Теплофизика высоких температур, 2021, T. 59, № 1, стр. 109-115

ВВЕДЕНИЕ

Требование сохранения геометрии летательного аппарата при больших временах движения вызывает необходимость использования различных материалов, в том числе высокотеплопроводных, обеспечивающих наряду с переизлучением поверхности тела снижение максимальных температур лобовой части [1–5].

Используя отработанную технологию решения задач в сопряженной постановке [6, 7], важно оценить возможности управления температурными режимами обтекаемых тел и получить критериальные зависимости для инженерных оценок максимальных температур T_w.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается сверхзвуковое обтекание затупленных по сфере конических тел с углом полураствора 5°, радиусом сферического затупления R_N и различными длинами z_c = 5, 10, 20 при нулевом угле атаки. Лобовая часть тела выполнена из сплошного материала, а на боковой части (при z > z₀) имеется коническая оболочка постоянной толщины L, причем материалы в этих областях могут быть различными (рис. 1). Внутренняя часть тела представляет собой конус с торцевым затуплением. Все линейные размеры отнесены к R_N. Расчет течения в ламинарном пограничном слое проводился как в [1, 6], а тепловое поле в обтекаемой оболочке описывалось уравнениями теплопроводности, которые в предположении постоянства теплофизических характеристик материала имеют вид

Здесь ${{\theta }_{i}} = \frac{{{{T}_{i}}}}{{{{T}_{{e0}}}}};$ ${{S}_{i}} = \frac{{{{\lambda }_{{si}}}}}{{\sqrt {{{\rho }_{{e0}}}{{\mu }_{{e0}}}{{V}_{m}}{{R}_{N}}} }}\frac{{{{T}_{{e0}}}}}{{{{h}_{{e0}}}}};$ τ = $ = \frac{{{{\lambda }_{{s1}}}t}}{{{{\rho }_{{s1}}}{{c}_{{s1}}}R_{N}^{2}}}\frac{1}{{{{S}_{1}}}};$ T – температура; t – время; z, r – геометрические координаты (рис. 1), отнесенные к R_N; λ_s, ρ_s, c_s – коэффициент теплопроводности, плотность и удельная теплоемкость твердого тела; h_e0, T_e0 – энтальпия и температура набегающего потока в точке торможения; ${{V}_{m}} = \sqrt {2{{h}_{{e0}}}} ;$ ρ_e0, μ_e0 – плотность и вязкость на внешней границе пограничного слоя в точке торможения; индексы i = 1, 2 отвечают расчетным областям тела (рис. 1).

В начальный момент времени задается температура тела

где T_ini – начальное значение температуры. В качестве граничных условий для уравнений (1), (2) на оси симметрии, внутренней поверхности оболочки и ее тыльной части (линия AC на рис. 1) задаются условия тепловой изоляции: где дифференцирование ведется по нормали к соответствующей поверхности. На границе областей 1, 2 используются условия сопряжения, а на границе раздела газовой и твердой сред выставляются граничные условия четвертого рода, т.е. равенство температур и тепловых потоков в пограничном слое и твердом теле: Здесь ${{\tilde {q}}_{w}} = \frac{{{{q}_{w}}}}{{q_{w}^{*}}}$ – безразмерный тепловой поток от пограничного слоя, $q_{w}^{*} = \sqrt {\frac{{{{\rho }_{{e0}}}{{\mu }_{{e0}}}{{V}_{m}}}}{{{{R}_{N}}}}} {{h}_{{e0}}},$ ${{\pi }_{\sigma }} = \frac{{\varepsilon \sigma T_{{e0}}^{4}\sqrt {{{R}_{N}}} }}{{{{h}_{{e0}}}\sqrt {{{\rho }_{{e0}}}{{\mu }_{{e0}}}{{V}_{m}}} }},$ ε – степень черноты поверхности тела, σ – постоянная Стефана–Больцмана, n₁ – координата, отсчитываемая в глубь тела от его поверхности (рис. 1).

В переменных Дородницына–Лиза

для безразмерного теплового потока имеем где ${{\alpha }_{1}} = \frac{{2\int_0^\xi {{{\rho }_{e}}{{\mu }_{e}}{{u}_{e}}r_{w}^{2}d\xi } }}{{{{\rho }_{e}}{{\mu }_{e}}{{u}_{e}}r_{w}^{2}}};$ $l = \frac{{\rho \mu }}{{{{\rho }_{e}}{{\mu }_{e}}}};$ Pr – число Прандтля, равное 0.72 для воздуха; x – длина дуги образующей поверхности тела; n – геометрическая координата, отсчитываемая внутрь пограничного слоя от обтекаемой поверхности; ρ – плотность газа в пограничном слое; u_e, ρ_e, μ_e – скорость, плотность и вязкость газа на внешней границе пограничного слоя.

Для случая единого материала в областях 1, 2 наряду с решением двумерного уравнения теплопроводности температура тела рассчитывалась по одномерной модели в естественной системе координат [1]:

При этом остаются прежними начальные и граничные условия. Здесь R – радиус кривизны образующей поверхности тела, α – угол между касательной к телу и осью симметрии, r_w – расстояние от поверхности тела до оси симметрии.

Решение уравнений теплопроводности определяется в основном параметрами сопряженности S_i и параметром π_σ, характеризующим излучение поверхности тела. В предельном случае (S_i = 0) решение системы уравнений пограничного слоя с граничным условием (3) дает распределение радиационно-равновесной температуры поверхности θ_wr(ξ). Случай S_i → ∞ соответствует материалу с бесконечной теплопроводностью, при этом температура тела зависит только от времени, и уравнение для ее определения приведено в [1, 4].

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Методика решения и алгоритм численного расчета краевой задачи в сопряженной постановке подробно представлены в [1]. Здесь отличительным моментом явилось сквозное определение поля температур в теле при различных коэффициентах λ_si в областях 1, 2.

При проведении серийных численных расчетов использовались следующие входные данные: M_∞ = 9.9, p_e0 = 1.6 бар, T_ini = 293 К, ε = 0.8, z₀ = = 0.96, L = 0.5. Радиус затупления R_N принимался равным 0.005, 0.01, 0.04 м, базовая температура торможения T_e0 – 3250 К. Также проводились расчеты при T_e0 = 1000, 1500, 2000 К. Теплофизические характеристики материалов приведены в табл. 1 [8]. В случае различных материалов для сферической части использовалась сталь, а для конической – медь с характеристиками из табл. 1.

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

Рассмотрим вначале случай обтекания тела, выполненного из единого материала. В работе [1] при M_∞ = 6.1, T_e0 = 562 К, p_e0 = 2.2 бар проведено сравнение расчетных и экспериментальных значений [9] коэффициента ${{C}_{h}} = \frac{{{{q}_{w}}}}{{{{\rho }_{\infty }}{{V}_{\infty }}{{c}_{p}}\left( {{{T}_{{e0}}} - {{T}_{{w,{\text{ini}}}}}} \right)}}$ в зависимости от z в начальный момент времени, а затем рассмотрена эволюция температурного поля обтекаемых тел, выполненных из различных материалов, вплоть до выхода на стационарный режим. При этом значения определяющего параметра π_σ не превышали 0.38. При возрастании чисел Маха до 10 и высоте полета H = 30 км [2] значения π_σ могут возрастать в несколько раз, поэтому необходимо дать оценку возможности управления температурными режимами тела для данных практически важных условий.

Для z_c = 5, R_N = 0.01 м при указанных выше параметрах торможения на рис. 2 приведены значения температур поверхности тела, выполненного из представленных в табл. 1 материалов. Здесь же показано распределение температуры стенки T_wr(ξ) при S = 0 (кривая 9) и в предельном случае материала с бесконечной теплопроводностью – S → ∞ (кривые 4, 8). Серия кривых 5–8 отвечает стационарным значениям T_w(ξ) в момент времени t = 250 с, а кривые 1–4 соответствуют значениям T_w(ξ) при t = 10 с.

Представленные результаты иллюстрируют возможности снижения максимальной температуры поверхности при выборе высокотеплопроводных материалов и носят модельный характер для уровня высоких температур, превышающих температуры разрушения материалов. Отметим, что максимальная температура достигается в критической точке.

Для оценки максимальной температуры при t → ∞ в критериальном виде на рис. 3, 4 представлены зависимости безразмерной температуры в критической точке

от основных определяющих параметров задачи S и π_σ. На рис. 3 φ_st приведена для различных удлинений конической части тела, и здесь же показано влияние параметра π_σ. При π_σ > 0.4 кривые φ_st ведут себя линейным образом с близкими углами наклона для различных S и z_c (рис. 4).

Для предельных условий по S (λ_s = 0 и λ_s → ∞) на рис. 5 приведены максимальные температуры в зависимости от параметра π_σ для различных удлинений конической части. При π_σ ≥ 0.4 θ_w0 в случае λ_s → ∞ оказывается ниже радиационно-равновесной температуры θ_w0r на 30–50% в зависимости от z_c. При π_σ < 0.4 результаты расчета согласуются с данными [1]. Здесь же для примера приведены данные расчетов для S = 6 (кривые 2), из которых следует, что при данных и меньших значениях параметра сопряженности S максимальная температура в критической точке слабо зависит от удлинения конической части, а ее снижение по отношению к θ_w0r при π_σ ≥ 0.4 составляет около 25%.

Отметим, что, используя критериальные зависимости, приведенные на рис. 3, 4, а также значения температуры, найденные для предельных условий по S (θ_w0r, θ_w0(λ_s → ∞)), из выражения (4) можно определить значение θ_w0 в расчетном диапазоне S, π_σ. Погрешность нахождения θ_w0 с учетом возможной линейной интерполяции по определяющим критериям не превышает 2%. Такой подход позволяет избежать массовых точных расчетов двумерной задачи теплопроводности в теле, в том числе при усложнении внутренней геометрии обтекаемой оболочки.

Влияние относительной толщины оболочки L на максимальную температуру θ_w0 представлено в табл. 2 для различных значений π_σ и S. Как и для базовой толщины L = 0.5, при двух других значениях имеет место слабое влияние длины тела на θ_w0 при S ≤ 6 практически во всем расчетном диапазоне π_σ. При возрастании L (≥0.5) наблюдается слабое уменьшение температуры θ_w0 для фиксированных значений S. В то же время в диапазоне 0.1 ≤ L ≤ 0.5 при возрастании L происходит существенное снижение θ_w0, что приводит в данных условиях к уменьшению максимальной температуры тела. Снижение температур θ_w0 может достигать 25–30% (табл. 2) от максимальных значений в зависимости от выбора определяющих параметров задачи.

Рассмотрим далее температурный режим в окрестности лобовой критической точки для нестационарных условий и однородного материала обтекаемой оболочки. На рис. 6а показана зависимость от времени безразмерной температуры θ_w0(τ) для различных материалов (кривые 1–4), а также приведены данные одномерных расчетов (кривые 5, 5 '). Здесь и ниже кривые со штрихами отвечают π_σ = 1.06. В принятых переменных результаты одномерных расчетов для различных материалов ложатся практически на одну кривую при S > 2. На нестационарном участке эффективность использования высокотеплопроводных материалов может значимо возрастать.

Как и в [1], введем нестационарный аналог функции φ_st

где индексы 1, 2 отвечают одномерному и двумерному случаям. На рис. 7 представлена временнáя зависимость φ_nst. Здесь для двух значений S = 2, 13 при двух значениях удлинения z_c = 5, 20 приведены кривые для π_σ = 0.53 и 1.06. Штриховыми линиями показана зависимость При этом ${{\tilde {\varphi }}_{{{\text{nst}}}}}$ значительно отличается от φ_nst в моменты времени, близкие к начальному, но при τ ≥ 2 они практически совпадают, так как одномерный расчет быстро выходит на значение θ_w0r.

Учитывая поведение функции φ_nst, можно заметить, что для τ ≥ 1 ее максимальное отличие от своего стационарного значения ${{\varphi }_{{{\text{st}}}}}$ не превышает 10%, что позволяет приравнять эти величины в расчетном диапазоне τ. Тогда из (5) вытекает

На рис. 8 для условий рис. 7 дано сравнение нестационарного численного решения (сплошные кривые) и приближенного, найденного из (6), (штриховые кривые). Видно, что приближенное решение дает высокую точность при z_c = 5, которая снижается при τ < 8 и z_c = 20.

Таким образом, для нестационарных условий обтекания тела может быть использован приближенный способ определения его максимальных температур, включающий определение φ_st в стационарном случае и температуры поверхности тела в предельных случаях нетеплопроводного материала θ_w0r и абсолютно теплопроводного тела θ_w02(τ, λ_s → ∞), а также результаты одномерного расчета температуры поверхности при отсутствии продольного перетекания тепла по ней θ_w01(τ, λ_s). Как указывалось выше, при τ ≥ 1 значения θ_w01(τ, λ_s) могут быть заменены значением θ_w0r.

Рассмотрим далее случай различных материалов сферической и конической частей. На рис. 6б представлена зависимость θ_w0(τ) для двух значений z_c (5, 20), двух значений π_σ (0.53, 1.06) при S₁ = 2, S₂ = 13. Здесь же для сравнения приведены соответствующие зависимости θ_w0 для однородного материала S₁ = S₂ = 2 при z_c = 5 (штриховые линии). Таким образом, получается комбинация высокотемпературного (область 1) и высокотеплопроводного (область 2) материалов; такая комбинация обеспечивает снижение максимальной температуры по отношению к однородному материалу на 4–7% в зависимости от z_c.

Распределение стационарной температуры поверхности θ_w(z) для различных длин тела показано на рис. 9. Кривые 1, 1 ', имеющие разрыв производной, соответствуют различным материалам (S₁ = 2, S₂ = 13), а кривые 2, 2 ' отвечают однородному материалу при S₁ = S₂ = 2. Как и выше, кривые без штрихов и со штрихами построены для π_σ = 0.53 и 1.06 соответственно. Как и следовало ожидать, для однородного материала при S = 2 максимальная температура в окрестности критической точки при различных π_σ не зависит от длины тела z_c. В то же время использование различных материалов позволяет управлять снижением температуры поверхности θ_w0. На периферийной конической части тела рост S₂ вследствие повышения коэффициента теплопроводности материала обеспечивает рост температуры поверхности и выполаживание зависимости θ_w(z). Качественно такое поведение температуры в этой области отвечает зависимостям θ_w(ξ) для различных λ_s, которые рассматривались при анализе рис. 2.

Интересно оценить влияние коэффициента теплопроводности в области 1 высокотемпературного материала и параметра S₁ на максимальное значение θ_w0 при заданном значении S₂ в области высокотеплопроводного материала. На рис. 3 для двух длин z_c (5, 20) показано значение φ_st при S₁ = 2, 4 (значки внутри кружков). Такая обработка отражает факт заметного снижения температуры θ_w0 по отношению к однородному материалу обтекаемого тела. Так, для z_c = 5 значения θ_w0 составляют 0.95 и 0.9 от максимальной температуры однородного материала при S₁ = 2 и S₁ = 4. Если z_c = 20, то это отношение равно 0.93 и 0.87 соответственно.

На рис. 10 показана зависимость θ_w0 от параметра S₁ при заданном значении S₂ = 13 для различных величин π_σ и z_c. При S₁ ≥ 6 максимальная температура меняется слабо в пределах 5%. Отсюда вытекает близкий к оптимальному уровню диапазон значений S₁ (2–5), при котором заметно снижается уровень максимальных температур при соответствующем выборе высокотемпературного материала сферического затупления.

Таким образом, меняя соотношение коэффициентов теплопроводности материалов сферической и конической частей, можно влиять на снижение максимальной температуры в окрестности критической точки. При этом, как вытекает из рис. 6б, для нестационарного участка процесса это снижение может быть заметно бόльшим.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для нулевого угла атаки в области больших значений чисел Маха (до 10.0) и высоких температур торможения (до 3250 К) на высотах порядка 30 км рассмотрена задача снижения максимальной температуры поверхности затупленного по сфере конуса ниже температуры разрушения материала тела. На основе нестационарной задачи в сопряженной постановке изучены возможные способы управления температурными режимами за счет выбора теплофизических характеристик материала и геометрических характеристик модели: радиуса R_N, длины z_c и толщины оболочки L. Показано, что использование высокотеплопроводных материалов тела в целом либо комбинации высокотемпературных материалов на затуплении и высокотеплопроводных на конической части дает возможность существенно снизить максимальную температуру лобовой критической точки. Построенные критериальные зависимости позволяют оценивать максимальные значения T_w0 во всем диапазоне времен движения.

Оценено применение часто используемой одномерной модели распространения тепла в теле и показана возможность кратной ошибки в определении максимальных температур для перспективных высокотеплопроводных материалов.