1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Радиотехника и электроника
  4. T. 67, № 8, 2022

Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 8, стр. 788-792

Формирование семеричных последовательностей Гордона–Миллса–Велча для систем передачи цифровой информации

В. Г. Стародубцев *

Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского
197198 Санкт-Петербург, ул. Ждановская, 13, Российская Федерация

* E-mail: vgstarod@mail.ru

Поступила в редакцию 16.11.2021
После доработки 26.11.2021
Принята к публикации 15.01.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Представлены семеричные последовательности Гордона–Миллса–Велча (ГМВП) с периодом N = 2400, формируемые в конечных полях GF[(7m)]n = GF(7S). Получены проверочные полиномы hГМВП(x) в виде произведения как примитивных, так и неприводимых полиномов hсi(x) степени S = 4. Показано, что для формирования ГМВП путем суммирования последовательностей с полиномами hсi(x) требуется знание символов М-последовательности (МП) с полиномом hМП(x) и индексов децимации, определяемых показателями степени корней полиномов hсi(x). Определено, что по сравнению с двоичным случаем семеричные суммируемые последовательности могут иметь начальный сдвиг, кратный величине N/(p – 1) = 400. Показано, что для каждого из 160 примитивных полиномов степени S = 4 в поле GF(74) можно сформировать по семь ГМВП с эквивалентной линейной сложностью ls от 12 до 84. Максимальный выигрыш в структурной скрытности по сравнению с семеричными МП составляет 21 раз.

ВВЕДЕНИЕ

В существующих системах передачи цифровой информации (СПЦИ) при формировании фазоманипулированных сигналов с расширенным спектром (СРС) в основном применяются двоичные псевдослучайные последовательности (ПСП), такие как М-последовательности (МП), последовательности Голда, Касами, а также последовательности Гордона–Миллса–Велча (ГМВП) [1–7].

Одним из направлений развития СПЦИ является переход от двоичных к многопозиционным сигналам, в частности к многофазным. Многофазные СРС формируются на основе недвоичных ПСП и обеспечивают повышение помехозащищенности СПЦИ в условиях радиоэлектронного противодействия, особенно по отношению к структурным помехам. Таким образом, в СПЦИ, к которым предъявляются повышенные требования по конфиденциальности, должны применяться ПСП, обладающие как хорошими корреляционными свойствами, так и высокой структурной скрытностью [8–10].

Вопросы разработки алгоритмов формирования недвоичных ПСП нашли отражение в большом количестве публикаций как в нашей стране, так и за рубежом [11–20]. В указанных работах представлены результаты исследований по синтезу ПСП, имеющих различные характеристики, как корреляционные, так и структурные. При этом в большинстве случаев увеличение структурной скрытности ПСП ведет к росту боковых лепестков ее периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) и, соответственно, к снижению помехозащищенности СПЦИ.

Среди представителей минимаксных последовательностей, обладающих минимальным значением бокового лепестка ПАКФ, в первую очередь можно выделить МП и ГМВП. При этом ГМВП отличается более высокой структурной скрытностью, которая характеризуется ЭЛС ls и численно равна степени проверочного полинома deg hГМВП(x) [11, 12]. Это определяет приоритетность применения ГМВП в СПЦИ, функционирующих в условиях радиоэлектронного противодействия, особенно при наличии имитационных помех, повторяющих по структуре полезный сигнал. С точки зрения практического применения ГМВП и обеспечения требуемого выигрыша в структурной скрытности периоды формируемых последовательностей должны составлять не менее единиц тысяч.

Цель данной статьи – определить проверочные полиномы hГМВП(x) семеричных ГМВП с периодом N = 2400, а также начальные сдвиги суммируемых последовательностей.

1. ПРОЦЕДУРА ФОРМИРОВАНИЯ НЕДВОИЧНЫХ ГМВП

Недвоичные ГМВП с периодом N = pmn – 1 формируются над конечными полями

$GF[{{({{p}^{m}})}^{n}}] = GF({{p}^{S}}),\,\,\,\,S = mn.$

Символы di (i = 0, …, N – 1) ГМВП определяются выражением [3, 6, 11, 19]

(1)
$\begin{gathered} {{d}_{i}} = {\text{t}}{{{\text{r}}}_{{m1}}}[{{({\text{t}}{{{\text{r}}}_{{mn,m}}}({{{{\alpha }}}^{i}}))}^{r}}], \\ 1 \leqslant r < {{p}^{m}}--{\text{ }}1,\,\,\,\,(r,{{p}^{m}}--1) = 1, \\ \end{gathered} $
где tra,b(α) – след элемента α из поля GF(pa) в поле GF(pb); α ∈ GF[(pm)n] – примитивный элемент; параметр r – натуральное число, взаимно простое с порядком мультипликативной группы подполя GF(pm), равным pm – 1.

Формирование недвоичных ГМВП над полями GF[(pm)n] осуществляется на основе базисной МП с аналогичным периодом N = pmn – 1 и примитивным проверочным полиномом hМП(x) степени S = mn. Базисная МП представляется в каноническом виде, т.е. ее символы определяются выражением (1) при r = 1

(2)
${{d}_{i}} = {\text{t}}{{{\text{r}}}_{{mn,1}}}({{\alpha }^{i}}).$

Базисная МП при значении параметра n = 2 представляется в виде матрицы FМП с размерностью [J × L] = [(pm – 1) × (pm + 1)]. Столбцы этой матрицы являются различными циклическими сдвигами МП с более коротким периодом J = pm–1, Данная МП называется характеристической последовательностью (ХП).

Последовательность номеров циклических сдвигов ХП1 в матрице FМП образует правило формирования (ПФ) Ip, в соответствии с которым строится матрица ГМВП FГВМП. Формирование матрицы FГВМП производится путем замены по правилу Ip столбцов матрицы FМП, являющихся циклическими сдвигами ХП1, на соответствующие циклические сдвиги ХП2, которая является другой МП с периодом J = pm–1. Определяется проверочный полином ГМВП hГМВП(x), который представляется в виде произведения неприводимых полиномов hсi(x) степени S. Вычисляются начальные символы суммируемых последовательностей с учетом их сдвига на величину N/(p – 1) [19].

2. ФОРМИРОВАНИЕ СЕМЕРИЧНЫХ ГМВП С ПЕРИОДОМ N = 2400

Особенностью формирования семеричных ГМВП является необходимость определения периодов суммируемых ПСП и числа примитивных полиномов в подполях GF(7m). При этом формирование ГМВП с периодом N = 74 – 1 = 2400 характеризуется тем, что для каждой из 160 базисных МП можно сформировать по семь ГМВП с ЭЛС от ls = 12 до ls = 84. Это определяется наличием восьми примитивных полиномов в поле GF(72) и, соответственно, семи значений параметра r > 1 в (1).

Ниже приведены значения ЭЛС ls формируемых ГМВП в зависимости от параметра r [20]:

r 5 11 13 17 19 25 41
ls 12 20 28 24 36 40 84

При формировании семеричных ГМВП с периодом N = 74 – 1 = 2400 в поле GF[(72)2] используется базисная МП с полиномом hМП(x) = h1(x) = = x4 + x2 + 3x + 5, которая представляется в виде матрицы размерности [J × L] = [48 × 50]. Нижний цифровой индекс здесь и в дальнейшем соответствует минимальному показателю степени корней данного полинома. В поле GF(72) существует восемь примитивных полиномов, по которым могут формироваться ХПi:

${{h}_{1}}(x) = {{x}^{2}} + x + 3$
с корнем α1 (по которому построено поле),

${{h}_{5}}\left( x \right) = {{x}^{2}} + 3x + 5,$
${{h}_{{11}}}\left( x \right) = {{x}^{2}} + 4x + 5,$
${{h}_{{13}}}\left( x \right) = {{x}^{2}} + 2x + 3,$
${{h}_{{17}}}\left( x \right) = {{x}^{2}} + 2x + 5,$
${{h}_{{19}}}\left( x \right) = {{x}^{2}} + 5x + 3,$
${{h}_{{25}}}\left( x \right) = {{x}^{2}} + 6x + 3,$
${{h}_{{41}}}\left( x \right) = {{x}^{2}} + 5x + 5.$

Столбцы матрицы являются циклическими сдвигами МП с периодом N = 48 и выступают в качестве ХП1 с примитивным полиномом hХП1(x) = = h5(x) = x2 + 3x + 5 (с корнем α5) поля GF(72), которое построено по полиному f(x) = h1(x) =x2 + + x + 3, α = а.

В результате построения базисной МП получено следующее правило формирования:

(3)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{I}}}_{{\mathbf{р}}}} = {\text{ }}(26,14,15,24,31,25,8,38,37,24,20,26,47,13,45,5,15,37,39,9,33,12,40,5,0, - , \\ 23,27,13,32,4,27,8,5,30,19,10,25,10,36,29,32,44,44,13,29,34,26,16,14). \\ \end{gathered} $

Увеличение номера сдвига соответствует сдвигу последовательности вправо. Прочерк в ПФ обозначает нулевую последовательность.

Рассмотрим формирование ГМВП при r = 17 и r = 41. В первом случае в соответствии с (3) ХП1 заменяем на ХП2 с hХП2(x) = h17(x) = x2 + 2x + 5 и определяем проверочный полином ГМВП1:

(4)
$\begin{gathered} {{h}_{{{\text{ГМВП1}}}}}(x) = {{х}^{{24}}} + 2{{х}^{{23}}} + {{х}^{{22}}} + 3{{х}^{{20}}} + 3{{х}^{{19}}} + 3{{х}^{{18}}} + \,\,6{{х}^{{17}}} + 6{{х}^{{16}}} + 4{{х}^{{15}}} + 4{{х}^{{14}}} + {{х}^{{13}}} + 4{{х}^{{12}}} + \\ + \,\,5{{х}^{{11}}} + 5{{х}^{{10}}} + 5{{х}^{9}} + 4{{х}^{8}} + 5{{х}^{7}} + 5{{х}^{6}} + \,2{{х}^{5}} + 2{{х}^{4}} + 4{{х}^{3}} + 1. \\ \end{gathered} $

Таким образом, ЭЛС полученной ГМВП1 равна ls = 24, что соответствует значению, полученному в [20]. Разложение на неприводимые полиномы в поле GF(74) имеет следующий вид:

(5)
$\begin{gathered} {{h}_{{{\text{ГМВП1}}}}}(x) = {{h}_{{{\text{с1}}}}}(x){{h}_{{{\text{с2}}}}}(x){{h}_{{{\text{с3}}}}}(x){{h}_{{{\text{с4}}}}}(x){{h}_{{{\text{с5}}}}}(x){{h}_{{{\text{с6}}}}}(x) = {{h}_{{17}}}\left( x \right){{h}_{{23}}}\left( x \right){{h}_{{65}}}\left( x \right){{h}_{{71}}}\left( x \right){{h}_{{113}}}\left( x \right){{h}_{{401}}}\left( x \right) = \\ = ({{х}^{4}} + 3{{х}^{3}} + {{х}^{2}} + 3)({{х}^{4}} + 6{{х}^{3}} + 5{{х}^{2}} + 5х + 3)({{х}^{4}} + 3{{х}^{3}} + 3{{х}^{2}} + х + 3) \times \\ \times \,\,({{х}^{4}} + 2{{х}^{3}} + 5{{х}^{2}} + 6х + 3)\left( {{{х}^{4}} + 2{{х}^{3}} + 5{{х}^{2}} + 5х + 3} \right)\left( {{{х}^{4}} + 4{{х}^{2}} + 4х + 3} \right). \\ \end{gathered} $

Все полиномы в (5) являются примитивными, кроме полинома h65(x) = х4+ 3х3+ 3х2+ х + 3, у которого корни имеют период, равный 480, что соответствует периоду формируемой последовательности.

Сдвиги суммируемых ПСП (табл. 1) определены на основе сравнения решений системы из 24-х уравнений со значениями символов, полученными путем децимации базисной МП по индексам id1 = = 17, id2 = 23, id3 = 65, id4 = 71, id5 = 113 и id6 = 401.

Таблица 1.

Сдвиги суммируемых ПСП при r = 17 и hМП(x) = h1(x)

МП (ПСП) Сдвиг Значения начальных символов ПСП
с0 с1 с2 с3
F17 0 d0 = 4 d17 = 4 d34 = 0 d51 = 3
F23 0 d0 = 4 d23 = 1 d46 = 5 d69 = 6
F65 2000 d2000 = 5 d2065 = 5 d2130 = 2 d2195 = 5
F71 1600 d1600 = 1 d1671 = 3 d1742 = 2 d1813 = 1
F113 2000 d2000 = 5 d2113 = 1 d2226 = 3 d2339 = 0
F401 1200 d1200 = 3 d1601 = 0 d2002 = 1 d3 = 5
ГМВП1   1 0 6 6

Последовательность ГМВП1 с ЭЛС ls = 24 формируется в результате сложения по mod7 ПСП F17, F23, …, F401 с циклическими сдвигами в соответствии с табл. 1. В последней строке таблицы приведены начальные символы ГМВП1. Формирование последовательности выполняется продолжением таблицы вправо с учетом того, что все символы di определяются из базисной МП.

Во втором случае при r = 41 в соответствии с (3) ХП1 заменяем на ХП3 с полиномом hХП3(x) = h41(x) = x2 + + 5x + 5 и определяем проверочный полином ГМВП2:

(6)
$\begin{gathered} {{h}_{{{\text{ГМВП2}}}}}(x) = {{х}^{{84}}} + 6{{х}^{{83}}} + 3{{х}^{{81}}} + 4{{х}^{{80}}} + 4{{х}^{{79}}} + 4{{х}^{{78}}} + 6{{х}^{{77}}} + {{х}^{{76}}} + \ldots + 4{{х}^{4}} + 5{{х}^{3}} + 4х + 6 = \\ = {{h}_{{41}}}\left( x \right){{h}_{{47}}}\left( x \right){{h}_{{89}}}\left( x \right){{h}_{{95}}}\left( x \right){{h}_{{137}}}\left( x \right){{h}_{{143}}}\left( x \right){{h}_{{185}}}\left( x \right){{h}_{{191}}}\left( x \right){{h}_{{233}}}\left( x \right){{h}_{{239}}}\left( x \right){{h}_{{281}}}\left( x \right) \times \\ \times \,\,{{h}_{{425}}}\left( x \right){{h}_{{431}}}\left( x \right){{h}_{{473}}}\left( x \right){{h}_{{479}}}\left( x \right){{h}_{{521}}}\left( x \right){{h}_{{527}}}\left( x \right){{h}_{{569}}}\left( x \right){{h}_{{809}}}\left( x \right){{h}_{{815}}}\left( x \right){{h}_{{857}}}\left( x \right). \\ \end{gathered} $

При r = 41 достигается максимальное значение ЭЛС ГМВП ls = 84, что в 21 раз превышает ЭЛС МП. В результате сравнения решений системы из 84-х уравнений со значениями символов, полученными путем децимации по индексам полиномов из (6), определены значения сдвигов ПСП (табл. 2).

Таблица 2.

Сдвиги суммируемых ПСП при r = 41 и hМП(x) = h1(x)

МП (ПСП) Сдвиг МП (ПСП) Сдвиг МП (ПСП) Сдвиг
F41 0 F191 2000 F479 800
F47 0 F233 0 F521 1600
F89 1200 F239 400 F527 800
F95 400 F281 1200 F569 400
F137 0 F425 1600 F809 2000
F143 2000 F431 1600 F815 2000
F185 1200 F473 400 F857 800

Значения сдвигов, которые кратны величине N/(p – 1) = 400, остаются неизменными при формировании ГМВП для произвольной базисной МП при соблюдении очередности суммируемых последовательностей.

В качестве примера выполним формирование ГМВП3 с ЭЛС ls = 24, если базисная МП задается полиномом hМП(x) = h481(x) = x4 + x3 + 6x2 + 2x + 5. Проверочный полином ГМВП определяется выражением

(7)
$\begin{gathered} {{h}_{{{\text{ГМВП3}}}}}(x) = {{h}_{{17 \times 481\,{\text{mod}}\,2400}}}(x){{h}_{{23 \times 481\,{\text{mod}}\,2400}}}(x){{h}_{{65 \times 481\,{\text{mod}}\,2400}}}(x){{h}_{{71 \times 481\,{\text{mod}}\,2400}}}(x){{h}_{{113 \times 481\,{\text{mod}}\,2400}}}(x) \\ {{h}_{{401 \times 481\,{\text{mod}}\,2400}}}(x) = {{h}_{{977}}}(x){{h}_{{209}}}(x){{h}_{{65}}}(x){{h}_{{551}}}(x){{h}_{{1271}}}(x){{h}_{{881}}}(x), \\ \end{gathered} $

в котором в качестве индексов полиномов выбраны минимальные показатели степени их корней. При этом табл. 1 преобразуется в табл. 3. Изменяются только номера символов базисной МП, а начальные сдвиги соответствующих последовательностей остаются без изменения.

Таблица 3.

Сдвиги суммируемых ПСП при r = 17 и hМП(x) = h481(x)

МП (ПСП) Сдвиг Значения начальных символов ПСП
с0 с1 с2 с3
F977 0 d0 = 4 d977 = 6 d1954 = 3 d531 = 5
F209 0 d0 = 4 d209 = 1 d418 = 3 d627 = 5
F65 2000 d2000 = 5 d2065 = 5 d2130 = 2 d2195 = 5
F551 1600 d1600 = 1 d2151 = 1 d302 = 4 d853 = 4
F1271 2000 d2000 = 5 d871 = 6 d2142 = 3 d1013 = 2
F881 1200 d1200 = 3 d2081 = 5 d562 = 2 d1443 = 4
ГМВП3   1 3 3 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной работе получены проверочные полиномы для семеричных ГМВП с периодом N = 2400, которые представлены в виде произведения неприводимых полиномов степени S. ГМВП образуется путем суммирования нескольких ПСП, для которых определены сдвиги, кратные величине N/(p – 1). Для формирования ГМВП требуется только знание значений символов одной базисной МП с hМП(x) = h1(x), параметра r, индексов полиномов суммируемых ПСП и их циклических сдвигов.

Показано, что для периода N = 2400 для каждого из 160 примитивных полиномов степени S = 4 в поле GF(74) можно сформировать по семь ГМВП с ЭЛС ls от 12 до 84. Максимальный выигрыш в структурной скрытности по сравнению с семеричными МП составляет 21 раз.

Полученные результаты могут быть использованы при формировании многофазных СРС в СПЦИ, к которым предъявляются повышенные требования по помехозащищенности и скрытности при выполнении условия минимального значения боковых лепестков ПАКФ.

Список литературы

  1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. М.: Вильямс, 2003.

  2. Вишневский В.М., Ляхов А.И., Портной С.Л., Шахнович И.В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. М.: Техносфера, 2005.

  3. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005.

  4. Ипатов В.П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007.

  5. CDMA: прошлое, настоящее, будущее. М.: МАС, 2003.

  6. No J.S. // IEEE Trans. 1996. V. IT-42. № 1. P. 260.

  7. Ипатов В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992.

  8. Lee W., Kim J.-Y., No J.S. // IEICE Trans. Commun. 2014. V. E97-B. № 1. P. 2311.

  9. Shi X., Zhu X., Huang X., Yue Q. // IEEE Commun. Lett. 2019. V. 23. № 7. P. 1132.

  10. Chen X., Zhang H. // J. Theoretical Appl. Inform. Technol. 2013. V. 52. № 1. P. 51.

  11. Chung H.B., No J.S. // IEEE Trans. 1999. V. IT-45. № 6. P. 2060.

  12. Cho C.-M., Kim J.-Y., No J.S. // IEICE Trans. Commun. 2015. V. E98. № 7. P. 1268.

  13. Kim Y.S., Chung J.S., No J.S., Chung H. // IEEE Trans. 2008. V. IT-54. № 8. P. 3768.

  14. Liang H., Tang Y. // Finite Fields and Their Appl. 2015. V. 31. P. 137.

  15. Kim J.Y., Choi S.T., No J.S., Chung H. // IEEE Trans. 2011. V. IT-57. № 6. P. 3825.

  16. Zhou Z., Helleseth T., Parampalli U. // IEEE Trans. 2018. V. IT- 64. № 4. P. 2896.

  17. Самойленко Д.В., Еремеев М.А., Финько О.А., Диченко С.А. // Труды СПИИРАН. 2018. Вып. 4. С. 31.

  18. Luo G., Cao X., Shi M., Helleseth T. // IEEE Trans. 2021. V. IT- 67. № 8. P. 5168.

  19. Стародубцев В.Г. // Труды СПИИРАН. 2019. Т. 18. № 4. С. 912.

  20. Cтapoдyбцeв B.Г. // PЭ. 2021. T. 66. № 8. C. 810.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Радиотехника и электроника

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал