1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Теплофизика высоких температур
  4. T. 57, № 3, 2019

Теплофизика высоких температур, 2019, T. 57, № 3, стр. 475-477

Акустические волны в многофракционных газовзвесях с полидисперсными включениями

Д. А. Губайдуллин 1, *, Р. Р. Зарипов 1, **

1 Институт механики и машиностроения – ОСП ФГБУН “Федеральный исследовательский центр “Казанский НЦ РАН””
Татарстан, Казань, Россия

* E-mail: gubaidullin@imm.knc.ru
** E-mail: rinat_zaripov.imm@mail.ru

Поступила в редакцию 14.03.2018
После доработки 18.12.2018
Принята к публикации 25.12.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследовано распространение акустических волн в многофракционных газовзвесях с полидисперсными включениями. Дисперсная фаза состоит из $N$ фракций, отличающихся между собой размерами, функциями распределения включений по размерам и материалами. Получено дисперсионное соотношение, которое определяет зависимость комплексного волнового числа от частоты возмущений. Построены зависимости относительной скорости звука и декремента затухания от безразмерной частоты возмущения. Проанализировано влияние теплообмена.

ВВЕДЕНИЕ

Значительный интерес представляют проблемы волновой динамики многофазных сред. Связано это с широким распространением таких сред в природе и в промышленности. Особенности динамики многофазных сред представлены в известных монографиях [1–3]. Распространение акустических волн в монодисперсных газовзвесях рассмотрены в [4, 5]. Однако реальные газовзвеси являются полидисперсными, распространение звуковых волн в полидисперсных средах рассмотрено в [2, 6]. Особенности двухфазных сред с различными включениями представлены в [7–10]. В настоящей работе впервые исследуется распространение акустических волн в многофракционных газовзвесях с полидисперсными включениями, различающимися размерами и материалами. Широкое применение акустических методов в технологических процессах подчеркивает актуальность данного исследования.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим плоское одномерное движение многофракционной газовзвеси, дисперсная фаза которой включает $N$ фракций. Фракции состоят из разных материалов, имеют разные размеры и описываются своими функциями распределения включений по размерам. Линеаризованные уравнения для плоского одномерного движения следуют из общих уравнений двухфазной смеси [1] и имеют вид [8], но с учетом $N$ полидисперсных фракций уравнения запишутся следующим образом:

(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho _{1}^{'}}}{{\partial t}} + {{\rho }_{{10}}}\frac{{\partial \text{v}_{1}^{'}}}{{\partial x}} = 0, \\ \frac{{\partial \rho _{{2j}}^{'}}}{{\partial t}} + \int\limits_{\Delta {{r}_{j}}} {\frac{{\partial \text{v}_{{2j}}^{'}}}{{\partial x}}N_{0}^{j}({{r}_{j}})} g_{0}^{j}({{r}_{j}})d{{r}_{j}} = 0, \\ {{\rho }_{{10}}}\frac{{\partial \text{v}_{1}^{'}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial p_{1}^{'}}}{{\partial x}} + \sum\limits_{j = 1}^N {\int\limits_{\Delta {{r}_{j}}} {{{f}_{j}}N_{0}^{j}({{r}_{j}})} d{{r}_{j}} = 0} , \\ g_{0}^{j}({{r}_{j}})\frac{{\partial \text{v}_{{2j}}^{'}}}{{\partial t}} = {{f}_{j}},\,\,\,\,j = \overline {1,N} . \\ \end{gathered} $

Здесь и далее штрихи обозначают возмущения параметров, а начальное невозмущенное состояние отмечено нижним индексом 0.

