Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 1, стр. 69-74

ВВЕДЕНИЕ

Ферритовые пленки находят широкое применение в устройствах обработки аналоговой информации в диапазоне СВЧ [1–5]. Для цифровой информации определенные перспективы открывают устройства на магнитных доменах и их стенках [6]. Особо следует отметить эксперименты по воздействию на пленки мощного излучения фемтосекундного лазера [7, 8], открывающие перспективы увеличения быстродействия цифровых устройств на несколько порядков.

В подобных устройствах используются ферриты, обладающие одноосной магнитной анизотропией. Приложение магнитного поля, перпендикулярного оси анизотропии, вызывает ориентационный переход намагниченности к направлению поля [9, 10]. В условиях ориентационного перехода динамика намагниченности имеет сложный характер, в том числе может прецессировать не только сам вектор намагниченности, но и его равновесное положение [10, гл. 9, 10]. В пленках с доменами существуют новые типы магнитостатических волн, в том числе имеющие обратный характер [11, гл. 12–14].

Исследования, касающиеся свойств намагниченности в условиях ориентационного перехода ограничиваются, как правило, рассмотрением простейшей одноосной анизотропии второго порядка. Однако в экспериментах на реальных пленках наблюдается анизотропия более высоких порядков, в частности четвертого [11, с. 296, 304], которая обусловливает гистерезисный характер ориентационных зависимостей частоты ферромагнитного резонанса и магнитостатических волн.

Целью настоящей работы является выяснение влияния анизотропии высоких порядков на характер ориентационных переходов намагниченности.

1. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ

Рассмотрим ориентационный переход на примере намагничивания безграничной среды с одноосной анизотропией полем, перпендикулярным оси анизотропии. В основу рассмотрения положим схему, принятую для случая одноосной анизотропии второго порядка в работе [10, с. 202–207]. Основные понятия будем использовать аналогично принятым в [6, 12]. Геометрия задачи представлена на рис. 1.

При рассмотрении будем использовать две системы координат с общим основанием – декартову $Oxyz$ и сферическую $Or\theta \varphi $. Ось декартовой системы $Oz$ ориентируем вдоль оси анизотропии, а ось $Ox$ – вдоль внешнего поля $\vec {H}$. Полярный угол сферической системы $\theta $ будем отсчитывать от оси анизотропии, т.е. $Oz$, а азимутальный φ – от направления поля, т.е. $Ox$.

Компоненты вектора намагниченности имеют вид

2. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ И ЕЕ МИНИМИЗАЦИЯ

Будем полагать, что в отсутствие поля вектор намагниченности ориентируется вдоль оси $Oz$ (анизотропия типа “легкая ось”). При включении поля вектор намагниченности постепенно поворачивается к направлению поля, т.е. переориентируется к оси $Ox$, в чем и состоит ориентационный переход. Когда поле достигает значения, равного полю анизотропии, намагниченность устанавливается точно вдоль оси $Ox$ и далее не меняется, так что ориентационный переход заканчивается.

В силу симметричности геометрии переход происходит в плоскости $Oxz$, так что можно принять $\varphi = 0$. При этом компоненты вектора намагниченности (1)–(3) принимают вид

Подобно формуле, представленной в работе [10, (4.211)], запишем плотность энергии одноосной анизотропии высоких порядков в виде

где ${{\alpha }_{{2n}}}$ – константы анизотропии порядка $2\,n$, ${{m}_{z}}$ – нормированная на ${{M}_{0}}$ компонента намагниченности: ${{m}_{z}} = {{{{M}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{M}_{z}}} {{{M}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{M}_{0}}}}$.

Учитывая, что

а также полагая ${{M}_{y}} = \,\,0$, так что

приведем (7) к виду

С учетом (4) плотность энергии анизотропии принимает вид

Эффективное поле анизотропии, получаемое из формулы (4), в соответствии с [10, (4.55)], принимает вид

Рассматриваемый здесь ориентационный переход состоит в воздействии на намагниченность двух сил – анизотропии и внешнего поля. То есть теперь еще следует определить роль внешнего поля. Плотность энергии взаимодействия намагниченности с внешним полем равна [6, 12]:

В принятой геометрии получаем

С учетом (12) введем нормированное внешнее поле:

При этом (14) принимает вид

Примем полную энергию в виде

откуда с учетом (11) и (14) получаем

Равновесная ориентация вектора намагниченности в условиях ориентационного перехода соответствует минимуму плотности энергии (18). Минимум найдем из условия

подставляя в которое (18) и разделяя на $\,2\,\cos \,\theta $, получаем

Это – уравнение для определения равновесной ориентации вектора намагниченности в условиях ориентационного перехода. Неизвестным параметром, подлежащим определению, здесь является полярный угол $\theta $ вектора намагниченности $\vec {M}$.

Можно видеть, что относительно $\sin \,\theta $ это уравнение по структуре является степенным, с показателем степени, возрастающим по мере увеличения порядка анизотропии. Так, для анизотропии порядка $2\,n$ в отсутствие более высоких порядков степень уравнения равняется $2\,n\,\, - \,\,1$, причем показатели степени являются нечетными.

При ограниченном значении $n$ уравнение (20) принимает вид

Решение полученного уравнения при произвольном, даже ограниченном числе $n > 2$, аналитическими средствами вряд ли возможно. Однако если ограничиться рассмотрением анизотропии только одного порядка $2n$, так что все константы анизотропии кроме ${{K}_{{2n}}}$ обращаются в нуль, то уравнение (20) принимает вид

из которого получаем

При этом

Примечательно, что в этом случае угол $\theta $ от величины константы анизотропии не зависит в силу нормировки поля. Можно видеть, что при n = 1, т.е. когда анизотропия имеет только второй порядок, выражение (24) дает

что совпадает с подобной формулой, полученной в [10, (5.24)].

Замечание. Можно полагать, что влияние анизотропии высоких порядков с ростом величины порядка постепенно убывает. Подобные экспериментальные данные по одноосной анизотропии авторам данной работы не известны, однако относительно кубической анизотропии отмечено, что константа шестого порядка (в традиционном обозначении ${{K}_{2}}$), как правило, в несколько раз меньше константы анизотропии четвертого порядка (традиционное обозначение ${{K}_{1}}$) [3, рис. 2.12 ].

3. ОРИЕНТАЦИЯ ВЕКТОРА НАМАГНИЧЕННОСТИ В УСЛОВИЯХ ПЕРЕХОДА ПРИ АНИЗОТРОПИИ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ

На рис. 2 представлены зависимости равновесного значения полярного угла намагниченности $\theta $ от нормированного поля $h$ при различных порядках анизотропии, построенные в соответствии с формулой (24).

Из рисунка видно, что увеличение порядка анизотропии ускоряет начальное отклонение вектора намагниченности от оси $Ox$, причем такое ускорение проявляется тем сильнее, чем порядок анизотропии выше. Однако далее стремление ориентации вектора намагниченности к направлению поля все же замедляется и намагниченность выстраивается вдоль поля при одном и том же значении нормированного поля, равном единице.

На рис. 3 представлены зависимости нормированного значения компоненты намагниченности ${{M}_{z}}$ от нормированного поля $h$ при различных порядках анизотропии, построенные по формуле (24) с учетом (6).

Из рисунка видно, что увеличение порядка анизотропии ускоряет начальный спад z-компоненты вектора намагниченности от поля $h$, причем такое ускорение проявляется тем сильнее, чем порядок анизотропии выше. Однако далее стремление ориентации вектора намагниченности к направлению поля все же замедляется и z-компонента намагниченности обращается в нуль при одном и том же значении нормированного поля, равном единице.

На рис. 4 представлены зависимости нормированного значения компоненты намагниченности ${{M}_{z}}$ от нормированного поля $h$ при различных порядках анизотропии, построенные по формуле (24) с учетом (4).

Из рисунка видно, что увеличение порядка анизотропии ускоряет начальный рост x-компоненты вектора намагниченности от поля $h$, причем такое ускорение проявляется тем сильнее, чем порядок анизотропии выше. Однако далее стремление ориентации вектора намагниченности к направлению поля все же замедляется и x-компонента намагниченности стремится к единице при одном и том же значении нормированного поля, равном единице.

Из кривых, приведенных на рис. 3 и 4, следует, что при одном и том же значении поля $h$ и одинаковых порядках анизотропии всегда выполняется соотношение

следующее из (8) при ${{M}_{y}} = 0.$

4. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ АНИЗОТРОПИИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим еще один частный случай, который соответствует ограничению максимальным значением $n = 2$. Уравнение (21) принимает вид

Разделим на $2\,{{K}_{4}}$ и запишем в порядке убывания степеней $\sin \,\theta $:

Отметим, что деление на ${{K}_{4}}$ предполагает эту константу отличной от нуля. Тем не менее предельный переход к случаю ${{K}_{4}} \to \,\,0$, т.е. анизотропии второго порядка, все же возможен, так как при малых значениях ${{K}_{4}}$ второе и третье слагаемые становятся настолько большими, что первым можно пренебречь. Тогда из числителей второго и третьего слагаемых как раз получается соотношение (25), что и соответствует анизотропии второго порядка.

Уравнение (28) содержит $\sin \,\theta $ в третьей степени, так что является кубическим. Чтобы выявить это в более явном виде, переобозначим переменную:

а также введем вспомогательные обозначения:

С этими обозначениями (28) принимает вид

Это – классический вид кубического уравнения, способ аналитического решения которого можно найти, например в [10, (2.158), (2.173), (2.223)–(2.225); 13, с. 44; 14, с. 198].

Поскольку уравнение имеет третью степень, то в общем случае оно может содержать от одного до трех действительных решений. Классическим критерием количества решений является знак дискриминанта Кардано:

При $D\,\, > \,\,0$ уравнение имеет один корень, при $D\,\, < \,\,0$ – три корня. Условие $D\,\, = \,\,0$ является переходным, когда три решения вырождаются до слияния в одну точку.

Из структуры выражений (30) и (31) можно видеть, что знак детерминанта (33) будет зависеть от соотношения величин и знаков констант ${{K}_{2}}$ и ${{K}_{4}}$. Так, положительный знак этих констант соответствует анизотропии типа “легкая ось”, а отрицательный – “легкая плоскость”. Различие знаков может привести к отклонению минимума плотности энергии от положения намагниченности вдоль оси $Oz$, так что ориентационный переход может приобрести гистерезисный характер.

Иллюстрация гистерезисного характера ориентационного перехода представлена на рис. 5. Значения констант ${{K}_{2}}$ и ${{K}_{4}}$ намеренно выбраны такими, чтобы детерминант (33) мог быть отрицательным. При этом константа ${{K}_{2}}$ обеспечивает анизотропию типа “легкая плоскость”, константа ${{K}_{4}}$ – анизотропию типа “легкая ось”. В определенном интервале поля $h$ уравнение (32) имеет три корня, так что два крайних решения получаются устойчивыми, а среднее между ними – неустойчивым.

В силу симметрии задачи (см. рис. 1) по-прежнему полагаем, что намагниченность ориентируется в плоскости $Oxz$. Одновременное действие двух констант в отсутствие поля ориентирует равновесное положение намагниченности в промежутке между осями $Ox$ и $Oz$. При этом угол $\theta $ может принимать два энергетически эквивалентных значения +51° и –51°, соответствующие точкам А и Е на рис. 5. Точка С соответствует неустойчивому равновесию при $\theta $ = 0°. При включении поля корни уравнения (32) дают кривые AB, CD, ED, причем кривая CD является неустойчивой.

Детерминант (33) является отрицательным только до критического значения поля, определяемого из условия $D\,\, = \,\,0$ следующим соотношением:

Выше этого значения детерминант меняет знак на положительный. Подстановка принятых значений констант дает ${{h}_{c}}$ = 0.2722 отн. ед. Таким образом, при $h < {{h}_{c}}$ уравнение (32) имеет три корня, а при $h \geqslant {{h}_{c}}$ – один, что и дает на рис. 5 левее ${{h}_{c}}$ три кривые, а правее – только одну.

При включении поля угол $\theta $, стартующий из точки А, плавно увеличивается, стремясь к 90°, в соответствии с кривой АВ. В точке В намагниченность ориентирована точно вдоль поля, так что ориентационный переход заканчивается. Можно видеть, что кривая АВ подобна кривой 1 на рис. 2.

Не так себя ведет намагниченность, угол $\theta $ которой стартует с отрицательного значения из точки Е. Здесь он сначала возрастает до точки D, соответствующей критическому значению поля ${{h}_{c}}$ (34), после чего резким скачком перебрасывается на верхнюю ветвь – в точку F на кривой АВ и далее следует кривой FB.

При уменьшении поля, т.е. при обратном движении по кривой АВ из точки В угол $\theta $ следует точно кривой АВ, не обращая внимания на точку F.

Таким образом, прямое движение из точки А происходит по кривой АВ, а из точки Е по имеющей излом кривой EDFB. Обратное движение из точки В всегда происходит только по кривой АВ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрено влияние одноосной анизотропии высоких порядков на характер ориентационного перехода намагниченности. В геометрии нормального намагничивания среды относительно оси анизотропии получена плотность энергии и равновесное положение намагниченности в зависимости от величины приложенного поля. Рассмотрение проведено для анизотропии, начиная со второго и всех последующих четных порядков произвольного их номера, однако отмечено, что согласно экспериментальным данным влияние анизотропии на ориентацию намагниченности при увеличении порядка анизотропии постепенно убывает. В качестве примера рассмотрена ориентация намагниченности при анизотропии от второго до восьмого четных порядков включительно. Показано, что увеличение порядка анизотропии относительно зависимости ориентации намагниченности от поля приводит к ускорению начального спада компоненты намагниченности вдоль оси анизотропии, а также начального роста компоненты намагниченности вдоль той же оси, причем такое ускорение проявляется тем сильнее, чем порядок анизотропии выше. В качестве другого примера рассмотрено одновременное присутствие анизотропии второго и четвертого порядков. Показано, что сосуществование анизотропии обоих порядков приводит к алгебраическому уравнению третьей степени, для анализа которого предложено использовать знак дискриминанта Кардано. Отмечено, что в случае отрицательного значения дискриминанта зависимость ориентации намагниченности от поля имеет гистерезисный характер. Показано, что в отсутствие поля возможны две ориентации намагниченности, симметричные относительно оси анизотропии. При увеличении поля намагниченность из одной ориентации плавно стремится к направлению поля, а из второй при критическом значении поля претерпевает скачок к направлению первой. При уменьшении поля реализуется только одна ориентация намагниченности, стремящаяся к первому начальному значению.