Теплофизика высоких температур, 2020, T. 58, № 6, стр. 844-855

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе авторы рассматривают диффузную моду вакуумной дуги (ВД) с большим количеством катодных пятен, которая реализуется в аксиальном магнитном поле в разрядном промежутке с электродами из Cu50Cr50. Именно эта форма ВД с таким материалом электродов находит широкое практическое применение. Разработана математическая модель диффузной моды аксиально-симметричной короткой сильноточной вакуумной дуги во внешнем аксиальном магнитном поле B₀ с учетом магнитных полей, создаваемых аксиальным током дуги (B_θ) и током Холла ($B_{z}^{{\text{H}}},B_{r}^{{\text{H}}}$). При отсутствии внешнего магнитного поля B₀ плазма дуги под действием силы Ампера j_zB_θ поляризуется в поперечном току направлении, возникает большое радиальное электрическое поле E_r и радиальное падение потенциала φ(r)–φ₀. В теории сильноточных разрядов высокого давления (z-пинч) сила j_zB_θ компенсируется радиальным компонентом градиента давления [1]. В ВД низкой плотности (n_e = Zn_i = 3.6 × 10²⁰ м^–3 для плотности тока разряда j = 10⁷ А/м²) такая компенсация при больших токах невозможна [2]. Падение напряжения между центром и внешней границей R плазмы и электродов при j_z = const имеет вид φ(R) – φ(0) = 17I В, где ток в килоамперах. Например, при I = 50 кА φ(R) – φ(0) = 850 В. Это значение на два порядка превышает как напряжение на плазме разряда, так и радиальную разность потенциалов, связанную с радиальным градиентом давления. Поэтому при B₀ = 0 диффузная мода ВД может существовать только при небольших токах (до нескольких килоампер [3]), а сильноточная ВД при больших токах существует в контрагированной моде при гораздо более высоком давлении (порядка атмосферного). При наличии внешнего аксиального поля B₀ ситуация меняется кардинальным образом. В плазме ВД реализуется режим протекания тока, при котором его линии наклонены относительно оси. Возникает радиальный ток j_r, взаимодействие которого с полем B_θ генерирует азимутальный ток Холла j_θ. При этом сила j_θB_z практически полностью уравновешивает силу j_zB_θ (пинч-эффект), величина радиального электрического поля снижается до значений, при которых возможен режим протекания большого тока с эквипотенциальным анодом. Таким образом, в сильноточной ВД с аксиальным магнитным полем действует принцип глубокой компенсации радиальных магнитных сил. Именно по этой причине математические модели диффузной моды аксиально-симметричной сильноточной ВД должны быть двумерными. Они должны учитывать три компоненты плотности тока (j_r, j_z, j_θ), три компоненты магнитного поля (B_r, B_z, B_θ) и две компоненты электрического поля (E_r, E_z), компонента E_θ = 0. Такие модели были разработаны [2–9], они применялись для расчета различных режимов диффузной сильноточной ВД. Эти модели основаны на различных математических подходах, они по-разному учитывают влияние собственного магнитного поля тока ВД. Например, в [4, 5, 7, 8] в расчет принимались только B_θ и B₀, магнитное поле тока Холла B^H не учитывалось. В работах [2, 3] магнитное поле Холла учитывалось, однако не вполне корректно рассчитывалось анодное падение. В частности, для его определения использовалась формула Ленгмюра, область применимости которой ограниченна. В дальнейшем оказалось, что эта формула неприменима для анодного падения ВД [10].

При расчете параметров плазмы ВД для определения зависимости температуры электронов от координат необходимо использовать баланс энергии электронов. В настоящей работе показано, что в этом балансе коэффициенты теплопроводности и электропроводности для электронов зависят от магнитного поля. Наличие аксиального (продольного) поля B₀ и поперечных полей B_r и B_θ существенным образом влияет как на эти коэффициенты, так и на распределения температуры электронов в разрядном промежутке. Рост B₀ увеличивает значения коэффициентов теплопроводности и электропроводности, а увеличение поперечных полей B_r и B_θ уменьшают эти коэффициенты. В опубликованных работах этот фактор не принимается во внимание.

В настоящей работе для плазмы короткой сильноточной ВД разработаны две математические модели (2D и 1.5D), которые позволяют произвести расчет параметров плазмы ВД. Получены распределения компонентов плотности тока, магнитного поля, концентрации и распределения электронной температуры в плазме ВД с учетом зависимости коэффициентов теплопроводности и электропроводности от компонентов магнитного поля.

2D МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим ВД с большим количеством катодных пятен в аксиальном магнитном поле. Из катодных пятен в направлении анода вылетают струи полностью ионизованной плазмы с широким угловым распределением [5, 6]. При движении к аноду происходит пересечение струй отдельных факелов. На некотором (небольшом) расстоянии от катода находится стартовая плоскость, начиная с которой плазму можно рассматривать как однородную сплошную среду. В промежутке катод–стартовая плоскость плазма дискретна. Стартовая плоскость является катодной границей плазмы. На этой границе имеется круговая область, из которой в направлении анода истекает плазма, состоящая из электронов и быстрых катодных ионов со средним зарядом Z . Поскольку ток ионов ВД на порядок меньше тока электронов, то при расчете магнитных полей пренебрегаем ионным током.

Рассмотрим движение электронов в цилиндрической системе координат во внешнем магнитном поле B_z с учетом магнитных полей, создаваемых током дуги I. Ось z направлена к аноду, система координат (r, θ, z) – правая. Уравнение движения электронов в магнитогидродинамическом приближении имеет вид [1]

Здесь V_e – скорость, p_e – давление, n_e – концентрация электронов, σ – электропроводность плазмы. Электроны в плазме замагничены, ларморовский радиус электронов на два–три порядка меньше характерных размеров плазмы, поэтому в (1) можно пренебречь [1] инерцией электронов (левой частью (1)). Тогда для компонентов электрического поля E_α имеем

Поскольку E_θ = 0, то можно записать выражение для плотности тока Холла

Параметр Холла в замагниченной плазме ВД β_H = B_zσ/cen_e = ω_eτ_ei $ \gg $ 1. Исключая j_θ из выражений для Е_r и Е_z, имеем

Введем новую переменную I – ток вакуумной дуги:

Дифференцируя (4) по r и учитывая непрерывность линий тока div j = 0, получим выражения для j_r и j_z:

Из уравнений (2) и (3) можно исключить j_r , j_z и получить выражения для Е_r и Е_z , в которые входят только ток I(r, z) и давление электронов p_e. Имеем

Используем уравнение rot E = 0

Продифференцируем (6) по z, (7) по r, приравняем производные и получим уравнение второго порядка в частных производных для определения линий уровня тока I(r, z). Перейдем к безразмерным переменным $\tilde {I} = {I \mathord{\left/ {\vphantom {I {{{I}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{I}_{0}}}},$ $\tilde {r} = {r \mathord{\left/ {\vphantom {r R}} \right. \kern-0em} R},$ $\tilde {z} = {z \mathord{\left/ {\vphantom {z L}} \right. \kern-0em} L}$, где R – радиус электродов, L – расстояние между ними. Значение I₀ задается произвольно, например I₀ = 40 кА. Тогда

где

Граничные условия для уравнения (8) задаются на катодной и анодной границах плазмы. Катодную границу можно считать эквипотенциальной, поскольку все катодные факелы идентичны (токи в них одинаковые). Такое граничное условие применяется во всех ранее опубликованных теоретических работах. Поэтому φ(0) = 0, E_r(0) = 0. На анодной границе плазмы потенциал φ_пл(L) = = φ_a – U_a. На катодной границе необходимо задать распределения тока j_r(r, 0), j_z(r, 0). Следует отметить, что радиальные электрические силы и силы, связанные с радиальным градиентом электрического давления, на два порядка меньше радиальных магнитных сил j_θB_z и j_zB_θ [11]. В этом случае между компонентами плотности тока j_r и j_z имеет место соотношение

где δ – угол наклона линий тока к оси z. Граничное условие для плазмы ВД можно записать в виде

Зависимость E_z(z) определяется формулой (3). Таким образом, в плоскости z = 0 задается распределение j_z(r, 0). После этого из (8) в заданном магнитном поле B_z(r, z) и B_r(r, z) в промежутке находятся распределения линий уровня тока, распределения плотности тока (5), электрического поля Е(r, z) и потенциала, а также распределение концентрации плазмы. При этом распределение потенциала на аноде может зависеть от координаты r. Полученные зависимости магнитных полей от тока I(r, z), а также от тока Холла j_θ(r, z) позволяют рассчитать распределения новых магнитных полей B_r, B_z, B_θ в промежутке. С этим распределением полей расчет повторяется. Решение находится методом последовательных приближений. Распределение j_z(r) изменяется до тех пор, пока потенциал на аноде не перестанет зависеть от координаты, а распределение параметров плазмы и магнитных полей установятся. При наличии внешнего магнитного поля B_r и B_z линии тока наклонены к оси. Взаимодействие j_r с B_z и j_z с B_r приводит к появлению тока Холла j_θ, выражение для которого может быть записано в виде

