Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 9, стр. 875-889

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа является развитием предыдущей работы [1], в которой на базе марковской теории оценивания (МТО) методом синтеза с переприсвоением параметров вектора непрерывных процессов (НП) были получены аналитические соотношения для оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки навигационных шумоподобных сигналов (ШПС) и, в частности, перспективных BOC-сигналов (binary offset carrier modulated signals), глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС), таких как GPS (США), Galileo (Европейский союз), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай), а также региональных навигационных спутниковых систем NavIC (Индия) и QZSS (Япония) [2–6].

При реализации на практике в приемниках ГНСС синтезированных квазиоптимальных алгоритмов с учетом области применения и круга решаемых задач на них, как правило, накладываются дополнительные ограничения и приближения. В результате в приемниках ГНСС используются субоптимальные (более простые) алгоритмы.

В работе полагаем, что приемник ГНСС установлен на высокодинамичном подвижном объекте, в частности, на летательном аппарате (ЛА), таком как самолет, вертолет, беспилотный ЛА и т.д. При этом определение местоположения и параметров динамики перемещения подвижного объекта в ГНСС основывается на псевдодальномерном беззапросном методе, при котором требуется одновременная видимость минимум четырех навигационных космических аппаратов (НКА) [5, 6].

Чтобы на основе измеренных псевдодальностей вычислить прямоугольные координаты подвижного объекта (например, в системе ПЗ-90 или WGS-84), в приемнике ГНСС, кроме того, необходимо для каждого НКА иметь сведения об эфемеридах, альманахе, поправках к бортовой шкале времени (ШВ) и т.д., полученные с помощью принятой навигационной служебной информации (СИ) [5, 6].

Таким образом, принимаемый от j-го НКА полезный BOC-сигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t)$ представляет собой нелинейную функцию от векторного дискретно-непрерывного процесса (ДНП) [X^T(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]^T:

где $j$ – номер НКА, $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, J – общее число всех одновременно видимых в данный момент времени НКА, Т – символ транспонирования.

Векторный ДНП [X^T(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]^T имеет дискретную часть в виде дискретного процесса (ДП) ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$, который содержит навигационную СИ от j-го НКА, и непрерывную часть, представляющую собой векторный диффузионный марковский случайный процесс X(t) (или его выборку).

Компоненты векторного НП X(t), как правило, характеризуют запаздывание принимаемого радиосигнала (содержащее информацию о пространственном положении и динамике перемещения подвижного объекта), фазу радиосигнала, доплеровский сдвиг частоты и т.д. [5–7].

Дискретный параметр ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ в принимаемом от j-го НКА BOC-сигнале ${{s}_{j}}(t)$ (1) является манипулируемой фазой и аппроксимируется простой цепью Маркова на $M$ положений [5, 6].

Задача синтеза оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов в [1] была решена на основе МТО методами нелинейной обработки векторных дискретно-непрерывных марковских случайных процессов [7–11].

Как известно, у навигационных ШПС, в том числе и у BOC-сигналов, время корреляции компонент вектора НП X(t) много больше длительности такта цепи Маркова, характеризующей ДП ${\kern 1pt} {{{{\Theta }}}_{j}}\left( t \right)$ ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $) [4, 10, 11]. В силу этого в [1] вектор НП X(t) в пределах каждого тактового интервала принимаемого радиосигнала был аппроксимирован векторным квазислучайным процессом, что позволило при разработке алгоритмов применить метод поэтапного решения уравнения Стратоновича [10, 12].

Кроме того, в [1] при разложении совместной апостериорной плотности вероятности (АПВ) векторного ДНП [X^T(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]^T был использован метод синтеза с переприсвоением параметров вектора НП X(t) [10, 11].

При получении субоптимальных алгоритмов многомерные дискриминаторы и другие модули в структуре приемников ГНСС разрабатываются применительно к своему частному пространству состояний, характеризуемому вектором параметров радиосигнала (ПРС) ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ [7, 13].

Каждый вектор ПРС Y_j(t) соответствует принимаемому от j-го НКА BOC-сигналу ${{s}_{j}}(t)$ (1), который может быть записан в виде [1, 7, 10]:

Компоненты вектора ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ представляют собой параметры, от которых принимаемый радиосигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t)$ непосредственно зависит (псевдодальность и псевдоскорость подвижного объекта, фаза и частота сигнала ${{s}_{j}}(t)$ и т.п.). Число векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ равно $J$ – числу всех одновременно видимых НКА.

Взаимосвязь каждого вектора ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ с вектором НП ${\mathbf{X}}(t)$ определяется соотношением [1, 7, 13]:

где ${{{\mathbf{L}}}_{j}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\}$ – известная нелинейная векторная функция, вектор-столбец ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ имеет размер ($m{\kern 1pt} \, \times 1{\kern 1pt} $), вектор-столбец ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$ имеет размер $(n \times 1{\kern 1pt} )$.

При получении субоптимальных алгоритмов важную роль играют матрицы Якоби, характеризующие функциональные связи между компонентами вектора НП X(t) и векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Матрица Якоби $L_{j}^{'}({\kern 1pt} t)$ определяется как частная производная вектора-столбца ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ по вектору-столбцу ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$ [7, 10, 13]:

Видно, что каждая матрица Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}({\kern 1pt} t)$ имеет размер ($m{\kern 1pt} \,\, \times n{\kern 1pt} $).

Для ряда приложений в области навигации, в том числе и применительно к ГНСС, изменения во времени элементов матриц Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}({\kern 1pt} t)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, на тактовых полуинтервалах $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2,...$, пренебрежимо малы. В силу этого при формировании субоптимальных алгоритмов полагаем постоянными во времени матрицы Якоби на тактовых полуинтервалах [7, 10, 13]:

Как видно из (3) и (4), число матриц Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}({\kern 1pt} t)$ равно числу всех одновременно видимых НКА $J$.

Цель работы – на основе алгоритмов с переприсвоением параметров получить аналитические соотношения субоптимальных условных оценок выборки вектора НП X(t) и ковариационной матрицы субоптимальных условных ошибок оценивания выборки вектора НП X(t), а также разработать соответствующую структурную схему тех модулей субоптимальной системы, которые отличны от модулей соответствующей квазиоптимальной системы.

В примерах используются sinBOC-сигналы с меандровой модуляцией типа BOC(1,1) на несущей частоте ${{f}_{{\text{Н}}}}$ = 1575.42 МГц при базовой (опорной) частоте ${{f}_{{{\text{О}}{\kern 1pt} {\text{П}}}}}$ = 1.023 МГц, которые характерны для E1OS сигналов ГНСС Galileo и для L1C сигналов ГНСС GPS применительно к спутникам GPS III [3, 4, 14, 15].

В работе всюду каждый вектор представляет собой вектор-столбец; производная от скалярной функции по вектору-столбцу понимается как вектор-строка, а выражения вида $\left[ {{\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial {\mathbf{Y}}_{{jk}}^{ * }}}} \right. \kern-0em} {\partial {\mathbf{Y}}_{{jk}}^{ * }}}} \right]$ рассматриваются как операторы, воздействующие на функции, расположенные после них.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Полагаем, что вектор наблюдения (ВН) $\Xi {\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ на входе приемника ГНСС имеет вид

и характеризуется соотношением

где – вектор принимаемых полезных BOC-сигналов от всей совокупности J одновременно видимых в данный момент НКА группировки ГНСС; – вектор аддитивных независимых стандартных белых гауссовских шумов (БГШ) с известными характеристиками; $j$ – номер НКА.

Переходная матрица ${{{\mathbf{G}}}_{\Xi }}(t)$, входящая в (7), определяет матрицу интенсивностей шумов ${{{\mathbf{B}}}_{{\Xi \Xi }}}(t)$:

где матрица ${{{\mathbf{B}}}_{{\Xi \Xi }}}(t)$ – невырожденная, т.е. ${\mathbf{B}}_{{\Xi \Xi }}^{{ - 1}}\left( t \right)$ существует.

Наблюдение на входе приемника ГНСС от $j$-го НКА ${{\xi }_{j}}(t)$ представляет собой согласно (7) аддитивную смесь полезного BOC-сигнала и шума:

где ${{s}_{j}}(t)$ – принимаемый полезный BOC-сигнал от j-го НКА на входе приемника ГНСС, характеризуемый (7); ${{n}_{j}}(t)$ – аддитивная флуктуационная помеха в наблюдении ${{\xi }_{j}}(t)$ от j-го НКА.

Флуктуационная помеха ${{n}_{j}}(t)$, аппроксимируемая стационарным БГШ, имеет статистические характеристики, определяемые согласно (7), которые записываются в виде

где ${{N}_{{0j}}}$ – интенсивность j-го БГШ, $M[\, \cdot \,]$ – символ усреднения по множеству реализаций.

Полезные BOC-сигналы ${\mathbf{S}}(t)$ на входе приемника ГНСС достаточно детально рассмотрены в [1].

Принятый от j-го НКА полезный BOC-сигнал ${{s}_{j}}(t)$ (1) с использованием многопозиционной фазовой манипуляции (ФМ) для передачи СИ согласно [1] описывается следующим выражением:

где ${{A}_{{j\,}}}$ – амплитуда BOC-сигнала, принимаемого от j-го НКА; ${{d}_{j}}(t)$ – модулирующая функция (МФ) BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$, отражающая специфику навигационных ШПС и собственно BOC-сигналов; ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ – информационный ДП, предназначенный для передачи СИ от j-го НКА; ${{\varphi }_{{j\,}}}(t)$ – фаза радиосигнала; ${{\omega }_{{j\,{\text{Н}}}}} = 2\pi {\kern 1pt} {{f}_{{j\,{\text{Н}}}}}$ – круговая несущая частота радиосигнала; ${{f}_{{j\,{\text{Н}}}}}$ – несущая частота BOC-сигнала; ${{\tau }_{{Зj}}}$ – запаздывание принимаемого радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ на трассе от j-го НКА до подвижного объекта; $\Delta {{\omega }_{{D{\kern 1pt} j}}}$ – доплеровский сдвиг несущей частоты принимаемого радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ на трассе от j-го НКА до приемника ГНСС; $\Delta {{\omega }_{{{\kern 1pt} j}}}$ – медленный сдвиг несущей частоты ${{\omega }_{{j\,{\text{Н}}}}}$, возникающий в канале распространения радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ и в измерительном устройстве приемника. Начало отсчета в (10) принято равным ${{t}_{0}}$ = 0.

В формуле (10) $M = {{2}^{n}}$ представляет собой показатель многопозиционности ФМ, n – целое положительное число. Так, например, при $M = 2$ ($i$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,2} $) имеет место двоичная ФМ, при $M = 4$ ($i$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,4} $) – квадратурная ФМ.

Отметим, что в (10) и далее используется более общая модель ФМ (многопозиционная ФМ на $M$ положений) по сравнению с двоичной ФМ, которая используется в навигационных сигналах современных ГНСС.

Характеризующий в (10) многопозиционную ФМ ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ = $\left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\}$ применительно к j-му НКА определяется соотношением

где $i$ – номер состояния ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$, $i$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,M} $.

У навигационных BOC-сигналов ${{s}_{j}}(t)$ (10) МФ ${{d}_{j}}(t)$ в простейшем случае является результатом перемножения двух двоичных последовательностей: псевдослучайной последовательности (ПСП) дальномерного кода ${{g}_{j}}(t)$ и меандрового поднесущего колебания (МПК) ${{r}_{j}}(t)$ (специфика BOC-сигналов) [2–4]. Тогда МФ навигационного BOC-сигнала ${{d}_{j}}(t)$ записывается в виде [2–4]

где ${{g}_{j}}(t)$ – ПСП дальномерного кода, характеризующая навигационный ШПС применительно к j-му НКА, и ${{r}_{j}}(t)$ – МПК, отражающее специфику собственно BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$. Последовательности ${{g}_{j}}(t)$ и ${{r}_{j}}(t)$ состоят из чередующихся единичных видеоимпульсов соответствующей длительности, меняющих свою полярность по определенным законам согласно кодовым коэффициентам, значения которых на каждом такте равны +1 или –1.

Вектор принимаемых полезных BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t)$ (7) от всей совокупности $J$ одновременно видимых в данный момент НКА группировки ГНСС может быть представлен в виде

где ${{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = [{{\Theta }_{{1k}}},{{\Theta }_{{2k}}},...,{{\Theta }_{{jk}}},...,{{\Theta }_{{Jk}}}]{{{\kern 1pt} }^{T}}$ – вектор ДП применительно ко всей совокупности J одновременно видимых НКА; ${{\Theta }_{{jk}}}$ = ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ – ДП принимаемого BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) от j-го НКА.

Свойства и характеристики вектора НП ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$, а также его взаимосвязь с векторами ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $, применительно к решаемой задаче изложены в [1].

Для характеристики вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ в [1] использована типовая математическая модель (ММ) динамики объектов навигации (например, ЛА) на основе прямоугольной гринвичской системы координат, которая описывает положение подвижного объекта и его движение в пространстве применительно к небольшим отрезкам времени [1, 7].

Согласно принятой ММ динамики ЛА имеем, что вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ представляет собой многокомпонентный диффузионный гауссовский марковский процесс, который в общем виде может быть описан векторно-матричным линейным стохастическим дифференциальным уравнением [1, 7]:

где ${\mathbf{X}}(t) = {{[{{x}_{1}}(t),{{x}_{{\text{2}}}}(t),..,{{x}_{n}}(t)]}^{T}}$ – вектор-столбец НП размером ($n{\kern 1pt} \,\, \times 1$); $n$ – число компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$; ${{{\mathbf{A}}}_{{\mathbf{X}}}}(t)$ – матрица состояния размером ($n\,\,{\kern 1pt} \times n$); ${{{\mathbf{U}}}_{{{\text{упр}}}}}(t)$ – детерминированный вектор управления; ${{{\mathbf{С}}}_{X}}(t)$ – матрица управления; ${{{\mathbf{N}}}_{X}}(t)$ – вектор стандартных БГШ; ${{{\mathbf{G}}}_{X}}(t)$ – матрица интенсивностей шумов; ${{{\mathbf{B}}}_{{XX}}}(t) = {{{\mathbf{G}}}_{X}}(t){\mathbf{G}}_{X}^{T}(t)$ – матрица коэффициентов диффузии вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$.

Конкретный вид матриц применительно к (14) приведен в [1], где также содержится описание компонент нелинейной векторной функции ${{{\mathbf{L}}}_{j}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\}$ (3).

У навигационного BOC-сигнала, излучаемого j-м НКА, возможные моменты перехода ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ из одного состояния в другое являются дискретными и определяются выражением ${{t}_{k}} = {{t}_{0}} + kT$, где длительность такта $T = {\text{const}}$.

Длительность такта $T$=$\,{{t}_{{k + 1}}}\,--{{t}_{k}}{\kern 1pt} $ ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ для ГНСС типа ГЛОНАСС, GPS и Galileo равна длительности информационной посылки СИ: $T$ = = ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = 20 мс [5, 6].

На входе приемника ГНСС у принимаемого от j-го НКА полезного BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) возможные моменты времени перехода ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}} - {{\tau }_{{Зj}}})$ из одного состояния в другое являются случайными, поскольку они зависят от случайного запаздывания ${{\tau }_{{Зj}}}$ принимаемого сигнала.

Напомним, что далее применительно к ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ в принимаемом от j-го НКА BOC-сигнале ${{s}_{j}}(t)$ (10) индекс j там, где это не затрудняет понимания, не приводим.

На всех тактовых полуинтервалах времени $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2, \ldots $, ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ остается постоянным и характеризуется априорным уравнением вида

Вектор вероятностей начального состояния ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ и матрица одношаговых вероятностей перехода соответственно имеют вид [1, 10, 11]:

В начале k-го такта $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ вероятности состояний ДП $\Theta ({{t}_{k}})$

определяются формулой [1, 10, 11]:

где ${{P}_{{\vartheta m}}}({{t}_{k}}--0)$ – вероятность состояния ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ в конце (k – 1)-го такта $[{{t}_{{k--1}}},{{t}_{k}})$.

Для повышения конструктивности решения задачи синтеза в [1] при использовании методов МТО было применено двухэтапное решение уравнения Стратоновича [10, 12].

Применяя метод двухэтапного решения уравнения Стратоновича, удается применительно к j-му НКА обоснованно упростить ММ оцениваемого вектора состояния (ВС), представляющего собой ДНП [X^T(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]^T, и тем самым улучшить конструктивность решения задачи синтеза [1, 12, 13].

Суть такого упрощения ММ оцениваемого ВС [X^T(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]^T заключается в возможности описания на тактовых полуинтервалах времени $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где ${{t}_{k}}$ = ${{t}_{0}}$ + $k{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ (k = 0, 1, 2, …), компонент вектора ${\mathbf{X}}(t)$ квазислучайными процессами. Применительно к ГНСС ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = 20 мс [5, 6]. Обработка ВН $\Xi {\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ (6–8) при этом выполняется в два этапа.

На первом этапе применительно к каждому k-му такту $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,\,1,\,2,..$, обрабатывается только вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ (14) оцениваемого ВС [X^T(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]^T, поскольку ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( {t{\kern 1pt} } \right)$ при этом остается постоянным.

В таком случае для первого этапа обработки удается найти точное решение уравнения Стратоновича как решение нелинейной задачи оценки параметров в силу аппроксимации ММ вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ (14) векторным квазислучайным процессом.

На втором этапе обработка осуществляется в дискретном времени в точках $t = {{t}_{k}} + 0$, где $k = 0,1,2, \ldots $, т.е. в точках возможной смены состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( {t{\kern 1pt} } \right)$ (с учетом запаздывания ${{\tau }_{{Зj}}}$ принимаемого BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) на трассе).

При этом оценки компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$, полученные на первом этапе обработки, используются в качестве начальных значений для второго этапа обработки ВС [X^T(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]^T, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

В дискретные моменты времени ${{t}_{k}}$, где k = $ = 0,1,2,..$, вектор НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}} = {\mathbf{X}}({{t}_{k}})$, характеризуемый (14), описывается эквивалентным линейным векторно-матричным стохастическим разностным уравнением

где ${{{\mathbf{N}}}_{{X{\kern 1pt} k}}} = {{{\mathbf{N}}}_{X}}({{t}_{k}})$ – вектор формирующих стандартных дискретных БГШ, ${{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}$, ${{{\mathbf{\Psi }}}_{{XU}}}$ и ${{{\mathbf{\Gamma }}}_{X}}$ – известные матрицы, ${{U}_{{{\text{упр}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} k}}}$ – дискретный вектор управления.

Аналогично [1] полагаем, что длительность тактового интервала (информационной посылки СИ) $T$ =${{t}_{{k + 1}}}--{{t}_{k}}{\kern 1pt} $ ДП $\Theta \,({{t}_{k}})$ ($T$ = ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = 20 мс) достаточно мала, чтобы в (1) вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ на каждом полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, $k = 0,\,1,\,2,...$, можно было с требуемой для оценивания степенью точности аппроксимировать векторным квазислучайным процессом [1, 10, 12]:

где ${\mathbf{f}}(\, \cdot \,)$ – детерминированная векторная функция; ${{{\mathbf{X}}}_{k}} = {\mathbf{X}}({{t}_{k}}) = {\mathbf{f}}({{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ – начальное значение на $k$-м такте.

Функция ${\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ равна [1, 10, 12]

где ${{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}(t,{{t}_{k}})$ – переходная матрица состояния (18).

В соответствии с (19) принимаемый от j-го НКА полезный BOC-сигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t)$ (1) в пределах одного тактового полуинтервала $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ принимает вид

где ${{\Theta }_{{j{\kern 1pt} k}}} = {{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} {\kern 1pt} ,$ $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, $k = 0,\,1,\,2,...$, $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

2. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМОВ С ПЕРЕПРИСВОЕНИЕМ ПАРАМЕТРОВ ВЕКТОРНОГО ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО ПРОЦЕССА [X^T(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$]^T

Задача синтеза, решенная в [1], заключается в том, чтобы на $k$-м такте $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,\,1,\,2,...$, имея априорные сведения (11), (18) и (17) и располагая ВН (6) и (7) об оцениваемом ВС [X^T(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$]^T, на основе метода с переприсвоением параметров вектора НП получить оптимальную оценку ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$ выборки вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ и оптимальные оценки ${{\hat {\Theta }}_{j}}$$\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right)$ компонент вектора ДП ${{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = [{{\Theta }_{{1k}}},{{\Theta }_{{2k}}},...,{{\Theta }_{{jk}}},...,{{\Theta }_{{Jk}}}]{{{\kern 1pt} }^{T}}$ применительно ко всей совокупности J одновременно видимых НКА.

Полученная в [1] оптимальная оценка ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$ выборки вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ удовлетворяет критерию минимума апостериорного риска при квадратичной функции потерь.

Известно, что оптимальной оценкой ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$, удовлетворяющей этому критерию, является апостериорное математическое ожидание ${{M}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right]$ выборки вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ [8–11]:

где ${\mathbf{\hat {X}}}(t)$ – оптимальная оценка вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$; – АПВ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$; – реализация ВН ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ на отрезке $[{{t}_{0}},{{t}_{{k + 1}}}]$ применительно к входу приемника ГНСС.

Если АПВ ${{p}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ является унимодальной и гауссовской, то оптимальная оценка ${\mathbf{\hat {X}}}(t)$ согласно критерию (22) и критерию максимума АПВ совпадают [8–11], что и полагаем выполненным в дальнейшем.

Оптимальная оценка ${{\hat {\Theta }}_{j}}$$\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right)$ ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $, применительно к j-му НКА в соответствии с [1] удовлетворяет критерию минимума апостериорного риска при простой функции потерь, что эквивалентно критерию максимума апостериорной вероятности (АВ) ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$ [8–11]:

где ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)$ – АВ состояния ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$ в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$.

Задача синтеза оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов была решена в [1] на базе МТО методами нелинейной обработки векторных ДНП [7–12].

Реализация полученных в [1] оптимальных алгоритмов практически затруднена, так как требует знания АПВ вектора НП ${\mathbf{X}}\left( t \right)$. В таких случаях, как обычно, применен метод гауссовской аппроксимации, при котором истинная АПВ вектора НП ${\mathbf{X}}\left( t \right)$ аппроксимируется законом Гаусса, и формируются квазиоптимальные алгоритмы [8–11].

Особенностью применения метода гауссовской аппроксимации применительно к алгоритмам с переприсвоением параметров вектора НП в [1] является то, что гауссовским законом аппроксимируются условные по ДП $\Theta \left( t \right)$ АПВ

При формировании оптимальной оценки ДП ${{\hat {\Theta }}_{j}}$$\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right)$ на $k$-м такте все АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)$, где $i = \overline {1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} M} $, вычисляются в конце первого этапа обработки, т.е. в момент времени $t = $ ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, где $k = 0,1,2,....$ Поскольку в течение всего полуинтервала $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$ не меняет своего значения, то к окончанию полуинтервала точность оценивания АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)$ ДП ${\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$ максимальна.

Соотношение, характеризующее АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}(t)$ на первом этапе обработки, имеет следующий вид [1]:

где – усредненный по ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ парциальный ($i$-й) логарифм функционала правдоподобия (ЛФП) вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$.

Входящая в (25) производная по времени от ЛФП ${{F}_{{\Sigma i}}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}}{\kern 1pt} )$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА определяется по формуле [1]

где ${{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = [{{\Theta }_{{1k}}},{{\Theta }_{{2k}}},...,{{\Theta }_{{jk}}},...,{{\Theta }_{{Jk}}}]{{{\kern 1pt} }^{T}}$ – вектор ДП для всей совокупности J одновременно видимых НКА.

Усредненное по ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ значение производной по времени от ЛФП ${{F}_{{\Sigma i}}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}}{\kern 1pt} )$ характеризуется формулой

Начальное условие для (24) P_i ps(t_k + 0) определяется на втором этапе обработки на предыдущем ($k$ – 1)-м такте.

Таким образом, на основе критерия (23) в соответствии с (24) на $k$-м такте в конце первого этапа обработки, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$ ($k = 0,\;1,\;2,\,...$), формируются оптимальные оценки ДП ${{\hat {\Theta }}_{j}}$$\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

3. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМОВ С ПЕРЕПРИСВОЕНИЕМ ПАРАМЕТРОВ ВЕКТОРНОГО ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО ПРОЦЕССА [X^T(t),${\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$]^T

Как правило, на синтезированные квазиоптимальные алгоритмы при их реализации с учетом области применения и круга решаемых задач накладываются дополнительные ограничения и приближения.

В результате используются субоптимальные (более простые) алгоритмы.

В задачах синтеза, решаемых на основе МТО, основное упрощение субоптимальных алгоритмов (по сравнению с квазиоптимальными алгоритмами) состоит в том, что в таких алгоритмах применительно к векторным ДНП матрицы Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}({\kern 1pt} t)$(4) на тактовых полуинтервалах $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ принимаются постоянными во времени: ${\mathbf{L}}_{j}^{'}({\kern 1pt} t) = $ ${\mathbf{L}}_{j}^{'} = $ = const (5) [16]. По этой причине в подобных задачах субоптимальные алгоритмы отличаются от соответствующих квазиоптимальных лишь на первом этапе обработки, где и фигурируют матрицы Якоби.

На втором этапе в случае субоптимальных алгоритмов обработка сигналов на каждом такте производится по тем же алгоритмам, что и при квазиоптимальных алгоритмах [1, 13].

При формировании субоптимальных алгоритмов в качестве исходных в соответствии с [1] используем соотношения в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$, для квазиоптимальной условной оценки

и матрицы ковариаций квазиоптимальных условных ошибок оценивания где – квазиоптимальная условная АПВ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$; ${\mathbf{X}}_{k}^{ * }$ – квазиоптимальная оценка вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$; $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, $i = \overline {1,M} $.

Квазиоптимальная условная оценка (1-й момент условной АПВ $p_{{p{\kern 1pt} s{\kern 1pt} 1}}^{ * }{\kern 1pt} \left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}{\kern 1pt} \left| {j,i} \right.} \right)$) в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$, характеризуется следующим рекуррентным соотношением [1]:

где

– первая производная по вектору ${{{\mathbf{X}}}_{0}}$ парциального ($i$-го) ЛФП ${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{0}})$, представляющая собой вектор-столбец размером ($n{\kern 1pt} \,\, \times 1$).

В формулах (28), (29) и далее для краткости используется обозначение:

– квазиоптимальная условная оценка выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце второго этапа обработки на предыдущем ($k$ – 1)-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{k}} + 0$, при приеме BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) от j-го НКА; $k = 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2,..,$ $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, $i = \overline {1,M} $.

Входящая в (29) производная по времени от парциального ЛФП (т.е. ЛФП, соответствующего значению ДП ${{\theta }_{k}} = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}$) ${{F}_{{\Sigma i}}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}}{\kern 1pt} )$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА характеризуется формулой (26). Сам парциальный ЛФП ${{\Phi }_{{\Sigma \,i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ определяется как

Матрица ковариаций квазиоптимальных условных ошибок оценивания (2-й момент условной АПВ $p_{{p{\kern 1pt} s{\kern 1pt} 1}}^{ * }{\kern 1pt} \left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}{\kern 1pt} \left| {j,i} \right.} \right)$) в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$, характеризуется следующим рекуррентным соотношением [1]:

где – вторая производная по вектору ${{{\mathbf{X}}}_{0}}$ парциального ($i$-го) ЛФП ${{\Phi }_{{\Sigma \,i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{0}})$, представляющая собой матрицу размером ($n{\kern 1pt} \,\, \times n{\kern 1pt} $);

– матрица ковариаций квазиоптимальных условных ошибок оценивания $\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{{j,i}}^{ * }({{t}_{k}} + 0\left| {{{t}_{k}} + 0} \right.)} \right]$ в конце второго этапа обработки на предыдущем ($k$ – 1)-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{k}} + 0$, при приеме BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) от j-го НКА; функция ${{F}_{{\Sigma i}}}(\tau ,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$ в (32) определяется согласно (26); $k = 0,1,2,..,$ $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, $i = \overline {1,M} $.

Отметим, что в (32) и далее производная от скалярной функции по вектору-столбцу всюду, как обычно$,$ понимается как вектор-строка, а выражение ${{\left( {{\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial {\mathbf{X}}_{k}^{ * }}}} \right. \kern-0em} {\partial {\mathbf{X}}_{k}^{ * }}}} \right)}^{T}}$ представляет собой дифференциальный оператор, воздействующий на функцию, расположенную от него справа.

Соответствующие соотношения для квазиоптимальной безусловной оценки ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ и матрицы ковариаций квазиоптимальных безусловных ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\text{*}}({\kern 1pt} {\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$, применительно к (28) и (31) имеют вид [1]

где ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)$ – АВ состояния ДП ${{\Theta }_{{j{\kern 1pt} k}}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$; $k = 0,1,2,..$, $i = \overline {1,M} ,$ $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Являющиеся исходными для разработки субоптимальных алгоритмов соотношения, которые характеризуют квазиоптимальную условную оценку ${\mathbf{X}}_{{j,{\kern 1pt} {\kern 1pt} i}}^{ * }({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ и матрицу ковариаций квазиоптимальных условных ошибок оценивания ${\mathbf{K}}_{{j,{\kern 1pt} {\kern 1pt} i}}^{ * }({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$, соответственно имеют вид (28) и (31).

При переходе от квазиоптимальных алгоритмов к субоптимальным, как следует из рассмотрения (28) и (31), преобразованиям и упрощениям подвергаются первая $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}({{t}_{{k + {\kern 1pt} 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{0}})$ (29) и вторая $\Phi _{{\Sigma i}}^{{{\text{''}}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{0}})$ (32) производные по вектору ${{{\mathbf{X}}}_{0}}$ парциального ($i$-го) ЛФП ${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{0}})$, что обусловлено взаимосвязями векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ и вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$. В выражениях для производных при этом следует переходить к их зависимостям от векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, а не от вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$.

Первая производная $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}({{t}_{{k + {\kern 1pt} 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{0}})$ (29) и вторая производная $\Phi _{{\Sigma i}}^{{{\text{''}}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{0}})$ (32) получены применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}}{\kern 1pt} ,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]$ (7), (13) от всех одновременно видимых $J$ НКА.

Производная по времени парциального ($i$-го) ЛФП ${{F}_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (7) от всех одновременно видимых $J$ НКА характеризуется выражением (26).

При рассмотрении зависимостей производных $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ и $\Phi _{{\Sigma i}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ (а не от вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$) следует использовать производную по времени ЛФП ${{F}_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})$ и производную по времени парциального ($i$-го) ЛФП ${{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}}) \triangleq $ ${{F}_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}) = \left\{ {{\kern 1pt} \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})$ для какого-либо одного BOC-сигнала $s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t) = s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left[ {t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} ,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}{\kern 1pt} (t)} \right]$ (2) и (10), принимаемого от j-го НКА, а не от совокупности сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$, принимаемых от всех видимых $J$ НКА.

Производная по времени ЛФП ${{F}_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})$ применительно к BOC-сигналу s_j(t) = s_j[t, Θ_j(t_k), Y_j(t)], принимаемому от j-го НКА, характеризуется следующим выражением [13]:

Производная по времени парциального ($i$-го) ЛФП ${{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}}{\kern 1pt} )$ применительно к BOC-сигналу

принимаемому от j-го НКА, записывается в виде [13]

Формула связи между производной по времени ЛФП ${{F}_{\Sigma }}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ для совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых $J$ НКА и производной по времени ЛФП ${{F}_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})$ для BOC-сигнала $s{{{\kern 1pt} }_{j}}\left[ {t,{{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{j}}{\kern 1pt} (t)} \right]$, принимаемого от j-го НКА, определяется следующим соотношением [10, 13]:

Соответствующая формула связи между производной по времени от парциального ($i$-го) ЛФП ${{F}_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ для совокупности принимаемых BOC‑сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых $J$ НКА и производной по времени парциального ($i$-го) ЛФП ${{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}}{\kern 1pt} )$ для BOC-сигнала

принимаемого от j-го НКА$,$ имеет вид

Формулы связи, аналогичные (38) и (39), для самих ЛФП могут быть представлены в следующем виде:

где ${{\Phi }_{\Sigma }}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ – ЛФП для совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых $J$ НКА; ${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ – парциальный ($i$-й) ЛФП для совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {\vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых $J$ НКА.

Как следует из рассмотрения (29) и (32), чтобы вычислить первую $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$ и вторую $\Phi _{{\Sigma i}}^{{{\text{''}}}}(t,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$ производные, необходимо знать

и, следовательно, с учетом (39) требуется найти где ${{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t){\kern 1pt} )$ определяется согласно (37).

Видно, что

где матрица Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}({\kern 1pt} t)$ характеризуется формулой (4); ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ = ${{\left[ {{{y}_{{j1}}}(t){{y}_{{j2}}}(t), \ldots ,{{y}_{{j{\kern 1pt} m}}}(t)} \right]}^{Т}}$ – вектор-столбец размером ($m{\kern 1pt} \,\, \times 1$); ${\mathbf{X}}(t)$ $ = {{[{{x}_{1}}(t){{x}_{{\text{2}}}}(t) \ldots {{x}_{n}}(t)]}^{T}}$ – вектор-столбец размером ($n{\kern 1pt} \, \times \,1$).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены субоптимальный прием и обработка навигационных ШПС и, в частности, быстро развивающихся BOC-сигналов (меандровых ШПС), которые предназначены для применения в ГНСС, таких как GPS (США), ГЛОНАСС (Россия), Galileo (Европейский союз) и BeiDou (Китай).

В представленной работе, являющейся развитием [1], на основе метода синтеза с переприсвоением параметров получены более простые аналитические соотношения – субоптимальные алгоритмы приема и обработки BOC-сигналов в ГНСС, что важно для практической реализации.

При переходе от квазиоптимальных алгоритмов к субоптимальным учтено то, что в многоканальном приемнике ГНСС, установленном, например, на ЛА, каждый канал обработки радиосигналов функционирует применительно к своему принимаемому от j-го НКА сигналу ${{s}_{j}}(t)$ (10) и к своему вектору ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ (3), соответствующему $j$-му НКА, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $ (J – число всех одновременно видимых НКА).

Помимо этого, при получении аналитических соотношений субоптимальных алгоритмов на динамику компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ и векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ с целью их упрощения наложено ограничение, состоящее в том, что на каждом тактовом полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ матрицы Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $, (4) были приняты постоянными во времени (5).

Основной научный результат работы состоит в том, что получены аналитические выражения для субоптимальной условной оценки ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{{j,i}}}$$({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ и матрицы ковариаций ${{{\mathbf{\tilde {K}}}}_{{j,i}}}$$({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ субоптимальных условных ошибок оценивания $\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{{j,i}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0\,\left| {\,{{t}_{{k + 1}}} - 0\,} \right.)\,} \right]$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$.

Использованная методика решения задачи синтеза субоптимальных алгоритмов приема BOC-сигналов в полной мере применима и для тех режимов функционирования ГНСС, при которых используются не BOC-сигналы (т.е. не меандровые ШПС), а традиционные ШПС.