Теплофизика высоких температур, 2019, T. 57, № 4, стр. 560-571

Моделирование детонации металлогазовых горючих смесей в высокоскоростном потоке за ударной волной

В. Ю. Гидаспов¹, Н. С. Северина^1, *

¹ Московский авиационный институт
Москва, Россия

Поступила в редакцию 28.01.2019
После доработки 28.02.2019
Принята к публикации 27.03.2019

DOI: 10.1134/S0040364419040069

Аннотация

Приводится физико-математическая модель, позволяющая описывать процессы самовоспламенения, горения и детонации горючих металлогазовых смесей. Разработана упрощенная физико-математическая модель процесса. Дисперсные частицы считаются многокомпонентными, учитываются процессы плавления, испарения материала частиц, а также поверхностные реакции, в которых могут участвовать как жидкие, так и газообразные компоненты. Несущий газ считается многокомпонентным с возможностью протекания произвольного числа химических реакций. Рассматривается случай, когда продукты сгорания находятся в состоянии термодинамического равновесия, при этом в них учитывается наличие мелкодисперсных частиц металлов, оксидов и нитридов металлов. Расчетным путем определены структура и минимальная скорость распространения стационарной детонационной волны. Показано, что вычисленные в волнах параметры асимптотически стремятся к своим равновесным значениям. Разработанные физико-математическая модель и вычислительные алгоритмы могут быть использованы при создании методик моделирования горения и детонации металлогазовых смесей в многомерной постановке.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время большой теоретический и практический интерес вызывают задачи образования и распространения волн горения и детонации в многофазных средах, состоящих из частиц горючего и газообразного окислителя. Особый интерес среди них представляют проблемы, связанные с горением и детонацией воздушных смесей с углеводородами и частицами металлов, в частности алюминия, магния и бора. Горение металлизированных топлив и углеводородов имеет как много общих закономерностей, так и ряд принципиальных отличий. Горение капель углеводородного топлива происходит в газовой фазе: горят продукты испарения, при этом температура самих капель существенно ниже температуры продуктов сгорания. Горение газовзвесей металлических частиц сопровождается протеканием поверхностных и газофазных химических реакций, а также образованием конденсированных продуктов на поверхности частицы и в продуктах сгорания, в то время как температура частиц может превышать температуру окружающих газов. Оригинальные результаты и обзоры экспериментальных и расчетно-теоретических исследований горения металлогазовых и углеводородных топлив содержатся в большом количестве статей и монографий [1–32 ].

Из обзора литературы, в частности, следует, что экспериментально изучалась в основном детонация смесей мелкодисперсного алюминия в воздухе, детонация магниево-воздушных смесей исследовалась в небольшом числе работ, анализ детонации боро-воздушных смесей практически отсутствует. В случае смесей магния и бора имеется значительное число экспериментальных и расчетно-теоретических исследований горения частиц в воздухе и кислороде. Необходимо отметить, что детонационная (равновесная ударная) адиабата для горючих смесей является объективной характеристикой процесса горения. Детонационная адиабата содержит точки Чепмена–Жуге детонации и дефлаграции, а также точки, соответствующие адиабатическому сгоранию топлива при заданных удельном объеме и давлении, что позволяет рассчитывать величину тепловыделения в соответствующих идеальных реакторах.

В предлагаемой работе исследуется процесс самовоспламенения, горения и детонации взвесей алюминия, магния и бора в воздухе [2, 5, 8, 22–24]. Считается, что материал частиц испаряется и одновременно участвует в реакциях изменения состава капли (образовании оксидов алюминия, магния, бора). В газовой фазе происходят химические превращения, приводящие к образованию различных соединений, состоящих из элементов, входящих в состав горючего и воздуха, количество и фазовый состав которых существенно зависит от соотношения горючего и окислителя. Процесс сгорания заканчивается установлением скоростного, температурного, фазового и химического равновесий.

Разработанные математические модели, вычислительные алгоритмы и компьютерные программы апробированы на задачах расчета высокоскоростного горения в газокапельных углеводородных и металлогазовых топливных смесях [13, 18, 23, 25, 27–32, 37].

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Исследуется процесс самовоспламенения, горения и детонации мелкодисперсной взвеси алюминия, магния и бора в воздухе в канале постоянного сечения. Рассматривается течение за ударной волной, распространяющейся с постоянной скоростью [13, 18, 23, 25]. При построении физико-математической модели процесса считается, что течение одномерное, объемная доля частиц в газе мала, эффекты вязкости теплопроводности и диффузии существенны только при взаимодействии частиц с газом, химические реакции протекают в газовой фазе и на поверхности частиц. Дробление и коагуляция частиц не рассматриваются. Стационарные двухфазные течения, возникающие в канале постоянного сечения за стационарной ударной волной (УВ), распространяющейся по горючей смеси со скоростью D, при сделанных выше предположениях описываются аналогичной, используемой в [13, 18, 23, 25] системой дифференциально-алгебраических уравнений

(1)

$\begin{gathered} \rho \text{v} + {{n}_{s}}{{m}_{s}}{{\text{v}}_{s}} = {{\rho }_{0}}{{\text{v}}_{0}} + {{n}_{{s0}}}{{m}_{{s0}}}{{\text{v}}_{{s0}}}, \\ \rho {{\text{v}}^{2}} + p + {{n}_{s}}{{m}_{s}}\text{v}_{s}^{2} = {{\rho }_{0}}\text{v}_{0}^{2} + {{p}_{0}} + {{n}_{{s0}}}{{m}_{{s0}}}\text{v}_{{s0}}^{2}, \\ \rho \text{v}\left( {e + \frac{p}{\rho } + \frac{{{{\text{v}}^{2}}}}{2}} \right) + {{n}_{s}}{{m}_{s}}{{\text{v}}_{s}}\left( {{{e}_{s}} + \frac{{\text{v}_{s}^{2}}}{2}} \right) = \\ = {{\rho }_{0}}{{\text{v}}_{0}}\left( {{{e}_{0}} + \frac{{{{p}_{0}}}}{{{{\rho }_{0}}}} + \frac{{\text{v}_{0}^{2}}}{2}} \right) + {{n}_{{s0}}}{{m}_{{s0}}}{{\text{v}}_{{s0}}}\left( {{{e}_{{s0}}} + \frac{{\text{v}_{{s0}}^{2}}}{2}} \right), \\ {{n}_{s}}{{\text{v}}_{s}} = {{n}_{{s0}}}{{\text{v}}_{{s0}}}. \\ \end{gathered} $

(2)

$\begin{gathered} \frac{{d\rho \text{v}{{\gamma }_{i}} + {{n}_{s}}{{m}_{s}}{{\text{v}}_{s}}{{\gamma }_{{is}}}}}{{d\xi }} = {{W}_{i}},\quad i = 1,...,N, \\ {{\text{v}}_{s}}\frac{{d{{m}_{{si}}}}}{{d\xi }} = {{{\dot {m}}}_{{si}}} = {{{{W}_{i}}{{\mu }_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{W}_{i}}{{\mu }_{i}}} {{{n}_{s}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{s}}}},\,\,\,\,i = {{N}_{s}} + 1,...,N + {{N}_{s}}, \\ {{\text{v}}_{s}}\frac{{d{{u}_{s}}}}{{d\xi }} = {{{\dot {u}}}_{s}},\,\,\,\,{{\text{v}}_{s}}\frac{{d{{m}_{s}}{{H}_{s}}}}{{d\xi }} = {{{\dot {H}}}_{s}}. \\ \end{gathered} $

Здесь $\rho ,p,e,{{\gamma }_{i}},{{\mu }_{i}}$ – плотность, давление, внутренняя энергия, мольно-массовые концентрации и молекулярные веса компонент соответственно; ${{n}_{s}},\,{{m}_{s}},\,{{e}_{s}},{{H}_{s}},\,{{\gamma }_{{is}}},\,{{m}_{{si}}}$ – число частиц в единице объема, масса, внутренняя энергия, энтальпия, число молей i-го вещества в килограмме массы частицы, масса i-го вещества в частице соответственно; ${{\dot {u}}_{s}},\,{{\dot {H}}_{s}},$ ${{\dot {m}}_{{si}}}$ – выражения, описывающие скорости изменения скорости, энтальпии и массы i-го вещества частицы; ${{W}_{i}}$ – число молей i-го вещества, образующегося в единице объема в единицу времени за счет протекания химических реакций и фазовых переходов. В системе уравнений (1), (2) в список из N веществ в газовой фазе могут входить конденсированные компоненты. Вещества, входящие в состав дисперсной частицы, нумеруются индексами N + 1, …, N + ${{N}_{S}},$ соответствующие им газофазные и твердые продукты могут также присутствовать в газовой фазе.

При рассмотрении течения за УВ $\xi = Dt - x$ (расстояние от ударной волны до рассматриваемой точки x, t – время), $\text{v} = D - u,$ ${{\text{v}}_{s}} = D - {{u}_{s}}$ – скорость газа и частиц относительно УВ, индексом 0 обозначены параметры перед УВ.

Из системы (1), (2) может быть получено дифференциальное уравнение для скорости потока:

$\begin{gathered} \rho {{a}^{2}}\left( {\frac{{\rho {{h}_{T}}}}{{{{p}_{T}}}} - 1} \right)({{M}^{2}} - 1)d\text{v} = \\ = \rho \text{v}\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{{h}_{{{{\gamma }_{i}}}}} - \frac{{{{h}_{T}}}}{{{{p}_{T}}}}{{p}_{{{{\gamma }_{i}}}}}} \right)} d{{\gamma }_{i}} + {{n}_{s}}{{\text{v}}_{s}}\left[ {{{h}_{s}} + \frac{{\text{v}_{s}^{2}}}{2} - h - \frac{{{{\text{v}}^{2}}}}{2} + } \right. \\ + \,\,\left. {{{a}^{2}}\left( {\frac{{\rho {{h}_{T}}}}{{{{p}_{T}}}} - 1} \right) + \frac{{\rho \text{v}{{h}_{T}}}}{{{{p}_{T}}}}(\text{v} - {{\text{v}}_{s}})} \right]d{{m}_{s}} - \\ - \,\,{{n}_{s}}{{\text{v}}_{s}}{{m}_{s}}\left[ {\text{v}\left( {\frac{{\rho {{h}_{T}}}}{{{{p}_{T}}}} - 1} \right) + (\text{v} - {{\text{v}}_{s}})} \right]d{{u}_{s}} + {{n}_{s}}{{\text{v}}_{s}}{{m}_{s}}d{{h}_{s}}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{a}^{2}} = {{p}_{\rho }}\frac{{\frac{{\rho {{h}_{T}}}}{{{{p}_{T}}}} - \frac{{\rho {{h}_{\rho }}}}{{{{p}_{\rho }}}}}}{{\frac{{\rho {{h}_{T}}}}{{{{p}_{T}}}} - 1}},$ $M = \frac{\nu }{a},$ a – скорость звука, нижние индексы T, $\rho $, ${{\gamma }_{i}}$ значают частное дифференцирование по соответствующему параметру. Из термодинамики следует, что ${{\rho {{h}_{T}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\rho {{h}_{T}}} {{{p}_{T}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{T}}}} - 1 > 0$ [33]. Дифференциалы $d{{\gamma }_{i}},$ $d{{u}_{s}},$ $d{{h}_{s}},$ $d{{m}_{s}}$ определяются описанными ниже моделями химической кинетики, межфазных сопротивления и тепломассообмена соответственно. Данное дифференциальное уравнение для относительной скорости содержит особенность в случае, когда в процессе решения ${{M}^{2}} - 1 = 0,$ а правая часть уравнения не равна нулю, и тогда рассматриваемая система решения не имеет [33–35]. Точка Чепмена–Жуге соответствует одновременному выполнению равенства ${{M}^{2}} - 1 = 0$ и достижения состояния равновесия, т.е. равенству нулю правой части данного дифференциального уравнения.

Для замыкания системы (1), (2) используются модели термодинамики, химической кинетики, сопротивления и тепломассообмена, аналогичные приведенным в [13, 18, 23, 25, 28, 36]. В рассматриваемом случае газовая смесь представляет собой смесь совершенных газов, термодинамические свойства которой описываются заданием потенциала Гиббса [37] вида

$G(p,T,\gamma ) = \sum\limits_{i = 1}^N {{{\gamma }_{i}}\left[ {RT\ln \left( {{{p{{\gamma }_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{p{{\gamma }_{i}}} {{{P}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{0}}}}\sum\limits_{j = 1}^N {{{\gamma }_{j}}} } \right) + G_{i}^{0}(T)} \right]} {\kern 1pt} .$

Потенциал Гиббса веществ, входящих в состав частиц, считается зависящим от температуры и в ряде случаев от давления:

$\begin{gathered} {{G}_{{iS}}}(p,T) = {{\gamma }_{{iS}}}\left( {G_{{iS}}^{0}(T) + \frac{1}{{{{\rho }_{{Si}}}(T)}}(p - {{P}_{0}})} \right), \\ i = N + 1,...,N + {{N}_{S}}. \\ \end{gathered} $

Здесь $G_{i}^{0}(T)$ – известные функции, стандартные молярные потенциалы Гиббса отдельных компонент [37], ${{\rho }_{{Si}}}$ – плотность компонента, входящего в состав частицы. Все остальные термодинамические параметры могут быть рассчитаны с использованием выражения для потенциала Гиббса и его частных производных по давлению, температуре и концентрациям [37].

Произвольный механизм химических реакций и фазовых переходов при участии в том числе и жидких компонентов может быть записан в следующем виде [5, 33, 35]:

$\sum\limits_{i = 1}^{N + {{N}_{S}}} {\vec {\nu }_{i}^{{(r)}}{{M}_{i}}{\text{ }}_{{\xleftarrow[{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{W} }}^{{(r)}}}}]{}}}^{{\xrightarrow{{{{{\vec {W}}}^{{(r)}}}}}}}\sum\limits_{i = 1}^{N + {{N}_{S}}} {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\nu } _{i}^{{(r)}}{{M}_{i}}} } ,\,\,\,\,r = 1,...,{{N}_{r}} + {{N}_{{rs}}},$

где $\nu _{i}^{{(r)}}$ – стехиометрические коэффициенты, ${{M}_{i}}$ – символ молекулы i-го вещества. Число молей i-го вещества, образующегося в единицу времени в единице объема смеси, записывается традиционным образом:

${{W}_{i}} = \sum\limits_{r = 1}^{{{N}_{r}} + {{N}_{{rS}}}} {(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\nu } _{i}^{{(r)}} - \vec {\nu }_{i}^{{(r)}})({{{\vec {W}}}^{{(r)}}} - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{W} }}^{{(r)}}})} .$

Здесь W ^r – скорость r-й реакции. В случае реакций на поверхности частиц и фазовых переходов ($r = {{N}_{r}} + 1,...,{{N}_{r}} + {{N}_{{rs}}}$) выполняется соотношение

$\dot {m}_{i}^{r}{{n}_{S}}\frac{1}{{{{\mu }_{i}}}} = \left( {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\nu } _{i}^{{(r)}} - \vec {\nu }_{i}^{{(r)}}} \right)({{\vec {W}}^{{(r)}}} - {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{W} }^{{(r)}}}),\,\,\,\,{{\dot {m}}_{i}} = \sum\limits_{r = {{N}_{r}}}^{{{N}_{r}} + {{N}_{{rS}}}} {\dot {m}_{i}^{r}} .$

Выражения для $\dot {m}_{i}^{r}$ определяются соответствующими моделями тепломассообмена и кинетики поверхностных реакций. В высокотемпературном случае (T > 2000 К) химические превращения, протекающие в газовой фазе, можно рассматривать в равновесном приближении [5]. В этом случае концентрации химических компонент могут быть найдены из решения нелинейной системы уравнений

${{W}_{i}}(\rho ,T,{{\gamma }_{1}},...,{{\gamma }_{N}}) = 0,\,\,\,\,i = 1,...,N$

или из решения эквивалентной ей системы уравнений химического равновесия [5, 13, 35]

(3)

$\begin{gathered} \frac{{{{P}_{0}}V}}{{RT}}\sum\limits_{i = 1}^N {A_{K}^{i}\exp \left( {\sum\limits_{l = 1}^{{{N}_{e}}} {{{A_{l}^{i}{{Z}_{l}} - G_{i}^{0}(T)} \mathord{\left/ {\vphantom {{A_{l}^{i}{{Z}_{l}} - G_{i}^{0}(T)} {RT}}} \right. \kern-0em} {RT}}} } \right)} = \gamma _{K}^{0}, \\ k = 1,...,{{N}_{e}}, \\ \end{gathered} $

(4)

${{\gamma }_{i}} = \frac{{{{P}_{0}}V}}{{RT}}\exp \left( {\sum\limits_{K = 1}^{{{N}_{e}}} {{{A_{K}^{i}{{Z}_{K}} - G_{i}^{0}(T)} \mathord{\left/ {\vphantom {{A_{K}^{i}{{Z}_{K}} - G_{i}^{0}(T)} {RT}}} \right. \kern-0em} {RT}}} } \right),\,\,\,\,V = \frac{1}{\rho }.$

Здесь $\gamma _{K}^{0} = \sum\nolimits_{i = 1}^N {A_{K}^{i}{{\gamma }_{i}}} ,$ $k = 1,...,{{N}_{e}}$ – заданное число молей K-го элемента в газовой фазе. Система нелинейных алгебраических уравнений (3) устанавливает связь между двумя термодинамическими параметрами V и Т и параметрами ${{Z}_{K}},$ $K = 1,...,{{N}_{e}}$ в состоянии химического равновесия. Если V и Т известны, то значения ${{Z}_{K}}$ могут быть найдены из (3), а затем из (4) могут быть рассчитаны равновесные концентрации ${{\gamma }_{i}},\;i = 1,...,N,$ а также их частные производные по термодинамическим параметрам [5, 33, 35]. Таким образом, в состоянии термодинамического равновесия ${{\gamma }_{i}}$ являются неявно заданными функциями удельного объема, температуры и элементного состава

${{\gamma }_{i}} = {{\gamma }_{i}}(V,T,\gamma _{1}^{0},...,\gamma _{{Ne}}^{0}),\,\,\,\,i = 1,...,N.$

Необходимо отметить, что система уравнений (3) может быть использована для расчета равновесного состава при наличии жидких и твердых компонент. Жидкая и твердая фазы при этом трактуются как совершенный газ, состоящий из кластеров данного вещества, включающих $K$ молекул [5, 13]. Выражения для молекулярного веса и молярного потенциала Гиббса такого “газа” имеют вид

$\begin{gathered} \mu _{s}^{*} = K{{\mu }_{s}}, \\ G_{s}^{*}(p,T,\gamma ) = RT\ln \left( {{{p\gamma _{s}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{p\gamma _{s}^{*}} {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}\sum\limits_{(j)} {{{\gamma }_{j}}} } \right) + KG_{s}^{0}(T), \\ \end{gathered} $

где ${{\mu }_{s}}$ – молекулярный вес, $G_{s}^{0}(T)$ – стандартный молярный потенциал Гиббса жидкой фазы [37].

Если записать условие химического равновесия для кластера, то при больших $K$ оно автоматически переходит в условие равновесия между газовой и жидкой фазами. В реальных расчетах уже при $K = 500$ ошибка при определении массовой доли жидкой фазы не превышает 1%.

Модели сопротивления и тепломассообмена испаряющейся частицы характеризуют зависимости ${{\dot {u}}_{S}},{{\dot {m}}_{S}},{{\dot {H}}_{S}}$ от текущих значений параметров капель и обтекающего их газа. Применены полуэмпирические критериальные зависимости для квазистационарных, континуальных режимов тепломассообмена и сопротивления одиночных испаряющихся капель, обтекаемых многокомпонентным газом [5, 36, 38].

Неравновесными считаются процессы тепломассообмена между газом и частицами

$\sum\limits_{r = {{N}_{r}} + 1}^{{{N}_{r}} + {{N}_{{rs}}}} {(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\nu } _{i}^{{(r)}} - \vec {\nu }_{i}^{{(r)}})({{{\vec {W}}}^{{(r)}}} - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{W} }}^{{(r)}}})} = \sum\limits_{r = 1}^{{{N}_{{rs}}}} {\dot {m}_{i}^{r}} \ne 0.$

Используется гипотеза о том, что процесс испарения происходит в “тонком слое” вокруг частицы, в котором плотность постоянна [5, 36] и равна плотности газа $\rho .$ Будем считать, что мольно-массовые концентрации газовых компонент, участвующих в процессе межфазного массообмена у поверхности частиц, вычисляются из условия равенства потенциалов Гиббса компонент, участвующих в реакциях испарения (конденсации) и поверхностных реакциях окисления, вычисленных при температуре частицы ${{T}_{S}}$ и плотности газа, а остальные $\gamma _{i}^{S}$ – из условий химического равновесия в газовой фазе. Средние концентрации и температура в “тонком” слое рассчитываются по формулам

${{\bar {\gamma }}_{i}} = \beta \gamma _{i}^{s} + (1 - \beta ){{\gamma }_{i}},\,\,\,\,\bar {T} = \beta {{T}_{s}} + (1 - \beta )T,$

где $\beta $ – некоторый параметр из интервала [0, 1] (в расчетах $\beta $ = 0.5).

Выражение для потока i-го компонента в реакции испарения (конденсации) в соответствии с диффузионной моделью [5, 18, 36] может быть записано в виде

(5)

$\begin{gathered} \dot {m}_{i}^{r} = - 2\pi d\frac{{{{m}_{{Si}}}{{\rho }_{S}}}}{{{{\rho }_{{Si}}}{{m}_{S}}}}{{{\bar {D}}}_{i}}\bar {\rho }\delta _{{mi}}^{0}\ln \left( {\frac{{1 - {{{{\alpha }_{i}}{{\rho }_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{i}}{{\rho }_{i}}} \rho }} \right. \kern-0em} \rho }}}{{1 - {{\alpha }_{i}}{{\rho _{i}^{H}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\rho _{i}^{H}} \rho }} \right. \kern-0em} \rho }}}} \right) = \\ = - 2\pi d\frac{{{{m}_{{Si}}}{{\rho }_{S}}}}{{{{\rho }_{{Si}}}{{m}_{S}}}}{{{\bar {D}}}_{i}}\bar {\rho }\delta _{{mi}}^{0}\ln \left( {\frac{{1 - {{\alpha }_{i}}{{{\bar {\gamma }}}_{i}}{{\mu }_{i}}}}{{1 - {{\alpha }_{i}}\gamma _{i}^{S}{{\mu }_{i}}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь $\rho _{i}^{H} = {{p_{i}^{H}} \mathord{\left/ {\vphantom {{p_{i}^{H}} {\rho R{{T}_{S}},}}} \right. \kern-0em} {\rho R{{T}_{S}},}}$ $p_{i}^{H} = p_{i}^{H}({{T}_{s}})$ – давление насыщенных паров i-го вещества при температуре частицы, ${{\alpha }_{i}}$ – параметр, вообще говоря, зависящий от кинетики межфазного массообмена (в расчетах ${{\alpha }_{i}}$ = 1).

Для описания межфазного массообмена и поверхностных реакций рассматриваются три реакции:

(6)

${{{\text{M}}}^{{\text{C}}}} \Leftrightarrow {\text{M}},$

(7)

${{{\text{M}}}_{X}}{\text{O}}_{Y}^{{\text{c}}} \Leftrightarrow {{{\text{M}}}_{X}}{{{\text{O}}}_{Y}}$

и реакции окисления металла

(8)

$X{{{\text{M}}}^{{\text{C}}}} + \frac{Y}{2}{{{\text{O}}}_{2}} \Leftrightarrow {{{\text{M}}}_{X}}{\text{O}}_{Y}^{{\text{c}}},$

где M – символ молекулы металла, индекс “c” относится к твердой и жидкой фазам, X, Y – число атомов металла и кислорода в молекуле окисла. Концентрации металла, оксида металла и кислорода у поверхности частиц ($\gamma _{i}^{S}$) находятся из условий равновесия реакций (6), (7) и (8) соответственно. Скорости испарения (конденсации) металла и оксида металла определяются по формуле (5), а скорости притока (оттока) кислорода к частице по формуле (5) – диффузионная модель или по кинетической модели:

(9)

$\begin{gathered} \dot {m}_{{{{{\text{O}}}_{2}}}}^{{R3}} = \pi d_{S}^{2}\frac{{{{m}_{J}}{{\rho }_{S}}}}{{{{\rho }_{J}}{{m}_{S}}}}\delta _{{m{{{\text{O}}}_{2}}}}^{0}KT_{S}^{m}{{\left( {\frac{{{{d}_{S}}}}{{d_{S}^{0}}}} \right)}^{n}}\rho \times \\ \times \,\,\exp ({{ - E} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - E} {{{T}_{S}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{S}}}})\left( {{{\gamma }_{{{{{\text{O}}}_{2}}}}} - \gamma _{{{{{\text{O}}}_{2}}}}^{S}} \right), \\ J = \left\{ \begin{gathered} {\text{M}},\,\,\,\,{{\gamma }_{{{{{\text{O}}}_{2}}}}} > \gamma _{{{{{\text{O}}}_{2}}}}^{S}, \hfill \\ {{{\text{M}}}_{X}}{{{\text{O}}}_{Y}},\,\,\,\,{{\gamma }_{{{{{\text{O}}}_{2}}}}} < \gamma _{{{{{\text{O}}}_{2}}}}^{S}. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

Здесь K, n, m, E – константы, подбираемые из условия согласия скорости массообмена с экспериментальными данными.

Выражение для потока тепла Q от газа к частице может быть записано [5, 18, 36] как

$Q = \frac{{{{{\bar {C}}}_{P}}\delta _{T}^{0}(T - {{T}_{S}})\sum\limits_i {{{{{{\dot {m}}}_{{si}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\dot {m}}}_{{si}}}} {\delta _{{mi}}^{0}}}} \right. \kern-0em} {\delta _{{mi}}^{0}}}} }}{{{{e}^{{\frac{{{{{\bar {C}}}_{P}}\sum\limits_i {{{{\dot {m}}}_{{si}}}} }}{{2\pi {{d}_{S}}\bar {\lambda }}}}}} - 1}}.$

Здесь $\delta _{{mi}}^{0} = 1 + 0.287\operatorname{Re} {\text{S}}{{{\text{c}}}_{i}}{{(\operatorname{Re} {\text{Sc}}_{i}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + 1.232)}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ и $\delta _{T}^{0}$ = 1 + 0.287 RePr(RePr^4/3 + 1.232)^–1/2 – поправки на ненулевую скорость обтекания капель потоком газа, $\operatorname{Re} = \frac{{\left| {\text{v} - {{\text{v}}_{s}}} \right|{{d}_{s}}}}{{\bar {\eta }}},$ $\Pr = \frac{{\bar {\eta }{{{\bar {C}}}_{p}}\bar {\rho }}}{{\bar {\lambda }}},$ ${\text{S}}{{{\text{c}}}_{i}} = \frac{{\bar {\eta }}}{{{{{\bar {D}}}_{i}}}},$ ${{\bar {D}}_{i}},$ $\bar {\lambda }$ – коэффициенты диффузии и теплопроводности, ${{\bar {C}}_{P}}$ – теплоемкость, $\bar {\rho }$ – плотность вычислялись по средним значениям в “тонком слое” вокруг частицы. Эффективные коэффициенты диффузии паров вещества капель в многокомпонентном газе и вязкости рассчитывались по приближенной формуле Уилки, а коэффициент теплопроводности по формуле Массона и Саксена с использованием уточненной корреляции Эйкена [37].

При наличии химических реакций уравнение для нахождения температуры частицы имеет вид [13, 18, 23]

(10)

$\begin{gathered} \frac{{d{{m}_{s}}{{H}_{S}}}}{{dt}} = Q + \sum\limits_{r = {{N}_{r}}}^{{{N}_{r}} + {{N}_{{rS}}}} {\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\nu } _{i}^{{(r)}} - \vec {\nu }_{i}^{{(r)}}} \right)} } \times \\ \times \,\,({{{\vec {W}}}^{{(r)}}} - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{W} }}^{{(r)}}})\frac{{{{\mu }_{i}}}}{{{{n}_{S}}}}{{H}_{i}}({{T}_{s}}). \\ \end{gathered} $

В процессе теплообмена материалы, входящие в состав частицы, могут переходить из твердого агрегатного состояния в жидкое и обратно. В работе считается, что процессы плавления и кристаллизации протекают равновесно. В этом случае суммарная энтальпия частиц может быть записана как

(11)

${{H}_{s}}(T) = \sum\limits_{i = 1}^{{{N}_{S}}} {\left( {\gamma _{i}^{s}H_{i}^{s}(T) + \gamma _{i}^{l}H_{i}^{l}(T)} \right){\kern 1pt} } .$

Здесь верхние индексы s и l относятся к твердой и жидкой фазам, содержание i-го компонента в частице равно сумме соответствующих концентраций

${{\gamma }_{i}} = \gamma _{i}^{s} + \gamma _{i}^{l} = \frac{{{{m}_{{Si}}}}}{{{{m}_{S}}{{\mu }_{i}}}}.$

Значение энтальпии ${{H}_{s}}$ может быть найдено из (10), а температура частицы ${{T}_{s}}$ и концентрации $\gamma _{i}^{s},$ $\gamma _{i}^{l}$ из (11). При фиксированных концентрациях ${{\gamma }_{i}}$ энтальпия частицы (11) является монотонно-возрастающей функцией температуры и для вычисления температуры и концентраций $\gamma _{i}^{s},$ $\gamma _{i}^{l}$ может использоваться приведенный ниже алгоритм. Вещества, входящие в состав частицы, нумеруются в порядке возрастания температуры плавления $T_{m}^{i}.$ В нижеприведенных формулах, если индекс начала суммирования больше индекса конца суммирования, суммирование не производится.

$\begin{gathered} {\text{Е с л и }}\,\,{{H}_{s}} < \sum\limits_{i = 1}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{s}(T_{m}^{1})} , \\ т о \,\,{{T}_{s}}:\,{{H}_{s}} = \sum\limits_{i = 1}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{s}({{T}_{s}})} ,\,\,\,\,\gamma _{i}^{s} = {{\gamma }_{i}},\,\,\,\,\gamma _{i}^{l} = 0. \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {\text{Е с л и }}\sum\limits_{i = 1}^{j - 1} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{l}(T_{m}^{j})} + \sum\limits_{i = j}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{s}(T_{m}^{j})} < \\ < {{H}_{s}} < \sum\limits_{i = 1}^j {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{l}(T_{m}^{j})} + \sum\limits_{i = j + 1}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{s}(T_{m}^{j})} ,\,\,\,\,j = 1,...,{{N}_{s}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {\text{т о }}\,\,{{T}_{s}} = T_{m}^{j}; \\ \gamma _{j}^{s} = \frac{{{{H}_{s}} - \sum\limits_{i = 1}^{j - 1} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{l}(T_{m}^{j})} - \sum\limits_{i = j}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{s}(T_{m}^{j})} }}{{H_{i}^{s}(T_{m}^{i}) - H_{i}^{l}(T_{m}^{i})}}, \\ \gamma _{j}^{l} = {{\gamma }_{j}} - \gamma _{j}^{s},\,\,\,\,\gamma _{i}^{l} = {{\gamma }_{i}},\,\,\,\,\gamma _{i}^{s} = 0,\,\,\,\,i = 1,...,j - 1; \\ \gamma _{i}^{l} = 0,\,\,\,\,\gamma _{i}^{s} = {{\gamma }_{i}},\,\,\,\,i = j + 1,...,{{N}_{s}}. \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {\text{Е с л и }}\,\,\sum\limits_{i = 1}^j {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{l}(T_{m}^{j})} + \sum\limits_{i = j + 1}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{s}(T_{m}^{j})} < {{H}_{s}} < \\ < \,\,\sum\limits_{i = 1}^j {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{l}(T_{m}^{{j + 1}})} + \sum\limits_{i = j + 1}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{s}(T_{m}^{{j + 1}})} ,\,\,\,\,j = 1,...,{{N}_{s}} - 1, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {\text{т о }}\,\,{{T}_{s}}:{{H}_{s}} = \sum\limits_{i = 1}^j {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{l}({{T}_{s}})} + \sum\limits_{i = j + 1}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{s}({{T}_{s}})} , \\ \gamma _{i}^{l} = {{\gamma }_{i}},\,\,\,\,\gamma _{i}^{s} = 0,\,\,\,\,i = 1,...,j;\,\,\,\,\gamma _{i}^{l} = 0,\,\,\,\,\gamma _{i}^{s} = {{\gamma }_{i}}, \\ i = j + 1,...,{{N}_{s}}. \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {\text{Е с л и }}\,\,{{H}_{s}} > \sum\limits_{i = 1}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{l}(T_{m}^{{{{N}_{s}}}})} , \\ {\text{т о }}\,\,{{T}_{s}}:\,{{H}_{s}} = \sum\limits_{i = 1}^{{{N}_{S}}} {{{\gamma }_{i}}H_{i}^{l}({{T}_{s}})} ,\,\,\,\,\gamma _{i}^{s} = 0,\,\,\,\,\gamma _{i}^{l} = {{\gamma }_{i}}. \\ \end{gathered} $

Для интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2) используется модифицированный метод У.Г. Пирумова [25, 29–32, 35], на каждой итерации которого с высокой точностью решается система нелинейных алгебраических уравнений (1), (3). Метод интегрирования обеспечивает точное выполнение законов сохранения элементного состава.

Рассматриваемая система дифференциально-алгебраических уравнений в случае, когда частицы полностью испаряются, имеет предельное равновесное решение: точку, лежащую на равновесной адиабате, удовлетворяющей системе нелинейных алгебраических уравнений:

$\begin{gathered} \rho \text{v} = {{\rho }_{0}}{{\text{v}}_{0}} + {{n}_{{s0}}}{{m}_{{s0}}}{{\text{v}}_{{s0}}} = {{Q}_{0}}, \\ \rho {{\text{v}}^{2}} + p = {{\rho }_{0}}\text{v}_{0}^{2} + {{p}_{0}} + {{n}_{{s0}}}{{m}_{{s0}}}\text{v}_{{s0}}^{2} = {{I}_{0}}, \\ e + \frac{p}{\rho } + \frac{{{{\text{v}}^{2}}}}{2} = \\ = \frac{{{{\rho }_{0}}{{\text{v}}_{0}}\left( {{{e}_{0}} + \frac{{{{p}_{0}}}}{{{{\rho }_{0}}}} + \frac{{\text{v}_{0}^{2}}}{2}} \right) + {{n}_{{s0}}}{{m}_{{s0}}}{{\text{v}}_{{s0}}}\left( {{{e}_{{s0}}} + \frac{{\text{v}_{{s0}}^{2}}}{2}} \right)}}{{{{\rho }_{0}}{{\text{v}}_{0}} + {{n}_{{s0}}}{{m}_{{s0}}}{{\text{v}}_{{s0}}}}} = \frac{{{{E}_{0}}}}{{{{Q}_{0}}}}, \\ p = \rho R\sum\limits_{i = 1}^N {{{\gamma }_{i}}T,} \,\,\,\,e = \sum\limits_{i = 1}^N {{{\gamma }_{i}}e_{i}^{0}(T),} \\ {{\gamma }_{i}} = {{\gamma }_{i}}(V,T,\gamma _{1}^{0},...,\gamma _{{Ne}}^{0}),\,\,\,\,i = 1,...,N. \\ \end{gathered} $

Из данной системы уравнений могут быть получены предельные значения ${{\text{v}}_{0}},$ при которых данная система имеет решение и которые являются для двухфазной смеси аналогами скорости детонации Чепмена–Жуге [13, 18, 23, 25, 32].

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Моделирование детонации частиц алюминия в воздухе. Исследуется процесс самовоспламенения и детонации взвеси алюминия в воздухе [1–13] за ударной волной, распространяющейся с постоянной скоростью. За УВ происходит прогрев частиц до температуры воспламенения за счет теплообмена с газовой фазой, а также гетерогенной экзотермической химической реакции образования окисной пленки Al₂O₃. После воспламенения алюминий одновременно участвует в реакциях изменения состава капли (образования оксида алюминия) и испарения, при этом температура частиц может существенно превышать температуру окружающей среды. В газовой фазе происходят химические превращения, приводящие к образованию соединений алюминия с кислородом и азотом, количество и фазовый состав которых существенно зависит от соотношения алюминия и кислорода в горючей смеси. Процесс сгорания заканчивается установлением скоростного, температурного, фазового и химического равновесий. В процессе окисления капля становится многокомпонентной и состоит из алюминия и оксида алюминия (Al₂O₃). В интересных для практики случаях в процессе нагрева частиц могут достигаться температуры плавления и кипения алюминия ($T_{m}^{{{\text{Al}}}}$ = 933.61, $T_{b}^{{{\text{Al}}}}$ = 2792 К) и оксида алюминия ($T_{m}^{{{\text{A}}{{{\text{l}}}_{2}}{{{\text{O}}}_{3}}}}$ = 2327, $T_{b}^{{{\text{A}}{{{\text{l}}}_{2}}{{{\text{O}}}_{3}}}}$ = 3253 К).

Для описания межфазного тепломассообмена и изменения состава частиц используется сокращенный по сравнению с [4] кинетический механизм поверхностных реакций, включающий реакции испарения (конденсации) и окисления алюминия (6)–(8) с X = 2, Y = 3. Стехиометрическое соотношение: ${{({{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}})}_{{CT}}}$ = 0.262. Скорости реакций (6)–(8) в первом приближении можно найти из соотношений (5).

Рассматривалась горючая смесь, состоящая из воздуха (0.21O₂ + 0.79N₂) и твердых частиц алюминия, продукты сгорания включали 14 компонент [6]: AlO₂, Al₂O₃, Al₂O, Al₂O₂, N₂, O₂, NO, AlN, Al₂O₃(ж), Al(ж), AlN(ж), O, N, Al, термодинамические свойства которых заимствовались из [37]. На рис. 1 приведены результаты численного моделирования параметров детонационной волны (ДВ) Чепмена–Жуге для смеси, состоящей из частиц алюминия и воздуха при нормальных условиях (p₀ = 101325 Па, T₀ = 298.15 К). Полученные результаты хорошо согласуются с данными экспериментальных и расчетно-теоретических исследований, которые приводятся в [7]. Графики параметров (рис. 1а) имеют максимум при отношении начальных массовых расходов алюминия и воздуха ${{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}},$ близком к стехиометрическому. В рассмотренном диапазоне значений ${{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}$ в равновесном составе в газовой фазе (рис. 1б) могут присутствовать мелкодисперсные алюминий, нитрат алюминия и окись алюминия. Точка минимума на графике температуры (рис. 1а, кривая 3) при ${{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}$ ~ 0.65 связана с появлением в продуктах сгорания жидкого нитрата алюминия.

Рис. 1.

Зависимость параметров ДВ Чепмена–Жуге от отношения расходов частиц алюминия и воздуха; (а): 1 – скорость ДВ Чепмена–Жуге, 2 – давление/1000, 3 – температура (простые маркеры – двухфазный расчет, закрашенные – эксперимент [33]); (б), (в): массовые концентрации компонент, (б) – равновесный расчет, (в) – двухфазный.

Исследовалось влияние на параметры детонации Чепмена–Жуге скоростной и температурной неравновесности газовой и дисперсной фаз. Рассчитанные минимальная скорость детонации (рис. 1а, маркеры 1) и температура (рис. 1а, маркеры 3) отличаются от равновесных (рис. 1, сплошные кривые 1, 3) менее чем на 0.5%. Давление (рис. 1а, маркеры 2) в области ${{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}$ > 0.5 отличается более существенно, что связано с неполным испарением частиц.

На рис. 2 приведены рассчитанные зависимости параметров продуктов сгорания в пересжатой детонационной волне при соотношении алюминий/воздух, близком к стехиометрическому, от лабораторного времени (время, отсчитываемое от момента прохождения ударной волны через точку пространства, где расположен наблюдатель). Расчет проводился до достижения состояния термодинамического равновесия. Скоростное и температурное равновесия (кривые 1–4), наступало примерно через 10 мкс. Расход частиц в процессе расчета увеличивался, а газа уменьшался (кривые 5, 6). Алюминий, содержащийся (рис. 2, кривая 7) в частице, через 30 мкс полностью израсходовался, при этом количество окисла (кривая 8) в частице росло за счет конденсации из газовой фазы вплоть до выхода на равновесие. В равновесном составе в газовой фазе при m_Al/m_Air= 0.2 в однофазном расчете (рис. 1б) присутствует жидкий оксид алюминия, а в двухфазном (рис. 1в) – нет, так как он входит в состав частицы.

Рис. 2.

Зависимость параметров течения в детонационной волне от лабораторного времени (D = 2000 м/с, m_Al/m_Air = 0.2): 1, 3, 5 – U, T, ρU продуктов сгорания; 2, 4, 6 – U, T, ρU частиц; 7 – m_Al × 10⁸ в частице, 8 – ${{m}_{{{\text{A}}{{{\text{l}}}_{{\text{2}}}}{{{\text{O}}}_{{\text{3}}}}}}}$ × 10⁸ в частице.

Моделирование детонации частиц магния [1–8, 14–18] в воздухе. Температура воздуха, приводящая к воспламенению газовзвеси частиц магния в воздухе, может быть ниже температуры плавления магния [1], поэтому в работе предполагается, что в химических реакциях с кислородом участвует как “жидкий”, так и “твердый” магний. В процессе окисления частица становится многокомпонентной и состоит из магния (Mg) и оксида магния (MgO). В процессе теплого взаимодействия с воздухом частица нагревается и ее температура может достигать температур плавления и испарения магния ($T_{m}^{{{\text{Mg}}}}$ = 923, $T_{b}^{{{\text{Mg}}}}$ = 1363 К) и оксида магния ($T_{m}^{{{\text{MgO}}}}$ = 3100, $T_{b}^{{{\text{MgO}}}}$ = 3600 К).

Для описания поверхностных реакций используется кинетический механизм, включающий реакции испарения (конденсации) и окисления магния по механизму (6)–(8) с X = 1, Y = 2. Стехиометрическое соотношение ${{({{{{m}_{{{\text{Mg}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Mg}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}})}_{{CT}}}$ = = 0.354. Скорости реакций (6), (7) в первом приближении можно найти из соотношений (5). Для нахождения скорости реакции (8) можно использовать диффузионную (5) и кинетическую (9) модели [14, 15]. Считается, что скорость притока кислорода к частице магния прямо пропорциональна объемной концентрации кислорода и площади поверхности капли, занятой магнием. Значение приведенной энергии активации E = = 12 535 К заимствовано из [15]. Значение константы K = 59 подбиралось из условия совпадения рассчитанной предельной температуры воспламенения одиночных сферических частиц магния ($d_{S}^{0}$ = 15–50 мкм) с экспериментальными данными, приведенными в [15]. Отличие не превысило 0.5%. В формуле (9) использовались следующие параметры: $d_{S}^{0}$ = 1 мкм, n = 2, m = 0.

Кинетическая модель (9) позволяет достаточно точно определить параметры воспламенения частиц магния, однако дает сильно завышенное значение температуры горения [15]. Диффузионная модель (5), наоборот, не позволяет корректно определять предельную температуру воспламенения, но дает достоверную температуру сгорания частиц при высоких температурах газа [1].

В настоящей работе в качестве скорости притока кислорода к частице выбирается минимальная из рассчитанных по кинетической и диффузионной моделям – кинетически-диффузионная модель [14]. Для тестирования модели в [18] расчетным путем воспроизведены три режима нагрева частиц магния: без воспламенения частиц, воспламенение с погасанием, воспламенение [14].

Изучалась горючая смесь, состоящая из воздуха (0.21O₂ + 0.79N₂) и частиц магния, продукты сгорания включали десять компонент: MgO, O₂, N₂, NO, MgO(ж), Mg(ж), Mg₃N₂(ж), O, N, Mg, термодинамические свойства которых заимствовались из [37]. На рис. 3 приведены результаты расчетов параметров равновесной детонации Чепмена–Жуге для рассматриваемой смеси при нормальных условиях. Пиковые значения скорости детонации и температуры при сгорании частиц магния ниже, чем у алюминия (рис. 1а, 3а), при этом при большом массовом содержании металла скорость детонации выше в смеси магния с воздухом. В равновесных продуктах сгорания магния (рис. 3б) присутствуют в виде мелких частиц оксид магния, а при ${{{{m}_{{{\text{Mg}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Mg}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}$ > 1.35 нитрид магния, в неравновесных расчетах (рис. 3в) при ${{{{m}_{{{\text{Mg}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Mg}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}$ > 1.1 мелкодисперсный оксид магния отсутствует.

Рис. 3.

Зависимость параметров ДВ Чепмена–Жуге от отношения расходов частиц магния и воздуха: (а)–(в) – см. рис. 1; * – жидкое состояние.

Исследовалось влияние на параметры детонации Чепмена–Жуге скоростной и температурной неравновесности газовой и дисперсной фаз. Рассматривались частицы магния с начальным диаметром 1 мкм.

На рис. 4 приведены графики изменения параметров продуктов сгорания в пересжатой ДВ при соотношении магний/воздух, близком к стехиометрическому. Скоростное и температурное равновесия (кривые 1–4) наступали примерно через 6 мкс. На графике температуры содержатся полочки, соответствующие температурам плавления магния и оксида магния. Магний, содержащийся (рис. 4, кривая 7) в частице, через 10 мкс полностью израсходовался, при этом количество оксида магния (рис. 2, кривая 8) в частице выросло, а затем уменьшилось из-за испарения. В газовой фазе при ${{{{m}_{{{\text{Mg}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Mg}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}$ < 1.1 в двухфазном расчете (рис. 3в) присутствует мелкодисперсный оксид магния.

Рис. 4.

Зависимость параметров течения в детонационной волне от лабораторного времени (D = 2000 м/с, m_Mg/m_Air = 0.2): 1–6 – см. рис. 2; 7 – m_Mg × 10⁸ кг в частице, 8 – m_MgO × 10⁸ кг в частице.

Моделирование детонации частиц бора [1, 8, 9, 19–24] в воздухе. Особенностью горения бора по сравнению с магнием и алюминием является то, что температуры плавления и кипения оксида бора ($T_{m}^{{{{{\text{B}}}_{2}}{{{\text{O}}}_{3}}}}$ = 723 К, $T_{b}^{{{{{\text{B}}}_{2}}{{{\text{O}}}_{3}}}}$ = 1953 К), образующегося в процессе окисления бора кислородом, существенно ниже температур плавления и кипения бора ($T_{m}^{{\text{B}}}$ = 2348, $T_{b}^{{\text{B}}}$ = 3931 К). Характерные температуры горения бора составляют 2700–3200 К (при детонации 3000–3700 К), при этом пиковые значения достигаются в узкой зоне в окрестности стехиометрии (${{({{{{m}_{{\text{B}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{\text{B}}}}} {{{m}_{{{\text{air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{air}}}}}}})}_{{CT}}}$ = 0.105). Таким образом, при избытке окислителя частица может либо полностью испариться, либо состоять из жидкого оксида бора, а при недостатке окислителя на момент окончания горения частица будет состоять из трудно испаряющегося бора [8, 19–24]. Разработанная модель тестировалась в [23] моделированием горения бора в кислороде при различных давлениях. Полученные результаты хорошо согласуются с данными [8] по значениям температуры и массовой концентрации конденсированного бора в продуктах сгорания.

При математическом моделировании считается, что продукты сгорания бора в воздухе включают 14 компонент: BO₂, B₂O₃, B₂O, B₂O₂, N₂, O₂, NO, BN, B₂O₃(ж), B(ж), BN(ж), O, N, B. Для описания поверхностных реакций используется кинетический механизм, включающий реакции испарения (конденсации) и окисления бора по механизму (6)–(8) с X = 2 и Y = 3. Скорости реакций (6) и (7) в первом приближении можно найти из соотношений (5). Для нахождения скорости реакции (8) используется диффузионно-кинетическая модель (5), (9). Считается, что скорость притока кислорода к частице бора прямо пропорциональна объемной концентрации кислорода, площади поверхности капли, занятой бором. Также в экспериментальных работах отмечается, что скорость воспламенения возрастает при увеличении размера частицы. Константы K, n, m, E подбираются из условия совпадения рассчитанных минимальных температур воздуха, необходимых для самовоспламенения частиц, с экспериментальными данными из [17–22]. В расчетах E = 13 002 К, n = 1, m = 2, $d_{S}^{0}$ = 100 мкм, K = 198 [23].

Параметры детонации Чепмена–Жуге, рассчитанные по газофазной равновесной и двухфазной моделям (рис. 5, 6 ), близки при ${{{{m}_{{\text{B}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{\text{B}}}}} {{{m}_{{{\text{air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{air}}}}}}}$ < 0.5. Из вычислительного эксперимента следует, что диапазон отношений масс бора к массе воздуха, при котором существует высокоскоростная детонация, существенно уже, чем в случае с алюминием и магнием. В состав продуктов сгорания, рассчитанных по однофазной модели (рис. 5б), входят конденсированные компоненты: при избытке окислителя – B₂O₃, при избытке горючего – BN и B. В окрестности стехиометрии существует узкая зона, в которой состав продуктов сгорания полностью газофазный. В двухфазном расчете в равновесном составе присутствует только конденсированный нитрид бора при ${{{{m}_{{\text{B}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{\text{B}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}$ > 0.3.

Рис. 5.

Зависимость параметров ДВ Чепмена–Жуге от отношения расходов частиц бора и воздуха: (а)–(в) – см. рис. 1.

Рис. 6.

Зависимость параметров течения в детонационной волне от лабораторного времени (D = 2000 м/с, m_B/m_Air = 0.1): 1–6 – см. рис. 2; 7 – m_B × 10⁸ кг в частице, 8 – ${{m}_{{{{{\text{B}}}_{{\text{2}}}}{{{\text{O}}}_{{\text{3}}}}}}}$ × 10⁸ кг в частице.

На рис. 6 приведены зависимости параметров продуктов сгорания в пересжатой детонационной волне при соотношении бор/воздух, близком к стехиометрическому, от лабораторного времени. Расчет проводился до достижения состояния термодинамического равновесия. Скоростное и температурное равновесия (кривые 1–4) наступало примерно через 30 мкс. На графике температуры частиц (кривая 4) имеется полочка, соответствующая температуре плавления бора. Расход частиц в процессе расчета сначала увеличивался из-за реакции окисления бора и образования оксида бора (кривые 7, 8), а затем уменьшался до нуля, так как весь бор переходил в оксид бора, который испарялся (кривая 8). В газовой фазе при этом твердая фаза отсутствует. Необходимо отметить, что экспериментальных данных о детонации в смеси дисперсных частиц бора с воздухом нет, полученные численные результаты, соответственно, носят качественный характер.

Особенности структуры волны детонации при избытке частиц металла. При численном исследовании детонации смесей алюминия с воздухом (табл. 1) и бора с воздухом (табл. 2) при избытке металла полное равновесие наступает на значительных расстояниях от ударной волны. Вблизи волны наблюдается состояние частичного равновесия, которое, по-видимому, более соответствует реальным значениям параметров, достигаемым при детонации. Так для смеси алюминий–воздух температура и давление в состоянии частичного равновесия на 4–7% выше, чем при полном, диаметр частиц и концентрация мелкодисперсного алюминия существенно больше. Это связано с частичным испарением алюминия и окисла алюминия и, как следствие, образованием Al₂O в потоке, а также с конденсацией нитрида алюминия (AlN).

Таблица 1.

Частичное и полное равновесие. Алюминий + воздух

Величина	Равновесие	${{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\text{Al}}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}$
Величина	Равновесие	0.6	0.8	1.2	1.6	2.0
d_S, мкм	Частичное	0.66	0.63	0.59	0.82	0.9
d_S, мкм	Полное	0.63	0.47	0.37	0.04	0.008
T, К	Частичное	3375	3225	3245	3245	3245
T, К	Полное	3425	3057	3050	3105	3071
P, МПа	Частичное	2.80	2.59	2.66	2.73	2.56
P, МПа	Полное	2.74	2.46	2.35	2.1	1.86
AlN*	Частичное	0	0.1	0.14	0.23	0.34
AlN*	Полное	0	0.09	0.26	0.37	0.39
Al*	Частичное	0	0.06	0.27	0.25	0.23
Al*	Полное	0	0	0	0.02	0.11
Al₂O	Частичное	0.35	0.25	0.13	0.08	0.04
Al₂O	Полное	0.40	0.45	0.44	0.39	0.34

Таблица 2.

Частичное и полное равновесие. Бор + воздух

Величина	Равновесие	${{{{m}_{{\text{B}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{\text{B}}}}} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\text{Air}}}}}}}$
Величина	Равновесие	0.3	0.5	1.8	1.0	1.4
d_S, мкм	Частичное	0.86	1.0	1.0	1.0	1.0
d_S, мкм	Полное	0.64	0.73	0.77	0.78	0.8
T, K	Частичное	2675	2355	2314	2175	1845
T, K	Полное	3090	3060	3036	3035	2961
P, МПа	Частичное	2.60	2.43	1.50	1.47	1.27
P, МПа	Полное	1.9	1.66	1.44	1.62	1.64
BN*	Частичное	0	0	0	0	0
BN*	Полное	0.12	0.27	0.45	0.54	0.7
B₂O₂	Частичное	0	0	0	0	0
B₂O₂	Полное	0.27	0.25	0.23	0.22	0.2

Для смеси бор + воздух (табл. 2) при переходе от состояния частичного равновесия к полному наблюдается существенный рост температуры от 15 до 60%, связанный с конденсацией нитрида бора. Данный факт указывает на то, что наблюдаемая температура при детонации частиц бора в воздухе (с избытком бора) должна быть существенно ниже, чем предсказывает равновесная теория.

Необходимо отметить, что детонация горючих смесей частиц металлов в воздухе является чрезвычайно сложным многомерным процессом [1–34 ], который может быть адекватно описан только с использованием средств многомерного моделирования, элементом которого являются приведенные в работе физико-математическая модель и вычислительные алгоритмы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная в работе физико-математическая модель апробирована в широком диапазоне отношений начальных массовых расходов частиц алюминия, магния и бора в воздухе. Расчетным путем получена тонкая структура стационарной детонационной волны, включающая нагрев, плавление, испарение, воспламенение и изменение состава частиц, воспламенение и соответствующее изменение состава газофазных продуктов сгорания, образование мелкодисперсных частиц алюминия, магния и бора, а также их оксидов и нитридов.

Исследовано влияние массового расхода частиц металлов на минимальную скорость стационарной детонации. Показано, что параметры стационарной детонационной волны асимптотически стремятся к равновесным значениям – точке на равновесной детонационной адиабате. При избытке алюминия и бора в воздухе может реализоваться состояние частичного равновесия, параметры в котором заметно отличаются от соответствующих параметров при полном равновесии. В целом показано, что разработанная модель является физически непротиворечивой и внутренне согласованной, которая позволяет получать результаты, качественно совпадающие (в ряде случаев и количественно) с экспериментальными данными.

Работа выполнена в соответствии с государственным заданием № 9.7555.2017/БЧ.

Список литературы

Похил П.Ф., Беляев А.Ф., Фролов Ю.В., Логачаев В.С., Коротков А.И. Горение порошкообразных металлов в активных средах. М.: Наука, 1972. 294 с.
Митрофанов В.В. Детонация гомогенных и гетерогенных систем. Новосибирск: Изд-во Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2003. 200 с.
Медведев А.Е., Федоров А.В., Фомин В.М. Описание горения смесей газа и твердых частиц методами механики сплошной среды // ФГВ. 1984. Т. 20. № 2. С. 3.
Гремячкин В.М., Истратов А.Г., Лейпунский О.И. Модель горения мелких капель металла // ФГВ. 1975. Т. 11. № 3. С. 366.
Дрегалин А.Ф., Зенуков И.А., Крюков В.Г., Наумов В.И. Математическое моделирование высокотемпературных процессов в энергоустановках / Под ред. Алемасова В.Е. Изд-во Казанского университета, 1985. 263 с.
Федоров А.В., Фомин В.М., Хмель Т.А. Гетерогенная детонация. В кн.: Законы горения / Под ред. Полежаева Ю.В. М.: Энергомаш, 2006. С. 276.
Физика взрыва / Под ред. Орленко Л.П. Т. 1. М.: Физматлит, 2004. 832 с.
Ягодников Д.А. Воспламенение и горение порошкообразных металлов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 432 с.
Ильин А.П., Громов А.А. Горение порошков алюминия и бора в сверхтонком состоянии. Томск: ТГУ, 2002. 154 с.
Афанасьева Е.А., Левин В.А. Воспламенение и горение частиц алюминия за ударными и детонационными волнами // ФГВ. 1987. Т. 23. № 1. С. 8.
Кратова Ю.В., Федоров А.В., Хмель Т.А. Особенности ячеистой детонации в полидисперсных газовзвесях частиц алюминия // ФГВ. 2011. Т. 47. № 5. С. 85.
Кратова Ю.В., Хмель Т.А., Федоров А.В. Осесимметричная расширяющаяся гетерогенная детонация в газовзвесях частиц алюминия // ФГВ. 2016. Т. 52. № 1. С. 84.
Гидаспов В.Ю. Численное моделирование стационарных детонационных волн в смеси частиц алюминия с воздухом // Труды МАИ. 2011. № 49.
Попов В.Н., Федоров А.В., Шульгин А.В. Численное моделирование воспламенения частицы магния в неоднородном тепловом поле // Математическое моделирование. 2007. Т. 19. № 6. С. 109.
Авдеев К.А., Фролов Ф.С., Басевич А.А., Фролов С.М. Модифицированная модель воспламенения частицы магния // Химическая физика. 2008. Т. 27. № 6. С. 47.
Федоров А.В., Тропин Д.А. Математическая модель воспламенения магния в расширенном диапазоне параметров // ФГВ. 2008. Т. 44. № 5. С. 64.
Андреев М.А., Степанов А.М. Инициированная детонация в аэровзвеси металлических частиц // ФГВ. 1986. Т. 22. № 1. С. 103.
Гидаспов В.Ю. Численное моделирование стационарных волн горения и детонации в смеси частиц магния с воздухом // Труды МАИ. 2013. № 66.
Гремячкин В.М., Истратов А.Г., Лейпунский О.И. К теории горения частицы бора в кислороде при высоких температурах // ФГВ. 1979. Т. 15. № 6. С. 5.
Гуревич М.А., Кирьянов И.М., Озеров Е.С. Горение одиночных частиц бора // ФГВ. 1969. Т. 5. № 2. С. 217.
Давидчук Е.Л., Димитров В.И., Рафалович М.Л., Тулупов Ю.И., Славинская Н.А. Кинетика горения бора в сухом воздухе // ФГВ. 1991. Т. 27. № 1. С. 45.
Давидчук Е.Л., Димитров В.И., Залож В.А., Славинская Н.А., Тулупов Ю.И. Коэффициенты переноса продуктов горения бора в сухом воздухе // ФГВ. 1991. Т. 27. № 1. С. 52.
Гидаспов В.Ю. Численное моделирование стационарных волн горения и детонации в смеси частиц бора с воздухом // Труды МАИ. 2016. № 91.
Рашковский С.А., Милёхин Ю.М., Федорычев А.В. Влияние распределенного подвода воздуха в камеру дожигания ракетно-прямоточного двигателя на полноту сгорания частиц бора // ФГВ. 2017. Т. 53. № 6. С. 38.
Гидаспов В.Ю., Москаленко О.А., Пирумов У.Г. Численное моделирование стационарных детонационных волн в газовых и газокапельных реагирующих смесях // Вестник МАИ. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. Т. 16. № 2. С. 51.
Ленкевич Д.А., Головастов С.В., Голуб В.В., Бочарников В.М., Бивол Г.Ю. Параметрическое исследование распространения детонации в узких каналах, заполненных смесью пропан–бутан–кислород // ТВТ. 2014. Т. 52. № 6. С. 916.
Бивол Г.Ю., Головастов С.В., Голуб В.В. Формирование пересжатой волны детонации в потоке метано-кислородных смесей в канале переменного сечения // ТВТ. 2017. Т. 55. № 4. С. 576.
Волков В.А., Гидаспов В.Ю., Пирумов У.Г., Стрельцов В.Ю. Численное моделирование течений реагирующих газокапельных и газовых смесей в экспериментах по воспламенению метанола // ТВТ. 1998. Т. 36. № 3. С. 424.
Гидаспов В.Ю., Северина Н.С. Численное моделирование экспериментов по определению времени задержки воспламенения за падающими ударными волнами // ФГВ. 2013. Т. 49. № 4. С. 31.
Гидаспов В.Ю., Северина Н.С. Численное моделирование тонкой структуры цилиндрической детонационной волны в водородно-воздушной горючей смеси // ТВТ. 2015. Т. 53. № 4. С. 556.
Гидаспов В.Ю., Северина Н.С. Численное моделирование детонации пропано-воздушной горючей смеси с учетом необратимых химических реакций // ТВТ. 2017. Т. 55. № 5. С. 795.
Гидаспов В.Ю., Москаленко О.А., Северина Н.С. Численное исследование влияния капель воды на структуру детонационной волны в водородо-воздушной горючей смеси // ТВТ. 2018. Т. 56. № 5. С. 829.
Лунев В.В. Течение реальных газов с большими скоростями. М.: Физматлит, 2007. 760 с.
Франк-Каменецкий А.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967.
Зельдович Я.Б. Теория горения и детонации газов. М.: Изд-во АН СССР, 1944.
Термодинамические свойства индивидуальных веществ: Справочное издание в 4-х томах / Л.В. Гурвич, И.В. Вейц, В.А. Медведев и др. М.: Наука, 1982.
Гидаспов В.Ю., Северина Н.С. Некоторые задачи физической газовой динамики. М.: Изд-во МАИ, 2016. 196 с.
Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л.: Химия, 1982. 592 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Теплофизика высоких температур

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал