Известия РАН. Теория и системы управления, 2019, № 6, стр. 3-17

Введение. Проблема, рассматриваемая в данной статье, возникла в связи с разработкой системы управления поворотной платформой, которая устанавливается на орбитальном космическом аппарате и служит для прецизионного ориентирования закрепленного в ней объекта. Общий вид платформы показан на рис. 1 [1]. Основным компонентом конструкции платформы служит двухстепенной подвес, состоящий из двух жестких рамок (внешней и внутренней), вращающихся вокруг взаимно перпендикулярных осей. Внешняя рамка вращается вокруг оси, жестко связанной с космическим аппаратом, а внутренняя рамка – вокруг оси, жестко связанной с внешней рамкой. Во внутренней рамке закрепляется объект, ориентация которого контролируется с помощью поворотной платформы. Управление вращением рамок осуществляется посредством двух независимых электроприводов с двигателями постоянного тока. Платформа может использоваться для различных целей, в частности для управления уровнем микроускорений в заданных зонах объекта, что важно при проведении технологических экспериментов по выращиванию монокристаллов из расплавов в условиях, близких к невесомости [2–4]. В этом случае платформа служит активным виброзащитным устройством. Термин “микроускорение” используется в литературе по космонавтике. Под микроускорением материальной частицы понимается разность между ее ускорением относительно инерциальной системы отсчета и ускорением силы тяготения в точке нахождения частицы. По физическому содержанию термин “микроускорение” совпадает с термином “кажущееся ускорение”, использующимся в теории инерциальной навигации [5]. Процесс выращивания монокристаллов весьма чувствителен к так называемой боковой составляющей микроускорений, направленной перпендикулярно оси роста кристалла, и поэтому желательно поддерживать ориентацию технологического устройства, при которой ось роста кристалла будет направлена вдоль текущего направления вектора микроускорения. В [6] установлена принципиальная возможность устранения с помощью поворотной платформы боковой составляющей микроускорения взаданной точке чувствительной оси объекта и построен соответствующий “кинематический” закон управления рамками платформы, формируемый по принципу обратной связи. Для реализации этой возможности необходимо в каждый момент времени знать микроускорение в точке пересечения осей вращения рамок подвеса, угловое ускорение и угловую скорость основания, а также значения углов поворота рамок подвеса и их первых производных. Закон управления формирует значения текущих относительных угловых ускорений рамок подвеса, которые должны быть реализованы приводами.

Микроускорения, подлежащие снижению с помощью поворотной платформы, весьма малы и могут оказаться сравнимыми с ускорениями, создаваемыми трением в подшипниках осей вращения рамок подвеса платформы. Поэтому алгоритмы управления приводами рамок подвеса должны строиться на основе динамической модели с учетом трения, параметры которого (в частности, коэффициент сухого трения) заранее не известны и могут существенно (в несколько раз) изменяться в процессе движения. Такой алгоритм для упрощенной модели с одной степенью свободы предложен и исследован в [7]. Механическая система состоит из вращающегося основания и твердого тела, которое может поворачиваться относительно основания вокруг оси, совпадающей с осью вращения основания. Управление движением тела относительно основания осуществляется с помощью безредукторного электропривода. Управляющей переменной служит напряжение, подаваемое на клеммы якоря электродвигателя. Предложена динамическая модель системы, учитывающая момент сил трения в подшипниках качения относительно оси вращения. Момент сил трения качения представляется нечетной функцией угловой скорости вращения тела, имеющей разрыв первого рода в нуле, подобно характеристике сухого трения. Решается задача оптимального управления приведением тела в заданное угловое положение в отсутствие трения. Минимизируемым функционалом служит интеграл по времени от квадратичной функции управляющих и фазовых переменных. Для системы с трением построены квазиоптимальные законы управления в форме синтеза и оценены зоны застоя, обусловленные наличием сухого трения скольжения при качении. Предложены режимы управления с компенсацией неидеальностей и возмущающих факторов. Проведено математическое моделирование и определены динамические характеристики управляемого процесса.

Для повышения точности отработки требуемой ориентации рамок подвеса и изоляции рамок от непосредственного влияния трения в подшипниках предлагается двухступенчатая конструкция приводов. Двухступенчатый привод содержит два независимо управляемых электродвигателя. Статор электродвигателя первой ступени расположен на теле, относительно которого вращается соответствующая рамка (на основании, связанном с космическим аппаратом, для внешней рамки и на внешней рамке для внутренней рамки). Ротор двигателя первой ступени вращается в подшипниках, жестко закрепленных на статоре. На роторе двигателя первой ступени жестко закреплен статор двигателя второй ступени, а ротор двигателя второй ступени связан со статором посредством крутильной пружины (торсиона) относительно небольшой жесткости. Ротор двигателя второй ступени привода жестко связан с соответствующей рамкой платформы. В настоящей работе проводится исследование возможностей и качества управления ориентацией жесткого объекта относительно вращающегося основания с помощью двухступенчатого электропривода. Динамическая модель исследуемой системы отличается от модели, рассмотренной в [7], тем, что одноступенчатый электропривод заменен двухступенчатым, в результате чего система имеет две степени свободы. Предлагается закон управления, обеспечивающий желаемое качество переходных процессов в каждой ступени в отсутствие трения и других возмущений. В основе этого закона управления лежат линейные пропорционально-дифференциальные (ПД) регуляторы. Затем предложенный алгоритм управления применяется к системе, в которой имеется трение в подшипниках и, кроме того, в отличие от [7], некоторые переменные, входящие в закон управления, недоступны прямому измерению с достаточной точностью. Для этих переменных предлагается процедура оценивания на основе полиномиальной фильтрации. Проводятся численные эксперименты с целью оценки влияния трения и погрешностей измерений на качество переходных процессов в приводах и точность отслеживания объектом требуемой ориентации относительно основания, которая в общем случае изменяется со временем.

В [8, 9] построены альтернативные законы управления с обратной связью для модельных систем с одноступенчатым и двухступенчатым электроприводами соответственно. Эти законы обладают робастностью по отношению к малым возмущениям и ошибкам измерения и в случае отклонения объекта от желаемой ориентации обеспечивают возврат к этой ориентации за конечное время. Построенные законы управления позволяют учесть ограничения, налагаемые на управляющие переменные (входные напряжения электродвигателей), однако их алгоритмическая реализация значительно сложнее, чем реализация режимов управления, предложенных в [7] и в настоящей работе.

1. Модель электромеханической системы. Рассматривается система, состоящая из основания, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, объекта, который может вращаться относительно основания вокруг той же оси, и двухступенчатого электропривода, управляющего движением объекта относительно основания (рис. 2). Двухступенчатый электропривод представляет собой два независимых электропривода постоянного тока, объединенных в каскад. Статор электродвигателя первой ступени привода жестко связан с основанием, а с валом ротора этого двигателя жестко связан статор двигателя второй ступени. Ротор двигателя первой ступени вращается в подшипниках, закрепленных на основании. Ротор и статор двигателя второй ступени связаны посредством торсиона (крутильной пружины). На валу ротора двигателя второй ступени жестко закреплен объект. Роторы обоих электродвигателей вращаются вокруг общей оси, совпадающей с осью вращения основания. Между статором и ротором двигателя первой ступени имеется трение, вызванное контактным взаимодействием ротора с подшипниками, в которых он вращается относительно статора.

Введем обозначения: φ₀ – угол поворота основания относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета, φ₁ – угол поворота ротора двигателя первой ступени относительно основания, φ₂ – угол поворота объекта относительно статора двигателя второй ступени, ${{I}_{1}}$ – момент инерции ротора двигателя первой ступени вместе со статором двигателя второй ступени, ${{I}_{2}}$ – момент инерции объекта вместе с ротором двигателя второй ступени, c – коэффициент крутильной жесткости торсиона, M₁ – управляющий момент, создаваемый двигателем первой ступени и приложенный к ротору этого двигателя, M₂ – управляющий момент, создаваемый двигателем второй ступени и приложенный к ротору этого двигателя, ${{M}_{f}}$ – момент сил трения, действующих между статором и ротором двигателя первой ступени. Все моменты инерции и крутящие моменты вычисляются относительно общей оси вращения соответствующих тел.