Для расчета компонентов магнитного поля тока Холла $B_{r}^{{\text{Н}}}$ и $B_{z}^{{\text{Н}}}$ плазма ВД разбивается на кольца равноотстоящими цилиндрическими поверхностями вокруг оси z и равноотстоящими параллельными плоскостями, перпендикулярными оси z. По этим кольцам течет ток Холла. В плоскости r, z образуется система из M × N прямоугольников, каждый из которых является сечением кольца. При достаточно большом числе колец плотность азимутального тока в каждом из них можно считать постоянной, а сами кольца тонкими. Для азимутального тока каждого кольца можно записать I_θik = j_θikh_rh_z, где h_r = Δr и h_z = Δz – радиальный и аксиальный размеры кольца. Для компонентов $B_{r}^{{\text{Н}}}$ и $B_{z}^{{\text{Н}}}$ магнитного поля тонкого кольца используем известные аналитические формулы [12]

Здесь r_p и z_p – координата точки, в которой вычисляются компоненты магнитного поля, r_ik = = r_k(z_i). Величины компонентов поля в заданной точке находятся двойным суммированием по индексам i и k. Полная величина магнитного поля находится суммированием в каждой точке компонентов внешнего магнитного поля B_z(r, z), B_r(r, z) и компонентов $B_{z}^{{\text{Н}}}$(r, z) и $B_{r}^{{\text{Н}}}$(r, z).

1.5D МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим более простую модель, в которой j_r $ \ll $ j_z. В этой модели магнитные поля имеют три компонента B_r, B_z, B_θ, зависящие от r, z. Поле B_z является суммой внешнего аксиального магнитного поля и магнитного поля тока Холла, поле B_r создается током Холла. Поле B_θ создается азимутальным током дуги. Линии уровня плотности тока в такой модели практически параллельны оси z, угол наклона этих линий к оси δ $ \ll $ 1. Связь между плотностью тока j и j_z при j_r $ \ll $ j_z определяется соотношением j = j_z(1 + ${{j_{r}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{j_{r}^{2}} {j_{z}^{2}}}} \right. \kern-0em} {j_{z}^{2}}}$)^1/2 ≈ j_z(1 + $0.5{{j_{r}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{j_{r}^{2}} {j_{z}^{2}}}} \right. \kern-0em} {j_{z}^{2}}}$). В результатах расчетов максимальное значение отношения j_r/j_z меньше 0.135, тогда отношение j_z/j больше 0.99. Отметим, что линии тока практически параллельны оси z. Таким образом, в 1.5D-модели можно принять, что j = j_z, и считать плотность тока не зависящей от z. В такой модели расчет распределения плотности тока по радиусу существенно упрощается, поскольку это распределение не будет зависеть от z. Разобьем плазму ВД в плоскости (r, z) на клетки таким же образом, как при расчете магнитного поля тока Холла. Индекс k нумерует клетки по r, индекс i – по z. Тогда, интегрируя электрическое поле E_zk по z и учитывая анодное падение U_a, получим напряжение U₀ между катодной границей плазмы и анодом:

где κ – постоянная Больцмана. Напряжение U₀ должно быть постоянным, поскольку эквипотенциальныe поверхности анода и катодной границы плазмы параллельны. Запишем (13) в форме, удобной для проведения расчетов: Здесь λ – кулоновский логарифм [1], σ(0) – электропроводность на стартовой плоскости. Значение f₀ подбирается так, чтобы $\int_0^1 {f(\tilde {r})\tilde {r}d\tilde {r} = 0.5} $, $\tilde {r} = \frac{r}{R}$.

Отметим, что первый член в правой части (14) – это омическое падение напряжения на плазме, второй член – анодное падение, третий и четвертый члены получены при интегрировании по z члена с градиентом давления. При этом учтено, что

Второй член в правой части не вносит существенного вклада в U₀, поскольку скорость потока быстрых ионов, движущихся от стартовой плоскости к аноду, мало меняется. Тем не менее в расчетах этот член будет учитываться.

Функция f_k(r), подбираемая с учетом выполнения условия U₀ = сonst, является отношением плотности тока при заданном k к средней плотности тока j_ср. В уравнение (14) входит анодное падение U_a, которое зависит от отношения направленной скорости электронов v₀ к тепловой v_Т на анодной границе плазмы, температуры электронов на катодной (Т_е(0)) и анодной (Т_е(0)t_ek(1)) границах плазмы. Таким образом, одновременно с решением (14) необходимо для каждого значения f_k(r) решать уравнение баланса энергии электронов, вычислять анодное падение, относительную электронную температуру t_ek(1), а также относительную концентрацию плазмы $\tilde {n} = {{n(L)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n(L)} {n(0)}}} \right. \kern-0em} {n(0)}}$ на анодной границе.

ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ АНОДНОЕ ПАДЕНИЕ

Теория отрицательного анодного падения развита в [10]. При малых отношениях направленной скорости к тепловой v₀/v_T ≈ 10^–2 отрицательное анодное падение согласуется с рассчитанным по формуле Ленгмюра U_a = –(κT_e/e) ln(v₀/v_T), которая ранее использовалась для расчета U_a всеми авторами. При v₀/v_T ≥ 0.1 различие существенно. Показано, что с ростом v₀/v_T значение U_a монотонно приближается к нулю, оставаясь отрицательным. Для расчета U_a в [10] получены аналитические выражения. Результаты расчетов η_a = eφ_a/κT_e приведены в табл. 1. Там же для сравнения представлены значения η_L, рассчитанные по формуле Ленгмюра. Отметим, что η_L = 0 при v₀/v_T = 0.25, а при больших значениях v₀/v_T анодное падение становится положительным (в этом случае формулой Ленгмюра пользоваться нельзя). При расчете U_a были использованы значения η_a, приведенные в табл. 1.

Анодное падение для паров меди может быть рассчитано по формулам

Для меди доля ионного тока γ = 0.08.

БАЛАНС ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Запишем баланс энергии в виде баланса тепла [1]

В (15) ${{V}_{e}}$ – скорость электронов, ${{q}_{e}}$ – плотность потока тепла, ${{Q}_{e}}$ – источник тепла, ${{q}_{e}} = q_{и}^{e} + q_{T}^{e}$, $q_{и}^{e} = 0.9{{n}_{e}}\kappa {{T}_{e}}{{V}_{e}}$, $q_{T}^{e} = {{\kappa }_{e}}{{d{{T}_{e}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{T}_{e}}} {dz}}} \right. \kern-0em} {dz}}$ [1], ${{\kappa }_{e}}$ – коэффициент теплопроводности. В источнике тепла ${{Q}_{e}}$ необходимо учитывать нагрев электронов аксиальным и азимутальным токами, а также потери энергии электронами ${{W}_{{{\text{el}}}}}$ при столкновении c ионами. Выражение для ${{Q}_{e}}$ имеет вид

Отношение ${{W}_{{{\text{el}}}}}$ к джоулеву нагреву j²/σ(0) = = 3γ²κTe/(1 + γ)²m_i$V_{i}^{2}$ = 3 × 10^–4 (при ε_i = 70 эВ, κT_e = 3 эВ). В выражении для ${{Q}_{e}}$ пренебрежем упругими потерями. В балансе тепла для электронов учитывались джоулев нагрев электронов при столкновении с ионами, конвективный перенос тепла на анод, а также перенос тепла электронной теплопроводностью на катодную границу плазмы. При записи баланса тепла предполагалось, что j = j_z, пренебрегалось поперечной теплопроводностью. В рассматриваемой задаче ${{\kappa }_{{e \bot }}}$/${{\kappa }_{{e\parallel }}}$ = = F(r, z)$\beta _{{\text{H}}}^{{ - 2}}$ $ \ll $ 1. Расчеты показали, что при внешнем аксиальном магнитном поле B₀ = 2.5 мТл/кА и конфигурации плазмы R = 6 см, L = 3 см максимальное значение этого отношения – 0.01, а минимальное – 10^–4.

В магнитном поле, имеющем продольную составляющую B_z, поперечные составляющие B_θ и B_r, выражение для электропроводности имеет вид σ_e = σ(0)$t_{e}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}$F^–1. С учетом закона Видемана–Франца, связывающего коэффициенты теплопроводности $\kappa _{e}^{*}$ и электропроводности σ_e для полностью ионизованной плазмы соотношением $\kappa _{e}^{*}$/σ_e = (4κ²T_e)/e², коэффициент теплопроводности может быть записан в виде $\kappa _{e}^{*}$ = $\kappa {\text{*}}\left( 0 \right)t_{e}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}}}{{F}^{{ - 1}}}$, где κ*(0) – коэффициент теплопроводности на нижней границе плазмы при t_e(0) = 1. Таким образом, оба коэффициента зависят от отношения суммы квадратов поперечных полей к квадрату продольного поля.

Перейдем к безразмерным переменным:

Нормировочные коэффициенты T_e(0) и d можно выбирать произвольно. Для функции ${{f}_{e}}(z)$ получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

с граничными условиями ${{f}_{e}}(0) = {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 7}} \right. \kern-0em} 7}$, $f_{e}^{'}(1) = 0$. Здесь Условие $f_{e}^{{\text{'}}}(1) = 0$ означает, что поток тепла на анод переносится конвективно [13, 14]. В расчетах приняты типичные для ВД значения κT_e(0) = = 3 эВ, d = 10^–2 м. Тогда j* = 9 × 10⁶ А/м². При этом все коэффициенты в (17) оказались одного порядка, что свидетельствует о существенной роли как электронной теплопроводности, так и конвект ивного выноса тепла. Распределение электронной температуры зависит от параметра β, граничных условий и от распределений магнитных полей и концентрации плазмы. При решении (16) для каждого набора параметров подбирается значение производной на катодной границе для выполнения граничного условия на анодной границе плазмы и решается уравнение для определения ${{\tilde {n}}_{k}}(z)$.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ ИОНОВ В ПЛАЗМЕ ВД

Распределение концентрации ионов находится из уравнения движения [1]

Здесь R_ie – сила трения электронов и ионов. Для потока быстрых ионов ${{v}_{i}}$ = ${{v}_{{iz}}}$, поэтому ${{\left[ {{{{\bar {v}}}_{i}}\bar {B}} \right]}_{z}}$ = 0.

Электрическое поле в плазме E_z имеет вид (13). Подставив E_z в уравнение (18), получим

В (19) можно пренебречь давлением ионов p_i, поскольку T_i $ \ll $ T_e. В плазме ВД поток ионов нагревается ${{W}_{{{\text{el}}}}}$ до температуры на аноде t_а. Используя уравнение баланса энергии для ионов [1], для ${{t}_{a}} = {{{{T}_{i}}(L)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{i}}(L)} {{{T}_{i}}(0)}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{i}}(0)}}$ запишем

Оценим t_а для ионов меди (m_e/m_i = 10^–5, V_i = 1.5 × × 10⁶ см/с, κT_e(0) = 3 эВ, κT_i(0) = 0.2 эВ). При L = = 1 см t_а = 1.3, при L = 3 см t_а = 1.9. Таким образом, температура ионов на аноде на порядок меньше температуры электронов, и давлением ионов можно пренебречь.

Введем безразмерные переменные ${{\tilde {n}}_{i}} = {{{{n}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{i}}} {{{n}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{i}}}}(0),$ ${{\tilde {v}}_{{iz}}} = {{{{v}_{{iz}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{v}_{{iz}}}} {{{v}_{{iz}}}(0)}}} \right. \kern-0em} {{{v}_{{iz}}}(0)}},$ $\tilde {z} = {z \mathord{\left/ {\vphantom {z L}} \right. \kern-0em} L}.$ Для ${{\tilde {n}}_{{iz}}}$ получим

Уравнение (20) определяет зависимость ${{\tilde {n}}_{i}}(\tilde {z})$ для каждого r_k. Отметим, что ${{\tilde {n}}_{i}}(z)$ входит в выражение для анодного падения ${{\tilde {n}}_{i}}(1)$, формулы (13), (14) для напряжения U₀, а также в уравнение для расчета температуры электронов. Распределение безразмерной скорости ${{\tilde {v}}_{i}}$ определяется соотношением ${{\tilde {n}}_{i}}$${{\tilde {v}}_{i}}$ = 1. Распределение концентрации заряженных частиц в плазме ВД имеет вид Значение ${{\tilde {n}}_{i}}$ увеличивается по $\tilde {z}$ в результате торможения потока ионов встречным электрическим полем E_zk (13), которое возникает в результате действия тормозящих сил Ампера и градиента давления. На зависимости $\tilde {n}(\tilde {r})$ и $f(\tilde {r})$ существенное влияние оказывает зависимость ${{t}_{e}}(\tilde {r})$.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

При проведении расчетов предполагалось, что в плазме ВД средний заряд иона меди Z = 1.8. Энергия электронов на катодной границе плазмы κT_e(0) = 3 эВ, энергия ионов ε_i(0) = 70 эВ. Для заданных значений тока дуги I и однородного аксиального магнитного поля B₀ c использованием 1.5D-модели подбиралось распределение j_zk(r) = = f_k j_ср. Задавалось значение f₀ для k = 0, после чего рассчитывалось напряжение U₀ с помощью уравнения (14). При этом вычислялось анодное падение и решались уравнение баланса энергии электронов (16) для определения t_e(r, z) и уравнение (20) для определения $\tilde {n}(r,z)$. Первый расчет проводился в поле B₀ без учета магнитного поля тока Холла при $\tilde {n} = 1$. На оси B_r = B_θ = 0, поэтому F_0i = 1. Такие расчеты проводились для всех значений k, после чего определялись зависимости f_k(r), $\tilde {n}(r,z)$, t_e(r, z) и вычислялся интеграл в (14). Затем производился расчет B_θ и j_θ по (9), а также расчет компонентов магнитного поля тока Холла по (10)–(12). Поскольку первое значение f₀ задавалось произвольно, то значение интеграла отличалось от 0.5. Таким образом, в первом приближении определены $B_{z}^{{\text{Н}}}$ и $B_{r}^{{\text{Н}}}$. Следующее приближение f(r) рассчитывается с тем же значением f₀ с учетом всех компонентов магнитного поля и с полученными значениями $\tilde {n}(r,z)$ и t_e(r, z). Определяется новое значение интеграла. Эта процедура повторяется пока значения $B_{z}^{{\text{Н}}}$, $B_{r}^{{\text{Н}}}$, f(r) не установятся. Расчеты повторялись до тех пор, пока интеграл не будет отличаться от 0.5 на две-три единицы в третьем знаке, а значения $\tilde {n}(r,z)$ и t_e(r, z) установятся. Для улучшения сходимости приближений использовался метод регуляризации А.Н. Тихонова. Применение метода последовательных приближений позволяет решать уравнения для t_e (16) и $\tilde {n}$ (20) независимо, поскольку при их решении в правой части использовались компоненты магнитного поля и значения $\tilde {n}(r,z)$ и t_e(r, z) из предыдущего приближения.

В обширной литературе по ВД широко используется приведенное магнитное поле, равное отношению B/I в единицах мТл/кА, поэтому ниже результаты расчетов магнитных полей приводятся в этих единицах. Расчеты были выполнены для трех значений приведенного внешнего аксиального магнитного поля B₀ = 1.5, 2.5, 4.0 мТл/кА, двух конфигураций плазмы R = 6 см, L = 1, 3 см. Результаты расчетов приведены в табл. 2–6 и на рис. 1–8 при I = 40 кА.

Значения приведенных магнитных полей Холла $B_{z}^{{\text{Н}}}$ и $B_{r}^{{\text{Н}}}$ для B₀ = 2.5 мТл/кА представлены в табл. 2, 3 и на рис. 1. Отметим, что значение $B_{z}^{{\text{Н}}}$ на оси сопоставимо с B₀, при увеличении r значения $B_{z}^{{\text{Н}}}$ уменьшаются. На краю $B_{z}^{{\text{Н}}}$ меняет знак, модуль B_z на краю меньше |B₀|. Распределения |$B_{z}^{{\text{Н}}}$| по z более однородны, они имеют максимум в центре промежутка. Величина $B_{r}^{{\text{Н}}}$ в центре промежутка меняет знак, она монотонно уменьшается по z. Для каждого значения k кривая |$B_{r}^{{\text{Н}}}$| симметрична.

На рис. 1 приведены распределения компонентов магнитного поля для z = L/2 (i = 5). Отметим нелинейную зависимость B_θ(r), связанную с контракцией тока (f(r) ≠ 1), а также заметное влияние на зависимость B_z(r) магнитного поля тока Холла. В данном случае f₀ = 1.63. При большей контракции кривая B_θ(r) может пройти через максимум. На рис. 2 представлены значения функции F(r, z), имеющей важное значение в теории ВД в магнитном поле.

Функция F(r, z) характеризует рост по r удельного сопротивления ρ плазмы в магнитном поле. Именно с этим фактом связана контракция электронного тока: на краю (по r) промежутка ρ больше, поэтому для выполнения условия эквипотенциальности анода с ростом r должна уменьшаться плотность тока.

На рис. 3 представлены зависимости f(r) для трех значений внешнего магнитного поля B₀. С ростом B₀ уменьшается контракция тока и удельное сопротивление плазмы (функция F(r, z)). На рис. 4 показаны аналогичные зависимости для двух значений L.

В табл. 4 приведены значения относительной электронной температуры (t_e(r, z)). Отметим, что скорость роста температуры с увеличением z существенно уменьшается. Это связано с тем фактом, что при увеличении температуры уменьшается интенсивность нагрева ( j ²/σ) и увеличивается коэффициент электронной теплопроводности. При этом часть тепла отводится в направлении катодной границы плазмы. Рост температуры по r связан с нагревом электронов током Холла.

На рис. 5 представлены поверхности значений t_e(r, z) для двух B₀. С ростом B₀ нагрев электронов уменьшается, что в первую очередь связано с уменьшением степени контракции тока. Результаты расчетов позволяют проверить возможность использования 1.5D-модели, применимость которой ограничена условием j_r $ \ll $ j_z. На рис. 6 приведены поверхности зависимостей j_r(r, z) и j_z(r, z). Видно, что j_r $ \ll $ j_z. На рис. 7 приведены линии уровней плотности тока j. Они параллельны оси z. Это полностью соответствует 1.5D-модели. В ВД сила радиального сжатия j_zB_θ уравновешена силой j_θB_z. ВД – это короткая дуга в движущемся с большой скоростью потоке плазмы. Время пролета ионами промежутка L – порядка 10^–6 с. Форму плазменной границы определяют радиальные магнитные силы, она совпадает с линиями тока на рис. 7.

На рис. 8 приведены значения параметра Холла β_H(r, z). Поскольку температура электронов существенно увеличивается по z, то β_H(z) растет. Таким образом, 1.5D-модель вполне пригодна для расчета параметров плазмы и распределения плотности тока, если j_r $ \ll $ j_z. Если j_r и j_z сравнимы, то необходимо воспользоваться гораздо более сложной 2D-моделью.

В табл. 5 и 6 приведены результаты расчетов с учетом $\tilde {n}(\tilde {r},\tilde {z})$ распределений на анодной границе температуры электронов t_e(1), концентрации ионов ${{\tilde {n}}_{i}}(1)$, функции f_k, концентрации плазмы, произведения ${{f}_{k}}{{\tilde {n}}_{k}}(1)$. Приведено также отношение доли напряжения Un, связанного с учетом влияния $\ln \tilde {n}$ (формулы (13), (16)) к напряжению на плазме Up. Это отношение характеризует степень влияния $\tilde {n}(\tilde {r},\tilde {z})$ на распределение $f(\tilde {r})$. Если пренебречь этим влиянием и считать ${{\tilde {n}}_{i}} = 1$, то функцию $f(\tilde {r})$ следует увеличить в (1 + Un/Up) раза, снова скорректировать расчет, который уменьшит расхождение точного и приближенного (${{\tilde {n}}_{i}} = 1$) расчетов. Таким образом, в рассмотренных случаях распределение концентрации плазмы практически не влияет на распределение плотности тока.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обратим внимание на тот факт, что плазма ВД полностью ионизована. Кулоновская электропроводность и теплопроводность плазмы без магнитного поля зависят только от температуры электронов и не зависят от концентрации плазмы. В магнитном поле обе эти величины зависят от магнитного поля через функцию $F = 1 + \frac{{B_{\theta }^{2}(z) + B_{r}^{2}(z)}}{{B_{z}^{2}(z)}}\frac{{\beta _{{\text{H}}}^{2}}}{{1 + \beta _{{\text{H}}}^{2}}}$, где ${{\beta }_{{\text{H}}}}$ – параметр Холла. Параметр Холла ${{\beta }_{{\text{H}}}}$ включает концентрацию электронов. Значение ${{\beta }_{{\text{H}}}}$ в диффузной вакуумной дуге много больше единицы, поэтому множитель $\beta _{{\text{H}}}^{2}$/(1 + $\beta _{{\text{H}}}^{2}$) можно считать равным единице. Функция F_k, полученная с учетом глубокой компенсации аксиальных и радиальных магнитных сил, зависит от отношения суммы квадратов поперечных полей B_θ и B_r к квадрату B_z. Она определяет распределения плотности тока, компонентов магнитного поля тока дуги и температуры электронов. Для практических целей при разработке устройств, использующих диффузную форму ВД с аксиальным магнитным полем (например, в вакуумных дугогасительных камерах), можно эффективно применять предложенную в работе 1.5D-модель на стадии конструирования. С помощью расчетов обеспечивается необходимая степень однородности распределения плотности тока по аноду. При неоднородном распределении анод максимально нагревается в центре. При температуре Т_а > 1800 К с поверхности анода испаряются медленные атомы в предельно допустимом количестве, которые ионизуются в плазме ВД. Разряд переходит из диффузной моды в моду с анодным пятном. В этом режиме вакуумный выключатель перестает надежно отключать переменный ток. Чем более однородно распределение тока по поверхности анода, тем больший ток может отключить выключатель.

Целесообразно было бы сравнить результаты расчетов с экспериментом. Однако экспериментальные данные по распределению плотности тока в сильноточной ВД во внешнем однородном магнитном поле отсутствуют. Накопленные экспериментальные данные по отключающей способности (максимальному току отключения) вакуумных дугогасительных камер (ВДК) позволяют создавать в разрядном промежутке приведенное магнитное поле B_z > 3 мТл/кА. Считается, что в этом случае распределение плотности тока в плазме ВД близко к однородному. Этот факт согласуется с результатами расчетов, представленных в данной работе на рис. 3.

Для количественного сравнения рассчитанных распределений плотности тока с экспериментальными данными следует провести специальный эксперимент с разрядным промежутком, в котором секционированный анод состоит из системы концентрических колец. Внешнее однородное магнитное поле B_z должно создаваться с помощью катушек Гельмгольца. Ток через каждое кольцо можно измерять поясом Роговского. Одновременно можно проводить скоростную многокадровую фотосъемку катодных пятен (как это делалось в [15, 16]), обработка результатов которой позволяет определить распределение плотности пятен по поверхности катода. Поскольку токи в катодных пятнах одинаковы, то это распределение совпадает с распределением плотности тока на катоде. Такой эксперимент представляет несомненный научный и практический интерес.

Отметим также, что при конструировании ВДК индукторы, создающие магнитное поле B_z, B_r, расположены внутри электродов. Магнитное поле B_z, как правило, заметно уменьшается с ростом r, а B_r увеличивается. На краю электрода значение B_r может превышать B_z. При этом линии тока сильно наклонены к оси, удельное сопротивление плазмы с ростом r резко возрастает. Эти факты могут привести к сильной контракции тока (f₀$ \gg $ 1) на аноде. Для расчета распределения плотности тока в плазме с такими индукторами необходимо использовать 2D-модель.

В настоящее время возникла потребность разработки ВДК для электроэнергетики: генераторные выключатели на токи в несколько сотен кА, а также высоковольтные выключатели для напряжений 110 и 220 кВ. Для решения этих весьма сложных задач метод математического расчета распределений плотности тока на стадии разработки особенно эффективен.

Кратко сформулируем основные результаты работы.

1. Развита теория двухмерной аксиально-симметричной ВД, учитывающая магнитное поле, создаваемое током дуги (B_θ), магнитное поле тока Холла ($B_{z}^{{\text{Н}}}$, $B_{r}^{{\text{Н}}}$) и внешнее магнитное поле (B_z, B_r). Для линий уровня тока получено дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных (2D-модель), сформулированы нелинейные граничные условия.

2. В приближении j_r $ \ll $ j_z разработана более простая 1.5D-модель ВД. В этой модели магнитное поле имеет те же компоненты, что и в 2D-модели, однако угол наклона линий тока к оси δ $ \ll $ 1. Такую модель удобно использовать для расчетов на стадии конструирования вакуумных дугогасительных устройств для разработки конструкций с достаточно однородным распределением плотности тока j(r).

3. Для расчета распределения температуры электронов в плазме ВД получено интегро-дифференциальное уравнение, учитывающее зависимость коэффициентов теплопроводности и электропроводности от компонентов магнитного поля B_r, B_θ и B_z. Для этих коэффициентов получены аналитические выражения. В уравнении учтено влияние распределения концентрации плазмы на температуру электронов.

4. Для различных значений внешнего аксиального магнитного поля и размеров плазмы рассчитаны распределения компонентов плотности тока ВД (j_r, j_θ, j_z), магнитного поля тока Холла ($B_{z}^{{\text{Н}}}$, $B_{r}^{{\text{Н}}}$), азимутального магнитного поля B_θ, распределения электронной температуры t_e(r, z) и концентрации плазмы. Расчеты выполнены с учетом нелинейной зависимости анодного падения от плотности тока. Показано, что магнитное поле тока Холла $B_{z}^{{\text{Н}}}$, $B_{r}^{{\text{Н}}}$ сравнимо с внешним магнитным полем, оно влияет на зависимость j(r). Увеличение индукции внешнего магнитного поля B_z уменьшает контракцию электронного тока.