Известия РАН. Теория и системы управления, 2020, № 6, стр. 15-31

0. Введение. Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

где A₀ и B₀ – заданные вещественные $(n \times n)$-матрицы, x(t) – искомая n-мерная функция. Предполагается, что ${\text{det}}{{A}_{0}} = 0$. Cистемы такого рода называются дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Важнейшей характеристикой ДАУ является индекс неразрешенности, отражающий сложность внутренней структуры системы.

ДАУ вида (0.1) возникают при моделировании процессов во многих прикладных областях, в частности, в теории автоматического регулирования [1, c. 19], в теплотехнике [2], при проектировании электронных схем и электрических цепей [3, с. 259], в результате применения метода сферических гармоник к решению задачи переноса нейтронов [1, с. 21], при приближенном решении задачи фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости методом ортогональных разложений [4, с. 86].

В работе изучается вопрос об асимптотической устойчивости семейства ДАУ с интервальными коэффициентами. Прежде чем привести постановку задачи, необходимо охарактеризовать специфику исследования робастных свойств таких систем. Основная трудность, возникающая в такого рода исследованиях, связана с тем, что даже в простейших случаях при сколь угодно малом возмущении коэффициентов может измениться внутренняя структура системы и, следовательно, вид общего решения, в результате чего структура и свойства невозмущенной системы (0.1) могут потерять для анализа всякое значение. В качестве иллюстрации рассмотрим пример индекса неразрешенности единица.

Пример 1. Система ДАУ

имеет единственное решение

Возмущенная система

имеет однопараметрическое семейство решений, в частности, при ${{f}_{1}}(t) = 0,$ ${{f}_{2}}(t) = 1$где $c \in {\mathbf{R}}$ – произвольная константа. Очевидно, если $c \ne 0$, то

Уже из этого примера видно, что для обеспечения робастной устойчивости возмущения (даже достаточно малые) не могут быть произвольного вида. В данной работе для того, чтобы не возникала ситуация, представленная в примере 1, требуется, чтобы интервальные возмущения подчинялись некоторым конечным соотношениям, гарантирующим совпадение размерности пространства решений и структуры общего решения интервальных ДАУ и невозмущенной системы (0.1). Такие возмущения авторы назвали “сохраняющими внутреннюю структуру”.

Таким образом, в статье исследуется асимптотическая устойчивость интервального семейства

где ${{\Delta }_{A}} = \mathop {({{\alpha }_{{i,j}}})}\nolimits_{i,j = \overline {1,n} } $ и ${{\Delta }_{B}} = \mathop {({{\beta }_{{i,j}}})}\nolimits_{i,j = \overline {1,n} } $ – матрицы неопределенностей, элементы которых должны удовлетворять некоторым алгебраическим связям, обеспечивающим сохранение внутренней структуры системы. При этом где величины ${{g}_{{i,j}}}$ и ${{h}_{{i,j}}}$ подчиняются алгебраическим соотношениям, вытекающим из условий сохранения структуры. Матрицы $G = \mathop {({{g}_{{i,j}}})}\nolimits_{i,j = \overline {1,n} } $ и $H = \mathop {({{h}_{{i,j}}})}\nolimits_{i,j = \overline {1,n} } $ задают масштабы изменения элементов матриц A₀ и B₀, величина γ > 0 определяет размах неопределенностей. Точное определение рассматриваемого интервального семейства в рамках сделанных в работе основных предположений сформулировано в разд. 3 (определение 3).

В литературе имеются результаты по робастной устойчивости и оценке радиуса устойчивости стационарных ДАУ [5–7], полученные посредством преобразования системы к канонической форме Кронекера–Вейерштрасса. В статье [8] обоснованы достаточные условия робастной устойчивости ДАУ произвольно высокого индекса неразрешенности в условиях, когда матрицы неопределенностей удовлетворяют некоторым условиям малости матричных норм. В [9–11] изучалась проблема робастной устойчивости ДАУ в случае, когда возмущение присутствует только в матрице B₀.

Что касается нестационарных ДАУ, то известны результаты для систем индекса 1 с периодическими коэффициентами, использующие tractability index подход, базирующийся на построении проекторов на ядро [12, 13]. В [14] представлены необходимые и достаточные условия робастной устойчивости нестационарных ДАУ с интервальными коэффициентами для частного случая индекса один (так называемые impuls-free или удовлетворяющие критерию “ранг-степень”).

Для получения условий робастной устойчивости интервального семейства (0.2) в данной работе используется следующий подход. Сначала находятся достаточные условия того, что интервальные матрицы Δ_A и Δ_B не нарушают внутреннюю структуру ДАУ (0.1). Для этой цели привлекается структурная форма, которая эквивалентна исходной системе в смысле решений. Построение данной структурной формы, в отличие от канонической формы Кронекера–Вейерштрасса, носит конструктивный характер. Затем с применением известных результатов по робастной устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной, получаются условия робастной устойчивости для преобразованной системы. Наконец, обосновывается эквивалентность в смысле решений преобразованного и исходного интервальных семейств. Таким образом, в предположениях, обеспечивающих сохранение структуры, найдены оценки для величины γ, определяющей размах неопределенностей, при выполнении которых система (0.2) робастной устойчива. В частности, условия робастной устойчивости получены в предположениии сверхустойчивости номинальной системы. Допускается произвольно высокий индекс неразрешенности.

1. Cтруктурная форма для системы ДАУ. Для ДАУ (0.1) определим $(n(r + 1) \times n)$-матрицы

$(n(r + 1) \times nr)$-матрицу и $(n(r + 1) \times n(r + 2))$-матрицу

Предположим, что для некоторого $r(0 \leqslant r \leqslant n)$ в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ найдется неособенный минор $n(r + 1)$-го порядка, включающий в себя $\lambda = {\text{rank}}{{\Lambda }_{r}}$ столбцов матрицы ${{\Lambda }_{r}}$ и все столбцы матрицы ${{\mathcal{A}}_{r}}$. Такой минор будем называть разрешающим минором.

Введем обозначение

где Q – матрица перестановок столбцов¹¹, такая, что все столбцы матрицы входят в разрешающий минор матрицы ${{\mathcal{D}}_{r}}$, а столбцы матрицы ${\text{colon}}\left( {{{B}_{1}},O, \ldots ,O} \right)$ не входят в этот минор. Блоки ${{B}_{2}}$ и ${{A}_{2}}$ имеют размеры $n \times d,$ $d = nr - \lambda $. О построении матрицы Q см. в [8].

Обозначим

где E_d – единичная матрица порядка d, ${\text{diag}}\left\{ {{{P}_{1}}, \ldots ,{{P}_{s}}} \right\}$ – квазидиагональная матрица, на главной диагонали которой расположены блоки, перечисленные в скобках, остальные элементы нулевые.

Определение 1. Наименьшее значение r, при котором в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ найдется разрешающий минор, называется индексом неразрешенности ДАУ (0.1).

Замечание 1. В работе [8] показано, что в случае регулярного матричного пучка $c{{A}_{0}} + {{B}_{0}}$ в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ имеется разрешающий минор и выполняется условие

При этом индекс неразрешенности совпадает с индексом пучка.

Лемма 1 [16]. Наличия разрешающего минора в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ необходимо и достаточно для существования оператора

(R_j – $(n \times n)$-матрицы $(j = \overline {0,r} )$), действие которого преобразует систему (0.1) к виду где ${\text{colon}}\left( {{{x}_{1}}(t),{{x}_{2}}(t)} \right) = {{Q}^{{ - 1}}}x(t)$, Q – матрица перестановок из (1.3), ${{J}_{1}}$ и ${{J}_{2}}$ – некоторые матрицы соответствующих размеров.

Прямым следствием леммы 1 является следующий результат.

Утверждение 1. Оператор вида (1.7), преобразующий ДАУ (0.1) к виду (1.8), (1.9), существует тогда и только тогда, когда относительно ${{R}_{0}},{{R}_{1}}, \ldots ,{{R}_{r}}$ разрешима алгебраическая система

где матрица ${{\Gamma }_{r}}$ определена в (1.5).

Предположим, что в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ имеется разрешающий минор. Обозначим через M_r матрицу, определителем которой является этот минор. Покажем, что коэффициенты оператора (1.7) могут быть найдены по формуле

Пусть ${{Q}_{\Lambda }}$ – матрица перестановок столбцов, такая, что

Здесь и далее ${{\tilde {Q}}_{r}} = {\text{diag}}\{ Q, \ldots ,Q\} $ имеет на главной диагонали r блоков равных Q; $\Lambda _{r}^{{[1]}}$ – матрица размера $n(r + 1) \times \lambda $, состоящая из столбцов матрицы ${{\Lambda }_{r}}$, которые входят в разрешающий минор; $\Lambda _{r}^{{[2]}}$ – матрица размера $n(r + 1) \times (nr - \lambda )$, состоящая из столбцов, которые не входят в упомянутый минор.

Тогда

где J₁J₂, ${{\Psi }_{i}},$ $i = 1,...,4,$ – некоторые матрицы соответствующих размеров. При этом $M_{r}^{{ - 1}}{{\Gamma }_{r}}{\text{diag}}\{ {{E}_{{n + d}}},{{Q}_{\Lambda }}\} $ – матрица, расположенная в (1.13) правее одиночной вертикальной линии, матрица $M_{r}^{{ - 1}}{{\Lambda }_{r}}\mathop {\tilde {Q}}\nolimits_r {{Q}_{\Lambda }}$ расположена в (1.13) справа от двойной черты.

Поскольку ${\text{rank}}{{\Lambda }_{r}} = \lambda $, то и ${\text{rank}}M_{r}^{{ - 1}}{{\Lambda }_{r}}\mathop {\tilde {Q}}\nolimits_r {{Q}_{\Lambda }} = \lambda $. На этом основании можно заключить, что ${{\Psi }_{1}} = O,$ ${{\Psi }_{2}} = O,$ ${{\Psi }_{3}} = O.$ Таким образом, коэффициенты оператора $\mathcal{R}$, вычисленные по формуле (1.11), будут решением системы (1.10).

Лемма 2 [8]. Пусть в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ имеется разрешающий минор и справедливо равенство (1.6). Тогда оператор $\mathcal{R}$ обладает левым обратным оператором $\mathcal{L} = {{L}_{0}} + {{L}_{1}}\tfrac{d}{{dt}}.$

Утверждение 2. Пусть в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ имеется разрешающий минор. Для того чтобы в матрице ${{\mathcal{D}}_{{r + 1}}}$ нашлась обратимая подматрица ${{M}_{{r + 1}}}$ порядка $n(r + 2)$, включающая в себя n + λ столбцов матрицы ${{\Lambda }_{{r + 1}}}$ и все столбцы матрицы $({{\mathcal{B}}_{{2,r + 1}}}\;{{\mathcal{A}}_{{r + 1}}})$ (см. (1.1), (1.3), (1.4)), необходимо и достаточно выполнения условия (1.6).

Доказательство вынесено в Приложение.

2. Возмущения, сохраняющие внутреннюю структуру системы. Пусть ДАУ (0.1) таковы, что в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ имеется разрешающий минор. Тогда, согласно леммам 1 и 2, существует оператор $\mathcal{R}$, который преобразует систему (0.1) к структурной форме (1.8), (1.9). Этот оператор имеет левый обратный оператор $\mathcal{L}$. Непосредственно из существования операторов $\mathcal{R}$ и $\mathcal{L}$ вытекает эквивалентность в смысле решений систем (0.1) и (1.8), (1.9).

Для того чтобы иметь возможность проводить анализ устойчивости ДАУ (0.2) c использованием информации о структуре и свойствах системы (1.8), (1.9), введем следующее определение.

Определение 2. Будем говорить, что возмущения $\gamma {{\Delta }_{A}}$ и $\gamma {{\Delta }_{B}}$, подчиняющиеся ограничениям (0.3), сохраняют внутреннюю структуру ДАУ (0.1), если при каждом фиксированном выборе матриц ${{\Delta }_{A}}$ и ${{\Delta }_{B}}$ существует оператор

такой, что его действие на систему (0.2) преобразует ее к виду где U₁ и U₂ – некоторые матрицы соответствующих размеров.

Найдем условия, при которых для системы (0.2) при каждом выборе возмущений ${{\Delta }_{A}}$ и ${{\Delta }_{B}}$ определен оператор $\tilde {\mathcal{R}}$.

Введем следующие обозначения:

где Q – матрица перестановок из (1.3); блоки ${{\Delta }_{{{{A}_{2}}}}},$ ${{\Delta }_{{{{B}_{2}}}}}$ имеют размеры $n \times d,$ так же как блоки A₂, B₂ в (1.3); ${{\Delta }_{{{{\Lambda }_{r}}}}}$ задает возмущение матрицы Λ_r (1.2).

Разобьем ${{\Delta }_{{{{\Lambda }_{r}}}}}$ на блоки, аналогично тому, как это было сделано с матрицей Λ_r (см. (1.12)):

Определим квадратную матрицу порядка $n(r + 1):$

которая задает возмущение матрицы M_r , ее определителем является разрешающий минор.

Обозначим

где элементы матриц G и H задают масштабы изменения элементов матриц A₀ и B₀ (см. (0.3)).

Утверждение 3. Пусть имеет место неравенство

где для любой $(n \times n)$-матрицы S с элементами s_ij

Тогда матрица ${{M}_{r}} + {{\Delta }_{{{{M}_{r}}}}}$ обратима при любых матрицах неопределенностей ${{\Delta }_{A}} = \mathop {({{\alpha }_{{i,j}}})}\nolimits_{i,j = \overline {1,n} } $ и ${{\Delta }_{B}} = \mathop {({{\beta }_{{i,j}}})}\nolimits_{i,j = \overline {1,n} } ,$ элементы которых удовлетворяют неравенствам (0.3).

В самом деле [17, с. 142], матрица ${{M}_{r}} + {{\Delta }_{{{{M}_{r}}}}}$ будет обратима, если имеет место оценка

Легко видеть, что

Поэтому условие (2.8) гарантирует выполнение неравенства (2.9).

Теорема 1. Пусть в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ имеется разрешающий минор и выполняется условие (2.8). Для того чтобы при каждом фиксированном выборе возмущений ${{\Delta }_{A}}$ и ${{\Delta }_{B}}$, удовлетворяющих условиям (0.3), существовал оператор (2.1), преобразующий ДАУ (0.2) к виду (2.2), необходимо и достаточно выполнения равенства

где $\Delta _{\Lambda }^{{[2]}}$ и ${{\Delta }_{{{{M}_{r}}}}}$ определены в (2.5) и (2.6). При этом коэффициенты оператора (2.1) могут быть найдены по формуле

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

Поскольку в общем случае проверить равенство (2.11) не представляется возможным, найдем достаточные условия существования оператора $\tilde {\mathcal{R}}$.

Лемма 3. Пусть в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ имеется разрешающий минор и выполняется условие (2.8). И кроме того, при каждом выборе матриц Δ_A и Δ_B, подчиняющихся ограничениям (0.3),

(индекс при нулевой матрице указывает на число ее столбцов), а матрица $M_{r}^{{ - 1}}{{\Delta }_{{{{M}_{r}}}}}$ обладает структурой где размеры нулевого блока $(n + d) \times \lambda $; $ * $ обозначает матрицу, явный вид которой несущественен. Тогда

Доказательство леммы вынесено в Приложение.

Замечание 2. Очевидно, что предположения леммы 3 обеспечивают выполнение условия (2.11) и, следовательно, гарантируют существование оператора $\tilde {\mathcal{R}}$, преобразующего ДАУ (0.2) к виду (2.2). С другой стороны, условие (2.15) выглядит избыточным. Тем не менее, именно ограничение вида (2.15) потребуется в дальнейшем для того, чтобы обосновать левую обратимость оператора (2.1) и, в конечном итоге, доказать эквивалентность в смысле решений систем (0.2) и (2.2).

Теорема 2. Пусть:

1) в матрице ${{\mathcal{D}}_{r}}$ имеется разрешающий минор;

2) справедливо равенство (1.6);

3) для всех матриц ${{\Delta }_{A}}$ и ${{\Delta }_{B}}$, элементы которых подчиняются условиям (0.3), выполняются условия (2.13) и (2.14).

Если, кроме того,

то при каждом выборе матриц Δ_A и Δ_B оператор (2.1), (2.12), преобразующий ДАУ (0.2) к виду (2.2), существует и имеет левый обратный оператор $\mathcal{L} = {{\tilde {L}}_{0}} + {{\tilde {L}}_{1}}\tfrac{d}{{dt}}$.

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

3. Достаточные условия робастной устойчивости ДАУ. В этом разделе в предположениях, обеспечивающих сохранение структуры, получены достаточные условия робастной устойчивости ДАУ.

Опираясь на результаты теоремы 1 и леммы 3, можно дать корректное определение рассматриваемого интервального семейства. В системе (0.2) матрицы возмущений должны подчиняться оценкам (0.3) и удовлетворять равенству (2.11), другими словами, обеспечивать существование оператора (2.1), преобразующего ДАУ (0.2) к виду (2.2). В частности, условие (2.11) выполнено, если имеют место алгебраические связи (2.13) и (2.14). Поскольку основные результаты работы получены в рамках предположений (2.13), (2.14), то можно сформулировать следующее определение.

Определение 3. В предположениях теоремы 1 под интервальным семейством ДАУ будем понимать систему (0.2), в которой матрицы возмущений Δ_A и Δ_B подчиняются оценкам (0.3) и удовлетворяют алгебраическим соотношениям (2.13) и (2.14).

Определение 4. Решением ДАУ (0.1) будем называть n-мерную вектор-функцию ${{x}_{*}}(t) \in {{{\mathbf{C}}}^{1}}(T)$, обращающую систему (0.1) в тождество при подстановке.

При каждом выборе возмущений Δ_A и Δ_B из рассматриваемого интервального семейства решение системы (0.2) будем понимать в смысле определения 4.

Замечание 3. В предположениях леммы 2 системы (0.1) и (1.8), (1.9) имеют одно и то же множество решений и, следовательно, обладают одними и теми же свойствами устойчивости. Пусть дифференциальная подсистема ДАУ (1.8), (1.9)

асимптотически устойчива, т.е. любое решение ${{x}_{1}}(t)$ этой системы обладает свойством ${\text{||}}{{x}_{1}}(t){\text{||}} \to 0,$ $t \to + \infty $. В свою очередь любое решение алгебраической подсистемы ДАУ (1.8) находится по формуле ${{x}_{2}}(t) = - {{J}_{1}}{{x}_{1}}(t)$ и, следовательно, ${\text{||}}{{x}_{2}}(t){\text{||}} \to 0$ при $t \to + \infty $. Поэтому будем называть систему (1.8), (1.9) и ДАУ (0.1) асимптотически устойчивыми, если этим свойством обладает система (3.1).

Замечание 4. В предположениях теоремы 2 можно провести аналогичные рассуждения в отношении систем (0.2) и (2.2) при каждом выборе возмущений Δ_A и Δ_B из рассматриваемого интервального семейства. Так что будем называть интервальные семейства (0.2) и (2.2) асимптотически устойчивыми, если этим же свойством обладает каждая система из интервального семейства

В условиях теоремы 2 при каждом выборе матриц Δ_A и Δ_B для ДАУ (0.2) определен оператор $\tilde {R}$ (2.1), который преобразует (0.2) к виду (2.2). Коэффициенты этого оператора вычисляются по формуле (2.12). По построению в (2.2)

матрицы ${{B}_{1}}$ и ${{\Delta }_{{{{B}_{1}}}}}$ определены в (1.3) и (2.3) соответственно.

С учетом (2.12) можно получить представление

где – матричный коэффициент из (1.9), R₀ – первый коэффициент оператора (1.7).

Определение 5. В условиях теоремы 2 будем говорить, что интервальное семейство (0.2) робастно устойчиво, если каждая система из интервального семейства (3.2)–(3.4) асимптотически устойчива.

Определим величины

где $j = \sqrt { - 1} $ – мнимая единица, $\omega $ – вещественный параметр, ${{\xi }_{1}}$ – наименьшее сингулярное число матрицы $j\omega {{E}_{{n - d}}} + {{J}_{2}}$, и где ${{\xi }_{{2(n - d) - 1}}}$ – второе справа из упорядоченных по возрастанию сингулярных чисел матрицы

Предположим, что все собственные числа матрицы J₂ имеют положительные вещественные части, т.е.

Известно [18, с. 201–203], что в этом случае семейство ДАУ (3.2), (3.3) будет асимптотически устойчиво, если

или

Заметим, что несмотря на то, что $\mu ({{J}_{2}}) \geqslant \nu ({{J}_{2}})$, условие (3.6) значительно проще для проверки, чем условие (3.7). Здесь и далее ||S||₂ – спектральная норма матрицы:

S* – сопряженная матрица.

Матрицу H, определяющую масштаб изменения элементов матрицы B₀ (см. (0.3)), разобьем на блоки аналогично тому, как это было сделано в отношении матрицы $B$ (см. (1.3)):

где блок H₁ имеет размер $n \times (n - d)$.

Определим величину

где F находится по формуле (2.7).

В соответствии с замечанием 4 интервальное семейство (2.2) будет асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда этим же свойством обладает семейство (3.2).

Перейдем к получению условий робастной устойчивости.

При доказательстве теоремы 2 показано, что предположение (2.16) влечет за собой оценку (2.9). В этом случае [17, с. 142]

Из представления (3.4) и оценок (3.10) и (3.11) получим

Это неравенство можно усилить, воспользовавшись тем, что ${\text{||}}{{\Delta }_{{{{B}_{1}}}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{1}} \leqslant \gamma {\text{||}}{{H}_{1}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{1}}$, условием (2.10) и обозначением (3.9):

Заметим, что в силу (2.8)

С учетом известного соотношения между нормами ${\text{||}}{{\Delta }_{{{{U}_{2}}}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{2}} \leqslant \sqrt {n - d} {\text{||}}{{\Delta }_{{{{U}_{2}}}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{1}}$ условие (3.6) будет выполнено, если

Из последнего неравенства получаем оценку

Таким образом, имеет место следующий результат.

Теорема 3. Пусть выполнены все предположения теоремы 2, а также условия (3.5) и (3.14). Тогда система ДАУ (0.2) будет робастно устойчива.

Замечание 5. В условии (3.14) величину $\nu ({{J}_{2}})$ можно заменить на $\mu ({{J}_{2}})$. Возрастет или уменьшится выражение, стоящее в правой части неравенства (3.14), в общем случае установить невозможно.

4. Робастная устойчивость с использованием свойства сверхустойчивости номинальных ДАУ. В данном разделе с использованием свойства сверхустойчивости системы (0.1) получены достаточные условия робастной устойчивости интервальных ДАУ (0.2).

В работах [19, 20] обоснованы оценки радиуса сверхустойчивости для систем с интервальными коэффициентами, разрешенных относительно производной. К сожалению, получить такой же изящный результат для интервальных ДАУ невозможно, поскольку построение для системы (0.2) структурной формы (2.2), эквивалентной ей в смысле решений, связано с обращением интервальной матрицы.

Для матрицы ${{J}_{2}} = \mathop {({{\zeta }_{{i,j}}})}\nolimits_{i,j = \overline {1,n - d} } $ из (3.1) определим величину

Система (3.1) называется cверхустойчивой [18, с. 199], если

Если система сверхустойчива, то она будет асимптотически устойчива.

Нетрудно показать, что в предположениях леммы 2 система (0.1) будет асимптотически устойчива, если сверхустойчива система (3.1), т.е. если имеет место неравенство (4.1).

Как отмечалось выше, в условиях теоремы 2 интервальные семейства (0.2) и (2.2) обладают одними и теми же свойствами устойчивости. Легко видеть, что ДАУ (0.2) будут асимптотически устойчивы, если сверхустойчива интервальная система (3.2). Последнее имеет место в случае, когда для всех матриц из анализируемого интервального семейства справедливо неравенство

Найдем достаточные условия выполнения оценки (4.2). Для этого воспользуемся представлением (3.3), где ${{\Delta }_{{{{U}_{2}}}}} = \mathop {({{\delta }_{{i,j}}})}\nolimits_{i,j = \overline {1,n - d} } $ – интервальная матрица. Тогда

Рассмотрим сумму

По построению нулевая матрица принадлежит интервальному семейству ${{\Delta }_{{{{U}_{2}}}}}$, поэтому минимальное значение ${{\delta }_{{i,i}}}\; + \;{\text{|}}{{\delta }_{{i,i}}}{\text{|}}$ по всем $i = \overline {1,n - d} $ и по всем матрицам из представленного интервального семейства равно нулю. Используя этот факт и неравенство (3.12), получим

Очевидно, что интервальное семейство ДАУ (3.2) будет сверхустойчиво, если

или с учетом (3.13)

Из приведенных выше рассуждений вытекает справедливость следующей теоремы.

Теорема 4. Пусть выполнены все предположения теоремы 2 и условие (4.1). Интервальное семейство ДАУ (0.2) будет робастно устойчиво, если выполняется неравенство (4.3).

5. Иллюстрирующий пример. Для простоты рассмотрим систему индекса 1:

Начнем с предположений теоремы 2. В матрице

пунктирной линией выделены столбцы матрицы M₁, определителем которой является разрешающий минор. При этом r = 1, d = 1, $Q = {{E}_{3}}$, ${\text{rank}}{{\Lambda }_{1}} = \lambda = 2.$ Используя явный вид матрицы Λ₂, нетрудно вычислить ${\text{rank}}{{\Lambda }_{2}}$ = 5. Следовательно, условие (1.6) выполнено.

Оператор

преобразует систему (5.1) к виду так что

Поскольку

то условие (2.13) приобретает форму $ - 2{{\alpha }_{{1,1}}} - {{\alpha }_{{2,1}}} + {{\alpha }_{{3,1}}} = 0,$ откуда следует и

В свою очередь (2.14) означает, что

и

Условия (5.2) и (5.4) задают структуру матрицы Δ_A:

а равенства (5.3) и (5.5) определяют вид матрицы G:

Пусть для простоты элементы матриц G и H, определяющих масштабы изменения элементов матриц A₀ и B₀, ${{g}_{{i,j}}} = g = {\text{const}}$ ($i = \{ 1,2\} ,j = \{ 1,2,3\} $) ${{h}_{{i,j}}} = h = {\text{const}}$ ($i,j = \{ 1,2,3\} $). Тогда (см. (2.7) и (3.8)) ${\text{||}}F{\text{|}}{{{\text{|}}}_{1}} = 9g + 3h,$ ${\text{||}}{{H}_{1}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{1}} = 2h.$

Матрицу $M_{2}^{{ - 1}}$ по причине громоздкости выписывать не будем, но найдем

и оценка (2.16) принимает вид

В частности, $\gamma < 0.059$ при $g = h = 0.5.$

Таким образом, для того чтобы возмущения системы (0.2) сохраняли структуру ДАУ (0.1) (другими словами, чтобы существовал оператор (2.1), преобразующий (0.2) в семейство (2.2), имеющее то же множество решений, что и система (0.2)), требуется, чтобы матрицы Δ_A и G имели вид (5.6), (5.7), а размах неопределенностей удовлетворял неравенству (5.8).

Обратимся к условиям робастной устойчивости.

Легко видеть, что предположение (3.5) теоремы 3 имеет место. С учетом того, что ${\text{||}}{{B}_{1}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{1}} = 8$, ${\text{||}}M_{1}^{{ - 1}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{1}} = \frac{{59}}{{12}}$, в сделанных допущениях в соответствии с (3.9)

Несложно вычислить $\nu ({{J}_{2}}) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3},$ поэтому условие (3.14) можно записать как

Итак, в условиях сохранения структуры по теореме 3 каждая система из семейства (0.2) будет асимптотически устойчива, если размах неопределенностей удовлетворяет условию (5.9). В частности, $\gamma \leqslant 0.00056$ при $g = h = 0.5.$ Если же возмущения матрицы A₀ отсутствуют (g = 0), то $\gamma \leqslant 0.002.$

Рассмотрим предположения (4.1) и (4.3) теоремы 4. Очевидно, что $\sigma ({{J}_{2}}) = 1 > 0$, т.е. (4.1) имеет место. Оценка (4.3) в данном случае приобретает форму

В соответствии с утверждением теоремы 4 в том случае, если возмущения не нарушают структуру рассматриваемой системы, для асимптотической устойчивости семейства ДАУ (0.2) необходимо выполнение условия (5.10). В частности, $\gamma < 0.0008$ при $g = h = 0.5.$ В случае, когда g = 0, $\gamma \leqslant 0.003.$

Заключение. В работе получены достаточные условия, при которых интервальное семейство ДАУ имеет ту же структуру общего решения, что и номинальная система. Для интервальных ДАУ построена структурная форма, имеющая то же множество решений, что и исходное семейство. В предположениях, обеспечивающих сохранение структуры, найдены условия робастной устойчивости для ДАУ произвольно высокого индекса неразрешенности, у которых неопределенность присутствует не только в матрице при $x(t)$, но и в матрице при производной.