1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Теплофизика высоких температур
  4. T. 60, № 4, 2022

Теплофизика высоких температур, 2022, T. 60, № 4, стр. 543-547

Цилиндрические и сферические волны в многофракционных парогазокапельных смесях с полидисперсными включениями

Д. А. Губайдуллин 1, *, Р. Р. Зарипов 1, **

1 Институт механики и машиностроения – обособленное структурное подразделение ФГБУН Федеральный исследовательский центр “Казанский научный центр РАН”
Казань, Россия

* E-mail: gubaidullin@imm.knc.ru
** E-mail: rinat_zaripov.imm@mail.ru

Поступила в редакцию 28.10.2021
После доработки 23.11.2021
Принята к публикации 23.11.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследовано распространение плоских, цилиндрических и сферических волн в многофракционных смесях газа с паром, полидисперсными жидкими и твердыми включениями с учетом фазовых превращений. Каждая полидисперсная фракция имеет различные теплофизические свойства, разный диапазон размеров включений и произвольные функции распределения включений по размерам. Получено единое дисперсионное соотношение как для плоских, так и для цилиндрических и сферических волн. Проанализировано влияние фазовых превращений на эволюцию импульса давления разной геометрии и различной первоначальной формы.

ВВЕДЕНИЕ

Многофазные среды в огромном многообразии распространены в природе и находят свое применение в промышленной отрасли. Исследование акустических волн в многофракционных полидисперсных парогазокапельных средах осложнено вследствие необходимости учета целого ряда причин, таких как межфазный тепломассообмен и трение фаз, различные размеры частиц, многофракционность состава среды и полидисперсность каждой фракции. Однако для более простых случаев уже получены результаты по распространению акустических волн в многофазных средах. Основы динамики двухфазных парогазокапельных смесей представлены в известных монографиях [1–3]. Некоторые проблемы взаимодействий включений в двухфазных потоках представлены в работах [4–7]. Распространение акустических волн в газовзвесях изучено в работах [8‒12]. Влияние фазовых превращений на распространение акустических волн в монодисперсных парогазокапельных средах ранее исследованы в [13–15]. Влияние многофракционности состава смеси в монодисперсных и полидисперсных смесях на распространение акустических волн рассмотрены в [16, 17] соответственно. В [18, 19] в рамках двухфазной полидисперсной модели изучено распространение плоских, цилиндрических и сферических волн в парогазовых смесях при наличии фазовых превращений. В работе [20] исследуется распространение плоских, цилиндрических и сферических волн в газовзвесях с учетом полидисперсности и многофракционности смеси, но без учета фазовых превращений. В [21] изучено влияние фазовых превращений на распространение акустических волн в многофракционных полидисперсных парогазокапельных смесях в случае плоских волн.

Влияние фазовых превращений на эволюцию импульса давления типа гауссовой кривой (а), прямоугольной формы (б), треугольной формы (в) в парогазовой смеси с полидисперсными каплями воды, частицами песка и алюминия для случаев плоской – I, цилиндрической – II и сферической волн – III.

В настоящей работе исследуется распространение плоских, цилиндрических и сферических волн в многофракционных полидисперсных парогазокапельных средах с учетом фазовых превращений, когда каждая полидисперсная фракция жидких и твердых включений состоит из разных материалов и имеет свою произвольную функцию распределения включений по размерам.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим движение смеси воздуха с полидисперсными жидкими и твердыми включениями. Пусть дисперсная фаза состоит из M + 1 разных полидисперсных жидких и твердых фракций. При этом одна фракция участвует в фазовых превращениях, а M фракций не участвуют. Каждая из фракций имеет разный диапазон размеров включений, которые описываются своей произвольной функцией распределения. Введем параметр $\theta $, который при значении $\theta = 0$ описывает распространение плоских волн, при $\theta = 1$ цилиндрических волн и при $\theta = 2$ сферических волн [19].

