Известия РАН. Теория и системы управления, 2023, № 1, стр. 82-105
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ОРГАНИЗАЦИИ И ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ОЛИГОПОЛИИ КУРНО
А. В. Королёв a, *, М. А. Котова a, **, Г. А. Угольницкий b, ***
a Филиал НИУ Высшая школа экономики
Санкт-Петербург, Россия
b Южный федеральный ун-т
Ростов-на-Дону, Россия
* E-mail: danitschi@gmail.com
** E-mail: makotova_2@edu.hse.ru
*** E-mail: ougoln@mail.ru
Поступила в редакцию 26.07.2022
После доработки 23.09.2022
Принята к публикации 26.09.2022
- EDN: HENZDJ
- DOI: 10.31857/S0002338823010043
Аннотация
Аналитически найдены равновесия Нэша и Штакельберга, а также кооперативные решения для динамических теоретико-игровых моделей олигополии Курно в нормальной форме с неоднородными агентами. Построены и исследованы кооперативные теоретико-игровые модели олигополии Курно трех лиц в форме характеристической функции фон Неймана–Моргенштерна и Громовой–Петросяна, включая вычисление вектора Шепли. Проведен сравнительный анализ выигрышей агентов, согласно полученным решениям, для игр в нормальной форме и в форме характеристической функции.
Введение. Проблема (не)эффективности равновесий хорошо известна в теоретико-игровом моделировании конфликтно-управляемых социально-экономических систем [1–5]. Ее смысл состоит в том, что суммарный выигрыш всех игроков (утилитаристское общественное благосостояние) при независимом поведении или даже иерархической организации оказывается меньше, чем при кооперации. Наиболее популярная количественная мера (не)эффективности – цена анархии, которая определяется как отношение суммарного выигрыша всех игроков в наихудшем из равновесий Нэша к максимальному суммарному выигрышу, который достигается при полной кооперации игроков [6].
Однако представляется целесообразным рассматривать проблему (не)эффективности равновесий в более общем виде. Чрезвычайно важно проводить сравнение не только общественного благосостояния, но и индивидуальных выигрышей. Действительно, совсем не очевидно, что лучший с точки зрения всего общества исход игры окажется таким же для каждого игрока в отдельности. Например, выигрыш ведущего в иерархической игре или даже какого-то игрока в равновесии Нэша может оказаться больше выигрыша, который получается при равном распределении суммарного кооперативного выигрыша или при некотором принципе оптимальности для игры в форме характеристической функции. Тогда такой игрок не согласится участвовать в кооперации и предпочтет сохранять независимость или бороться за лидерство. Авторская методология сравнительного анализа в указанном выше смысле описана в статье [7].
Удобной моделью для проведения сравнительного анализа служит олигополия Курно, описывающая конкуренцию фирм по выпускам на рынке однородного продукта [8–10]. Для построения динамических моделей конфликтно-управляемых систем (в частности, олигополии Курно) используются дифференциальные или разностные игры в нормальной форме, содержащие явное описание изменения переменной состояния. В качестве решения при независимом поведении равноправных игроков принимается равновесие Нэша, а при иерархическом управлении без обратной связи – равновесие Штакельберга [11, 12]. При кооперации дифференциальная игра сводится к задаче оптимального управления, которая решается обычным образом [13].
Другой способ описания кооперации – игры в форме характеристической функции. В этом случае главную роль играют не отдельные игроки, а их подмножества (коалиции). Каждая коалиция характеризуется своим значением характеристической функции, отображающей множество всех коалиций в множество действительных чисел. Главная проблема этого класса игр – распределение выигрыша максимальной коалиции (множества всех игроков) между отдельными игроками. Имеются различные принципы оптимальности (решения) игр в форме характеристической функции: ядро, решение по Нейману–Моргенштерну, вектор Шепли, нуклеолус и др. [14–16].
В течение долгого времени для построения кооперативных игр использовалась только характеристическая функция фон Неймана–Моргенштерна [17]. В этом случае характеристика любой коалиции равна ее значению в антагонистической игре против дополнительной коалиции (антикоалиции). Однако это определение не лишено недостатков. Во-первых, данную функцию часто сложно вычислять. Во-вторых, совсем не очевидно, что в экономических и иных приложениях антикоалиция должна играть строго против некоторой коалиции. Поэтому были предложены другие характеристические функции, например функция Петросяна–Заккура или Громовой–Петросяна [18, 19]. Обсуждение можно найти в [20].
Численное решение динамических игр на основе имитационного моделирования описано в работах [21–23]. В настоящей статье применяется другой подход, апробированный, например, в [24], а именно ищется явное решение игры с помощью уравнений Гамильтона–Якоби–Беллмана. Полученные аналитические решения весьма громоздки, поэтому для сравнения выигрышей все же используется численное моделирование для конкретных значений параметров.
Вклад настоящей статьи заключается в следующем:
построены динамические модели олигополии Курно в нормальной форме и в форме характеристической функции фон Неймана–Моргенштерна и Громовой–Петросяна;
найдены аналитические решения указанных игр при различных способах организации и методах управления: равновесия Нэша и Штакельберга, кооперативное решение, вектор Шепли;
проведено численное сравнение коллективных и индивидуальных выигрышей для конкретных значений модельных параметров.
Полученные результаты можно использовать в практике управления экономическими и организационными системами.
1. Постановка задачи. Независимое поведение игроков. В работе рассматривается динамическое обобщение модели Курно с линейным уравнением динамики:
(1.1)
${{J}_{i}} = \int\limits_0^T {{{e}^{{ - \rho t}}}\left[ {\left( {a - {{c}_{i}} - \bar {x}(t)} \right){{x}_{i}}(t) - y\left( t \right)} \right]\,dt \to \max } ,\quad \bar {x}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{x}_{i}}} \left( t \right),$Здесь ${{x}_{i}}\left( t \right)$ – управляющие переменные игроков (объем выпуска товаров у i-й фирмы); y(t) – переменная состояния (количество загрязняющих веществ (ЗВ) в окружающей среде); k – коэффициент выброса ЗВ в производстве i-й фирмы; a – максимальный объем суммарного выпуска продукции; ${{c}_{i}}$ – коэффициент затрат i-й фирмы; m – коэффициент амортизации; n – количество фирм; $\rho $ – коэффициент дисконтирования; T – длина игры. Таким образом, взаимодействие игроков (конкурирующих фирм) описывается через их управления. Предполагается также, что игроки имеют полную информацию о действиях конкурента. В модели Курно продукт предполагается однородным и является нумерером, т.е. в его (безразмерных) единицах выражаются все стоимостные величины. Таким образом, переменные a, ${{x}_{i}}$, ${{c}_{i}}$ имеют размерность (руб/с)1/2, [y] = руб/с, [k] = руб1/2/с3/2, [m] = c–1, [ρ] = c–1. При независимом поведении игроков каждая фирма решает оптимизационную задачу (1.1)–(1.5). Заметим, что возможны и другие варианты построения модели (1.1)–(1.5). Например, объемы выпуска могут рассматриваться как переменные состояния, а управляющими переменными тогда становятся темпы выпуска (переменные издержки). Однако в статье исследуется влияние выпуска продукции на окружающую среду.
Лемма 1. Решение уравнения
с граничным условием $\alpha \left( T \right) = 0$ имеет вид(1.7)
$\alpha \left( t \right) = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{\left( {\rho + m} \right)\left( {t - T} \right)}}} - 1).$Решение уравнения
с граничным условием $\beta \left( T \right) = 0$, где(1.9)
$\begin{gathered} \beta \left( t \right) = - \frac{{A{{k}^{2}}}}{{{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{\rho \left( {t - T} \right)}}} - {{e}^{{2\left( {\rho + m} \right)\left( {t - T} \right)}}}) + \left( {\frac{{2A{{k}^{2}}}}{{{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}} - \frac{{Bk}}{{\left( {\rho + m} \right)m}}} \right)({{e}^{{\rho \left( {t - T} \right)}}} - {{e}^{{\left( {\rho + m} \right)\left( {t - T} \right)}}}) - \\ \, - \left( {\frac{D}{\rho } - \frac{{Bk}}{{\left( {\rho + m} \right)\rho }} + \frac{{A{{k}^{2}}}}{{{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{\rho \left( {t - T} \right)}}}). \\ \end{gathered} $Доказательство леммы 1 приведено в Приложении.
Предложение 1. При выполнении условия
(1.10)
$\bar {c} - \left( {n + 1} \right){{c}_{i}} \leqslant \frac{a}{n},\quad i = \overline {1,n} ,\quad \bar {с} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{c}_{i}}} ,$(1.11)
$\begin{gathered} J_{i}^{{\max }} = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{n}^{2}}{{k}^{2}}}}{{{{{\left( {n + 1} \right)}}^{2}}{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{[({{n}^{2}} + 1)a - 2n\bar {c} + ({{n}^{2}} - 1){{c}_{i}}]k}}{{{{{\left( {n + 1} \right)}}^{2}}\left( {\rho + m} \right)m}} - \frac{{2{{n}^{2}}{{k}^{2}}}}{{{{{\left( {n + 1} \right)}}^{2}}{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}}} \right)({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{{{n}^{2}}{{k}^{2}}}}{{{{{\left( {n + 1} \right)}}^{2}}{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }} - \frac{{[({{n}^{2}} + 1)a - 2n\bar {c} + ({{n}^{2}} - 1){{c}_{i}}]k}}{{{{{\left( {n + 1} \right)}}^{2}}\left( {\rho + m} \right)\rho }} + \frac{{{{{\left[ {a + \bar {c} - \left( {n + 1} \right){{c}_{i}}} \right]}}^{2}}}}{{{{{\left( {n + 1} \right)}}^{2}}\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}). \\ \end{gathered} $Заметим, что если n = 3, то для выполнения условия (1.10) достаточно, чтобы ${{c}_{2}}{\text{/}}{{c}_{1}} \leqslant 3$, потому что тогда ${{c}_{2}} - 3{{c}_{1}} \leqslant 0$, а значит, ${{c}_{1}} + {{c}_{2}} + {{c}_{3}} - 4{{c}_{1}} \leqslant a{\text{/}}3$, так как ${{с}_{1}} < {{c}_{2}} < {{c}_{3}} < a{\text{/}}3$, и условие $\bar {c} - 4{{c}_{i}} = {{с}_{1}} + {{c}_{2}} + {{c}_{3}} - 4{{c}_{i}} \leqslant a{\text{/}}3$, т.е. (1.10) при n = 3, верно для c1 и тем более верно для c2 и c3.
Доказательство предложения 1 приведено в Приложении.
2. Кооперативное поведение игроков. 2.1. Общий случай произвольного числа игроков. Все фирмы вместе решают задачу оптимального управления
(2.1)
${{J}_{c}} = \int\limits_0^T {{{e}^{{ - \rho t}}}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a - {{c}_{i}} - \bar {x}(t)} \right){{x}_{i}}(t)} - y\left( t \right)} \right]\,dt \to \max } $Лемма 2. В задаче (2.1), (1.2)–(1.5) максимум при любом t может достигаться только на одном из ребер n-мерного куба (1.2). При этом номер ребра, на котором достигается максимум, – это такое натуральное число $l = l\left( {n,t} \right)$, для которого
где $\alpha \left( t \right)$ определено (1.7).Доказательство леммы 2 приведено в Приложении.
Замечание. Поскольку величина $\alpha $ является функцией времени и за период $\left[ {0,T} \right]$ растет от величины
до 0, то число l, определяемое условием (2.2)–(2.3), в некоторые моменты времени может увеличиваться на единицу.Предложение 2. Если величина l не меняется на всем промежутке [0, T], то суммарный выигрыш коалиции в (2.1), (1.2)–(1.5) равен
(2.4)
$\begin{gathered} J_{с}^{{\max }} = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{\left( {a - {{c}_{l}}} \right)k}}{{2\left( {\rho + m} \right)m}} - \frac{{{{k}^{2}}}}{{2{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}}} \right)({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{{{{\left( {a - {{c}_{l}}} \right)}}^{2}}}}{{4\rho }} - \frac{{a\left[ {\sum\limits_{i = 1}^{l - 1} {{{c}_{i}} - \left( {l - 1} \right){{c}_{l}}} } \right]}}{{n\rho }} - \frac{{\left( {a - {{c}_{l}}} \right)k}}{{2\left( {\rho + m} \right)\rho }} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}). \\ \end{gathered} $Доказательство предложения 2 приведено в Приложении.
2.2. Кооперативное поведение игроков в случае n = 3. Предложение 3. В задаче (2.1), (1.2)–(1.5) при n = 3 при любом $t \in \left[ {0,T} \right]$ верно, что $l\left( {3,\,t} \right) = 2$, т.е. максимум достигается на втором ребре.
Доказательство предложения 3 приведено в Приложении.
Следствие 1. При n = 3 общий выигрыш коалиции равен
(2.5)
$\begin{gathered} J_{с}^{{\max }} = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{k\left( {a - {{c}_{2}}} \right)}}{{2\left( {\rho + m} \right)m}} - \frac{{{{k}^{2}}}}{{2{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}}} \right)({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{3{{a}^{2}} - 2a{{c}_{2}} - 4a{{c}_{1}} + 3c_{2}^{2}}}{{12\rho }} + \frac{{k\left( {a - {{c}_{2}}} \right)}}{{2\left( {\rho + m} \right)\rho }} - \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}). \\ \end{gathered} $3. Иерархическая модель поведения игроков. Пусть первый игрок – ведущий, а все остальные игроки $i = \overline {2,n} $ – ведомые, которым известна стратегия ${{x}_{1}}\left( t \right)$, $t \in \left[ {0,T} \right]$ первого игрока. Каждая фирма-ведомый решает оптимизационную задачу (1.1)–(1.5) при заданной стратегии первого игрока. Обозначим
Зная зависимость $\tilde {x}$ от ${{x}_{1}}$, первый игрок (ведущий) решает свою оптимизационную задачу:
(3.1)
${{J}_{1}} = \int\limits_0^T {{{e}^{{ - \rho t}}}\left[ {\left( {a - {{c}_{1}} - {{x}_{1}}\left( t \right) + \tilde {x}(t)} \right){{x}_{1}}(t) - y\left( t \right)} \right]\,dt \to \max } $Предложение 4. Выигрыши игроков в иерархической игре (3.1), (1.1)–(1.5) равны
(3.2)
$\begin{gathered} J_{1}^{{\max }} = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{k}^{2}}\left( {n - 1} \right)}}{{n{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) + \frac{{{{k}^{2}}\left( {n - 1} \right)}}{{n{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}} \times \\ \, \times ({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) + \left( {\frac{{({{n}^{2}} - 2n + 2)k}}{{{{n}^{2}}\left( {\rho + m} \right)m}}a - \frac{{\tilde {c}k}}{{n\left( {\rho + m} \right)m}} - \frac{{2{{k}^{2}}\left( {n - 1} \right)}}{{n{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}}} \right) \cdot ({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left[ {\frac{k}{{\left( {\rho + m} \right)\rho }}\left( {\frac{{\tilde {c}}}{n} - \frac{{{{n}^{2}} - 2n + 2}}{{{{n}^{2}}}}a} \right) + \left( {\frac{{n - 1}}{{{{n}^{2}}}}a - \frac{{n{{c}_{1}} - \tilde {c}}}{n}} \right)\frac{a}{{n\rho }} - \frac{{\left( {n - 1} \right){{k}^{2}}}}{{n{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }}} \right](1 - {{e}^{{ - \rho T}}}), \\ \end{gathered} $(3.3)
$\begin{gathered} J_{i}^{{\max }} = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{{\left( {n - 1} \right)}}^{2}}{{k}^{2}}}}{{{{n}^{2}}{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) - \left\{ {\frac{{2{{{\left( {n - 1} \right)}}^{2}}{{k}^{2}}}}{{{{n}^{2}}{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}} + \frac{k}{{\left( {\rho + m} \right)m}}} \right. \times \\ \, - \left. {\left[ {\frac{{\tilde {c}}}{n} - \frac{{{{n}^{2}} - n + 1}}{{{{n}^{2}}}}a + \frac{{n - 2}}{n}\left( {\frac{{\tilde {c} - n{{c}_{i}}}}{n} + \frac{{n - 1}}{{{{n}^{2}}}}a} \right)} \right]} \right\}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \left\{ {\frac{1}{\rho }{{{\left( {\frac{{\tilde {c} - n{{c}_{i}}}}{n} + \frac{{n - 1}}{{{{n}^{2}}}}a} \right)}}^{2}} + } \right. \\ \, + \frac{k}{{\left( {\rho + m} \right)\rho }}\left[ {\frac{{\tilde {c}}}{n} - \frac{{{{n}^{2}} - n + 1}}{{{{n}^{2}}}}a + \frac{{n - 2}}{n}\left( {\frac{{\tilde {c} - n{{c}_{i}}}}{n} + \frac{{n - 1}}{{{{n}^{2}}}}a} \right)} \right] + \left. {\frac{{{{{\left( {n - 1} \right)}}^{2}}{{k}^{2}}}}{{{{n}^{2}}{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }}} \right\}(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}),\quad i = \overline {2,n} . \\ \end{gathered} $Доказательство предложения 4 приведено в Приложении.
Следствие 2. В случае n = 3 получаем
(3.4)
$\begin{gathered} J_{1}^{{\max }} = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{2{{k}^{2}}}}{{3{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{5k}}{{9\left( {\rho + m} \right)m}}a - \frac{{\tilde {c}k}}{{3\left( {\rho + m} \right)m}} - \frac{{4{{k}^{2}}}}{{3{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}}} \right)({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left[ {\frac{k}{{\left( {\rho + m} \right)\rho }}\left( {\frac{{\tilde {c}}}{3} - \frac{5}{9}a} \right) + \left( {\frac{2}{9}a - \frac{{3{{c}_{1}} - \tilde {c}}}{3}} \right)\frac{a}{{3\rho }} - \frac{{2{{k}^{2}}}}{{3{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }}} \right](1 - {{e}^{{ - \rho T}}}), \\ \end{gathered} $(3.5)
$\begin{gathered} J_{i}^{{\max }} = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{4{{k}^{2}}}}{{9{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) - \\ \, - \left\{ {\frac{{8{{k}^{2}}}}{{9{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}} + \frac{k}{{\left( {\rho + m} \right)m}}\left[ {\frac{{\tilde {c}}}{3} - \frac{7}{9}a + \frac{1}{3}\left( {\frac{{\tilde {c} - 3{{c}_{i}}}}{3} + \frac{2}{9}a} \right)} \right]} \right\}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left[ {\frac{{{{{\left( {3\tilde {c} - 9{{c}_{i}} + 2a} \right)}}^{2}}}}{{81\rho }} + \frac{{\left( {12\tilde {c} - 19a - 9{{c}_{i}}} \right)k}}{{27\left( {\rho + m} \right)\rho }} + \frac{{4{{k}^{2}}}}{{9{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }}} \right](1 - {{e}^{{ - \rho T}}}),\quad i = 2,3. \\ \end{gathered} $4. Кооперативная игра в форме характеристической функции фон Неймана–Моргенштерна для случая n = 3. Напомним, что кооперативной игрой в форме характеристической функции называется пара $\left\langle {N,V} \right\rangle $, где $N = \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}$ – множество игроков, а $V\left( S \right)$, $S \subseteq N$ – характеристическая функция. Характеристической функцией называется отображение $V:{{2}^{N}} \to R$, $V\left( \emptyset \right) = 0$, ставящее в соответствие каждой коалиции S величину выигрыша, который игроки данной коалиции могут себе обеспечить. Вопрос построения характеристических функций является одним из основных в теории кооперативных игр. Характеристическая функция фон Неймана–Моргенштерна [17] вычисляется на базе вспомогательной антагонистической игры ${{\Gamma }_{{S,N\backslash S}}}$ между коалицией S и антикоалицией $N{{\backslash }}S$. Характеристическая функция Петросяна–Заккура [18] строится в два этапа. Сначала находят равновесные по Нэшу стратегии $\left\{ {u_{i}^{{NE}}} \right\}$ всех игроков $i \in N$, а затем “замораживают” равновесные по Нэшу стратегии $u_{j}^{{NE}}$ игроков $j \in N{{\backslash }}S$, а для игроков коалиции S находят максимум их суммарного выигрыша
Характеристическая функция Громовой–Петросяна [19] строится также в два этапа. На первом этапе находят набор оптимальных стратегий всех n игроков, максимизирующий выигрыш большой коалиции. На втором этапе игроки, входящие в коалицию K, применяют полученные на первом этапе оптимальные стратегии, в то время как игроки из множества $N{{\backslash }}K$ минимизируют выигрыш коалиции K.
Пусть коалиция состоит из одного i-го игрока: $K = \left\{ i \right\}$, антикоалиция тогда состоит из двух остальных игроков $N{{\backslash }}K = \left\{ {j,k} \right\}$, причем ${{с}_{j}} < {{c}_{k}}$.
Предложение 5. Характеристическая функция Неймана–Моргенштерна для коалиции, состоящей из одного игрока, имеет следующий вид:
(4.1)
$\begin{gathered} {{v}^{{NM}}}\left( i \right) = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) - \\ \, - \left( {\frac{{{{k}^{2}}}}{{2{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}} - \frac{{\left( {5a - 3{{c}_{i}}} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)m}}} \right)({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }} - \frac{{\left( {5a - 3{{c}_{i}}} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)\rho }} + \frac{{{{{\left( {a - 3{{c}_{i}}} \right)}}^{2}}}}{{36\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}),\quad i = 1,2,3. \\ \end{gathered} $Доказательство предложения 5 приведено в Приложении.
Пусть теперь коалиция состоит из двух игроков: $K = \left\{ {i,j} \right\}$, причем ${{с}_{i}} < {{c}_{j}}$, антикоалиция тогда состоит из одного игрока $N{{\backslash }}K = \left\{ k \right\}$.
Предложение 6. Характеристическая функция Неймана–Моргенштерна для коалиции, состоящей из двух игроков: $K = \left\{ {i,j} \right\}$, причем ${{с}_{i}} < {{c}_{j}}$, имеет вид:
(4.2)
$\begin{gathered} {{v}^{{NM}}}\left( {i,j} \right) = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) - \\ \, - \left( {\frac{{\left( {3{{c}_{i}} - 5a} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)m}} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{2{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}}} \right)({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }} + \frac{{\left( {3{{c}_{i}} - 5a} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)\rho }} - \frac{{\left( {2a - 3{{c}_{i}}} \right)\left( {3{{c}_{i}} - 4a} \right)}}{{36\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}). \\ \end{gathered} $Доказательство предложения 6 приведено в Приложении.
5. Кооперативная игра в форме характеристической функции Громовой–Петросяна для случая n = 3. При вычислении характеристической функции Громовой–Петросяна все игроки из антикоалиции делают максимально возможные инвестиции
в то время как все игроки из K ведут себя как в максимальной коалиции, т.е. $\left( {{{x}_{1}} = \frac{a}{3},\;{{x}_{2}} = \frac{{3\alpha k + a - 3{{c}_{2}}}}{6},\;{{x}_{3}} = 0} \right)$.Таким образом, в данном случае формулы для выигрышей разных коалиций с одним и тем же числом игроков будут различаться не только индексами этих игроков.
Предложение 7. Характеристическая функция Громовой–Петросяна имеет вид:
(5.1)
$\begin{gathered} {{v}^{{PG}}}\left( {1,2} \right) = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) - \\ \, - \left( {\frac{{2{{k}^{2}}}}{{{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}} + \frac{{\left( {3{{c}_{2}} - 4a} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)m}}} \right)({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{3{{a}^{2}} - 12a{{c}_{1}} + 9c_{2}^{2}}}{{36\rho }} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }} + \frac{{\left( {3{{c}_{2}} - 4a} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}), \\ \end{gathered} $(5.2)
$\begin{gathered} {{v}^{{PG}}}\left( {2,3} \right) = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) - \\ \, - \left( {\frac{{{{k}^{2}}}}{{2{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}} + \frac{{\left( {3{{c}_{2}} - 4a} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)m}}} \right)({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }} + \frac{{\left( {3{{c}_{2}} - 4a} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)\rho }} + \frac{{{{a}^{2}} - 4a{{c}_{2}} + 3c_{2}^{2}}}{{12\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}), \\ \end{gathered} $(5.3)
$\begin{gathered} {{v}^{{PG}}}\left( {1,3} \right) = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{2ak}}{{3\left( {\rho + m} \right)m}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{\left( {a - 3{{c}_{1}}} \right)a}}{{9\rho }} - \frac{{2ak}}{{3\left( {\rho + m} \right)\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}), \\ \end{gathered} $(5.4)
$\begin{gathered} {{v}^{{PG}}}\left( 1 \right) = {{V}_{K}}\left( {0,y\left( 0 \right)} \right) = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \\ \, = \frac{{ak}}{{\left( {\rho + m} \right)m}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) - \left( {\frac{{ak}}{{\left( {\rho + m} \right)\rho }} + \frac{{a{{c}_{1}}}}{{3\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}), \\ \end{gathered} $(5.5)
$\begin{gathered} {{{v}}^{{PG}}}\left( 2 \right) = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\left( {\rho + 2m} \right)}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - 2\left( {\rho + m} \right)T}}}) - \\ \, - \left( {\frac{{{{k}^{2}}}}{{2{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}m}} + \frac{{\left( {3{{c}_{2}} - 5a} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)m}}} \right)({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) + \\ \, + \left( {\frac{{{{k}^{2}}}}{{4{{{\left( {\rho + m} \right)}}^{2}}\rho }} + \frac{{\left( {3{{c}_{2}} - 5a} \right)k}}{{6\left( {\rho + m} \right)\rho }} + \frac{{{{{\left( {a - 3{{c}_{2}}} \right)}}^{2}}}}{{36\rho }}} \right)(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}), \\ \end{gathered} $(5.6)
${{{v}}^{{PG}}}\left( 3 \right) = \frac{1}{{\rho + m}}({{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}} - 1){{y}_{0}} + \frac{{2ak}}{{3\left( {\rho + m} \right)m}}({{e}^{{ - \rho T}}} - {{e}^{{ - \left( {\rho + m} \right)T}}}) - \frac{{2ak}}{{3\left( {\rho + m} \right)\rho }}(1 - {{e}^{{ - \rho T}}}).$Доказательство предложения 7 приведено в Приложении.
6. Сравнительный анализ. Главная задача состоит в сравнении выигрышей, полученных игроками в кооперативных играх с различными принципами оптимальности и в играх в нормальной форме. Для случая n = 3 зададимся значениями параметров так, чтобы выполнялись соотношения (1.4), (1.5), (1.10).
Из (1.11) следует, что выигрыши игроков в равновесии Нэша равны
Из (2.5) вытекает, что выигрыш каждого игрока при кооперации равен
Выигрыши игроков в иерархической игре определяются выражениями (3.4)–(3.5). Выигрыши коалиций в кооперативной игре в форме характеристической функции фон Неймана–Моргенштерна определяются выражениями (4.1)–(4.2). Выигрыш большой коалиции в любой кооперативной игре в форме любой характеристической функции задается выражением (2.5). Выигрыши остальных коалиций кооперативной игре в форме характеристической функции Громовой–Петросяна определяются выражениями (5.1)–(5.6). Компоненты вектора Шепли вычисляются следующим образом:
Хотя решения игр получены аналитически, для сравнения выигрышей приходится использовать численные расчеты при конкретных значениях параметров. Задавая случайным образом параметры модели k, $\rho $, m, ${{c}_{1}}$, ${{c}_{2}}$, ${{c}_{3}}$, a от датчика случайных чисел с соблюдением условий (1.4), (1.5) и (1.10) и полагая ${{y}_{0}} = 0$ и $T \to \infty $, получаем результаты, приведенные в табл. 1–3.
Таблица 1.
Входные данные
| a | c1 | c2 | c3 | k | ρ | m | y0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3.102 | 0.090 | 0.243 | 0.931 | 0.022 | 0.081 | 0.535 | 0 |
| 6.914 | 0.521 | 1.275 | 1.757 | 0.286 | 0.256 | 0.719 | 0 |
| 8.954 | 0.862 | 1.665 | 2.524 | 0.345 | 0.998 | 0.760 | 0 |
| 3.088 | 0.105 | 0.186 | 0.419 | 0.614 | 0.314 | 0.812 | 0 |
| 7.117 | 0.372 | 1.087 | 2.040 | 0.039 | 0.934 | 0.303 | 0 |
| 5.006 | 0.195 | 0.583 | 1.194 | 0.053 | 0.082 | 0.269 | 0 |
| 4.362 | 0.168 | 0.398 | 0.958 | 0.395 | 0.863 | 0.597 | 0 |
| 8.074 | 0.738 | 1.160 | 1.748 | 0.652 | 0.573 | 0.141 | 0 |
| 6.215 | 0.109 | 0.267 | 1.197 | 0.748 | 0.281 | 0.908 | 0 |
| 9.036 | 0.795 | 1.303 | 1.971 | 0.988 | 0.956 | 0.000 | 0 |
| 3.383 | 0.070 | 0.134 | 0.825 | 0.392 | 0.737 | 0.907 | 0 |
| 4.805 | 0.822 | 1.401 | 1.428 | 0.178 | 0.865 | 0.729 | 0 |
| 8.228 | 0.465 | 1.202 | 1.976 | 0.142 | 0.011 | 0.258 | 0 |
| 10.669 | 0.956 | 1.912 | 2.714 | 0.646 | 0.062 | 0.851 | 0 |
| 6.620 | 0.731 | 1.236 | 1.565 | 0.462 | 0.152 | 0.854 | 0 |
| 5.282 | 0.063 | 0.084 | 0.693 | 0.570 | 0.611 | 0.145 | 0 |
| 2.693 | 0.216 | 0.268 | 0.555 | 0.173 | 0.817 | 0.154 | 0 |
| 3.215 | 0.219 | 0.243 | 0.781 | 0.460 | 0.813 | 0.797 | 0 |
| 7.460 | 0.809 | 0.962 | 1.667 | 0.944 | 0.798 | 0.808 | 0 |
| 8.437 | 0.941 | 1.121 | 1.919 | 0.828 | 0.818 | 0.164 | 0 |
| 10.790 | 0.633 | 1.521 | 2.494 | 0.821 | 0.965 | 0.077 | 0 |
| 5.824 | 0.097 | 0.280 | 1.269 | 0.444 | 0.900 | 0.318 | 0 |
| 6.604 | 0.568 | 0.985 | 1.445 | 0.871 | 0.897 | 0.332 | 0 |
| 1.603 | 0.052 | 0.128 | 0.219 | 0.166 | 0.727 | 0.830 | 0 |
| 4.627 | 0.814 | 1.031 | 1.113 | 0.263 | 0.527 | 0.782 | 0 |
| 6.846 | 0.690 | 1.062 | 1.739 | 0.438 | 0.747 | 0.144 | 0 |
| 3.918 | 0.071 | 0.122 | 1.119 | 0.081 | 0.886 | 0.785 | 0 |
| 4.224 | 0.105 | 0.154 | 1.107 | 0.109 | 0.766 | 0.017 | 0 |
| 5.977 | 0.544 | 1.523 | 1.616 | 0.200 | 0.074 | 0.499 | 0 |
| 2.280 | 0.266 | 0.558 | 0.598 | 0.169 | 0.408 | 0.713 | 0 |
| 9.636 | 0.836 | 1.592 | 2.115 | 0.238 | 0.136 | 0.118 | 0 |
| 4.188 | 0.420 | 0.913 | 1.039 | 0.200 | 0.823 | 0.109 | 0 |
| 8.560 | 0.439 | 0.919 | 1.526 | 0.812 | 0/307 | 0.319 | 0 |
| 8.591 | 0.422 | 1.135 | 1.863 | 0.492 | 0.056 | 0.527 | 0 |
| 2.162 | 0.060 | 0.176 | 0.224 | 0.463 | 0.893 | 0.793 | 0 |
| 5.227 | 0.347 | 0.916 | 1.569 | 0.049 | 0.170 | 0.860 | 0 |
| 7.052 | 0.163 | 0.427 | 1.426 | 0.570 | 0.724 | 0.009 | 0 |
| 6.972 | 0.533 | 0.654 | 1.626 | 0.070 | 0.040 | 0.077 | 0 |
| 5.358 | 0.868 | 0.948 | 1.321 | 0.367 | 0.704 | 0.723 | 0 |
| 2.698 | 0.057 | 0.141 | 0.593 | 0.154 | 0.674 | 0.293 | 0 |
Таблица 2.
Выигрыши игроков при разных информационных регламентах
| $u_{1}^{{NE}}$ | $u_{2}^{{NE}}$ | $u_{3}^{{NE}}$ | $u_{1}^{C}$ | $u_{2}^{C}$ | $u_{3}^{C}$ | $u_{1}^{{ST}}$ | $u_{2}^{{ST}}$ | $u_{3}^{{ST}}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11.704 | 8.166 | –0.536 | 9.260 | 9.260 | 9.260 | 12.025 | 7.870 | –0.597 |
| 13.617 | 3.060 | –1.363 | 13.660 | 13.660 | 13.660 | 14.765 | 1.947 | –2.122 |
| 6.189 | 2.509 | 0.001 | 5.474 | 5.474 | 5.474 | 6.820 | 2.003 | –0.278 |
| 5.466 | 2.505 | 0.264 | 3.885 | 3.885 | 3.885 | 5.623 | 2.395 | 0.221 |
| 24.929 | 11.675 | –1.700 | 23.960 | 23.960 | 23.960 | 26.583 | 10.072.3 | –2.519 |
| 6.286 | 2.603 | 0.604 | 4.578 | 4.578 | 4.578 | 6.736 | 2.298 | 0.448 |
| 1.314 | 0.645 | –0.472 | 1.847 | 1.847 | 1.847 | 1.436 | 0.436 | –0.587 |
| 2.749 | –0.504 | –4.001 | 9.329 | 9.329 | 9.329 | 2.935 | –2.481 | –5.480 |
| 5.320 | 3.160 | –5.906 | 12.961 | 12.961 | 12.961 | 5.405 | 1.231 | –6.976 |
| 2.188 | –0.458 | –3.109 | 7.048 | 7.048 | 7.048 | 2.274 | –1.897 | –4.181 |
| 0.921 | 0.737 | –0.544 | 1.394 | 1.394 | 1.394 | 0.977 | 0.580 | –0.604 |
| 1.675 | 0.295 | 0.249 | 1.546 | 1.546 | 1.546 | 1.970 | 0.102 | 0.063 |
| 400.798 | 89.795 | –127.95 | 501.024 | 501.024 | 501.024 | 428.809 | 41.364 | –158.52 |
| 101.907 | 15.973 | –33.622 | 136.496 | 136.496 | 136.496 | 113.962 | –1.291 | –45.508 |
| 12.643 | 1.562 | –3.860 | 20.931 | 20.931 | 20.931 | 15.067 | –1.964 | –6.642 |
| 0.322 | 0.209 | –2.445 | 4.699 | 4.699 | 4.699 | 0.022 | –0.807 | –3.141 |
| 0.346 | 0.252 | –0.145 | 0.703 | 0.703 | 0.703 | 0.430 | 0.112 | –0.232 |
| 0.462 | 0.406 | –0.486 | 1.082 | 1.082 | 1.082 | 0.528 | 0.193 | –0.589 |
| 2.059 | 1.296 | –1.451 | 5.326 | 5.326 | 5.326 | 2.680 | 0.048 | –2.277 |
| 1.827 | 0.823 | –2.683 | 6.848 | 6.848 | 6.848 | 2.325 | –0.911 | –3.858 |
| 6.810 | 1.323 | –2.810 | 9.732 | 9.732 | 9.732 | 7.336 | 0.212 | –3.539 |
| 2.321 | 1.600 | –1.002 | 3.339 | 3.339 | 3.339 | 2.495 | 1.248 | –1.162 |
| 1.463 | –0.213 | –1.610 | 3.968 | 3.968 | 3.968 | 1.565 | –0.966 | –2.176 |
| 0.156 | 0.065 | –0.024 | 0.303 | 0.303 | 0.303 | 0.184 | 0.020 | –0.059 |
| 1.433 | 0.587 | 0.317 | 2.478 | 2.478 | 2.478 | 1.962 | –0.013 | –0.230 |
| 2.805 | 0.977 | –1.388 | 4.719 | 4.719 | 4.719 | 3.288 | 0.155 | –1.903 |
| 1.618 | 1.476 | –0.095 | 1.414 | 1.414 | 1.414 | 1.690 | 1.402 | –0.108 |
| 1.798 | 1.633 | –0.362 | 1.952 | 1.952 | 1.952 | 1.937 | 1.460 | –0.410 |
| 36.059 | –3.076 | –5.441 | 34.715 | 34.715 | 34.715 | 37.672 | –5.191 | –7.380 |
| 0.719 | –0.071 | –0.146 | 0.889 | 0.889 | 0.889 | 0.804 | –0.174 | –0.240 |
| 24.931 | –3.549 | –18.310 | 54.192 | 54.192 | 54.192 | 27.329 | –12.681 | –25.558 |
| 1.336 | 0.104 | –0.116 | 1.503 | 1.503 | 1.503 | 1.496 | –0.054 | –0.251 |
| 3.242 | –4.583 | –12.334 | 22.221 | 22.221 | 22.221 | 0.903 | –9.148 | –15.904 |
| 61.325 | –0.665 | –45.214 | 112.471 | 112.471 | 112.471 | 61.821 | –14.865 | –55.139 |
| 0.073 | –0.085 | –0.140 | 0.494 | 0.494 | 0.494 | 0.063 | –0.179 | –0.228 |
| 15.700 | 6.353 | 0.337 | 11.252 | 11.252 | 11.252 | 16.244 | 5.975 | 0.179 |
| 2.570 | 0.994 | –3.245 | 6.455 | 6.455 | 6.455 | 2.457 | 0.038 | –3.795 |
| 43.067 | 31.010 | –39.109 | 99.606 | 99.606 | 99.606 | 50.591 | 11.179 | –49.955 |
| 1.338 | 1.048 | –0.068 | 2.630 | 2.630 | 2.630 | 1.861 | 0.333 | –0.573 |
| 0.671 | 0.469 | –0.263 | 0.943 | 0.943 | 0.943 | 0.728 | 0.367 | –0.309 |
Таблица 3.
Компоненты векторов Шепли для разных характеристических функций
| Φ1(νNM) | Φ2(νNM) | Φ3(νNM) | Φ1(νPG) | Φ2(νPG) | Φ3(νPG) |
|---|---|---|---|---|---|
| 10.412 | 8.645 | 8.724 | 15.538 | 14.879 | –2.636 |
| 15.225 | 10.193 | 15.562 | 24.561 | 23.763 | –7.345 |
| 6.326 | 4.512 | 5.584 | 9.565 | 9.041 | –2.183 |
| 4.913 | 3.387 | 3.355 | 7.199 | 6.410 | –1.952 |
| 26.560 | 19.912 | 25.408 | 41.054 | 40.380 | –9.554 |
| 5.823 | 3.938 | 3.972 | 8.110 | 7.605 | –1.983 |
| 1.753 | 1.440 | 2.348 | 3.199 | 3.028 | –0.687 |
| 7.109 | 5.813 | 15.065 | 13.620 | 17.045 | –2.679 |
| 10.372 | 9.434 | 19.076 | 21.307 | 21.652 | –4.076 |
| 5.409 | 4.361 | 11.373 | 10.898 | 12.690 | –2.445 |
| 1.222 | 1.139 | 1.821 | 2.353 | 2.217 | –0.387 |
| 1.847 | 1.184 | 1.608 | 2.543 | 2.736 | –0.640 |
| 503.016 | 361.525 | 638.532 | 819.673 | 899.294 | –215.894 |
| 133.962 | 95.899 | 179.626 | 227.768 | 241.171 | –59.451 |
| 19.508 | 14.579 | 28.707 | 33.221 | 36.747 | –7.175 |
| 3.111 | 3.065 | 7.921 | 6.910 | 8.267 | –1.079 |
| 0.599 | 0.555 | 0.955 | 1.027 | 1.158 | –0.076 |
| 0.845 | 0.821 | 1.580 | 1.715 | 1.727 | –0.198 |
| 4.273 | 3.937 | 7.768 | 8.124 | 8.605 | –0.747 |
| 5.070 | 4.658 | 10.815 | 9.511 | 1.812 | –0.779 |
| 9.326 | 6.873 | 12.997 | 16.802 | 16.915 | –4.522 |
| 3.068 | 2.729 | 4.219 | 5.544 | 5.447 | –0.975 |
| 1.173 | 2.495 | 6.235 | 6.530 | 6.990 | –1.616 |
| 0.275 | 0.230 | 0.402 | 0.527 | 0.493 | –0.112 |
| 2.333 | 1.928 | 3.174 | 3.283 | 4.117 | 0.035 |
| 4.219 | 3.421 | 6.517 | 7.147 | 8.148 | –1.137 |
| 1.472 | 1.401 | 1.369 | 2.55 | 2.204 | –0.217 |
| 1.893 | 1.812 | 2.151 | 2.994 | 3.121 | –0.259 |
| 39.652 | 22.330 | 42.163 | 65.241 | 66.598 | –27.694 |
| 0.920 | 0.577 | 1.168 | 1.576 | 1.642 | –0.551 |
| 46.268 | 12.358 | 81.904 | 79.092 | 102.300 | –18.817 |
| 1.629 | 1.057 | 1.824 | 2.646 | 2.695 | –0.831 |
| 15.272 | 12.358 | 39.032 | 33.308 | 42.105 | –8.750 |
| 99.209 | 73.081 | 165.124 | 183.262 | 205.724 | –51.573 |
| 0.368 | 0.299 | 0.816 | 0.917 | 0.828 | –0.262 |
| 14.195 | 9.496 | 10.066 | 20.841 | 18.828 | –5.913 |
| 5.118 | 4.458 | 9.787 | 10.059 | 11.329 | –2.025 |
| 79.686 | 74.476 | 144.657 | 127.292 | 176.091 | –4.565 |
| 2.274 | 2.138 | 3.477 | 3.349 | 4.185 | 0.354 |
| 0.874 | 0.778 | 1.177 | 1.523 | 1.552 | –0.246 |
Заключение. Как следует из примеров, выигрыш при кооперации всегда значительно (иногда в несколько раз) превосходит суммарный выигрыш при независимом поведении и при иерархии. Суммарный выигрыш при свободной конкуренции, как правило, превосходит суммарный выигрыш при иерархии, однако в некоторых примерах суммарный выигрыш при иерархии немного больше суммарного выигрыша при свободной конкуренции.
Выигрыш наиболее эффективной фирмы в условиях иерархии, когда она является ведущей, в большинстве случаев больше, чем ее выигрыш при независимом поведении фирм. Доля наиболее эффективной фирмы в случае кооперации при равномерном распределении выигрыша может оказаться и больше, и меньше, чем ее выигрыш при независимом поведении фирм и при иерархии, когда данная фирма ведущая. Что касается компоненты вектора Шепли для данной фирмы, здесь также возможны различные соотношения в кооперативной игре в форме характеристической функции фон Неймана–Моргенштерна. В то же время в кооперативной игре в форме характеристической функции Громовой–Петросяна компонента вектора Шепли для самой эффективной фирмы всегда больше, чем ее выигрыш при свободной конкуренции, в иерархической игре, где она ведущая, и при кооперации в случае равномерного распределения дохода между игроками.
Что касается менее эффективной фирмы, ее выигрыш при кооперации всегда больше ее выигрыша при независимом поведении, который в свою очередь больше ее выигрыша при иерархии, где она является ведомой. Компонента вектора Шепли для такой фирмы в игре в форме характеристической функции фон Неймана–Моргенштерна всегда меньше, чем выигрыш данной фирмы при кооперации. Компонента вектора Шепли в характеристической функции в форме Громовой–Петросяна всегда больше, чем выигрыши данной фирмы при кооперации или в равновесии Нэша или Штакельберга.
Что касается самой неэффективной фирмы, ее выигрыш при кооперации также всегда больше ее выигрыша при независимом поведении, который в свою очередь больше ее выигрыша при иерархии, в которой она является ведомой. Компонента вектора Шепли для такой фирмы в игре в форме характеристической функции фон Неймана–Моргенштерна также велика и в большинстве случаев даже больше, чем выигрыш данной фирмы при кооперации в случае равномерного распределения выигрышей. Компонента вектора Шепли в характеристической функции в форме Громовой–Петросяна для такой фирмы всегда мала, в некоторых случаях даже меньше, чем выигрыш при свободной конкуренции, а иногда даже меньше, чем выигрыш при иерархии.
Список литературы
Algorithmic Game Theory. Eds N. Nisan, T. Roughgarden, E. Tardos, V. Vazirany. Cambridge: Cambridge University Press, 2007.
Dubey P. Inefficiency of Nash equilibria // Math. Operations Research, 1986. V. 11(1). P. 1–8.
Johari R., Tsitsiklis J.N. Efficiency Loss in a Network Resource Allocation Game // Math. Oper. Res. 2004. V. 29(3). P. 407–435.
Moulin H., Shenker S. Strategy Proof Sharing of Submodular Costs: Budget Balance Versus Efficiency // Econ. Theory. 2001. V. 18(3). P. 511–533.
Roughgarden T. Selfish Routing and the Price of Anarchy. Cambridge: MIT Press, 2005.
Papadimitriou C.H. Algorithms, Games, and the Internet // Proc. 33rd Sympos. Theory of Computing. Cambridge: 2001. P. 749–753.
Угольницкий Г.А. Методика сравнительного анализа эффективности способов организации активных агентов и методов управления // Проблемы управления. 2022. Т. 3. С. 29–39.
Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985. 200 с.
Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press, 1995.
Vives X. Oligopoly Pricing: Old Ideas and New Tools. Cambridge: MIT Press, 1999.
Basar T., Olsder G.Y. Dynamic Non-Cooperative Game Theory. Philadelphia: SIAM, 1999. 506 p.
Dockner E., Jorgensen S., Long N.V., Sorger G. Differential Games in Economics and Management Science. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 382 p.
Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
Petrosjan L.A., Zenkevich N.A. Game Theory. Basel: World Scientific Publishing, 1996.
Petrosyan L.A., Yeung D.W.K. Shapley Value for Differential Network Games: Theory and Application // J. Dynamics and Games. 2021. V. 8(2). P. 151–166.
Shapley L. A Value for n-person Games // Contributions to the Theory of Games. Vol. II Eds H.W. Kuhn, A.W. Tucker. Princeton: 1953.
Neumann J. von, Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton: Princeton University Press, 1953.
Petrosjan L., Zaccour G. Time-consistent Shapley Value Allocation of Pollution Cost Reduction // J. Economic Dynamics and Control. 2003. V. 27(3). P. 381–398.
Gromova E.V., Petrosyan L.A. On an Approach to Constructing a Characteristic Function in Cooperative Differential Games // Automation and Remote Control. 2017. V. 78. P. 1680–1692.
Gromova E., Marova E., Gromov D. A Substitute for the Classical Neumann–Morgenstern Characteristic Function in Cooperative Differential Games // J. Dynamics and Games. 2020. V. 7(2). P. 105–122.
Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Исследование дифференциальных моделей иерархических систем управления путем их дискретизации // АиТ. 2013. № 2. С.109–122.
Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Динамические модели коррупции в иерархических системах управления при эксплуатации биоресурсов // Изв. РАН. ТиСУ. 2014. № 6. С. 168–176.
Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Алгоритмы решения дифференциальных моделей иерархических систем управления // АиТ. 2016. № 5. С. 148–158.
Korolev A.V., Ougolnitsky G.A. Optimal Resource Allocation in the Difference and Differential Stackelberg Games on Marketing Network // J. Dynamics and Games. 2020. V. 7(2). P. 141–162.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Теория и системы управления
Пн.-пт.: 10.00-19.00