Известия РАН. Теория и системы управления, 2020, № 1, стр. 88-95

Введение. В задачах принятия решений рассматриваемые варианты, направленные на достижение поставленной цели, обычно характеризуются многими разнообразными признаками. В свою очередь сложность цели и трудоемкость измерения степени ее достижения различными вариантами решения приводят к ее декомпозиции на единичные количественно измеряемые критерии и рассмотрению многокритериальных задач. Решение многокритериальных задач с помощью компьютерных систем становится традиционным подходом в принятии решений. Разработке методов принятия решений, реализованных в соответствующих компьютерных системах, посвящен значительный объем работ. Так в [1] описывается процесс принятия решений в слабоструктурированных динамических ситуациях, основанный на интеграции иерархической модели оценивания и нечеткой когнитивной ситуационной модели. Работа [2] рассматривает методологию построения гибридной функции предпочтения, позволяющей учитывать зависимость между критериями с требуемой точностью, которая включает в себя ступенчатую процедуру ввода и корректировки предпочтений. Решение задачи многокритериального принятия решений для альтернатив, описываемых частными критериями, которые зависят от ряда неопределенных факторов, с использованием метода “уверенных суждений” приводится в [3]. Публикация [4] посвящена разработке алгоритма ранжирования альтернатив на основе нечетких предпочтений, заданных в нечетких областях, с учетом нечетких суждений экспертов. В свою очередь найденные компьютерными системами решения напрямую зависят от полноты и непротиворечивости исходных данных, метода их обработки, а также размерности пространства решений. Ввиду различия в алгоритмах, заложенных в методы обработки данных компьютерными системами, решение одной и той же задачи различными методами может быть неодинаковым или зачастую давать противоречивые результаты. Данное обстоятельство вносит противоречие в методологию теории устойчивости, так как не позволяет получить искомый результат, инвариантный к методу обработки данных. Для выбора единственного результата из совокупности таких решений предлагается использовать принцип построения надежных машин из ненадежных элементов [5]. Дж. фон Нейман рассмотрел триплирование ЭВМ при обработке данных, и если все три получаемых ими результата совпадают, то решение реализуется на объекте управления. В случае несовпадения результатов решение принимается по двум совпадающим результатам, а третья ЭВМ с отличными от двух других результатами повторяет расчет. Согласно данному принципу, для принятия решения введем избыточность решений с помощью нескольких различных методов. Выбор единственного решения в таком случае будет осуществляться по большинству совпадающих решений.

Целью работы является выбор единственного результата из совокупности альтернатив, полученных с помощью отличающихся методов принятия решений.

1. Модель выбора единственного результата с помощью теории мультимножеств. Задачу выбора единственного результата из совокупности альтернатив, полученных различными методами принятия решений, предлагается решать с использованием теории мультимножеств [6]. В связи с этим рассмотрим исходные данные, а также методы их обработки с точки зрения данной теории.

Пусть имеется доменное множество D₁ альтернатив всевозможных решений для рассматриваемой задачи:

где I – количество альтернатив. Также существует доменное множество D₂ критериев для оценки рассматриваемых альтернатив: где J – количество критериев.

Тогда текущие полные сведения о рассматриваемой задаче представляют собой декартово произведение P доменных множеств D₁ и D₂:

Пусть решение по рассматриваемой задаче принимается на основе K методов. Для каждого метода формируется множество требуемых сведений X_k из элементов декартова произведения (1.3):

где k – порядковый номер для метода принятия решения (k = 1, …, K); l – порядковый номер сведений (i, j) из (1.3) для элементов (1 < l < I · J); ${{x}_{{kl}}}$ – сведения $({{a}_{i}},{{c}_{j}})$ с l-м порядковым номером, используемые в k-м методе.

В результате применения f_k метода над множеством X_k получается мультимножество Y_k принятых решений:

которое имеет следующий вид: где ${{Z}_{ + }} = \left\{ {0{\text{,}}\;1{\text{,}}\;2{\kern 1pt} {\text{,}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ...} \right\}$ – множество неотрицательных целых чисел; M – количество принятых решений; ${{t}_{{{{Y}_{k}}}}}\left( {{{y}_{m}}} \right)$ – функция кратности, задающая количество повторений элементов y_km в Y_k принятом решении:

В функции (1.7) коэффициент t_km выберем равным 1, поскольку данное значение имеет смысл единичного количества выбранных экземпляров y_km из доменного множества альтернатив (1.1), принятых для решения задачи, согласно f_k методу.

Далее найдем арифметическую сумму полученных K мультимножеств (1.6) через сумму значений функций кратности (1.7) соответствующих элементов, которые присутствуют хотя бы в одном из мультимножеств:

Сформируем итоговое множество Y* принимаемых решений путем вычисления высоты для S (1.8), определяемой как максимальное значение ${{t}_{{\Sigma {{Y}_{k}}}}}$, и выбора на основе нее только тех пиковых элементов $y_{n}^{*}$, функция кратности для которых совпадает с ${{t}_{{\Sigma {{Y}_{k}}}}}$:

где N – количество элементов итогового множества Y*.

Вычислим размерность полученного множества (1.9) путем подсчета общего количества различных элементов $y_{n}^{*}$:

где ${{\chi }_{{Y*}}}(y_{n}^{*})$ – характеристическая функция, которая принимает следующие значения:

Пример. Пусть полные сведения P о рассматриваемой задаче представляют собой множество из 12 элементов, содержащих значения альтернатив a₁–a₃ из доменного множества D₁ по критериям c₁–c₄ из доменного множества D₂:

Множества X₁, X₂ и X₃ требуемых сведений для методов  f₁,  f₂ и  f₃ имеют одинаковые наборы элементов из P:

Случай 1. Все функции кратности имеют нулевые значения для всех элементов мультимножеств принятых решений Y₁, Y₂, Y₃, согласно методам  f₁,  f₂,  f₃:

Арифметическая сумма S из мультимножеств Y₁, Y₂ и Y₃ примет вид

В связи с тем, что результирующие суммы значений функций кратности для всех элементов в S одинаковы и равны нулю, итоговое множество Y* принимаемых решений запишем как

Размерность полученного множества принимает вид

Случай 2. Функции кратности имеют нулевые значения только для некоторых элементов из мультимножеств принятых решений. Тогда возможны два варианта.

1. Один или более элементов, являющихся общими для большинства мультимножеств принятых решений, имеют отличную от нуля функцию кратности.

Например, мультимножества принятых решений Y₁, Y₂, Y₃, согласно методам f₁, f₂, f₃, имеют вид

Арифметическая сумма S из мультимножеств Y₁, Y₂ и Y₃ равна

В связи с тем, что результирующие суммы значений функций кратности для всех элементов в S различные с максимальным значением, равным 3, для элемента ${{y}_{2}}$, итоговое множество Y* принимаемых решений

Размерность полученного множества

2. Один или более элементов, не являющихся общими для большинства мультимножеств принятых решений, имеют отличную от нуля функцию кратности.

Например, мультимножества принятых решений Y₁, Y₂, Y₃, согласно методам f₁, f₂, f₃, имеют вид

Арифметическая сумма S из мультимножеств Y₁, Y₂ и Y₃ равна

В связи с тем, что результирующие суммы значений функций кратности для всех элементов в S одинаковые и не равны нулю, итоговое множество Y* принимаемых решений выглядит как

Размерность полученного множества запишем как

Выбор единственного результата из совокупности альтернатив, полученных с использованием различных методов принятия решений, возможен только при значении размерности $\left| {Y{\text{*}}} \right|$ = 1 (случай 2.1). Значение размерности $\left| {Y{\text{*}}} \right|$ = 0 (случай 1) свидетельствует об отсутствии альтернативных вариантов, которое может быть вызвано недостаточной информированностью лица, принимающего решение, либо дефицитом времени на проверку эмпирической базы возможных решений. Значение размерности $\left| {Y{\text{*}}} \right|$ > 1 (случай 2.2) свидетельствует об отсутствии среди альтернатив, доминирующих по состояниям (при разных состояниях решаемой задачи наилучший результат показывают разные альтернативы). В обоих случаях выбор единственной альтернативы невозможен и необходимо скорректировать доменные множества D₂ или D₁ для $\left| {Y{\text{*}}} \right|$ = 0 или $\left| {Y{\text{*}}} \right|$ > 1 соответственно.

На рис. 1 демонстрируется схема работы алгоритма принятия решений на основе мультимножеств.

Корректировка доменного множества D₁ возможна путем введения дополнительных зависимых альтернатив, решения по которым оказывают влияние на количественные оценки исходных альтернатив [7]. Для корректировки доменного множества D₂ можно использовать введение дополнительных “мягких” (для оценки применяются лингвистические функции) критериев, призванных дополнить информационную способность “строгих” (измеряемых количественно) критериев для более полного охвата предметной области [8].

2. Решение задачи получения единственного результата на примере выбора металла гальванического покрытия. Рассмотрим состав доменных множеств D₁ и D₂, алгоритмы K методов принятия решений, а также квалификационные требования группы экспертов для решения задачи принятия решений по выбору металла гальванического покрытия.

Доменное множество D₁ альтернатив, согласно [9], для решения поставленной задачи имеет следующий вид: a₁ – алюминий; a₂ – золото; a₃ – кадмий; a₄ – кобальт; a₅ – медь; a₆ – никель; a₇ – олово; a₈ – палладий; a₉ – платина; a₁₀ – родий; a₁₁ – свинец; a₁₂ – серебро; a₁₃ – титан; a₁₄ – хром; a₁₅ – цинк.

Доменное множество D₂ критериев содержит следующие сведения для рассматриваемой задачи: c₁ – металл детали; c₂ – назначение покрытия; c₃ – толщина покрытия; c₄ – климатическое исполнение изделия; c₅ – категория размещения деталей; c₆ – стоимость; c₇ – микротвердость; c₈ – адгезия; c₉ – шероховатость; c₁₀ – пористость; c₁₁ – отражательная способность; c₁₂ – геометрическая форма детали; c₁₃ – объем партии; c₁₄ – экологичность процесса; c₁₅ – длительность процесса.

Для решения рассматриваемой задачи используется K = 3 метода. В качестве  f₁ выступает методика выбора металла покрытия согласно ГОСТ 9.303-84 [10]. Стандарт содержит 187 типов гальванических покрытий, выбор которых осуществляется по разработанным таблицам согласно критериям c₁–c₅ из доменного множества D₂. В качестве  f₂ выступает модифицированный метод анализа иерархий, описанный в [11]. В данной работе строится трехуровневая иерархическая структура задачи принятия решения. Экспертные оценки для альтернатив выставляются по отношениям значений соответствующих критериев, что позволяет избавиться от классической 9-балльной шкалы метода анализа иерархий. Для сопоставления наилучшей альтернативе максимального весового коэффициента вводится функция, которая возвращает 1 или –1 в зависимости от экстремального значения рассматриваемого критерия. При этом расчеты индекса согласованности и отношения согласованности становятся ненужными. Метод  f₃ реализует принятие решений на основе продукционной модели, описанной в [12]. Знания в продукционной модели записаны с использованием теории нечетких множеств, в качестве ранжирования альтернатив используется метод TOPSIS, а принятие решения осуществляется по методу минимакса.

Полные сведения P для данной задачи представляют собой множество из 225 элементов, содержащих значения альтернатив a₁–a₁₅ по критериям c₁–c₁₅. Согласно методу  f₁, количество элементов множества требуемых сведений X₁ не превосходит 75, содержащих значения альтернатив a₁–a₁₅ по критериям c₁–c₅, тогда как для множеств X₂ и X₃ их количество может представлять различные выборки элементов из P.

Сравнение результатов принятия решения с использованием теории мультимножеств (1.1)–(1.11) и группы экспертов осуществим, согласно подходу, показанному на рис. 2.

В качестве лица, принимающего решение, выступает начальник гальванического цеха. Пусть в качестве сравнительного элемента параллельно с предлагаемым методом принятие решения осуществляется группой экспертов следующего состава: инженер-технолог, инженер-проектировщик и инженер технического контроля. Инженер-технолог является экспертом в технологии производства, механизмах работы гальванических линий и ванн, а также в расчетах количества выделений загрязняющих веществ и их концентрации в сточных водах. Инженер-проектировщик – эксперт в выборе вида и количества гальванического оборудования, а также расчета материального баланса (расход химикатов, анодов, вспомогательных материалов) и тепло-энергоносителей (расход воды, мощности греющего оборудования и источников питания). Инженер технического контроля выступает экспертом в проведении испытаний готовой продукции на требуемые свойства, а также по анализу причин и выработке рекомендаций по устранению дефектов продукции в процессе производства. Принятие решения экспертами осуществляется с использованием анкетирования по методу Дельфи [13] с целью обобщения индивидуального мнения отдельных экспертов в согласованное групповое мнение по решаемой задаче.

Группа экспертов принимает решение Y_exp на основе той же информации, которая доступна всем K методам в совокупности ${{X}_{1}} + ... + {{X}_{K}}$.

3. Результаты решения задачи выбора металла гальванического покрытия. Для сравнения результата принятия решения на основе предлагаемого подхода и группы экспертов было проведено 40 экспериментов. В таблице демонстрируются наиболее интересные для анализа результаты.

Значение размерности $\left| {Y{\text{*}}} \right|$ > 1 получалось в случаях, когда: а) множества требуемых сведений X_k для всех  f_k имели частично общие элементы (например, эксперимент № 2 в таблице); б) множества требуемых сведений X_k для всех f_k не содержали общих элементов (например, эксперимент № 4 в таблице). Если наиболее важные сведения из X_k присутствуют во всех K методах принятия решения f_k, то в 90% случаев результат принятия решения на основе множества Y* оказывается единственным и совпадает с мнением Y_exp группы экспертов. Ввиду рассмотрения максимально возможного набора элементов из доменного множества D₁ в процессе принятия решений значение размерности $\left| {Y{\text{*}}} \right|$ = 0 ни разу не получалось.

Заключение. Проведенные исследования показали, что выбора единственного результата из совокупности альтернатив, полученных с использованием различных методов принятия решений, возможно достичь с помощью предложенного авторами подхода. Данный подход основан на вычислении аргумента максимизации функций кратности элементов для арифметической суммы мультимножеств, составленной из найденных решений. Для применения этого подхода количество методов должно быть не менее трех. В свою очередь на получение единственного решения задачи влияет не столько количество методов, как однообразие исходной информации и пространства решений. Исключения нескольких доминирующих альтернатив, возникающих в результате принятия решений по тому или иному методу, можно достигнуть также введением весовых коэффициентов компетентности методов. Коэффициенты компетентности устанавливаются лицом, принимающим решение, в интервале (0; 1), причем значение функции кратности найденного решения по каждому методу умножается на величину соответствующего ему коэффициента. Следует отметить, что не стоит стремиться выбирать большое количество различных методов принятия решений ввиду сложности, длительности и дороговизны их реализации.