С учетом $N$ фракций уравнения для внутренней энергии несущей фазы, включений и их межфазной поверхности примут следующий вид:

${{\rho }_{{10}}}{{c}_{{p1}}}\frac{{\partial T_{1}^{'}}}{{\partial t}} - {{\alpha }_{{10}}}\frac{{\partial p_{1}^{'}}}{{\partial t}} + \sum\limits_{j = 1}^N {\int\limits_{\Delta {{r}_{j}}} {{{q}_{{1j}}}N_{0}^{j}({{r}_{j}})} d{{r}_{j}} = 0} ,$
(2)
${{\rho }_{{10}}}{{c}_{{p1}}}\frac{{\partial T_{1}^{'}}}{{\partial t}} - {{\alpha }_{{10}}}\frac{{\partial p_{1}^{'}}}{{\partial t}} + \sum\limits_{j = 1}^N {\int\limits_{\Delta {{r}_{j}}} {{{q}_{{1j}}}N_{0}^{j}({{r}_{j}})} d{{r}_{j}} = 0} ,$
$g_{0}^{j}({{r}_{j}}){{c}_{{2j}}}\frac{{\partial T_{{2j}}^{'}}}{{\partial t}} = - {{q}_{{2j}}},\,\,\,\,{{q}_{{1j}}} + {{q}_{{2j}}} = 0,\,\,\,\,j = \overline {1,N} .$

Выражения для силы $f$ и тепловых потоков $q$ определим аналогично [9]. Для несущей фазы линеаризованное уравнение состояния запишем в виде

(3)
$p_{1}^{'} = \frac{{C_{1}^{2}}}{{{{\gamma }_{{10}}}{{\alpha }_{{10}}}}}\rho {\text{'}} + \frac{{{{p}_{{10}}}}}{{{{T}_{{10}}}}}T_{1}^{'}.$

Здесь ρ – плотность, $\text{v}$ – скорость, $p$ – давление, T – температура, γ – показатель адиабаты, $\alpha $ – объемное содержание, ${{c}_{p}}$ – теплоемкость, ${{C}_{1}}$ – скорость звука в чистом газе, $N_{0}^{{}}$ – функция распределения включений по размерам, $g_{0}^{{}}$ – масса частицы, $r$ – радиус включений, $\Delta r$ – диапазон изменения радиуса включений. Индекс 1 относится несущей фазе, 2 – к дисперсной.

ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ

Решение системы уравнений (1)–(3) будем искать в виде прогрессивных волн для возмущений:

(4)
$\begin{gathered} \phi {\text{'}} = {{A}_{\phi }}\exp [i({{K}_{*}}x - \omega t)],\,\,\,\,{{K}_{*}} = K + i{{K}_{{{\text{**}}}}}, \\ {{C}_{p}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {K,}}} \right. \kern-0em} {K,}}\,\,\,\,\sigma = {{2\pi {{K}_{{{\text{**}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {{K}_{{{\text{**}}}}}} {K,}}} \right. \kern-0em} {K,}} \\ \end{gathered} $
где ${{K}_{*}}$ – комплексное волновое число, ${{K}_{{{\text{**}}}}}$ – линейный коэффициент затухания, ${{C}_{p}}$ – фазовая скорость, $\sigma $ – декремент затухания на длине волны, $\omega $ – частота возмущений, $i$ – мнимая единица, ${{A}_{\phi }}$ – амплитуда.

Дисперсионное соотношение, которое определяет зависимость комплексного волнового числа от частоты возмущений, получим при решении системы уравнений (1)–(3) с учетом (4):

$\begin{gathered} {{\left( {\frac{{{{C}_{1}}{{K}_{*}}}}{\omega }} \right)}^{2}} = V(\omega )D(\omega ), \\ V(\omega ) = 1 + \sum\limits_{j = 1}^N {{{m}_{j}}} {{\left\langle {\frac{1}{{1 - i\omega \tau _{{\text{v}j}}^{*}}}} \right\rangle }_{j}}, \\ D(\omega ) = 1 + ({{\gamma }_{1}} - 1)\frac{{{{t}_{d}}}}{{1 + {{t}_{d}}}}, \\ {{t}_{d}} = \sum\limits_{j = 1}^N {{{m}_{j}}\frac{{{{c}_{{2j}}}}}{{{{c}_{{p1}}}}}} {{\left\langle {\frac{1}{{1 - i\omega \tau _{{Tj}}^{*}}}} \right\rangle }_{j}}, \\ \tau _{{\text{v}j}}^{*} = {{\tau }_{{\text{v}j}}}{{\left[ {1 - \frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\omega {{\tau }_{{\mu 1j}}}} } \right]}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $
(5)
$\begin{gathered} {{\tau }_{{\text{v}j}}} = \frac{2}{9}\frac{{\rho _{{2j}}^{0}r_{j}^{2}}}{{{{\mu }_{1}}}},\,\,\,\,{{\tau }_{{\mu 1j}}} = \frac{{\rho _{1}^{0}r_{j}^{2}}}{{{{\mu }_{1}}}}, \\ \tau _{{Tj}}^{*} = \tau _{{T2j}}^{*} + {{m}_{j}}\frac{{{{c}_{{p2j}}}}}{{{{c}_{{p1}}}}}\tau _{{T1j}}^{*}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \tau _{{T1j}}^{*} = \frac{1}{3}\frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{{{\alpha }_{{2j}}}}}\frac{{{{\tau }_{{\lambda 1j}}}}}{{1 + {{z}_{{1j}}}}}, \\ \tau _{{T2j}}^{*} = \frac{1}{3}{{\tau }_{{\lambda 2j}}}\frac{{3{{z}_{{2j}}} - \left( {3 + z_{{2j}}^{2}} \right){\text{th}}({{z}_{{2j}}})}}{{z_{{2j}}^{2}\left( {{\text{th}}({{z}_{{2j}}}) - {{z}_{{2j}}}} \right)}}, \\ {{z}_{k}} = \frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\omega {{\tau }_{{\lambda k}}}} ,\,\,\,\,k = 1j,2j, \\ {{\tau }_{{\lambda 1j}}} = \frac{{r_{j}^{2}\rho _{1}^{0}{{c}_{{p1}}}}}{{{{\lambda }_{1}}}},\,\,\,\,{{\tau }_{{\lambda 2j}}} = \frac{{r_{j}^{2}\rho _{{2j}}^{0}{{c}_{{p2j}}}}}{{{{\lambda }_{{2j}}}}}, \\ {{\left\langle h \right\rangle }_{j}} = \frac{1}{{\rho _{{20}}^{j}}}\int\limits_{\Delta {{r}_{j}}} {N_{0}^{j}({{r}_{j}})g_{0}^{j}({{r}_{j}})} {{h}_{j}}d{{r}_{j}},\,\,\,\,j = 1,...,N. \\ \end{gathered} $

Здесь $m$ – массовое содержание, $\tau _{\text{v}}^{*}$ и $\tau _{T}^{*}$ – комплексные времена релаксации скорости и температуры соответственно [1], $\lambda $ – коэффициент теплопроводности, $\left\langle h \right\rangle $ – линейный оператор осреднения [6], $\rho _{{20}}^{{}}$ – плотность дисперсной фазы. Стоит отметить, что в частном случае, когда рассматриваются две фракции, дисперсионное соотношение совпадает с [8].

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Рассмотрим распространение акустической волны в трехфракционной смеси газа с каплями воды, частицами песка и частицами алюминия. Расчеты проведены с помощью дисперсионного соотношения (5) при следующих значениях параметров смеси: ${{p}_{0}} = 0.1$ МПа, ${{T}_{0}} = 320$ K. Массовые содержания капель воды ${{m}_{a}} = 0.3,$ частиц песка ${{m}_{b}} = 0.3$ и частиц алюминия ${{m}_{c}} = 0.3.$ Функции распределения включений по размерам составляли для капель воды $N_{0}^{a}({{r}_{a}}) = r_{a}^{{ - 3}},$ для частиц песка $N_{0}^{b}({{r}_{b}}) = r_{b}^{{ - 3}}$ и для частиц алюминия $N_{0}^{c}({{r}_{c}}) = r_{c}^{{ - 3}}.$ Радиус включений изменялся в диапазоне для капель воды ${{r}_{a}} \in \left[ {5 \times {{{10}}^{{ - 4}}},\;{{{10}}^{{ - 3}}}} \right]$ м, для частиц песка ${{r}_{b}} \in \left[ {5 \times {{{10}}^{{ - 5}}},\;{{{10}}^{{ - 4}}}} \right]$ м и для частиц алюминия ${{r}_{c}} \in \left[ {5 \times {{{10}}^{{ - 6}}},\;{{{10}}^{{ - 5}}}} \right]$ м.

На рис. 1 приведена зависимость относительной скорости звука ${{{{C}_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}_{p}}} {{{C}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{1}}}}$ от безразмерной частоты возмущения ${{\Omega }_{{5,3}}} = \omega \tau _{{\text{v}a}}^{{(5,3)}},$ где $\tau _{{\text{v}a}}^{{(5,3)}}$ – время релаксации скорости для среднего радиуса $r_{a}^{{(5,3)}} = {{\left( {{{\left\langle {r_{a}^{5}} \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {r_{a}^{5}} \right\rangle } {\left\langle {r_{a}^{3}} \right\rangle }}} \right. \kern-0em} {\left\langle {r_{a}^{3}} \right\rangle }}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}$ [2]. Наличие трех фракций с различными размерами включений приводит к трем характерным перегибам относительной скорости звука в зависимости от безразмерной частоты возмущения. При низких частотах ${{\Omega }_{{5,3}}} < {{10}^{{ - 1}}}$ относительная скорость звука принимает некоторое равновесное значение. При высоких же частотах ${{\Omega }_{{5,3}}} > {{10}^{4}}$ относительная скорость звука стремится к единице, т.е. фазовая скорость стремится к скорости звука в чистом газе.

Рис. 1.

Зависимость относительной скорости звука от безразмерной частоты возмущения.

На рис. 2 приведены зависимости декремента затухания на длине волны $\sigma $ от безразмерной частоты возмущения ${{\Omega }_{{5,3}}},$ кривая 1 – с учетом теплообмена, 2 – без учета теплообмена. Наличие трех фракции с разными теплофизическими свойствами приводит к трем локальным максимумам декремента затухания в зависимости от безразмерной частоты возмущения. Когда теплообмен между фракциями и несущей средой не учитывается, то декремент затухания уменьшается во всем диапазоне изменения частот возмущения.

Рис. 2.

Зависимость декремента затухания от безразмерной частоты возмущения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрено распространение звука в многофракционных газовзвесях с полидисперсными включениями. Установлено, что наличие трех фракций с разными размерами включенияй приводит к трем характерным перегибам в зависимости относительной скорости звука от безразмерной частоты возмущения. Наблюдаются три локальных максимума в зависимости декремента затухания от безразмерной частоты, связанные с различными радиусами и теплофизическими свойствами включений разных фракций. В случае, когда теплообмен не учитывается, затухание волн меньшее во всем диапазоне рассматриваемых частот.

Список литературы

  1. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. 464 с.

  2. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 1998. 153 с.

  3. Temkin S. Suspension Acoustics: An Introduction to the Physics of Suspension. N.Y.: Cambridge Univ. Press, 2005. 398 p.

  4. Губайдуллин Д.А., Терегулова Е.А., Губайдуллина Д.Д. Распространение акустических волн в многофракционных газовзвесях // ТВТ. 2015. Т. 53. № 5. С. 942.

  5. Marble F.E. Dynamics of Dusty Gases // Ann. Rev. Fluid Mech. 1970. V. 2. P. 1.

  6. Гумеров Н.А., Ивандаев А.И. Распространение звука в полидисперсных газовзвесях // ПМТФ. 1988. № 5. С. 115.

  7. Вараксин А.Ю. Влияние частиц на турбулентность несущего потока газа // ТВТ. 2015. Т. 53. № 3. С. 441.

  8. Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с полидисперсными частицами разных материалов и размеров // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2011. № 5–6. С. 3.

  9. Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В. Сферические и цилиндрические волны в парогазовых смесях с полидисперсными частицами и каплями // ТВТ. 2012. Т. 50. № 5. С. 659.

  10. Вараксин А.Ю. Обтекание тел дисперсными газовыми потоками // ТВТ. 2018. Т. 56. № 2. С. 282.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Теплофизика высоких температур

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал