Водные ресурсы, 2020, T. 47, № 1, стр. 26-32

ОСОБЕННОСТИ МНОГОЛЕТНИХ КОЛЕБАНИЙ ПОСТУПЛЕНИЯ ВОДЫ В БАЙКАЛ

Исследования стохастических характеристик притока в Байкал выполнялись неоднократно. В работах [3, 5, 8, 10] колебания речного притока в озеро рассматриваются как стационарный случайный процесс.

В качестве моделей многолетних колебаний суммарного притока в Байкал и другие крупные озера иногда используются процессы авторегрессии не выше первого порядка, АР(1). Идентификация и оценка параметра авторегрессии базируются на более или менее обоснованном анализе соответствия выборочных оценок автокорреляционных функций степенному закону затухания, отвечающему АР(1)-процессу.

Исследование процесса суммарного притока на однородность имеет особое значение при решении задачи оценки колебаний уровня Байкала на перспективу. Соответствующие расчеты должны проводиться с использованием наиболее обоснованных характеристик будущего режима притока в озеро, отвечающих современным условиям формирования водного баланса Байкала. Поэтому авторами проведен анализ суммарного притока Q в Байкал на однородность по отношению к основным статистическим характеристикам – среднему, дисперсии и коэффициенту автокорреляции. Для этого получены оценки этих характеристик для скользящих 57-летних интервалов времени, начиная с 1901 г. Выбор длительности интервала усреднения (“фильтр Даниэла”) был в некотором смысле естественным, поскольку весь ряд полезного притока делится на два практически равных отрезка – до и после создания Иркутского водохранилища (1958–1959 гг.). Результаты расчетов представлены на рис. 1.

Величины среднего, стандарта и коэффициента автокорреляции, отвечающие крайним левым и правым точкам на графиках на рис. 1, относятся к интервалам 1901–1957 и 1958–2014 гг. соответственно. В отличие от незначительно изменяющихся среднего 〈q〉 и стандарта σ, коэффициент автокорреляции r(1) уменьшается от $\sim $0.4 практически до нуля. Вероятно, впервые неоднородность в многолетних колебаниях речного притока в Байкал по коэффициенту автокорреляции была отмечена в [10], где получен вывод об уменьшении “инерционности колебаний суммарного речного притока”, что выразилось в уменьшении коэффициента автокорреляции r(1) от 0.45 до 0.04 для двух интервалов времени – 1901–1970 и 1971–2010 гг. соответственно. Близкие к нулю величины r(1) получены для 57-летних интервалов времени, имеющих начальные годы начиная с 1934 г. и далее до 1958 г. Отмеченные изменения коэффициента автокорреляции существенно превосходят стандартную ошибку его оценки, равную 0.13. Поэтому есть основания для вывода о неоднородности всего ряда полезного притока и выделения двух относительно однородных интервалов – 1901–1933 и 1934–2014 гг. Аналогичные неоднородности обнаружены в рядах стока и осадков по другим речным бассейнам [12].

Статистические характеристики притока в Байкал для различных временных интервалов приведены в табл. 1, из которой следует, что значения r(1) и r(2) автокорреляционной функции суммарного притока Q для интервала 1901–1933 гг. приближенно отвечают процессу АР(1), r(1) > r(2), r(2) ≈ r(1)². Для интервала 1934–2014 гг. отмечается возникновение выраженной “инверсии”, т.е. неравенства r(1) < r(2), что необычно для стоковых рядов. Выполненные расчеты показали, что инверсия r(1) < r(2) имеет место для различных интервалов времени (1934–2014, 1959–2014, 1968– 2014 гг.), т.е. сохраняет относительную стабильность при изменении границ расчетных интервалов. Оценки авторов статьи изменения “инерционности колебаний” суммарного притока в Байкал аналогичны оценкам для интервала 1971–2010 гг. [10]. Выявленная неоднородность суммарного притока Q_t в озеро по коэффициенту автокорреляции означает, что для расчетов современного и перспективного уровенного режима Байкала следует использовать характеристики Q_t, отвечающие интервалу с 1934 г. по настоящее время. Заметим, что в этом интервале времени наблюдались как многоводные (1930–1942 и 1983–1995 гг.), так и маловодные (1976–1982 и 1996–2015 гг.) периоды [8].

Поскольку, как показано выше, в 1934–2014 гг. для автокорреляционной функции притока Q выполняется неравенство r(1) < r(2), то соответствующая модель многолетних колебаний притока Q в Байкал не удовлетворяет АР(1)-процессу.

Принятие суммарного притока Q в качестве единственного входного процесса в модели колебаний уровня воды Байкала имеет следствием нежелательную потерю информации о влиянии на колебания уровня озера отдельных существенных компонент его водного баланса. Поэтому в водном балансе Байкала естественно выделить две составляющие, наибольшим образом влияющие на колебания уровня озера: поступление воды S со стоком р. Селенги и остальная часть суммарного притока D = Q – S (Q – суммарный приток). Средние величины и дисперсии стока Селенги S и остальной части суммарного притока D = Q – S для интервала 1933–2014 гг. близки, поэтому вносят примерно одинаковый вклад в колебания суммарного притока (табл. 1). Неравенство r(1) < r(2) выполняется для обеих компонент, хотя в различной степени. Менее выраженная инверсия r(1) < r(2) для автокорреляции стока Селенги может объясняться притоком Селенги – вытекающей из оз. Хубсугул р. Эг со значительной положительной автокорреляцией стока r(1) = = 0.65 [17].

Анализ автокорреляционных функций процессов суммарного притока Q, стока Селенги S и, особенно, разности D = Q – S (рис. 1, табл. 1) позволяет сделать вывод о формировании за 1934–2014 гг. новой стохастической структуры притока в Байкал, отличной от структуры АР(1)-процесса.

Изменения статистических свойств притока в Байкал зависят от атмосферных процессов над водосбором озера [4, 7, 9, 11, 13]. В [18] приведены результаты исследования связи притока в Байкал с особенностями циркуляции атмосферы в Северном полушарии. По мнению авторов упомянутой статьи, выявлена связь активизации Арктической и Северо-Атлантической осцилляций, с одной стороны, и колебаниями притока в Байкал, с другой. Интересно отметить, что для интервала 1968–2007 гг. несоответствие для притока модели АР(1) отчетливо выражено: r(1) = –0.06, r(2) = = +0.30 (те же значения и для 1968–2014 гг.). При этом для 1934–1967 гг. модель притока больше отвечает АР(1)-процессу: r(1) = 0.14, r(2) = 0.13. Таким образом, изменение стохастической структуры может быть вызвано усилением арктической и Северо-Атлантической осцилляций в бассейне Байкала [18]. С учетом многолетней инерционности этих осцилляций представляется оправданным для расчетов уровенного режима Байкала на перспективу учитывать характеристики притока в озеро за время с 1934 г. по настоящее время.

Порядок моделей процессов S и D примем из следующих соображений. Ранее в [14] было показано, что многолетние колебания стока неозерной реки удовлетворительно описываются динамико-стохастической моделью в виде линейной системы двух (или трех) стохастических разностных уравнений. Применительно к описанию многолетних колебаний стока р. Селенги это, в частности, означает возможность использовать для моделирования процесс второго порядка АР(2). Такой же процесс принимается для моделирования многолетних колебаний процесса D – разности между полезным притоком и стоком р. Селенги. Роль осадков и испарения в водном балансе Байкала намного меньше суммарного речного притока. Разность между среднемноголетним испарением и осадками, согласно [6 ] , оценивается величиной 5.4 км³/год, т.е. <0.1 от суммарного речного притока в озеро. Вклады же процессов S и D в суммарное поступление воды в озеро Q примерно одинаковы (~50%).

МОДЕЛЬ МНОГОЛЕТНИХ КОЛЕБАНИЙ УРОВНЯ БАЙКАЛА. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ

Уравнение, описывающее колебания уровня h_t Байкала, запишем в следующем виде:

где t – годы; $q_{t}^{{\left( 1 \right)}}$ и $q_{t}^{{\left( 2 \right)}}$ – компоненты входного процесса, физический смысл которых определяется в соответствии с конкретными задачами исследования; ${{{v}}_{t}}$ – сток из озера (р. Ангара). Без уменьшения общности колебания уровня рассматриваются относительно равновесной отметки, принимаемой за нулевую.

Зависимость между стоком р. Ангары и уровнем воды Байкала до создания Иркутской ГЭС была практически линейной, коэффициент взаимной корреляции между ${v}{{~}_{t}}$ и ${{h}_{t}}$ r_vh = 0.94. После 1960 г. вследствие эксплуатации Иркутской ГЭС управление стоком р. Ангары и уровнем Байкала стало проводиться, главным образом, во внутригодовом разрезе. Частичное многолетнее регулирование этих процессов отразилось на величине r_vh, уменьшившейся до 0.69. Таким образом, чтобы учесть влияние регулирования водного баланса Байкала, зависимость между стоком Ангары и уровнем воды в Байкале принимаем в следующем виде:

где $\lambda $ – числовой коэффициент, ${{n}_{t}}$ – белый шум с нулевым средним и дисперсией $\sigma _{n}^{2} = 0.04$ м²/год², найденной по данным наблюдений [15].

Все компоненты водного баланса Байкала, входящие в (1), выражаются в слоях относительно площади озерной акватории, равной 31 500 км², принимаемой, в силу крутизны берегов, постоянной величиной.

Рассмотрим случай, когда входной процесс моделируется двумя АР(2)-процессами:

${{\phi }_{i}},$ ${{\psi }_{i}}~$ – параметры авторегрессии, i = 1, 2; ${{a}_{t}}$ и ${{c}_{t}}~$ – белые шумы с нулевыми средними значениями и дисперсиями $\sigma _{a}^{2}$ и $\sigma _{с}^{2}$. Предполагается, что в общем случае компоненты $q_{t}^{{\left( 1 \right)}}$ и $q_{t}^{{\left( 2 \right)}}$ взаимно коррелированы с коэффициентом корреляции r₁₂. Параметры ${{\phi }_{i}},$ ${{\psi }_{i}}$ процессов (3) и (4) однозначно определяются решением уравнений Юла–Уокера. Для получения взаимно коррелированных рядов {$q_{t}^{{\left( 1 \right)}}$} и {$q_{t}^{{\left( 2 \right)}}$} применим обобщающий алгоритм, приведенный в [16]. Запишем систему (3)–(4) в матричной форме: где ${{Q}_{t}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {q_{t}^{{\left( 1 \right)}}} \\ {q_{t}^{{\left( 2 \right)}}} \end{array}} \right),~\,\,\,\,A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\phi }_{1}}} \\ 0 \end{array}{\text{\;}}\begin{array}{*{20}{c}} {{{\phi }_{1}}} \\ 0 \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{{\psi }_{1}}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{{\psi }_{2}}} \end{array}} \right)~,~$ $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {{{b}_{{21}}}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right),~\,\,V = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {V_{t}^{{\left( 1 \right)}}} \\ {V_{t}^{{\left( 2 \right)}}} \end{array}} \right),$

${{Q}_{{t,2}}} = \left( {q_{{t - 1}}^{{\left( 1 \right)}}~q_{{t - 2}}^{{\left( 1 \right)}}~q_{{t - 1}}^{{\left( 2 \right)}}~q_{{t - 2}}^{{\left( 2 \right)}}~} \right){{~}^{T}}$, $V_{t}^{{\left( 1 \right)}} = {{a}_{t}},~V_{t}^{{\left( 2 \right)}} = {{c}_{t}} - ~{{b}_{{21}}}{{a}_{t}},~$

индекс “Т” означает операцию транспонирования; $V$ – вектор взаимно некоррелированных белых шумов $V_{t}^{{\left( i \right)}};\,\,\,i = 1,\,\,\,2;$ t – время; ${{b}_{{21}}}$ – числовой коэффициент, обеспечивающий заданную взаимную корреляцию между процессами $~q_{t}^{{\left( 1 \right)}}$ и $q_{t}^{{\left( 2 \right)}}$.

Умножая левую и правую части уравнения (2) на $Q_{t}^{T}$ и ${{(A{{Q}_{{t,2}}} + B{{V}_{t}})}^{T}}$ соответственно, после выполнения операции осреднения обеих частей полученного уравнения и простых преобразований получаем треугольную систему уравнений

относительно коэффициентов $~{{b}_{{21}}}$, i = 1, 2, … m, j = 1, … p и дисперсий независимых белых шумов $\sigma _{{{{V}^{{\left( i \right)}}}}}^{2}$, i = 1, 2. Угловые скобки в (6) означают операцию статистического осреднения. Решение системы (6) позволяет смоделировать в соответствии с (3) и (4) ряды стока Селенги и остальной части притока в Байкал в виде АР(2)-процессов. Длина смоделированных рядов бралась равной N = 10⁵, что обеспечивало высокую точность воспроизведения заданных статистических характеристик.

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОЛЕТНИХ КОЛЕБАНИЙ УРОВНЯ БАЙКАЛА

Оценим, насколько влияют различные модели притока в Байкал на результаты расчета характеристик уровенного режима озера. Использованные авторами модели притока отличаются, во-первых, порядками авторегрессии, во-вторых, числом выделяемых в притоке компонент. Выборочные оценки статистических характеристик суммарного притока и его компонент, рассматриваемых в качестве входных процессов в модели многолетних колебаний уровня Байкала, принимались по интервалу 1934–2014 гг. (табл. 2).

Параметр λ в зависимости (2) принимается равным 0.67 год^–1, что соответствует образовавшейся после создания Иркутского водохранилища зависимости стока р. Ангары от уровня воды в Байкале [15].

Модель притока ${{Q}_{t}}$ в виде процесса АР(1) строится на основе оценки коэффициента автокорреляции r(1), полученного для интервала 1904–2016 гг.; следовательно, r(1) = 0.1, r(2) = 0.1² = 0.01 (табл. 2).

Более адекватная данным о притоке модель в виде АР(2) дает значения автокорреляционной функции r(τ) при сдвигах τ = 1 и 2 года, в точности совпадающие с выборочными оценками.

Наконец, наиболее общая модель притока в Байкал представляет собой векторный процесс, состоящий из двух АР(2)-компонент.

Оценки дисперсии уровня озера увеличиваются по мере возрастания детализации модели притока от АР(1) к АР(2) и, наконец, к двухкомпонентному АР(2)-процессу (5). В последнем случае дисперсия колебаний уровня Байкала на ~25% больше полученной по модели с притоком ${{Q}_{t}}$ в виде однокомпонентного АР(1)-процесса. Заметим, что дисперсия входного процесса для всех трех вариантов расчетов принималась одинаковой. Различие в оценках дисперсии уровня Байкала вызывается особенностями именно стохастической структуры вариантов входного процесса. Коэффициент автокорреляции уровня с увеличением компонент входного процесса увеличивается от 0.65 до 0.76.

Таким образом, из анализа табл. 2 следует, что для корректной оценки дисперсии колебаний уровня Байкала необходимо детальное моделирование входного процесса. Это требование достигается увеличением размерности входного процесса и увеличением порядков авторегрессии его компонент.

Отметим, что применение АР(р)-процесса с р > 1 для моделирования притока в Байкал не является чем-то необычным, поскольку и для ряда других проточных озер, по крайней мере для одной компоненты суммарного поступления воды в озеро, требуется аналогичное моделирование, отличное от АР(1)-процесса. Например, в монографии [9] приведена полученная чисто статистическим способом модель многолетних колебаний уровня Ладожского озера в виде АР(4)-процесса, откуда автоматически следует, что хотя бы одна из компонент притока в это озеро соответствует АР(3)-процессу. Как показали расчеты авторов статьи, для Байкала увеличение порядка авторегрессии модели притока от АР(2) до АР(3) и АР(4) практически не повлияло на оценку дисперсии уровня озера. Таким образом, применение двухкомпонентного АР(2)-процесса для моделирования притока в Байкал представляется вполне достаточным.

Учет изменения стохастической структуры входного процесса модели приводит к уточнению статистических характеристик моделируемого процесса. Особое значение имеет оценка экстремальных отметок среднегодового уровня Байкала, например уровня 1%-й обеспеченности (отметка, имеющая вероятность 0.99). На рис. 2 приведены фрагменты функций распределения вероятностей уровня, соответствующие моделям с однокомпонентным входным АР(1)-процессом и двухкомпонентным входом с компонентами вида АР(2).

Из графиков на рис. 2 следует, что стохастическая структура входного процесса модели (1) заметно влияет на оценку обеспеченности экстремальной отметки уровня. По модели с однокомпонентным входным процессом в виде АР(1) обеспеченность уровня h ≈ 2.74 м равна 1%. Расчетная обеспеченность этой отметки по модели, использующей более адекватное описание входного процесса в виде двух АР(2)-компонент, составляет ~2%, т.е. оказывается большей в 2 раза. Очевидно, что соответствующие обеспеченности экстремально низких отметок уровня озера, отвечающие моделям с отмеченными выше вариантами входного процесса, также заметно различаются.

В рамках авторской модели колебаний уровня воды Байкала зависимость стока р. Ангары от уровня воды в озере описывается формулой (2). Следовательно, влияние стохастической структуры входного процесса модели на статистические характеристики многолетних колебаний стока Ангары совершенно аналогично рассмотренному выше случаю.

ВЫВОДЫ

Подтверждена статистическая неоднородность суммарного притока в Байкал по отношению к коэффициенту автокорреляции. Временные интервалы 1901–1933 и 1933–2014 гг. характеризуются статистически значимым различием коэффициентов автокорреляции суммарного притока r(1), равных соответственно 0.44 ± 0.12 и 0.10 ± 0.13. Поэтому использование коэффициента автокорреляции по всему интервалу 1901–2014 гг. при расчетах на перспективу характеристик многолетних колебаний уровня Байкала не рекомендуется.

Изменились не только величины r(1), но и стохастическая структура суммарного притока относительно интервалов 1901–1933 и 1934–2014 гг. В первом случае автокорреляционная функция суммарного притока в Байкал соответствует АР(1)-процессу, во втором случае – АР(2)-процессу.

Показано, что применение АР(1)-процесса для описания суммарного притока в Байкал за 1933–2014 гг. приводит к занижению дисперсии и коэффициента автокорреляции колебаний уровня Байкала. Для получения более точных оценок этих характеристик следует учитывать сложившуюся после 1934 г. стохастическую структуру многолетних колебаний суммарного притока в озеро и его основных компонент. Моделирование притока воды в Байкал двухкомпонентным АР(2)-процессом позволяет получить уточненные оценки дисперсии и коэффициента автокорреляции колебаний уровня Байкала.

Относительно небольшое увеличение дисперсии уровня Байкала (на 15–25%) приводит к существенному изменению обеспеченности экстремально высоких отметок уровня Байкала. Например, отметка уровня 1%-й обеспеченности при более полном учете стохастических свойств притока в озеро оказывается отметкой 2%-й обеспеченности, т.е. обеспеченность увеличивается в 2 раза.