Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 1, стр. 83-94

Анализ пассивного смесителя частот с управлением по току на произвольной промежуточной частоте с учетом входного и выходного импедансов

А. С. Коротков^a, *, Т. Д. Чан^a

^a Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
195251 Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, Российская Федерация

^* E-mail: korotkov@spbstu.ru

Поступила в редакцию 12.04.2022
После доработки 04.08.2022
Принята к публикации 25.08.2022

EDN: CCZIBX
DOI: 10.31857/S0033849423010072

Полный текст (PDF)

Аннотация

Предложена обобщенная методика расчета схемы пассивного смесителя частот с управлением по току на произвольной промежуточной частоте с учетом комплексного входного импеданса источника тока и выходной нагрузки. Приведены результаты моделирования в среде Micro-Cap и сравнения с расчетом. Рассмотрены частотные зависимости передаточного импеданса.

ВВЕДЕНИЕ

Представляется перспективным применение смесителей частот с управлением по току при построении многофункциональных и многодиапазонных приемо-передающих устройств [1]. В общем случае смесители частот классифицируются по двум основным группам: 1) пассивные смесители – на диодах [2], полевых транзисторах, работающих при нулевом смещении [3], на основе схемы с коммутационным управлением по току [1]; 2) активные смесители на основе схемы Гильберта – на биполярных [4], полевых транзисторах [5]. Преимущество пассивных смесителей – отсутствие потребляемой мощности (или очень низкая потребляемая мощность), активных смесителей – усиление входного сигнала. Активные смесители на основе схемы Гильберта подробно проанализированы, например, в [6]. В традиционной схеме Гильберта протекающие через транзисторы токи содержат не только переменную, но и постоянную составляющую (ток смещения). Было показано, что фликкерный шум транзисторов, как низкочастотный эффект, на выходе активного смесителя определяется в том числе постоянным током [7]. Пассивный смеситель с управлением по току коммутирует только радиочастотный ток с выхода малошумящего усилителя преселектора, поэтому влияние фликкерного шума в этом смесителе существенно меньше. Кроме того, пассивный смеситель с управлением по току обеспечивает высокую линейность [8]. Благодаря этим преимуществам, пассивные смесители с управлением по току применяются в различных современных беспроводных системах: сенсорные сети [9], мобильные системы пятого поколения [10], интернет вещей [11].

Схема пассивного смесителя частот с управлением по току проанализирована в [12] при комплексном входном импедансе и импедансе нагрузки как RC-цепи. Однако при этом предполагается, что на частоте гетеродина и его гармониках импеданс нагрузки много меньше, чем входной импеданс на частоте гетеродина. Данное предположение позволяет упростить анализ, но приводит к пренебрежению в выходном сигнале гармониками на комбинационных частотах ω_пч + wω_г, где ω_пч – промежуточная угловая частота, ω_г – угловая частота гетеродина, w – номер гармоники частоты гетеродина. Кроме того, моделирование показало, что приведенные в данных статьях результаты обеспечивают высокую точность расчета при условии малости импеданса нагрузки на частоте гармоник гетеродина по сравнению с его значением на промежуточной частоте. Так, для схемы с числом плеч 4 при значениях конденсатора нагрузки 10 пФ, промежуточной частоты 100 МГц, входной частоты 2.1 ГГц при сопротивлении нагрузки 100 Ом ошибка составила около 2%, а при сопротивлении нагрузки 10 Ом ошибка составила около 20%. Как следствие, результаты анализа имеют сравнительно невысокую точность при малом входном импедансе или малом сопротивлении нагрузки. Схема пассивного смесителя с управлением по току также проанализирована в [13] при произвольной промежуточной частоте, но входной импеданс представляется как резистор, что не позволяет оценить частотный диапазон смесителя, поскольку не учитывается влияние выходной емкости входного источника тока. Таким образом, приведенные ограничения снижают точность расчетов и не позволяют использовать приведенные методики в общем случае.

В данной работе представлена обобщенная методика анализа и расчета передаточного импеданса ${{Z}_{{см}}}$ пассивного смесителя частот с управлением по току на произвольной промежуточной частоте с учетом комплексного характера входного импеданса источника тока и импеданса нагрузки для случая идеального переключения ключей без учета нелинейных свойств компонентов схемы. Передаточный импеданс представляет отношение выходного напряжения как отклика схемы на входное воздействие в виде тока, а не напряжения, как в случае передаточной функции по напряжению. Другими словами – передаточный импеданс описывает рассматриваемый тип смесителя с учетом характера входного воздействия.

Цель данной работы – теоретический расчет схемы пассивного смесителя частот с управлением по току в линейном приближении; анализ эффекта компенсации гармоник; моделирование схемы и сравнение с теоретическим расчетом.

1. АНАЛИЗ СХЕМЫ СМЕСИТЕЛЯ

Структурная схема переключаемой части пассивного смесителя частот с управлением по току показана на рис. 1. Преобразование осуществляется с помощью схемы коммутации ключей (транзисторов в ключевом режиме). Ключи периодически коммутируются с частотой гетеродина f_г с помощью импульсного сигнала гетеродина V_0k(t). В результате входной высокочастотный ток с выхода малошумящего усилителя преселектора преобразуется в ток на промежуточной частоте.

Рис. 1.

Структурная схема переключаемой части пассивного смесителя частот с управлением по току.

1.1. Расчет тока i_k(t)

Предполагается, что транзисторы переключаются из открытого состояния в режим отсечки и обратно (ключевой режим) при подаче последовательности импульсов гетеродина. В каждом периоде только k-е плечо подключено к входу на отрезке времени τ = T_г/N, где T_г – период сигнала гетеродина, N – количество плеч. Следовательно, ток i_k(t), протекающий через подключенное плечо, равен току i_вх1(t) на этом отрезке времени. Поэтому ток i_k(t) определяется соотношением

(1)

${{i}_{k}}\left( t \right) = {{i}_{{вх1}}}\left( t \right){{V}_{k}}\left( t \right),$

где V_k(t) = V_0k(t)/V₀ – нормированная управляющая функция k-го ключа, показанная на рис. 2, V₀ – максимальное значение сигнала гетеродина, причем

$\begin{gathered} {{V}_{k}}\left( t \right) = 1,\,\,\,\,t \in \left[ {\left( {v + {{(k - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(k - 1)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right){{T}_{г}},\left( {v + {k \mathord{\left/ {\vphantom {k N}} \right. \kern-0em} N}} \right){{T}_{г}}} \right], \\ {{V}_{k}}\left( t \right) = 0,\,\,\,t \notin \left[ {\left( {v + {{(k - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(k - 1)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right){{T}_{г}},\left( {v + {k \mathord{\left/ {\vphantom {k N}} \right. \kern-0em} N}} \right){{T}_{г}}} \right], \\ v \in Z. \\ \end{gathered} $

Рис. 2.

Нормированная управляющая функция k-го ключа V_k(t).

Разложим функцию V_k(t) в ряд Фурье:

$\begin{gathered} {{V}_{k}}\left( t \right) = \frac{{{{a}_{{0,k}}}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{a}_{{n,k}}}\cos \left( {\frac{{2n\pi t}}{{{{T}_{г}}}}} \right)} + \\ + \,\,\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{b}_{{n,k}}}\sin \left( {\frac{{2n\pi t}}{{{{T}_{г}}}}} \right)} , \\ \end{gathered} $

где коэффициенты определены как

${{a}_{{0,k}}} = \frac{2}{{{{T}_{г}}}}\int\limits_0^{{{T}_{г}}} {{{V}_{k}}\left( t \right)dt} = \frac{2}{N},$

$\begin{gathered} {{a}_{{n,k}}} = \frac{2}{{{{T}_{г}}}}\int_0^{{{T}_{г}}} {{{V}_{k}}\left( t \right)\cos \left( {\frac{{2n\pi t}}{{{{T}_{г}}}}} \right)} dt = \\ = \frac{2}{{{{T}_{г}}}}\int\limits_{{{\left( {k - 1} \right){{T}_{г}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {k - 1} \right){{T}_{г}}} N}} \right. \kern-0em} N}}^{{{k{{T}_{г}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k{{T}_{г}}} N}} \right. \kern-0em} N}} {\cos \left( {\frac{{2n\pi t}}{{{{T}_{г}}}}} \right)} dt = \\ = \frac{2}{{n\pi }}\sin \left( {\frac{{n\pi }}{N}} \right)\cos \left( {\frac{{n(2k - 1)\pi }}{N}} \right), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{b}_{{n,k}}} = \frac{2}{{{{T}_{г}}}}\int_0^{{{T}_{г}}} {{{V}_{k}}\left( t \right)\sin \left( {\frac{{2n\pi t}}{{{{T}_{г}}}}} \right)} dt = \\ = \frac{2}{{{{T}_{г}}}}\int\limits_{{{\left( {k - 1} \right){{T}_{г}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {k - 1} \right){{T}_{г}}} N}} \right. \kern-0em} N}}^{{{k{{T}_{г}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k{{T}_{г}}} N}} \right. \kern-0em} N}} {\sin \left( {\frac{{2n\pi t}}{{{{T}_{г}}}}} \right)} dt = \\ = \frac{2}{{n\pi }}\sin \left( {\frac{{n\pi }}{N}} \right)\sin \left( {\frac{{n(2k - 1)\pi }}{N}} \right). \\ \end{gathered} $

Функция V_k(t) может быть представлена в более общем виде

${{V}_{k}}\left( t \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{2}} \left( {{{a}_{{\left| n \right|,k}}} - jsign(n){{b}_{{\left| n \right|,k}}}} \right)\exp (jn{{\omega }_{г}}t).$

Применив преобразование Фурье с учетом теоремы о частотном сдвиге, получим для тока (1)

(2)

$\begin{gathered} {{I}_{k}}\left( {j\omega } \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{2}} \left( {{{a}_{{\left| n \right|,k}}} - jsign(n){{b}_{{\left| n \right|,k}}}} \right) \times \\ \times \,\,{{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega - nj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{2}} \left( {{{a}_{{\left| n \right|,k}}} + jsign(n){{b}_{{\left| n \right|,k}}}} \right){{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega + nj{{\omega }_{г}}} \right), \\ \end{gathered} $

где I_k(jω) – преобразование Фурье для i_k(t); I_вх1(jω) – преобразование Фурье для i_вх1(t). Номер коэффициента n показывает во сколько раз по сравнению с I_вх1(jω) частотный сдвиг для тока I_вх1(jω + nω_г) больше, чем ω_г. Таким образом, преобразование Фурье для i_k(t) является суммой преобразований Фурье для i_вх1(t) с частотными сдвигами nω_г и соответствующими весовыми коэффициентами.

1.2. Расчет выходного напряжения плеча u_k(t)

Преобразование Фурье U_k(jω) напряжения k-го плеча u_k(t) определяется выражением

(3)

${{U}_{k}}\left( {j\omega } \right) = {{Z}_{н}}\left( {j\omega } \right){{I}_{k}}\left( {j\omega } \right).$

Из (2) и (3) получим

(4)

$\begin{gathered} {{U}_{k}}\left( {j\omega } \right) = {{Z}_{н}}\left( {j\omega } \right) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{2}} \left( {{{a}_{{\left| n \right|,k}}} + jsign(n){{b}_{{\left| n \right|,k}}}} \right){{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega + nj{{\omega }_{г}}} \right). \\ \end{gathered} $

1.3. Расчет входного напряжения U_вх(jω)

В каждом периоде входной узел подключен только к одному плечу на отрезке времени τ = T_г/N. Следовательно, входное напряжение определяется соотношением

(5)

$\begin{gathered} {{u}_{{вх}}}\left( t \right) = {{R}_{т}}{{i}_{{вх1}}}\left( t \right)\sum\limits_{k = 1}^N {{{V}_{k}}\left( t \right)} + \sum\limits_{k = 1}^N {{{u}_{k}}\left( t \right){{V}_{k}}\left( t \right)} = \\ = {{R}_{т}}{{i}_{{вх1}}}\left( t \right) + \sum\limits_{k = 1}^N {{{u}_{k}}\left( t \right){{V}_{k}}\left( t \right)} , \\ \end{gathered} $

где R_т – внутреннее сопротивление ключа как транзистора в открытом состоянии. Применив преобразование Фурье для выражения (5), получим

(6)

$\begin{gathered} {{U}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right) = {{R}_{т}}{{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega } \right) + \\ + \,\,\sum\limits_{k = 1}^N {\sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{2}} } \left( {{{a}_{{\left| m \right|,k}}} + jsign(m){{b}_{{\left| m \right|,k}}}} \right){{U}_{k}}\left( {j\omega + mj{{\omega }_{г}}} \right), \\ \end{gathered} $

где U_вх(jω) – преобразование Фурье для входного напряжения u_вх(t). Номер коэффициента m показывает, во сколько раз по сравнению с U_k(jω) частотный сдвиг для напряжения U_k(jω + mjω_г) больше, чем ω_г. Из (4) и (6) следует

(7)

$\begin{gathered} {{U}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right) = {{R}_{т}}{{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega } \right) + \\ + \,\,\sum\limits_{k = 1}^N {\sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } \begin{gathered} \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{4}\left( {{{a}_{{\left| m \right|,k}}} + jsign(m){{b}_{{\left| m \right|,k}}}} \right)} \times \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } \\ \times \,\,\left( {{{a}_{{\left| n \right|,k}}} + jsign(n){{b}_{{\left| n \right|,k}}}} \right){{Z}_{н}}\left( {j\omega + mj{{\omega }_{г}}} \right) \times \\ \times \,\,{{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega + (n + m)j{{\omega }_{г}}} \right). \\ \end{gathered} $

Расчет преобразования Фурье для входного напряжения u_вх(t) приведен в Приложении 1. Окончательная формула для U_вх(jω) имеет вид

(8)

$\begin{gathered} {{U}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right) = {{R}_{т}}{{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega } \right) + \sum\limits_{p = - \infty }^{ + \infty } {{{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega + pNj{{\omega }_{г}}} \right)} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {N\exp ( - jp\pi ){{A}_{m}}{{A}_{{pN - m}}}{{Z}_{н}}\left( {j\omega + mj{{\omega }_{г}}} \right)} , \\ \end{gathered} $

где A_m = (sinc(mπ/N))/N, p – целая часть отношения p = [(m + n)/N].

1.4. Система уравнений для расчета тока I_вх1(jω)

Представим выражение для токов схемы следующим образом:

(9)

$\begin{gathered} {{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega } \right) + {{I}_{{вх2}}}\left( {j\omega } \right) = {{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega } \right) + \\ + \,\,{{{{U}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right)} {{{Z}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right)}}} \right. \kern-0em} {{{Z}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right)}} = {{I}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right), \\ \end{gathered} $

где I_вх2(jω) – преобразование Фурье для тока i_вх2(t). Далее, из выражений (8) и (9) получим

(10)

$\begin{gathered} \left( {{{Z}_{{вх}}}(j\omega ) + {{R}_{т}}} \right){{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega } \right) + \\ + \,\,\sum\limits_{p = - \infty }^{ + \infty } {Q\left( {p,\omega } \right)} {{I}_{{вх1}}}\left( {j\omega + pNj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = {{Z}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right){{I}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right), \\ \end{gathered} $

где $Q\left( {p,\omega } \right) = \sum\nolimits_{m = - \infty }^{ + \infty } {N\exp ( - jp\pi ){{A}_{{m,k}}}{{A}_{{pN - m,k}}}} \times $ $ \times \,\,{{Z}_{н}}\left( {j\omega + mj{{\omega }_{г}}} \right)$.

Если входной ток представлен как комплексный экспоненциальный сигнал i_вх(t) = I_вхexp(jω_вхt) с амплитудой I_вх и угловой частотой ω_вх, то ток I_вх1(jω) описывается составляющими на частотах ω_вх + rNω_г, где целое число r характеризует частотный сдвиг rNω_г данных составляющих по сравнению с основной составляющей на угловой частоте ω_вх. При этом входной ток I_вх(jω) не содержит гармоник, т.е. I_вх(jω) = I_вх(jω_вх) при r = 0. При остальных значениях r входной ток I_вх(jω) = 0. Таким образом, для каждой частоты ω = ω_вх + rNω_г из (10) получим уравнение

$\begin{gathered} \left( {{{Z}_{{вх}}}(j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}}) + {{R}_{т}}} \right){{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}}} \right) + \\ + \,\,\sum\limits_{p = - \infty }^{ + \infty } {Q\left( {p,{{\omega }_{{вх}}} + rN{{\omega }_{г}}} \right)} {{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + (r + p)Nj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = {{Z}_{{вх}}}(j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}}){{I}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}}} \right). \\ \end{gathered} $

Тогда для всего множества значений r имеем систему уравнений матричного вида относительно комплексного сигнала входного тока:

(11)

$\begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {...}&{{{Z}_{{вх}}}(j{{\omega }_{{вх}}} + Nj{{\omega }_{г}}) + {{R}_{т}}}&0&0&{...} \\ {...}&0&{{{Z}_{{вх}}}(j{{\omega }_{{вх}}}) + {{R}_{т}}}&0&{...} \\ {...}&0&0&{{{Z}_{{вх}}}(j{{\omega }_{{вх}}} - Nj{{\omega }_{г}}) + {{R}_{т}}}&{...} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {...} \\ {{{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + Nj{{\omega }_{г}}} \right)} \\ {{{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right)} \\ {{{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - Nj{{\omega }_{г}}} \right)} \\ {...} \end{array}} \right| + \\ + \,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {...}&{Q\left( {0,{{\omega }_{{вх}}} + N{{\omega }_{г}}} \right)}&{Q\left( { - 1,{{\omega }_{{вх}}} + N{{\omega }_{г}}} \right)}&{Q\left( { - 2,{{\omega }_{{вх}}} + N{{\omega }_{г}}} \right)}&{...} \\ {...}&{Q\left( {1,{{\omega }_{{вх}}}} \right)}&{Q\left( {0,{{\omega }_{{вх}}}} \right)}&{Q\left( { - 1,{{\omega }_{{вх}}}} \right)}&{...} \\ {...}&{Q\left( {2,{{\omega }_{{вх}}} - N{{\omega }_{г}}} \right)}&{Q\left( {1,{{\omega }_{{вх}}} - N{{\omega }_{г}}} \right)}&{Q\left( {0,{{\omega }_{{вх}}} - N{{\omega }_{г}}} \right)}&{...} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {...} \\ {{{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + Nj{{\omega }_{г}}} \right)} \\ {{{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right)} \\ {{{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - Nj{{\omega }_{г}}} \right)} \\ {...} \end{array}} \right| = \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {...} \\ 0 \\ {{{Z}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right){{I}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right)} \\ 0 \\ {...} \end{array}} \right|. \\ \\ \\ \end{gathered} $

Чтобы найти комбинационные гармоники I_вх1(jω_вх + rNjω_г), необходимо решить систему уравнений (11). Решение системы уравнений (11) приведено в Приложении 2:

${{I}_{{вх1}}} = \frac{{{{I}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right){{Z}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right)}}{{Z(j{{\omega }_{{вх}}})}}\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {...} \\ { - {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {\left( {b\left( {b + N} \right)\left( {1 + g} \right)Z\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + Nj{{\omega }_{г}}} \right)} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {b\left( {b + N} \right)\left( {1 + g} \right)Z\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + Nj{{\omega }_{г}}} \right)} \right)}}} \\ {1 - {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {\left( {(1 + g){{b}^{2}}Z(j{{\omega }_{{вх}}})} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {(1 + g){{b}^{2}}Z(j{{\omega }_{{вх}}})} \right)}}} \\ { - {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {\left( {b\left( {b - N} \right)\left( {1 + g} \right)Z\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - Nj{{\omega }_{г}}} \right)} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {b\left( {b - N} \right)\left( {1 + g} \right)Z\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - Nj{{\omega }_{г}}} \right)} \right)}}} \\ {...} \end{array}} \right|,$

где

$\begin{gathered} Z\left( {j\omega } \right) = {{R}_{т}} + {{Z}_{{вх}}}\left( {j\omega } \right) + {{Z}_{н}}\left( {j\omega } \right);{{Z}_{н}}\left( {j\omega } \right) = {{{{R}_{н}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{н}}} {\left( {1 + j\omega {{R}_{н}}{{C}_{н}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {1 + j\omega {{R}_{н}}{{C}_{н}}} \right)}};b = {{\left( {j{{\omega }_{{вх}}}{{R}_{н}}{{C}_{н}} + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {j{{\omega }_{{вх}}}{{R}_{н}}{{C}_{н}} + 1} \right)} {\left( {j{{\omega }_{г}}{{R}_{н}}{{C}_{н}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {j{{\omega }_{г}}{{R}_{н}}{{C}_{н}}} \right)}}; \\ c = {{\left( {jN\sin \left( {b(\pi - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi N}} \right. \kern-0em} N})} \right)\sin \left( {{{b\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{b\pi } N}} \right. \kern-0em} N}} \right)} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {jN\sin \left( {b(\pi - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi N}} \right. \kern-0em} N})} \right)\sin \left( {{{b\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{b\pi } N}} \right. \kern-0em} N}} \right)} \right)} {\left( {\pi {{\omega }_{г}}{{C}_{н}}\sin \left( {b\pi } \right)} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {\pi {{\omega }_{г}}{{C}_{н}}\sin \left( {b\pi } \right)} \right)}}; \\ g = \sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{c \mathord{\left/ {\vphantom {c {\left( {{{{\left( {b + lN} \right)}}^{2}}Z\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + lNj{{\omega }_{г}}} \right)} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{{\left( {b + lN} \right)}}^{2}}Z\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + lNj{{\omega }_{г}}} \right)} \right)}}} . \\ \end{gathered} $

Ток I_вх1(jω) включает составляющие на частотах ω_вх, ω_вх ± Nω_г, ω_вх ± 2Nω_г и т.д. В процессе преобразования необходимо выделить основную составляющую I_вх1(jω_вх) и подавить комбинационные гармоники I_вх1(jω_вх + rNjω_г). Чем больше N, тем дальше от основной составляющей расположены комбинационные гармоники I_вх1(jω_вх + + rNjω_г). При N = 4 комбинационные гармоники находятся на частотах ω_вх ± 4ω_г, ω_вх ± 8ω_г и т.д. При N = 8 комбинационные гармоники находятся на частотах ω_вх ± 8ω_г, ω_вх ± 16ω_г и т.д. В зависимости от диапазона частот выбираемое значение N должно обеспечивать компромисс между сложностью цепи компенсации гармоник и схемы гетеродина.

1.5. Расчет передаточного импеданса одного плеча

Из формулы (4) имеем составляющую выходного напряжения на одном плече (например, первом при k = 1) на промежуточной частоте ω_пч = ω_вх – ω_г:

$\begin{gathered} {{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right) = {{Z}_{н}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{2}} \left( {{{a}_{{\left| m \right|,1}}} + jsign(m){{b}_{{\left| m \right|,1}}}} \right) \times \\ \times \,\,{{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + (m - 1)j{{\omega }_{г}}} \right). \\ \end{gathered} $

Так как ток I_вх1(jω) определяется составляющими только на частотах ω_вх + rNω_г, то:

$\begin{gathered} {{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right) = {{Z}_{н}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{r = - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin \left( {{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi N}} \right. \kern-0em} N}} \right)\exp ({{j\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j\pi } N}} \right. \kern-0em} N})}}{{\left( {rN + 1} \right)\pi }}{{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}}} \right)} . \\ \end{gathered} $

Тогда имеем

$\begin{gathered} {{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right) = {{I}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right) \times \\ \times \,\,\frac{{{{Z}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right){{Z}_{н}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right)\sin \left( {{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi N}} \right. \kern-0em} N}} \right)\exp ({{j\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j\pi } N}} \right. \kern-0em} N})}}{{\pi Z\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right)}} \times \\ \times \,\left( {1 - \frac{c}{{b(1 + g)}}\sum\limits_{r = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{(rN + 1)(rN + b)Z(j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}})}}} } \right). \\ \end{gathered} $

Таким образом, передаточный импеданс одного плеча (первого) переключаемой части пассивного смесителя с управлением по току определяется по формуле

(12)

$\begin{gathered} {{Z}_{1}} = \frac{{{{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right)}}{{{{I}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right)}} = \frac{{{{Z}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right){{Z}_{н}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right)\sin \left( {{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi N}} \right. \kern-0em} N}} \right)\exp ({{j\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j\pi } N}} \right. \kern-0em} N})}}{{\pi Z\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\left( {1 - \frac{c}{{b(1 + g)}}\sum\limits_{r = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{(rN + 1)(rN + b)Z(j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}})}}} } \right). \\ \end{gathered} $

2. КОМПЕНСАЦИЯ ГАРМОНИК

Напряжение U_k(jω) состоит из составляющих на частотах ω_вх + qω_г, где q – номер гармоники частоты гетеродина. Тогда, согласно (4) имеем

$\begin{gathered} {{U}_{k}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = {{Z}_{н}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{2}} \left( {{{a}_{{\left| m \right|,k}}} + jsign(m){{b}_{{\left| m \right|,k}}}} \right) \times \\ \times \,\,{{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}} + mj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = {{Z}_{н}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {{{A}_{m}}\exp (j{{\varphi }_{{m,k}}}){{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + (q + m)j{{\omega }_{г}}} \right)} , \\ \end{gathered} $

где φ_m,k = m(2k – 1)π/N. Однако ток I_вх1 состоит из гармоник на частотах ω_вх + rNω_г, поэтому q + m = rN и, следовательно,

$\begin{gathered} {{U}_{k}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = {{Z}_{н}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) \times \hfill \\ \times \,\,\sum\limits_{r = - \infty }^{ + \infty } {{{A}_{{rN - q}}}\exp (j{{\varphi }_{{rN - q,k}}}){{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}}} \right)} . \hfill \\ \end{gathered} $

Далее выразим напряжение плеча с номером k + d через напряжение k-го плеча:

$\begin{gathered} {{U}_{{k + d}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = {{Z}_{н}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{r = - \infty }^{ + \infty } {{{A}_{{rN - q}}}\exp (j{{\varphi }_{{rN - q,k + d}}}){{I}_{{вх1}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}}} \right)} = \\ = \exp ({{ - j2\pi dq} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - j2\pi dq} N}} \right. \kern-0em} N}){{U}_{k}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right). \\ \end{gathered} $

Это значит, что напряжение U_k+d(jω_вх + qjω_г) равно напряжению U_k(jω_вх + qjω_г) по величине, но со сдвигом фазы –2πdq/N. Тогда получим

(13)

$\begin{gathered} {{U}_{k}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = \exp \left( {{{ - j2\pi q(k - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - j2\pi q(k - 1)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right){{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right). \\ \end{gathered} $

Для подавления комбинационных гармоник на выходе используется цепь компенсации гармоник на основе сумматора и фазовращателей (рис. 3). На сумматор выходное напряжение в k-ом плече добавляется с весовым коэффициентом K_в и с фазой φ_k = φ₀ – 2πk/N, где φ₀ – начальный сдвиг фазы. Тогда, на сумматор поступают сигналы вида

$\begin{gathered} {{U}_{k}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right){{K}_{в}}\exp \left( {j\left( {{{\varphi }_{0}} - {{2\pi k} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi k} N}} \right. \kern-0em} N}} \right)} \right) = \\ = \exp \left( {{{ - j2\pi \left( {kq + k - q} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - j2\pi \left( {kq + k - q} \right)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right) \times \\ \times \,\,{{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right){{K}_{в}}\exp (j{{\varphi }_{0}}). \\ \end{gathered} $

Рис. 3.

Схема смеситель частот с цепью компенсации (суммирования) гармоник.

Эти напряжения суммируются. При этом выходное напряжение после суммирования определяется выражением:

$\begin{gathered} {{U}_{{вых}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = \sum\limits_{k = 1}^N {\exp \left( {{{ - j2\pi \left( {kq + k - q} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - j2\pi \left( {kq + k - q} \right)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right)} \times \\ \times \,\,{{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right){{K}_{в}}\exp (j{{\varphi }_{0}}) = \\ = {{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right){{K}_{в}}\exp (j{{\varphi }_{0}}) \times \\ \times \,\,\exp ({{j2\pi q} \mathord{\left/ {\vphantom {{j2\pi q} N}} \right. \kern-0em} N})\sum\limits_{k = 1}^N {{{{\left( {\exp \left( {{{ - j2\pi (q + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - j2\pi (q + 1)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right)} \right)}}^{k}}} . \\ \end{gathered} $

Выделим далее два случая. Если q = rN – 1, то

$\begin{gathered} {{U}_{{вых}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}} + rNj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = N{{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}} + rNj{{\omega }_{г}}} \right) \times \\ \times \,\,{{K}_{в}}\exp (j{{\varphi }_{0}})\exp ( - {{j2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j2\pi } N}} \right. \kern-0em} N}). \\ \end{gathered} $

Если q ≠ rN – 1, то

$\sum\limits_{k = 1}^N {{{{\left( {\exp \left( {{{ - j2\pi (q + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - j2\pi (q + 1)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right)} \right)}}^{k}}} = \frac{{\exp \left( {{{ - j2\pi (q + 1)(N + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - j2\pi (q + 1)(N + 1)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right) - \exp \left( {{{ - j2\pi (q + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - j2\pi (q + 1)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right)}}{{\exp \left( {{{ - j2\pi (q + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - j2\pi (q + 1)} N}} \right. \kern-0em} N}} \right) - 1}} = 0,$

поскольку для всех x ≠ 1: x + x² + … + x^N = (x^N ^{+ 1} – – x)/(x – 1). Таким образом,

(14)

$\begin{gathered} {{U}_{{вых}}}\left( {j{{\omega }_{{пч}}} + rNj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = N{{K}_{в}}\exp \left( {j\left( {{{\varphi }_{0}} - {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } N}} \right. \kern-0em} N}} \right)} \right){{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{пч}}} + rNj{{\omega }_{г}}} \right). \\ \end{gathered} $

Ток I_вх1 состоит из гармоник на частотах ω_вх + rNω_г. При этом из (14) следует, что выходное напряжение после суммирования состоит из гармоник на частотах ω_пч + rNω_г и их амплитуды увеличиваются в NK_в раз. Тогда передаточный импеданс одного плеча, рассчитанный в (12), также увеличивается в NK_в раз. Кроме того, остальные комбинационные гармоники на выходе полностью компенсируются в случае полного равенства параметров плеч смесителя. При этом передаточный импеданс пассивного смесителя с управлением по току будет иметь вид

(15)

$\begin{gathered} {{Z}_{{см}}} = \frac{{{{U}_{{вых}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right)}}{{{{I}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right)}} = N{{K}_{в}}\frac{{{{Z}_{{вх}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right){{Z}_{н}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} - j{{\omega }_{г}}} \right)\sin \left( {{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi N}} \right. \kern-0em} N}} \right)\exp \left( {j\left( {{{\varphi }_{0}} - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi N}} \right. \kern-0em} N}} \right)} \right)}}{{\pi Z\left( {j{{\omega }_{{вх}}}} \right)}} \times \\ \,\, \times \left( {1 - \frac{c}{{b(1 + g)}}\sum\limits_{r = - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{(rN + 1)(rN + b)Z(j{{\omega }_{{вх}}} + rNj{{\omega }_{г}})}}} } \right). \\ \end{gathered} $

Таким образом, передаточный импеданс увеличивается в NK_в раз по сравнению с передаточным импедансом одного плеча.

Как пример, рассмотрим случай N = 4. Обобщенная схема для данного случая представлена на рис. 4. Для сдвига фазы π/2 при ω_вх > ω_г используются RC-цепи, как показано на рис. 5. При ω_вх < ω_г, RC-цепи следует поменять местами. Значения R₁ и C₁ выбираются так, чтобы R₁ = 1/(ω_пчC₁). Сдвиги фаз в плечах схемы на рис. 5 на промежуточной частоте ${{{{\omega }}}_{{{\text{пч}}}}}$ составляют: π/4 (плечо 1), ‒π/4 (плечо 2), –3π/4 (плечо 3), –5π/4 (плечо 4). Схема на рис. 5 соответствует схеме на рис. 4 с φ₀ = 3π/4. Напряжения в узлах А, B, C, D равны соответственно:

$\begin{gathered} {{U}_{A}}\left( {j\omega } \right) = {{U}_{1}}\left( {j\omega } \right) - {{U}_{3}}\left( {j\omega } \right), \\ {{U}_{B}}\left( {j\omega } \right) = {{U}_{2}}\left( {j\omega } \right) - {{U}_{4}}\left( {j\omega } \right), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{U}_{C}}\left( {j\omega } \right) = \frac{{{{R}_{1}}{{U}_{A}}\left( {j\omega } \right)}}{{{{R}_{1}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left( {j\omega {{C}_{1}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {j\omega {{C}_{1}}} \right)}}}} = \\ = \frac{{{{R}_{1}}\left( {{{U}_{1}}(j\omega ) - {{U}_{3}}(j\omega )} \right)}}{{\sqrt {R_{1}^{2} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{{\left( {\omega {{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left( {\omega {{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} }}\exp \left( {jarctg\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(\omega {{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {(\omega {{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right)} \right), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{U}_{D}}\left( {j\omega } \right) = \frac{{{{{{U}_{B}}\left( {j\omega } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{B}}\left( {j\omega } \right)} {\left( {j\omega {{C}_{1}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {j\omega {{C}_{1}}} \right)}}}}{{{{R}_{1}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left( {j\omega {{C}_{1}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {j\omega {{C}_{1}}} \right)}}}} = \\ = \frac{{{{\left( {{{U}_{2}}(j\omega ) - {{U}_{4}}(j\omega )} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{U}_{2}}(j\omega ) - {{U}_{4}}(j\omega )} \right)} {\left( {\omega {{C}_{1}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {\omega {{C}_{1}}} \right)}}}}{{\sqrt {R_{1}^{2} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{{\left( {\omega {{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left( {\omega {{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} }} \times \\ \times \,\,\exp \left( {j\left( {arctg\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(\omega {{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {(\omega {{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right) - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \right), \\ \end{gathered} $

Рис. 4.

Обощенная схема смесителя частоты при N = 4.

Рис. 5.

Схема смеситель частот с RC-цепью комбинации гармоник при N = 4.

где –π/2 ≤ arctg(1/(ωR₁C₁)) ≤ π/2. Вместе с тем согласно (13) имеем

${{U}_{2}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = \exp ( - {{jq\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{jq\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}){{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right),$

${{U}_{3}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = \exp ( - jq\pi ){{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right),$

${{U}_{4}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = \exp ( - {{j3q\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j3q\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}){{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right).$

Тогда получаем

${{U}_{C}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = \frac{{{{R}_{1}}\left( {1 - \exp ( - jq\pi )} \right)\exp \left( {jarctg\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {(({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right)} \right)}}{{\sqrt {R_{1}^{2} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{{\left( {({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left( {({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} }}{{U}_{1}}(j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}),$

$\begin{gathered} {{U}_{D}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = \frac{{\exp \left( {jarctg\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {(({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right)} \right)\left( {\exp \left( { - {{j(q + 1)\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j(q + 1)\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right) - \exp \left( { - {{j(3q + 1)\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j(3q + 1)\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \right)}}{{\left( {({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{C}_{1}}} \right)\sqrt {R_{1}^{2} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{{\left( {({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left( {({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} }}{{U}_{1}}(j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}). \\ \end{gathered} $

Выходное напряжение на частотах ω_вх + qω_г рассчитано по формуле

$\begin{gathered} {{U}_{{вых,RC}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = {{U}_{C}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) + {{U}_{D}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = \\ = \frac{{{{U}_{1}}(j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}\left( {1 - \exp ( - jq\pi )} \right)\exp \left( {jarctg\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {(({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right)} \right)}}{{\sqrt {R_{1}^{2} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{{\left( {({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left( {({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} }}\left( {1 + \frac{{\exp \left( { - {{j(q + 1)\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j(q + 1)\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}{{({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Если q – четное число, то U_вых,RC(jω_вх + qjω_г) = 0. Если q – нечетное число, то

${{U}_{{вых,RC}}}\left( {j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}} \right) = \frac{{2{{U}_{1}}(j{{\omega }_{{вх}}} + qj{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}\exp \left( {jarctg\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {(({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}})}}} \right)} \right)}}{{\sqrt {R_{1}^{2} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{{\left( {({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left( {({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{C}_{1}}} \right)}}^{2}}}}} }}\left( {1 + \frac{{\exp \left( { - {{j(q + 1)\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j(q + 1)\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}{{({{\omega }_{{вх}}} + q{{\omega }_{г}}){{R}_{1}}{{C}_{1}}}}} \right).$

Поскольку выбраны значения R₁ и C₁ так, чтобы R₁ = 1/(ω_пчC₁), то получим

${{U}_{{вых,RC}}}\left( {j{{\omega }_{{пч}}}} \right) = 2\sqrt 2 {{U}_{1}}\left( {j{{\omega }_{{пч}}}} \right)\exp ({{j\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{j\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}).$

Весовой коэффициент ${{K}_{в}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt 2 }}} \right. \kern-0em} {\sqrt 2 }}$. Таким образом, передаточный импеданс увеличивается в $2\sqrt 2 $ раз по сравнению с передаточным импедансом одного плеча.

3. РЕЗУЛЬТАТ МОДЕЛИРОВАНИЯ

При моделировании схемы пассивного смесителя с управлением по току (согласно рис. 5) задаются следующие параметры: амплитуда входного тока i_вх(t) 10 мА; каждое плечо является параллельной RC-цепью R_н = 1 кОм, C_н = 10 пФ; входной импеданс также является параллельной RC-цепью R_вх = 5 кОм, C_вх = 10 пФ; сопротивление ключа в открытом состоянии R_т = 100 Ом; число плеч N = 4. Зависимость модуля передаточного импеданса Z_см от входной частоты f_вх при неизменной промежуточной частоте f_пч = 100 МГц представлена на рис. 6. Зависимость модуля передаточного импеданса Z_см от промежуточной частоты f_пч при неизменной частоте гетеродина f_г = 2 ГГц показана на рис. 7. Результаты расчета и моделирования выходного напряжения U_вых,RC и комбинационных гармоник на выходе схемы компенсации при входной частоте f_вх и частоте гетеродина f_г, представлены в табл. 1. Сохранены приведенные параметры схемы. Значения R₁ и C₁ выбираются так, чтобы R₁ = = 1/(ω_пчC₁). В данном случае R₁ = 1 кОм, C₁ = 1.59 пФ. Результаты расчета и моделирования совпадают с высокой точностью (ошибка составляет менее 0.5%). Выходное напряжение U_вых,RC в $2\sqrt 2 $ раз больше, чем напряжение U₁. Комбинационные гармоники напряжения U_вых,RC на частотах ω_вх + qω_г (q – четное целое число) полностью компенсируются. Однако иные комбинационные гармоники напряжения U_вых,RC больше, чем соответствующие комбинационные гармоники напряжения U₁.

Рис. 6.

Зависимость модуля передаточного импеданса Z_см от входной частоты f_вх при неизменной промежуточной частоте f_пч = 100 МГц.

Рис. 7.

Зависимость модуля передаточного импеданса Z_см от промежуточной частоты f_пч при неизменной частоте гетеродина f_г = 2 ГГц.

Таблица 1.

Результат расчета и моделирования выходного напряжения U_вых,RC и комбинационных гармоник на выходе схемы компенсации

Гармоника, ГГц	U₁, мВ		U_вых,RC, мВ
Гармоника, ГГц	расчет	моделирование	расчет	моделирование
f_пч= 0.1	23.2126	23.2120	65.6554	65.6530
\|f_пч – f_г\| = 1.9	0.866331	0.866292	0	0
\|f_пч + f_г\| = 2.1	1.2591	1.2590	0	0
\|f_пч – 2f_г\| = 3.9	0.201932	0.201954	0.414130	0.414156
\|f_пч + 2f_г\| = 4.1	0.589581	0.589554	1.150000	1.150080
\|f_пч – 3f_г\| = 5.9	0.041485	0.041488	0	0
\|f_пч + 3f_г\| = 6.1	0.286854	0.286870	0	0
\|f_пч – 4f_г\| = 7.9	0.065105	0.065102	0.128532	0.128544
\|f_пч + 4f_г\| = 8.1	0.107968	0.107945	0.218558	0.218539

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлены результаты анализа схемы пассивного смесителя с управлением по току. Выведено выражение (15) для передаточного импеданса схемы Z_см. В отличие от известных работ, результаты справедливы при любой промежуточной частоте, включая нулевую, которая применяется в гомодинных приемниках [14] (в этом случае в выражении (15) ω_вх = ω_г) и учитывают комплексный характер входного импеданса источника тока Z_вх(jω) и выходного импеданса нагрузки Z_н(jω). Представленные соотношения позволяют определять выходной сигнал на промежуточной частоте с учетом гармоник частоты гетеродина. Моделирование схемы смесителя в среде Micro-Cap подтвердило справедливость полученных результатов. Ошибка в расчетах по сравнению с моделированием составляет до 0.5%, если учитывать не более пяти гармоник, и менее 0.2%, если учитывать не менее десяти гармоник.

Список литературы

Lin F., Mak P. I., Martins R.P. // IEEE Circuits and Systems Magazine. 2015. V. 15. № 1. P. 12.
Дроздов А.В., Дроботун Н.Б., Гошин Г.Г., Хорошилов Е.В. // Докл. Томск. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники. Т. 20. № 1. С. 23.
Аверина Л.И., Бобрешов А.М., Шапошникова Ж.В. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2010. Т. 13. № 4. С. 51.
Коколов А.А., Помазанов А.В., Шеерман Ф.И. и др. // Тр. XV Межд. научн.-практ. конф. “Электронные средства и системы управления”. Томск. 20–22 ноября 2019. Томск: В-Спектр. 2019. Т. 1. С. 60.
Романюк В.А., Аунг Б.Б.Х. // Изв. вузов. Электроника. 2012. № 4. С. 60.
Коротков А.С. // Микроэлектроника. 2011. Т. 40. № 2. С. 140.
Darabi H., Abidi A. // IEEE J. Solid-State Circuits. 2000. V. 35. № 1. P. 15.
Mirzaei A., Darabi H., Leete J. et al. // IEEE Trans. 2010. V. CS-I-57. № 9. P. 2353.
Wu C.Y., Chen Y.T., Liao Y.T. // IEEE Access. 2021. V. 9. P. 94203.
Krishnamurthy S., Niknejad A.M. // IEEE Radio Frequency Integrated Circuits Symp. Los Angeles. 4–6 Aug. N.Y.: IEEE, 2020. P. 275.
Bae S., Kim D., Kim D. et al. // IEEE Trans. 2021. V. CS-I-68. № 2. P. 892.
Mirzaei A., Darabi H. // IEEE Trans. 2011. V. CS-I-58. № 5. P. 879.
Soer M.C.M., Klumperink E.A.M., de Boer P. et al. // IEEE Trans. 2010. V. CS-I-57. № 10. P. 2618.
Коротков А.С. // Микроэлектроника. 2006. Т. 35. № 4. С. 321.
Kenneth S.M. // Mathematics Magazine. 1981. V. 54. № 2. P. 67.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Радиотехника и электроника

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал

Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 1, стр. 83-94

Анализ пассивного смесителя частот с управлением по току на произвольной промежуточной частоте с учетом входного и выходного импедансов

ВВЕДЕНИЕ