Известия РАН. Теория и системы управления, 2019, № 3, стр. 10-23

Введение. Исследования, посвященные различным вопросам робототехники, в настоящее время весьма актуальны [1–3]. В большинстве применяемых механических устройств перемещение аппарата (робота, движущегося объекта) зависит от непосредственного взаимодействия движущихся частей с окружающей средой. Это вызывает ряд затруднений, например, в случае, если окружающая среда агрессивна. Поэтому механические системы, в которых движение происходит под действием перемещающихся внутренних масс, представляют интерес для робототехники [4–6]. Кроме того, подвижные внутренние массы можно использовать, в принципе, для управления ориентацией космических аппаратов. В ряде случаев можно пренебречь влиянием внешних факторов либо для движения в целом, либо для некоторых его этапов. В данной работе анализируются, сравниваются и обобщаются результаты, кратко изложенные в работах [7, 8].

1. Постановка задачи. Рассмотрим твердое тело B массы M и материальную точку P массы m, показанные на рис. 1. Пусть оба объекта могут осуществлять только плоскопараллельные движения. Предположим, что в начальный момент времени система покоится, и пренебрежем всеми внешними силами и моментами сил. Тогда система замкнута и может двигаться исключительно под действием внутренних сил взаимодействия между телом и точкой. В этом случае общий центр масс обоих объектов покоится и может быть использован в качестве начала неподвижной декартовой системы координат $OXY$. Кроме того, рассмотрим движущуюся декартову систему координат $Cxy$, связанную с телом $B$, причем ее центр C находится в центре масс этого тела. Пусть положение материальной точки $P$ по отношению к началу координат C задано вектором ${{{\mathbf{r}}}_{m}}$, а векторы ${{{\mathbf{r}}}_{P}}$ и ${{{\mathbf{r}}}_{C}}$ задают положения точек $P$ и C по отношению к началу координат системы $OXY$. Имеем ${{{\mathbf{r}}}_{m}} = {{{\mathbf{r}}}_{P}} - {{{\mathbf{r}}}_{C}}$ (рис. 1).

Поскольку центр масс O покоится, в силу первого закона Ньютона справедливо следующее соотношение:

Из (1.1) получаем

Пусть ${{{\mathbf{v}}}_{C}} = {{{\mathbf{\dot {r}}}}_{C}}$ – скорость точки $C$, а ω – угловая скорость тела B. Закон сохранения количества движения для механической системы, состоящей из тела B и материальной точки P, дает

где через $ \times $ обозначено векторное произведение, а точка – производная вектора ${{{\mathbf{r}}}_{m}}$ по отношению к системе координат $Cxy$. На основании (1.2) и (1.3) имеем

Обозначим через J момент инерции тела B относительно оси, проходящей через центр масс $C$ этого тела перпендикулярно плоскости $OXY$. Предположим, что эта ось – главная центральная ось инерции тела B. Закон сохранения углового момента для рассматриваемой механической системы можно записать в следующем виде:

Подставим ${{{\mathbf{r}}}_{C}}$ из (1.2) и ${{{\mathbf{v}}}_{C}}$ из (1.4) в соотношение (1.5). Получим

Радиус инерции a тела $B$ определен соотношением

Обозначим через $x$ и $y$ декартовы координаты вектора ${{{\mathbf{r}}}_{m}}$ относительно системы координат $Cxy$. Пусть $u$ и $\text{v}$ — проекции вектора относительной скорости ${{{\mathbf{\dot {r}}}}_{m}}$ точки $P$ на оси абсцисс и ординат системы $Cxy$, а $\varphi $ – угол поворота тела B в системе координат $OXY$. Тогда с учетом (1.7) уравнение (1.6) можно переписать в форме

где $V$ – максимально допустимая величина модуля скорости материальной точки P.

Пусть в начальный t = 0 и конечный $t = T$ моменты времени выполнены следующие граничные условия:

Поставим задачу о поиске управлений $u$ и $\text{v}$, переводящих систему (1.8) из начального состояния в конечное, согласно (1.9), за минимальное время T.

В дальнейшем, помимо указанного в (1.9) терминального условия, при котором конечное положение материальной точки P не задано, будут кратко рассмотрены и иные, накладывающие на это положение некоторые ограничения.

2. Точное решение задачи в общем случае. Выполним следующую замену переменных [8]:

и, сохранив старые обозначения, получим из (1.8)

Перейдем к полярным переменным

Здесь $\alpha $ и $r$ – полярные координаты вектора ${{{\mathbf{r}}}_{m}}$, а ${{r}_{\xi }}$ и $\xi $ – полярные координаты вектора управления в системе $Cxy$. Тогда из (2.2) имеем

Сначала умножим первое из уравнений (2.3) на $cos\alpha $ и сложим со вторым, умноженным на $sin\alpha $, а затем вычтем из второго уравнения (2.3), умноженного на $cos\alpha $, первое, умноженное на $sin\alpha $. Получим

Тогда, поскольку

соотношения (2.2) примут вид

Введя новые управления

преобразуем (2.4) и получим

Заметим, что из второго и третьего соотношений в (2.5) следует, что направления изменения углов $\alpha $ и $\varphi $ всегда противоположны.

Граничные условия (1.9) примут вид

В дальнейшем всюду положим ${{\alpha }_{0}} = 0$ и ${{\varphi }_{0}} = 0$, поскольку, как видно из системы (2.5), это можно сделать без ограничения общности.

Применим принцип максимума Л.С. Понтрягина [9] и запишем гамильтониан для системы (2.5):

а также дифференциальные уравнения для сопряженных переменных

Получаем оптимальные управления

Разделим первое уравнение в (2.5) на второе и тем самым перейдем к новой независимой переменной $\alpha $, после чего подставим $\mathop {\hat {u}}\nolimits_* $ и ${{\hat {v}}_{*}}$. Тогда

Выразим p_r из (2.9):

Разделим первое уравнение в (2.7) на второе уравнение в (2.5) и получим

В дальнейшем для сокращения записей будем обозначать штрихом производные по $\alpha $. Продифференцируем правую часть (2.10) по $\alpha $ и приравняем правой части (2.11). Тогда

Обозначим $r{\text{'}} = p(r)$. Тогда, согласно [10], можно положить $r{\text{''}} = pdp{\text{/}}dr$, и это соотношение можно рассматривать как линейное дифференциальное уравнение относительно $\psi (r) = {{p}^{2}}$.

Поскольку угол поворота тела B в конечный момент времени задан, согласно (1.9), то ограничимся случаем ${{p}_{\varphi }} \ne 0$, в котором траектория отлична от прямой линии [8]. Следовательно,

где ${{C}_{\alpha }} = {{p}_{\alpha }}{\text{/}}{{p}_{\varphi }}$. Решение этого уравнения имеет вид где ${{C}_{0}}$ – постоянная интегрирования. Разделим первое уравнение в (2.4) на второе, а также третье уравнение в (2.5) на второе. Тогда

Из соотношения $\psi = {{(r{\text{'}})}^{2}}$ и первого уравнения в (2.13) можно получить равенство ${\text{ctg}}(\xi - \alpha ) = {{ \pm \sqrt {\psi (r)} } \mathord{\left/ {\vphantom {{ \pm \sqrt {\psi (r)} } r}} \right. \kern-0em} r}$. Это позволяет найти оптимальные управления ${{u}_{ * }}$ и ${{\text{v}}_{ * }}$ как функции текущих значений полярных координат $r$ и $\alpha $, тем самым построив синтез оптимального управления.

На основании соотношения $\psi = {{(r{\text{'}})}^{2}}$ и второго уравнения в (2.13) можно заметить, что текущие значения углов $\alpha $ и $\varphi $ монотонно зависят от r. Следовательно, в общем случае решение представляет собой спираль. В конечный момент времени имеем

где ${{r}_{T}} = r(T)$.

Заметим, что в системе (2.2) при ${{u}^{2}} + {{\text{v}}^{2}} = 1$ время – натуральный параметр [11], т.е. равно длине кривой s. В свою очередь уравнение для длины кривой в полярных координатах [11] с учетом (2.12) имеет вид

Отсюда и из соотношений

получаем

Формулы (2.14) можно преобразовать к виду

Если в соотношениях (2.14) использовать замену переменной интегрирования $\zeta = {{r}^{2}}$ и положить $\psi (r) = \psi (\sqrt \zeta ) = \Psi (\zeta )$, то получим

Аналогично можно записать выражение (2.15) в форме

Отсюда вытекает, что выражения (2.14) и (2.15) можно свести к эллиптическим интегралам [12] относительно переменной $\zeta $.

В случае двухточечной задачи, когда ${{r}_{T}}$, ${{\alpha }_{T}}$ и ${{\varphi }_{T}}$ фиксированы, уравнения (2.14) позволяют найти постоянные C₀ и ${{C}_{\alpha }}$ из граничных условий. Если же конечное значение ${{\alpha }_{T}}$ свободно, то ${{p}_{\alpha }} \equiv 0$. Тогда ${{C}_{\alpha }} = 0$ и $\psi (r) = {{C}_{0}}\mathop {(1 + {{r}^{2}})}\nolimits^2 - {{r}^{2}}$, а выражения (2.14), (2.15) сводятся к эллиптическим интегралам относительно переменной r. Второе соотношение в (2.14) позволяет найти C₀, зная ${{r}_{0}}$, ${{r}_{T}}$ и ${{\varphi }_{T}}$.

Если свободно только значение ${{r}_{T}}$, то в силу соответствующего условия трансверсальности получаем ${{p}_{r}}(T) = 0$. Тогда на основании (2.9) имеем $\psi ({{r}_{T}}) = 0$, что позволяет выразить значение C₀ из (2.12) через ${{r}_{T}}$ и ${{C}_{\alpha }}$. Значения ${{r}_{T}}$ и ${{C}_{\alpha }}$ найдем из соотношений (2.14). В частном случае правая часть уравнения (2.11) равна нулю при

Получаем ${{p}_{r}} \equiv 0$ и тем самым ${{\hat {u}}_{*}}(t) \equiv 0$ и ${{\hat {v}}_{*}}(t) \equiv \pm 1$, что означает движение по окружности с радиусом r₀. Значение ${{C}_{0}} = {{4r_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4r_{0}^{2}} {{{{(1 + r_{0}^{2})}}^{4}}}}} \right. \kern-0em} {{{{(1 + r_{0}^{2})}}^{4}}}}$ следует из (2.12) для $\psi (r) \equiv 0$.

В дальнейшем ограничимся случаем, когда свободно не только значение ${{\alpha }_{T}}$, но и ${{r}_{T}}$, т.е. конечное положение материальной точки полностью произвольно, что соответствует (2.6). Тогда из (2.12) с учетом ${{C}_{\alpha }} = 0$ и $\psi ({{r}_{T}}) = 0$ имеем ${{C}_{0}} = {{r_{T}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{r_{T}^{2}} {{{{(1 + r_{T}^{2})}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{(1 + r_{T}^{2})}}^{2}}}}$. Второе соотношение в (2.14) позволяет найти ${{r}_{T}}$ на основании условий (2.6), после чего из первого соотношения в (2.14) можно найти угол ${{\alpha }_{T}}$, а из (2.15) – значение функции Беллмана, т.е. $T$ как функцию r₀, ${{\alpha }_{0}}$. Интересно, что в случае (2.6) интегралы для ${{\alpha }_{T}}$ и ${{\varphi }_{T}}$ в (2.14) не меняют свой вид при замене переменной $r$ на $1{\text{/}}r$.

Однако полученное решение не всегда удобно для применения. В робототехнике особый интерес представляет ситуация, когда $\mu \ll 1$ и ${{r}_{T}} \ll 1$, т.е. когда масса материальной точки $P$ мала по сравнению с массой тела $B$ и точка $P$ находится недалеко от центра масс системы $O$. В этом случае при движениях тела $B$ величина угла ${{\alpha }_{T}}$ поворота точки $P$ может быть значительной. Тогда возникает вопрос о возможности удовлетворительной аппроксимации формы траектории движения точки $P$ какой-либо простой кривой, что важно как для практических целей, так и для целей дальнейших теоретических исследований. Получить ответ на этот вопрос, основываясь только на формуле для угла ${{\alpha }_{T}}$ в (2.14), затруднительно. Поэтому целесообразно решить задачу оптимального управления для $\mu \ll 1$ отдельно.

3. Решение задачи при $\mu \ll 1$. В этом случае вместо замены переменных (2.1) сделаем замену

Тогда, сохранив прежние обозначения, получим из (1.8)

Используя то, что $\mu \ll 1$, уравнения (3.2) можно упростить и заменить системой

К системе (3.3) применим принцип максимума Л.С. Понтрягина [9] и запишем гамильтониан

где ${{p}_{x}}$, ${{p}_{y}}$ и ${{p}_{z}}$ – сопряженные переменные, удовлетворяющие уравнениям

Максимум гамильтониана (3.4) как функции управлений $u$ и $\text{v}$ с учетом ограничения, указанного в (3.3), достигается, если

При этом ограничение в (3.3) превращается в равенство ${{u}^{2}} + {{\text{v}}^{2}} = 1$, т.е. скорость точки $P$ максимальна, что обычно для управлений, оптимальных по быстродействию.

Из соотношений (3.3) и (3.5) следует, что

Проинтегрируем (3.7) и получим

где ${{c}_{x}}$, ${{c}_{y}}$ и c – постоянные интегрирования. Подставив равенства (3.8) в формулы (3.6), имеем

Соотношения (3.9) определяют оптимальные управления. Если подставить их в выражение для гамильтониана (3.4), то можно получить, что $H = \Upsilon $. Поскольку система дифференциальных уравнений (3.3) автономна, гамильтониан (3.4) для рассматриваемой задачи при оптимальном управлении является, согласно [9], постоянным и положительным. Кроме того, вектор сопряженных переменных может быть нормирован на любую постоянную положительную величину. Поэтому без потери общности можно положить $H = \Upsilon = 1$. Теперь заметим, что, согласно формуле для $\Upsilon $ из (3.9), равенство ${{\Upsilon }^{2}} = 1$ можно записать в виде

Уравнение (3.10) при $c \ne 0$ задает окружность. Следовательно, в общем случае оптимальные траектории точки P по отношению к телу $B$ представляют собой дуги окружностей.

Подставим $\Upsilon = 1$ в формулы (3.9) для $u$ и $\text{v}$, а получившиеся в результате этой подстановки выражения – в уравнения (3.3) для $x$ и $y$. Получим

Сначала рассмотрим общий случай. Интегрирование системы дифференциальных линейных уравнений (3.11) дает

где A и D – произвольные постоянные, которые необходимо определить на основании граничных условий (1.9). Начальные условия дают соотношения

Подставив формулы (3.13) в уравнения (3.12), найдем

Подставим соотношения (3.14) в уравнения (3.3) для получения оптимальных управлений. Имеем

С учетом связи ${{u}^{2}} + {{\text{v}}^{2}} = 1$ между оптимальными управлениями формулы (3.15) дают

Теперь подставим выражения (3.14) и (3.15) в уравнение для $\dot {z}$ из (3.3) и получим

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (3.17) и найдем

Перед тем, как решить поставленную задачу для краевых условий (1.9), рассмотрим случай, когда конечное положение системы фиксировано:

Подставив решение (3.14) в граничные условия (1.9) и (3.19), получим

Подставим (3.20) в условие (3.16). Тогда

Теперь подставим соотношения (3.20) в формулу (3.18) и получим

На интервале $\left| \phi \right| < \pi $ функция $f(\phi )$ – нечетная и монотонная, причем растет от $ - \infty $ до $\infty $.

Теперь опишем процедуру решения задачи оптимального быстродействия при терминальных условиях (3.19). Сначала рассмотрим общий случай $F \ne 0$ и ${{\rho }_{1}} > 0$. В этом случае уравнение (3.22) для поиска $\phi $ имеет единственное решение на интервале $\phi \in ( - \pi ,\pi )$, такое, что $\phi \ne 0$, sign  $\phi $ = = ${\text{sign}}\,F$. После нахождения $\phi $ можно вычислить T, используя соотношение

следующее из (3.21), а также найти $c = \phi {\text{/}}T \ne 0$. Постоянные A и D заданы соотношениями (3.20), оптимальные управления – формулами (3.15), а оптимальная траектория – уравнениями (3.14).

Теперь рассмотрим вырожденный случай $F = 0$, ${{\rho }_{1}} > 0$. В этом случае из определения $\phi $ в (3.20), соотношения для $F$ в (3.22), а также уравнения (3.23) следует, что $\phi = 0$, $c = 0$ и $T = {{\rho }_{1}}$. Тогда из формул (3.6) и (3.11) вытекает, что оптимальная траектория – отрезок прямой. С учетом граничных условий получим

В этом случае решение также единственно.

Остается рассмотреть особый случай, когда ${{\rho }_{1}} = 0$ и $F \ne 0$. В соответствии с (3.21) и (3.22)

Учитывая, согласно (3.22), асимптотическое поведение функции $f(\phi )$ при $\left| \phi \right| \to \pi $, а также (3.24), получаем

В этом случае уравнения (3.20) для A и D содержат особенности. Обращаясь к соотношениям (3.14) в случае (3.24), можно заметить, что они удовлетворяют терминальным условиям (3.19) для любых A и D при условии, что выполнено соотношение (3.16). В итоге оптимальную траекторию и оптимальное управление можно записать в следующем виде:

где $\theta $ – любая величина, принадлежащая полуинтервалу $[0,2\pi )$. В данном случае оптимальная траектория неединственна и представляет собой любую окружность радиуса ${{R}_{1}}$, проходящую через начальную точку с координатами ${{x}_{0}}$ и ${{y}_{0}}$.

Теперь рассмотрим задачу с исходными граничными условиями (1.9). В этом случае для поиска значений x(T) и y(T) нужно использовать соответствующие условия трансверсальности. Тогда вместо (3.21) получим

Введем обозначения

Функция $g(\phi )$ – нечетная и монотонная при $\left| \phi \right| < \pi {\text{/}}2$. На этом интервале она растет от $ - \infty $ до $\infty $.

В общем случае при $z(T) \ne z(0)$ и ${{\rho }_{0}} \ne 0$ решение можно получить аналогично тому, как это было сделано для случая фиксированной конечной точки. Сначала необходимо найти величину $\phi $ из уравнения

Значение $\phi \ne 0$ единственно и $\left| \phi \right| < \pi {\text{/}}2$, а ${\text{sign}}\,\phi = {\text{sign}}({{z}_{1}} - {{z}_{0}})$. Тогда можно найти $T$ и $c$, используя соотношения

Постоянные A и D заданы формулами (3.27), а единственная оптимальная траектория и соответствующее ей оптимальное управление заданы соотношениями (3.14) и (3.15).

Вырожденный случай ${{z}_{1}} = {{z}_{0}}$ тривиален, поскольку начальное положение точки P совпадает с конечным и T = 0.

В особом случае, когда ${{\rho }_{0}} = 0$ и ${{z}_{1}} \ne {{z}_{0}}$, точка P в начальный момент времени t = 0 находится в центре масс $O$ рассматриваемой механической системы, который в данном случае совпадает с центром масс $C$ тела $B$. Тогда по аналогии с (3.25) получим

Соответствующие оптимальные управления и оптимальные траектории неединственны. Их можно найти с помощью соотношений, похожих на формулы (3.26):

где ${{R}_{2}} = T{\text{/}}\pi $, а угол $\theta $ – любой, откуда следует, что оптимальной траекторией является любая полуокружность радиуса ${{R}_{2}}$, начинающаяся в точке O.

Заметим, что можно распространить использованный при $\mu \ll 1$ подход и на общий случай, когда параметр $\mu < 1$, но не является малым. Полученные выше траектории (3.14) и соответствующие им законы управления (3.15) также могут быть использованы в этом случае, но с учетом следующего замечания. Для определенности рассмотрим ситуацию, когда конечное состояние системы фиксировано (3.19) и $c \ne 0$. Как и прежде, постоянные $A$ и $D$ заданы формулами (3.20). Для поиска значений двух постоянных $c$ и $T$ есть два соотношения: условие (3.16) и равенство

которое следует из последнего уравнения в (3.2), а также граничных условий (1.9) и (3.14) для $z$. Подставляя (3.14), (3.15) и (3.20) в выражение (3.30) для $\omega (t)$, получим из (3.30) второе условие для вычисления постоянных $c$ и $T$ (или $\phi $ и $T$). В случае, когда конечное положение точки $P$ не задано, следует заменить соотношения (3.20) на (3.27). Найденное в итоге управление будет удовлетворять граничным условиям, но, конечно, не будет оптимальным.

4. Сравнение точного решения с приближенным. Хотя уравнения (3.3) и можно рассматривать как приближенные для исходной системы (1.8) при $\mu \ll 1$, однако траектории движения точки $P$, получающиеся в результате решения оптимизационной задачи для (3.3), нельзя без дополнительного доказательства считать непрерывно стремящимися при $\mu \to 0$ к траекториям, являющимся решением такой же задачи для (1.8). Это объясняется существенно нелинейным характером систем (1.8) и (3.3) и свойствами оптимального решения, которое может сложным образом зависеть от параметра $\mu $.

Точное решение, заданное формулами (2.14) и (2.15) в случае свободного правого конца траектории, т.е. при ${{C}_{\alpha }} = 0$, после замены переменных (3.1) имеет вид

Здесь $\alpha $ и $r$ – полярные координаты точки $P$ в системе $Cxy$. Заметим, что по-прежнему для упрощения записей будем полагать $\alpha (0) = 0$ и $\varphi (0) = 0$.

С точки зрения робототехники наибольший интерес представляет случай, когда ${{r}_{T}} < 1$, что с учетом условия $\mu \ll 1$ дает ${{r}_{T}}\sqrt \mu < 1$. Кроме того, без ограничения общности можно полагать $\alpha \geqslant 0$. Тогда $r \leqslant {{r}_{T}}$ и интегралы в (4.1) можно записать, используя обычную [12] подстановку $\varrho \, = \,{{r}_{T}}\,{\text{sin}}\,\eta $, в следующей форме:

Как было указано выше, все интегралы в (4.2) – эллиптические и не могут быть взяты в элементарных функциях. Однако можно воспользоваться тем, что все они содержат выражение $1 - {{\mu }^{2}}r_{T}^{4}si{{n}^{2}}\eta $, которое, в силу допущений ${{r}_{T}} < 1$ и $\mu \ll 1$, можно положить тождественно равным единице. Тогда нетрудно найти все интегралы в (4.2) аналитически и записать

Из выражения для $\alpha (r)$ в (4.3) можно получить

Уравнение (4.4) аппроксимирует окружность радиусом ${{r}_{T}}{\text{/}}2$, проходящую через начало системы координат $Cxy$. На рис. 2 центр этой окружности – точка $Q$. Траектория материальной точки $P$ – дуга этой окружности, начинающаяся в точке $S$ и кончающаяся в точке $F$. Как следует из формул (4.3), тело B при этом поворачивается на угол

В случае, когда ${{r}_{0}} = 0$, в конечный момент времени $T$ из формул (4.3) и (4.5) получаем

Если исключить слагаемые, зависящие от $\mu $, из соотношений (4.4) и (4.6), то можно заметить, что при ${{r}_{0}} = 0$ оптимальная траектория является половиной окружности радиуса ${{r}_{T}}{\text{/}}2$ с центром на оси ординат, причем эта окружность проходит через начало системы координат Cxy.

Итак, приближенное решение, полученное для случая $\mu \ll 1$, близко к оптимальному в следующем смысле: оптимальная траектория является окружностью с точностью до слагаемых порядка $O({{\mu }^{2}})$; оптимальные значения полярных координат точки P и величина угла поворота тела $B$ отличаются от соответствующих приближенных значений на величины порядка $O(\mu )$; приближенная величина функционала равна оптимальному значению с точностью до слагаемых порядка $O(\mu )$.

5. Результаты вычислений. На рис. 3–5 и связанной с ними таблице показаны три примера применения полученных результатов для различных значений параметров $\mu $ и ${{\varphi }_{T}}$, а также разных начальных положений точки $P$. В дальнейшем всюду будем понимать под $i$ номер примера, причем первый из них соответствует рис. 3. Точки ${{S}_{i}}$ на рисунках показывают начальные положения материальной точки P, а координаты этих точек, как и соответствующие значения величин ${{M}_{i}}$, ${{m}_{i}}$, ${{\mu }_{i}}$ и ${{a}_{i}}$, даны в таблице. Значения ${{\varphi }_{{Ti}}}$ – требуемые углы поворота твердого тела $B$ для каждого из примеров. Во всех случаях значение $V$ было принято равным единице. Точки ${{A}_{i}}$ – конечные положения материальной точки P, вычисленные, согласно первой из формул (2.16). Траектории, начинающиеся в ${{S}_{i}}$ и кончающиеся в ${{A}_{i}}$, оптимальны и дают значения времени оптимального быстродействия, равные ${{T}_{{Ai}}}$. Траектории, начинающиеся в точках ${{S}_{i}}$ и кончающиеся в точках ${{C}_{i}}$, соответствуют точному решению упрощенной задачи (3.3) и величинам времени оптимального быстродействия, равным ${{T}_{{Ci}}}$. Эти траектории являются дугами окружностей. Значения угла поворота твердого тела $B$ для них всегда меньше ${{\varphi }_{{Ti}}}$ и равны ${{\varphi }_{{Ci}}}$. Для удобства сравнения с остальными решениями на рисунках отмечены точки ${{B}_{i}}$, которые получены продолжением по окружности оптимальных фрагментов окружностей, т.е. соответствующим перемещением материальной точки $P$ и связанным с ним поворотом твердого тела $B$, вплоть до получения требуемых величин ${{\varphi }_{{Ti}}}$. Эти траектории также являются дугами окружностей. Значения времени движения для них равны ${{T}_{{Bi}}}$. Траектории, начинающиеся в ${{S}_{i}}$ и кончающиеся в ${{D}_{i}}$, соответствуют приближенному решению, полученному с использованием формулы (3.30). Значения времени движения для них равны ${{T}_{{Di}}}$.

Из таблицы видно, что решениям, оканчивающимся в точках ${{A}_{i}}$, действительно соответствуют меньшие значения времени движения по сравнению со значениями для точек ${{T}_{{Bi}}}$ и ${{T}_{{Di}}}$. С другой стороны, несмотря на то, что траектории для различных алгоритмов значительно отличаются друг от друга, величины времени движения близки друг к другу. Интересно, что значения ${{T}_{{Bi}}}$ во всех трех случаях оказались лучше значений ${{T}_{{Di}}}$ и отличаются от оптимальных всего лишь на несколько тысячных.

Заключение. Итак, для получения решения поставленной задачи о повороте твердого тела при помощи внутренней массы можно использовать три алгоритма. Первый представляет собой точное оптимальное решение (2.16) исходной задачи. Его недостаток – необходимость вычисления значения эллиптического интеграла. Второй алгоритм является точным оптимальным решением приближенной задачи (3.3). Его преимущество в том, что оптимальные траектории представляют собой дуги окружности, а недостаток состоит в том, что реальный угол поворота твердого тела оказывается меньше требуемого. Третий алгоритм основан на том же самом решении, что и второй, но в его рамках краевое условие на угол поворота тела выполняется точно. Однако это решение является приближенным. В рассмотренных численных примерах различие между этими алгоритмами с точки зрения времени движения мало, но траектории отличаются значительно.

Полученные результаты могут представлять интерес с точки зрения робототехники для так называемых капсульных роботов, не имеющих внешних движителей и способных перемещаться за счет движения внутренних масс. Такие роботы могут быть герметичными.

Эти результаты, в принципе, могут быть приложимы для управления ориентацией космических аппаратов.