})} \right.$ в (2) определяется моделью физического канала, для канала без памяти справедливо выражение

Априорные вероятности сообщений $\vec {B}$ полагаются равными $Pr(\vec {B}) = {{2}^{{ - mk}}}$.

Сложность реализации (2), определяемая требуемым объемом вычислительных операций, оценивается соотношением ${{P}_{1}} \approx {{2}^{{mk}}}$, даже для малых значений $m,k$ вычисление (2) представляет трудноразрешимую проблему.

Суть задачи – дать описание производительного алгоритма оптимального посимвольного приема для сигнальных конструкций на основе корректирующих кодов в полях Галуа $GF({{2}^{m}})$, привести результаты его моделирования с целью оценки вероятностных характеристик для ряда сигнальных конструкций на основе класса сигналов с многоуровневой фазовой манипуляцией.

2. АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО ПОСИМВОЛЬНОГО ПРИЕМА СИГНАЛОВ

Введем в рассмотрение функции ${{\omega }_{b}}(a)$ с номером $b$ и аргументом $a$ на множестве $b,a,d \in GF({{2}^{m}})$ [9, 16]

Здесь $a \times b = a(x)b(x)$ – произведение элементов $a,b$ в поле $GF({{2}^{m}})$;

${{a}_{i}}$, ${{d}_{i}}$ – двоичное представление чисел $a$ и $d$.

Функции ${{\omega }_{b}}(a)$ принимают значения $ \pm 1$.

При фиксированном $b \ne 0$ и для ${{a}_{i}}$, $0 \leqslant i < {{2}^{m}}$ произведения ${{a}_{i}} \times b$ принимают все значения поля $GF({{2}^{m}})$ и функции ${{\omega }_{b}}(a)$ эквивалентны функциям Уолша ${{W}_{b}}(a)$ с перемеженными значениями их номеров и аргументов. Функции Уолша ${{W}_{b}}(a)$ с длительностью ${{2}^{m}}$ являются базисными функциями и определяются соотношением

Справедливы условия ортогональности [9]:

Полное множество функций ${{\omega }_{b}}(a)$ представляет также ортогональный базис, по которому можно разложить в ряд дискретные функции длительностью ${{2}^{m}}$.

Разработаны производительные алгоритмы быстрого спектрального преобразования в базисе Уолша (БПУ), которые также могут быть применены к перемеженной базисной системе функций ${{\omega }_{b}}(a)$ (3) [9].

Пусть неприводимый многочлен $\gamma (x)$ степени $m$, порождающий поле $GF({{2}^{m}})$, имеет вид γ(x) = $ = {{x}^{m}} + {{x}^{l}} + 1$ ($1 \leqslant l < m$), элемент поля $d$ имеет единичную компоненту на ($k - 1$)-й позиции и нулевые на остальных позициях (${{d}_{i}} = 0,i \ne l - 1$). В этом случае закон перемежения номеров $b,b{\kern 1pt} '$ для функций ${{W}_{b}}(a) = {{w}_{{b'}}}(a)$ определяется соотношением для компонент ${{b}_{i}},b_{i}^{'}$, $0 \leqslant i < m$ [9, 16]:

В табл. 1 приведены порождающие многочлены $\gamma (x)$, удовлетворяющие приведенному условию для полей $GF({{2}^{2}})$, $GF({{2}^{3}})$, $GF({{2}^{4}})$ [1].

Приведем общие соотношения для алгоритма оптимального посимвольного приема сигналов в поле $GF({{2}^{m}})$. Алгоритм включает три этапа [9, 16].

На первом этапе выполняется спектральное преобразование в базисе ${{\omega }_{b}}(a)$ с размерностью ${{2}^{m}}$ над последовательностью “мягких” решений $p({{y}_{l}}\left| {b(l))} \right.$ с использованием алгоритма быстрого спектрального преобразования в базисе Уолша–Адамара с учетом перемежения спектральных компонент (5):

Здесь $l = 0,1,...,n - 1$ – номер позиции кодовых символов.

На втором этапе вычисляется спектральное множество $\{ {{T}_{l}}(\lambda )\} $ с использованием величин ${{С}_{l}}(r)$ (6) и множества кодовых слов $R$ дуального кода ${{С}_{H}}$ с параметрами $(n,n - k)$:

Сложность вычисления (7) оценивается как ${{P}_{2}} \cong {{2}^{{m(n - k)}}}$, для $n - k \ll k$ справедливо условие ${{P}_{2}} \ll {{P}_{1}}$.

