1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Теория и системы управления
  4. № 6, 2022

Известия РАН. Теория и системы управления, 2022, № 6, стр. 77-84

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИСКРЕТНОГО ГАЗЛИФТНОГО ПРОЦЕССА

Ф. А. Алиев a, b, *, Н. С. Гаджиева a, **, Г. Г. Маммадова a, А. А. Намазов a, М. С. Халилов c

a Институт прикладной математики, Бакинский государственный ун-т
Баку, Азербайджан

b Институт информционных технологий НАН Азербаайджана
Баку, Азербайджан

c Бакинский государственный ун-т
Баку, Азербайджан

* E-mail: f_aliev@yahoo.com
** E-mail: nazile.m@mail.ru

Поступила в редакцию 17.03.2022
После доработки 12.04.2022
Принята к публикации 30.05.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается усредненная по времени математическая модель дискретного газлифтного процесса. При первой итерации строится аналитическое выражение для газожидкостной смеси на конце подъемника с использованием малого параметра (малый параметр принимается как величина, обратная глубине скважины) и предполагается, что коэффициент гидравлического сопротивления имеет разные значения в двух разных частях подъемника. Для нахождения указанного коэффициента используется метод наименьших квадратов. Вводятся экспериментальные данные и минимизируется целевая функция, которая характеризует близость физических переменных, полученных из модели и из этих данных. Окончательный результат представлен в приводимом примере, и он совпадает с соответствующими величинами, найденными другими методами.

0. Введение. В системах управления широко применяется метод наименьших квадратов, когда ищутся параметры модели, и для этой цели используются экспериментальные данные [1, 2].

Как известно, в [3–10] разработаны разные алгоритмы, определены параметры образования газожидкостной смеси (ГЖС) на башмаке скважины и среднее значение коэффициента гидравлического сопротивления (КГС) [11] на подъемнике. Если считать значение КГС по всей длине скважины постоянным, то это ослабляет решение полученных результатов и требуется усилить постановку этих задач. Поэтому в [12, 13] приведены общие алгоритмы определения КГС на разных участках скважины, применяя методы наименьших квадратов [14–17] с использованием статистических данных из истории скважины [18, 19]. Однако реализация этого алгоритма [20, 21] затруднена из-за вычисления градиента соответствующей целевой функции для нахождения КГС на каждом участке. Как известно [22–25], расчет среднего значения КГС по всей длине скважины с помощью асимптотических методов позволяет получить аналитическое выражение для его вычислений в первом приближении по малому параметру $\mu $.

В работе приводится метод определения КГС в двух частях скважины c дискретным временем. Применяется метод наименьших квадратов, который сводится к минимизации квадратичной целевой функции, и окончательно получается аналитическое выражение для КГС.

Известно, что движение газа в кольцевом пространстве и ГЖС в подъемнике газлифтной скважины описываются следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений, правая часть которой включает в себя малый параметр [26, 27]:

(0.1)
$\left\{ \begin{gathered} {{{\dot {Q}}}_{i}} = \frac{{2{{a}_{i}}{{\rho }_{i}}{{F}_{i}}Q_{i}^{2}}}{{c_{i}^{2}\rho _{i}^{2}F_{i}^{2}\mu - Q_{i}^{2}}},\quad Q\left( 0 \right) = u, \hfill \\ {{{\dot {P}}}_{i}} = \frac{{2{{a}_{i}}c_{i}^{2}\rho _{i}^{2}F_{i}^{2}Q_{i}^{2}}}{{c_{i}^{2}\rho _{i}^{2}F_{i}^{2}\mu - Q_{i}^{2}}},\quad P\left( 0 \right) = {{P}_{0}},\quad i = 1,2, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где параметр ${{a}_{i}}$ находится из выражения $2{{a}_{i}} = {{{{g}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{g}_{i}}} {{{\omega }_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{\omega }_{i}}}} + {{{{\lambda }_{i}}{{\omega }_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\lambda }_{i}}{{\omega }_{i}}} {2{{D}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {2{{D}_{i}}}},$ i = 1, 2. Здесь ${{g}_{1}},\,{{g}_{2}}$ – ускорение выпуска, ${{\omega }_{1}},\,{{\omega }_{2}}$ – скорость движения смеси, ${{\lambda }_{1}},\,{{\lambda }_{2}}$ – коэффициенты гидравлического сопротивления, ${{D}_{1}},$ ${{D}_{2}}$ – эффективные диаметры, ${{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}}$ – плотности газа, ${{F}_{1}},\,{{F}_{2}}$ представляют собой площади сечения М в кольцевом пространстве и в подъемнике соответственно, ${{Q}_{i}},\,\,i = 1,\,2,$ – массовый расход закачиваемого газа в кольцевом пространстве и ГЖС в подъемнике, ${{c}_{1}},\,{{c}_{2}}$ – скорость звука в кольцевом пространстве и в подъемнике соответственно, $\mu $ – малый параметр (малый параметр принимается как величина, обратная глубине скважины – 1/l, l – высота скважины), $u$ – заданная величина, ${{P}_{i}},i = 1,2,$ – давление газа и ГЖС, ${{P}_{0}}$ – заданная величина.

Отметим, что если первое уравнение системы (0.1) не зависит от решения второго, то ее можно решать отдельно методом разделения переменных. С помощью первого метода Эйлера первое уравнение системы (0.1) представляет собой цепочку из двух нелинейных рекуррентных формул:

(0.2)
$Q\left( {k + 1} \right) = Q\left( k \right) + h\frac{{2{{a}_{1}}{{\rho }_{1}}{{F}_{1}}{{Q}^{2}}\left( k \right)}}{{c_{1}^{2}\rho _{1}^{2}F_{1}^{2}\mu - {{Q}^{2}}\left( k \right)}},\quad 0 \leqslant k \leqslant N - 1,\quad Q\left( 0 \right) = u,$
(0.3)
$Q\left( {k + 1} \right) = Q\left( k \right) + h\frac{{2{{a}_{2}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}{{Q}^{2}}\left( k \right)}}{{c_{2}^{2}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}\mu - {{Q}^{2}}\left( k \right)}},\quad N \leqslant k \leqslant 2N - 1,$
где $Q(k) = {{\rho }_{1}}{{\omega }_{1}}{{F}_{1}},$ $k = \overline {0,N} ,$ и $Q(k) = {{\rho }_{2}}{{\omega }_{2}}{{F}_{2}},$ $k = \overline {N + 1,2N} ,$ – объемы газа и ГЖС соответственно, h – шаг интегрирования.

1. Постановка задачи. Теперь разделим длину скважины газлифтного колодца l на две разные части (l0, l1) и (l1, l2). В этом случае уравнение движение ГЖС (0.2) в каждом интервале (l0, l1) и (l1, l2) описывается следующими нелинейными разностными уравнениями:

(1.1)
$Q\left( {k + 1} \right) = Q\left( k \right) + h\frac{{2{{a}_{{2,i}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}{{Q}^{2}}\left( k \right)}}{{c_{2}^{2}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}\mu - {{Q}^{2}}\left( k \right)}},\quad N \leqslant k \leqslant 2N - 1.$

Здесь

(1.2)
$2{{a}_{{2,i}}} = \frac{{{{g}_{2}}}}{{{{\omega }_{2}}}} + \frac{{{{\lambda }_{{2,i}}}{{\omega }_{2}}}}{{2{{D}_{2}}}},\quad i = {\text{ }}1,2,$
${{\lambda }_{{2,i}}}$ – КГС в каждом интервале (l0, l1) и (l1, l2).

Пусть имеются n значений экспериментальных данных (т.е. измеряемые при наблюдении над объектом параметры модели):

(1.3)
${{Q}^{j}}\left( {{{l}_{0}}} \right) = \tilde {Q}_{N}^{j},\quad j = \overline {1,n} ,$
где n – число наблюдений. Требуется найти такие значения КГС ${{\lambda }_{{2,1}}}$ и ${{\lambda }_{{2,2}}}$ в каждом из интервалов (l0, l1) и (l1, l2), при которых в конце подъемника разность между решением $Q\left( {{{l}_{2}}} \right) = {{Q}_{{2N}}}$ уравнения (2.1) и значениями
(1.4)
${{Q}^{j}}\left( {{{l}_{2}}} \right) = \tilde {Q}_{{2N}}^{j},\quad j = \overline {1,n} ,$
вычисленными с использованием начальных данных (1.3), будет минимальной.

Для решения задачи идентификации вводится следующая целевая функция:

(1.5)
$I({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) = \sum\limits_{j = 1}^n {{{{[Q_{{{{a}_{{2,1}}},\,\,{{a}_{{2,2}}}}}^{j}\left( {{{l}_{2}}} \right) - \tilde {Q}_{{2N}}^{j}]}}^{2}} + \beta a_{{2,1}}^{2} + \beta a_{{2,2}}^{2}} \to \min ,$
где два последних нетрадиционных для метода наименьших квадратов слагаемых есть штраф с коэффициентом $\beta > 0$ (параметр регуляризации Тихонова) за большие значения искомых параметров. Он обеспечивает невырожденность матрицы коэффициентов линейной системы уравнений – условий минимума функции (1.5).

2. Метод решения. Находим решение уравнения (1.1) в первом приближении в каждом интервале (l0, l1) и (l1, l2). Действительно, легко предположить, что в окрестности малого параметра μ = 0 решение уравнения (2.1) порядка $O(\mu )$ линеаризуется по формуле Тейлора следующим образом:

(2.1)
$\begin{gathered} Q\left( {k + 1} \right) \approx {{\left. {\left( {Q\left( k \right) + h\frac{{2{{a}_{{2,i}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}{{Q}^{2}}\left( k \right)}}{{c_{2}^{2}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}\mu - {{Q}^{2}}\left( k \right)}}} \right)} \right|}_{{\mu = 0}}} + \frac{\partial }{{\partial \mu }}{{\left. {\left( {Q\left( k \right) + h\frac{{2{{a}_{{2,i}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}{{Q}^{2}}\left( k \right)}}{{c_{2}^{2}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}\mu - {{Q}^{2}}\left( k \right)}}} \right)} \right|}_{{\mu = 0}}}\mu = \\ \, = Q\left( k \right) - 2h{{a}_{{2,i}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - h\frac{{2{{a}_{{2,i}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}}}{{{{Q}^{2}}\left( k \right)}}\mu ,\quad i = 1,2. \\ \end{gathered} $

В первом приближении необходимо из решения (2.1) вычислить ${{Q}^{j}}\left( {{{l}_{2}}} \right)$ и, учитывая это значение в целевой функции (1.4), можно рассчитать градиент этой целевой функции. Далее, приравняв к нулю этот градиент, вычисляем параметры ${{a}_{{2,1}}},\,{{a}_{{2,2}}}$ в интервалах (l0, l1) и (l1, l2). Для этого сначала в точке l1 находим $Q\left( {{{l}_{1}}} \right)$ из (2.1):

(2.2)
$Q\left( {{{l}_{1}}} \right) = Q\left( {{{l}_{0}}} \right) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - {{l}_{1}}\frac{{2{{a}_{{2,1}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}}}{{{{Q}^{2}}\left( {{{l}_{0}}} \right)}}\mu ,\quad {{l}_{1}} = 10h.$

В точке l2 из (2.1) нопределяем $Q\left( {{{l}_{2}}} \right)$ и в окрестности параметра μ = 0 линеаризуем его с порядком $O(\mu )$:

$Q\left( {{{l}_{2}}} \right) = Q\left( {{{l}_{1}}} \right) - 2{{l}_{2}}{{a}_{{2,2}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - {{l}_{2}}\frac{{2{{a}_{{2,2}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}}}{{{{Q}^{2}}\left( {{{l}_{1}}} \right)}}\mu \approx Q\left( {{{l}_{0}}} \right) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - $
(2.3)
$\, - {{l}_{1}}\frac{{2{{а}_{{2,1}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}}}{{{{Q}^{2}}\left( {{{l}_{0}}} \right)}}\mu - 2{{l}_{2}}{{a}_{{2,2}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - {{l}_{2}}\frac{{2{{а}_{{2,2}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}}}{{{{{\left[ {Q\left( {{{l}_{0}}} \right) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - {{l}_{1}}\frac{{2{{а}_{{2,1}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}}}{{{{Q}^{2}}\left( {{{l}_{0}}} \right)}}\mu } \right]}}^{2}}}}\mu = $
$\, = Q\left( {{{l}_{0}}} \right) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - {{l}_{1}}\frac{{2{{а}_{{2,1}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}}}{{{{Q}^{2}}\left( {{{l}_{0}}} \right)}}\mu - 2{{l}_{2}}{{a}_{{2,2}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \frac{{2{{а}_{{2,2}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{\left[ {Q\left( {{{l}_{0}}} \right) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}} \right]}}^{2}}}}\mu ,\quad {{l}_{2}} = 20h.$

Если для $Q({{l}_{2}})$ учесть асимптотическое разложение (2.3) в целевой функции (1.4) и раскрыть квадратичное выражение, отбросив члены, содержащие множитель ${{\mu }^{2}}$, то в первом приближении для целевой функции I получим асимптотическое выражение относительно малого параметра $\mu $:

(2.4)
$\begin{gathered} I\left( {{{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {\left\{ {\mathop {{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}{{a}_{{2,2}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]}}^{2}}}\limits_{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}} } \right.} - \\ \, - 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}{{a}_{{2,2}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]\left. {\left[ {{{l}_{1}}\frac{{2{{a}_{{2,1}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}\left. { + \frac{{2{{a}_{{2,2}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}}} \right]} \right.\mu } \right\} + \beta a_{{2,1}}^{2} + \beta a_{{2,2}}^{2}. \\ \end{gathered} $

Теперь можно вычислить градиент целевой функции (2.4):

(2.5)
$\frac{{\partial I({{a}_{{2,1}}},\,\,{{a}_{{2,2}}})}}{{\partial {{a}_{{2,1}}}}} = {{A}_{1}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) + \mu {{B}_{1}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}),$
(2.6)
$\frac{{\partial I({{a}_{{2,1}}},\,\,{{a}_{{2,2}}})}}{{\partial {{a}_{{2,2}}}}} = {{A}_{2}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) + \mu {{B}_{2}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}),$
где

${{A}_{1}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\{ 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}{{a}_{{2,2}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]( - 2{{l}_{1}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}})\} + 2} \beta {{a}_{{2,1}}},$$\begin{gathered} {{B}_{1}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\left\{ {4{{l}_{1}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}\left[ {\frac{{2{{a}_{{2,1}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{1}}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}\left. { + \frac{{2{{a}_{{2,2}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}}} \right]} \right.} \right.} - \\ \, - 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}{{a}_{{2,2}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]\left. {\left[ {\frac{{2c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{1}}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}} + \left. {\frac{{4{{a}_{{2,2}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}{{l}_{2}}{{l}_{1}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{3}}}}} \right]} \right.} \right\}, \\ \end{gathered} $
${{A}_{2}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\{ 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}{{a}_{{2,2}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]( - 2{{l}_{2}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}})\} + 2\beta {{a}_{{2,2}}},} $
$\begin{gathered} {{B}_{2}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\left\{ {4{{l}_{2}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}\left[ {\frac{{2{{a}_{{2,1}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{1}}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}\left. { + \frac{{2{{a}_{{2,2}}}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}}} \right]} \right.} \right. - } \\ \, - 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}{{a}_{{2,2}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]\left. {\frac{{2c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}{{a}_{{2,1}}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}}} \right\}. \\ \end{gathered} $

Чтобы найти параметры ${{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}$, приравняем выражения (2.5) и (2.6) к нулю и получим следующую систему нелинейных алгебраических уравнений:

(2.7)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial I({{a}_{{2,1}}},\,\,{{a}_{{2,2}}})}}{{\partial {{a}_{{2,1}}}}} = {{A}_{1}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) + \mu {{B}_{1}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) = 0 \hfill \\ \frac{{\partial I({{a}_{{2,1}}},\,\,{{a}_{{2,2}}})}}{{\partial {{a}_{{2,2}}}}} = {{A}_{2}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) + \mu {{B}_{2}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}) = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Введем разложение параметров ${{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}$ по степеням малого параметра следующим образом [28]:

(2.8)
${{a}_{{2,1}}} = a_{{2,1}}^{0} + \mu a_{{2,1}}^{1} + ...,\quad {{a}_{{2,2}}} = a_{{2,2}}^{0} + \mu a_{{2,2}}^{1} + ...$

Теперь примем во внимание разложение (2.8) в выражениях ${{A}_{1}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}}),$ ${{A}_{2}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}})$:

(2.9)
${{A}_{1}}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0},a_{{21}}^{1},a_{{22}}^{1}) = A_{1}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) + \mu A_{1}^{1}(a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}),$
(2.10)
${{A}_{2}}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0},a_{{21}}^{1},a_{{22}}^{1}) = A_{2}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) + \mu A_{2}^{1}(a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}),$
где

$A_{1}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\{ [{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{2,1}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}a_{{2,2}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]( - 4{{l}_{1}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}})\} + 2} \beta a_{{2,1}}^{0},$
$A_{1}^{1}(a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}) = 8nl_{1}^{2}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}a_{{2,1}}^{1} + 8n{{l}_{1}}{{l}_{2}}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}a_{{2,2}}^{1} + 2\beta a_{{2,1}}^{1},$
$A_{2}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\{ [{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{2,1}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}a_{{2,2}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]( - 4{{l}_{2}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}})\} } + 2\beta a_{{2,2}}^{0},$
$A_{2}^{1}(a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}) = 8n{{l}_{1}}{{l}_{2}}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}a_{{2,1}}^{1} + 8nl_{2}^{2}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}a_{{2,2}}^{1} + 2\beta a_{{2,2}}^{1}.$

Далее, учитывая разложение (2.8) в выражении ${{B}_{1}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}})$, запишем

$\begin{gathered} {{B}_{1}}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0},a_{{21}}^{1},a_{{22}}^{1}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\left\{ {\frac{{8l_{1}^{2}a_{{21}}^{0}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}} \right.} + \frac{{8l_{1}^{2}a_{{21}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}\mu + \frac{{2a_{{22}}^{0}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}(a_{{21}}^{0} + \mu a_{{21}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}} + \\ \, + \frac{{2a_{{22}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}(a_{{21}}^{0} + \mu a_{{21}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}}\mu - 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}(a_{{21}}^{0} + \mu a_{{21}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}(a_{{22}}^{0} + \mu a_{{22}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}] \times \\ \, \times \left. {\left[ {\frac{{2c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{1}}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}} + \left. {\frac{{4a_{{22}}^{0}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}{{l}_{2}}{{l}_{1}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}(a_{{21}}^{0} + \mu a_{{21}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{3}}}} + \frac{{4a_{{22}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}{{l}_{2}}{{l}_{1}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}(a_{{21}}^{0} + \mu a_{{21}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{3}}}}\mu } \right]} \right.} \right\}. \\ \end{gathered} $

Если третий, четвертый и пятый члены последнего выражения в окрестности параметра μ = 0 линеаризовать и отбросить все члены, содержащие множитель μ2, получим

(2.11)
${{B}_{1}}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0},a_{{21}}^{1},a_{{22}}^{1}) = B_{1}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) + \mu B_{1}^{1}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0},a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1})\,.$

Здесь

$\begin{gathered} B_{1}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{8l_{1}^{2}a_{{21}}^{0}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}} + \frac{{2a_{{22}}^{0}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}} - \\ \, - 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}a_{{22}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]\left[ {\frac{{2c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{1}}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}} + } \right.\left. {\left. {\frac{{4a_{{22}}^{0}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}{{l}_{2}}{{l}_{1}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{3}}}}} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} B_{1}^{1}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0},a_{{21}}^{1},a_{{22}}^{1}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\left\{ {\frac{{8l_{1}^{2}a_{{21}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}} \right.} + \frac{{8a_{{22}}^{0}a_{{21}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}{{l}_{1}}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{3}}}} + \\ \, + \frac{{2a_{{22}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}} - 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}a_{{22}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}] \times \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, \times \left[ {\frac{{24a_{{22}}^{0}a_{{21}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{5}F_{2}^{5}{{l}_{2}}l_{1}^{2}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{4}}}} + \frac{{4a_{{21}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}{{l}_{2}}{{l}_{1}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{3}}}}} \right] + \\ \, + 4[{{l}_{1}}a_{{21}}^{1}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}\mu + {{l}_{2}}a_{{22}}^{1}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]\left[ {\frac{{2c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{1}}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}} + } \right.\left. {\left. {\frac{{4a_{{22}}^{0}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}{{l}_{2}}{{l}_{1}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{3}}}}} \right]} \right\}. \\ \end{gathered} $

Теперь примем во внимание разложение (2.8) в выражении ${{B}_{2}}({{a}_{{2,1}}},{{a}_{{2,2}}})$:

$\begin{gathered} {{B}_{2}}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0},a_{{21}}^{1},a_{{22}}^{1}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\left\{ {4{{l}_{2}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}\left[ {\frac{{2(a_{{21}}^{0} + \mu a_{{21}}^{1})c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{1}}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}} \right.} \right.} + \left. {\frac{{2(a_{{22}}^{0} + \mu a_{{22}}^{1})c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}(a_{{21}}^{0} + \mu a_{{21}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}}} \right] - \\ \, - 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}(a_{{21}}^{0} + \mu a_{{21}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}(a_{{22}}^{0} + \mu a_{{22}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]\left. {\frac{{2c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}(a_{{21}}^{0} + \mu a_{{21}}^{1}){{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}}} \right\}. \\ \end{gathered} $

Здесь также второй множитель последнего выражения линеаризуем в окрестности параметра $\mu = 0$ и отбрасываем все члены, содержащие множитель ${{\mu }^{2}}$:

(2.12)
${{B}_{2}}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0},a_{{21}}^{1},a_{{22}}^{1}) = B_{2}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) + \mu B_{2}^{1}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0},a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}),$
где

$\begin{gathered} B_{2}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\left\{ {\frac{{8{{l}_{1}}{{l}_{2}}a_{{21}}^{0}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}} \right.} + \frac{{2a_{{22}}^{0}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}} - \\ \, - 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}a_{{22}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]\left. {\frac{{2c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}}} \right\}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} B_{2}^{1}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0},a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}) = \sum\limits_{j = 1}^n {\left\{ {\frac{{8{{l}_{1}}{{l}_{2}}a_{{21}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}}}{{{{{({{Q}^{j}}({{l}_{0}}))}}^{2}}}}} \right.} + \frac{{8a_{{22}}^{0}a_{{21}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}{{l}_{1}}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{3}}}} + \frac{{2a_{{22}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}} - \\ \, - 2[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - 2{{l}_{2}}a_{{22}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} - \tilde {Q}_{2}^{j}]\frac{{8a_{{21}}^{1}c_{2}^{2}\rho _{2}^{4}F_{2}^{4}{{l}_{2}}{{l}_{1}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{3}}}} + \\ \, + 4[{{l}_{1}}a_{{21}}^{1}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} + {{l}_{2}}a_{{22}}^{1}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}\mu ]\left. {\frac{{2c_{2}^{2}\rho _{2}^{3}F_{2}^{3}{{l}_{2}}}}{{{{{[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - 2{{l}_{1}}a_{{21}}^{0}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}]}}^{2}}}}} \right\}. \\ \end{gathered} $

Таким образом, если учитывать соотношения (2.9)–(2.12) в системе нелинейных алгебраических уравнений (2.7) и отбросить все члены, содержащие множитель ${{\mu }^{2}}$, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно параметров $a_{{2,1}}^{0},a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{0},a_{{2,2}}^{1}$:

(2.13)
$\left\{ \begin{gathered} A_{1}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) + \mu (A_{1}^{1}(a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}) + B_{1}^{0}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0})) = 0, \hfill \\ A_{2}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) + \mu (A_{2}^{1}(a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}) + B_{2}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0})) = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Отсюда если уравнение (2.7) для любого $\mu $ верно, то из (2.13) следует

(2.14)
$\left\{ \begin{gathered} A_{1}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) = 0, \hfill \\ A_{1}^{1}(a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}) + B_{1}^{0}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0}) = 0,\,\, \hfill \\ A_{2}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) = 0,\,\,\,\, \hfill \\ A_{2}^{1}(a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}) + B_{2}^{0}(a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}) = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Для нахождения параметров $a_{{2,1}}^{0},\,\,a_{{2,2}}^{0}$ из первого и третьего уравнений системы (2.14) получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(2.15)
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {4{{l}_{1}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} + \frac{\beta }{{n{{l}_{1}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}}}} \right)}&{4{{l}_{2}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}} \\ {4{{l}_{1}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}}&{\left( {4{{l}_{2}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}} + \frac{\beta }{{n{{l}_{2}}{{\rho }_{2}}{{F}_{2}}}}} \right)} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{2,1}}^{0}} \\ {a_{{2,2}}^{0}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - \tilde {Q}_{2}^{j}]} } \\ {\frac{2}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {[{{Q}^{j}}({{l}_{0}}) - \tilde {Q}_{2}^{j}]} } \end{array}} \right].$

Для определения параметров $\,a_{{2,1}}^{1},\,a_{{2,2}}^{1}$ из второго и четвертого уравнений системы (2.14) запишем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(2.16)
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - (8nl_{1}^{2}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2} + 2\beta )}&{ - 8n{{l}_{1}}{{l}_{2}}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}} \\ { - 8n{{l}_{1}}{{l}_{2}}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2}}&{ - (8nl_{2}^{2}\rho _{2}^{2}F_{2}^{2} + 2\beta )} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{2,1}}^{1}} \\ {a_{{2,2}}^{1}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {B_{1}^{0}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0})} \\ {B_{2}^{0}(a_{{21}}^{0},a_{{22}}^{0})} \end{array}} \right].$

Таким образом, параметры $a_{{2,1}}^{0},a_{{2,2}}^{0}$ находятся путем решения уравнения (2.15), параметры $a_{{2,1}}^{1},a_{{2,2}}^{1}$ – путем подстановки этих значений в правую часть уравнения (2.16), параметры ${{a}_{{2,1}}},\,\,{{a}_{{2,2}}}$ – с помощью (2.8) находятся в первом приближении по малому параметру $\mu .$ Отсюда из соотношения (1.2) можно легко определить коэффициенты гидравлического сопротивления ${{\lambda }_{{2,1}}},\,\,{{\lambda }_{{2,2}}}$.

3. Пример. Остановимся на реализации предложенного метода на примере из [18, 22]. Пусть параметры выражений (0.2)–(0.3) и целевой функции (1.5) имеют следующий вид:

${{c}_{1}} = 331\,\,{\text{m/s,}}\quad {{\rho }_{1}} = 0.717\,\,{\text{kg/}}{{{\text{m}}}^{{\text{3}}}}\quad D{}_{1} = \sqrt {{{{114}}^{2}} - {{{73}}^{2}}} \times {{10}^{{ - 3}}}\,\,{\text{m}},$
${{c}_{2}} = 850\,\,{\text{m/s,}}\quad {{\rho }_{2}} = 700\;{\text{kg/}}{{{\text{m}}}^{{\text{3}}}},\quad {{D}_{2}} = 0.073\,\,{\text{m,}}$
$N = 11,\quad h = 0.1,\quad u = 0.21,\quad n = 5,\quad \beta = 0.1.$

Тогда уравнение движения газа и ГЖС внутри подъемника в газлифтном процессе описывается как

$Q\left( {k + 1} \right) = Q\left( k \right) + h\frac{{{\text{(8}}{\text{.7080e - 004)}}{{Q}^{2}}\left( k \right)}}{{{\text{(2}}{\text{.0423e - 010)}} - {{Q}^{2}}\left( k \right)}},\quad 0 \leqslant k \leqslant N - 1,$
$Q\left( {k + 1} \right) = Q\left( k \right) + h\frac{{{\text{ 0}}{\text{.2993}}{{Q}^{2}}\left( k \right)}}{{{\text{(1}}{\text{.2656e - 017)}} - {{Q}^{2}}\left( k \right)}},\quad N \leqslant k \leqslant 2N - 1.$

Применяя статистические данные в виде

$\tilde {Q}_{{2N}}^{1} = {\text{1}}{\text{.8873,}}\quad \tilde {Q}_{{2N}}^{2} = {\text{1}}{\text{.9626,}}\quad \tilde {Q}_{{2N}}^{3} = {\text{2}}{\text{.3764,}}\quad \tilde {Q}_{{2N}}^{4}{\text{ }} = {\text{2}}{\text{.4298,}}\quad \tilde {Q}_{{2N}}^{5}{\text{ }} = {\text{2}}{\text{.7317,}}$
составим целевую функцию (1.5) и после этого из (2.15), (2.16) получим, что
$a_{{2,1}}^{0} = {\text{8}}{\text{.2229}} \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{\text{5}}}},\quad a_{{2,1}}^{1} = - {\text{6}}{\text{.7272}} \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{ - {\text{4}}}}},\quad a_{{2,1}}^{{}} = {\text{8}}{\text{.2229}} \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{\text{5}}}}{\text{,}}$
$a_{{2,2}}^{0} = {\text{0}},\quad a_{{2,2}}^{1} = {\text{ 6}}{\text{.6580}} \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{ - {\text{10}}}}},\quad a_{{2,2}}^{{}} = {\text{ 6}}{\text{.6580}} \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{ - 10}}}{\text{.}}$
КГС в каждом из интервалов (l0, l1) и (l1, l2) имеет вид

${{\lambda }_{{2,1}}} = \frac{{{{D}_{2}}}}{{{{\omega }_{2}}}}\left( {2{{a}_{{2,1}}} + \frac{g}{{{{\omega }_{2}}}}} \right) = 0.2646,\quad {{\lambda }_{{2,2}}} = \frac{{{{D}_{2}}}}{{{{\omega }_{2}}}}\left( {2{{a}_{{2,2}}} + \frac{g}{{{{\omega }_{2}}}}} \right) = {\text{3}}{\text{.4752}} \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{ - {\text{12}}}}}.$

Заключение. Таким образом, для глубокой скважины вводится малый параметр, являющийся обратным значением высоты, представляется асимптотический метод определения КГС в первом приближении. Для определения однозначности КГС вводится параметр регуляризации Тихонова, при котором результаты на примере близки к точному решению.

Список литературы

  1. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979.

  2. Эйксхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1979.

  3. Aliev F.A., Ismailov N.A., Mukhtarova N.A. Algorithm to Determine the Optimal Solution of a Boundary Control Problem // Automation and Remote Control. 2015. V. 76. № 4. P. 627–633.

  4. Aliev F.A., Ismailov N.A. İnverse Problem to Determine the Hydraulic Resistance Coefficient in the Gaslift Process // Appl. Comput. Math. 2013. V. 12. № 3. P. 306–313.

  5. Aliev F.A., Mutallimov M.M., Askerov I.M., Raguimov I.S. Asymptotic Method of Solution of Optimal Gas-Lift Process Modes // Mathematical Problemsi n Engineering. 2010. V. 2010. 10 p. ID 191053.

  6. Aliev F.A., Ismailov N.A., Namazov A.A. Asymptotic Method for Finding the Coefficient of Hydraulic Resistance in Lifting of Fluid on Tubing // J. Inverse and İLL-Posed Problems. 2015. V. 5. P. 511–518.

  7. Исмайлов Н.А., Мухтарова Н.С. Метод решения дискретной задачи оптимизации с граничным управлением // Proc. of the Institute of Applied Mathematics. 2013. V. 2. № 1. P. 20–27.

  8. Алиев Ф.А., Исмаилов Н.А., Мамедова Е.В., Мухтарова Н.С. Вычислительный алгоритм решения задачи оптимального граничного управления с неразделенными краевыми условиями // Изв. РАН. ТиСУ. 2016. № 5. С. 22–33.

  9. Sevdimaliyev Y.M., Akbarov S.D., Guliyev H.H., Yahnioglu N. On the Natural Oscillation of an Inhomogeneously Pre-Stressed Multilayered Hollow Sphere Filled With a Compressible Fluid // Applied and Computational Mathematics. 2020. V. 19. № 1. P. 132–146.

  10. Gao X.-Y., Guo Y.-J., Shan W.-R. Similarity Reductions for a (3 + 1)-Dimensional Generalized Kadomtsev-Petviashvili Equation in Nonlinear Optics, Fluid Mechanics and Plasma Physics // Applied and Computational Mathematics. 2021. V. 20. № 3. P. 421–429.

  11. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. М.: Недра, 1982. 224 с.

  12. Aliev F.A., Ismailov N.A., Haciyev H., Guliev M.F. A Method of Determine the Coefficient of Hydraulic Resistance in Different Areas of PumpCompressor Pipes // TWMS J. Pure and Appl. Math. 2016. V. 7. № 2. P. 211–217.

  13. Исмаилов Н.А. Метод определения коэффициента гидравлического сопротивления на разных участках насосно-компрессорных труб // Proc. of the Institute of Applied Mathematics. 2016. V. 5. № 1. P. 133–141.

  14. Алиев Ф.А., Исмаилов Н.А. Об одной задаче идентификации в линейном стационарном случае // Докл. НАН Азербайджана. 2010. Т. 46. № 6. С. 6–14.

  15. Алиев Ф.А., Исмаилов Н.А. Об одном методе линеаризации для нелинейных систем // Мехатроника автоматизазия, управление. 2012. Т. 135. № 6. С. 2–6.

  16. Rasheed Al-Salih, Martin Bohner. Quadratic Programming Problems on Time Scales // Applied and Computational Mathematics. 2020. V. 19. № 2. P. 205–219.

  17. Aliev Fikret A., Aliev N.A., Mutallimov M.M., Namazov A.A. Algorithm for Solving the Identification Problem for Determining the Fractional-Order Derivative of an Oscillatory System // Applied and Computational Mathematics. 2020. V. 19. № 3. P. 415–422.

  18. Davis J.C., Sampson R.J. Statistics and Data Analysis in Geology. N.Y., 2002. 656 p.

  19. Safarova N.A., Mukhtarova N.S., Ismailov N.A. Algorithm Defining the Hydraulic Resistance Coefficient by Lines Method in Gas-Lift Process // Miskolc Mathematical Notes. 2017. V. 18. № 2. P. 771–777.

  20. Nachaoui M., Chakib A., Nachaoui A. An Efficient Evolutionary Algorithm for a Shape Optimization Problem Volume // Applied and Computational Mathematics. 2020. V. 19. № 2. P. 220–244.

  21. Qalandarov A.A., Khaldjigitov A.A. Mathematical and Numerical Modeling of the Coupled Dynamic Thermoelastic Problems for Isotropic Bodies // TWMS J. Pure Appl. Math. 2020. V. 11. № 1. P. 119–126.

  22. Алиев Ф.А., Исмаилов Н.А., Намазов А.А., Раджабов М.Ф. Aсимптотический метод решения задачи идентификации для нелинейных динамических систем // Proc. of the Institute of Applied Mathematics. 2016. V. 5. № 1. P. 84–97.

  23. Гаджиева Н.С., Намазов А.А., Аскеров И.М., Магаррамов И.А. Алгоритм решения задачи идентификации для определения параметров дискретных динамических систем // Proc. of the Institute of Applied Mathematics. 2016. V. 5. № 2. P. 235–244.

  24. Hajiyeva N.S. An Asymptotical Method for Determining the Coefficient of Hydraulic Resistance in Gas-Lift Process by the Lines Method // Proc. of the Institute of Applied Mathematics. 2019. V. 8. № 2. P. 187–195.

  25. Iskenderov N.Sh., Allahverdiyeva S.I. An Inverse Boundary Value Problem for the Boussinesq-Love Equation with Nonlocal Integral Condition // TWMS J. Pure Appl. Math. 2020. V. 11. № 2. P. 226–237.

  26. Алиев Ф.А., Ильясов М.Х., Джамалбеков М.А. Моделирование работы газлифтной скважины // Докл. НАНА. 2008. № 4. С. 107–116.

  27. Алиев Ф.А., Ильясов М.Х., Нуриев Н.Б. Задачи моделирования и оптимальной стабилизации газлифтного процесса // Прикл. механика. 2010. Т. 46. № 6. С. 113–122.

  28. Mitropolskiy Y.A., Samoylenko V.Hr., Matarazzo G. On Asymptotic Solutions to Delay Differential Equation with Slowly Varying Coefficients // Nonlinear Analysis: Theory, Methods Applications. 2003. V. 52. № 3. P. 971–988.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Теория и системы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал