1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 1, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 1, стр. 102-117

Угловой пограничный слой в краевых задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений с нелинейностями
А. И. Денисов, И. В. Денисов

А. И. Денисов 1, И. В. Денисов 2, *

1 Национальный исследовательский институт “Высшая школа экономики”
101000 Москва, ул. Мясницкая, 20, Россия

2 Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого
300026 Тула, пр-т Ленина, 125, Россия

* E-mail: den_tspu@mail.ru

Поступила в редакцию 05.02.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

В прямоугольнике рассматривается сингулярно возмущенное параболическое уравнение ${{\varepsilon }^{2}}\left( {{{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} - \frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right) = F(u,x,t,\varepsilon )$ с краевыми условиями I рода. В угловых точках прямоугольника от функции $F$ не требуется монотонности по переменной $u$ на промежутке от корня вырожденного уравнения до граничного значения. Асимптотическое приближение решения строится в предположении, чтоглавный член угловой части существует. Построено полное асимптотическое разложение решения при $\varepsilon \to 0$ и обоснована его равномерность в замкнутом прямоугольнике. Библ. 4.

Ключевые слова: пограничный слой, асимптотическое приближение, сингулярно возмущенное уравнение.

ВВЕДЕНИЕ

В статье продолжено исследование нелинейных пограничных слоев (см. [1], [2]), под которыми понимаются случаи, когда при построении асимптотики приходится рассматривать нелинейные уравнения того же типа, что и исходное.

В работе [1] в прямоугольнике $\Omega : = \{ (x,t)\,|\,0 < x < 1,\;0 < t < T\} $ для сингулярно возмущенного параболического уравнения рассмотрена начально-краевая задача вида

(0.1)
${{\varepsilon }^{2}}\left( {{{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} - \frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right) = F(u,x,t,\varepsilon ),$
(0.2)
$u(x,0,\varepsilon ) = \varphi (x),\quad 0 \leqslant x \leqslant 1,$
(0.3)
$u(0,t,\varepsilon ) = {{\psi }_{1}}(t),\quad u(1,t,\varepsilon ) = {{\psi }_{2}}(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$

В предположении, что в угловых точках прямоугольника $\Omega $ функция $F$ является квадратичной и монотонной, построено асимптотическое приближение решения задачи (0.1)–(0.3) при $\varepsilon \to 0$ и обоснована его равномерность в замкнутом прямоугольнике с точностью любого порядка. В работе [1] представлена библиография по данной тематике, в которой прослеживается история исследования многочисленных параболических задач, начиная с появления метода угловых пограничных функций (см. [3]).

В работе [2] класс нелинейных функций был существенно расширен. Для функции $F$ в угловых точках прямоугольника требовалась, в отличие от [1], не квадратичность, а только монотонность на промежутке от корня вырожденного уравнения до граничного значения. Как и в [1], было построено асимптотическое приближение решения задачи (0.1)–(0.3) при $\varepsilon \to 0$ и обоснована его равномерность в замкнутом прямоугольнике с точностью любого порядка.

В данной статье от функции $F$ не требуется монотонность. Асимптотическое приближение решения строится в предположении, что нелинейная задача, определяющая главный член угловой части асимптотики, разрешима. Последующие члены угловой части асимптотики определяются из линейных параболических уравнений с коэффициентами, зависящими от главного члена угловой части асимптотики. Для этого коэффициента, в отличие от [1] и [2], приходится допускать, что он может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это приводит к значительным трудностям. Однако область, в которой рассматриваются уравнения, удается разбить на части и в каждой из них построить верхние и нижние решения задачи. Затем эти куски гладко стыкуются друг с другом, в результате определяется полное асимптотическое приближение решения при $\varepsilon \to 0$ и обосновывается его равномерность в замкнутом прямоугольнике.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задача (0.1)–(0.3) рассматривается при следующих условиях.

Условие 1. Функция $F(u,x,t,\varepsilon )$ является достаточно гладкой, а функции $\varphi (x),{{\psi }_{1}}(t)$ и ${{\psi }_{2}}(t)$ – достаточно гладкие и согласованные в угловых точках прямоугольника $\Omega $: $\varphi (0) = {{\psi }_{1}}(0),$ $\varphi (1) = {{\psi }_{2}}(0)$.

Условие 2. Уравнение $F(u,x,t,0) = 0$ в замкнутом прямоугольнике $\overline \Omega $ имеет решение $u = {{\bar {u}}_{0}}(x,t)$.

Условие 3. Производная $F_{u}^{'}({{\bar {u}}_{0}}(x,t),x,t,0) > 0$ в замкнутом прямоугольнике $\overline \Omega $.

Условие 4. Начальная задача

(1.1)
$\frac{{d{{\Pi }_{0}}}}{{d\tau }} = - F({{\bar {u}}_{0}}(x,0) + {{\Pi }_{0}},x,0,0),\quad {{\Pi }_{0}}(x,0) = \varphi (x) - {{\bar {u}}_{0}}(x,0),$
где параметр $x \in [0,1]$, имеет решение ${{\Pi }_{0}}(x,\tau ),\;\tau \geqslant 0$, и удовлетворяет условию ${{\Pi }_{0}}(x,\infty ) = 0$.

Условие 5. Для систем

(1.2)
$\frac{{d{{z}_{1}}}}{{dy}} = {{z}_{2}},\quad {{a}^{2}}\frac{{d{{z}_{2}}}}{{dy}} = F({{\bar {u}}_{0}}(k,t) + {{z}_{1}},k,t,0),$
где $k = 0$ или $1$, а $t$ играет роль параметра, прямые ${{z}_{1}} = {{\psi }_{{1 + k}}}(t) - {{\bar {u}}_{0}}(k,t)$ пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя $({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = (0,0)$ при $y \to \infty $.

Решение задачи (0.1)–(0.3) ищется методом угловых пограничных функций (см. [3]) в виде асимптотического ряда по параметру $\varepsilon \to 0$, состоящего из шести частей:

(1.3)
$u(x,t,\varepsilon ) = \bar {u} + (\Pi + Q + Q{\kern 1pt} *) + (P + P{\kern 1pt} *).$
Здесь $\bar {u}$ – регулярная часть асимптотики, играющая роль внутри прямоугольника $\Omega $; $\Pi $, $Q$ и $Q{\kern 1pt} {\text{*}}$ – погранслойные функции, играющие роль вблизи сторон прямоугольника $\Omega $ соответственно $t = 0$, $x = 0$ и $x = 1$; $P$ и $P{\kern 1pt} {\text{*}}$ – угловые пограничные функции, играющие роль вблизи вершин прямоугольника $\Omega $ соответственно $(0,0)$ и $(1,0)$.

В [1] регулярная часть асимптотики $\bar {u}$ строится в виде ряда по степеням $\varepsilon $

$\bar {u}(x,t,\varepsilon ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{k}}{{\bar {u}}_{k}}(x,t),$
где функция ${{\bar {u}}_{0}}(x,t)$ выбирается в соответствии с условиями 2 и 3.

Погранслойные функции определяются в виде рядов

$\Pi (x,\tau ,\varepsilon ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{k}}{{\Pi }_{k}}(x,\tau ),\quad Q(\xi ,t,\varepsilon ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{k}}{{Q}_{k}}(\xi ,t),$
$Q{\kern 1pt} {\text{*}}({{\xi }_{ * }},t,\varepsilon ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{k}}Q_{k}^{ * }({{\xi }_{ * }},t),\quad {\text{г д е }}\quad \xi = \frac{x}{\varepsilon },\quad {{\xi }_{ * }} = \frac{{1 - x}}{\varepsilon },\quad \tau = \frac{t}{{{{\varepsilon }^{2}}}}$
суть растянутые переменные. Функция ${{\Pi }_{0}} = {{\Pi }_{0}}(x,\tau )$ является решением задачи
$ - \frac{{\partial {{\Pi }_{0}}}}{{\partial \tau }} = F\left( {{{{\bar {u}}}_{0}}(x,0) + {{\Pi }_{0}},x,0,0} \right),\quad {{\Pi }_{0}}(x,0) = \varphi (x) - {{\bar {u}}_{0}}(x,0),$
которая в силу условия 4 имеет решение. В силу условия 3 для этого решения справедлива экспоненциальная оценка убывания вида
$\left| {{{\Pi }_{0}}(x,\tau )} \right| \leqslant Cexp( - \kappa \tau ),$
где $C$ и $\kappa $ – некоторые положительные числа.

Функции ${{\Pi }_{k}} = {{\Pi }_{k}}(x,\tau )$, $k \geqslant 1$, определяются из линейных задач

(1.4)
$ - \frac{{\partial {{\Pi }_{k}}}}{{\partial \tau }} = F_{u}^{'}\left( {{{{\bar {u}}}_{0}}(x,0) + {{\Pi }_{0}},x,0,0} \right){{\Pi }_{k}} + {{\pi }_{k}},\quad {{\Pi }_{k}}(x,0) = - {{\bar {u}}_{k}}(x,0),$
где ${{\pi }_{k}}$ выражаются рекуррентно через ${{\Pi }_{j}}$, $j < k$, и их производные с коэффициентами, являющимися многочленами от $\tau $. Поэтому, если для функций ${{\Pi }_{j}}$, $j < k$, справедливы экспоненциальные оценки убывания, то оценки того же вида справедливы для функций ${{\pi }_{k}}$, и, следовательно, для решений ${{\Pi }_{k}}(x,\tau )$ задач (1.4).

Функция ${{Q}_{0}} = {{Q}_{0}}(\xi ,t)$ является решением задачи

${{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{Q}_{0}}}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} = F\left( {{{{\bar {u}}}_{0}}(0,t) + {{Q}_{0}},0,t,0} \right),$
${{Q}_{0}}(0,t) = {{\psi }_{1}}(t) - {{\bar {u}}_{0}}(0,t),\quad {{Q}_{0}}(\infty ,t) = 0,$
которая эквивалентна задаче (1.2) при $k = 0$. Для функции ${{Q}_{0}}(\xi ,t)$ справедливы экспоненциальные оценки убывания.

Функции ${{Q}_{k}}(\xi ,t),\;k \geqslant 1$, определяются из линейных задач

(1.5a)
${{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{Q}_{k}}}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} = F_{u}^{'}({{\bar {u}}_{0}}(0,t) + {{Q}_{0}},0,t,0){{Q}_{k}} + {{q}_{k}},$
(1.5b)
${{Q}_{k}}(0,t) = - {{\bar {u}}_{k}}(0,t),\quad {{Q}_{k}}(\infty ,t) = 0,$
где ${{q}_{k}}$ выражаются рекуррентно через ${{Q}_{j}}$, $j < k$, и их производные с коэффициентами, являющимися многочленами от $\xi $. Если для функций ${{Q}_{j}},$ $j < k,$ справедливы экспоненциальные оценки убывания, то оценки того же вида справедливы для функций ${{q}_{k}}$, и, следовательно, для решений ${{Q}_{k}}(\xi ,t)$ задач (1.5). Функции $Q_{k}^{ * }({{\xi }_{ * }},t)$ определяются аналогично функциям ${{Q}_{k}}(\xi ,t),k \geqslant 0$.

Вблизи угловых точек $(0,0)$ и $(1,0)$ прямоугольника $\Omega $ вводятся угловые пограничные функции $P(\xi ,\tau ,\varepsilon )$ и $P{\kern 1pt} {\text{*}}({{\xi }_{ * }},\tau ,\varepsilon )$, которые ищутся в виде рядов

$P(\xi ,\tau ,\varepsilon ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{k}}{{P}_{k}}(\xi ,\tau ),\quad P{\kern 1pt} {\text{*}}({{\xi }_{ * }},\tau ,\varepsilon ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{k}}P_{k}^{*}({{\xi }_{ * }},\tau ).$

Для краткости приняты следующие обозначения:

$(u) = (u,0,0,0),\quad {{\bar {u}}_{k}} = {{\bar {u}}_{k}}(0,0),\quad {{\Pi }_{k}} = {{\Pi }_{k}}(0,\tau ),\quad {{Q}_{k}} = {{Q}_{k}}(\xi ,0),$
${{P}_{k}} = {{P}_{k}}(\xi ,\tau ),\quad F{\kern 1pt} ' = F_{u}^{'}.$

Задача для определения главного члена угловой части асимптотики ${{P}_{0}}(\xi ,\tau )$ ставится в первой четверти $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ плоскости растянутых переменных $(\xi ,\tau )$ и имеет вид

(1.6)
${{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{0}}}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} - \frac{{\partial {{P}_{0}}}}{{\partial \tau }}F({{\bar {u}}_{0}} + {{\Pi }_{0}} + {{Q}_{0}} + {{P}_{0}}) - F({{\bar {u}}_{0}} + {{\Pi }_{0}}) - F({{\bar {u}}_{0}} + {{Q}_{0}}),$
(1.7)
${{P}_{0}}(0,\tau ) = - {{\Pi }_{0}}(0,\tau ),\quad {{P}_{0}}(\xi ,0) = - {{Q}_{0}}(\xi ,0),$
(1.8)
${{P}_{0}}(\xi ,\tau ) \to 0\quad {\text{п р и }}\quad \xi + \tau \to \infty .$

Будем предполагать, что эта задача имеет решение ${{P}_{0}}(\xi ,\tau )$, удовлетворяющее экспоненциальной оценке убывания

(1.9)
$\left| {{{P}_{0}}(\xi ,\tau )} \right| \leqslant C{\text{exp}}( - \kappa (\xi + \tau )).$

Для функций ${{P}_{k}}(\xi ,\tau ),\;k \geqslant 1$, в области $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ получаются линейные задачи

(1.10)
${{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{k}}}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} - \frac{{\partial {{P}_{k}}}}{{\partial \tau }}F{\kern 1pt} '({{\bar {u}}_{0}} + {{\Pi }_{0}} + {{Q}_{0}} + {{P}_{0}}){{P}_{k}} + {{h}_{k}},$
(1.11)
${{P}_{k}}(0,\tau ) = - {{\Pi }_{k}}(0,\tau ),\quad {{P}_{k}}(\xi ,0) = - {{Q}_{k}}(\xi ,0),$
(1.12)
${{P}_{k}}(\xi ,\tau ) \to 0\quad {\text{п р и }}\quad \xi + \tau \to \infty ,$
где неоднородности ${{h}_{k}}$ удовлетворяют экспоненциальным оценкам убывания вида (1.9), если подобным оценкам удовлетворяют функции ${{P}_{0}},\; \ldots ,\;{{P}_{{k - 1}}}$. Здесь $C$ и $\kappa $ – некоторые положительные числа.

Задачи для угловых погранфункций $P_{k}^{ * }({{\xi }_{ * }},\tau )$, $k \geqslant 0$, ставятся аналогично.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (1.10)–(1.12)

В задаче (1.10)–(1.12) сделаем замену

(2.1)
${{P}_{k}} = Z + {{g}_{k}},$
где функция ${{g}_{k}} = {{g}_{k}}(\xi ,\tau )$ имеет вид
${{g}_{k}}(\xi ,\tau ) = - {{\Pi }_{k}}(0,\tau )exp( - \kappa \xi ) - {{Q}_{k}}(\xi ,0)exp( - \kappa \tau ) - {{\bar {u}}_{k}}(0,0)exp( - \kappa (\xi + \tau ))$
и удовлетворяет экспоненциальной оценке убывания типа (1.9). Для функции $Z = Z(\xi ,\tau )$ получается задача
(2.2)
$L(Z): = {{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}Z}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} - \frac{{\partial Z}}{{\partial \tau }} - F{\kern 1pt} '({{\bar {u}}_{0}} + {{\Pi }_{0}} + {{Q}_{0}} + {{P}_{0}})Z - z = 0\quad {\text{в }}\quad \mathbb{R}_{ + }^{2},$
(2.3)
$Z(0,\tau ) = Z(\xi ,0) = 0,$
(2.4)
$Z(\xi ,\tau ) \to 0\quad {\text{п р и }}\quad \xi + \tau \to \infty ,$
с неоднородностью
$z = {{h}_{k}} + F{\kern 1pt} '({{\bar {u}}_{0}} + {{\Pi }_{0}} + {{Q}_{0}} + {{P}_{0}}){{g}_{k}} - {{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{g}_{k}}}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} + \frac{{\partial {{g}_{k}}}}{{\partial \tau }},$
которая удовлетворяет экспоненциальной оценке вида (1.9). В силу условия 3 и экспоненциальных оценок убывания для пограничных функций найдется неотрицательное число ${{\rho }_{0}}$ такое, что в области
${{\Omega }_{0}}: = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi \geqslant {{\rho }_{0}},\;\tau \geqslant {{\rho }_{0}}\} $
значения производной на нулевом приближении удовлетворяют неравенству
(2.5)
$F{\kern 1pt} '({{\bar {u}}_{0}} + {{\Pi }_{0}} + {{Q}_{0}} + {{P}_{0}}) \geqslant {{m}^{2}},$
где $m$ – некоторое положительное число. Однако в приграничных полосах
${{\Omega }_{1}}: = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi \geqslant \tau ,\;0 \leqslant \tau \leqslant {{\rho }_{0}}\} \quad {\text{и }}\quad {{\Omega }_{2}}: = \{ (\xi ,\tau )\,|\,0 \leqslant \xi \leqslant {{\rho }_{0}},\;\tau \geqslant \xi \} $
производная может принимать отрицательные значения. Поэтому задача (2.2)–(2.4) не всегда будет иметь решение, удовлетворяющее оценке вида (1.9). В связи с этим нужны дополнительные условия.

Условие 6. Задача (1.6)–(1.8) имеет решение ${{P}_{0}}(\xi ,\tau )$ с оценкой вида (1.9) и во всем квадранте $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ значения производной $F{\kern 1pt} '$ на нулевом приближении удовлетворяют неравенству (2.5).

Теорема 2.1. Если выполнено условие 6, то задача (2.2)–(2.4) имеет решение $Z(\xi ,\tau )$ с оценкой вида (1.9).

Доказательство. Используем метод верхних и нижних решений (см. [4]), который заключается в том, что задача

(2.6)
$L(Z) = 0\quad {\text{в }}\;{\text{о б л а с т и }}\quad D,\quad Z = \zeta \quad {\text{н а }}\;{\text{г р а н и ц е }}\;{\text{о б л а с т и }}$
имеет решение $Z$ в промежутке ${{Z}_{ - }} \leqslant Z \leqslant {{Z}_{ + }}$, если в области $D$ выполняются неравенства
(2.7)
$L({{Z}_{ + }}) \leqslant 0,\quad L({{Z}_{ - }}) \geqslant 0,\quad {{Z}_{ - }} \leqslant {{Z}_{ + }};$
а на границе области $D$ выполняются неравенства

(2.8)
${{Z}_{ - }} \leqslant \zeta \leqslant {{Z}_{ + }}.$

В качестве верхнего решения задачи (2.2)–(2.4) пробуем функцию

${{Z}_{ + }} = rexp( - \kappa (\xi + \tau )),$
где $r$ и $\kappa $ – некоторые положительные числа. При подстановке функции ${{Z}_{ + }}$ в левую часть уравнения (2.2) получаем

$\begin{gathered} L({{Z}_{ + }}) = {{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}{{Z}_{ + }} + \kappa {{Z}_{ + }} - F{\kern 1pt} '({{{\bar {u}}}_{0}} + {{\Pi }_{0}} + {{Q}_{0}} + {{P}_{0}}){{Z}_{ + }} - z \leqslant \\ \leqslant \; - {\kern 1pt} ({{m}^{2}} - \kappa - {{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}){{Z}_{ + }} - z = - ({{m}^{2}} - \kappa - {{a}^{2}}{{\kappa }^{2}})rexp( - \kappa (\xi + \tau )) - z. \\ \end{gathered} $

Неравенство ${{m}^{2}} - \kappa - {{a}^{2}}{{\kappa }^{2}} > 0$ выполняется при достаточно малых положительных $\kappa $, поэтому с учетом оценки для $z$ значения $L({{Z}_{ + }}) < 0$ при достаточно малых положительных $\kappa $ и достаточно больших положительных $r$. Таким образом, положительная функция ${{Z}_{ + }}$ действительно является верхним решением задачи (2.2)–(2.4). В качестве нижнего решения подходит отрицательная функция ${{Z}_{ - }} = - {{Z}_{ + }}$. Согласно методу верхних и нижних решений существует решение $Z$ задачи (2.2)–(2.4), заключенное в промежутке ${{Z}_{ - }} \leqslant Z \leqslant {{Z}_{ + }}$. Функции ${{Z}_{ - }}$ и ${{Z}_{ + }}$ удовлетворяют экспоненциальной оценке вида (1.9), значит, и функция $Z$ удовлетворяет такой же оценке. Теорема 2.1 доказана.

Если условие 6 не выполняется, то в приграничных полосах ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ производная $F{\kern 1pt} '$ может принимать отрицательные значения. Вместо 6 требуем выполнения другого условия.

Условие 7. Задача (1.6)–(1.8) имеет решение ${{P}_{0}}(\xi ,\tau )$ с оценкой вида (1.9), и в приграничных полосах ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ квадранта $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ производная $F{\kern 1pt} '$ на нулевом приближении принимает отрицательные значения, но при этом

(2.9)
$F{\kern 1pt} '({{\bar {u}}_{0}} + {{\Pi }_{0}} + {{Q}_{0}} + {{P}_{0}}) \geqslant - {{q}^{2}},$
где число $q \in (0,{{q}_{0}})$, ${{q}_{0}}$ – решение уравнения

$q_{0}^{2} - \frac{\pi }{{2{{\rho }_{0}}}}{\text{ctg}}\frac{{{{\rho }_{0}}{{q}_{0}}}}{a} = 0\quad {\text{н а }}\;{\text{п р о м е ж у т к е }}\quad {{q}_{0}} \in \left( {0,\frac{{\pi a}}{{2{{\rho }_{0}}}}} \right).$

Заметим, что из условия 6 следуют неравенства

(2.10)
$0 < q < {{q}_{0}} < \frac{{\pi a}}{{2{{\rho }_{0}}}}.$

Кроме этого, число $\pi a{\text{/}}2$ получается из-за невозможности найти положительное монотонное решение неравенства ${{a}^{2}}y{\text{''}} + y \leqslant 0$ на промежутке длиной больше, чем $\pi a{\text{/}}2$.

При условии 6 функции вида $ \pm rexp( - \kappa (\xi + \tau ))$ уже не подходят на роль барьерных. Более того, верхнее и нижнее решения задачи (2.2)–(2.4) не удается построить сразу во всем квадранте $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ в виде одной гладкой функции. Приходится сначала строить так называемые кусочно-гладкие барьеры, а затем сглаживать их.

Определение. Функции ${{Z}_{ + }}(\xi ,\tau )$ и ${{Z}_{ - }}(\xi ,\tau )$ называются кусочно-гладкими верхним и нижним решениями задачи (2.6), если

1) ${{Z}_{ + }}(\xi ,\tau )$ и ${{Z}_{ - }}(\xi ,\tau )$ непрерывны в замкнутой области $\bar {D}$;

2) существует разбиение области $D$ на конечное число подобластей, на внутренности каждой из которой выполняются неравенства (2.7);

3) на границе области $D$ выполняются неравенства (2.8).

Теорема 2.2. Если выполнено условие 6, то задача (2.2)–(2.4) имеет кусочно-гладкие верхнее и нижнее решения c оценками вида (1.9).

Доказательство. Построение верхнего решения задачи (2.2)–(2.4) проведем отдельно в каждой из областей ${{\Omega }_{0}}$, ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$. В области ${{\Omega }_{0}}$ выполняется неравенство (2.5) и на роль верхнего решения задачи (2.2)–(2.4) подходит положительная функция ${{Z}_{ + }}$ из теоремы 2.1

(2.11)
${{Z}_{ + }} = rexp( - \kappa (\xi + \tau )),$
где $r$ – достаточно большое положительное число, а $\kappa $ – достаточно малое положительное число. Однако верхнее решение вида (2.11) будет использоваться в области меньшей, чем область ${{\Omega }_{0}}$. Для ее определения воспользуемся неравенствами (2.10), из которых следует, что

${{\rho }_{0}} < \frac{{\pi a}}{{2q}}\quad {\text{и }}\quad \frac{\pi }{{2{{\rho }_{0}}}}\frac{{{{\rho }_{0}}{{q}_{0}}}}{a} > {{q}^{2}}.$

Поэтому можно выбрать числа ${{\rho }_{1}}$ и ${{\rho }_{2}}$, удовлетворяющие условиям

(2.12)
${{\rho }_{0}} < {{\rho }_{1}} < {{\rho }_{2}} < \frac{{\pi a}}{{2q}}\quad {\text{и }}\quad \frac{\pi }{{2{{\rho }_{2}}}}\frac{{\pi {{\rho }_{1}}}}{{2{{\rho }_{2}}}} > {{q}^{2}}.$

Определим число

(2.13)
$\rho : = {{\rho }_{0}} + {{\rho }_{2}} - {{\rho }_{1}}$
и подобласть области ${{\Omega }_{0}}$

${{\Omega }_{{00}}}: = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi \geqslant \rho ,\;\tau \geqslant \rho \} .$

Оставшуюся часть области ${{\Omega }_{0}}$ разделим на две подобласти

${{\Omega }_{{10}}}: = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi \geqslant \tau ,\;{{\rho }_{0}} < \tau \leqslant \rho \} \quad {\text{и }}\quad {{\Omega }_{{20}}}: = \{ (\xi ,\tau )\,|\,{{\rho }_{0}} < \xi \leqslant \rho ,\;\tau \geqslant \xi \} .$

В области ${{\Omega }_{2}}$ берем

(2.14)
${{Z}_{ + }} = \lambda h(\xi )exp( - \kappa \tau ),$
где функция
(2.15)
$h(\xi ) = sin{{A}_{0}}(\xi + {{\rho }_{1}} - {{\rho }_{0}}),\quad \xi \in [0,{{\rho }_{0}}],\quad {{A}_{0}} = \pi {\text{/}}(2{{\rho }_{2}}),$
а числа $\lambda $ и $\kappa $ определяются ниже. Для функции (2.14) имеем
$L({{Z}_{ + }}) = \lambda \left( {{{a}^{2}}h{\text{''}} + \kappa h - F{\kern 1pt} {\text{'}}h} \right)exp( - \kappa \tau ) - z \leqslant - \lambda \left( {{{a}^{2}}A_{0}^{2} - \kappa - {{q}^{2}}} \right)hexp( - \kappa \tau ) - z.$
Здесь ${{a}^{2}}A_{0}^{2} - {{q}^{2}} = (a{{A}_{0}} - q)(a{{A}_{0}} + q) > 0$, так как

$a{{A}_{0}} - q = \frac{{\pi a}}{{2{{\rho }_{2}}}} - q > 0.$

Поэтому при достаточно малых положительных $\kappa $ выполняется неравенство

${{a}^{2}}A_{0}^{2} - \kappa - {{q}^{2}} > 0,$
и с учетом оценки для $z$ величина $L({{Z}_{ + }}) < 0$ при, возможно, еще более малых положительных $\kappa $ и достаточно больших положительных $\lambda $.

В области ${{\Omega }_{{20}}}$ также берем ${{Z}_{ + }}$ в форме (2.14). В этой области производная $F{\kern 1pt} ' \geqslant {{m}^{2}} > 0$, и корректировка ранее выбранных параметров не нужна.

В области ${{\Omega }_{1}}$ берем

(2.16)
${{Z}_{ + }} = \lambda h(\tau )exp( - \kappa \xi ).$

Имеем

$L({{Z}_{ + }}) = \lambda \left( {{{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}h - h{\kern 1pt} {\text{'}} - F{\kern 1pt} {\text{'}}h} \right)exp( - \kappa \xi ) - z \leqslant \lambda \left( {{{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}h - h{\kern 1pt} {\text{'}} + {{q}^{2}}h} \right)exp( - \kappa \xi ) - z.$

Здесь

$\begin{gathered} {{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}h - h{\kern 1pt} {\text{'}} + {{q}^{2}}h = \left( {{{a}^{2}}{{\kappa }^{2}} + {{q}^{2}}} \right)sin{{A}_{0}}(\xi + {{\rho }_{1}} - {{\rho }_{0}}) - {{A}_{0}}cos{{A}_{0}}(\xi + {{\rho }_{1}} - {{\rho }_{0}}) = \\ = \;sin{{A}_{0}}(\xi + {{\rho }_{1}} - {{\rho }_{0}})\left( {{{a}^{2}}{{\kappa }^{2}} + {{q}^{2}} - {{A}_{0}}{\text{ctg}}{{A}_{0}}(\xi + {{\rho }_{1}} - {{\rho }_{0}})} \right). \\ \end{gathered} $

Значения

${{q}^{2}} - {{A}_{0}}{\text{ctg}}{{A}_{0}}(\xi + {{\rho }_{1}} - {{\rho }_{0}}) \leqslant {{q}^{2}} - {{A}_{0}}{\text{ctg}}\frac{{\pi {{\rho }_{1}}}}{{2{{\rho }_{2}}}} < 0$
в силу (2.12). Поэтому с учетом оценки для $z$ величина $L({{Z}_{ + }}) < 0$ при достаточно малых положительных $\kappa $ и достаточно больших положительных $\lambda $.

В области ${{\Omega }_{{10}}}$ верхнее решение ${{Z}_{ + }}$ также берем в форме (2.16). В этой области производная $F{\kern 1pt} {\text{'}} \geqslant {{m}^{2}} > 0$, и корректировка ранее выбранных параметров не нужна.

Теперь проведем непрерывную стыковку гладких кусков верхнего решения. Границей областей ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ является линия $\tau = \xi $, $0 \leqslant \xi \leqslant \rho $. На этой линии оба куска верхнего решения непрерывно состыкованы по построению. Аналогичная ситуация имеет место и на границе областей ${{\Omega }_{{10}}}$ и ${{\Omega }_{{20}}}$. Границей областей ${{\Omega }_{{00}}}$ и ${{\Omega }_{{10}}}$ является линия $\tau = \rho $, $\rho \leqslant \xi < \infty $, поэтому должно выполняться равенство $rexp( - \kappa (\xi + \rho )) = \lambda h(\rho )exp( - \kappa \xi )$, или

(2.17)
$rexp( - \kappa \rho ) = \lambda ,$
так как $h(\rho ) = 1$. Параметры $r$ и $\lambda $ можно выбирать сколь угодно большими, поэтому существуют значения $r$ и $\lambda $, при которых условие (2.17) выполняется. Это же условие обеспечивает непрерывную стыковку гладких кусков верхнего решения и на границе областей ${{\Omega }_{{00}}}$ и ${{\Omega }_{{20}}}$. Таким образом, верхнее кусочно-гладкое решение задачи (2.2)–(2.4) оказывается построенным во всей области $\mathbb{R}_{ + }^{2}$.

Нижнее кусочно-гладкое решение задачи (2.2)–(2.4) с оценкой вида (1.9) можно взять в форме ${{Z}_{ - }} = - {{Z}_{ + }} < 0$. Теорема 2.2 доказана.

Теорема 2.3. Если выполнено условие 6, то задача (2.2)–(2.4) имеет решение $Z(\xi ,\tau )$ с оценкой вида (1.9).

Доказательство. Проведем сглаживание построенного в теореме 2.2 кусочно-гладкого верхнего решения ${{Z}_{ + }}$ задачи (2.2)–(2.4). Гладкость этого решения нарушается на общих частях границ областей ${{\Omega }_{{00}}}$, ${{\Omega }_{{10}}}$ и ${{\Omega }_{{20}}}$. Обозначим эти линии через ${{\Gamma }_{{01}}}$, ${{\Gamma }_{{02}}}$ и ${{\Gamma }_{{12}}}$

$\begin{gathered} {{\Gamma }_{{01}}} = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi \geqslant \rho ,\;\tau = \rho \} , \\ {{\Gamma }_{{02}}} = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi = \rho ,\;\tau \geqslant \rho \} , \\ {{\Gamma }_{{12}}} = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi = \tau ,\;0 \leqslant \tau \leqslant \rho \} . \\ \end{gathered} $

Существует общая теория сглаживания верхних кусочно-гладких решений (см. [4]). Эта теория применяется, когда гладкость функции нарушается на гладкой линии. Кроме того, при прохождении через эту линию по нормали производная кусочно-гладкого решения не должна испытывать положительного скачка. Функция ${{Z}_{ + }}$ построена таким образом, что при прохождении по нормали через каждую из линий ${{\Gamma }_{{01}}}$, ${{\Gamma }_{{02}}}$ или ${{\Gamma }_{{12}}}$ производная не испытывает положительного скачка. Однако в нашем случае линия состоит из трех кусков, сходящихся в одной точке, и не является гладкой.

Сначала проведем сглаживание функции ${{Z}_{ + }}$ на линии ${{\Gamma }_{{01}}}$. По разные стороны от этой линии значения функции ${{Z}_{ + }}$ задаются различными аналитическими выражениями

$\left\{ \begin{gathered} \lambda h(\tau )exp( - \kappa \xi ),\quad {\text{е с л и }}\quad (\xi ,\tau ) \in {{\Omega }_{{10}}}, \hfill \\ rexp( - \kappa (\xi + \tau )),\quad {\text{е с л и }}\quad (\xi ,\tau ) \in {{\Omega }_{{00}}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Оба выражения поделим на $rexp( - \kappa \xi )$ и учтем (2.17), получим функцию одного переменного

$f(\tau ) = \left\{ \begin{gathered} h(\tau )exp( - \kappa \rho ),\quad {\text{е с л и }}\quad 0 \leqslant \tau \leqslant \rho , \hfill \\ exp( - \kappa \tau ),\quad {\text{е с л и }}\quad \tau \geqslant \rho . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Функцию $f(\tau )$ нужно сгладить так, чтобы получилась функция, которая при умножении на $rexp( - \kappa \xi )$, во-первых, являлась бы верхним решением задачи (2.2)–(2.4) в объединении областей ${{\Omega }_{{00}}}$ и ${{\Omega }_{{10}}}$, и, во-вторых, не портила бы отрицательность скачка производной при прохождении по нормали к линии ${{\Gamma }_{{12}}}$.

Лемма 2.1. Существуют окрестность $U(\rho )$ точки $\rho $ и функция ${{v}_{0}}(\tau )$, где $\tau \in U(\rho )$, такие, что

1) функция

$v(\tau ) = \left\{ \begin{gathered} f(\tau ),\quad е с л и \quad \tau \in (0,\infty ){\backslash }U(\rho ), \hfill \\ {{v}_{0}}(\tau ),\quad е с л и \quad \tau \in U(\rho ). \hfill \\ \end{gathered} \right.$
дважды непрерывно дифференцируема на промежутке $(0,\infty )$;

2) в окрестности $U(\rho )$ выполняется условие

(2.18)
$v_{0}^{'} + \kappa {{v}_{0}} \geqslant 0.$

Доказательство. Определим окрестность $U(\rho ) = (\rho - 2{{\delta }_{1}},\rho + 2{{\delta }_{2}})$ точки $\rho $, в которой будет проводиться сглаживание функции $f(\tau )$. В качестве ${{\delta }_{1}}$ возьмем число

(2.19)
${{\delta }_{1}} = \mu \kappa ,$
где $\mu $ – положительный коэффициент, определяемый ниже. В качестве ${{\delta }_{2}}$ возьмем решение уравнения
$f(\rho + 2{{\delta }_{2}}) = f(\rho - {{\delta }_{1}})\quad {\text{и л и }}\quad h(\rho )exp( - \kappa (\rho + 2{{\delta }_{2}})) = h(\rho - {{\delta }_{1}})exp( - \kappa \rho ),$
откуда

(2.20)
${{\delta }_{2}} = - \frac{1}{{2\kappa }}lnh(\rho - {{\delta }_{1}}).$

Функцию ${{v}_{0}}(\tau )$, $\tau \in (\rho - 2{{\delta }_{1}},\rho + 2{{\delta }_{2}})$, составим из трех кусков, двигаясь от точки $\rho + 2{{\delta }_{2}}$ к точке $\rho - 2{{\delta }_{1}}$:

${{v}_{0}}(\tau ) = \left\{ \begin{gathered} {{v}_{{01}}}(\tau ),\quad {\text{е с л и }}\quad \rho + {{\delta }_{2}} < \tau < \rho + 2{{\delta }_{2}}, \hfill \\ {{v}_{{02}}}(\tau ),\quad {\text{е с л и }}\quad \rho \leqslant \tau \leqslant \rho + {{\delta }_{2}}, \hfill \\ {{v}_{{03}}}(\tau ),\quad {\text{е с л и }}\quad \rho - 2{{\delta }_{1}} < \tau < \rho . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Сначала построим функцию ${{v}_{{01}}}(\tau )$, которая на промежутке $(\rho + {{\delta }_{2}},\rho + 2{{\delta }_{2}})$ принимает значения, меньшие, чем $f(\tau )$, убывает, выпукла вниз, в точке $\rho + 2{{\delta }_{2}}$ непрерывно и гладко до второй производной включительно стыкуется с функцией $f(\tau )$ и удовлетворяет условию (2.18). Для этого функцию $f(\tau )$ на промежутке $(\rho + {{\delta }_{2}},\rho + 2{{\delta }_{2}})$ представим по формуле Тейлора с центром в точке $\rho + 2{{\delta }_{2}}$:

$\begin{gathered} f(\tau ) = exp( - \kappa \tau ) = exp( - \kappa (\rho + 2{{\delta }_{2}}))exp( - \kappa (\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})) = \\ = \;f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 - \kappa (\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{2} + {{r}_{2}}} \right), \\ \end{gathered} $
где остаточный член ${{r}_{2}}$ в форме Лагранжа имеет вид

${{r}_{2}} = - \frac{{{{\kappa }^{3}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{3}}}}{6}exp( - \kappa (\theta - \rho - 2{{\delta }_{2}})),\quad \rho + {{\delta }_{2}} < \theta < \rho + 2{{\delta }_{2}}.$

Функцию ${{v}_{{01}}}(\tau )$ определим выражением

${{v}_{{01}}}(\tau ): = f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 - \kappa (\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{2} + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{3}}}}{{6{{\delta }_{2}}}}} \right).$

Функция ${{v}_{{01}}}(\tau )$ по построению в точке $\rho + 2{{\delta }_{2}}$ непрерывно и гладко до второй производной включительно стыкуется с функцией $f(\tau )$. Сравним значения ${{v}_{{01}}}(\tau )$ и $f(\tau )$ на промежутке $(\rho + {{\delta }_{2}},\rho + 2{{\delta }_{2}})$

$\begin{gathered} {{v}_{{01}}}(\tau ) - f(\tau ) = f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {\frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{3}}}}{{6{{\delta }_{2}}}} + \frac{{{{\kappa }^{3}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{3}}}}{6}exp( - \kappa (\theta - \rho - 2{{\delta }_{2}}))} \right) = \\ = f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{3}}}}{{6{{\delta }_{2}}}}\left( {1 + \kappa {{\delta }_{2}}exp( - \kappa (\theta - \rho - 2{{\delta }_{2}}))} \right) < 0, \\ \end{gathered} $
так как ${{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}^{3}} < 0$. Таким образом, ${{v}_{{01}}}(\tau ) < f(\tau )$ на промежутке $(\rho + {{\delta }_{2}},\rho + 2{{\delta }_{2}})$. Производные

$v_{{01}}^{'}(\tau ) = f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( { - \kappa + {{\kappa }^{2}}(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{{2{{\delta }_{2}}}}} \right),$
$v_{{01}}^{{''}}(\tau ) = f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {{{\kappa }^{2}} + \frac{{{{\kappa }^{2}}(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}{{{{\delta }_{2}}}}} \right) = \frac{{{{\kappa }^{2}}(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}}{{{{\delta }_{2}}}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}}).$

Знаки второй производной

$v_{{01}}^{{''}}(\tau ):\left\{ \begin{gathered} > {\kern 1pt} 0,\quad {\text{е с л и }}\quad \tau > \rho + {{\delta }_{2}}, \hfill \\ = \,0,\quad {\text{е с л и }}\quad \tau = \rho + {{\delta }_{2}}, \hfill \\ < {\kern 1pt} 0,\quad {\text{е с л и }}\quad \tau < \rho + {{\delta }_{2}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Поэтому на промежутке $(\rho + {{\delta }_{2}},\rho + 2{{\delta }_{2}})$ функция ${{v}_{{01}}}(\tau )$ выпукла вниз, производная $v_{{01}}^{'}(\tau )$ возрастает, и ее наибольшее значение $v_{{01}}^{'}(\rho + 2{{\delta }_{2}}) = f{\kern 1pt} '(\rho + 2{{\delta }_{2}}) < 0$. Значит, на промежутке $(\rho + {{\delta }_{2}},\rho + 2t{{a}_{2}})$ значения $v_{{01}}^{'}(\tau ) < 0$. Проверяем условие (2.18)

$\begin{gathered} v_{{01}}^{'}(\tau ) + \kappa {{v}_{{01}}}(\tau ) = f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( { - \kappa + {{\kappa }^{2}}(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{{2{{\delta }_{2}}}}} \right) + \\ + \;\kappa f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 - \kappa (\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{2} + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{3}}}}{{6{{\delta }_{2}}}}} \right) = \\ = \,f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{{6{{\delta }_{2}}}}\left( {3 + \kappa (\tau - \rho + {{\delta }_{2}})} \right) > 0 \\ \end{gathered} $
при $\tau \in [\rho ,\rho + 2{{\delta }_{2}})$, то есть условие (2.18) выполняется для функции ${{v}_{{01}}}(\tau )$ на промежутке $[\rho ,\rho + 2{{\delta }_{2}})$ и, в частности, на промежутке $[\rho + {{\delta }_{2}},\rho + 2{{\delta }_{2}})$.

Теперь построим функцию ${{v}_{{02}}}(\tau )$, которая на промежутке $(\rho ,\rho + {{\delta }_{2}})$ принимает значения, меньшие, чем $f(\tau )$, убывает, выпукла вверх в точке $\rho + {{\delta }_{2}}$ непрерывно и гладко до второй производной включительно стыкуется с функцией ${{v}_{{01}}}(\tau )$ и удовлетворяет условию (2.18). Функцию ${{v}_{{02}}}(\tau )$ определим выражением

${{v}_{{02}}}(\tau ): = {{v}_{{01}}}(\tau ) - \frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{3\delta _{2}^{2}}}{{(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}^{3}}.$

Заметим, что производная

$v_{{01}}^{'}(\rho ) = f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( { - \kappa + {{\kappa }^{2}}(\rho - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\rho - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{{2{{\delta }_{2}}}}} \right) = - \kappa f(\rho + 2{{\delta }_{2}}) < 0.$

По построению функция ${{v}_{{02}}}(\tau )$ в точке $\rho + {{\delta }_{2}}$ непрерывно и гладко до второй производной включительно стыкуется с функцией ${{v}_{{01}}}(\tau )$. При $\tau < \rho + {{\delta }_{2}}$ выполняются неравенства

${{v}_{{02}}}(\tau ) < {{v}_{{01}}}(\tau ) < exp( - \kappa \tau ).$

Производные

$v_{{02}}^{'}(\tau ) = v_{{01}}^{'}(\tau ) - \frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{\delta _{2}^{2}}}{{(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}^{2}},$
$v_{{02}}^{{''}}(\tau ) = v_{{01}}^{{''}}(\tau ) - \frac{{2v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{\delta _{2}^{2}}}(\tau - \rho - {{\delta }_{2}}).$

На промежутке $(\rho ,\rho + {{\delta }_{2}})$ значения $v_{{01}}^{{''}}(\tau ) < 0$, поэтому и $v_{{02}}^{{''}}(\tau ) < 0$. Значит, функция ${{v}_{{02}}}(\tau )$ выпукла вверх, и ее производная $v_{{02}}^{'}(\tau )$ убывает. Так как $v_{{02}}^{'}(\rho ) = 0$, то $v_{{02}}^{'}(\tau ) < 0$ и функция ${{v}_{{02}}}(\tau )$ убывает на промежутке $(\rho ,\rho + {{\delta }_{2}})$. Проверим выполнение условия (2.18). Имеем

$\begin{gathered} v_{{02}}^{'}(\tau ) + \kappa {{v}_{{02}}}(\tau ) = v_{{01}}^{'}(\tau ) - \frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{\delta _{2}^{2}}}{{(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}^{2}} + \kappa \left( {{{v}_{{01}}}(\tau ) - \frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{3\delta _{2}^{2}}}{{{(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}}^{3}}} \right) = \\ = \;\left( {v_{{01}}^{'}(\tau ) + \kappa {{v}_{{01}}}(\tau )} \right) - \frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{3\delta _{2}^{2}}}{{(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}^{2}}\left( {3 + \kappa (\tau - \rho - {{\delta }_{2}})} \right). \\ \end{gathered} $

Как отмечалось выше, неравенство $v_{{01}}^{'}(\tau ) + {{\kappa }_{1}}{{v}_{{01}}}(\tau ) \geqslant 0$ справедливо и на промежутке $(\rho ,\rho + {{\delta }_{2}})$. Считаем, что число $\kappa $ настолько мало, что величина

$\kappa {{\delta }_{2}} = - \frac{1}{2}lnh(\rho - {{\delta }_{1}}) \leqslant 3.$

Тогда на промежутке $(\rho ,\rho + {{\delta }_{2}})$ значения $v_{{02}}^{'}(\tau ) + \kappa {{v}_{{02}}}(\tau ) \geqslant 0$, то есть условие (2.18) выполняется.

Остается построить функцию ${{v}_{{03}}}(\tau )$, которая на промежутке $(\rho - \delta ,\rho )$, где $\delta = 2{{\delta }_{1}}$, принимает значения, меньшие, чем $f(\tau )$, возрастает, выпукла вверх, непрерывно и гладко до второй производной включительно стыкуется с функциями $f(\tau )$ и ${{v}_{{02}}}(\tau )$ соответственно в точках $\rho - \delta $ и $\rho $ и, кроме этого, удовлетворяет условию (2.18). Функцию ${{v}_{{03}}}(\tau )$ определим в виде многочлена 5-й степени

${{v}_{{03}}}(\tau ) = \sum\limits_{k = 0}^5 \,{{c}_{k}}{{(\tau - \rho + \delta )}^{k}},\quad \tau \in [\rho - \delta ,\rho ],$
где коэффициенты определяются условиями гладкой стыковки с функциями $f(\tau )$ и ${{v}_{{02}}}(\tau )$

${{v}_{{03}}}(\rho - \delta ) = {{c}_{0}} = f(\rho - \delta ) > 0,\quad v_{{03}}^{'}(\rho - \delta ) = {{c}_{1}} = f{\kern 1pt} '(\rho - \delta ) > 0,$
$v_{{03}}^{{''}}(\rho - \delta ) = 2{{c}_{2}} = f{\kern 1pt} ''(\rho - \delta ) < 0,\quad {{v}_{{03}}}(\rho ) = \sum\limits_{k = 0}^5 \,{{c}_{k}}{{\delta }^{k}} = {{v}_{{02}}}(\rho ) > 0,$
$v_{{03}}^{'}(\rho ) = \sum\limits_{k = 1}^5 \,k{{c}_{k}}{{\delta }^{{k - 1}}} = v_{{02}}^{'}(\rho ) = 0,\quad v_{{03}}^{{''}}(\rho ) = \sum\limits_{k = 2}^5 \,k(k - 1){{c}_{k}}{{\delta }^{{k - 2}}} = v_{{02}}^{{''}}(\rho ) < 0.$

Решая систему линейных уравнений, получаем выражения для коэффициентов

${{c}_{0}} = f(\rho - \delta ),\quad {{c}_{1}} = f{\kern 1pt} '(\rho - \delta ),\quad {{c}_{2}} = \frac{1}{2}f{\kern 1pt} ''(\rho - \delta ),$
${{c}_{3}} = \frac{1}{{{{\delta }^{3}}}}(10({{b}_{0}} - {{c}_{0}}) - 6{{c}_{1}}\delta - 3{{c}_{2}}{{\delta }^{2}} + \frac{1}{2}{{b}_{2}}{{\delta }^{2}}),$
${{c}_{4}} = \frac{1}{{{{\delta }^{4}}}}( - 15({{b}_{0}} - {{c}_{0}}) + 8{{c}_{1}}\delta + 3{{c}_{2}}{{\delta }^{2}} - {{b}_{2}}{{\delta }^{2}}),$
${{c}_{5}} = \frac{1}{{{{\delta }^{5}}}}(6({{b}_{0}} - {{c}_{0}}) - 3{{c}_{1}}\delta - {{c}_{2}}{{\delta }^{2}} + \frac{1}{2}{{b}_{2}}{{\delta }^{2}}),$
где ${{b}_{0}} = {{v}_{{02}}}(\rho )$, ${{b}_{2}} = v_{{02}}^{{''}}(\rho )$. Исследуем поведение второй производной

$v_{{03}}^{{''}}(\tau ) = 2{{c}_{2}} + 6{{c}_{3}}(\tau - \rho + \delta ) + 12{{c}_{4}}{{(\tau - \rho + \delta )}^{2}} + 20{{c}_{5}}{{(\tau - \rho + \delta )}^{3}},\quad \tau \in (\rho - \delta ,\rho ).$

Обозначим $\tau - \rho + \delta = \delta t$ и запишем

$v_{{03}}^{{''}}(\tau ) = 2{{c}_{2}} + 6{{c}_{3}}\delta t + 12{{c}_{4}}{{\delta }^{2}}{{t}^{2}} + 20{{c}_{5}}{{\delta }^{3}}{{t}^{3}},\quad t \in (0,1).$

Покажем, что значения $v_{{03}}^{{''}}(\tau ) < 0$ при достаточно малых положительных $\delta $. Для этого получим асимптотику коэффициентов при $\delta \to 0$. Имеем

${{c}_{0}} = f(\rho - \delta ) = h(\rho - \delta )exp( - \kappa \rho ) = \left( {h(\rho ) - h{\kern 1pt} '(\rho )\delta + \frac{{h{\kern 1pt} ''(\rho )}}{2}{{\delta }^{2}} - \frac{{h{\kern 1pt} '''(\rho )}}{6}{{\delta }^{3}} + O({{\delta }^{4}})} \right)exp( - \kappa \rho ).$
Здесь
$\begin{gathered} h(\rho ) = sin(\pi {\text{/}}2) = 1,\quad h{\kern 1pt} '(\rho ) = {{A}_{0}}cos(\pi {\text{/}}2) = 0,\quad h{\kern 1pt} ''(\rho ) = - A_{0}^{2}sin(\pi {\text{/}}2) = - A_{0}^{2}, \\ h{\kern 1pt} '''(\rho ) = - A_{0}^{3}cos(\pi {\text{/}}2) = 0, \\ \end{gathered} $
и, таким образом,

${{c}_{0}} = \left( {1 - \frac{{A_{0}^{2}}}{2}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right)exp( - \kappa \rho ).$

Далее,

${{c}_{1}} = f{\kern 1pt} '(\rho - \delta ) = h{\kern 1pt} '(\rho - \delta )exp( - \kappa \rho ) = \left( {h{\kern 1pt} '(\rho ) - h{\kern 1pt} ''(\rho )\delta + \frac{{h{\kern 1pt} '''(\rho )}}{2}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{3}})} \right)exp( - \kappa \rho ),$
то есть

${{c}_{1}} = \left( {A_{0}^{2}\delta + O({{\delta }^{3}})} \right)exp( - \kappa \rho ).$

Коэффициент ${{c}_{2}}$ оказывается равным

${{c}_{2}} = \frac{1}{2}f{\kern 1pt} ''(\rho - \delta ) = \frac{1}{2}h{\kern 1pt} ''(\rho - \delta )exp( - \kappa \rho )\frac{1}{2}\left( {h{\kern 1pt} ''(\rho ) - h{\kern 1pt} '''(\rho )\delta + O({{\delta }^{2}})} \right)exp( - \kappa \rho ),$
то есть

${{c}_{2}} = \left( { - \frac{{A_{0}^{2}}}{2} + O({{\delta }^{2}})} \right)exp( - \kappa \rho ).$

Получим асимптотику ${{b}_{0}}$ при $\delta \to 0$. Имеем

$\begin{gathered} {{b}_{0}} = {{v}_{{02}}}(\rho ) = {{v}_{{01}}}(\rho ) + \frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{3}{{\delta }_{2}} = f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 + 2\kappa {{\delta }_{2}} + 2{{\kappa }^{2}}\delta _{2}^{2} - \frac{{4{{\kappa }^{2}}}}{3}\delta _{2}^{3}} \right) - \frac{{\kappa f(\rho + 2{{\delta }_{2}})}}{3}{{\delta }_{2}} = \\ = \;f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 + \frac{5}{3}\kappa {{\delta }_{2}} + 2{{\kappa }^{2}}\delta _{2}^{2} - \frac{4}{3}{{\kappa }^{2}}\delta _{2}^{3}} \right). \\ \end{gathered} $
Здесь

$\begin{gathered} f(\rho + 2{{\delta }_{2}}) = f(\rho - {{\delta }_{1}}) = h(\rho - {{\delta }_{1}})exp( - \kappa \rho ) = \\ = \left( {h(\rho ) - h{\kern 1pt} '(\rho ){{\delta }_{1}} + \frac{{h{\kern 1pt} ''(\rho )}}{2}\delta _{1}^{2} - \frac{{h{\kern 1pt} '''(\rho )}}{6}\delta _{1}^{3} + O\left( {\delta _{1}^{4}} \right)} \right)exp( - \kappa \rho ) = \\ = \left( {1 - \frac{{A_{0}^{2}}}{2}\delta _{1}^{2} + O\left( {\delta _{1}^{4}} \right)} \right)exp( - \kappa \rho ) = \left( {1 - \frac{{A_{0}^{2}}}{8}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right)exp( - \kappa \rho ). \\ \end{gathered} $

Из (2.20) получаем

$\kappa {{\delta }_{2}} = - \frac{1}{2}lnh(\rho - {{\delta }_{1}}) = - \frac{1}{2}ln\left( {1 - \frac{{A_{0}^{2}}}{8}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right).$

Пользуемся формулой Тейлора для логарифма

$ - ln(1 - x) = x + \frac{{{{x}^{2}}}}{2} + O({{x}^{3}}),\quad x = \frac{{A_{0}^{2}}}{8}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}}).$

Получаем

(2.21)
$\kappa {{\delta }_{2}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{A_{0}^{2}}}{8}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right) = \frac{{A_{0}^{2}}}{{16}}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}}),$
соответственно

${{(\kappa {{\delta }_{2}})}^{2}} = O({{\delta }^{4}}),\quad {{(\kappa {{\delta }_{2}})}^{3}} = O({{\delta }^{6}}).$

С учетом этого и (2.19) получаем

${{\kappa }^{2}}\delta _{2}^{3} = \frac{1}{\kappa }{{(\kappa {{\delta }_{2}})}^{3}} = \frac{{2\mu }}{\delta }{{(\kappa {{\delta }_{2}})}^{3}} = O({{\delta }^{5}}).$

Поэтому

$1 + \frac{5}{3}\kappa {{\delta }_{2}} + 2{{\kappa }^{2}}\delta _{2}^{2} - \frac{4}{3}{{\kappa }^{2}}\delta _{2}^{3} = 1 + \frac{{5A_{0}^{2}}}{{48}}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}}).$

Таким образом, для ${{b}_{0}}$ получается следующая асимптотика при $\delta \to 0$:

${{b}_{0}} = \left( {1 - \frac{{A_{0}^{2}}}{8}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right)\left( {1 + \frac{5}{{48}}A_{0}^{2}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right)exp( - \kappa \rho ) = \left( {1 - \frac{1}{{48}}A_{0}^{2}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right)exp( - \kappa \rho ).$

Для ${{b}_{0}} - {{c}_{0}}$ при $\delta \to 0$ имеем

${{b}_{0}} - {{c}_{0}} = \left( {1 - \frac{1}{{48}}A_{0}^{2}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right)exp( - \kappa \rho ) - \left( {1 - \frac{{A_{0}^{2}}}{2}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right)exp( - \kappa \rho ),$
то есть

${{b}_{0}} - {{c}_{0}} = \left( {\frac{{23}}{{48}}A_{0}^{2}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right)exp( - \kappa \rho ).$

Теперь получим асимптотику для ${{b}_{2}}$ при $\delta \to 0$. Имеем

${{b}_{2}} = v_{{02}}^{{''}}(\rho ) = v_{{01}}^{{''}}(\rho ) + \frac{{2v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{{{\delta }_{2}}}}.$
Здесь

(2.22)
$v_{{02}}^{{''}}(\rho ) = - {{\kappa }^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}}),\quad \frac{{2v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{{{\delta }_{2}}}} = - \frac{{2\kappa }}{{{{\delta }_{2}}}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}}).$

Из (2.21) получаем

$\frac{1}{{{{\delta }_{2}}}} = \frac{{16\kappa }}{{A_{0}^{2}{{\delta }^{2}}}}\mathop {\left( {1 + O({{\delta }^{2}})} \right)}\nolimits^{ - 1} .$

Используя разложение ${{(1 + x)}^{{ - 1}}} = 1 - x + {{x}^{2}} + O({{x}^{3}})$ для $x = O({{\delta }^{2}})$ и (2.19), получаем

$\frac{1}{{{{\delta }_{2}}}} = \frac{{16\kappa }}{{A_{0}^{2}{{\delta }^{2}}}}\left( {1 + O({{\delta }^{2}})} \right) = \frac{8}{{A_{0}^{2}\mu \delta }}\left( {1 + O({{\delta }^{2}})} \right).$

С учетом (2.19) и (2.22) имеем

${{b}_{2}} = - f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {{{\kappa }^{2}} + \frac{{2\kappa }}{{{{\delta }_{2}}}}} \right) = - \left( {1 - \frac{{A_{0}^{2}}}{8}{{\delta }^{2}} + O({{\delta }^{4}})} \right)\left( {\frac{{{{\delta }^{2}}}}{{4{{\mu }^{2}}}} + \frac{\delta }{{2\mu }}\frac{8}{{A_{0}^{2}\mu \delta }}\left( {1 + O({{\delta }^{2}})} \right)} \right)exp( - \kappa \rho ),$
то есть

${{b}_{2}} = \left( { - \frac{4}{{A_{0}^{2}{{\mu }^{2}}}} + O({{\delta }^{2}})} \right)exp( - \kappa \rho ).$

Теперь можно выписать асимптотику коэффициентов ${{c}_{3}}$, ${{c}_{4}}$ и ${{c}_{5}}$

${{c}_{3}} = \frac{1}{\delta }\left( { - \frac{7}{{24}}A_{0}^{2} - \frac{2}{{A_{0}^{2}{{\mu }^{2}}}} + O({{\delta }^{2}})} \right)exp( - \kappa \rho ),$
${{c}_{4}} = \frac{1}{{{{\delta }^{2}}}}\left( { - \frac{{11}}{{16}}A_{0}^{2} + \frac{4}{{A_{0}^{2}{{\mu }^{2}}}} + O({{\delta }^{2}})} \right)exp( - \kappa \rho ),$
${{c}_{5}} = \frac{1}{{{{\delta }^{3}}}}\left( {\frac{3}{8}A_{0}^{2} - \frac{2}{{A_{0}^{2}{{\mu }^{2}}}} + O({{\delta }^{2}})} \right)exp( - \kappa \rho ).$

Асимптотика второй производной $v_{{03}}^{{''}}(\tau )$, где $\tau - \rho + \delta = \delta t$, $t \in (0,1)$, имеет вид

$\begin{gathered} v_{{03}}^{{''}}(\tau ) = 2{{c}_{2}} + 6{{c}_{3}}\delta t + 12{{c}_{4}}{{\delta }^{2}}{{t}^{2}} + 20{{c}_{5}}{{\delta }^{3}}{{t}^{3}} = \left( { - A_{0}^{2} + 6\left( { - \frac{7}{{24}}A_{0}^{2} - \frac{2}{{A_{0}^{2}{{\mu }^{2}}}}} \right)t + } \right. \\ + \;12\left( { - \frac{{11}}{{16}}A_{0}^{2} + \frac{4}{{A_{0}^{2}{{\mu }^{2}}}}} \right){{t}^{2}} + \left. {20\left( {\frac{3}{8}A_{0}^{2} - \frac{2}{{A_{0}^{2}{{\mu }^{2}}}}} \right){{t}^{3}} + O({{\delta }^{2}})} \right)exp( - \kappa \rho ). \\ \end{gathered} $

Можно выбрать величину коэффициента $\mu $ в (2.19), который обеспечит отрицательность второй производной

$\mu = \frac{{4\sqrt 3 }}{{3A_{0}^{2}}}.$

Тогда

$v_{{03}}^{{''}}(\tau ) = \left( { - 1 - 4t + \frac{3}{4}{{t}^{2}} + O({{\delta }^{2}})} \right)A_{0}^{2}exp( - \kappa \rho ) < 0$
при достаточно малых значениях $\delta $ и функция $v_{{03}}^{'}(\tau )$ убывает. Учитывая, что $v_{{03}}^{'}(\rho - \delta ) > 0$ и $v_{{03}}^{'}(\rho ) = 0$, делаем вывод о положительности значений $v_{{03}}^{'}(\tau )$ и возрастании функции ${{v}_{{03}}}(\tau )$ на промежутке $(\rho - \delta ,\rho )$. Условие (2.18) выполняется, построение функции ${{v}_{0}}(\tau )$ завершено. Лемма 2.1 доказана.

Итак, функция ${{Z}_{ + }}$ сглаживается на линии ${{\Gamma }_{{01}}}$. Точно так же проходит сглаживание ${{Z}_{ + }}$ и на линии ${{\Gamma }_{{02}}}$. В результате получается функция, отличная от ${{Z}_{ + }}$ в окрестности линий ${{\Gamma }_{{01}}}$ и ${{\Gamma }_{{02}}}$. Внесем соответствующие изменения в разбиение области $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ на подобласти, выделив окрестности линий ${{\Gamma }_{{01}}}$ и ${{\Gamma }_{{02}}}$

$\begin{gathered} {{G}_{{00}}} = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi > \rho + 2{{\delta }_{2}},\;\tau > \rho + 2{{\delta }_{2}}\} , \hfill \\ {{G}_{{10}}} = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi > \tau ,\;\rho - \delta < \tau < \rho + 2{{\delta }_{2}}\} , \hfill \\ {{G}_{{11}}} = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\xi > \tau ,\;0 < \tau < \rho - \delta \} , \hfill \\ {{G}_{{20}}} = \{ (\xi ,\tau )\,|\,\rho - \delta < \xi < \rho + 2{{\delta }_{2}},\;\tau > \xi \} , \hfill \\ {{G}_{{22}}} = \{ (\xi ,\tau )\,|\,0 < \xi < \rho - \delta ,\;\tau > \xi \} , \hfill \\ \end{gathered} $
где $\delta = 2{{\delta }_{1}}$. Рассмотрим кусочно-гладкую положительную функцию
${{\tilde {Z}}_{ + }}(\xi ,\tau ) = \left\{ \begin{gathered} \tilde {r}exp( - \kappa (\xi + \tau )),\quad {\text{е с л и }}\quad (\xi ,\tau ) \in \mathop {\overline G }\nolimits_{00} , \hfill \\ \tilde {r}{{v}_{0}}(\tau )exp( - \kappa \xi ),\quad {\text{е с л и }}\quad (\xi ,\tau ) \in \mathop {\overline G }\nolimits_{10} , \hfill \\ \tilde {r}h(\tau )exp( - \kappa (\xi + \rho )),\quad {\text{е с л и }}\quad (\xi ,\tau ) \in \mathop {\overline G }\nolimits_{11} , \hfill \\ \tilde {r}{{v}_{0}}(\xi )exp( - \kappa \tau ),\quad {\text{е с л и }}\quad (\xi ,\tau ) \in \mathop {\overline G }\nolimits_{20} , \hfill \\ \tilde {r}h(\xi )exp( - \kappa (\tau + \rho )),\quad {\text{е с л и }}\quad (\xi ,\tau ) \in \mathop {\overline G }\nolimits_{22} , \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где число $\tilde {r}$ берется $ \geqslant r$ и уточняется ниже. Функция ${{\tilde {Z}}_{ + }}(\xi ,\tau )$ с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией ${{Z}_{ + }}(\xi ,\tau )$ в областях ${{G}_{{00}}}$, ${{G}_{{11}}}$ и ${{G}_{{22}}}$ и потому представляет гладкие куски верхнего решения задачи (2.2)–(2.4).

В области ${{G}_{{10}}}$ имеем ${{\tilde {Z}}_{ + }} = \tilde {r}{{v}_{0}}(\tau )exp( - \kappa \xi )$ и

$\begin{gathered} L({{{\tilde {Z}}}_{ + }}) = {{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{\tilde {Z}}}_{ + }}}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} - \frac{{\partial {{{\tilde {Z}}}_{ + }}}}{{\partial \tau }} - F{\kern 1pt} {\text{'}}{{{\tilde {Z}}}_{ + }} - z = \left( {{{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}{{v}_{0}}(\tau ) - v_{0}^{'}(\tau )} \right)\tilde {r}exp( - \kappa \xi ) - F{\kern 1pt} {\text{'}}{{{\tilde {Z}}}_{ + }} - z \leqslant \\ \leqslant \;\left( {{{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}{{v}_{0}}(\tau ) - v_{0}^{'}(\tau )} \right)\tilde {r}exp( - \kappa \xi ) - {{m}^{2}}\tilde {r}{{v}_{0}}(\tau )exp( - \kappa \xi ) - z = \\ = \; - {\kern 1pt} \left( {{{m}^{2}}{{v}_{0}}(\tau ) + v_{0}^{'}(\tau ) - {{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}{{v}_{0}}(\tau )} \right)\tilde {r}exp( - \kappa \xi ) - z. \\ \end{gathered} $

На промежутке $\tau \in [\rho - \delta ,\rho ]$ функция ${{v}_{0}}(\tau ) = {{v}_{{03}}}(\tau )$ и по построению положительна и возрастает. Поэтому значения

${{m}^{2}}{{v}_{{03}}}(\tau ) + v_{{03}}^{'}(\tau ) > 0.$

На промежутке $\tau \in [\rho ,\rho + {{\delta }_{2}}]$ имеем

$\begin{gathered} {{m}^{2}}{{v}_{0}}(\tau ) + v_{0}^{'}(\tau ) = {{m}^{2}}{{v}_{{02}}}(\tau ) + v_{{02}}^{'}(\tau ) = {{m}^{2}}\left( {{{v}_{{01}}}(\tau ) - \frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{3\delta _{2}^{2}}}{{{(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}}^{3}}} \right) + \\ + \;\left( {v_{{01}}^{'}(\tau ) - \frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{\delta _{2}^{2}}}{{{(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}}^{2}}} \right) = {{m}^{2}}{{v}_{{01}}}(\tau ) + \mathop {v'}\nolimits_{01} (\tau ) - \frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{3\delta _{2}^{2}}}{{(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}^{2}}\left( {{{m}^{2}}(\tau - \rho - {{\delta }_{2}}) + 3} \right) = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} = \;{{m}^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 - \kappa (\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{2} + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{3}}}}{{6{{\delta }_{2}}}}} \right) + \\ + \;f(\rho \, + \,2{{\delta }_{2}})\left( { - \kappa + {{\kappa }^{2}}(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{{2{{\delta }_{2}}}}} \right)\, - \,\frac{{v_{{01}}^{'}(\rho )}}{{3\delta _{2}^{2}}}{{(\tau - \rho - {{\delta }_{2}})}^{2}}\left( {{{m}^{2}}(\tau - \rho - {{\delta }_{2}}) + 3} \right). \\ \end{gathered} $

Величина $\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}} \in [ - 2{{\delta }_{2}}, - {{\delta }_{2}}]$, $\tau - \rho - {{\delta }_{2}} \in [ - {{\delta }_{2}},0]$, $v_{{01}}^{'}(\rho ) < 0$, и поэтому при достаточно малых $\kappa $ и ${{\delta }_{2}}$ значения

${{m}^{2}}{{v}_{{02}}}(\tau ) + v_{{02}}^{'}(\tau ) > 0.$

На промежутке $\tau \in [\rho + {{\delta }_{2}},\rho + 2{{\delta }_{2}}]$ имеем

$\begin{gathered} {{m}^{2}}{{v}_{0}}(\tau ) + v_{0}^{'}(\tau ) = {{m}^{2}}{{v}_{{01}}}(\tau ) + v_{{01}}^{'}(\tau ) = \\ = \;{{m}^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 - \kappa (\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{2} + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{3}}}}{{6{{\delta }_{2}}}}} \right) + \\ + \;f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( { - \kappa + {{\kappa }^{2}}(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{{2{{\delta }_{2}}}}} \right) = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} = \;{{m}^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 - \kappa (\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{2}} \right)\; + \\ + \;f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( { - \kappa + {{\kappa }^{2}}(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})} \right) + \frac{{{{\kappa }^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}}){{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{{6{{\delta }_{2}}}}({{m}^{2}}(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + 3). \\ \end{gathered} $

Величина $\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}} \in [ - {{\delta }_{2}},0]$, поэтому при достаточно малых $\kappa $ и ${{\delta }_{2}}$ значения

${{m}^{2}}{{v}_{{01}}}(\tau ) + v_{{01}}^{'}(\tau ) > 0.$

Таким образом, при достаточно малых $\kappa $ и ${{\delta }_{2}}$ и достаточно большом $\tilde {r}$ в области ${{G}_{{10}}}$ значения

$L({{\tilde {Z}}_{ + }}) \leqslant 0.$

В области ${{G}_{{20}}}$ имеем ${{\tilde {Z}}_{ + }} = \tilde {r}{{v}_{0}}(\xi )exp( - \kappa \tau )$ и

$\begin{gathered} L({{{\tilde {Z}}}_{ + }}) = \left( {{{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}v_{0}^{{''}}(\xi ) + \kappa {{v}_{0}}(\xi )} \right)\tilde {r}exp( - \kappa \tau ) - F{\kern 1pt} {\text{'}}{{{\tilde {Z}}}_{ + }} - z \leqslant \\ \leqslant - {\kern 1pt} \left( {{{m}^{2}}{{v}_{0}}(\xi ) - {{a}^{2}}v_{0}^{{''}}(\xi ) + \kappa {{v}_{0}}(\xi )} \right)\tilde {r}exp( - \kappa \xi ) - z. \\ \end{gathered} $

На промежутке $\tau \in [\rho - 2{{\delta }_{1}},\rho + {{\delta }_{2}}]$ функция ${{v}_{0}}(\tau )$ по построению положительна и выпукла вверх. Поэтому значения

${{m}^{2}}{{v}_{0}}(\xi ) - {{a}^{2}}v_{0}^{{''}}(\xi ) > 0.$

На промежутке $\tau \in [\rho + {{\delta }_{2}},\rho + 2{{\delta }_{2}}]$ имеем

$\begin{gathered} {{m}^{2}}{{v}_{0}}(\xi ) - {{a}^{2}}v_{0}^{{''}}(\xi ) = {{m}^{2}}{{v}_{{01}}}(\tau ) - {{a}^{2}}v_{{01}}^{{''}}(\tau ) = \\ = \;{{m}^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 - \kappa (\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{2} + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{3}}}}{{6{{\delta }_{2}}}}} \right) - \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} - \;{{a}^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {{{\kappa }^{2}} + \frac{{{{\kappa }^{2}}(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}{{{{\delta }_{2}}}}} \right) = {{m}^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}})\left( {1 - \kappa (\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}{{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}^{2}}}}{2}} \right) - \\ - \;{{a}^{2}}{{\kappa }^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}}) + \frac{{{{\kappa }^{2}}f(\rho + 2{{\delta }_{2}})(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}}{{6{{\delta }_{2}}}}({{m}^{2}}{{(\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}})}^{2}} - 6{{a}^{2}}). \\ \end{gathered} $

Величина $\tau - \rho - 2{{\delta }_{2}} \in [ - {{\delta }_{2}},0]$, поэтому при достаточно малых $\kappa $ и ${{\delta }_{2}}$ значения

${{m}^{2}}{{v}_{{01}}}(\tau ) - {{a}^{2}}v_{{01}}^{{''}}(\tau ) > 0.$

Таким образом, при достаточно малых $\kappa $ и ${{\delta }_{2}}$ и достаточно большом $\tilde {r}$ в области ${{G}_{{20}}}$ значения $L({{\tilde {Z}}_{ + }}) \leqslant 0$. Поэтому функция ${{\tilde {Z}}_{ + }}(\xi ,\tau )$ является кусочно-гладким верхним решением задачи (2.2)–(2.4). Гладкость этой функции нарушается только на линии

${{\Gamma }_{\delta }} = \{ (\xi ,\xi )\,|\,0 \leqslant \xi \leqslant \rho + 2{{\delta }_{2}}\} .$

Лемма 2.2. При пересечении линии ${{\Gamma }_{\delta }}$ в направлении нормали к ней производная функции ${{\tilde {Z}}_{ + }}(\xi ,\tau )$ по направлению этой нормали испытывает отрицательный скачок.

Доказательство. Сначала найдем производную функции ${{\tilde {Z}}_{ + }}(\xi ,\tau )$ по направлению нормали к линии ${{\Gamma }_{\delta }}$ при переходе из области ${{G}_{{10}}}$ в область ${{G}_{{20}}}$. В области ${{\Omega }_{{10}}}$ значения ${{\tilde {Z}}_{ + }} = \tilde {r}{{v}_{0}}(\tau )exp( - \kappa \xi )$. Пусть ${\mathbf{p}}$ – внутренняя нормаль к ${{\Gamma }_{\delta }}$ в области ${{G}_{{10}}}$. Тогда

${{\left. {\frac{{\partial {{{\tilde {Z}}}_{ + }}}}{{\partial p}}} \right|}_{{{{G}_{{10}}}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\partial {{{\tilde {Z}}}_{ + }}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{{\tilde {Z}}}_{ + }}}}{{\partial \tau }}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}( - \kappa {{v}_{0}}(\tau ) - v_{0}^{'}(\tau ))\tilde {r}exp( - \kappa \xi ) < 0$
в силу (2.18). В области ${{G}_{{20}}}$ значения ${{\tilde {Z}}_{ + }}$ симметричны значениям этой функции в области ${{G}_{{10}}}$. Поэтому, если n – внутренняя нормаль к ${{\Gamma }_{\delta }}$ в области ${{G}_{{20}}}$, то производная

${{\left. {\frac{{\partial \mathop {\widetilde Z}\nolimits_ + }}{{\partial n}}} \right|}_{{{{G}_{{20}}}}}} < 0.$

Отсюда следует, что производная функции ${{\tilde {Z}}_{ + }}$ по направлению нормали к линии ${{\Gamma }_{\delta }}$ при переходе из области ${{G}_{{10}}}$ в область ${{G}_{{20}}}$ (или наоборот) испытывает отрицательный скачок.

Теперь найдем производную функции ${{\tilde {Z}}_{ + }}(\xi ,\tau )$ по направлению нормали к линии ${{\Gamma }_{\delta }}$ при переходе из области ${{G}_{{11}}}$ в область ${{G}_{{22}}}$. В области ${{G}_{{11}}}$ значения ${{\tilde {Z}}_{ + }} = \tilde {r}h(\tau )exp( - \kappa (\xi + \rho ))$. Пусть ${\mathbf{p}}$ – внутренняя нормаль к ${{\Gamma }_{\delta }}$ в области ${{G}_{{11}}}$. Тогда

${{\left. {\frac{{\partial {{{\tilde {Z}}}_{ + }}}}{{\partial p}}} \right|}_{{{{G}_{{11}}}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\partial {{{\tilde {Z}}}_{ + }}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{{\tilde {Z}}}_{ + }}}}{{\partial \tau }}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}( - \kappa h(\tau ) - h{\kern 1pt} '(\tau ))\tilde {r}exp( - \kappa (\xi + \rho )) < 0,$
так как функции $h(\tau )$ и $h{\kern 1pt} '(\tau )$ положительны. Аналогично, производная
${{\left. {\frac{{\partial {{{\tilde {Z}}}_{ + }}}}{{\partial n}}} \right|}_{{{{G}_{{22}}}}}} < 0,$
где ${\mathbf{n}}$ – внутренняя нормаль к ${{\Gamma }_{\delta }}$ в области ${{G}_{{22}}}$. Отсюда следует, что производная функции ${{\tilde {Z}}_{ + }}$ по направлению нормали к линии ${{\Gamma }_{\delta }}$ при переходе из области ${{G}_{{11}}}$ в область ${{G}_{{22}}}$ (или наоборот) также испытывает отрицательный скачок. Лемма 2.2 доказана.

Отрицательность скачка производной положительной функции ${{\tilde {Z}}_{ + }}(\xi ,\tau )$ при пересечении линии ${{\Gamma }_{\delta }}$ в направлении нормали к ней позволяет применить результаты работы [4] и сгладить верхнее кусочно-гладкое решение задачи (2.2)–(2.4) на линии ${{\Gamma }_{\delta }}$. Сглаживанием функции ${{\tilde {Z}}_{ - }} = - {{\tilde {Z}}_{ + }}$ получается нижнее решение задачи (2.2)–(2.4). Так как для функций ${{\tilde {Z}}_{ \pm }}$ выполняются экспоненциальные оценки вида (1.9), то задача (2.2)–(2.4) имеет решение $Z$ с экспоненциальной оценкой вида (1.9). Теорема 2.3 доказана.

3. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА

Итак, ряд (1.3) оказывается полностью построенным.

Теорема 3.1. Если выполнены условия 1–5 и одно из условий 6, или 6(1), то для достаточно малых $\varepsilon $ задача (0.1)–(0.3) имеет решение $u(x,t,\varepsilon )$, для которого ряд

$\sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{k}}({{\bar {u}}_{k}}(x,t) + {{\Pi }_{k}}(x,\tau ) + {{Q}_{k}}(\xi ,t) + Q_{k}^{ * }({{\xi }_{ * }},t) + {{P}_{k}}(\xi ,\tau ) + P_{k}^{ * }({{\xi }_{ * }},\tau ))$
является асимптотическим представлением при $\varepsilon \to 0$ в замкнутом прямоугольнике $\overline \Omega $.

Доказательство теоремы основано на разрешимости задач для определения пограничных функций ${{\Pi }_{k}}$, ${{Q}_{k}}$, $Q_{k}^{ * }$, ${{P}_{k}}$ и $P_{k}^{ * }$ при $k \geqslant 1$ и полностью повторяет доказательство соответствующего утверждения статьи [1].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Доказано, что представленная начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения имеет решение. От функции $F$ не требовалась монотонность. Однако предполагалось, что нелинейная задача, определяющая главный член угловой части асимптотики, разрешима.

Отметим особенности рассмотренной задачи. Несмотря на то что приходится иметь дело только с линейными уравнениями, мы не можем использовать явное представление их решений из-за того, что нет явной формы главного члена угловой части асимптотики. Поэтому приходится накладывать дополнительные условия. Для доказательства разрешимости линейных уравнений используется метод верхних и нижних решений. При этом барьерные функции, как и в предыдущих работах, приходится угадывать с учетом необходимых оценок экспоненциального убывания.

Список литературы

  1. Денисов И.В. Угловой пограничный слой в краевых задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений с квадратичной нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57. № 2. С. 255–274.

  2. Денисов И.В. Угловой пограничный слой в краевых задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений с монотонной нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 4. С. 1–11.

  3. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения разностного уравнения с малыми шагами в прямоугольной области // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. № 3. С. 582–597.

  4. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations // Nonlinear Analysis: Collections of Papers in Honor of Erich Rothe. N. Y.: Academic Press, 1978. P. 1–29.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал