Известия РАН. Теория и системы управления, 2019, № 1, стр. 89-97

Введение. Работа посвящена построению способов управления противоударным изолятором при наихудших возмущениях. Используется математическая модель системы с одной степенью свободы, которая состоит из основания и защищаемого объекта, расположенного на нем. Предполагается что внешнее воздействие кинематического типа, характеризуемое ускорением основания, описываемым функцией времени. Основание и защищаемый объект движутся вдоль одной прямой, а управляющая сила, создаваемая изолирующим устройством между основанием и объектом, ограничена по величине. В работах [1–3] ставилась задача о минимизиации максимума модуля смещения объекта относительно основания при заданном возмущении. Основы теории оптимальной противоударной изоляции развивались в [4–7]. Возможности изоляции объекта, расположенного на подвижном основании, от кратковременных ударных воздействий с помощью активного изолятора с управлением без упреждения изучались в [8]. Оптимальные упреждающие управления были построены численно или аналитически для некоторых конкретных возмущений в [9]. Кроме того, были найдены наихудшие возмущения для законов управления с упреждением, которые были получены ранее для конкретных возмущений. Были рассчитаны соответствующие значения критерия качества. В отличие от [9] в данной работе строится гарантирующее упреждающее управление с одним переключением и время упреждения, позволяющие вычислять минимальную оценку максимальной величины смещения объекта относительно основания для целого класса возмущений.

1. Механическая система. Пусть механическая система (рис. 1) состоит из основания и объекта, соединенного с основанием посредством противоударного изолятора – устройства, генерирующего управляющую силу f между основанием и объектом и предназначенного для защиты объекта при ударном воздействии на основание. Движения основания и объекта предполагаются поступательными вдоль одной прямой. Обозначим: z – смещение основания относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета, x – смещение объекта относительно основания, m – масса объекта. Ударное воздействие на основание моделируется его ускорением $\ddot {z}$, функцией времени, некоторые характеристики которой предполагаются известными.

Движение объекта относительно основания описывается уравнением

Далее полагаем, что сила f удовлетворяет ограничению $\left| f \right| \leqslant {{F}_{0}}$, где ${{F}_{0}}$ – заданная величина, тогда величина $u$ удовлетворяет неравенству

Предполагается, что в начальный момент времени t = 0 основание и объект покоятся в положениях, отвечающих нулевым значениям координат $x$ и $z$:

В качестве допустимых управлений будем рассматривать кусочно-непрерывные функции $u(t),$ удовлетворяющие ограничению $\left| {u(t)} \right| \leqslant {{u}_{0}}$.

2. Внешние возмущения. Предполагается, что возмущение $v(t)$ имеет вид

где кусочно-непрерывная функция $V(\xi )$ определена для всех вещественных $\xi $, причем $V(\xi ) \equiv 0$ для $\xi < 0$, а ${{t}_{0}} \geqslant 0$ – некоторый момент времени, который может быть задан или подлежать определению. Таким образом, возмущение V начинает действовать на основание спустя время t₀ после включения системы противоударной изоляции (упреждающее управление).

Будем предполагать, что 1) возбуждение действует только в одном направлении и не меняет знака ($V(t) \geqslant 0$), 2) имеет конечную длительность T ($V(t) \equiv 0$, если $t > T$) и 3) только на одном интервале, ${{t}_{1}} < t < {{t}_{2}}$, величина абсолютного ускорения $V(t)$ основания превышает верхнюю границу ${{u}_{0}}$ абсолютного ускорения защищаемого объекта:

Один  или  оба  из интервалов $0 \leqslant t < {{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}} < t \leqslant T$ могут быть пустыми, если $V(0) > {{u}_{0}}$ или $V(T)$ > u₀. В случае, когда $V(t) \leqslant {{u}_{0}}$ для $0 \leqslant t \leqslant T$ оптимальное управление определяется тождеством $u(t) \equiv V(t)$ и обеспечивает тождественно равное нулю смещение объекта по отношению к основанию. Базовыми характеристиками ударного воздействия являются его длительность T и интеграл

характеризующий величину скорости, приобретенной (или потерянной) основанием в результате удара. В дальнейшем параметры T и ${{v}_{0}}$ считаются известными. Класс описанных возмущений обозначим ${{V}_{*}}$.

3. Критерий качества. Будем считать, что возмущение $V(\xi )$ неизвестно, но известно множество $\Omega \subset {{V}_{*}}$, которому могут принадлежать возможные возмущения. Качество изоляции при заданных управлении $u(t)$ и времени упреждения t₀ будем оценивать функционалом J, характеризующим максимальную величину смещения объекта относительно основания при наихудшем возмущении:

где $x(t;u,V,{{t}_{0}})$ – решение уравнения (1.1) с начальными условиями (1.2) для заданных $u(t)$, $V(\xi )$ и ${{t}_{0}}$. Величину J желательно минимизировать выбором оптимального закона управления и времени упреждения.

4. Задачи оптимизации. Поскольку условия информированности управляющей стороны о внешнем возмущении могут быть различными, то и задачи оптимального управления должны быть сформулированы по-разному.

Задача 1. Для системы (1.1) с начальными условиями (1.2) найти допустимое управление ${{u}_{ * }}$ и время упреждения $t_{0}^{*}$, которые минимизируют величину (3.1):

где U – множество законов управления $u(t)$, среди которых ищется оптимум.

Это задача о гарантирующем оптимальном упреждающем управлении противоударным изолятором, защищающим объект от ударных воздействий из множества $\Omega $. Она обобщает задачу, рассмотренную в [1–3] для заданного возмущения в отсутствие упреждения управления.

Задача 2. Для заданного допустимого управления u(t) найти время упреждения $t_{0}^{*}$, минимизирующее величину (3.1):

Эту задачу можно трактовать как задачу 1, в которой множество допустимых законов управления U состоит из одного элемента.

Решение задачи 2 дает возможность улучшать качество противоударной защиты путем изменения только времени упреждения при заданном программном законе управления u(t), который, например, может быть рассчитан на основе упрощенной модели для некоторого возмущения $V \in \Omega $ и представлен аналитическими выражениями.

В дальнейшем ограничимся параметрическим семейством допустимых релейных управлений ${{u}_{\tau }}(t)$ с переключением c $ - {{u}_{0}}$ на ${{u}_{0}}$ в момент времени $\tau $ и с ${{u}_{0}}$ на 0 в момент времени ${{v}_{0}}{\text{/}}{{u}_{0}} + 2\tau $, т.е. примем $U = \{ {{u}_{\tau }}\} $, где

Для управлений вида (4.1) имеем

Интегрирование обеих частей уравнения (1.1) при управлениях вида (4.1) и возмущениях класса ${{V}_{ * }}$ с учетом начальных условий (1.2) и равенств (2.2), (4.2) дает

Таким образом, при управлениях вида (4.1) движение объекта относительно основания прекращается за конечное время и в дальнейшем не возобновляется при любых возмущениях класса ${{V}_{*}}$ и временах упреждения t₀. Как следствие, смешение объекта относительно основания остается конечным.

В задаче 3 возмущение предполагается заранее известной функцией времени. Эта задача подробно рассматривалась в [9].

Задача 3. Для системы (1.1) при начальных условиях (1.2) и возмущении (2.1) найти кусочно-непрерывное управление u(t), удовлетворяющее ограничению

и время упреждения t₀, которые минимизируют максимальную величину смещения объекта относительно основания (функционал J):

Обозначим через J₃ оптимальное значение функционала J в задаче 3:

5. Лемма о наихудшем возмущении. Вычисление функционала (3.1) предполагает определение наихудшего возмущения $V \in \Omega \subset {{V}_{*}}$, которое максимизирует максимум модуля отклонения защищаемого объекта относительно основания (${\text{ma}}{{{\text{x}}}_{t}}{\text{|}}x(t;u,V,{{t}_{0}}){\text{|}}$) при заданных u(t) и ${{t}_{0}}$.

Лемма [9]. Среди возмущений $V \in {{V}_{*}}$ наихудшее возмущение есть либо $V(\xi ) = {{v}_{0}}\delta (\xi )$, либо $V(\xi ) = {{v}_{0}}\delta (\xi - T)$. Иными словами, наихудшее возмущение есть мгновенный удар интенсивности ${{v}_{0}}$, подаваемый в начальный или в конечный момент допустимого интервала возмущения.

Согласно этой лемме, для нахождения наихудшего возмущения при заданных u(t) и ${{t}_{0}}$ надо решить дифференциальное уравнение (1.1) с начальными условиями (1.2) при $v(t) = {{v}_{0}}\delta (t - {{t}_{0}})$ и $v(t) = {{v}_{0}}\delta (t - {{t}_{0}} - T)$, для каждого из решений вычислить ${\text{ma}}{{{\text{x}}}_{t}}\left| {x(t)} \right|$, сравнить получившиеся величины и выбрать возмущение, отвечающее большему значению.

Введем безразмерные переменные

Далее будем использовать безразмерные переменные, опуская штрихи. В безразмерных единицах параметры ${{u}_{0}}$ и ${{v}_{0}}$ равны единице.

6. Гарантирующее время упреждения для управления, оптимального для мгновенного удара. Мгновенный удар моделируется дельта-функцией Дирака: $V(\xi ) = \delta (\xi )$. Для такого удара в [6] решена задача 3 об оптимальном управлении с упреждением, которую можно трактовать как задачу 1 с множеством $\Omega $ в критерии качества (3.1), содержащим единственное возмущение: $\Omega = \{ \delta (\xi )\} $. Оптимальное управление $u = {{u}^{\delta }}(t)$, оптимальное время упреждения ${{t}_{0}} = {{t}_{\delta }}$ и соответствующее значение критерия качества $J = {{J}_{\delta }}$ в безразмерных переменных определяются выражениями

Управление $u = {{u}^{\delta }}(t)$ с моментом упреждения ${{t}_{0}} = {{t}_{\delta }}$ будем далее называть $\delta $-управлением.

Применим управление ${{u}^{\delta }}(t)$ к системе, подверженной неизвестным возмущениям класса ${{V}_{*}}$, и найдем для этого управления гарантирующее время упреждения, решив задачу 2. Предварительно вычислим максимум модуля отклонения объекта относительно основания для мгновенного удара ${{J}_{{dd}}}({{t}^{*}})$ при управлении ${{u}^{\delta }}(t)$ с произвольным временем упреждения ${{t}_{0}} = t{\text{*}}$. Получим

Эта формула позволяет оценить влияние ошибки в определении момента удара при расчете упреждающего оптимального управления на величину критерия качества противоударной изоляции. Функция из (6.2) непрерывна, монотонно убывает от значения 17/16 до 1/16 при $t{\text{*}} \in [0,1)$ и монотонно возрастает от 1/16 до бесконечности при $t{\text{*}} > 1$. График функции ${{J}_{{dd}}}(t{\text{*}})$ изображен на рис. 2. Для решения задачи 2 надо, с учетом леммы о наихудшем возмущении, для заданного $T$ найти минимум по переменной ${{t}_{0}}$ величины

С учетом свойств функции ${{J}_{{dd}}}(t{\text{*}})$ находим, что если ${{J}_{{dd}}}(0) \geqslant {{J}_{{dd}}}(T)$, то точка минимума $t_{0}^{*}$ функции $f({{t}_{0}},T)$ определяется единственным образом как  корень уравнения ${{J}_{{dd}}}({{t}_{0}}) = {{J}_{{dd}}}({{t}_{0}} + T)$; соответствующее значение $J({{u}^{\delta }},t_{0}^{*})$ критерия качества равно при этом ${{J}_{{dd}}}(t_{0}^{*})$ или, что то же, ${{J}_{{dd}}}(t_{0}^{*} + T)$. Если ${{J}_{{dd}}}(0) < {{J}_{{dd}}}(T)$, то $t_{0}^{*} = 0$ и $J({{u}^{\delta }},t_{0}^{*}) = {{J}_{{dd}}}(T)$. Анализ показывает, что ${{J}_{{dd}}}(0) \geqslant {{J}_{{dd}}}(T)$ если и только если $T \leqslant 17{\text{/}}8$. Проведя расчеты согласно описанному алгоритму, получим для $t_{0}^{*}$ и $J({{u}^{\delta }},t_{0}^{*})$ следующие выражения:

Отметим, что при $T > 17{\text{/}}8$ наихудшее возмущение определяется однозначно и есть мгновенный удар единичной интенсивности, приложенный в момент времени $T$, в то время как при $T \leqslant 17{\text{/}}8$ мгновенные удары, приложенные в моменты времени $t_{0}^{*}$ и $t_{0}^{*} + T$, приводят одному и тому же значению критерия качества.

7. Гарантирующее оптимальное упреждающее управление. Для управлений (4.1) найдем оптимальное значение параметра $\tau $ и оптимальное время упреждения ${{t}_{0}}$, решив задачу 1. Сначала вычислим максимум модуля смещения объекта относительно основания при мгновенном ударе $V(\xi ) = \delta (\xi )$ и произвольном времени упреждения ${{t}_{0}} = t{\text{*}}$, подобно тому, как это делалось в разд. 6 для получения выражения (6.2). Обозначим этувеличину ${{J}_{{d\tau }}}$, она зависит от переменных $\tau $ и t*: ${{J}_{{d\tau }}} = {{J}_{{d\tau }}}(t{\text{*}},\tau )$. Аналитические выражения величины ${{J}_{{d\tau }}}$ для различных интервалов параметра $\tau $ приводятся ниже:

С учетом леммы о наихудшем возмущении для решения задачи 1 надо найти минимум по переменным $\tau $ и t₀ функции

Было доказано, что решение задачи 1 удовлетворяет следующим необходимым условиям:

Кроме того, при $T < 1{\text{/}}2$ минимум функции (7.1) достигается при $1{\text{/}}4 \leqslant \tau \leqslant 1{\text{/}}2$. При этом t₀ вычисляется как функция $\tau $ из уравнения (7.2), а затем минимизируется величина ${{J}_{{d\tau }}}({{t}_{0}}(\tau ),\tau )$ по $\tau $. При $T \geqslant 1{\text{/}}2$ минимум функции (7.1) достигается при $\tau \geqslant 1{\text{/}}2$. При этом $\tau = 1{\text{/}}2$ для $1{\text{/}}2 < T \leqslant 7{\text{/}}2$, а t₀ определяется из решения уравнения (7.2).

При $T > 7{\text{/}}2$ оптимальные время упреждения t₀ момент переключения $\tau $ неединственны. Значение функционала ${{J}_{1}} = T{\text{/}}2$ для этого случая обеспечивается моментом переключения $\tau $ и моментом упреждения ${{t}_{0}}$, удовлетворяющим соотношениям

Выражение для t₀ в (7.3) получено из соотношений (7.2). Заметим, что при выполнении соотношений (7.3) верно неравенство ${{t}_{0}} \geqslant 0$ и значения ${{t}_{0}} = 0$, $\tau = \sqrt {(1 + T){\text{/}}2} - 1$ являются одним из решений из (7.3), соответствующим минимальному $\tau $ для рассматриваемого случая. При этом величина $\tau = \sqrt {(1 + T){\text{/}}2} - 1$ – корень уравнения (7.2) при ${{t}_{0}} = 0$. Таким образом одно из решений задачи 1 определяется следующими формулами:

Зависимости величин ${{J}_{1}}$ и ${{J}_{2}}$ от 1/T изображены на рис. 3.

8. Качество изоляции при некоторых заданных управлениях. Оценим качество защиты (3.1) для управления $u = {{u}^{\delta }}(t)$ и времени упреждения ${{t}_{0}} = {{t}_{\delta }}$ из (6.1). Используя формулу (6.2) и вводя дополнительное обозначение ${{J}_{{dT}}}$, получаем

Здесь наихудшим возмущением оказывается возмущение в виде дельта-функции, подаваемое в момент 1 + T.

Рассмотрим теперь возмущение в виде прямоугольного импульса, задаваемого кусочно-постоянной функцией V(t):

в размерных переменных или в безразмерных переменных. Безразмерная амплитуда (максимальное значение) прямоугольного возмущения, обозначаемая далее ${{A}_{r}}$, определяется соотношением ${{A}_{r}} = 1{\text{/}}T$. Для этого возмущения задача 3 решена в [9] с помощью графоаналитического метода [1, 2]. Оптимальное управление $u(t)$, оптимальное время упреждения ${{t}_{0}}$ и оптимальное значение критерия качества J определяются соотношениями

Индекс r указывает, что данные соотношения относятся к прямоугольному импульсу. Управление (8.4) с моментом упреждения (8.5) будем называть r-управлением.

Для управления ${{u}_{r}}$, заданного выражением (8.4) и времени упреждения $t_{0}^{r}$, вычисляемого согласно (8.5), максимальная величина смещения объекта относительно основания для наихудшего возмущения определяется формулой

При $T \leqslant 1$ наихудшее возмущение есть мгновенный удар, подаваемый в момент времени $t_{0}^{r}$, вычисляемый по формуле (8.5), а при $T > 1$ мгновенные удары, подаваемые в моменты времени t = 0 и t = T, приводят к одному и тому же результату. Заметим, что ${{J}_{{rT}}}(T) = {{J}_{1}}(T)$ при $T \geqslant 1$, т.е. управление ${{u}_{r}}$ с временем упреждения $t_{0}^{r}$ обеспечивают оптимальное значение функционала. Зависимости величин ${{J}_{{dT}}}$ и ${{J}_{{rT}}}$ от $1{\text{/}}T$ изображены сплошными кривыми на рис. 3. Из рис. 3 видно, что для всех T управление, оптимальное для прямоугольного возмущения, приводит к меньшему гарантированному (рассчитанному на наихудшее возмущение) значению критерия качества J, чем управление, оптимальное для мгновенного удара.

9. Сравнение качества изоляции для различных способов управления. На рис. 4 представлена зависимость величины $\eta = ({{J}_{2}} - {{J}_{1}}){\text{/}}{{J}_{1}}$ от длительности возмущения T. Величина $\eta $ характеризует относительное отличие гарантированных значений критерия качества, обеспечиваемых управлением ${{u}^{\delta }}(t)$ при оптимальном выборе времени упреждения и оптимальным управлением ${{u}_{{{{\tau }_{ * }}}}}(t)$ с оптимальным временем упреждения. Установлено, что $\eta < 1$; $\eta \to 1$ при $T \to \infty $; $\eta < 0.1$ для $T \in [0,\;17{\text{/}}8]$, причем $\eta \equiv 0$ для $T \in [7{\text{/}}8,\;17{\text{/}}8]$. Таким образом, управление ${{u}^{\delta }}(t)$ с временем упреждения, определяемым согласно (6.3), обеспечивает качество противоударной защиты, не более чем на $10\% $ отличающееся от оптимального в сравнительно широком диапазоне длительностей ударного воздействия, и оптимально для $T \in [7{\text{/}}8,\;17{\text{/}}8]$.

Величина ${{\eta }_{r}} = ({{J}_{{rT}}} - {{J}_{1}}){\text{/}}{{J}_{1}}$ характеризует относительное отличие гарантированных значений критерия качества, обеспечиваемых r-управлением и оптимальным управлением ${{u}_{{{{\tau }_{ * }}}}}(t)$ с оптимальным временем упреждения. Установлено, что ${{\eta }_{r}} < 0.225$ при T < 1 и ${{\eta }_{r}} \equiv 0$ при $T \geqslant 1$. Таким образом, r-управление обеспечивает качество противоударной защиты, не более чем на $22.5\% $ отличающееся от оптимального для T < 1, и оптимально для $T \geqslant 1$.

Величина ${{\eta }_{\delta }} = ({{J}_{{dT}}} - {{J}_{1}}){\text{/}}{{J}_{1}}$ характеризует относительное отличие гарантированных значений критерия качества, обеспечиваемых $\delta $-управлением и оптимальным управлением ${{u}_{{{{\tau }_{ * }}}}}(t)$ с оптимальным временем упреждения. Установлено, что ${{\eta }_{\delta }} = 1 - 1{\text{/}}(8T)$ < 0.75 при T < 0.5 и ${{\eta }_{\delta }} \to 1$ при $T \to \infty $. Таким образом, $\delta $-управление обеспечивает качество противоударной защиты, не более чем на $75\% $ отличающееся от оптимального при T < 0.5, и является наихудшим управлением из рассмотренных.

Заключение. Рассмотрена задача изоляции объекта на подвижном основании от ударов, которым может подвергаться основание. Для неизвестного наихудшего возмущения с заданными длительностью и интегралом от возмущения по времени найден гарантирующий момент упреждения для управления, предназначенного для мгновенного удара, построено гарантирующее упреждающее управление в классе управлений с одним переключением и вычислено соответствующее значение максимального смещения объекта относительно основания. Проведено сравнение полученного способа управления с другими управляющими законами.