Известия РАН. Теория и системы управления, 2023, № 4, стр. 153-167

Введение. Разработка методов решения задач построения и стабилизации траекторий движения динамических систем с учетом различных ограничений является одной из популярных и важных тем исследований последних десятилетий. Актуальность исследований обусловлена требованиями безопасности к переходным процессам при управлении техническими системами, подразумевающими, что при отслеживании программной траектории движения обьекта управления переменные состояния системы должны находиться в рамках допустимых значений. Отметим также, что в последнее время все большую популярность среди исследователей приобретают задачи группового управления (см., например, [1]), в процессе решения которых от отдельных объектов управления в группе требуется нахождение в отдельной области пространства, непересекающейся с зонами движения других обьектов [2].

Конструктивные аналитические методы синтеза нелинейных законов управления на основе использования нелинейных моделей движения обьектов управления были предложены и активно исследовались на рубеже 1990-х и 2000-х годов. Наиболее популярными подходами к синтезу нелинейных обратных связей являются метод обратных задач динамики [3], в общем случае базирующийся на применении дифференциально-геометрического аппарата [4, 5], а также метод бэкстеппинга [6] и методы, использующие свойства пассивности механических систем [7].

Результаты, связанные с возможностью учета различного рода ограничений при синтезе нелинейных законов управления с помощью указанных методов, появились позднее [8, 9]. Наиболее эффективным с точки зрения возможностей учета ограничений на состояние системы является метод бэкстеппинга [6]. В сочетании с использованием барьерных функций [10] метод бэкстеппинга позволяет строить стабилизирующие обратные связи, гарантирующие выполнение ограничений на состояние системы [8, 9, 11–16]. Отметим, что предлагаемые в большинстве работ обратные связи, полученные на основе применения барьерных функций Ляпунова в методе бэкстеппинга, приводят к значениям управляющих переменных, неограниченно возрастающих при приближении переменных состояния к граничным значениям [8, 9, 11, 12]. Однако неограниченный рост значений переменных управления будет нежелательным, так как может приводить к насыщению управляющих воздействий и излишнему расходу ресурса управления. Одним из способов решения указанной проблемы является, например, расширение динамики системы за счет использования производных управляющих переменных, предложенное в [14].

В работе решается задача синтеза обратных связей по состоянию, стабилизирующих программные траектории движения механических систем, которые описываются уравнениями Эйлера–Лагранжа, с учетом ограничений на абсолютные величины обобщенных координат, скоростей и ускорений. Управление строится на основе метода бэкстеппинга с помощью логарифмических барьерных функций Ляпунова. Полученные в работе стабилизирующие обратные связи в отличие от аналогичных известных результатов не приводят к неограниченному росту значений переменных управления при приближении переменных состояния к граничным значениям. В качестве примера рассмотрена задача построения и стабилизации траектории пространственного движения подводного аппарата.

1. Постановка задачи. Рассматривается задача стабилизации программных движений динамических систем, имеющих структуру уравнений Эйлера–Лагранжа и записанных следующим образом:

Здесь $q = {{\left( {{{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{m}}} \right)}^{{\text{T}}}} \in {{\mathbb{R}}^{m}}$ – вектор обобщенных координат; $\tau = {{\left( {{{\tau }_{1}}, \ldots ,{{\tau }_{m}}} \right)}^{{\text{T}}}} \in {{\mathbb{R}}^{m}}$ – вектор управляющих сил и моментов; M(q) – матрица кинетической энергии, $M(q) = {{M}^{{\text{T}}}}(q) > 0$ при всех $q \in {{\mathbb{R}}^{m}}$; $C\left( {q,\dot {q}} \right)\dot {q}$ – центробежные и кориолисовы силы; $D\dot {q}$ – демпфирование; G(q) = ${{\left[ {\partial {{\Pi }}(q){\text{/}}\partial q} \right]}^{{\text{T}}}}$, где Π(q) – потенциальная энергия системы.

Будем полагать, что для системы (1.1), например с использованием результатов работы [17], построено программное движение $q = P\left( t \right)$, $\tau = {{\tau }_{P}}\left( t \right)$, $t \in \left[ {0,T} \right]$, удовлетворяющее фиксированным начальным и конечным условиям на переменные состояния q, $\dot {q}$ системы:

а также ограничениям где B_i, N_i и Q_i, $i = \overline {1,m} $ – некоторые заданные положительные числа.

