Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 9, стр. 884-892

ВВЕДЕНИЕ

Для успешного развития магноники, происходящего в последние годы [1–4], необходимо разрабатывать новые экспериментальные и теоретические методы исследования характеристик спиновых волн (СВ). Как известно, СВ с волновыми числами 0 < k < 10⁴ см^–1 обычно описывают в магнитостатическом приближении (МСП) [5], считая, что величина волнового числа СВ k $ \gg $ k₀ ≡ ω/c (ω – циклическая частота СВ, а c – скорость света в вакууме), и поэтому в уравнениях Максвелла можно пренебречь членами, содержащими множители ω/c. Из-за использования уравнений магнитостатики при описании СВ эти волны часто называют магнитостатическими. Такое описание СВ уже более полувека используется при разработке различных приборов на основе СВ для спиновой электроники сверхвысокочастотного диапазона (СВЧ) [1–9].

Тем не менее иногда МСП не использовалось для описания СВ [8–25]. Так, в части работ исследовались характеристики СВ в области малых волновых чисел и свойства СВ в зависимости от параметров диэлектрических проницаемостей сред, прилегающих к ферриту [12–14, 17]. В работе [16] было показано, что расчеты в МСП вектора Пойнтинга СВ $\vec {P}$ по формуле $\vec {P} = {{ - \omega \operatorname{Re} (i\Psi {\text{*}}\vec {B})} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \omega \operatorname{Re} (i\Psi {\text{*}}\vec {B})} {8\pi }}} \right. \kern-0em} {8\pi }}$ не корректны и что вектор Пойнтинга следует вычислять по формуле $\vec {P} = {{c\operatorname{Re} \left[ {\vec {E}\vec {H}{\text{*}}} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{c\operatorname{Re} \left[ {\vec {E}\vec {H}{\text{*}}} \right]} {8\pi }}} \right. \kern-0em} {8\pi }}$, где Ψ – магнитный потенциал, $\vec {B}$ – вектор магнитной индукции, а $\vec {E}$ и $\vec {H}$ – векторы СВЧ электрического и магнитного полей. Расчеты, представленные в работах [20, 21], показали, что векторные линии магнитной индукции поверхностной СВ образуют два ряда противоположно направленных вихрей, локализованных вблизи противоположных поверхностей пластины.

Отметим, что в [12–16, 18–21] характеристики СВ исследовались лишь для случая, когда векторы групповой и фазовой скоростей СВ коллинеарны¹¹, т.е., когда волна распространяется перпендикулярно направлению внешнего магнитного поля либо вдоль него. Лишь недавно без использования МСП было получено аналитическое описание характеристик электромагнитных волн (в том числе спиновых), распространяющихся в произвольном направлении в неограниченном бигиротропном пространстве [22–24] и в бигиротропном слое, окруженном диэлектрическими полупространствами [25]. В этих работах на примере ферритовой пластины (являющейся частным случаем бигиротропного слоя), рассчитаны различные характеристики СВ.

Цель работы – исследовать влияние граничных условий типа “идеального металла” на характеристики СВ в ферритовой пластине без использования МСП.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим бесконечный бигиротропный слой 2 толщиной s, граничащий сверху с идеально проводящим металлом 1, а снизу – с полупространством 3 изотропного диэлектрика (рис. 1). Характеризуя электромагнитные поля в средах 2 и 3, сопоставим им индексы j = 2 или 3. Пусть полупространство 3 имеет скалярные относительные диэлектрическую и магнитную проницаемости ε₃ и μ₃. Слой 2 намагничен до насыщения касательным однородным магнитным полем $\overrightarrow {{{H}_{0}}} $, направленным вдоль оси z. Пусть в этом слое распространяется монохроматическая электромагнитная волна с частотой ω, изменяющаяся во времени по гармоническому закону exp(iωt). Тогда этот слой можно охарактеризовать диэлектрической и магнитной проницаемостями, описываемыми эрмитовыми тензорами второго ранга

Поскольку полученные ниже результаты могут быть полезны исследователям электромагнитных волн в гиротропных слоях феррита, антиферромагнетика или плазмы (которые являются частными случаями бигиротропного слоя и у которых либо тензор $\overleftrightarrow {{{\varepsilon }_{2}}}$, либо тензор $\overleftrightarrow {{{\mu }_{2}}}$ соответствуют выражениям (1)), то ниже математическое решение задачи представлено в общем случае – для распространения волны в бигиротропном слое. В то же время полученные формулы будут использованы для расчетов характеристик СВ в односторонне металлизированной ферритовой пластине, для которой компоненты μ и ν тензора $\overleftrightarrow {{{\mu }_{2}}}$, как известно, описываются выражениями [9]

где ω_H = γH₀, ω_M = 4πγM₀, ω = 2πf, γ – гиромагнитная постоянная, 4πM₀ – намагниченность насыщения феррита, f – частота электромагнитных колебаний.

Отметим, что математическое описание распространения волн в произвольном направлении на основе уравнений Максвелла является довольно громоздким, поэтому введем ряд обозначений для компактной записи полученных результатов.

Электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль слоя 2, должна удовлетворять системе уравнений Максвелла для комплексных амплитуд

где $\overrightarrow {{{E}_{j}}} $ и $\overrightarrow {{{H}_{j}}} $ – амплитуды векторов напряженностей электрического и магнитного СВЧ-полей, а $\overrightarrow {{{D}_{j}}} $и $\overrightarrow {{{B}_{j}}} $ – амплитуды векторов напряженностей электрической и магнитной СВЧ-индукций, связанные с $\overrightarrow {{{E}_{j}}} $ и $\overrightarrow {{{H}_{j}}} $ соотношениями

Напомним, что в [11, 17] при решении системы (3) сразу предлагалось искать решение в виде плоской волны ~exp(–ik_xx – ik_yy – ik_zz). Считаем такой подход некорректным и будем искать решения системы (3) в виде однородной плоской волны, характеризующейся волновым вектором $\vec {k}$ и распространяющейся в плоскости yz пластины в произвольном направлении. То есть будем считать, что зависимость волны от координаты x (нормальной к плоскости пластины) должна быть найдена в ходе решения системы уравнений (3) и что компоненты полей $\vec {E}$ и $\vec {H}$ (E_xE_y, E_z, H_x, H_y и H_z) изменяются в плоскости пластины, как и во времени, по гармоническому закону

где наряду с декартовой системой координат {x; y; z} введена соответствующая полярная система координат {x; r; φ}, в которой углы φ отсчитываются от оси y, а за положительное направление отсчета углов принято направление против часовой стрелки. Координаты обеих систем связаны соотношениями y = r cos φ, z = r sin φ, а модуль k волнового вектора $\vec {k}$ и его компоненты k_y и k_z связаны соотношениями k_y = k cosφ, k_z = k sinφ, причем ${{k}^{2}} = k_{y}^{2} + k_{z}^{2}$.

2. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В КАСАТЕЛЬНО НАМАГНИЧЕННОМ БИГИРОТРОПНОМ СЛОЕ

Как было показано ранее [9, 23, 24, 26], при описании распространения электромагнитных волн в бигиротропной среде из уравнений Максвелла можно исключить все магнитные и электрические компоненты СВЧ-поля кроме компонент, параллельных вектору внешнего однородного магнитного поля $\overrightarrow {{{H}_{0}}} $, т.е. свести уравнения Максвелла (3) к системе из двух дифференциальных уравнений, содержащих лишь две СВЧ-компоненты, E_z2 и H_z2:

Здесь использованы обозначения

Подставляя выражения (5) и (6) в уравнения (7) и (8), получим систему из двух уравнений, содержащих лишь зависящие от координаты x амплитуды e_z2 и h_z2 компонент E_z2 и H_z2:

где безразмерные функции F_ν, F_g и F_νg имеют вид Поясняя использованные обозначения, отметим, что обе недиагональные компоненты ν и g тензоров $\overleftrightarrow {{{\varepsilon }_{2}}}$ и $\overleftrightarrow {{{\mu }_{2}}}$ входят только в функцию F_νg, тогда как в функцию F_ν входит только компонента ν, а в функцию F_g – только g.

Подставляя величину h_z2 из первого уравнения системы (10) во второе, получим дифференциальное уравнение относительно амплитуды e_z2

где Уравнению (14) соответствует характеристическое уравнение

которое имеет четыре простых (не кратных) корня:

Отметим, что корни k_x21…k_x24уравнения (17) не могут быть комплексными числами, поскольку его дискриминант всегда больше нуля (см. [25, ф-ла (18)]), а могут принимать лишь действительные или мнимые значения.

3. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ ВОЛНЫ ВНУТРИ СЛОЯ

По аналогии с работами [23, 25] далее получим дисперсионное уравнение и выражения для компонент СВЧ-поля для случая, когда все корни k_x21…k_x24 являются действительными, а общее решение дифференциального уравнения (14) имеет вид²², определяющий распределение волны по оси x:

что соответствует поверхностно-поверхностной волне [25]; здесь A, B, C и D – независимые коэффициенты.

Подставляя соотношения (5) и (6) в уравнения Максвелла (3), производя дифференцирование и решив полученную систему уравнений, можно выразить зависящие от x амплитуды всех СВЧ-компонент через амплитуду e_z2 и, с учетом (22), получить выражения для всех компонент СВЧ-поля:

где зависящие от x безразмерные функции Σ₀, Σ₁, Σ₂ и Σ₃ имеют вид Безразмерные величины, входящие в (23)–(32), определяют следующие выражения Поясняя введенные обозначения, отметим, что цифровой индекс при величинах Σ соответствует максимальной степени x-компонент волновых чисел k_x21 и k_x22 в множителях при экспонентах в выражениях (29)–(32) (с учетом того, что величины k_x21 и k_x22 входят еще и в соотношения (40) и (41)).

4. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ ВОЛНЫ ВНЕ СЛОЯ

По аналогии с работой [25] выражения для СВЧ-компонент электромагнитного поля СВ и в среде 3 имеют вид

где L и K – независимые коэффициенты, а q₃ описывает выражение

Очевидно, что для полупространства 3 также справедливо соотношение

5. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВОЛН В БИГИРОТРОПНОМ СЛОЕ, ГРАНИЧАЩЕМ С ИДЕАЛЬНЫМ МЕТАЛЛОМ

Приступим теперь к выводу дисперсионного уравнения, описывающего распространение электромагнитных волн в бигиротропном слое, граничащем с идеально проводящим металлом (рис. 1). Используя граничные условия непрерывности тангенциальных компонент E_y, E_z, H_y и H_z при x = 0 и граничные условия на поверхности металла (E_y2 = 0 и E_z2 = 0 при x = s) с учетом выражений (25)–(28) и (44)–(47) для этих компонент, получим систему из шести уравнений для коэффициентов A, B, C, D, K, L (напомним, что коэффициенты A, B, C, D входят в выражения (29)–(32) для величин Σ₀, Σ₁, Σ₂, и Σ₃):

Исключая величины K и L из системы (50), подставляя первое уравнение во второе и группируя слагаемые с одинаковыми величинами Σ₀, Σ₁, Σ₂, Σ₃, получим систему из четырех уравнений для коэффициентов A, B, C и D:

Подставляя в систему (51) выражения (29)–(32) и приводя подобные при коэффициентах A, B, C и D, получим систему уравнений

где элементы d₁₁…d₄₄ системы уравнений имеют вид

Итак, дисперсионное уравнение для электромагнитной волны, имеющей распределение вида (22) по толщине односторонне металлизированного бигиротропного слоя, представляет собой определитель четвертого порядка системы (52) с элементами d₁₁…d₄₄, определяемыми выражениями (53)–(68).

6. ХАРАКТЕРИСТИКИ СПИНОВЫХ ВОЛН В ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНЕ, ГРАНИЧАЩЕЙ С ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИМ МЕТАЛЛОМ

Рассмотрим в качестве примера характеристики СВ в ферритовой пластине (являющейся частным случаем бигиротропного слоя), одна из поверхностей которой граничит с идеальным металлом (см. рис. 1). Будем считать диэлектрическую проницаемость пластины ε₂ скалярной величиной, полагая в представленных выше формулах ε = ε_zz = ε₂ и g = 0. На рис. 2 представлены изочастотные зависимости СВ для различных частот, причем кривые 1'–3' рассчитаны для поверхностной СВ с использованием МСП, а кривые 1–3 рассчитаны на основе полученного точного дисперсионного уравнения. Расчеты проводили при следующих параметрах: H₀ = 300 Э, s = 40 мкм, 4πM₀ = 1750 Гс, ε₂ = 15 (что соответствует железоиттриевому гранату) и ε₃ = μ₃ = 1 (что соответствует вакууму).

Как видно из рис. 2а, изочастотные зависимости волн, имеющих положительные и отрицательные значения k_y, сильно различаются (как при описании волн в МСП, так и без него), что связано с несимметричностью структуры – металлизацией одной из поверхностей феррита (см. рис. 1). Кроме того, соответствующие кривые, рассчитанные с использованием МСП и без него, также заметно отличаются как количественно, так и качественно. Так, на рис. 2, кривая 1 для частоты f₁ = 2198 МГц, чуть превышающей частоту ферромагнитного резонанса (ФМР) пластины ${{f}_{ \bot }} = {{{{\omega }_{ \bot }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{ \bot }}} {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }}$ = ${{\sqrt {\omega _{\operatorname{H} }^{2} + {{\omega }_{{\rm H}}}{{\omega }_{\operatorname{M} }}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {\omega _{\operatorname{H} }^{2} + {{\omega }_{{\rm H}}}{{\omega }_{\operatorname{M} }}} } {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }}$ = 2197.7 МГц, выгнута в другую сторону при k_y > 0 по сравнению с аналогичной кривой 1', рассчитанной в МСП. Однако кривая 3 для f₃ = 2210 МГц и k_y > 0 уже изогнута так же, как и соответствующая кривая 3' (см. рис. 2б). Следовательно, для одной из промежуточных частот изочастотная кривая будет представлять собой практически прямую линию, что и подтвердили расчеты для частоты f₂ = 2202 МГц (см. рис. 2б, кривая 2). Очевидно, что для прямой линии, параллельной оси k_z, угол ψ, описывающий ориентацию вектора групповой скорости $\vec {V}$, направлен вдоль оси y, и, значит, на частоте f₂ = = 2202 МГц вдоль оси y будут распространяться СВ со всеми волновыми векторами, у которых k_y > 0!

Таким образом, рис. 2 показывает, что изочастотные кривые, рассчитанные с МСП и без него заметно отличаются друг от друга лишь в области малых значений волнового числа (|k| < ~ 3 см^–1), т.е. на частотах, близких к величине ${{f}_{ \bot }}$. Кроме того, важным отличием является то, что при использовании МСП все СВ являются поверхностными, т.е. распределение СВ внутри ферритовой пластины описывает одно волновое число k_x2ms, в то время как при описании СВ без МСП распределение СВ внутри ферритовой пластины описывает два волновых числа, k_x21 и k_x22, причем в данном случае k_x22 всегда принимает действительные значения, а k_x21 может принимать как действительные, так и мнимые значения (подробнее о возможных значениях величин k_x21 и k_x22 и возможных типах СВ в ферритовой пластине и структурах на ее основе см. [25, разд. 4]). На рис. 2 граничные кривые – эллипсоиды 1 '' и 6 '' – являются пересечением поверхности α = 0, описываемой формулой (16), и плоскостей f = 2198 и 2262 МГц. Эллипсоид 1 '', пересекая изочастотную зависимость 1, делит ее на участки, лежащие внутри эллипсоида 1 '' и соответствующие объемно-поверхностному распределению волны, и участки, лежащие вне эллипсоида 1 '' и соответствующие поверхностно-поверхностному распределению волны (граничные эллипсоиды 2 ''…5 '' для остальных частот лежат между эллипсоидами 1 '' и 6 '' и поэтому на рис. 2 не показаны). Эллипсоид 6'' не пересекает соответствующую изочастотную зависимость 6, поэтому все волны на этой частоте имеют поверхностно-поверхностное распределение по толщине пластины в соответствии с формулой (22).

Однако, если посмотреть, как вдоль изочастотных зависимостей изменяются волновые числа k_x21 и k_x22, характеризующие распределение СВЧ поля СВ по толщине ферритовой пластины, и сравнить это изменение с аналогичным изменением волнового числа k_x2ms, рассчитанного в МСП, то увидим значительные различия (см. рис. 3). Так, при углах φ, близких к углам отсечки волнового вектора, зависимости k_x2ms(φ) проходят вблизи кривых k_x22(φ), а при φ = 0 магнитостатические зависимости k_x2ms(φ) проходят вблизи кривых k_x21(φ), причем разница в значениях k_x22(φ = 0) и k_x21(φ = 0) существенно зависит от частоты, меняясь от ~ 260 см^–1 при f = 2198 МГц до ~15 см^–1 при f = 2262 МГц (для частоты 2198 МГц зависимости k_x21(φ), k_x22(φ) и k_x2ms(φ) на рис. 3 не показаны).

Следует отметить, что при φ ~ 0 величина k_x21 (вблизи которой проходят магнитостатические зависимости k_x2ms(φ)) реально не описывает распределение амплитуд СВЧ-поля СВ по толщине ферритовой пластины, поскольку, как видно из рис. 4, коэффициенты A и B (соответствующие волновому числу k_x21) равны нулю при φ = 0 и k_z = 0, т.е. в соответствии с формулами (23)–(32) основной вклад в это распределение при φ ~ 0 вносят коэффициенты C и D и соответствующее им волновое число k_x22. Следовательно, в магнитостатическом приближении описание распределения СВ по толщине пластины с использованием МСП некорректно для значительной части частотного интервала СВ, лежащего выше частоты ФМР ${{f}_{ \bot }}$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Аналитически, без использования магнитостатического приближения впервые решена общая задача о распространении электромагнитных волн в произвольном направлении в касательно намагниченном односторонне металлизированном бигиротропном слое, у которого диэлектрическая и магнитная проницаемости описываются эрмитовыми тензорами второго ранга. Показано, что, представляя решение уравнений Максвелла в виде распространяющейся в плоскости слоя волны вида $\exp ( - i{{k}_{y}}y - i{{k}_{z}}z)$ и оставляя произвольной зависимость волны от координаты x, нормальной плоскости слоя, можно привести уравнения Максвелла к линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка, которое содержит лишь зависящую от x амплитуду электрического СВЧ-поля, параллельного вектору постоянного однородного магнитного поля $\overrightarrow {{{H}_{0}}} $. Установлено, что соответствующее биквадратное характеристическое уравнение, определяющее волновые числа распределения волны в поперечном сечении слоя, имеет четыре простых (не кратных) корня k_x21, k_x22, k_x23 = –k_x21 и k_x24 = –k_x22, которые могут принимать только действительные или только мнимые значения. Для случая, когда величины k_x21 и k_x22 являются действительными числами, получено дисперсионное уравнение, описывающее распространение электромагнитных волн в односторонне металлизированном бигиротропном слое.

На основе построенной теории исследованы изочастотные зависимости и различные характеристики СВ в односторонне металлизированной ферритовой пластине (являющейся частным случаем бигиротропного слоя) для частот, лежащих выше частоты ферромагнитного резонанса пластины. Показано, что для этих волн величина k_x21 может принимать как действительные, так и мнимые значения, а величина k_x22 – только действительные. Обнаружено, что на некоторой частоте СВ имеет изочастотную кривую, практически не отличающуюся от прямой линии.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.