Уравнения сохранения массы для несущей фазы, дисперсных жидких и твердых включений по [2, 21] и с учетом геометрии волн принимают вид

(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho _{1}^{'}}}{{\partial t}} + {{\rho }_{{10}}}\left( {\frac{{\partial v_{1}^{'}}}{{\partial r}} + \theta \frac{{v_{1}^{'}}}{r}} \right) + \int\limits_{\Delta {{R}_{d}}} {N_{d}^{0}({{R}_{d}}){{j}_{d}}d{{R}_{d}}} = 0, \\ \frac{{\partial \rho _{V}^{'}}}{{\partial t}} + {{\rho }_{{V0}}}\left( {\frac{{\partial v_{1}^{'}}}{{\partial r}} + \theta \frac{{v_{1}^{'}}}{r}} \right) + \int\limits_{\Delta {{R}_{d}}} {N_{d}^{0}({{R}_{d}}){{j}_{d}}d{{R}_{d}}} = 0, \\ \frac{{\partial \rho _{{2d}}^{'}}}{{\partial t}} + \int\limits_{\Delta {{R}_{d}}} {\left( {\frac{{\partial v_{{2d}}^{'}}}{{\partial r}} + \theta \frac{{v_{{2d}}^{'}}}{r}} \right)N_{d}^{0}({{R}_{d}})} g_{d}^{0}({{R}_{d}})d{{R}_{d}} - \\ - \,\,\int\limits_{\Delta {{R}_{d}}} {N_{d}^{0}({{R}_{d}}){{j}_{d}}d{{R}_{d}}} = 0, \\ \frac{{\partial \rho _{{2j}}^{'}}}{{\partial t}} + \int\limits_{\Delta {{R}_{j}}} {\left( {\frac{{\partial v_{{2j}}^{'}}}{{\partial r}} + \theta \frac{{v_{{2j}}^{'}}}{r}} \right)N_{j}^{0}({{R}_{j}})} g_{j}^{0}({{R}_{j}})d{{R}_{j}} = 0, \\ j = \overline {1,M} . \\ \end{gathered} $
     Здесь $\rho $ – плотность, $v$ – скорость, $t$ – время, $r$ – координата, $R$ – радиус включений, $\Delta R$ – диапазон изменения радиуса включений, $N_{{}}^{0}(R)$ – функции распределения включений по размерам, $g_{{}}^{0}(R)$ – масса частицы или капли. Для удобства здесь и далее нижний индекс 1 относится к несущей фазе, $2k$ ‒ к дисперсной фазе k-й фракции ($k = d,j$), $d$ ‒ к жидким включениям, $j$ ($j = \overline {1,M} $) ‒ к твердым включениям, индексы V и G ‒ к параметрам паровой и газовой составляющих несущей фазы. Штрих вверху обозначает возмущение параметра, нижний индекс 0 ‒ начальное невозмущенное состояние. Интенсивность фазовых превращений ${{j}_{d}}$ определена выражением Герца–Кнудсена–Ленгмюра [21].

Уравнения сохранения импульса для несущей фазы, дисперсных жидких и твердых включений не зависят от параметра $\theta $ и записываются аналогично [18, 21]

(2)
$\begin{gathered} {{\rho }_{{10}}}\frac{{\partial v_{1}^{'}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial p_{1}^{'}}}{{\partial r}} + \int\limits_{\Delta {{R}_{d}}} {{{f}_{d}}N_{d}^{0}({{R}_{d}})d{{R}_{d}}} + \\ + \,\,\,\,\sum\limits_{j = 1}^M {\int\limits_{\Delta {{R}_{j}}} {{{f}_{j}}N_{j}^{0}({{R}_{j}})d{{R}_{j}}} } = 0, \\ {{f}_{d}} = g_{d}^{0}\left( {{{R}_{d}}} \right)\frac{{\partial v_{{2d}}^{'}}}{{\partial t}},\,\,\, \\ \,{{f}_{j}} = g_{j}^{0}\left( {{{R}_{j}}} \right)\frac{{\partial v_{{2j}}^{'}}}{{\partial t}},\,\,\,j = \overline {1,M} . \\ \end{gathered} $
     Здесь $p$ – давление; $f$ – сила, действующая на индивидуальную частицу или каплю дисперсной фазы, которая является суммой сил Стокса и Бассэ [1, 2].

Уравнения внутренней энергии для несущей фазы, дисперсных жидких и твердых включений и их межфазной поверхности согласно [18, 21] имеют вид

(3)
$\begin{gathered} {{\rho }_{{10}}}{{c}_{{p1}}}\frac{{\partial T_{1}^{'}}}{{\partial t}} - {{\alpha }_{{10}}}\frac{{\partial p_{1}^{'}}}{{\partial t}} + \int\limits_{\Delta {{R}_{d}}} {N_{d}^{0}({{R}_{d}}){{q}_{{1d}}}d{{R}_{d}}} + \\ + \,\,\sum\limits_{j = 1}^M {\int\limits_{\Delta {{R}_{j}}} {N_{j}^{0}({{R}_{j}}){{q}_{{1j}}}d{{R}_{j}}} } = 0, \\ {{q}_{{1d}}} = - g_{d}^{0}\left( {{{R}_{d}}} \right)\frac{{{{c}_{{p1}}}}}{{{{m}_{d}}}}\frac{{\partial T_{{1d}}^{'}}}{{\partial t}}, \\ {{q}_{{2d}}} = - g_{d}^{0}\left( {{{R}_{d}}} \right){{c}_{{p2d}}}\frac{{\partial T_{{2d}}^{'}}}{{\partial t}}, \\ {{q}_{{1j}}} = - g_{j}^{0}\left( {{{R}_{j}}} \right)\frac{{{{c}_{{p1}}}}}{{{{m}_{j}}}}\frac{{\partial T_{{1j}}^{'}}}{{\partial t}}, \\ {{q}_{{2j}}} = - g_{j}^{0}\left( {{{R}_{j}}} \right){{c}_{{p2j}}}\frac{{\partial T_{{2j}}^{'}}}{{\partial t}},\,\,\,\,j = \overline {1,M,} \\ {{q}_{{1d}}} + {{q}_{{2d}}} = - {{j}_{d}}{{l}_{0}},{{q}_{{1j}}} + {{q}_{{2j}}} = 0,j = \overline {1,M.} \\ \end{gathered} $
     Здесь T – температура, $m$ – массовое содержание, ${{c}_{p}}$ – теплоемкость, ${{l}_{0}}$ – удельная теплота парообразования, $\alpha $ – объемное содержание, $q$ ‒ интенсивность теплообмена [1, 2].

Уравнения состояния пара и газовой смеси удобно записать в следующем виде [2]:

(4)
$\begin{gathered} p_{V}^{'} = \frac{{C_{V}^{2}}}{{{{\gamma }_{V}}{{\alpha }_{{10}}}}}\rho _{V}^{'} + {{p}_{{V0}}}\frac{{T_{1}^{'}}}{{{{T}_{{10}}}}}, \\ p_{1}^{'} = \frac{{C_{1}^{2}}}{{{{\gamma }_{1}}{{\alpha }_{{10}}}}}\left( {\rho _{1}^{'} + \Delta \bar {R}(\rho _{V}^{'} - {{k}_{V}}\rho _{1}^{'})} \right) + \frac{{{{p}_{{10}}}}}{{{{T}_{{10}}}}}T_{1}^{'}, \\ \Delta \bar {R} = \frac{{{{R}_{V}} - {{R}_{G}}}}{{{{k}_{V}}{{R}_{V}} + {{k}_{G}}{{R}_{G}}}}, \\ \end{gathered} $
где $C$ – скорость звука; ${{k}_{i}}$, ${{R}_{i}}$ – начальные концентрации и газовые постоянные компонент несущей фазы; $\gamma $ – показатель адиабаты.

ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ

Решение системы уравнений (1)–(4) ищем в виде прогрессивных волн для возмущений $\varphi {\kern 1pt} ' = \rho {\kern 1pt} ',p{\kern 1pt} ',T{\kern 1pt} '$ [1]:

(5)
$\varphi {\kern 1pt} ' = {{A}_{\varphi }}\exp [i({{K}_{*}}r - \omega t)],$
(6)
$\varphi {\kern 1pt} ' = {{A}_{\varphi }}H_{0}^{{(1)}}\left( {{{K}_{*}}r} \right)\exp [ - i\omega t],$
(7)
$\varphi {\kern 1pt} ' = \frac{{{{A}_{\varphi }}}}{r}\exp [i({{K}_{*}}r - \omega t)].$

Здесь $i$ – мнимая единица, $\omega $ – частота возмущения, ${{K}_{*}}$ – комплексное волновое число, ${{A}_{\varphi }}$ – амплитуда, $H_{0}^{{(1)}}$ – функция Ханкеля. Для плоских волн $\varphi {\kern 1pt} '$ имеет вид (5), для цилиндрических ‒ (6) и для сферических ‒ (7).

Решая систему уравнений (1)–(4) с помощью выражений (5)–(7) аналогично [18, 20], получим дисперсионное соотношение, которое справедливо как для плоских, так и для цилиндрических и сферических волн и имеет следующий вид:

(8)
${{\left( {\frac{{{{C}_{1}}{{K}_{*}}}}{\omega }} \right)}^{2}} = V(\omega )D(\omega ),$
$V\left( \omega \right) = 1 + {{m}_{d}}{{\left\langle {\frac{1}{{1 - i\omega \tau _{{vd}}^{*}}}} \right\rangle }_{d}} + \sum\limits_{j = 1}^M {{{m}_{j}}{{{\left\langle {\frac{1}{{1 - i\omega \tau _{{vj}}^{*}}}} \right\rangle }}_{j}}} ,$
$D\left( \omega \right) = 1 + \left( {{{\gamma }_{1}} - 1} \right)\frac{{{{m}_{d}}m_{d}^{0}\left( {{{H}_{2}} - {{k}_{V}}{{{\bar {R}}}_{V}}{{\gamma }_{1}}\left( {{{{\bar {R}}}_{V}}{{{\bar {c}}}_{1}}{{H}_{3}} - 2{{{\bar {l}}}_{0}}{{H}_{1}}} \right) - {{M}_{{1d}}}\left( {LH_{1}^{2} + {{H}_{2}}{{H}_{3}}} \right)} \right) + \left( {1 - {{M}_{{1d}}}{{H}_{3}}} \right){{t}_{b}}}}{{1 + {{m}_{d}}m_{d}^{0}\left( {{{H}_{2}} - {{{\bar {R}}}_{V}}\left( {1 - {{{\bar {R}}}_{V}}{{k}_{V}}} \right){{H}_{3}} - {{M}_{{2d}}}\left( {LH_{1}^{2} + {{H}_{2}}{{H}_{3}}} \right)} \right) + \left( {1 - {{M}_{{2d}}}{{H}_{3}}} \right){{t}_{b}}}},$
$\begin{gathered} {{M}_{{1d}}} = {{{\bar {c}}}_{1}}{{{\bar {R}}}_{V}}\left( {{{\gamma }_{1}} - 1 + {{{\bar {R}}}_{V}}{{k}_{V}}} \right){{m}_{d}}m_{d}^{0},\,\,\, \\ \,{{M}_{{2a}}} = {{m}_{d}}m_{d}^{0}{{{\bar {R}}}_{V}}\left( {1 - {{{\bar {R}}}_{V}}{{k}_{V}}} \right),\,\,\,\,m_{d}^{0} = \frac{{\rho _{{10}}^{0}}}{{\rho _{{2d}}^{0}}},\,\, \\ \,\,{{{\bar {R}}}_{V}} = \frac{{{{R}_{V}}}}{{{{R}_{{10}}}}},\,\,\,\,{{{\bar {l}}}_{0}} = \frac{{{{l}_{0}}}}{{C_{1}^{2}}}, \\ {{H}_{1}} = {{\left\langle {eZ} \right\rangle }_{d}},\,\,\,\,{{H}_{2}} = {{\left\langle {\left( {{{e}_{{1d}}} - Le} \right)Z} \right\rangle }_{d}},\,\,\, \\ \,{{H}_{3}} = {{\left\langle {e\left( {1 - {{e}_{{1d}}}{{m}_{d}}m_{d}^{0}\tau _{{T1d}}^{*}i\omega } \right)Z} \right\rangle }_{d}}, \\ {{t}_{b}} = \sum\limits_{j = 1}^M {{{m}_{j}}m_{j}^{0}{{{\left\langle {\frac{{{{e}_{{1j}}}}}{{1 - {{e}_{{1j}}}{{t}_{{ej}}}}}} \right\rangle }}_{j}}} ,\,\, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \,Z = {{\left[ {1 - {{m}_{d}}m_{d}^{0}\tau _{{T1d}}^{*}i\omega \left( {{{e}_{{1d}}} - eL} \right)} \right]}^{{ - 1}}},\,\,\, \\ \,{{e}_{{1d}}} = \frac{{{{c}_{{p2d}}}}}{{m_{d}^{0}{{c}_{{p1}}}}}\frac{1}{{1 - i\omega \tau _{{T2d}}^{*}}}, \\ e = \frac{1}{{i\omega \left( {{{\tau }_{{\beta d}}} + \tau _{{k1d}}^{*}} \right)}},\,\,\, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \,L = {{\gamma }_{1}}({{\gamma }_{1}} - 1){{k}_{V}}\bar {l}_{0}^{2},\,\,\,\,{{e}_{{1j}}} = \frac{{{{c}_{{p2j}}}}}{{{{c}_{{p1}}}m_{j}^{0}}}\frac{1}{{1 - i\omega \tau _{{T2j}}^{*}}},\,\, \\ \,\,{{t}_{{ej}}} = {{m}_{j}}m_{j}^{0}i\omega \tau _{{T1j}}^{*}, \\ \end{gathered} $
$m_{j}^{0} = \frac{{\rho _{{10}}^{0}}}{{\rho _{{2j}}^{0}}},\,\,\,\,j = \overline {1,M} ,\,\,\,\,{{\bar {c}}_{1}} = \frac{1}{{{{\gamma }_{1}} - 1}},$
${{\left\langle h \right\rangle }_{n}} = \frac{1}{{\rho _{{20}}^{n}}}\int\limits_{\Delta {{R}_{n}}} {N_{n}^{0}({{R}_{n}})g_{n}^{0}({{R}_{n}})} {{h}_{n}}d{{R}_{n}},\,\,\,\,n = d,1,...\,M.$
Здесь $\left\langle h \right\rangle $ – оператор осреднения, ${{\tau }_{v}}$ – время релаксации скоростей фаз при квазистационарном обтекании частиц газом ($\tau _{v}^{*}$ – его комплексный аналог), ${{\tau }_{{\mu 1}}}$ – характерное время установления квазистационарного распределения скорости в газообразной фазе, ${{\tau }_{{\beta d}}}$ – характерное время выравнивания парциальных давлений пара на межфазной границе, $\tau _{{k1d}}^{ * }$ – комплексное время релаксации парциального давления пара, ${{\tau }_{d}}$ – характерное время установления квазистационарного распределения концентрации пара, ${{\tau }_{{Tj}}}$ – время релаксации температуры в $j$-й фазе ($\tau _{{Tj}}^{*}$ – его комплексный аналог); ${{\tau }_{{\lambda 1k}}}$ – характерное время проникания возмущения температуры от поверхности включения в $j$-ю фазу [1, 2].

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Рассмотрим распространение импульсного возмущения давления различной формы в полидисперсной смеси воздуха с паром, каплями воды, частицами песка и алюминия при температуре ${{T}_{0}} = 327$ К, давлении ${{p}_{{10}}} = 0.1$ МПа и начальной концентрации пара ${{k}_{V}} = 0.1$. Расчеты проведены с помощью дисперсионного соотношения (8) по методике, изложенной в работе [2], с использованием подпрограммы быстрого преобразования Фурье [22]. Расчетные профили построены на расстоянии 3 и 6 м от места инициирования импульса, параметры смеси приведены в таблице.

Параметры смеси

Дисперсная фаза смеси $m$ $\Delta R$, м ${{N}^{0}}(R)$
Капли воды ${{m}_{d}} = 0.1$ ${{R}_{d}} \in \left[ {{{{10}}^{{ - 6}}},\;{{{10}}^{{ - 5}}}} \right]$ $N_{d}^{0}({{R}_{d}}) = R_{d}^{{ - 3}}$
Частицы песка ${{m}_{b}} = 0.1$ ${{R}_{b}} \in \left[ {{{{10}}^{{ - 5}}},\;{{{10}}^{{ - 4}}}} \right]$ $N_{b}^{0}({{R}_{b}}) = R_{b}^{{ - 3}}$
Частицы алюминия ${{m}_{с}} = 0.1$ ${{R}_{c}} \in \left[ {{{{10}}^{{ - 7}}},\;{{{10}}^{{ - 6}}}} \right]$ $N_{с}^{0}({{R}_{с}}) = R_{с}^{{ - 3}}$

Стоит отметить, что дисперсионное соотношение (8) получено для малых объемных содержаний ${{\alpha }_{{2j}}} \ll 1$, однако массовое содержание дисперсной фазы может при этом быть достаточно большим (m2$ \gg $ 1). Диапазоны размеров включений каждой фракции выбраны так, чтобы они различались между собой на порядок.

На рисунке проиллюстрировано влияние фазовых превращений на распространение импульса давления в форме гауссовой кривой (а), в прямоугольной (б) и в треугольной форме (в) в парогазовой смеси с полидисперсными каплями воды, частицами песка и алюминия. Сплошные линии соответствуют результатам расчетов с учетом фазовых превращений, штриховые – без учета.

Фазовые превращения оказывают существенное влияние на интенсивность затухания и на эволюцию импульса давления при разных формах начального импульса. Импульс давления затухает сильнее как в плоском, так и в цилиндрическом и сферическом случаях. Отметим, что импульс давления прямоугольной и треугольной формы при распространении теряет свою изначальную форму.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Показано влияние фазовых превращений на распространение импульса давления различной начальной формы в парогазовой смеси с полидисперсными каплями воды, частицами песка и алюминия. Установлено, что учет фазовых превращений приводит не только к более сильному затуханию импульса давления всех рассматриваемых форм как в плоском, так и в сферическом и цилиндрическом случаях, но и к более значительному изменению первоначальной формы.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 20-11-20070).

Список литературы

  1. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. 464 с.

  2. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Казань: Изд-во Казан. матем. общ-ва, 1998. 154 с.

  3. Temkin S. Suspension Acoustics: An Introduction to the Physics of Suspensions. N.Y.: Cambridge Univ. Press, 2005. 418 p.

  4. Вараксин А.Ю. Гидрогазодинамика и теплофизика двухфазных потоков: проблемы и достижения (обзор) // ТВТ. 2013. Т. 51. № 3. С. 421.

  5. Вараксин А.Ю. Обтекание тел дисперсными газовыми потоками // ТВТ. 2018. Т. 56. № 2. С. 282.

  6. Вараксин А.Ю. Столкновения частиц и капель в турбулентных двухфазных потоках // ТВТ. 2019. Т. 57. № 4. С. 588.

  7. Вараксин А.Ю. Анализ механизмов влияния макро-, микро- и наночастиц на энергию турбулентности несущего газа // ТВТ. 2021. Т. 51. № 4. С. 527.

  8. Davidson G.A. Sound Propagation in Fogs // J. Atmos. Sci. 1975. V. 32. № 11. P. 2201.

  9. Kandula M. Dispersion of Sound in Dilute Suspensions with Nonlinear Particle Relaxation // J. Acoust. Soc. Am. 2010. V. 127. № 3. P. EL115.

  10. Cole J.E., Dobbins R.A. Measurements of the Attenuation of Sound by a Warm Air Fog // J. Atmos. Sci. 1971. V. 28. № 2. P. 202.

  11. Гумеров Н.А. Длинные волны конечной амплитуды в полидисперсных газовзвесях // ПМТФ. 1990. № 4. С. 157.

  12. Гумеров Н.А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Дисперсия и диссипация акустических волн в газовзвесях // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272. № 3. С. 560.

  13. Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Влияние фазовых превращений на распространение звука в туманах. Сопоставление теории с экспериментом // ПМТФ. 1990. № 6. С. 27.

  14. Шагапов В.Ш. О распространении малых возмущений в парогазокапельной среде // ТВТ. 1987. Т. 25. № 6. С. 1148.

  15. Gubaidullin D.A., Nigmatulin R.I. On the Theoty of Acoustic Waves in Polydispersed Gas–Vapor–Droplet Suspensions // Int. J. Multiphase Flow. 2000. V. 26. № 2. P. 207.

  16. Губайдуллин Д.А., Терегулова Е.А., Губайдуллина Д.Д. Распространение акустических волн в многофракционных газовзвесях // ТВТ. 2015. Т. 53. № 5. С. 752.

  17. Губайдуллин Д.А., Зарипов Р.Р. Акустические волны в многофракционных газовзвесях с полидисперсными включениями // ТВТ. 2019. Т. 57. № 3. С. 475.

  18. Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В. Сферические и цилиндрические волны в парогазовых смесях с полидисперсными частицами и каплями // ТВТ. 2012. Т. 50. № 5. С. 659.

  19. Губайдуллин Д.А. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми переходами // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 5. С. 85.

  20. Губайдуллин Д.А., Зарипов Р.Р. Распространение сферических и цилиндрических волн в многофракционных полидисперсных газовзвесях // ТВТ. 2019. Т. 57. № 4. С. 638.

  21. Губайдуллин Д.А., Зарипов Р.Р. Влияние фазовых переходов на распространение акустических волн в многофракционных газовзвесях с полидисперсными включениями // ТВТ. 2021. Т. 59. № 1. С. 133.

  22. Гапов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. Препринт № 14-76. Новосибирск: Изд-во ИТФ СО АН СССР, 1976. 19 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Теплофизика высоких температур

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал