Теоретические основы химической технологии, 2023, T. 57, № 5, стр. 507-523

ВВЕДЕНИЕ

Различные процессы двухфазного тепло-массообмена, такие как например, абсорбция–десорбция [1], многокомпонентная абсорбция [2], поглощение газов водными растворами кислот, щелочей [3], солей, первичных аминов и аммиака [4], вакуумная десорбция газов из неорганических или органических растворителей [5], дистилляция с водяным паром высших жирных кислот [6], выгодно проводить в регулярных насадочных пленочных устройствах, основными элементами которых являются орошаемые плоские каналы, трубки, стандартные блоки [7].

Преимущество использования аппаратов с тонкой стекающей пленкой связано, во-первых, с большими коэффициентами тепло-массообмена в пленке, а, во-вторых, при подобном способе контакта фаз исключается проблема масштабного перехода [8], в отличие от традиционных колонн с насадочными элементами, засыпаемыми навалом. Первые исследования пленочных течений на поверхности вертикальных трубок и плоских каналов приведены в работах [9–13]. Проблемам пленочного течения и процессам переноса в пленках посвящены монографии [14–18].

В работах [19–26] рассматривалась стабилизация ламинарных пленок на начальных гидродинамических участках. Показано, что длина области стабилизации во многом зависит от типа распределительного устройства.

Течение газа и жидкости в области стабилизации потока в неорошаемых плоских каналах и трубках при ламинарном режиме рассматривалось многими исследователями начиная с классической работы Шлихтинга [27], где показано, что плоское течение на расстояниях ~$0.1R{{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$ от входа трансформируется в параболический профиль Хагена–Пуазейля. В качестве примера можно привести работы [28, 29], где решение уравнений Навье–Стокса получено численными методами.

При турбулентном течении пленки и газа размеры входных гидродинамических участков до конца не выяснены. Например, длина этого участка для турбулентного потока в неорошаемых трубках считается, без достаточного на то основания, равной сорока диаметрам [30].

Исследованию гидродинамики кольцевых двухфазных течений на участках стабилизации посвящены монографии [31, 32].

В настоящей работе исследуется гидродинамика двухфазных газо-жидкостных потоков в орошаемых плоских каналах и трубках с учетом входных участков при ламинарных и турбулентных режимах движения жидкой и газовой фаз. Орошаемые каналы, ширина которых ($b$) намного больше их высоты ($2R$), и трубки (радиус $R$) являются основными элементами регулярных насадочных устройств [33–36].

Рассматривается случай слабого взаимодействия фаз, при котором газ не оказывает влияния на пленку по причине его малой вязкости по сравнению с жидкостью. Непрерывность потока импульса и кинематические условия для скоростей на границе раздела фаз упрощаются следующим образом [37]:

где индексы “t” и “s” обозначают тангенциальную составляющую скоростей $\vec {u}{\kern 1pt} '$, $\vec {\nu }{\kern 1pt} {{'}^{{\text{Г}}}}$ и поверхность пленки ($y{\kern 1pt} ' = h(x{\kern 1pt} ')$).

Как показали экспериментальные исследования для системы вода–воздух при температурах 0°–100°С, условия слабого гидродинамического взаимодействия выполняются для нисходящего прямотока при скоростях газа $u{\kern 1pt} {{'}^{{\text{Г}}}} \leqslant 15$ м/с [38, 39]. Это дает возможность отдельно рассчитать гидродинамику пленки, а затем – газа. С целью нахождения определяющих движение фаз параметров решение будет получено аналитическим методом Шлихтинга, хорошо зарекомендовавшим себя при решении гидродинамических задач [40].

ГИДРОДИНАМИКА ПЛЕНКИ

Гидродинамика ламинарной пленки жидкости. Предположим, что толщина пленки $h$, стекающей по стенкам каналов и трубок, намного меньше поперечных размеров $R$, при этом на вход жидкость подается в виде плоской струи, вытекающей из щели высотой $s$ ($u_{{\text{H}}}^{'} = {{U}_{{\text{H}}}}$). В этом случае у стенки канала существует гидродинамический пограничный слой ${{\delta }_{\Lambda }}(x{\kern 1pt} ')$. Система двумерных уравнений Навье–Стокса в декартовой системе координат ($x{\kern 1pt} '\,\, - y{\kern 1pt} '$) сводится к нелинейному уравнению импульсов, уравнению Бернулли для ядра потока и условию сохранения массы [40]:

где $U(x{\kern 1pt} ')$, ${{U}_{{\text{H}}}}$ – скорости вне пограничного слоя и на входе пленки.

Продольную скорость $u{\kern 1pt} '$ на участке, где пограничный слой еще не пророс на всю толщину пленки (${{\delta }_{\Lambda }} < {{h}_{\Lambda }}$), ищем в виде:

Вычисления показывают, что

В результате для нахождения зависимости толщины пограничного слоя ${{\delta }_{\Lambda }}$ от продольной координаты $x{\kern 1pt} '$ получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

Нетрудно показать, что для ламинарной пленки имеет место соотношение:

где ${{h}_{{\Lambda \infty }}} = \sqrt[3]{{{{3{{\nu }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{3{{\nu }^{2}}} g}} \right. \kern-0em} g}}}{{\operatorname{Re} }^{{1/3}}}$ – установившаяся толщина ламинарной пленки [30].

Вводя безразмерную продольную координату ${{x}_{ \circ }}$, по формуле:

получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно ${{({{{{\delta }_{\Lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\delta }_{\Lambda }}} s}} \right. \kern-0em} s})}^{2}}$:

Решением последнего является функция [41]:

Относительная толщина пленки и скорость на границе раздела фаз на участке ${{\delta }_{\Lambda }} < {{h}_{\Lambda }}$ равны [см. (4), (7)]:

Как видно, относительные толщина пленки ${{{{h}_{\Lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\Lambda }}} s}} \right. \kern-0em} s}$ и пограничный слой ${{{{\delta }_{\Lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\delta }_{\Lambda }}} s}} \right. \kern-0em} s}$ зависят от безразмерного расстояния ${{x}_{^\circ }}$ и параметра ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$. При увеличении $x'$ пограничный слой растет и на расстоянии $x{\kern 1pt} ' = x_{{\text{S}}}^{'}$ (${{x}_{^\circ }} = {{x}_{^\circ }}_{{\text{S}}}$) достигает поверхности пленки (${{\delta }_{\Lambda }} \Rightarrow {{\delta }_{{{{\Lambda S}}}}} = {{h}_{{{{\Lambda S}}}}}$).

В дальнейшем в качестве безразмерной продольной координаты введем координату ${{x}_{\Lambda }}$ следующим образом [см. (7)]:

$0.4({{h}_{{\Lambda \infty }}}\operatorname{Re} )$ – характерная длина в продольном направлении при ламинарном режиме.

Зависимости функций ${{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}}$ и ${{x}_{{{{\Lambda S}}}}} = $ $ = {{x_{{\text{S}}}^{'}} \mathord{\left/ {\vphantom {{x_{{\text{S}}}^{'}} {0.4}}} \right. \kern-0em} {0.4}}({{h}_{{\Lambda \infty }}}\operatorname{Re} )$ от параметра ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$, полученные с помощью (8)–(10) приведены на рис. 1а. Как видно, при “малых” числах Рейнольдса (${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \leqslant 1$) толщина ${{h}_{{\Lambda S}}}$ превышает предельное значение $h_{{\Lambda \infty }}^{{}}$ на 15% (${{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}} = 1.15$). С ростом ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ (в области ${{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} s}} \right. \kern-0em} s} \geqslant 1$) отношение ${{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}}$ уменьшается, а при ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \geqslant 1.25$ становится меньше единицы (${{h}_{{{{\Lambda S}}}}} \leqslant {{h}_{{\Lambda \infty }}}$). С помощью (8)–(10) нетрудно показать, что при “малых” и “больших” значениях параметра ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ для ${{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{{\Lambda S}}}}}} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}}$ и ${{x}_{{{{\Lambda S}}}}}$ имеют место асимптотические зависимости:

После прорастания пограничного слоя ($x{\kern 1pt} ' > x_{{\text{S}}}^{'}$ или ${{x}_{\Lambda }} > {{x}_{{{{\Lambda S}}}}}$) равенство ${{h}_{\Lambda }} = {{\delta }_{\Lambda }}$ сохраняется, однако процесс установления толщины пленки не заканчивается, так как в конечном итоге ${{h}_{\Lambda }}$ должна стремиться к предельному значению ${{h}_{{\Lambda \infty }}}$. В области $x{\kern 1pt} ' > x_{{\text{S}}}^{'}$ скорость в пленке $u{\kern 1pt} '(y{\kern 1pt} ')$ будем искать в следующим виде:

Интегрируя уравнения Навье–Стокса и непрерывности по толщине пленки и используя граничные условия (1), получим уравнения:

где $\int\limits_0^{{{h}_{\Lambda }}} {{{{(u{\kern 1pt} ')}}^{2}}dy{\kern 1pt} '} = {8 \mathord{\left/ {\vphantom {8 {15}}} \right. \kern-0em} {15}}{{h}_{\Lambda }}u_{{\text{S}}}^{2}$, $\int\limits_0^{{{h}_{\Lambda }}} {u{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '} = {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}{{h}_{\Lambda }}{{u}_{{\text{S}}}}$.

Используя последние равенства, первое уравнение (13) можно представить в виде:

При “больших” числах Рейнольдса (${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \geqslant 1.25$), когда толщина пленки ${{h}_{{{{\Lambda S}}}}} \leqslant {{h}_{{\Lambda \infty }}}$ (см. рис. 1а), уравнение (14) преобразуем следующим образом:

или где

${{f}_{ - }}(x)\, = \,\int\limits_0^x {\frac{{dx}}{{1\, - \,{{x}^{3}}}}\, = \,\frac{1}{3}\left[ {\ln {\kern 1pt} \frac{{\sqrt {1\, + \,x\, + \,{{x}^{3}}} }}{{1\, - \,x}}} \right]} \, + \,\frac{1}{{\sqrt 3 }}{\text{arctg}}{\kern 1pt} \left( {\frac{{\sqrt 3 x}}{{2\, + \,x}}} \right)$

– возрастающая функция $x$ [42].

При “малых” числах Рейнольдса (${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \leqslant 1.25$), когда ${{h}_{{\Lambda \infty }}} < {{h}_{{{{\Lambda S}}}}}$, с помощью тождества

уравнение (14) представим в виде: где ${{f}_{ + }}(y) \equiv \int\limits_0^y {\frac{{ydy}}{{1 - {{y}^{3}}}}} $ $ = \,\,{\kern 1pt} \frac{1}{3}\ln {\kern 1pt} \left( {\frac{{\sqrt {1 + y + {{y}^{3}}} }}{{1 - y}}} \right) + \frac{1}{{\sqrt 3 }} \times $ $ \times \,\,{\text{arctg}}{\kern 1pt} \left( {\frac{{\sqrt 3 y}}{{2\, + \,y}}} \right) - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left[ {{\text{arctg}}\left( {\frac{{1 + 2y}}{{\sqrt 3 }}} \right) - {\text{arctg}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right]$ – возрастающая функция $y$ [42].

Зависимости ${{f}_{ - }}(x)$ и ${{f}_{ + }}(x)$ представлены на рис. 2. Полученные выше результаты решают вопрос о гидродинамике ламинарных пленок жидкости при любых ${{x}_{\Lambda }}$.

На расстояниях от входа $x{\kern 1pt} ' \leqslant x_{{\text{S}}}^{'}$ $({{x}_{\Lambda }} \leqslant {{x}_{{{{\Lambda S}}}}})$ толщина пленки ${{h}_{\Lambda }}$, гидродинамический пограничный слой ${{\delta }_{\Lambda }}$, поверхностная скорость ${{u}_{{\text{S}}}}$ от безразмерной продольной координаты ${{x}_{\Lambda }}$ находятся по аналитическим формулам (8), (9), где ${{x}_{^\circ }} = {{{{x}_{\Lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{x}_{\Lambda }}} {0.4{{{({{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s})}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {0.4{{{({{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s})}}^{2}}}}$ [см. (10)].

В области $x{\kern 1pt} ' > x_{{\text{S}}}^{'}$ $({{x}_{\Lambda }} > {{x}_{{{{\Lambda S}}}}})$ в зависимости от того, больше или меньше толщина ${{h}_{{{{\Lambda S}}}}}$, чем ${{h}_{{\Lambda \infty }}}$, отношение ${{{{h}_{\Lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\Lambda }}} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{\Lambda \infty }}}}}$ находится по формулам (15), (16), а поверхностная скорость ${{{{u}_{{\text{S}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{{\text{S}}}}} {{{U}_{{\text{H}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{\text{H}}}}}}$ равна:

Оценим интервалы изменения параметра ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ при ламинарном режиме стекания пленки. Обычно размеры распределительных щелей $s$ пленочных насадок следующие [24, 43]:

Толщины установившихся пленок в ламинарном режиме $h_{{\Lambda \infty }}^{{}}$ в интервале чисел Рейнольдса 25–400 для различных температур приведены в табл. 1.

В области $\operatorname{Re} < 25$ возникают проблемы с равномерным смачиванием стенок канала, а при $\operatorname{Re} \geqslant 400$ течение пленки становится турбулентным. Следовательно, допустимые значения определяющего параметра ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ при ламинарном режиме стекания принадлежат интервалу:

Расчеты относительной толщины пленки ${{{{h}_{\Lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\Lambda }}} s}} \right. \kern-0em} s}$ и скорости на поверхности ${{{{u}_{{\text{S}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{{\text{S}}}}} {{{U}_{{\text{H}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{\text{H}}}}}}$ как функции продольной координаты ${{x}_{\Lambda }}$ приведены на рис. 3. Как видно, монотонная зависимость толщины пленки от ${{x}_{\Lambda }}$ наблюдается только при “больших” значениях параметра ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ (${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} > 1.25$), когда ${{h}_{{{{\Lambda S}}}}} < {{h}_{{\Lambda \infty }}}$.

При ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} < 1.25$ на кривой ${{{{h}_{\Lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\Lambda }}} s}} \right. \kern-0em} s}$ наблюдается максимум, который практически исчезает при ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \leqslant 0.5$ (рис. 3а). Подобные закономерности наблюдаются и у зависимостей ${{{{u}_{{\text{S}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{{\text{S}}}}} {{{U}_{{\text{H}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{\text{H}}}}}}$ от ${{x}_{\Lambda }}$: при ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \leqslant 1.25$ поверхностная скорость монотонна, а при ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} > 1.25$ на кривых имеются максимумы, которые исчезают при ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \geqslant 2.5$ (рис. 3б).

В общем случае ${{x}_{{\Lambda \infty }}} \geqslant {{x}_{{{{\Lambda S}}}}}$ и выход толщины пленки на предельное значение практически всегда происходит на расстоянии от входа, где пограничный слой ${{\delta }_{\Lambda }}$ совпадает с ${{h}_{\Lambda }}$.

Гидродинамика турбулентной пленки жидкости. При больших числах Рейнольдса ($\operatorname{Re} > 400$) пленка становится турбулентной [14, 16, 26]. Расчет гидродинамики в этом случае также можно производить по формулам (2), причем расчет для трения на стенке подчиняется закону Блазиуса [40]:

где ${{\delta }_{{\text{T}}}}$, $U$ – толщина турбулентного пограничного слоя и скорость в ядре турбулентного потока.

Продольную скорость в пленке будем искать в виде:

Используя эти распределения из уравнения Бернулли и условий материального баланса [см. (2)], получим соотношения:

На участке стабилизации течения сила трения на стенке канала уравновешивается силой тяжести: ${{\tau }_{{{\text{CT}}}}} = g{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}$. В результате для установившейся турбулентной пленки получаем формулу [14]:

С помощью равенства ${{h}_{{{\text{T\currency}}}}} = {{h}_{{\Lambda \infty }}}$ можно показать, что критическое значение числа Рейнольдса, при котором происходит переход от ламинарного режима течения к турбулентному, равно ${{\operatorname{Re} }_{{{\text{кр}}}}} \cong 400$, что находится в хорошем соответствии с экспериментальными данными [14, 16, 30].

После вычисления интегралов в уравнении импульсов (2) это уравнение преобразовывается к виду [ср. (5)]:

Для турбулентной пленки, также как и для ламинарной, введем безразмерную продольную координату ${{x}_{^\circ }}$, причем, учитывая равенство ${{U_{{\text{H}}}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{U_{{\text{H}}}^{2}} {2g}}} \right. \kern-0em} {2g}} = ({{27} \mathord{\left/ {\vphantom {{27} 2}} \right. \kern-0em} 2}){{({{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s})}^{2}}{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}{{\operatorname{Re} }^{{1/4}}}$, получим соотношение:

В результате для толщины турбулентного пограничного слоя ${{\delta }_{{\text{T}}}}$ получаем уравнение:

решением которого является функция [41]:

Относительная толщина пленки и скорость на границе на участке ${{\delta }_{{\text{T}}}} < {{h}_{{\text{T}}}}$ равны (21), (23):

Как и в случае ламинарного режима, эти функции зависят от безразмерной длины ${{x}_{^\circ }}$ и параметра ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$. На расстоянии от входа $x{\kern 1pt} ' = x_{{\text{S}}}^{'}$ $({{x}_{^\circ }} = {{x}_{^\circ }}_{{\text{S}}})$ выполняется равенство ${{\delta }_{{{\text{T}}S}}} = {{h}_{{{\text{T}}S}}}$, т.е. пограничный слой прорастает на всю толщину пленки. В дальнейшем в качестве безразмерной продольной координаты при турбулентности будет использована переменная ${{x}_{{\text{T}}}}$, связанная с ${{x}_{^\circ }}$ следующим образом [ср. (10)]:

Заметим, что характерный продольный размер для турбулентного режима $33.5({{h}_{{{\text{T}}\infty }}}{{\operatorname{Re} }^{{1/4}}})$ совпадает с соответствующим размером для ламинарной пленки $0.4({{h}_{{\Lambda \infty }}}\operatorname{Re} )$ при $\operatorname{Re} = {{\operatorname{Re} }_{{{\text{кр}}}}} \cong 400$. Зависимости безразмерных функций ${{{{h}_{{{\text{T}}S}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}S}}}} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}$ и координат ${{x}_{{{\text{T}}S}}}$ от параметра ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$, полученные с помощью (25)–(27) приведены на рис. 1б. Видно, что в области ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \leqslant 0.5$ толщина ${{h}_{{{\text{TS}}}}}$ больше предельного значения ${{h}_{{{\text{T}}\infty }}}$ на 22% (${{{{h}_{{{\text{T}}S}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}S}}}} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}} = 1.22$). С ростом ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ (в области ${{{{h}_{{{\text{TS}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{TS}}}}}} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}} \geqslant 0.5$) отношение ${{{{h}_{{{\text{T}}S}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}S}}}} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}$ уменьшается и при ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \geqslant 1$ становится меньше единицы (${{h}_{{{\text{T}}S}}} < {{h}_{{{\text{T}}\infty }}}$). Нетрудно показать, что при “малых” и “больших” значениях ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ имеют место асимптотические зависимости:

При дальнейшем увеличении длины ($x{\kern 1pt} ' > x_{{\text{S}}}^{'}$ или ${{x}_{{\text{T}}}} > {{x}_{{{\text{TS}}}}}$) равенство ${{h}_{{\text{T}}}} = {{\delta }_{{\text{T}}}}$ сохраняется, но процесс установления толщины пленки не заканчивается, так как в конечном итоге ${{h}_{{\text{T}}}}$ стремится к предельному значению ${{h}_{{{\text{T}}\infty }}}$ (22).

В области $x{\kern 1pt} ' > x_{{\text{S}}}^{'}$ скорость в пленке $u{\kern 1pt} '(y{\kern 1pt} ')$ будем искать в виде [40]:

Уравнения импульсов и непрерывности (2) принимают вид:

Эти уравнения после вычисления интегралов, используя формулу для ${{h}_{{{\text{T}}\infty }}}$ (22), можно преобразовать следующим образом:

которое совпадает с (14) с учетом очевидной замены ${{x}_{\Lambda }} \Rightarrow {{x}_{{\text{T}}}}$, ${{h}_{{\Lambda \infty }}} \Rightarrow {{h}_{{{\text{T}}\infty }}}$. При “больших” числах Рейнольдса (${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} = 1$), когда ${{{{h}_{{{\text{TS}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{TS}}}}}} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}} \leqslant 1$ (рис. 1б) решение (31) может быть получено из уравнения: или [см. (15)]:

При “малых” числах Рейнольдса (${{h}_{{{\text{T}}\infty }}} \leqslant s$), когда ${{h}_{{{\text{T}}S}}} > {{h}_{{{\text{T}}\infty }}}$, для относительной толщины пленки получаем:

Функции ${{f}_{ \pm }}(x)$ представлены на рис. 2.

Полученные выше результаты решают вопрос о гидродинамике турбулентных пленок при любых ${{x}_{{\text{T}}}}$. На расстояниях от входа $x{\kern 1pt} ' < x_{{\text{S}}}^{'}$ (${{x}_{{\text{T}}}} < {{x}_{{{\text{TS}}}}}$) толщина ${{h}_{{\text{T}}}}$, пограничный слой ${{\delta }_{{\text{T}}}}$ и скорость на поверхности пленки ${{u}_{{\text{S}}}}$ находятся по аналитическим зависимостям (25)–(27).

В области $x{\kern 1pt} ' > x_{{\text{S}}}^{'}$ (${{x}_{{\text{T}}}} > {{x}_{{{\text{TS}}}}}$), в зависимости от того больше или меньше ${{h}_{{{\text{TS}}}}}$, чем ${{h}_{{T\infty }}}$, относительная толщина пленки ${{{{h}_{{\text{T}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\text{T}}}}} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}$ находится по формулам (32), (33), а поверхностная скорость ${{{{u}_{{\text{S}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{{\text{S}}}}} {{{U}_{{\text{H}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{\text{H}}}}}}$ – из уравнения баланса массы (30):

Возможные интервалы изменения параметра ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ при турбулентном режиме можно получить с помощью табл. 1.

Пленки, толщина которых более 2 мм, нами не рассматриваются по причине заметного брызгоуноса [30]. Следовательно, допустимые значения параметра ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ при турбулентном стекании пленки принадлежат интервалу [см. (18)]:

Относительные толщины пленки ${{{{h}_{{\text{T}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\text{T}}}}} s}} \right. \kern-0em} s}$, ${{{{h}_{{\text{T}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\text{T}}}}} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}}}$ и скорость на границе раздела фаз ${{{{u}_{{\text{S}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{{\text{S}}}}} {{{U}_{{\text{H}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{\text{H}}}}}}$ как функции безразмерной длины ${{x}_{{\text{T}}}}$ приведены на рис. 4 при различных допустимых значениях параметра ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$.

Как видно, при турбулентном режиме зависимость ${{h}_{{\text{T}}}}$ от продольной координаты монотонна при любых ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$: в области $x_{{{\text{T}}\infty }}^{{\min }} = 0.13$ она убывает (рис. 4б), а при ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} > 1$ – возрастает (рис. 4а). Поверхностная скорость ${{{{u}_{{\text{S}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{{\text{S}}}}} {{{U}_{{\text{H}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{\text{H}}}}}}$ монотонна только при ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} < 1$. В области ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} > 1$ на кривой наблюдается максимум, который практически исчезает при (рис. 4в).

Размеры входных гидродинамических участков в пленке. С помощью графиков рис. 3 и 4 можно определить размеры гидродинамических входных участков для пленок жидкости при ламинарном (${{x}_{{\Lambda \infty }}}$) и турбулентном (${{x}_{{{\text{T}}\infty }}}$) режимах, которые определяются как такие расстояния от входа, при которых толщина пленки ${{h}_{\Lambda }}$ (${{h}_{{\text{T}}}}$) менее чем на 5% отличается от предельных значений $h_{{\Lambda \infty }}^{{}}$ (${{h}_{{{\text{T}}\infty }}}$). Результаты зависимости ${{x}_{\infty }}$ от параметра ${{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} s}} \right. \kern-0em} s}$ представлены на рис. 1. Как видно, на кривых зависимостей ${{x}_{{\Lambda \infty }}}$ (${{x}_{{{\text{T}}\infty }}}$) от параметра ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ (${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$) наблюдается глубокий минимум. Минимальное значение $x_{{\Lambda \infty }}^{{\min }} = 0.2$ достигается при ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} = 1.25$ для ламинарного режима и $x_{{{\text{T}}\infty }}^{{\min }} = 0.13$ при ${{h}_{{{\text{T}}\infty }}} = 1$ – для турбулентного. Зависимость безразмерной координаты ${{x}_{{\Lambda S}}}$ (${{x}_{{{\text{TS}}}}}$) от параметра ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ (${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$) – монотонно убывающие функции.

В общем случае координата ${{x}_{{\Lambda \infty }}} \geqslant {{x}_{{\Lambda S}}}$ (${{x}_{{{\text{T}}\infty }}} \geqslant {{x}_{{{\text{TS}}}}}$) (см. рис. 1, 3, 4), т.е. выход пленки на предельное значение $h_{{\Lambda \infty }}^{{}}$ (${{h}_{{{\text{T}}\infty }}}$) всегда происходит в области, где $\delta _{\Lambda }^{{}} = {{h}_{\Lambda }}$ (${{\delta }_{{\text{T}}}} = {{h}_{{\text{T}}}}$). При достаточно больших значениях ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ (${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$) участками ${{x}_{{{{\Lambda S}}}}}$ (${{x}_{{{\text{TS}}}}}$), где пограничные слои прорастают, можно пренебречь, так как в этих случаях ${{x}_{{\Lambda \infty }}} \gg {{x}_{{{{\Lambda S}}}}}$ (${{x}_{{{\text{T}}\infty }}} \gg {{x}_{{{\text{TS}}}}}$). Практически такая ситуация наблюдается при ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \geqslant 2.5$ для ламинарного и при ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} \geqslant 1.5$ – для турбулентного режимов (рис. 1).

Определим размеры входных гидродинамических участков для ламинарной (${{l}_{{{{\Lambda ,ВХ}}}}}$) и турбулентной (${{l}_{{{\text{T,ВХ}}}}}$) пленок.

Из изложенного выше следует, что

где ${{x}_{{\Lambda \infty }}}$ и ${{x}_{{{\text{T}}\infty }}}$ зависят от параметров ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ и ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$, соответственно (рис. 1).

В табл. 1 приведены характерные размеры $0.4{{h}_{{\Lambda \infty }}}\operatorname{Re} $ и $33.5{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}{{\operatorname{Re} }^{{1/4}}}$ при различных значениях чисел Рейнольдса для воды в интервале температур 0°С $ < t \leqslant $100°С.

Как видно (см. рис. 1а), при ламинарном режиме в допустимой области изменения отношения ${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ ($0.05 \leqslant ({{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}) \leqslant 3$) (19) значения координат ${{x}_{{\Lambda \infty }}}$ принадлежат интервалу $0.2 \leqslant {{x}_{{\Lambda \infty }}} \leqslant 1$, а, следовательно, максимальное значение ${{l}_{{{{\Lambda ,ВХ}}}}}$ не превышает 10 см. Для турбулентной пленки ($0.3 \leqslant ({{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}) \leqslant 13$) интервал изменения ${{x}_{{{\text{T}}\infty }}}$ равен $0.13 \leqslant {{x}_{{{\text{T}}\infty }}} \leqslant 1.5$ (см. рис. 4) и величина входного участка ${{l}_{{{\text{T,ВХ}}}}}$ заключена в пределах 6 см $ \leqslant {{l}_{{{\text{T,ВХ}}}}} \leqslant $ ≤120 см.

Изменяя размеры щели распределительного устройства ($s$), можно контролировать размеры входных гидродинамических участков в пленке. Например, при ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s} = 1$ (${{x}_{{{\text{T}}\infty }}} = 0.13$) даже при развитом турбулентном режиме ($\operatorname{Re} = 5 \times {{10}^{3}}$) можно добиться того, что ${{l}_{{{\text{T,ВХ}}}}}$ будет достаточно мала (${{l}_{{{\text{T,ВХ}}}}} \leqslant 6$ см).

Таким образом в насадочных устройствах, высота которых более 50 см [30, 43] при расчетах скорости в газе независимо от режима движения пленки всегда можно подобрать такие условия орошения, при которых начальным гидродинамическим участком в пленке пренебрегают, считая, что скорость на границе раздела фаз ${{u}_{{\text{S}}}}$ постоянная и равна соответствующему предельному значению ${{u}_{{{\text{S}}\infty }}}$. Добиться постоянной скорости на поверхности пленки можно с помощью успокоительного участка. Такой способ часто применяется, если подача жидкости на насадку отличается от рассмотренной в данной работе.

ГИДРОДИНАМИКА ГАЗОВОЙ ФАЗЫ

Ламинарный режим движения газа (орошаемая трубка). Рассмотрим случай, когда на входе трубки ($x{\kern 1pt} ' = 0$) задан плоский профиль скорости $u_{{\text{Г}}}^{'} = {{U}_{{{\text{ГH}}}}}$. У поверхности пленки со стороны газа существует пограничный гидродинамический слой ${{\delta }_{{\Lambda {\text{Г}}}}}$. Скорость в газовой фазе можно искать в виде:

где ${{U}_{{\text{Г}}}}$, ${{u}_{{\text{S}}}}$ – скорости в ядре газового потока и на границе раздела фаз. Предполагается, что $h \ll R$, т.е. толщина пленки намного меньше $R$.

Уравнения гидродинамики с соответствующими начальными и граничными условиями запишем в цилиндрической системе координат ($x{\kern 1pt} ',\,r{\kern 1pt} '$):

Решение системы (38) будем искать методом Шлихтинга [40].

Проинтегрируем первое уравнение непрерывности (38) по $r{\kern 1pt} '$ от нуля до $R$, используя условие на входе, получим

Из этого уравнения с помощью (37) находим зависимость разности ${{U}_{{\text{Г}}}} - {{u}_{{\text{S}}}}$ от толщины пограничного слоя ${{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}$:

Второе уравнение системы (38), уравнение импульсов, преобразуем к виду [40]:

где $y{\kern 1pt} ' = R - r{\kern 1pt} '$ – расстояние от стенки по нормали, а интегралы равны [см. (37)]:

В результате для нахождения толщины пограничного слоя ${{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}$ получаем дифференциальное уравнение:

Решение этого уравнения можно получить в квадратурах:

где $\alpha = {{{{u}_{{{\text{S}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{{{\text{S}}\infty }}}} {{{U}_{{{\text{HГ}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{{\text{HГ}}}}}}}$, ${{R}_{\Lambda }} = 1 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{6}{{y}^{2}}$, ${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} = {{R{{U}_{{{\text{НГ}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{R{{U}_{{{\text{НГ}}}}}} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}$.

Интегралы в левой части (43) можно получить аналитически, однако такие зависимости громоздки и неудобны для практического применения. Разлагая функции под интегралами по степеням $y = {{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}} R}} \right. \kern-0em} R}$, нетрудно показать, что в интервале $0 \leqslant {{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}} R}} \right. \kern-0em} R} \leqslant 1$ имеют место приближения:

В результате уравнение (43) принимает вид:

где ${{F}_{{1\Lambda }}}\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right) = \frac{1}{3}{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{3}} + \frac{2}{3}{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{3}} + \frac{6}{{27}}{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{4}}$, ${{F}_{{2\Lambda }}}{\kern 1pt} \left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)\,{\kern 1pt} = $ $\frac{5}{6}{\kern 1pt} {{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{2}}{\kern 1pt} + {\kern 1pt} \frac{5}{{54}}{\kern 1pt} {{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{3}},{{x}_{{{{\Lambda Г}}}}}{\kern 1pt} = {\kern 1pt} {{x{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{x{\kern 1pt} '} {({{{{U}_{{{\text{HГ}}}}}{{R}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{{{\text{HГ}}}}}{{R}^{2}}} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}}}} \right. \kern-0em} {({{{{U}_{{{\text{HГ}}}}}{{R}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{{{\text{HГ}}}}}{{R}^{2}}} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}}}).$

Функции ${{F}_{{1\Lambda }}}\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)$ и ${{F}_{{2\Lambda }}}\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)$ показаны на рис. 5а.

Как видно, при ламинарном режиме движения газа в неорошаемой трубе размеры начального входного участка ${{l}_{{{{\Lambda ,ВХ}}}}} = 0.1R{{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$, что находится в хорошем соответствии с численными решениями [29] и известными экспериментами [40].

Газовая фаза остается ламинарной, если число Рейнольдса на входе трубки удовлетворяет неравенству ${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} \leqslant {{10}^{3}}$ [40].

Ламинарный режим движения (плоский канал). В случае плоского канала уравнения Навье–Стокса записываются в декартовой системе координат:

с соответствующими граничными и начальными условиями:

С помощью уравнения баланса массы $\int\limits_0^R {u_{{\text{Г}}}^{'}dy{\kern 1pt} ' = {{U}_{{{\text{HГ}}}}}R} $ и распределений скорости (37) получаем зависимость разности ${{U}_{{\text{Г}}}} - {{u}_{{\text{S}}}}$ от толщины пограничного слоя ${{\delta }_{\Lambda }}$:

Уравнение импульсов (41) упрощается:

После вычисления соответствующих интегралов:

для нахождения толщины пограничного слоя ${{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}$ получаем дифференциальное уравнение: решение которого в квадратурах равно [ср. (43)]:

Интегралы в этом уравнении можно получить аналитически [42]:

В результате для толщины пограничного слоя ${{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}$ в интервале $0 \leqslant {{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}} R}} \right. \kern-0em} R} \leqslant 1$ с точностью $ \circ ({{y}^{6}})$ получаем уравнение [ср. (44)]:

где ${{F}_{{1\Lambda }}}{\kern 1pt} \left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)\, = \,\frac{1}{3}{\kern 1pt} {{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{2}}\, + \,\frac{{11}}{{27}}{\kern 1pt} {{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{3}}\, + \,\frac{{10}}{{54}}{\kern 1pt} {{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{4}}\, + \,\frac{1}{{15}}{\kern 1pt} {{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{5}}{\kern 1pt} ,$${{F}_{{2\Lambda }}}\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right) \cong \frac{5}{6}{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{2}} + \frac{5}{{27}}{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{3}} + \frac{5}{{108}}{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{{\Lambda Г}}}}}}}{R}} \right)}^{4}}.$

Функции ${{F}_{{1\Lambda }}}$ и ${{F}_{{2\Lambda }}}$ показаны на рис. 5б. Как видно, при ламинарном режиме движения газа пограничные слои в орошаемых каналах полностью прорастают на расстоянии от входа $0.1R{{\operatorname{Re} }_{Г}}$, что совпадает с известными результатами для неорошаемых каналов [40].

Турбулентный режим движения газа (орошаемая трубка). При увеличении ${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$ (${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} > {{10}^{3}}$) газовый поток в трубке становится турбулентным. В этом случае скорость будем искать в виде:

Предполагается, что распределение скорости внутри турбулентного пограничного слоя в интервале чисел Рейнольдса ${{10}^{3}} \leqslant {{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} \leqslant {{10}^{6}}$ подчиняется закону “1/7” [40], а трение на границе раздела фаз рассчитывается с помощью закона Блазиуса, модифицированного для орошаемой трубки следующим образом [44, 45]:

Проинтегрировав уравнение непрерывности в газе (38) по $r{\kern 1pt} '$ от нуля до $R$ с учетом (48), получим соотношение [ср. (40)]:

В правую часть уравнения импульсов (41) необходимо подставить трение на поверхности пленки (49), причем интегралы в левой части равны:

В результате уравнение импульсов принимает вид:

Решение уравнения (51) сводится к квадратурам [ср. (43)]:

где ${{R}_{{\text{T}}}} = 1 - \frac{y}{4} + \frac{1}{{15}}{{y}^{2}}$, ${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} = {{R{{U}_{{{\text{НГ}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{R{{U}_{{{\text{НГ}}}}}} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}$.

Разлагая подынтегральные выражения и проводя интегрирование, получим приближенное уравнение для нахождения толщины слоя ${{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}$ в зависимости от безразмерного расстояния от входа ${{x}_{{{\text{TГ}}}}}$ [ср. (44)]:

$\begin{gathered} {\text{где}}\,\,\,\,{{F}_{{{\text{1T}}}}}\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right) = 0.86{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}^{{5/4}}} \times \,\, \\ \times \,\,\left[ {1 + 0.4\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right) - 0.18{{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}}^{2}} - 0.13{{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}}^{3}}} \right], \\ \end{gathered} $ $\begin{gathered} {{F}_{{{\text{2T}}}}}\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right) = 1.1{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}^{{5/4}}} \times \\ \times \,\,\left[ {1 - 0.02\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right) - 0.15{{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}}^{2}} + 0.02{{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}}^{3}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Функции ${{F}_{{{\text{1T}}}}}$ и ${{F}_{{{\text{2T}}}}}$ показаны на рис. 6. Различие между ними невелико.

Турбулентный режим движения (плоский канал). В случае плоского канала из уравнения баланса массы и распределений скорости (45) зависимость разности $\Delta {{U}_{{\text{Г}}}}$ от толщины пограничного слоя ${{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}$ получим в виде:

Уравнение импульсов (46) после вычисления интегралов:

и подстановки трения на поверхности раздела фаз в виде (46) равно:

Решение последнего в квадратурах равно [ср. (52)]:

Разлагая подынтегральные выражения по $y$ и проводя интегрирование, получаем приближенное уравнение для толщины слоя ${{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}$ как функцию безразмерного расстояния от входа ${{x}_{{{\text{TГ}}}}}$ [ср. (53)]:

где ${{F}_{{{\text{1T}}}}}{\kern 1pt} \left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)\, = \,0.86{\kern 1pt} {{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}^{{5/4}}}\left[ {1\, + \,0.37{\kern 1pt} \left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)\, + \,0.08{\kern 1pt} {{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}}^{2}}} \right],$ ${{F}_{{{\text{2T}}}}}\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)\, = \,1.1{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}^{{5/4}}}\left[ {1\, + \,0.14\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)\, + \,0.02{{{\left( {\frac{{{{\delta }_{{{\text{TГ}}}}}}}{R}} \right)}}^{2}}} \right].$

Функции ${{F}_{{{\text{1T}}}}}$ и ${{F}_{{{\text{2T}}}}}$ показаны на рис. 6.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

При постоянных значениях скоростей фаз на входе в жидкости и газе существуют гидродинамические пограничные слои. Такие задачи с успехом можно решать методом Шлихтинга. Это дает возможность получать аналитические решения, а также находить параметры, от которых зависит гидродинамическая картина процессов.

В предположении слабого гидродинамического воздействия газа на пленку, которое согласно экспериментальным данным для воды наблюдается приблизительно при скоростях газа менее 15 м/c, были найдены характерные размеры в продольном направлении для ламинарного и турбулентного режимов движения стекающей жидкости, равные $0.4({{h}_{{\Lambda \infty }}}\operatorname{Re} )$ и $33.5({{h}_{{{\text{T}}\infty }}}{{\operatorname{Re} }^{{1/4}}})$ соответственно. Доказано, что при смене режимов (переходе от ламинарного к турбулентному), которая происходит при $\operatorname{Re} \cong 400$, эти характерные размеры совпадают (табл. 1). Вводя безразмерные координаты ${{x}_{\Lambda }}$ и ${{x}_{{\text{T}}}}$, были рассчитаны основные характеристики ламинарной и турбулентной пленок жидкости: зависимости пограничных слоев $\delta $ (${{\delta }_{\Lambda }}({{x}_{\Lambda }})$, ${{\delta }_{{\text{T}}}}({{x}_{{\text{T}}}})$), толщины пленки $h$ (${{h}_{\Lambda }}({{x}_{\Lambda }})$, ${{h}_{{\text{T}}}}({{x}_{{\text{T}}}})$), скорости на поверхности раздела фаз ${{u}_{{\text{S}}}}$ от безразмерных координат (рис. 3, 4). На расстоянии от входного сечения ${{x}_{{\text{S}}}}$ $({{x}_{{{{\Lambda S}}}}},{{x}_{{{\text{TS}}}}})$ (см. рис. 1) пограничные слои прорастают на всю толщину пленки, так что в дальнейшем ($x > {{x}_{S}}$) можно считать, что $h(x) = \delta (x)$. Было найдено расстояние ${{x}_{S}}$, а также высота пленки ${{h}_{S}}$, когда это происходит. Показано, что основным параметром, от которого зависит гидродинамическая обстановка в пленке, является отношение ее толщины на установившемся участке ${{h}_{\infty }}$ к ширине входной щели $s$ (${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$, ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$). Безразмерные координаты, при которых толщина пленки отличается от ее предельных значений ${{h}_{\infty }}$ $({{h}_{{ \wedge \infty }}},{{h}_{{T\infty }}})$ на 5%, представлены на рис. 1 как функции параметра ${{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} s}} \right. \kern-0em} s}$. Там же приведены зависимости ${{{{h}_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{S}}} {{{h}_{\infty }}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{\infty }}}}$ и ${{x}_{S}}$ от этого параметра. Учитывая, что на практике ширина щели $s$ изменяется в ограниченных пределах [0.2 мм, 2 мм], были найдены интервалы изменения параметра ${{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} s}} \right. \kern-0em} s}$ для ламинарных и турбулентных пленок [см. (19) и (35)].

Как видно, ${{x}_{\infty }}$ всегда больше, чем ${{x}_{S}}$. Это означает, что выход толщины пленки $h$ на предельную величину ${{h}_{\infty }}$ $({{h}_{{{\text{T}}\infty }}},{{h}_{{\Lambda \infty }}})$ всегда происходит на расстоянии от входа, где пограничный слой совпадает с толщиной пленки. При ${{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} s}} \right. \kern-0em} s}$ ~ 1 различие между ${{x}_{\infty }}$и ${{x}_{S}}$ не очень велико. Оно увеличивается при малых ${{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} s}} \right. \kern-0em} s}$, хотя и не превышает 30% при ${{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} s}} \right. \kern-0em} s} \to 0$ (см. рис. 1). При больших ${{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} s}} \right. \kern-0em} s}$ (практически при ${{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} s}} \right. \kern-0em} s} \geqslant 2$) выполняется неравенство ${{x}_{\infty }} \gg {{x}_{{\text{S}}}}$. Это значит, что областью, где пограничный слой $\delta (x)$ меньше $h(x)$, можно пренебречь, считая, что при любом $x{\kern 1pt} {\kern 1pt} '$ распределение скоростей в пленке параболическое или описывается законом “1/7” в зависимости от режима движения пленки. В общем случае размеры участка установления предельной толщины пленки ${{l}_{{{\text{BX,Ж}}}}}$ равны:

Как видно из таблицы 1 и рис. 1а, при ламинарном режиме стекания жидкости ($\operatorname{Re} < 400$) в допустимой области изменения параметра (${{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{\Lambda \infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$) [см. (19)] максимальное значение ${{x}_{{ \wedge \infty }}}$ не превышает единицы, а следовательно размеры входного участка при рассматриваемых температурах (0°С $ \leqslant t \leqslant $ 100°С) и $\operatorname{Re} $ не превышают 10 см. Последнее означает, что для реальных насадок ($l \geqslant $ 0.5–1 м) при расчете тепло-массообмена входным гидродинамическим участком можно пренебречь, считая, что толщина пленки определяется формулой Нуссельта (6), а распределение скорости – известная парабола.

В турбулентной области ($\operatorname{Re} > 400$), как это видно из рис. 1б, 4а и табл. 1, при больших Рейнольдсах размеры участка установления могут быть более 1 м, если параметр ${{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{{\text{T}}\infty }}}} s}} \right. \kern-0em} s}$ достаточно велик. С ростом температуры величина этого участка уменьшается. Однако даже в области брызгоуноса, который наблюдается для толстых пленок ≥2 мм или при $\operatorname{Re} \geqslant 5 \times {{10}^{3}}$ (см. табл. 1), увеличивая размеры щели $s$ (или уменьшая отношение ${{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} s}} \right. \kern-0em} s}$ вплоть до единицы), можно добиться того, что размер участка установления не превысит 10 см, а следовательно этим участком можно пренебречь, считая что всюду скорость подчиняется закону “1/7” (формула Никурадзе).

Гидродинамика в газовой фазе была рассчитана в предположении постоянной установившейся скорости на границе раздела фаз ${{u}_{S}}$ как для ламинарного, так и для турбулентного режимов стекания пленки. Чтобы исключить циркуляцию газа в канале, рассматривали случай, когда скорость газа на входе ${{U}_{{{\text{НГ}}}}}$ больше скорости ${{u}_{S}}$ на границе раздела.

Решение получено методом Шлихтинга. Как показали исследования, основным параметром, влияющим на гидродинамику в газе, является отношение этих скоростей $\alpha = {{{{u}_{{\text{S}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{{\text{S}}}}} {{{U}_{{{\text{НГ}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{{\text{НГ}}}}}}} < 1$. В общем случае в газовой фазе у границы раздела фаз существует пограничный слой ${{\delta }_{{\text{Г}}}}$, который на некотором расстоянии от входа достигает центра канала. В результате распределение скорости становится параболическим при ламинарном режиме (${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} < {{10}^{3}}$), а при турбулентном (${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} > {{10}^{3}}$) – описывается законом “1/7", т.е. устанавливается профиль Никурадзе. Например, для плоского канала [см. (37), (48)]:

При $\alpha \cong 1$ (практически в области $0.8 \leqslant \alpha \leqslant 1$) деформацией скорости можно пренебречь, считая ${{u}_{{\text{Г}}}} \cong {{U}_{{{\text{НГ}}}}}$ при любом $x{\kern 1pt} '$. Аналогичные результаты можно получить и для орошаемых трубок [см. (40), (48)].

В ламинарном режиме (${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} \leqslant {{10}^{3}}$), см., например, рис. 5 или решение (47), влияние параметра $\alpha $ на толщину пограничного слоя ${{\delta }_{{\text{Г}}}}$ не очень велико, а расстояние от входа, при котором ${{\delta }_{{\text{Г}}}} \cong R$, не зависит практически от $\alpha $ и равно $0.1R{{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$ (см. (44), (47) и рис. 5), что совпадает с известными результатами для неорошаемых трубок и плоских каналов, для которых $\alpha = 0$ [30, 40]. В переходной области (${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} \cong {{10}^{3}}$) это расстояние при $R \geqslant 1$ см может быть более 1 м, что соизмеримо с размерами насадочных устройств.

В турбулентном режиме (${{10}^{3}} \leqslant {{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$) расстояние от входа, на котором происходит прорастание пограничного слоя ${{\delta }_{{\text{Г}}}}$, равно $2.75R{{\sqrt[4]{{{{{\operatorname{Re} }}_{{\text{Г}}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt[4]{{{{{\operatorname{Re} }}_{{\text{Г}}}}}}} {{{{(1 - \alpha )}}^{{3/4}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{(1 - \alpha )}}^{{3/4}}}}}$ (см. (50), (53) и рис. 6). Это расстояние слабее зависит от ${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$, однако в отличие от ламинарного случая оно испытывает заметное влияние параметра $\alpha $. Для неорошаемых каналов ($\alpha = 0$) участки прорастания ${{\delta }_{{\text{T}}}}$ и установления скорости совпадают и не превышает $15d$, так как максимально допустимое значение ${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$ при слабом взаимодействии фаз (${{U}_{{{\text{НГ}}}}} \leqslant $ 15 м/с) порядка 10⁴. С увеличением $\alpha $ участок установления скорости увеличивается и при $\alpha \cong 0.9$ его максимальное значение равно ~$40d$, т.е. приближается к величине, часто используемой для оценок турбулентных входных участков [30].

На рис. 7 показана плоскость переменных $\lg \operatorname{Re} - \lg {{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$. Вертикальная пунктирная прямая – это граница между ламинарной и турбулентной областями стекания пленки ($\operatorname{Re} = 400$). Горизонтальная пунктирная прямая разделяет турбулентные и ламинарные режимы движения газа (${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} = {{10}^{3}}$).

Наклонные сплошные прямые – это минимальные значения ${{\operatorname{Re} }_{Г}}$ при фиксированном $\operatorname{Re} $, т.е. ${{\operatorname{Re} }_{{\text{S}}}} = {{u}_{{\text{S}}}}{{{{h}_{\infty }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{\infty }}} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}$ (${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} \geqslant {{\operatorname{Re} }_{S}}$). Горизонтальные сплошные линии – это максимально допустимые значения ${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$, соответствующие началу влияния на стекающую пленку движущегося газа. Считается, что для системы вода–воздух это влияние по порядку величины начинается при ${{u}_{{\text{Г}}}} \cong $ 15 м/с, т.е. ${{\operatorname{Re} }_{{{\text{Г,max}}}}} = 1500{R \mathord{\left/ {\vphantom {R {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\nu }_{{\text{Г}}}}}}$ [30].

Поверхностные скорости при ламинарном и турбулентном режимах движения пленки равны:

Зависимости $\nu $, ${{\nu }_{{\text{Г}}}}$ от температуры, использованные для расчета ${{h}_{\infty }}$, ${{\operatorname{Re} }_{S}}$, известны [46] (рис. 7).

С помощью плоскости $\lg {{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} - \lg \operatorname{Re} $ легко представить возможные режимы движения в контактирующих фазах.

При любом фиксированном $\operatorname{Re} < 400$ в интервале чисел ${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}}$, принадлежащих интервалу ${{\operatorname{Re} }_{{\text{S}}}} \leqslant {{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} \leqslant {{10}^{3}}$, в обеих контактирующих фазах имеют место ламинарные режимы, а в области $3 \leqslant \lg {{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} \leqslant \lg {{\operatorname{Re} }_{{{\text{Г,max}}}}}$ в жидкой фазе наблюдается ламинарный режим течения, а в газе – турбулентный.

При любой температуре при значении $\operatorname{Re} $, начиная от $\operatorname{Re} = 400$ до его значения, соответствующего точке пересечения наклонной прямой с горизонтальной пунктирной линией (${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} = {{10}^{3}}$), существуют турбулентный режим стекания пленки и ламинарное движение газа. Выше горизонтальной пунктирной прямой ($\lg {{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} = 3$) до начала влияния газа на пленку (${{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} = {{\operatorname{Re} }_{{{\text{Г,max}}}}}$) существуют турбулентный режим жидкости и турбулентное движение газа.

В области значений $\operatorname{Re} $ правее точки пересечения наклонных линий с пунктирной горизонталью ($\lg {{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} = 3$) в обеих фазах существуют турбулентные режимы. С помощью рис. 7 можно проследить влияние температуры на возможные режимы в контактирующих фазах.

В работе [47] исследован двухфазный массообмен в плоскопараллельном канале при ламинарном режиме движения жидкости и газа. Результаты нашего исследования дают возможность решить подобную проблему при различных сочетаниях режимов движения жидкости и газа.

ВЫВОДЫ

1. Приближенным интегральным методом Шлихтинга решена задача гидродинамики стекающей пленки жидкости в регулярных орошаемых насадках при подаче жидкости на вход в виде плоской струи при отсутствии влияния газа на пленку – так называемое слабое взаимодействие фаз.

2. Найдены безразмерные параметры, от которых зависят распределения скоростей в жидкости, форма стекающей пленки, а также размеры входных гидродинамических участков при ламинарном и турбулентном режимах.

3. Выяснены условия, при выполнении которых размеры входных гидродинамических участков в жидкости значительно меньше высоты массообменного устройства. Это позволило при расчете гидродинамики газовой фазы считать скорость на поверхности пленки постоянной.

4. При постоянной скорости на поверхности пленки найдены размеры входных гидродинамических участков орошаемых каналов в газовой фазе для турбулентного и ламинарного течения газа.

5. При слабом взаимодействии газа и жидкости и отсутствии циркуляции скорости в газовой фазе на плоскости $\lg {{\operatorname{Re} }_{{\text{Г}}}} - \lg \operatorname{Re} $ выделены области, в которых имеет место тот или иной режим движения контактирующих фаз (ламинарный или турбулентный).

6. Полученные результаты необходимо учитывать при сравнении расчетов двухфазного тепло-массообмена с экспериментальными данными.

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук, тема ФИЦ ПХФ и МХ РАН 0089-2019-0018 (номер госрегистрации АААА-А19-119022690098-3).

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ИНДЕКСЫ