Движение описанной механической системы относительно основания при заданном законе ${{\varphi }_{0}}(t)$ вращения последнего подчиняется уравнениям

Моменты ${{M}_{\alpha }},\alpha = 1,2$, связаны с управляющими электрическими напряжениями ${{U}_{\alpha }}$ известными соотношениями для двигателей постоянного тока [10]:

где ${{L}_{\alpha }}$ – коэффициент самоиндукции обмотки якоря соответствующего электродвигателя, ${{R}_{\alpha }}$ – активное (омическое) сопротивление цепи якоря, ${{k}_{\alpha }}$ – постоянный коэффициент, значение которого зависит от конструкции статора и ротора двигателя. Первое уравнение (1.3) выражает баланс напряжений в цепи якоря, а второе – пропорциональность крутящего момента, приложенного к ротору, и проходящего через его цепь тока ${{i}_{\alpha }}$.

Предположим, что электромагнитная постоянная времени электродвигателя $L{\text{/}}R$ много меньше времени T, на котором рассматривается движение системы и времени выхода электропривода на стационарный режим вращения при постоянном напряжении. В этом случае можно пренебречь электродвижущей силой самоиндукции и вместо уравнений (1.3) пользоваться приближенными уравнениями

Момент сил трения ${{M}_{f}}({{\dot {\varphi }}_{1}})$ будем характеризовать следующей модельной зависимостью:

где $\kappa ({{\dot {\varphi }}_{1}})$ – четная положительная функция, а ${{M}_{e}}$ – сумма моментов сил, кроме сил трения, приложенных к ротору двигателя первой ступени. В число моментов сил, составляющих ${{M}_{e}}$, входят как моменты физических сил, так и моменты переносных сил инерции, возникающих из-за движения основания. Для модели, характеризуемой уравнениями (1.1) и (1.2),

Функция $\kappa ({{\dot {\varphi }}_{1}})$ характеризует модуль момента сил трения в зависимости от угловой скорости ${{\dot {\varphi }}_{1}}$ и может сильно изменяться при изменении ${{\dot {\varphi }}_{1}}$. Величина $\kappa (0)$ есть максимальное значение момента сил трения покоя. Выражение (1.5) обобщает закон сухого трения Кулона, для которого $\kappa ({{\dot {\varphi }}_{1}})$ – постоянная величина. Выбором подходящей функции $\kappa ({{\dot {\varphi }}_{1}})$ в выражении (1.5) можно удовлетворительно смоделировать влияние на систему момента сил трения в подшипниках качения.

Подобная модель трения использовалась в [11] при моделировании процесса прецизионного управления электромеханической системой.

2. Основная задача и принцип формирования управления. Обозначим через Φ угол поворота объекта относительно основания: $\Phi = {{\varphi }_{1}} + {{\varphi }_{2}}$. Цель управления системой – обеспечить устойчивое отслеживание объектом ориентации относительно основания, определяемой заданной функцией ${{\Phi }_{0}}(t)$. Построим, исходя из уравнений (1.1) и (1.2), управляющие моменты M₁ и ${{M}_{2}}$, при которых поведение переменных $\Psi = \Phi - {{\Phi }_{0}}$ и ${{\varphi }_{2}}$ подчиняется независимым уравнениям с постоянными коэффициентами:

Уравнение (2.1) описывает переходный процесс отслеживания объектом заданной ориентации ${{\Phi }_{0}}(t)$ относительно основания, а уравнение (2.2) – динамику изменения угла ${{\varphi }_{2}}$ закрутки торсиона. На этом этапе будем предполагать, что все параметры механической системы и закона трения известны точно, а фазовые переменные измеряются в каждый момент времени без погрешностей. Будем также предполагать точно известными вместе с производными нужного порядка функции ${{\varphi }_{0}}(t)$ и ${{\Phi }_{0}}(t)$, характеризующие движение основания относительно неподвижной системы отсчета и отслеживаемый угол поворота объекта относительно основания соответственно.

Разрешив уравнения (2.1) и (2.2) относительно угловых ускорений ${{\ddot {\varphi }}_{1}}$ и ${{\ddot {\varphi }}_{2}}$, получим

Подставив эти выражения в уравнения (1.1), (1.2), найдем управляющие моменты

Выражения (2.5) и (2.6) определяют управляющие моменты, формируемые по принципу обратной связи как функции текущих значений фазовых переменных ${{\varphi }_{1}}$, ${{\varphi }_{2}}$, ${{\dot {\varphi }}_{1}}$, ${{\dot {\varphi }}_{2}}$ и времени t.

Для того, чтобы получить соответствующие законы формирования управляющих напряжений ${{U}_{1}}$ и ${{U}_{2}}$ для двигателей первой и второй ступеней, нужно в левой части первого уравнения (1.4) для соответствующего $\alpha $ сделать подстановку ${{i}_{\alpha }} = {{M}_{\alpha }}{\text{/}}{{k}_{\alpha }}$, где ${{M}_{\alpha }}$ определяется соотношениями (2.5) и (2.6). В итоге придем к выражениям, формирующим управляющие напряжения по принципу обратной связи по переменным ${{\varphi }_{\alpha }}$, ${{\dot {\varphi }}_{\alpha }}$ и t:

Законы управления, выражаемые равенствами (2.5)–(2.7), обеспечивают динамику переходных процессов по переменным $\Psi $ и φ₂, подчиняющуюся уравнениям (2.1) и (2.2). Переходные процессы можно регулировать подбором коэффициентов a_i, b_i, $i = 1,2$, входящих в законы управления, причем качество переходных процессов по переменным Ψ и φ₂ можно регулировать независимо. Качество переходных процессов определяется корнями характеристического полинома уравнений (2.1) или (2.2), которые задаются выражениями

Если, например, выбрать параметры, удовлетворяющие неравенству $a_{i}^{2} - 4{{b}_{i}} \geqslant 0$, то оба корня будут действительными и соответствующий переходный процесс будет апериодическим (неколебательным), а выбор параметра ${{b}_{i}}$, согласованного с параметром a_i равенством ${{b}_{i}} = a_{i}^{2}{\text{/}}4$, отвечает наискорейшему затуханию переходного процесса при заданном a_i. Время затухания переходного процесса при произвольных положительных a_i и ${{b}_{i}}$ характеризуется величиной τ_i = = $ - 1{\text{/min}}[{\text{Re}}\lambda _{i}^{ - },{\text{Re}}\lambda _{i}^{ + }]$; ${{\tau }_{i}} > 0$, если ${{a}_{i}} > 0$ и ${{b}_{i}} > 0$. Величина ${{\eta }_{i}} = - min[{\text{Re}}\lambda _{i}^{ - },{\text{Re}}\lambda _{i}^{ + }]$ называется степенью устойчивости линейной системы второго порядка (2.1) или (2.2). Понятие степени устойчивости для линейной системы дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами введено в [12]. Геометрически степень устойчивости асимптотически устойчивой линейной системы с постоянными коэффициентами определяется расстоянием точки, представляющей на комплексной плоскости корень характеристического полинома с минимальным модулем вещественной части, от мнимой оси.

При настройке параметров устройства управления вращением объекта с целью поддержания требуемой его ориентации относительно вращающегося основания нужно учитывать много критериев, зачастую противоречащих друг другу: время переходного процесса по соответствующей переменной, максимальное отклонение регулируемой переменной от номинального программного значения, максимальный момент, создаваемый электродвигателем, максимально допустимое напряжение, которое можно подать на соответствующий электродвигатель, максимально допустимый ток в цепи якоря электродвигателя и другие характеристики. Кроме того, при проектировании и эксплуатации системы управления нужно учитывать неполноту информации о динамических параметрах механической системы, закона трения, а также законов движения основания ${{\varphi }_{0}}(t)$ и изменения номинальной ориентации ${{\Phi }_{0}}(t)$, которую необходимо отслеживать. Величины ${{\varphi }_{0}}(t)$ и ${{\Phi }_{0}}(t)$ или их производные могут быть не заданными заранее, а оцениваться в ходе процесса управления по данным текущих изменений. Сказанное обусловливает целесообразность выбирать коэффициенты ${{a}_{i}}$ и ${{b}_{i}}$ исходя из результатов теоретического анализа поведения системы на основе упрощенной идеализированной модели, математического моделирования с учетом неидеальностей и экспериментальной отработки системы.

3. Модификация основного алгоритма управления с учетом неполноты информации о параметрах системы и действующих возмущениях. Двухступенчатый электропривод, описанный в разд. 1, был предложен для управления поворотной платформой, расположенной на орбитальном космическом аппарате и служащей для поддержания ориентации оси закрепленного на ней объекта в направлении микроускорения контрольной точки, лежащей на оси объекта.

Мгновенное значение микроускорения с достаточной степенью точности можно измерить с помощью трехосного акселерометра, расположенного вблизи контрольной точки объекта. На основе этого измерения можно определить мгновенную ориентацию вектора микроускорения. В упрощенной модели, описанной в разд. 1 и 2, этой ориентации отвечает угол ${{\Phi }_{0}}(t)$. С помощью датчиков угловых скоростей можно измерить мгновенное значение угловой скорости вращения космического аппарата. Этой величине в модели отвечает угловая скорость ${{\dot {\varphi }}_{0}}(t)$.

В дальнейшем предполагается, что величины ${{\varphi }_{1}}$, ${{\varphi }_{2}}$, ${{\dot {\varphi }}_{1}}$ и ${{\dot {\varphi }}_{2}}$ доступны точному измерению в каждый момент времени, причем эти измерения производятся без запаздывания. Входящие в закон управления (2.5), (2.6) величины ${{\Phi }_{0}},$ ${{\dot {\Phi }}_{0}}$, ${{\ddot {\Phi }}_{0}}$ и ${{\ddot {\varphi }}_{0}}$ непосредственному измерению недоступны, и вместо них в соответствующие формулы должны быть подставлены оценки ${{\hat {\Phi }}_{0}}(t),$ ${{\hat {\dot {\Phi }}}_{0}}(t)$, ${{\hat {\ddot {\Phi }}}_{0}}(t)$ и ${{\hat {\ddot {\varphi }}}_{0}}(t)$, формирующиеся для каждого момента времени $t$ на основе доступной к этому моменту измерительной информации о ${{\Phi }_{0}},$ ${{\ddot {\Phi }}_{0}}$ и ${{\ddot {\varphi }}_{0}}$.

Кроме того, затруднено точное измерение крутильной жесткости торсиона $c$, которая может изменяться в процессе эксплуатации системы, и недоступно точное знание о характеристиках трения, в частности о функции $\kappa ({{\dot {\varphi }}_{1}})$ в модели (1.5). Поэтому вместо $c$ и ${{M}_{f}}({{\dot {\varphi }}_{1}})$ будут использоваться оценки $\hat {c}$ и ${{\hat {M}}_{f}}({{\dot {\varphi }}_{1}})$ этих величин.

Таким образом, выражения (2.5) и (2.6) для управляющих моментов ${{M}_{1}}$ и ${{M}_{2}}$, примут вид

В результате переходные процессы по переменным $\Psi $ и ${{\varphi }_{2}}$ будут описываться уравнениями

Эти уравнения в сочетании с алгоритмами оценивания величин, недоступных непосредственному измерению, будут использоваться для моделирования и оценки качества процесса управления вращением объекта с помощью двухступенчатого электропривода.

4. Алгоритмы построения оценок неизвестных величин. Кратко опишем используемые рекуррентные алгоритмы эквидистантной (с равноотстоящими замерами) полиномиальной фильтрации [13, 14] динамических параметров. Для определенности и простоты описания рассматривается последовательность измерений $z(t) = {{z}_{i}}$ скалярной динамической величины $x(t)$ в эквидистантные моменты времени $t = {{t}_{i}} = {{t}_{0}} + ih,$ $i = 0,1,2, \ldots $, где h – постоянный промежуток времени между двумя последовательными измерениями, который предполагается достаточно малым. Считается, что величина x измеряется с погрешностью $\xi ,$ т.е. показание измерительного прибора z_i при i-м измерении величины x задается выражением ${{z}_{i}} = {{x}_{i}} + {{\xi }_{i}},$ где $\xi $ – центрированная случайная погрешность измерений со стационарным (нормальным) распределением. Полагается, что значения ${{x}_{i}}$ функции $x(t)$ в моменты ${{t}_{i}}$ могут быть аппроксимированы некоторым простым семейством функций (полиномов типа отрезков ряда Тейлора) на достаточно большом множестве ${\text{\{ }}j{\text{\} }} \subset \mathbb{N}{\text{:}}$

где $\alpha $ – упорядоченный набор коэффициентов аппроксимации.

Величина N может быть ограниченной некоторым значением $N = N{\text{*}}$ или неограниченно возрастающей, например $N = N(i) = i;$ количество замеров $N + 1$ должно быть достаточно большим для возможности приближенного определения искомых параметров ${{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}, \ldots ,{{\alpha }_{n}},$ имеющих смысл текущих значений величины x и ее производных до порядка $n$ включительно в момент измерения t_i:

Ограничимся параболической оценкой [13] фазового вектора $\alpha = ({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}),$ достаточной для построения режимов управления, на основе модифицированного стандартного метода наименьших квадратов Гаусса.

Проводится минимизация среднеквадратического критерия по вектору параметров $({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}){\text{:}}$

При фиксированном значении величины N ≥ 2 искомые оптимальные параметры имеют вид оценок

Весовые функции F_n, $n = 0,1,2$, фильтра (4.1) определяются выражениями [13, 14]

Алгоритм требует хранения в памяти более $N \geqslant 2$ замеров, и их число возрастает со временем с ростом $N.$ Поэтому естественно стремление к построению рекуррентного алгоритма, позволяющего экономить оперативную память аналогично фильтрации Калмана. В случае, когда величина $N = N(i) = i$ неограниченно возрастает, рекуррентная процедура оценки фазового вектора при измерении ${{z}_{{i + 1}}}$ на $(i + 1)$-м шаге имеет вид формул уточнения предыдущей оценки, получаемых из сравнения формул (4.1) для $N = i$ и $N = i + 1$ с выражением соответствующей невязки:

Последние слагаемые в этих выражениях имеют смысл коррекции прогноза, определяемого предшествующими слагаемыми. Для получения оценок ${{\hat {\alpha }}_{k}}(i + 1),$ $k = 0,1,2$, на $(i + 1)$-м шаге требуется знать оценки, определенные на предыдущем i-м шаге, и результаты измерения ${{z}_{{i + 1}}}$ на $(i + 1)$-м шаге. Для вычисления последующих оценок хранить в памяти компьютера величины ${{\hat {\alpha }}_{k}}(i),$ $k = 0,1,2$, и ${{z}_{{i + 1}}}$ не нужно.

Параболическая аппроксимация переменной $x({{t}_{i}})$ на большом (неограниченном) интервале может оказаться недостаточной, тогда потребуются более сложные выражения и увеличение числа коэффициентов аппроксимации $\alpha (i)$. Это может привести к резкому росту стохастических погрешностей. Для увеличения точности фильтрации понадобится согласование порядка степени полинома и числа измеряемых значений при фиксированных других конструктивных параметрах алгоритма.

Рекуррентные алгоритмы полиномиальной фильтрации на основе фиксированного (заданного) числа измерений $0 \leqslant j \leqslant N(i)$ посредством отрезков парабол по временным интервалам существенно сложнее и задаются более громоздкими выражениями:

Начальные величины (при $i \leqslant N(i)$) ${{\hat {\alpha }}_{0}}(i),\;{{\hat {\alpha }}_{1}}(i),\;{{\hat {\alpha }}_{2}}(i)$ берутся из предыдущего алгоритма. Таким образом, для получения оценок ${{\hat {\alpha }}_{k}}(i + 1),$ $k = 0,1,2$, на $(i + 1)$-м шаге требуется знать оценки, полученные на предыдущем i-м шаге, результаты измерения ${{z}_{{i + 1}}}$ на $(i + 1)$-м шаге и результаты измерения ${{z}_{{i - N}}}$ на $(i - N)$-м шаге. Последнее свойство существенно изменяет характер рекуррентности, поскольку нужно хранить в памяти $N + 1$ последних замеров, а для оценки на текущем шаге i + 1 используется замер ${{z}_{{i - N}}}$. Аналогично рекуррентным выражениям (4.2) формулы (4.3) выводятся из формул (4.1) для оценок в моменты i + 1 и $i - N$ с коррекцией получаемых выражений на величину невязки.

5. Моделирование процесса управления с учетом неидеальностей. Будем считать доступными точному измерению текущие значения фазовых переменных ${{\varphi }_{i}}$, ${{\dot {\varphi }}_{i}}$, $i = 1,2.$ Будем также считать точно известными значения моментов инерции ${{I}_{1}}$ и ${{I}_{2}}$ соответствующих тел системы. Крутильная жесткость торсиона полагается заданной с помощью оценки $\hat {c},$ действительная жесткость имеет вид $c = c(t) = \hat {c}(1 + \xi ),$ где $\xi $ – равномерно распределенная на отрезке $[ - 0.05,0.05]$ случайная величина. Таким образом, в каждый момент времени крутильная жесткость известна с погрешностью, не превышающей 5%.

Истинные значения отслеживаемого угла ${{\Phi }_{0}}$ и угла поворота основания φ₀ при моделировании задаются гармоническими функциями

Далее полагается ${{a}_{{\varphi ,\Phi }}} = 0.01$, ${{\omega }_{\varphi }} = 0.01$ Гц, ${{\omega }_{\Phi }} = 0.02$ Гц. Функции ${{\hat {\dot {\Phi }}}_{0}},$ ${{\hat {\ddot {\Phi }}}_{0}},$ ${{\hat {\ddot {\varphi }}}_{0}}$ строятся с помощью вышеописанных алгоритмов оценивания на основе замеров ${{\Phi }_{0}}({{t}_{i}}) + 2{{\eta }_{e}},$ ${{\ddot {\Phi }}_{0}}({{t}_{i}}) + 2\omega _{\Phi }^{2}{{\eta }_{e}}$ и ${{\ddot {\varphi }}_{0}}({{t}_{i}}) + \omega _{\varphi }^{2}{{\eta }_{e}}$ соответственно, где ${{\eta }_{e}} = {{10}^{{ - 4}}}\eta ,$ $\eta $ – случайная величина со стандартным нормальным распределением.

В приводимых ниже расчетах значения величин ${{I}_{1}},\;{{I}_{2}},\;\hat {c}$ соответствуют экспериментальной установке: ${{I}_{1}} = 3.2 \times {{10}^{{ - 4}}}$ кг ⋅ м², ${{I}_{2}} = 3.5$ кг ⋅ м², $\hat {c} = 3.6649 \times {{10}^{{ - 4}}}$ Н · м/рад. Функция, характеризующая момент сил трения $\kappa ({{\dot {\varphi }}_{1}}),$ задается зависимостью

где ${{M}_{ + }},\;{{M}_{ - }}$ – максимальное и минимальное значения момента сил трения, $\nu $ – сглаживающий коэффициент (далее полагается ${{M}_{ + }} = 6 \times {{10}^{{ - 3}}}$ Н · м, ${{M}_{ - }} = 1.2 \times {{10}^{{ - 3}}}$ Н · м, $\nu = {{10}^{{ - 3}}}$). Поскольку момент сил трения M_f зависит от управляющего момента ${{M}_{1}},$ который в свою очередь зависит от оценки момента сил трения ${{\hat {M}}_{f}},$ то для построения последней применяется следующая процедура. Оценка ${{\hat {M}}_{f}}$ строится по формулам (1.5), (1.6) в предположении, что ${{\hat {M}}_{f}} = 0$ в выражении для управляющего момента M₁ (3.1), после чего полученное приближенное значение момента сил трения ${{\hat {M}}_{f}}$ используется для определения управляющего момента ${{M}_{1}}.$ Моделируемая точная величина момента сил трения M_f  рассчитывается с использованием этого значения ${{M}_{1}}$ и аналогично жесткости торсиона умножается на величину $(1 + \xi ).$

На рис. 3–11 приведены результаты моделирования поведения исследуемой системы при различных значениях коэффициентов обратной связи. Интегрирование системы (3.3), (3.4) проводится по методу Эйлера первого порядка (выбор схемы низкого порядка обусловлен наличием разрывных членов в правой части). Шаг интегрирования (равный шагу замеров) в силу используемой схемы интегрирования выбирается достаточно малым: $h = T{\text{/}}{{10}^{5}},$ где (0, T) – интервал численного интегрирования системы (3.3). Для повышения качества работы фильтров (4.1)–(4.3) проводится их предварительная настройка: часть замеров, а именно на интервале $( - T{\text{/}}10,0),$ проводится до начала движения системы и включения алгоритма управления. Размер памяти фильтра (4.3) полагается равным 5 × 10⁴ замеров. Поскольку при численном моделировании достоверно отразить режим движения с залипаниями, свойственный системам с сухим трением (т.е. отследить обращение в ноль величины ${{\dot {\varphi }}_{1}}(t)$), представляется затруднительным, то вместо закона (1.5) используется следующее его приближение:

В расчетах полагалось $\varepsilon = {{h}^{3}},$ где $h$ – шаг интегрирования.

На рис. 3, 4 приведены результаты расчетов для колебательного переходного процесса (${{a}_{i}} = {{b}_{i}} = 0.1,$ $i = 1,2$), а на рис. 5, 6 – в режиме без колебаний (${{a}_{i}} = 0.1,$ ${{b}_{i}} = a_{i}^{2}{\text{/}}4,$ $i = 1,2$). На рис. 3 и 5 изображены кривые на фазовой плоскости $x,\;\dot {x},$ где x соответствует φ₁ (сплошные кривые), φ₂ (точечные кривые) и $\Psi $ (штриховые), при условии работы фильтра с ограниченной памятью (4.3). Как видно из этих рисунков, переменные φ₂, $\Psi $ и их производные приходят в окрестность нуля в соответствии с целью управления. На рис. 4, 6 приведены соответствующие управляющие моменты ${{M}_{1}}$ и ${{M}_{2}}$, причем на рис. 6 момент M₂ масштабирован – изображено ${{10}^{2}} \cdot {{M}_{2}}.$ Рисунки 7–11 демонстрируют результаты применения алгоритмов фильтрации к зашумленным сигналам. На рис. 7 и 8 показаны зашумленный сигнал и кривая, построенная с помощью фильтра с ограниченной памятью, на рис. 9 – ошибка (разность между построенным на основании замеров с погрешностями и истинным значением) работы фильтра с фиксированной памятью (сплошная кривая) и фильтра, задаваемого рекуррентно (штриховая линия), на рис. 10 – разность между сигналами, восстановленными с помощью фильтра с нарастающей памятью и его рекуррентной модификацией. На рис. 11 представлены кривые, демонстрирующие ошибку оценки производной ${{\hat {\dot {\Phi }}}_{0}}$, построенной на основании замеров $\Phi ({{t}_{i}})$ и используемой в алгоритме управления для рекуррентной модификации фильтра с неограниченной памятью (штриховая кривая) и фильтра с ограниченной памятью (сплошная линия).

Из проведенных расчетов следует, что при колебательном переходном процессе влияние различных типов алгоритмов фильтрации не сильно сказывается, хотя алгоритм фильтрации с фиксированной памятью показывает меньшие ошибки приближения как сигнала, так и его производной. Отметим также небольшое количество моментов переключения (разрывов) управляющего воздействия ${{M}_{1}}.$ При режиме без колебаний влияние выбора алгоритма фильтрации сказывается значительней, особенно при малых значениях величины ${{\dot {\varphi }}_{1}}$. В этом случае погрешности и незначительные ошибки фильтрации приводят к неточной оценке величины момента сил трения и, как следствие, к построению управляющего момента, не полностью компенсирующего возмущения. Этим же вызвано и большее число переключений момента M₁ в алгоритме управления. В силу этого колебательный режим может оказаться предпочтительным.

Отметим, что на поведении управляющих моментов в режиме приведения величин $\Psi ,$ ${{\varphi }_{2}}$ к нулю существенным образом сказывается амплитуда функции ${{\Phi }_{0}}(t).$ Действительно, при малых $\Psi ,$ ${{\varphi }_{2}}$ имеем ${{\varphi }_{1}} \approx {{\Phi }_{0}},$ ${{\dot {\varphi }}_{1}} \approx {{\dot {\Phi }}_{0}},$ и, значит, малые значения ${{\dot {\Phi }}_{0}}$ приведут к движениям с залипаниями соответственно используемому закону трения, а следовательно, к переключениям управляющего момента ${{M}_{1}}$. Случайные возмущения при измерении ${{\Phi }_{0}}$ при этом ухудшают ситуацию, поскольку малые погрешности в оценке ${{\hat {\dot {\Phi }}}_{0}}$ приведут к дополнительным переключениям. Таким образом, на выбор предпочтительной стратегии управления (в колебательном режиме или в режиме без колебаний) при стремлении уменьшить воздействия на электродвигатель и полезную нагрузку, вызываемые резкими изменениями управляющего момента, значительным образом сказывается характер возмущения, моделируемого функцией ${{\Phi }_{0}}(t)$.

Заключение. Анализ и компьютерное моделирование динамического поведения объекта, связанного с вращающимся основанием двухступенчатым электроприводом с торсионом, свидетельствуют о возможности использования такого привода в системах прецизионной ориентации объектов. Предложенные алгоритм управления на основе пропорционально-дифференциальных регуляторов и методика оценивания переменных и параметров, недоступных непосредственному точному измерению, позволяют осуществлять отслеживание объектом желаемой переменной ориентации с высокой степенью точности. Целесообразно провести экспериментальную отработку предложенной методики управления на физическом образце поворотной платформы, предназначенной для прецизионной ориентации закрепленных в ней объектов на борту орбитальных космических аппаратов.