Обозначим i-ю компоненту вектор-функции P(t) через p_i(t) и определим соответствующие ошибки отслеживания ${{\xi }_{{1i}}} = {{q}_{i}} - {{p}_{i}}\left( t \right)$, $i \in \overline {1,m} $, программной траектории $q = P\left( t \right)$. Отметим, что при стабилизации программной траектории $q = P\left( t \right)$, $t \in \left[ {0,T} \right]$, можно при необходимости рассмотреть значения p_i(t) при $t \geqslant T$, доопределив соответствующие функции, например, значениями ${{p}_{i}}\left( t \right) = {{p}_{i}}\left( T \right)$ при $t \geqslant T$. Далее, без ограничения общности будем полагать, что функции p_i(t) определены при всех $t \geqslant 0$, а также являются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Задача. Требуется выбрать компоненты вектора управляющих воздействий $\tau $ в системе (1.1) в виде обратных связей по состоянию системы таким образом, чтобы при всех $i \in \overline {1,m} $ для произвольных значений ${{\xi }_{{1i}}}\left( 0 \right)$ и ${{\dot {\xi }}_{{1i}}}\left( 0 \right)$ было гарантировано выполнение условий $\left| {{{\xi }_{{1i}}}\left( t \right)} \right| \to 0$ при $t \to + \infty $ с учетом ограничений:

Здесь ${{\varepsilon }_{{1i}}}$, ${{\varepsilon }_{{2i}}}$ и ${{\varepsilon }_{{3i}}}$ – некоторые заданные положительные константы, удовлетворяющие соответственно условиям ${{\varepsilon }_{{1i}}} \geqslant \left| {{{\xi }_{{1i}}}\left( 0 \right)} \right|$, ${{\varepsilon }_{{2i}}} \geqslant \left| {{{{\dot {\xi }}}_{{1i}}}\left( 0 \right)} \right|$ и ${{\varepsilon }_{{3i}}} \geqslant \left| {{{{\ddot {\xi }}}_{{1i}}}\left( 0 \right)} \right|$.

2. Стабилизация программных траекторий с учетом ограничений. Заметим, что одним из хорошо известных и широко используемых методов синтеза нелинейных стабилирующих законов управления является метод линеаризации обратной связью (см., например, [5]). В результате применения метода линеаризации обратной связью для решения задачи стабилизации программной траектории $q = P\left( t \right)$ системы (1.1) получим следующее управление:

где ${{\xi }_{1}} = {{\left( {{{\xi }_{{11}}}, \ldots ,{{\xi }_{{1m}}}} \right)}^{{\text{T}}}}$, ${{\tilde {K}}_{1}} = {\text{diag}}\left( {{{{\tilde {\kappa }}}_{{11}}}, \ldots ,{{{\tilde {\kappa }}}_{{1{\text{m}}}}}} \right)$ и ${{\tilde {K}}_{2}} = {\text{diag}}\left( {{{{\tilde {\kappa }}}_{{21}}}, \ldots ,{{{\tilde {\kappa }}}_{{2{\text{m}}}}}} \right)$ – диагональные матрицы размера m × m с соответствующими коэффициентами усиления ${{\tilde {\kappa }}_{{1i}}} > 0$ и ${{\tilde {\kappa }}_{{2i}}} > 0$, $i \in \overline {1,m} $, на главной диагонали.

Замкнутую обратной связью (2.1) систему (1.1) можно записать в виде

Положение равновесия ${{\xi }_{1}} = 0$, ${{\dot {\xi }}_{1}} = 0$ линейной системы (2.2) асимптотически устойчиво в целом. Однако известно [18], что за счет выбора элементов матриц ${{\tilde {K}}_{1}}$ и ${{\tilde {K}}_{2}}$ явным образом обеспечить выполнение для решений системы (2.2) ограничений (1.4) затруднительно. Поэтому закон управления (2.1) далее в работе будет модифицирован.

Для синтеза управления, стабилизирующего программную траекторию $q = P\left( t \right)$ системы (1.1) с учетом ограничений (1.4), воспользуемся идеями метода бэкстеппинга [6] в сочетании с логарифмическими барьерными функциями Ляпунова [8].

При построении управления рассмотрим сначала функцию

где положительные постоянные ${{k}_{{1i}}}$ определяются далее. Производная по времени функции ${{V}_{1}}\left( {{{\xi }_{1}}} \right)$ в силу системы (1.1) имеет вид

Для удобства используем переменные ${{\xi }_{{2i}}} = {{\dot {q}}_{i}} - {{\alpha }_{{1i}}}\left( {{{\xi }_{1}}} \right)$, где ${{\alpha }_{{1i}}}\left( \cdot \right)$ – непрерывно дифференцируемые функции, определяемые далее. Тогда выражение для ${{\dot {V}}_{1}}\left( {{{\xi }_{1}}} \right)$ можно представить следующим образом:

Выбрав ${{\alpha }_{{1i}}}\left( {{{\xi }_{1}}} \right) = - {{\kappa }_{{1i}}}{{\xi }_{{1i}}} + {{\dot {p}}_{i}}\left( t \right)$, где ${{\kappa }_{{1i}}} > 0$ – положительные коэффициенты усиления, получим

В качестве функции Ляпунова замкнутой управлением системы используем функцию

где ${{\xi }_{2}} = {{\left( {{{{{\xi }}}_{{21}}}, \ldots ,{{{{\xi }}}_{{2{\text{m}}}}}} \right)}^{{\text{T}}}}$, ${{k}_{{2i}}} > 0$ – положительные коэффициенты, определяемые далее, ${{\epsilon }_{i}} = {{\varepsilon }_{{2i}}} - {{\kappa }_{{1i}}}{{\varepsilon }_{{1i}}}$. Будем полагать, что значения ${{\kappa }_{{1i}}} > 0$ и ${{\varepsilon }_{{1i}}} > 0$, ${{\varepsilon }_{{2i}}} > 0$, такие, что выполняются условия ${{\epsilon }_{i}} > 0$. Заметим, что функция ${{V}_{2}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right)$ является положительно определенной в области $\{ {{(\xi _{1}^{{\text{T}}},\xi _{2}^{{\text{T}}})}^{{\text{T}}}} \in {{\mathbb{R}}^{{2m}}}:\,\left| {{{\xi }_{{1i}}}} \right| < {{\varepsilon }_{{1i}}},\,\,{\text{|}}{{\xi }_{{2i}}}{\text{|}} < {{\epsilon }_{i}},\,\,i \in \overline {1,m} \} $ и неограниченно возрастает ${{V}_{2}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right) \to + \infty $ при стремлении $\left| {{{\xi }_{{1i}}}} \right| \to {{\varepsilon }_{{1i}}} - 0$ или $\left| {{{\xi }_{{2j}}}} \right| \to {{\epsilon }_{j}} - 0$ хотя бы для одного значения i, $1 \leqslant i \leqslant m$, или соответственно значения  j,   $1 \leqslant j \leqslant m$.

Производная по времени функции ${{V}_{2}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right)$ в силу системы (1.1) запишется следующим образом:

Для удобства дальнейших рассуждений представим последнее слагаемое в выражении для ${{\dot {V}}_{2}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right)$ в виде скалярного произведения векторов:

и ${{\dot {\xi }}_{2}}$. Тогда с учетом равенства ${{\dot {\xi }}_{2}} = {{\ddot {\xi }}_{1}} + {{K}_{1}}{{\dot {\xi }}_{1}} = \ddot {q} - \ddot {P}\left( t \right) + {{K}_{1}}{{\dot {\xi }}_{1}}$, где ${{K}_{1}} = {\text{diag}}\left( {{{\kappa }_{{11}}}, \ldots ,{{\kappa }_{{1{\text{m}}}}}} \right)$, производная по времени функции ${{V}_{2}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right)$ в силу системы (1.1) примет вид

Далее, принимая во внимание соотношение (1.1), имеем

Стабилизирующее программную траекторию q = P(t) системы (1.1) управление выберем следующим образом:

где ${{K}_{2}} = {\text{diag}}\left( {{{\kappa }_{{21}}}, \ldots ,{{\kappa }_{{2{\text{m}}}}}} \right)$, ${{\kappa }_{{2i}}} > 0$ – положительные коэффициенты усиления,

Подставив управление (2.4) в выражение (2.3), получим

В результате выделения полных квадратов по соответствующим переменным справедлива следующая оценка:

Таким образом, производная по времени функции ${{V}_{2}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right)$ в силу системы (1.1) с управлением (2.4) отрицательно определена в области

Заметим, что для любых положительных коэффициентов усиления ${{\kappa }_{{1i}}}$, ${{\kappa }_{{2i}}}$ в управлении (2.4) за счет выбора положительных постоянных ${{k}_{{1i}}}$, ${{k}_{{2i}}}$ в функции Ляпунова ${{V}_{2}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right)$ значения величин $\sqrt {\varepsilon _{{1i}}^{2} - {{k}_{{1i}}}{\text{/}}\left( {2{{k}_{{2i}}}{{\kappa }_{{1i}}}} \right)} $ можно сделать сколь угодно близкими к соответствующим значениям констант ${{\varepsilon }_{{1i}}}$.

Система (1.1), замкнутая управлением (2.4), с учетом соотношения ${{\xi }_{2}} = {{\dot {\xi }}_{1}} + {{K}_{1}}{{\xi }_{1}}$ может быть представлена в виде

Тогда в силу справедливости при всех $t \geqslant 0$ неравенств

с учетом соотношений ${{\epsilon }_{i}} = {{\varepsilon }_{{2i}}} - {{\kappa }_{{1i}}}{{\varepsilon }_{{1i}}}$ положение равновесия ${{\xi }_{1}} = 0$, ${{\dot {\xi }}_{1}} = 0$ системы (2.5), согласно монографии [19], асимптотически устойчиво с областью притяжения являющейся положительно инвариантным множеством.

Далее, в силу равенства $q = {{\xi }_{1}} + P\left( t \right)$ для компонент q_i(t) любого решения q = q(t) систе-мы (1.1), замкнутой управлением (2.4), с начальной точкой в множестве (2.6) при всех $t \geqslant 0$ и $i \in \overline {1,m} $ верны следующие оценки:

Дополнительно, с учетом уравнения (2.5) для любого $t \geqslant 0$ и $i \in \overline {1,m} $ имеют место неравенства

при любых значениях констант ${{\varepsilon }_{{1i}}}$, ${{\varepsilon }_{{2i}}}$, ${{\varepsilon }_{{3i}}}$, ${{\kappa }_{{1i}}}$ и ${{\kappa }_{{2i}}}$, удовлетворяющих условиям:

Здесь постоянные B_i, N_i и Q_i взяты из ограничений (1.3), выполняющихся для программной траектории q = P(t).

Заметим, что правые части систем (2.2) и (2.5) при соотношениях коэффициентов усиления ${{\tilde {\kappa }}_{{1i}}} = {{\kappa }_{{1i}}}{{\kappa }_{{2i}}}$ и ${{\tilde {\kappa }}_{{2i}}} = {{\kappa }_{{1i}}} + {{\kappa }_{{2i}}}$ различаются за счет присутствия в правой части системы (2.5) слагаемого b, i-я компонента b_i которого в переменных ${{\xi }_{{1i}}}$, ${{\dot {\xi }}_{{1i}}}$ имеет вид

Таким образом, наличие дополнительного слагаемого b в обратной связи (2.4) по сравнению с законом управления (2.1), найденным при помощи метода линеаризации обратной связью, обеспечивает выполнение ограничений (1.4). Отметим, что при стремлении $\left| {{{\xi }_{{1i}}}} \right| \to {{\varepsilon }_{{1i}}} - 0$ и/или $\left| {{{{\dot {\xi }}}_{{1i}}}} \right| \to {{\varepsilon }_{{2i}}} - 0$ для любого i соответствующая функция (2.7) не является неограниченно возрастающей и имеет конечный предел. В этом свойстве дополнительной стабилизирующей компоненты b в обратной связи (2.4) заключается существенное отличие предлагаемого в работе способа применения метода бэкстеппинга от других работ, например [9, 11, 12]. Полученные в [9, 11, 12] обратные связи на основе метода бэкстеппинга приводят к значениям управляющих переменных, неограниченно возрастающих при приближении переменных состояния к граничным значениям.

Так, по аналогии с результатами работ [9, 12] можно предложить следующую стабилизирующую обратную связь:

где

Производная по времени функции ${{V}_{2}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right)$ в силу системы (1.1) c управлением (2.8) примет вид

и является отрицательно определенной в области $\{ {{(\xi _{1}^{{\text{T}}},\xi _{2}^{{\text{T}}})}^{{\text{T}}}} \in {{\mathbb{R}}^{{2m}}}:\,\left| {{{\xi }_{{1i}}}} \right| < {{\varepsilon }_{{1i}}},\,\,{\text{|}}{{\xi }_{{2i}}}{\text{|}} < {{\epsilon }_{i}},\,\,i \in \overline {1,m} \} $.

Однако, несмотря на то, что управление (2.8) также будет решением задачи cтабилизации программной траектории q = P(t) системы (1.1) с учетом ограничений (1.4), при стремлении $\left| {{{\xi }_{{1i}}}} \right| \to {{\varepsilon }_{{1i}}} - 0$ для любого i соответствующая i-я компонента вектор-функции $\bar {b}$ может неограниченно возрастать. Следовательно, полученная в настоящей работе стабилизирующая обратная связь (2.4) предпочтительнее управления (2.8).

3. Решение задачи управления пространственным движением подводного аппарата. Для описания движения аппарата используются две системы координат: инерциальная земная система координат $Oxyz$ и неинерциальная система координат ${{O}_{b}}{{x}_{b}}{{y}_{b}}{{z}_{b}}$, жестко связанная с корпусом подводного аппарата. Начало ${{O}_{b}}$ неинерциальной системы координат обычно выбирается совпадающим с центром тяжести или центром плавучести корпуса аппарата, а направления осей ${{O}_{b}}{{x}_{b}}$, ${{O}_{b}}{{y}_{b}}$ и ${{O}_{b}}{{z}_{b}}$ фиксируются вдоль главных осей инерции корпуса. Продольная ось ${{O}_{b}}{{x}_{b}}$ направлена вдоль корпуса от хвостовой части к передней, поперечная ось ${{O}_{b}}{{y}_{b}}$ выбирается ортогонально правому борту корпуса аппарата в горизонтальной плоскости, а нормальная ось ${{O}_{b}}{{z}_{b}}$ ориентирована сверху вниз [20].

Поступательное движение аппарата описывается координатами ${{\eta }_{1}} = {{\left( {x,y,z} \right)}^{{\text{T}}}}$ точки O_b в инерциальной системе координат $Oxyz$ и координатами ${{\nu }_{1}} = {{\left( {u,{v},w} \right)}^{{\text{T}}}}$ вектора скорости точки O_b в неинерциальной системе координат ${{O}_{b}}{{x}_{b}}{{y}_{b}}{{z}_{b}}$. Вращательное движение корпуса аппарата задается при помощи угловых координат ${{\eta }_{2}} = {{\left( {\varphi ,\theta ,\psi } \right)}^{{\text{T}}}}$ поворота неинерциальной системы координат ${{O}_{b}}{{x}_{b}}{{y}_{b}}{{z}_{b}}$ относительно инерциальной системы координат $Oxyz$, где $\varphi $ – угол крена, $\theta $ – угол тангажа, $\psi $ – угол рысканья, а также вектора ${{\nu }_{2}} = {{\left( {p,q,r} \right)}^{{\text{T}}}}$ угловых скоростей вращения корпуса аппарата относительно соответствующих осей ${{O}_{b}}{{x}_{b}}$, ${{O}_{b}}{{y}_{b}}$ и ${{O}_{b}}{{z}_{b}}$ неинерциальной системы координат ${{O}_{b}}{{x}_{b}}{{y}_{b}}{{z}_{b}}$ [20].

Координаты вектора скорости точки O_b в инерциальной и неинерциальной системах координат, согласно монографии [20], связаны соответственно соотношениями

где

Далее, угловые скорости вращения корпуса аппарата вокруг осей неинерциальной системы координат ${{O}_{b}}{{x}_{b}}{{y}_{b}}{{z}_{b}}$ пересчитываются в производные по времени угловых координат ${{\eta }_{2}}$ следующим образом [20]:

где

В итоге, кинематика движения подводного аппарата может быть записана в виде

где $\eta = {{(\eta _{1}^{{\text{T}}},\eta _{2}^{{\text{T}}})}^{{\text{T}}}}$, $\nu = {{(\nu _{1}^{{\text{T}}},\nu _{2}^{{\text{T}}})}^{{\text{T}}}}$,

Здесь ${{O}_{{3 \times 3}}}$ – нулевая матрица размера 3 × 3.

Динамические уравнения поступательного и вращательного движения корпуса подводного аппарата в векторных обозначениях представлены ниже [20]:

где ${{\tau }_{{RB}}} = {{\left( {{{F}_{{{{x}_{b}}}}},{{F}_{{{{y}_{b}}}}},{{F}_{{{{z}_{b}}}}},{{\tau }_{{{{x}_{b}}}}},{{\tau }_{{{{y}_{b}}}}},{{\tau }_{{{{z}_{b}}}}}} \right)}^{{\text{T}}}}$,

Здесь ${{M}_{{RB}}}$ – матрица инерции твердого тела, ${{C}_{{RB}}}\left( \nu \right)$ – матрица кориолисовых и центростремительных сил, m – масса аппарата, ${{r}_{G}} = {{\left( {{{x}_{G}},{{y}_{G}},{{z}_{G}}} \right)}^{{\text{T}}}}$ – координаты центра масс корпуса аппарата в подвижной системе координат ${{O}_{b}}{{x}_{b}}{{y}_{b}}{{z}_{b}}$; ${{I}_{x}}$, ${{I}_{y}}$, ${{I}_{z}}$ – моменты инерции корпуса относительно осей ${{O}_{b}}{{x}_{b}}$, ${{O}_{b}}{{y}_{b}}$ и ${{O}_{b}}{{z}_{b}}$ соответственно; ${{I}_{{xy}}}$, ${{I}_{{xz}}}$, ${{I}_{{yz}}}$ – центробежные моменты инерции; ${{F}_{{{{x}_{b}}}}}$, ${{F}_{{{{y}_{b}}}}}$, ${{F}_{{{{z}_{b}}}}}$ – проекции равнодействующей всех приложенных к корпусу аппарата сил на оси ${{O}_{b}}{{x}_{b}}$, ${{O}_{b}}{{y}_{b}}$ и ${{O}_{b}}{{z}_{b}}$; ${{\tau }_{{{{x}_{b}}}}}$, ${{\tau }_{{{{y}_{b}}}}}$, ${{\tau }_{{{{z}_{b}}}}}$ – суммарные моменты сил, действующих на корпус, вокруг осей ${{O}_{b}}{{x}_{b}}$, ${{O}_{b}}{{y}_{b}}$ и ${{O}_{b}}{{z}_{b}}$. В частности, если оси ${{O}_{b}}{{x}_{b}}$, ${{O}_{b}}{{y}_{b}}$ и ${{O}_{b}}{{z}_{b}}$ направлены вдоль главных осей инерции корпуса аппарата, то имеют место равенства ${{I}_{{xy}}} = {{I}_{{xz}}} = {{I}_{{yz}}} = 0$.

Внешние силы и моменты, действующие на корпус подводного аппарата, характеризуются компонентами вектора τ_RB в правой части динамической системы (3.3), который имеет следующую структуру:

где τ_H включает влияние присоединенной массы воды, гидродинамического демпфирования, гравитации и выталкивающей силы; τ представляет собой силы и моменты, создаваемые управляющими органами аппарата.

Компонета τ_H в соотношении (3.4), согласно [20], имеет вид

где

Матрица C_A(ν) гидродинамических кориолисовых и центростремительных сил является кососимметрической при всех $\nu \in {{\mathbb{R}}^{6}}$, матрица D(ν) гидродинамического демпфирования – положительно определенной при всех $\nu \in {{\mathbb{R}}^{6}}$, слагаемое g(η) характеризует действие силы тяжести и выталкивающей силы на корпус аппарата и определяется далее. Элементы матрицы M_A добавочной инерции представляют собой коэффициенты линеаризации соответствующих компонент сил и моментов, связанных с влиянием присоединенной массы воды, в окрестности нулевых значений скоростей. В частности, в случае малых скоростей движения подводного аппарата, согласно [20], имеют место равенства: ${{X}_{{{\dot {v}}}}} = 0$, ${{X}_{{\dot {w}}}} = 0$, ${{X}_{{\dot {p}}}} = 0$, ${{X}_{{\dot {q}}}} = 0$, ${{X}_{{\dot {r}}}} = 0$, ${{Y}_{{\dot {u}}}} = 0$, ${{Y}_{{\dot {w}}}} = 0$, ${{Y}_{{\dot {p}}}} = 0$, ${{Y}_{{\dot {q}}}} = 0$, ${{Y}_{{\dot {r}}}} = 0$, ${{Z}_{{\dot {u}}}} = 0$, ${{Z}_{{{\dot {v}}}}} = 0$, ${{Z}_{{\dot {p}}}} = 0$, ${{Z}_{{\dot {q}}}} = 0$, ${{Z}_{{\dot {r}}}} = 0$, ${{K}_{{\dot {u}}}} = 0$, ${{K}_{{{\dot {v}}}}} = 0$, ${{K}_{{\dot {w}}}} = 0$, ${{K}_{{\dot {q}}}} = 0$, ${{K}_{{\dot {r}}}} = 0$, ${{M}_{{\dot {u}}}} = 0$, ${{M}_{{{\dot {v}}}}} = 0$, ${{M}_{{\dot {w}}}} = 0$, ${{M}_{{\dot {p}}}} = 0$, ${{M}_{{\dot {r}}}} = 0$, ${{N}_{{\dot {u}}}} = 0$, ${{N}_{{{\dot {v}}}}} = 0$, ${{N}_{{\dot {w}}}} = 0$, ${{N}_{{\dot {p}}}} = 0$, ${{N}_{{\dot {q}}}} = 0$ и D(ν) = –diag(X_u + + ${{X}_{{u\left| u \right|}}}\left| u \right|,{{Y}_{{v}}} + {{Y}_{{{v}\left| {v} \right|}}}\left| {v} \right|,{{Z}_{w}} + {{Z}_{{w\left| w \right|}}}\left| w \right|,{{K}_{p}} + {{K}_{{p\left| p \right|}}}\left| p \right|,{{M}_{q}} + {{M}_{{q\left| q \right|}}}\left| q \right|,{{N}_{r}} + {{N}_{{r\left| r \right|}}}\left| r \right|)$, где X_u, ${{Y}_{{v}}}$, ${{Z}_{w}}$, K_p, M_q, ${{N}_{r}}$ и ${{X}_{{u\left| u \right|}}}$, ${{Y}_{{v\left| v \right|}}}$, ${{Z}_{{w\left| w \right|}}}$, ${{K}_{{p\left| p \right|}}}$, ${{M}_{{q\left| q \right|}}}$, ${{N}_{{r\left| r \right|}}}$ – некоторые отрицательные коэффициенты.

Вектор-функция $g\left( \eta \right)$ в выражении (3.5), описывающая влияние величины силы тяжести $W = mg$ и величины выталкивающей силы $B = \rho gV$ на динамику корпуса аппарата, записывается следующим образом [20]:

где ${{r}_{B}} = {{\left( {{{x}_{B}},{{y}_{B}},{{z}_{B}}} \right)}^{{\text{T}}}}$ – координаты центра плавучести корпуса аппарата в подвижной системе координат ${{O}_{b}}{{x}_{b}}{{y}_{b}}{{z}_{b}}$, ρ – плотность воды, V – объем вытесненной корпусом аппарата жидкости, знак умножения $ \times $ использован для обозначения векторного произведения соответствующих векторов. Покомпонентно выражение (3.6) примет вид

В итоге, принимая во внимание соотношения (3.2) – (3.7), получим следующую математическую модель движения подводного аппaрата, записанную относительно неинерциальной системы координат ${{O}_{b}}{{x}_{b}}{{y}_{b}}{{z}_{b}}$:

где $M = {{M}_{{RB}}} + {{M}_{A}}$, $C\left( \nu \right) = {{C}_{{RB}}}\left( \nu \right) + {{C}_{A}}\left( \nu \right)$.

Тогда с учетом равенства (3.2) уравнения движения корпуса аппарата в векторном виде относительно инерциальной земной системы координат $Oxyz$ примут вид

где ${{M}_{\eta }}\left( \eta \right) = M{{J}^{{ - 1}}}\left( \eta \right)$, ${{C}_{\eta }}\left( {\eta ,\nu } \right) = [C\left( \nu \right) - M{{J}^{{ - 1}}}\left( \eta \right)\dot {J}\left( \eta \right)]{{J}^{{ - 1}}}\left( \eta \right)$, ${{D}_{\eta }}\left( {\eta ,\nu } \right) = D\left( \nu \right){{J}^{{ - 1}}}\left( \eta \right)$.

Для построения программной траектории $\eta = P\left( t \right)$, $t \in \left[ {0,T} \right]$, движения корпуса подводного аппарата воспользуемся результатами, полученными в работе [17]. Используем далее обозначения ${{x}_{{11}}} = x$, ${{x}_{{12}}} = y$, ${{x}_{{13}}} = z$, ${{x}_{{14}}} = \varphi $, ${{x}_{{15}}} = \theta $, ${{x}_{{16}}} = \psi $ и перепишем условия (1.2):

В частности, рассмотрим, например, значения ${{\dot {x}}_{{0i}}} = {{\dot {x}}_{{*i}}} = 0$, $i = \overline {1,6} $, и дополнительно потребуем, чтобы искомая программная траектория удовлетворяла условиям ${{\ddot {x}}_{{1i}}}\left( 0 \right) = 0$ и ${{\ddot {x}}_{{1i}}}\left( T \right) = 0$, $i = \overline {1,6} $. Будем также полагать, что время движения T не задано в постановке задачи.

Фиксируем произвольные положительные значения T₁, T₃, T₅ и ${{\varepsilon }_{1}} > 1$, ${{\varepsilon }_{2}} > 1$. Для синтеза программной траектории из начальной точки ${{\left( {{{x}_{{01}}},0, \ldots ,{{x}_{{06}}},0} \right)}^{{\text{T}}}}$ в конечную точку ${{\left( {{{x}_{{*1}}},0, \ldots ,{{x}_{{*6}}},0} \right)}^{{\text{T}}}}$ в фазовом пространстве ${{\left( {x,\dot {x},y,\dot {y},z,\dot {z},\varphi ,\dot {\varphi },\theta ,\dot {\theta },\psi ,\dot {\psi }} \right)}^{{\text{T}}}}$ системы (3.9) используем дополнительные промежуточные точки с координатами ${{\left( {{{x}_{{j1}}},{{{\dot {x}}}_{{j1}}}, \ldots ,{{x}_{{j6}}},{{{\dot {x}}}_{{j6}}}} \right)}^{{\text{T}}}}$, $j = \overline {1,4} $, где значения ${{x}_{{ji}}}$, ${{\dot {x}}_{{ji}}}$, $j = \overline {1,4} $, $i = \overline {1,6} $, удовлетворяют условиям ${{\dot {x}}_{{2i}}} = {{\dot {x}}_{{3i}}}$ и соответствующим соотношениям [17]:

Программная траектория η = P(t), $t \in \left[ {0,T} \right]$, запишется покомпонентно следующим образом:

где $T = {{\varepsilon }_{1}}{{T}_{1}} + {{T}_{3}} + {{\varepsilon }_{2}}{{T}_{5}}$, ${{T}_{2}} = \left( {{{\varepsilon }_{1}} - 1} \right){{T}_{1}}$, ${{T}_{4}} = \left( {{{\varepsilon }_{2}} - 1} \right){{T}_{5}}$, многочлены ${{p}_{{ji}}}\left( t \right)$ имеют соответствующий вид

Здесь коэффициенты ${{c}_{{1{{i}_{j}}}}}$, ${{c}_{{2{{i}_{j}}}}}$ следующие [17]:

Далее, согласно работе [17], для выполнения ограничений $\left| {{{{\dot {x}}}_{{1i}}}\left( t \right)} \right| \leqslant {{N}_{i}}$ и $\left| {{{{\ddot {x}}}_{{1i}}}\left( t \right)} \right| \leqslant {{Q}_{i}}$ при всех $t \in \left[ {0,T} \right]$, $i = \overline {1,6} $, на значения первых и вторых производных по времени соответствующих функций (3.10) необходимо и достаточно, чтобы выбранные значения T₁, T₃, T₅ и ${{\varepsilon }_{1}} > 1$, ${{\varepsilon }_{2}} > 1$ удовлетворяли следующим неравенствам:

Дополнительно, если для любого $i = \overline {1,6} $ выполнены условия

то при всех $t \in \left[ {0,T} \right]$ справедливы оценки $\left| {{{x}_{{1i}}}\left( t \right)} \right| \leqslant {{B}_{i}}$, $i = \overline {1,6} $.

Наконец, управление, стабилизирующее программную траекторию $\eta = P\left( t \right)$, $t \in \left[ {0,T} \right]$, системы (3.9), покомпонентно заданную соотношениями (3.10), с учетом соответствующих ограничений (1.4), согласно формуле (2.4), запишется следующим образом:

где ${{K}_{1}} = {\text{diag}}\left( {{{\kappa }_{{11}}}, \ldots ,{{\kappa }_{{16}}}} \right) > 0$, ${{K}_{2}} = {\text{diag}}\left( {{{\kappa }_{{21}}}, \ldots ,{{\kappa }_{{26}}}} \right) > 0$, ${{\xi }_{1}} = \eta - P\left( t \right)$,

Результаты численного моделирования системы (3.9) с управлением (3.11) представлены на рис. 1–8 для следующих значений физических и геометрических параметров модели, соответствующих подводному аппарату Kambara [21, 22]: m = 117 кг, g = 9.81 м ⋅ с^–2, B = 1108 Н, ${{I}_{x}} = 10.7$ кг ⋅ м², ${{I}_{y}}\, = \,11.8$ кг ⋅ м², ${{I}_{z}} = 13.4$ кг ⋅ м², ${{x}_{G}} = 0$ м, ${{y}_{G}} = 0$ м, ${{z}_{G}} = 0$ м, ${{x}_{B}} = - 0.017$ м, ${{y}_{B}}\, = \,\,0$ м, ${{z}_{B}} = - 0.115$ м, ${{X}_{{\dot {u}}}} = - 58.4$ кг, ${{Y}_{{\dot {v}}}} = - 23.8$ кг, ${{Z}_{{\dot {w}}}} = - 23.8$ кг, ${{K}_{{\dot {p}}}} = - 3.38$ кг ⋅ м²/рад, ${{M}_{{\dot {q}}}} = - 1.18$ кг ⋅ м²/рад, ${{N}_{{\dot {r}}}} = - 2.67$ кг ⋅ м²/рад, ${{X}_{u}} = - 120$ кг/с, ${{Y}_{v}} = - 90$ кг/с, ${{Z}_{w}} = - 150$ кг/с, ${{K}_{p}} = - 15$ Н ⋅ м ⋅ с/рад, ${{M}_{q}} = - 15$ Н ⋅ м ⋅ с/рад, ${{N}_{r}} = - 18$ Н ⋅ м ⋅ с/рад, ${{X}_{{u\left| u \right|}}} = - 90$ кг/м, ${{Y}_{{{v}\left| {v} \right|}}} = - 90$ кг/м, ${{Z}_{{w\left| w \right|}}} = - 120$ кг/м, ${{K}_{{p\left| p \right|}}} = - 10$ кг ⋅ м²/рад², ${{M}_{{q\left| q \right|}}} = - 12$ кг ⋅ м²/рад², ${{N}_{{r\left| r \right|}}} = - 15$ кг ⋅ м²/рад².

Построена программная траектория смещения центра масс корпуса аппарата из начала координат ${{\eta }_{1}} = {{\left( {0,0,0} \right)}^{{\text{T}}}}$ в точку с координатами ${{\eta }_{1}} = {{\left( {20,10, - 10} \right)}^{{\text{T}}}}$ и пространственного разворота корпуса на 180° по углу рысканья ψ. В качестве начальных и конечных значений переменных состояния системы (3.9) для программной траектории рассматривались соответственно $\eta \left( 0 \right) = {{\eta }_{0}} = {{\left( {0,0,0,0,0,0} \right)}^{{\text{T}}}}$, $\dot {\eta }\left( 0 \right) = {{\dot {\eta }}_{0}} = {{\left( {0,0,0,0,0,0} \right)}^{{\text{T}}}}$ и $\eta \left( T \right) = {{\eta }_{*}} = {{\left( {20,10, - 10,0,0,\pi } \right)}^{{\text{T}}}}$, $\dot {\eta }\left( T \right) = {{\dot {\eta }}_{*}}$ = = (0, 0, 0, 0, 0, 0)^T. При планировании программной траектории были выбраны значения $T = 30$ с, ${{\varepsilon }_{1}} = {{\varepsilon }_{2}} = 2$, ${{T}_{1}} = T{\text{/}}\left( {3{{\varepsilon }_{1}}} \right)$, ${{T}_{5}} = T{\text{/}}\left( {3{{\varepsilon }_{2}}} \right)$.

Для численного моделирования процесса стабилизации построенной программной траектории  были использованы следующие начальные значения: ${{\xi }_{1}}\left( 0 \right) = {{\left( {1,1,1,\pi {\text{/}}10,\pi {\text{/}}8,\pi {\text{/}}9} \right)}^{{\text{T}}}}$ и ${{\dot {\xi }}_{1}}(0) = {{(0.05,0.06,0.08,0.01,0.02,0.03)}^{{\text{T}}}}$ соответствующих переменных отклонения и их производных, в также значения параметров управления (3.11): ${{\varepsilon }_{{1i}}} = 1.001\left| {{{\xi }_{{1i}}}\left( 0 \right)} \right|,\,\,{{\varepsilon }_{{2i}}} = 1.5\left| {{{{\dot {\xi }}}_{{1i}}}\left( 0 \right)} \right|,$ ${{\kappa }_{{1i}}} = 0.999{{\varepsilon }_{{2i}}}{\text{/}}{{\varepsilon }_{{1i}}},\,\,{{\kappa }_{{2i}}} = 2,\,\,i = \overline {1,6} .$.

Заключение. Рассмотрена задача стабилизации программных траекторий движения механических систем с учетом ограничений на значения обобщенных координат, скоростей и ускорений. Для построения стабилизирующих законов управления применен метод бэкстеппинга, использующий логарифмические барьерные функции Ляпунова. Полученные в работе стабилизирующие обратные связи в отличие от аналогичных известных результатов не приводят к неограниченному росту значений переменных управления при приближении переменных состояния системы к граничным значениям. В качестве примера решена задача построения и стабилизации траектории пространственного движения подводного аппарата. Отметим, что возможность учета ограничений на значения обобщенных координат при построении и стабилизации траекторий движения механических систем важна, например, при решении задач группового управления, когда от отдельных объектов управления в группе может требоваться нахождение в отдельной области пространства, непересекающейся с зонами движения других обьектов. Выполнение ограничений на значения обобщенных скоростей позволяют, например, учитывать требования малости соответствующих скоростей движения при использовании в математических моделях линеаризованных выражений для сил и моментов.