Теоретические основы химической технологии, 2019, T. 53, № 5, стр. 572-594

ВВЕДЕНИЕ

Технология циркулирующего кипящего слоя (ЦКС) используется в химической промышленности и энергетике [1, 2]. В аппаратах с ЦКС скорость газа превышает скорость витания частиц дисперсного материала. Поэтому для их устойчивой работы необходимо возвращать уносимую твердую фазу [3]. Уловленный зернистый материал подается в нижнюю часть стояка реактора либо топки. Здесь, в зоне ускорения [4–7], при определенных условиях формируется высококонцентрированная дисперсная среда – придонный слой (ПС). Его структура и размеры, а также условия существования зависят от ряда аппаратных, режимных и физических параметров.

Для топок ЦКС характерно небольшое отношение высоты стояка к эквивалентному диаметру (<10) [1]. В них используется газораспределитель с малым сопротивлением [8]. В качестве рабочего применяется дисперсный материал групп B (топливо) и D (инерт) по классификации Гелдарта (Geldart) при незначительных циркуляционных потоках [1, 8]. Совокупность перечисленных характеристик обусловливает такую же структуру и поведение придонного слоя, как у обычного неоднородного кипящего слоя (КС) [4, 8–11]. Образование КС-подобного придонного слоя, как правило, связывают с неоднородностью псевдоожижения, в том числе из-за низкого сопротивления газораспределителя [8, 12, 13].

Гидродинамические и обменные параметры ПС рассчитываются как для обычного неоднородного кипящего слоя в предположении, что весь избыточный газ (кроме необходимого для взвешивания зернистого материала) проходит в струях и пузырях [8, 14, 15]. При этом не учитывается проточность системы и связанная с ней процедура разгона частиц возвращаемого уноса, хотя влияние эффектов ускорения на плотность придонного слоя выявлено экспериментально [16].

В связи с этим целью настоящей работы является обоснование вклада возникающих во время ускорения частиц сил инерции в образование придонного слоя, разработка учитывающей эти силы методики расчета параметров ПС и условий его существования. Объект исследования – КС-подобный придонный слой, формирующийся в стояке топки с циркулирующим кипящим слоем.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПС

Придонный слой вместе с уносимыми и возвращаемыми частицами представляет собой проточную систему и может рассматриваться как частный случай системы переменного состава [17] (по определению [17] механическая система является системой переменного состава, если либо масса системы, либо материальные точки, из которых она состоит, либо и то и другое меняются со временем).

Рассмотрим придонный слой, содержащий в начальный момент N одинаковых частиц с постоянной массой m. Его масса с течением времени изменяется по закону

где M = mN – начальная масса, ${{M}_{2}}(t)$ = $m\int\limits_0^t {{{N}_{2}}(t)dt} $ и ${{M}_{0}}(t)$ = $m\int\limits_0^t {{{N}_{0}}(t)dt} $ – массы вышедших из системы и вошедших в нее частиц соответственно [17].

Слой будет стационарным, а его масса останется неизменной при условии равенства M₂(t) и M₀(t):

Из соотношения (2), после подстановки определений M₀(t) и M₂(t), следует

В (3) учтено, что расходы N₀ и N₂ отличны от 0, а равенство в любой момент времени t возможно только при их постоянном значении вследствие независимого формирования потоков уноса и его возврата.

Из теоремы об изменении количества движения системы переменного состава [17] следует, что дополнительно к внешним силам на такую систему действует реактивная сила

где ΔQ₂ и ΔQ₀ – суммы импульсов частиц, отделившихся и присоединившихся к системе за время Δt.

Преобразуем выражение (4) применительно к придонному слою. Для определенности будем считать, что все частицы, выносимые из слоя в течение времени Δt, покидают его в момент t + Δt, а возвращаемые – присоединяются к системе в момент времени t. Тогда количества движения отделяющихся и присоединяющихся к слою частиц можно представить как

где N_0–2 Δt – число частиц, возвращенных и выведенных из слоя за время Δt. С учетом (5) и (6) формула (4) принимает вид

Последнее выражение преобразуем следующим образом:

где $N\bar {v}$ = $\sum\limits_{j = 1}^N {{{v}_{j}}\left( t \right)} $ = $\sum\limits_{j = 1}^N {{{v}_{j}}\left( {t + \Delta t} \right)} $ – умноженная на число частиц в слое средняя скорость, не зависящая от времени в силу стационарности системы. В сумму $\sum\limits_{j = 1}^N {{{v}_{j}}\left( t \right)} $ включены N_0–2Δt частиц, которые покинут слой в момент времени $t + \Delta t,$ а в сумму $\sum\limits_{j = 1}^N {{{v}_{j}}\left( {t + \Delta t} \right)} $ – N_0–2Δt частиц, вошедших в слой в момент времени t:

После подстановки (9) и (10) в формулу (8), группировки слагаемых и предельного перехода получается

Таким образом, величина реактивной силы, действующей на придонный слой, равна сумме сил инерции, развивающихся в процессе разгона твердой фазы. Она противоположна направленному вверх ускорению частиц и действует совместно с силой тяжести.

УЧЕТ НЕОДНОРОДНОСТИ СЛОЯ

Расчет параметров придонного слоя в топке ЦКС выполняется как для обычного кипящего слоя и основывается на двухфазной теории псевдоожижения. Соответственно, ПС представляют совокупностью эмульсионной фазы, содержащей дисперсный материал в состоянии минимального ожижения и продуваемой со скоростью u_mf, и практически свободной от частиц дискретной фазы, сквозь которую прорывается весь остальной газ со скоростью u_b (рис. 1). Очевидно, что разгон зернистого материала возможен только в дискретной фазе, где достаточно свободного пространства и расход газа максимален. Достигаемые скорость и ускорение частицы определяются величиной u_b, зависящей от средней скорости ожижающего агента u и параметра U_b. Безразмерная скорость U_b = u_b/u характеризует неоднородность газового потока в аппарате. Выражение для U_b выводится из условия баланса потоков (рис. 1)

Преобразуя его с использованием формулы $\frac{{{{S}_{{{\text{em}}}}}}}{S}$ = = $\frac{{1 - \bar {\varepsilon }}}{{1 - {{\varepsilon }_{0}}}},$ можно получить

Так как u_mf$ \ll $ u, соотношение (13) приближенно записывается как

Формула (14) позволяет, основываясь на данных [8], оценить диапазон возможных значений U_b. Из рис. 2 следует, что U_b может принимать значения от 2.5 до 4 при среднем ~3.

Величина δ_b (рис. 1) определяет долю объема, занятую дискретной фазой

и характеризует структурную неоднородность придонного слоя.

СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ РАЗГОНЯЕМОЙ ЧАСТИЦЫ

Поскольку предполагается, что дисперсный материал в дискретной фазе слоя отсутствует, движение попавшей сюда частицы можно рассматривать как свободное. Соответствующее уравнение в системе координат, связанной с потоком газа, движущимся со скоростью u_b, имеет вид

где v_b – скорость частицы относительно газового потока в дискретной фазе, m = ρ_pv_p, v_p = πd³/6. В правой части первое слагаемое представляет силу тяжести, второе – выталкивающую силу, третье – силу сопротивления

с коэффициентом сопротивления λ = $\frac{{24}}{{{{{\operatorname{Re} }}_{{{{v}_{{\text{b}}}}}}}}}\left( {1 + \frac{{{{{\operatorname{Re} }}_{{{{v}_{{\text{b}}}}}}}}}{{50}}} \right)$ (здесь ${{\operatorname{Re} }_{{{{v}_{{\text{b}}}}}}}$ = $\frac{{{{v}_{{\text{b}}}}d}}{\nu }$), принятым в соответствии с [18].

Относительная скорость v_b меняется от –u_b в начальный момент времени (предполагается, что в дискретную фазу частицы попадают с нулевой вертикальной скоростью) до скорости установившегося движения –u_t при t → ∞ (u_b – u_t в системе координат, связанной с аппаратом), оставаясь всегда отрицательной.

После подстановки в (16) и преобразований с учетом знака v_b получается

– уравнение Риккати с постоянными коэффициентами $A = \frac{{18}}{{50}}\frac{\rho }{{{{\rho }_{{\text{p}}}}}}\frac{1}{d},$ $B = 18\frac{\rho }{{{{\rho }_{{\text{p}}}}}}\frac{\nu }{{{{d}^{2}}}},$ $C = g\frac{{{{\rho }_{{\text{p}}}} - \rho }}{{{{\rho }_{{\text{p}}}}}}$ [19].

Начальное условие v_b(0) = –u_b.

Решение (18) имеет вид

где $\frac{2}{{{{t}_{{{\text{ac}}}}}}} = \sqrt {4AC + {{B}^{2}}} .$

При t = 0 v_b(0) = –u_b, при t → ∞

Используя соотношения $\frac{{4AC}}{{{{B}^{2}}}} = \frac{{\operatorname{Ar} }}{{225}},$ Ar = $\frac{{g{{d}^{3}}}}{{{{\nu }^{2}}}}\frac{{{{\rho }_{{\text{p}}}} - \rho }}{\rho },$ $\frac{2}{{{{t}_{{{\text{ac}}}}}}} = B\sqrt {1 + \frac{{\operatorname{Ar} }}{{225}}} ,$ $B = 18\frac{d}{\nu }\frac{C}{{\operatorname{Ar} }},$ C = $\frac{{{{\nu }^{2}}}}{{{{d}^{3}}}}\frac{\rho }{{{{\rho }_{{\text{p}}}}}}\operatorname{Ar} ,$ $2\frac{A}{B}{{u}_{{\text{b}}}} = \frac{{{{{\operatorname{Re} }}_{{\text{b}}}}}}{{25}},$ ${{\operatorname{Re} }_{{\text{b}}}} = \frac{{d{{u}_{{\text{b}}}}}}{\nu },$ $\operatorname{Re} = \frac{{du}}{\nu },$ Re_b = U_bRe, можно преобразовать (19) и привести к виду

При t = 0 v_b(0) = –u_b, при t → ∞ должно выполняться

Пусть u_b = u_t. Тогда Re_b = Re_t, ${{\operatorname{Re} }_{{\text{t}}}} = \frac{{d{{u}_{{\text{t}}}}}}{\nu }$ и (22) превращается в уравнение для определения Re_t. Его решение

Пределы (23) $\mathop {{{{\operatorname{Re} }}_{{\text{t}}}}}\limits_{\operatorname{Ar} \to 0} \to \frac{{\operatorname{Ar} }}{{18}}$ и $\mathop {{{{\operatorname{Re} }}_{{\text{t}}}}}\limits_{\operatorname{Ar} \to \infty } \to \frac{5}{3}\sqrt {\operatorname{Ar} } $ = = $1.66\sqrt {\operatorname{Ar} } ,$ равно как и промежуточные значения, согласуются с другими известными формулами для скорости витания (например, [20]). Преимуществом этого соотношения в данной работе является его общее с другими выражениями происхождение. Это упрощает выкладки и позволяет получить более простые и компактные конечные формулы. Подставляя в (21) следующие из (22) и (23) соотношения $\frac{{{{{\operatorname{Re} }}_{{\text{t}}}}}}{{25}} + 1$ = $\sqrt {1 + \frac{{\operatorname{Ar} }}{{225}}} $ и $\frac{{\operatorname{Ar} }}{{9{{{\operatorname{Re} }}_{{\text{t}}}}}}$ = $2 + \frac{{{{{\operatorname{Re} }}_{{\text{t}}}}}}{{25}}$ или $\frac{{25\operatorname{Ar} }}{9}$ = ${{\operatorname{Re} }_{{\text{t}}}}\left( {50 + {{{\operatorname{Re} }}_{{\text{t}}}}} \right),$ окончательно получим

где

– характерное время разгона, зависящее только от свойств частиц и газа. Пределы (24) по-прежнему удовлетворяют начальному условию и условию установившегося движения.

Продифференцировав (24), можно получить, после преобразований, формулу для ускорения частицы

где

– начальное ускорение.

В момент времени t = 0 ускорение максимально (w(0) = w₀), при t → ∞ w(t) → 0.

Среднее за время T ускорение определяется выражением

Его пределы $\bar {w}\mathop \to \limits_{T \to 0} {{w}_{0}}$ и $\bar {w}\mathop \to \limits_{T \to \infty } 0$ совпадают с пределами мгновенного ускорения.

На рис. 3 и 4 представлены зависимости скорости и ускорения разгоняемой частицы от времени.

В расчетах используются типичные для топок ЦКС исходные данные: средний размер частиц 0.2 мм при минимальном 0.1 мм и максимальном 0.3 мм [1], их плотность от 1800 до 2600 кг/м³ [1], ожижающий агент – холодный (20°С) либо горячий (1000°С) воздух. Число Архимеда при этом изменяется от 2 до 3000.

Поскольку и скорость, и ускорение зависят от величин u_b и u_t [формулы (24), (26) и (27)], для уменьшения числа варьируемых переменных в качестве параметра используется их отношение u_b/u_t. Время разгона во всех вариантах расчета примерно одинаково и равно t_ac. Существенно различается процесс на промежуточных стадиях – в холодном газе частица движется медленнее, чем в горячем (рис. 3). На рис. 4а представлена зависимость w₀ от скорости газа. В горячих условиях при одинаковых значениях отношения u_b/u_t начальное ускорение ниже (по-видимому, благодаря тому, что с ростом температуры уменьшается скорость витания). Зависимость w(t)/w₀ от времени представлена на рис. 4б. Как видно, разгон частиц происходит в пределах характерного времени t_ac. При малом отношении скоростей u_b/u_t величина w(t)/w₀ в один и тот же момент времени в холодных условиях больше, чем в горячих. С ростом параметра u_b/u_t уже при высокой температуре при одинаковом t w(t)/w₀ становится больше, чем в нормальных условиях, и это различие растет вместе с u_b/u_t.

ВЫБОР МЕТОДА РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ПРИДОННОГО СЛОЯ

При известной функции w(t) уравнение движения (16) можно рассматривать как условие баланса действующих на частицу сил в момент времени t. Рассмотрим это условие в лабораторной системе координат. Здесь увлекающая частицу сила сопротивления (17) может быть представлена в виде

С учетом этого соотношения уравнение (16) после преобразований записывается как

где ${{\operatorname{Re} }_{{\text{v}}}}\left( t \right) = \frac{{\left( {{{u}_{{\text{b}}}} - v\left( t \right)} \right)d}}{\nu }.$

После приведения (30) к безразмерной форме получается

Справа – критериальная запись силы сопротивления. Левую часть равенства (31) можно представить как модифицированный критерий Архимеда двояким образом.

Первый вариант:

где $g{\text{*}}\left( t \right)$ = $g\left( {1 + \frac{{w\left( t \right)}}{g}\frac{{{{\rho }_{{\text{p}}}}}}{{{{\rho }_{{\text{p}}}} - \rho }}} \right).$

Такая форма записи непосредственно отражает точку зрения об обеспечивающем формирование придонного слоя совместном противодействии сил тяжести и инерции силе гидродинамического сопротивления. Частица в этом случае движется в переменном внешнем поле, зависящем от ее ускорения. Построить методику расчета параметров ПС, оставаясь в рамках подобного представления, не удалось.

Второй вариант:

где $d{\text{*}}\left( t \right)$ = $d{{\left( {1 + \frac{{w\left( t \right)}}{g}\frac{{{{\rho }_{{\text{p}}}}}}{{{{\rho }_{{\text{p}}}} - \rho }}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ – эффективный гидравлический диаметр разгоняемых частиц, который в процессе ускорения в постоянном поле силы тяжести меняется от наибольшего значения

в начальный момент времени до величины

соответствующей установившемуся движению. Придонный слой, при таком косвенном учете влияния сил инерции, представляет собой идеально перемешанную систему сжимающихся частиц. Для расчета параметров ПС и условий его существования можно в этом случае использовать методику, разработанную в [21, 22].

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРИДОННОГО СЛОЯ

Следуя [21], определим для заданной средней скорости газа u диаметр витания

Формула (36) представляет собой решение (22) относительно d_t при заданном u и определяет наименьшее значение диаметра ожижаемых при такой скорости газа частиц. Рассмотрим, как изменяются начальный эффективный диаметр (34) и диаметр витания (36) с ростом средней скорости газа.

На рис. 5 представлены зависимости $d_{0}^{*}$ и d_t от u. Так как d_t определяет наименьший допустимый размер частиц, для существования слоя необходимо выполнение неравенства $d_{0}^{*} > {{d}_{{\text{t}}}}.$ Из рис. 5 видно, что, поскольку $d_{0}^{*}$ зависит от U_b (34), это неравенство будет выполняться, если разгон частиц начнется до того, как средняя скорость газа в топке достигнет величины u_t. Следовательно, первым необходимым, но недостаточным, условием образования и существования придонного слоя является его неоднородность, как и неоднородность кипящего слоя, из которого формируется ПС. Вторым необходимым условием является возникновение циркуляционного потока (что возможно при условии u > u_t) и связанной с ним реактивной силы.

Пусть u_{t min} < u < u_{t max}. Для мелких частиц оба необходимых условия существования придонного слоя уже выполнены, а для более крупных – нет. В этом случае дисперсная среда в зоне ускорения представляет собой смесь кипящего слоя из крупных фракций и придонного слоя мелочи. Внешне это никак качественно не проявляется из-за структурного подобия КС и ПС. Можно лишь констатировать, что полное замещение кипящего слоя придонным произойдет при условии u > u_{t max}. При этом $d_{0}^{*} > {{d}_{{\text{t}}}} > d,$ из чего следует:

в придонном слое возможна только начальная фаза разгона частицы, длительность которой сокращается по мере роста скорости газа;

в формировании придонного слоя участвуют только те фракции, для которых выполнено условие $d_{0}^{*} > {{d}_{{\text{t}}}},$ и их доля с ростом скорости газа уменьшается.

Действие обоих указанных факторов (первого за счет сокращения времени пребывания частиц в слое, второго – за счет уменьшения числа частиц в нем) приводит к уменьшению массы придонного слоя по мере роста скорости газа. Этот механизм работает по-разному в зависимости от дисперсности зернистого материала. В слое узкого фракционного состава при незначительном превышении скорости u над u_t в образовании ПС участвуют все частицы.

При u₁ > u_{t max}:

Дальнейший рост скорости газа приводит к сокращению доли частиц, участвующих в образовании придонного слоя (рис. 5а, 5в).

При u₂ > u₁ > u_{t max}:

В полифракционной дисперсной среде всегда выполняется последнее неравенство – действуют оба фактора, определяющие массу и размер ПС (рис. 5б, 5г).

С увеличением скорости фильтрации придонный слой постепенно уменьшается по размеру и массе и, наконец, исчезает при таком значении u, когда

Соотношение (39) представляет собой определение транспортной скорости. После подстановки выражений (34) и (36) для $d_{0}^{*}$ и d_t и преобразований из (39) получается уравнение относительно ${{\operatorname{Re} }_{{{\text{tr}}}}} = \frac{{d{{u}_{{{\text{tr}}}}}}}{\nu }$:

Здесь выполнена подстановка u = u_tr и опущен индекс max для сокращения записи и с учетом того, что в дальнейшем рассматривается монодисперсная система. Как видно, Re_tr зависит только от степени неоднородности газового потока U_b и числа Архимеда Ar. При постоянном U_b решение уравнения (40) может быть получено в широком диапазоне значений Ar. Оно аппроксимируется выражениями

со средней погрешностью 2.8 и 2.7% соответственно. Зависимости (41) представлены на рис. 6 вместе с формулой Тодеса [20] для скорости витания

и обработкой опытных данных для транспортной скорости [3]

Из формул (41) и рис. 6 видно, что по мере уменьшения степени неоднородности газового потока U_b транспортная скорость стремится к скорости витания (42). Можно показать, что Re_t является решением уравнения (40) при U_b = 1. Для этого преобразуем (40), используя те же соотношения, что и при выводе (24), следующим образом:

Подстановка U_b = 1 и Re_tr = Re_t в (44) обращает его в тождество 0 = 0. Таким образом, для однородного слоя транспортная скорость и скорость витания совпадают.

Кривая, отображающая эмпирическую формулу (43), располагается в значительно более узком диапазоне чисел Архимеда, последовательно пересекает семейство линий, представляющих зависимости (41), и заканчивается на кривой Re_t(Ar). Столь сильное отличие обусловлено тем, что с ростом скорости фильтрации величина U_b изменяется, а не остается постоянной, как это принято при решении уравнения (40). Зависимость Re_tr(Ar) при переменном U_b будет рассмотрена далее.

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПРИДОННОГО СЛОЯ

Дальнейшие оценки проводятся в предположении монодисперсного состава двухфазной среды. Это позволяет уменьшить объем необходимых исходных данных и упростить выкладки. Фиксированному значению истинного диаметра d соответствует точно определенная величина эффективного начального диаметра $d_{0}^{*},$ а распределение попадающих в слой частиц по эффективному диаметру d^* имеет вид

В этом случае для полного описания ансамбля сжимающихся частиц, согласно [21, 22], необходимы следующие параметры:

определяющий диапазон допустимых размеров частиц в слое по отношению к $d_{0}^{*},$ легко вычисляется с использованием формул (34) и (36);

– скорость сжатия, представленная как функция текущего эффективного диаметра d* (параметры стационарной системы не могут явно зависеть от времени). Вычисление зависимых величин становится особенно простым, если (47) удается представить в виде степенной функции

Оказалось возможным с удовлетворительной точностью аппроксимировать точное выражение скорости сжатия зависимостью вида (48). Чтобы выполнить это, сначала запишем, используя соотношения (26) и (34), выражение для текущего эффективного диаметра как функции времени:

где

С учетом последнего соотношения формула для начального эффективного диаметра принимает вид

Продифференцировав (49) по времени, выполнив группировку и ряд преобразований, можно получить следующую формулу для скорости сжатия как функции времени:

где

– модуль максимальной (начальной) скорости сжатия, а функция Φ(t) имеет вид

Сравним эту функцию с отношением текущего и начального эффективных диаметров

В начальный момент времени их значения одинаковы: Φ(0) = 1 и $\frac{{d{\text{*}}\left( 0 \right)}}{{d_{0}^{*}}} = 1.$ В пределе при t → → ∞ $\Phi \left( t \right)\mathop \to \limits_{t \to \infty } 0$ и $\frac{{d{\text{*}}\left( t \right)}}{{d_{0}^{*}}}\mathop \to \limits_{t \to \infty } \frac{d}{{d_{0}^{*}}}.$ Обе функции – монотонно убывающие и, после сжатия частицы за время t_t до размера d_t, принимают значения 0 < < Φ(t_t) < 1 и $\frac{{d{\text{*}}\left( {{{t}_{{\text{t}}}}} \right)}}{{d_{0}^{*}}} = \frac{{{{d}_{{\text{t}}}}}}{{d_{0}^{*}}}.$ Сходный характер изменения Φ(t) и $\frac{{d{\text{*}}\left( t \right)}}{{d_{0}^{*}}}$ со временем дает основание для поиска аппроксимации вида

Для этого рассмотрим последовательность моментов времени t₁, t₂,…,t_l,…,t_L, равномерно распределенных на отрезке [0, t_t], причем t₁ < t₂ < …< < t_l < … < t_L ≤ t_t. Далее, варьируя показатель степени n_Φ, можно определить

Погрешность аппроксимации

Дальнейшие расчеты показали, что наибольшая погрешность аппроксимации составляет ~7% при скорости фильтрации, близкой к скорости витания, и быстро уменьшается по мере ее роста. Построение аппроксимирующей функции (56) позволяет исключить из рассмотрения время в качестве аргумента и, после подстановки (56) в (52), записать следующее выражение для скорости сжатия:

где a = n_Φ – 2. В начальный момент времени $d{\text{*}} = d_{0}^{*}$ и скорость сжатия максимальна: v_c(1) = –k.

Теперь можно записать следующие функции, характеризующие придонный слой:

распределение частиц по эффективному диаметру

средний эффективный диаметр частиц

среднеобъемный эффективный диаметр частиц

Функции (60)–(62) определяются коэффициентами a, k и α, которые, в свою очередь, зависят только от одного, специфичного для придонного слоя, параметра – степени неоднородности газового потока U_b. Оказалось возможным однозначно определить эту величину, сравнивая два выражения для средней порозности ПС (значение $\bar {\varepsilon }$ не должно зависеть от способа его определения):

полученное преобразованием формулы (13)

и формулы Тодеса [20]

где $\operatorname{Re} {\text{*}} = \frac{{u\overline {d{\text{*}}} }}{\nu },$ $\operatorname{Re} _{{{\text{mf}}}}^{*} = \frac{{\overline {d{\text{*}}} u_{{{\text{mf}}}}^{*}}}{\nu },$

Значение U_b уточняется вплоть до достижения заданной величины погрешности

Рассмотрим подробно участвующие в формировании придонного слоя потоки уноса F₂ и его возврата F₀. Из (3) следует, что в стационарном ПС из N частиц постоянной массы m эти потоки равны:

При скорости фильтрации, превышающей скорость витания, d_t больше d и слой покидают отчасти разогнанные частицы с эффективным диаметром d* = d_t > d, кажущиеся объем и масса которых увеличена в (d_t/d)³ раз. Из них формируется эффективный поток уноса

По ходу ускорения кажущийся размер частиц уменьшается и эффективному потоку уноса $F_{2}^{*}$ должен соответствовать эффективный поток подачи $F_{0}^{*} > F_{2}^{*}.$ Его величину можно определить, используя соотношение [21]

из которого, с учетом (70), следует

Как видно, эффективный поток подачи представляет собой поток N_0–2 частиц, кажущиеся объем и масса которых увеличена в ${{\left( {{{d_{0}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d_{0}^{*}} d}} \right. \kern-0em} d}} \right)}^{3}}$ раз. Аналогично можно определить кажущуюся массу слоя, как совокупности N частиц, масса которых увеличена в ${{\left( {{{\overline {{{{\left( {d{\text{*}}} \right)}}_{{\text{v}}}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\overline {{{{\left( {d{\text{*}}} \right)}}_{{\text{v}}}}} } d}} \right. \kern-0em} d}} \right)}^{3}}$ раз

а также эффективное время пребывания частиц в слое [21]

и истинное время пребывания

И эффективное и истинное время пребывания определяются только характеристиками частиц, газа и особенностями их взаимодействия. Зная поток подачи F₀, можно рассчитать массу придонного слоя

его высоту

и перепад давления на слое

При оценке высоты слоя (как геометрического параметра) используется истинная масса слоя. Перепад давления на слое определяется всеми действующими на него силами, включая силы инерции. Поэтому при вычислении ΔP используется кажущаяся масса слоя, учитывающая все эти силы.

Последовательность вычислений приведена на рис. 7. Значение параметра U_b уточняется вплоть до выполнения условия $\left| {1 - {{{{{\bar {\varepsilon }}}_{{\text{T}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\bar {\varepsilon }}}_{{\text{T}}}}} {\bar {\varepsilon }}}} \right. \kern-0em} {\bar {\varepsilon }}}} \right| < {{\Delta }_{{\bar {\varepsilon }}}},$ ${{\Delta }_{{\bar {\varepsilon }}}} = 5 \times {{10}^{{ - 4}}}.$

Расчеты выполнены для типичных условий и скорости газа $u \geqslant 1.05{{u}_{{\text{t}}}}.$ Их результаты представлены на рис. 8–21.

Зависимость степени неоднородности газового потока от скорости фильтрации представлена на рис. 8. По мере увеличения скорости газа степень неоднородности потока монотонно уменьшается в диапазоне от 3 до 2.5. Небольшие максимумы при скорости u, близкой к скорости витания, по-видимому, связаны с неточностью степенной аппроксимации скорости сжатия. При комнатной температуре неоднородность потока снижается быстрее и в большем интервале, чем при 1000°С. В слое из более тяжелых частиц скорости газа выше.

На рис. 9 представлена зависимость параметра α от скорости фильтрации. С ростом скорости эта величина монотонно возрастает, отображая сужение диапазона допустимых размеров частиц. Различается характер кривых. Горячим условиям соответствуют выпуклые кривые, холодным – вогнутые. Для более тяжелых частиц графики смещены в сторону больших скоростей.

Показатель степени в аппроксимации (59) скорости сжатия (рис. 10) монотонно уменьшается с ростом скорости холодного газа. В горячих условиях наблюдается незначительный минимум, более явно выраженный в случае легких частиц. При переходе к более легким частицам и повышенным температурам кривые смещаются в сторону меньших скоростей.

Погрешность степенной аппроксимации скорости сжатия наибольшая (∼7%) при скорости газа, приближающейся к скорости витания (рис. 11). В дальнейшем она быстро уменьшается. Эта погрешность сказывается во всех формулах, использующих аппроксимационные коэффициенты, и возрастает не более чем на 20% от своей величины при расчете времени пребывания (75) (рис. 7) в холодных условиях.

Начальная скорость сжатия (рис. 12) почти линейно возрастает с увеличением скорости газа. В холодных условиях темп роста выше, как и само значение к. Легкие частицы начинают разгоняться быстрее как в нормальных условиях, так и при повышенных температурах.

На рис. 13а представлены зависимости различных эффективных диаметров от скорости фильтрации холодного газа для легких и тяжелых частиц. Для одного и того же значения скорости и начальные и средние диаметры, как и диаметр витания, у легких частиц выше. По мере приближения к транспортной скорости все зависимости для каждого сорта частиц сходятся к одной точке. На рис. 13б такие же зависимости представлены для тяжелых частиц в холодных и горячих условиях. Эффективные диаметры при высокой температуре больше, чем при нормальной при одной и той же скорости газа. Как видно из рисунков, средний и среднеобъемный диаметры различаются мало. Оценки показали, что при а = 2–4 и α = = 0.6–0.95 их расхождение не превышает 4%. Наибольшее различие (∼30%) достигается при а = 5 и α = 0.1.

На рис. 14а представлены зависимости эффективной скорости начала псевдоожижения от скорости фильтрации. При нормальных условиях $u_{{{\text{mf}}}}^{*}$ возрастает с ростом скорости, при повышенной температуре – незначительно снижается как для тяжелых, так и для легких частиц. В то же время отношение ${{u_{{{\text{mf}}}}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{u_{{{\text{mf}}}}^{*}} {{{u}_{{{\text{mf}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{{{\text{mf}}}}}}}$ в обоих случаях с ростом скорости увеличивается (рис. 14б).

Эффективная скорость витания $u_{{\text{t}}}^{*}$ (рис. 15а) с ростом скорости фильтрации монотонно возрастает, равно как и отношение ${{u_{{\text{t}}}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{u_{{\text{t}}}^{*}} {{{u}_{{\text{t}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{{\text{t}}}}}}$ (рис. 15б), тогда как отношение ${{u_{{\text{t}}}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{u_{{\text{t}}}^{*}} u}} \right. \kern-0em} u}$ падает, становясь меньше 1 для среднего эффективного диаметра (рис. 15в). Для начального эффективного диаметра это отношение всегда остается больше 1 (рис. 15в).

Как видно из рис. 16, во всех случаях отношение ${{u_{{{\text{mf}}}}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{u_{{{\text{mf}}}}^{*}} {{{u}_{{{\text{mf}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{{{\text{mf}}}}}}}$ возрастает с ростом u быстрее, чем ${{u_{{\text{t}}}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{u_{{\text{t}}}^{*}} {{{u}_{{\text{t}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{{\text{t}}}}}}.$ Это согласуется со сближением диаметра витания с начальным эффективным диаметром (рис. 13) и ростом параметра α (рис. 9) по мере увеличения скорости фильтрации.

На рис. 17 представлена зависимость средней порозности придонного слоя от скорости фильтрации. При нормальных условиях ее значение увеличивается гораздо быстрее, чем в горячем слое. Одновременно со средней порозностью увеличивается и доля объема слоя, занятая дискретной фазой (рис. 18). И $\bar {\varepsilon },$ и ${{\delta }_{{\text{b}}}}$ больше в случае легких частиц.

Время ускорения частиц в слое всегда меньше характерного времени разгона и сокращается с ростом скорости газа (рис. 19а). Время пребывания в слое может быть как больше, так и меньше t_ac, сокращаясь по мере увеличения скорости u. В то же время τ всегда больше t_t. Отношение n_ac = = τ/t_t (рис. 19б) характеризует среднее число попыток разгона, необходимых для выхода частицы из слоя (неудачные попытки заканчиваются столкновением, удачная – последняя – выходом в транспортную зону). Как видно из рисунка, эта величина слабо зависит от скорости газа (отклонение от среднего по скорости фильтрации значения ${{\bar {n}}_{{{\text{ac}}}}}$ не превышает 8%) и определяется главным образом свойствами твердой фазы и ожижающего газа. Аппроксимация ${{\bar {n}}_{{{\text{ac}}}}}{\text{:}}$

Средняя погрешность аппроксимации (79) составляет 7.5%.

На рис. 20 представлена зависимость времени пребывания частиц в придонном слое от скорости газа. Как видно, это время составляет не более 0.5 с, быстро уменьшаясь по мере роста u. Наибольшие времена характерны для тяжелых частиц в холодном слое. Уменьшение плотности ρ_p, равно как и повышение температуры, приводит к сокращению τ. При высокой температуре и скорости газа, значительно превышающей u_t, время пребывания сокращается медленнее, чем в нормальных условиях. В результате при одной и той же скорости фильтрации u $ \gg $ u_t величина τ в горячем слое оказывается больше, чем в холодном.

ТРАНСПОРТНАЯ СКОРОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ U_b

Диапазон чисел Ar, соответствующий типичным для топок параметрам, представляет переходную зону зависимости Re(Ar). Очевидно поэтому зависимость ${{\left. {{{U}_{{\text{b}}}}} \right|}_{{u = {{u}_{{{\text{tr}}}}}}}}$ от числа Архимеда (рис. 21а) оказывается сложнее, чем от скорости фильтрации (рис. 8), и в холодном слое даже имеет явно выраженный экстремальный характер. Расчетные точки Re_tr(Ar) хорошо укладываются на одну линию, которая аппроксимируется следующей степенной зависимостью, аналогичной (43) [3]

со средней погрешностью ~14%. Средняя погрешность зависимости (43) оказывается ~40%. Однако наилучшим образом результаты расчета аппроксимируются не степенной зависимостью, а функцией вида (41). Погрешность такой аппроксимации составляет ~5% для U_b = 3.

СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

Для сравнения использовались опытные данные из работ [23–27]. Проще всего оказалось оценить соответствие экспериментальных и расчетных значений средней порозности слоя (рис. 22). Наибольшее отклонение опытных данных не превышает 15% вблизи скорости витания и уменьшается с ростом скорости газа. Для оценки данных по перепаду давления на придонном слое и его высоте потребовалась дополнительная информация по величине полного циркуляционного потока, формируемого благодаря уносу частиц. Этот поток распределен между внутренним и внешним циркуляционными контурами. Расход дисперсного материала во внешнем контуре может быть измерен. Определение расхода во внутреннем контуре затруднительно, тем более что благодаря большой площади топки этот контур случайным образом распределен по сечению. Можно предположить, что из придонного слоя уносится вся твердая фаза, которую может удержать поток газа. Поэтому расход уноса, а, следовательно, и циркуляционный поток, определялся исходя из предельной несущей способности газового потока [28]

Были проверены следующие пять формул:

где $\operatorname{Fr} = \frac{u}{{\sqrt {gd} }};$где ${{\operatorname{Fr} }_{{\text{t}}}} = \frac{{{{{\left( {u - {{u}_{{\text{t}}}}} \right)}}^{2}}}}{{g{{H}_{{\text{r}}}}}};$

где $a$ = $\left\{ \begin{gathered} 2.355 - 0.00191\operatorname{Ar} ,\,\,\,\,\operatorname{Ar} \leqslant 530 \hfill \\ 1.34,\,\,\,\,\operatorname{Ar} > 530 \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ $b$ = $\left\{ \begin{gathered} 0,\,\,\,\,{{{{D}_{{\text{r}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{D}_{{\text{r}}}}} d}} \right. \kern-0em} d} > 3200 \hfill \\ 0.115,\,\,\,\,{{{{D}_{{\text{r}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{D}_{{\text{r}}}}} d}} \right. \kern-0em} d} \leqslant 3200\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\operatorname{Ar} \leqslant 100 \hfill \\ - 1.259,\,\,\,\,{{{{D}_{{\text{r}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{D}_{{\text{r}}}}} d}} \right. \kern-0em} d} \leqslant 3200\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\operatorname{Ar} > 100 \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ $K$ = $\left\{ \begin{gathered} 3.44 \times {{10}^{{ - 5}}}{{\operatorname{Ar} }^{{0.493}}},{\text{ }}\operatorname{Ar} \leqslant 100 \hfill \\ 7.60,{\text{ }}\operatorname{Ar} > 100 \hfill \\ \end{gathered} \right.;$

где $a$ = $\left\{ \begin{gathered} 2.355 - 0.00191\operatorname{Ar} ,\,\,\,\,\operatorname{Ar} \leqslant 530 \hfill \\ 1.34,\,\,\,\,\operatorname{Ar} > 530 \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ $b$ = 1.740 – – 0.441lnAr, $K$ = $\left\{ \begin{gathered} 0.0158{{\left( {{{\operatorname{Ar} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\operatorname{Ar} } {100}}} \right. \kern-0em} {100}}} \right)}^{{4.093}}},\,\,\,\,\operatorname{Ar} \leqslant 50 \hfill \\ 0.00923{{\left( {{{\operatorname{Ar} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\operatorname{Ar} } {100}}} \right. \kern-0em} {100}}} \right)}^{{3.344}}},\,\,\,\,\operatorname{Ar} > 50 \hfill \\ \end{gathered} \right.$где ${{\varepsilon }_{{\text{D}}}}$ = ${{\left( {\frac{{K{{u}_{{\text{t}}}}}}{u}\frac{1}{{1 - \sqrt {{\rho \mathord{\left/ {\vphantom {\rho {{{\rho }_{{\text{p}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }_{{\text{p}}}}}}} }}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {3.2}}} \right. \kern-0em} {3.2}}}}},$ $K$ = $\left\{ \begin{gathered} 1,\,\,\,\,d \geqslant 250{\text{ }}\mu {\text{m}} \hfill \\ \frac{{0.89\sqrt {gd\left( {{{\rho }_{{\text{p}}}} - \rho } \right)} }}{{{{u}_{{\text{t}}}}{{\rho }^{{0.5}}}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$ d < 250 μm.

Результаты сравнения представлены на рис. 23 и 24. Как видно, ни одна из использованных зависимостей не обеспечивает достаточной близости расчетных и опытных данных. Наименьшая средняя погрешность (84% для ΔP и 96% для H) достигается при использовании формулы, предложенной в [28]. Можно лишь отметить, что отклонение от опытных данных уменьшается с ростом скорости газа для всех формул.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представление КС-подобного придонного слоя как идеально перемешанной дисперсной системы сжимающихся частиц позволило учесть дополнительную силу, возникающую при циркуляции твердой фазы и участвующую в формировании ПС наравне с силами тяжести и сопротивления; определить условия существования придонного слоя; сформулировать механизм изменения массы ПС по мере роста скорости газа; рассчитать параметры придонного слоя.

Определение транспортной скорости (40), (41) представляет собой строгую верхнюю границу значений скорости фильтрации газа, при которых может существовать придонный слой. Даже если u < u_tr, при недостаточном циркуляционном потоке зависящие от него масса, объем и высота ПС могут оказаться слишком малыми и слой не будет восприниматься как таковой.

Примененная методика расчета позволяет использовать любые зависимости для скорости сжатия и любые функции распределения по размерам частиц. Однако при этом существенно возрастает объем вычислений и их трудоемкость.

Сравнение с опытными данными по высоте придонного слоя и перепаду давления на нем показало, что расчетное определение этих параметров невозможно без надежных данных по величине циркуляционного потока.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ИНДЕКСЫ