На третьем этапе вычисляются апостериорные вероятности $\Pr (b(l) = \beta \left| {\vec {\dot {Y}})} \right.$ с использованием обратного спектрального преобразования над $\{ {{T}_{l}}(\lambda )\} $ (используется алгоритм быстрого спектрального преобразования Уолша–Адамара с учетом перемежения (5)):

Наиболее простым является рассматриваемый алгоритм посимвольного приема для сигнальных конструкций на основе корректирующего кода с проверкой на четность [16–20]. В этом случае множество кодовых слов дуального кода ${{C}_{H}}$ с параметрами ($k + 1,k$) содержит ${{2}^{m}}$ последовательностей кодовых символов одинаковых элементов $\alpha \in GF({{2}^{m}})$ длительностью $k + 1$ [1, 16].

3. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ ПРИЕМЕ ФМ-M-СИГНАЛОВ

Кодовый символ ${{b}_{j}} \in GF({{2}^{m}})$, $j = 0,1,...,n - 1$, определяет ФМ-M-сигнал путем отображения последовательности m двоичных символов ${{\alpha }_{p}}({{b}_{j}})$, $0 \leqslant p < m$ в сигнальное “созвездие” [21]. На рис. 1 приведен вид сигнального “созвездия” ФМ-8-сигналов – значение фазы ${{\varphi }_{i}} = {{2\pi i} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi i} 8}} \right. \kern-0em} 8}$ ($i = 0,1,...,7$) задается последовательностью трех двоичных символов [21].

Рис. 1.

Сопоставление элементов поля ${\text{GF}}({{2}^{3}})$ ФМ-8-сигналам.

Нормированные отсчеты $\dot {y}$ с выхода демодулятора ФМ-M-сигналов для каждой квадратурной составляющей представляют случайные величины $Re(\dot {y})$, ${\text{Im}}(\dot {y})$ с единичной дисперсией и средними

Соответствующие апостериорные вероятности $p(\dot {y}\left| {{{b}_{i}})} \right.$ для канала с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) с односторонней спектральной плотностью ${{N}_{0}}$ задаются соотношением

Здесь ${{E}_{б}}$ – энергия сигналов на информационный бит.

Вероятность ошибки ${{P}_{c}}$ при приеме ФМ-M-сигналов без использования корректирующих кодов определяется соотношением [21]

Здесь $p(\theta )$ – плотность распределения фазы:

Оценивание вероятности ${{P}_{c}}$ при приеме ФМ-M-сигналов с использованием корректирующих кодов может быть выполнено путем моделирования алгоритмов посимвольного приема. При выполнении моделирования производится интервальная оценка вероятности ${{P}_{c}}$ путем вычисления частости $w = {x \mathord{\left/ {\vphantom {x u}} \right. \kern-0em} u}$ ($x$ – число ошибочных решений в последовательности испытаний $u$). Требуемое количество вычислительных экспериментов $u$ определяется размером доверительного интервала, вероятностью ${{P}_{c}}$, доверительной вероятностью Р_дов [22]. Например, для значения ${{P}_{с}} = {{10}^{{ - 4}}}$, доверительного интервала [$0.5{{P}_{с}},1.5{{P}_{с}}$] и Р_дов = 0.95 требуемое количество экспериментов оценивается значением 1 540 000.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

На рис. 2-4 приведены вероятностные характеристики ${{P}_{c}}$ в зависимости от отношения сигнал/помеха ${{{{E}_{{\text{б}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{{\text{б}}}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}}$ для АБГШ канала при приеме сигнальных конструкций на основе ФМ-M-сигналов и корректирующих кодов с проверкой на четность в полях $GF({{2}^{2}})$, $GF({{2}^{3}})$ и $GF({{2}^{4}})$, порождающие многочлены которых приведены в табл. 1 [1].

Рис. 2.

Зависимости вероятности ошибки ${{P}_{c}}$: 1 – посимвольный прием сигнальных конструкций на основе ФМ-4-сигналов и кода с проверкой на четность в поле $GF({{2}^{2}})$; 2 – посимвольный прием ФМ-4-сигналов без кодирования.

Рис. 3.

Зависимости вероятности ошибки ${{P}_{c}}$: 1 – посимвольный прием сигнальных конструкций на основе ФМ-8-сигналов и кода с проверкой на четность в поле $GF({{2}^{3}})$; 2 – посимвольный прием ФМ-8-сигналов без кодирования.

Рис. 4.

Зависимости вероятности ошибки ${{P}_{c}}$: 1 – посимвольный прием сигнальных конструкций на основе ФМ-16-сигналов и кода с проверкой на четность в поле $GF({{2}^{4}})$; 2 – посимвольный прием ФМ-16-сигналов без кодирования.

Вероятностные характеристики получены путем моделирования приведенного алгоритма оптимального посимвольного приема при передаче кодовых слов с информационным объемом 60 битов. При этом число информационных символов, эквивалентных элементам полей $GF({{2}^{2}})$, $GF({{2}^{3}})$, $GF({{2}^{4}})$, равно $k = 30$ (кодовая скорость $r = {{30} \mathord{\left/ {\vphantom {{30} {31}}} \right. \kern-0em} {31}}$), $k = 20$ ($r = {{20} \mathord{\left/ {\vphantom {{20} {21}}} \right. \kern-0em} {21}}$) и $k = 15$ ($r = {{15} \mathord{\left/ {\vphantom {{15} {16}}} \right. \kern-0em} {16}}$) соответственно.

В табл. 2 приведены предельные теоретические значения параметра $\beta = {{{{E}_{{\text{б}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{{\text{б}}}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}}$, определяющие возможность безошибочной передачи по каналам с помехами с использованием сигналов с эквивалентными кодовыми скоростями. Значения параметра $\beta $ вычислены с использованием соотношения, связывающего $\beta $ и $r$ для шенноновской пропускной способности АБГШ-канала [2, 5]:

Вероятностные кривые 1 на рис. 2–4 соответствуют результатам моделирования алгоритма посимвольного приема сигнальных конструкций на основе сигналов ФМ-4, ФМ-8 и ФМ-16 и корректирующего кода с проверкой на четность в полях $GF({{2}^{2}})$, $GF({{2}^{3}})$, $GF({{2}^{4}})$ соответственно. Кривые 2 соответствуют теоретическим зависимостям ${{P}_{c}}$ от отношения ${{{{E}_{{\text{б}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{{\text{б}}}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}}$, вычисленным с использованием соотношений (10), (11) для рассматриваемых фазоманипулированных сигналов без кодирования.

Анализ данных в табл. 2 и кривых на рис. 2–4 показывает относительно небольшие различия вероятностных характеристик по отношению к предельным теоретическим характеристикам: для сигнальных конструкций на основе сигналов ФМ-4, ФМ-8 и ФМ-16 различие не превышает 1.75, 1 и 1.1 дБ соответственно для значения ${{P}_{c}} = {{10}^{{ - 4}}}$. Это также показывает эффективность рассматриваемого алгоритма оптимального посимвольного приема.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведено описание алгоритма оптимального посимвольного приема сигнальных конструкций на основе сигнальных “созвездий” и блоковых корректирующих кодов в недвоичных полях Галуа $GF({{2}^{m}})$, формируемых по модулю неприводимого многочлена степени $m$. Посимвольный прием минимизирует вероятность ошибки на кодовый символ в отличие от известного правила максимального правдоподобия, минимизирующего вероятность ошибки на кодовое слово. Основу алгоритма посимвольного приема составляет спектральное преобразование в базисе Уолша–Адамара, размерность которого определяется размерностью поля ${{2}^{m}}$. Результирующая сложность алгоритма посимвольного приема определяется размерностью дуального кода, что обусловливает перспективность его применения для помехоустойчивых кодов с высокой кодовой скоростью (с низкой избыточностью), в частности для кодов с проверкой на четность с добавлением лишь одного проверочного символа.

Исследование вероятностных характеристик рассматриваемого алгоритма посимвольного приема произведено путем его моделирования для сигнальных конструкций на основе интенсивно используемых в приложениях фазоманипулированных сигналов ФМ-4, ФМ-8 и ФМ-16 и корректирующих кодов с проверкой на четность в полях $GF({{2}^{2}})$, $GF({{2}^{3}})$, $GF({{2}^{4}})$. Показано, что применение алгоритма посимвольного приема обеспечивает энергетический выигрыш до 1.5…2.0 дБ по отношению к передаче и приему фазоманипулированных сигналов без кодирования.

Показано также относительно небольшие различия вероятностных характеристик по отношению к предельным теоретическим характеристикам пропускной шенноновской способности АБГШ-канала: для рассматриваемых сигнальных конструкций на основе сигналов ФМ-4, ФМ-8 и ФМ-16 различие не превышает 1.75, 1 и 1.1 дБ соответственно для ${{P}_{c}} = {{10}^{{ - 4}}}$.

Разработка и исследование вычислительных процедур итеративного приема на основе рассмотренного алгоритма посимвольного приема для эффективных кодовых конструкций, например для блоковых турбо-кодов, формируемых на основе блоковых кодов в недвоичных полях $GF({{2}^{m}})$, представляет перспективное направление исследований.