1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 2, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 2, стр. 185-202

Численное исследование начально-краевых задач для уравнения соболевcкого типа с дробной по времени производной

М. Х. Бештоков *

ИПМатем и автоматизации КБНЦ РАН
360004 Нальчик, ул. Шортанова, 89А, Россия

* E-mail: beshtokov-murat@yandex.ru

Поступила в редакцию 13.01.2018
После доработки 18.08.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Работа посвящена начально-краевым задачам для уравнения соболевского типа с дробной производной Герасимова-Капуто с эффектом памяти. Для решения рассматриваемых задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи. Библ. 30. Табл. 4.

Ключевые слова: краевые задачи, априорная оценка, уравнение соболевского типа, дифференциальное уравнение дробного порядка, дробная производная Герасимова-Капуто, уравнения с памятью.

ВВЕДЕНИЕ

Среди неклассических уравнений математической физики (см. [1]) обширную область составляют уравнения соболевского типа (см. [2])

$\frac{\partial }{{\partial t}}(A(u)) + B(u) = 0,$
где $A(u)$ и $B(u) - $ эллиптические операторы.

Уравнения такого вида известны еще как вырожденные уравнения (см. [3]), псевдопараболические уравнения (см. [4]), уравнения, неразрешенные относительно старшей производной (см. [5]) и даже уравнения не типа Коши-Ковалевской (см. [6], [7]).

Систематическое исследование уравнений такого рода началось с середины прошлого века в работах С.Л. Соболева. Термин уравнения соболевского типа ввел в обиход Р.Е. Шовальтер [8].

В [9] рассматривается линейное уравнение

$(\lambda - \Delta ){{u}_{t}} = \alpha \Delta u,$
моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой среде, является моделью процесса влагопереноса в почве (см. [10]–[12]) и процесса теплопроводности в среде с двумя температурами (см. [13], [14]).

В настоящее время стало очевидным, что при решении многих задач в физике, биологии часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы, примерами которых могут служить сильно пористые среды, каковым, например, является почвогрунт. При решении таких задач возникает необходимость изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной (см. [15]–[19]).

Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы (см. [20]–[24]).

В настоящей работе проводится численное исследование начально-краевых задач для уравнения соболевского типа с дробной производной Герасимова-Капуто, в котором неизвестная функция входит в дифференциальное выражение и, вместе с тем, фигурирует под знаком интеграла. Возникновение интегрального слагаемого в уравнении связано с необходимостью учитывать зависимость мгновенных значений характеристик описываемого объекта от их соответствующих предыдущих значений, т.е. влияние на текущее состояние системы ее предыстории. В современной литературе подобные технические и природные системы называют системами с последействием, наследственностью или динамической памятью.

Для решения рассматриваемых начально-краевых задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.

1. ПОСТАНОВКА ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

В замкнутом цилиндре ${{\bar {Q}}_{T}} = \left\{ {(x,t){\text{:}}\;0 \leqslant x \leqslant l,\;0 \leqslant t \leqslant T} \right\}$ рассмотрим первую краевую задачу для уравнения соболевского типа с дробной производной Герасимова-Капуто порядка $\alpha $

(1.1)
$\begin{gathered} \partial _{{0t}}^{\alpha }u = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {k(x,t)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) + \partial _{{0t}}^{\alpha }\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\eta (x)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) + r(x,t)\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \int\limits_0^t {p(x,t,\tau )} u(x,\tau )d\tau + f(x,t), \\ 0 < x < l,\quad 0 < t \leqslant T, \\ \end{gathered} $
(1.2)
$u(0,t) = u(l,t) = 0,\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$
(1.3)
$u(x,0) = {{u}_{0}}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant l,$
где
$\begin{gathered} 0 < {{c}_{0}} \leqslant k(x,t),\quad \eta (x) \leqslant {{c}_{1}},\quad \left| {r(x,t),{{r}_{x}}(x,t),{{k}_{x}}(x,t),p(x,t,\tau )} \right| \leqslant {{c}_{2}}, \\ \partial _{{0t}}^{\alpha }u = \tfrac{1}{{\Gamma (1 - \alpha )}}\int_0^t {\tfrac{{{{u}_{\tau }}(x,\tau )}}{{{{{(t - \tau )}}^{\alpha }}}}} d\tau , \\ \end{gathered} $
есть дробная производная в смысле Герасимова-Капуто порядка $\alpha $, $0 < \alpha < 1$, ci, $i = 0,1,2$ – положительные постоянные числа.

Следует отметить, что эта конструкция была введена итальянским механиком М. Капуто в 1967 г. [25]. Поэтому  за границей  ее называют дробной производной Капуто. Хотя правильнее называть  дробной производной Герасимова-Капуто,  так как в 1948 г.  советский механик А.Н. Герасимов уже рассматривал подобные выражения в своей работе [26].

Производная

$\partial _{{0t}}^{\alpha }u = D_{{0t}}^{\alpha }u - \tfrac{{u(0)}}{{\Gamma (1 - \alpha ){{t}^{\alpha }}}},\quad D_{{0t}}^{\alpha }u = \tfrac{1}{{\Gamma (1 - \alpha )}}\tfrac{d}{{dt}}\int_0^t {\tfrac{{ud\tau }}{{{{{(t - \tau )}}^{\alpha }}}}} $

есть дробная  производная  в смысле Римана-Лиувилля порядка $\alpha .$

В дальнейшем будем предполагать, что задача (1.1)–(1.3) имеет единственное решение, обладающее нужными по ходу изложения производными. Будем также считать, что коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям гладкости, обеспечивающей нужный порядок аппроксимации разностной схемы.

По ходу изложения будем также использовать положительные постоянные числа Mi, $i = 1,2,\; \ldots $, зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи.

2. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Для получения априорной оценки решения задачи (1.1)–(1.3) в дифференциальной форме введем скалярное произведение и норму в следующем виде:

$(a,b) = \int\limits_0^l {ab} dx,\quad (a,a) = \left\| a \right\|_{0}^{2},\quad {\text{г д е }}\quad a,b - {\text{з а д а н н ы е }}\;{\text{н а }}\;[0,l]\;{\text{ф у н к ц и и }}.$
Умножим уравнение (1.1) скалярно на u
(2.1)
$(\partial _{{0t}}^{\alpha }u,u) = \left( {{{{(k{{u}_{x}})}}_{x}},u} \right) + \left( {\partial _{{0t}}^{\alpha }{{{(\eta {{u}_{x}})}}_{x}},u} \right) + (r{{u}_{x}},u) + \left( {\int\limits_0^t {pu} d\tau ,u)} \right) + \left( {f,u} \right).$
Преобразуем интегралы, входящие в тождество $(2.1)$, пользуясь неравенством Коши (см. [27, с. 100])
(2.2)
$\left( {\partial _{{0t}}^{\alpha }u,u} \right) = \frac{1}{{\Gamma (1 - \alpha )}}\int\limits_0^l u \int\limits_0^t {{{u}_{\tau }}} (x,\tau ){{(t - \tau )}^{{ - \alpha }}}d\tau .$
Справедлива (см. [23])

Лемма 1. Для любой абсолютно непрерывной на $[0,T]$ функции $\text{v}(t)$ справедливо неравенство

$\text{v}(t)\partial _{{0t}}^{\alpha }\text{v}(t) \geqslant \frac{1}{2}\partial _{{0t}}^{\alpha }{{\text{v}}^{2}}(t),\quad 0 < \alpha < 1.$
Пользуясь леммой 1, из (2.2) получим
(2.3)
$\left( {\partial _{{0t}}^{\alpha }u,u} \right) \geqslant \frac{1}{2}\left( {1,\partial _{{0t}}^{\alpha }{{u}^{2}}} \right) = \frac{1}{2}\partial _{{0t}}^{\alpha }\left\| u \right\|_{0}^{2},$
(2.4)
$\left( {{{{(k{{u}_{x}})}}_{x}},u} \right) = \int\limits_0^l u {{(k{{u}_{x}})}_{x}}dx = \left. {uk{{u}_{x}}} \right|_{0}^{l} - \int\limits_0^l {ku_{x}^{2}} dx,$
(2.5)
$\begin{gathered} \left( {\partial _{{0t}}^{\alpha }{{{(\eta {{u}_{x}})}}_{x}},u} \right) = \int\limits_0^l {u\partial _{{0t}}^{\alpha }} {{(\eta {{u}_{x}})}_{x}}dx = u\partial _{{0t}}^{\alpha }\left. {(\eta {{u}_{x}})} \right|_{0}^{l} - \int\limits_0^l {\eta (x)} {{u}_{x}}\partial _{{0t}}^{\alpha }{{u}_{x}}dx \leqslant \\ \leqslant \;u\partial _{{0t}}^{\alpha }\left. {(\eta {{u}_{x}})} \right|_{0}^{l} - \frac{1}{2}\int\limits_0^l \eta (x)\partial _{{0t}}^{\alpha }{{({{u}_{x}})}^{2}}dx, \\ \end{gathered} $
(2.6)
$(r{{u}_{x}},u) = \int\limits_0^l {r{{u}_{x}}} udx \leqslant \left| r \right|\left( {\varepsilon \left\| u \right\|_{0}^{2} + \frac{1}{{4\varepsilon }}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}} \right) \leqslant \frac{{{{c}_{2}}}}{2}\left( {\left\| u \right\|_{0}^{2} + \left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}} \right).$
(2.7)
$\begin{gathered} \left( {\int\limits_0^t {pu} d\tau ,u} \right) = \int\limits_0^l {\left( {\frac{1}{2}{{u}^{2}} + \frac{1}{2}{{{\left( {\int\limits_0^t {pu} d\tau } \right)}}^{2}}} \right)} {\kern 1pt} dx \leqslant \frac{1}{2}\int\limits_0^l {{{u}^{2}}} dx + \frac{1}{2}\int\limits_0^l {\left( {\int\limits_0^t {{{p}^{2}}} d\tau \int\limits_0^t {{{u}^{2}}} d\tau } \right){\kern 1pt} } dx \leqslant \\ \leqslant \;\frac{1}{2}\left\| u \right\|_{0}^{2} + \frac{{{{c}_{2}}T}}{2}\int\limits_0^l {\int\limits_0^t {{{u}^{2}}} } d\tau dx \leqslant \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{0}^{2} + \frac{{{{c}_{2}}T}}{2}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{0}^{2}} d\tau , \\ \end{gathered} $
(2.8)
$\left( {f,u} \right) = \int\limits_0^l {fu} dx \leqslant \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{0}^{2} + \frac{1}{2}\left\| f \right\|_{0}^{2}.$
Учитывая преобразования (2.2)–(2.8), из (2.1) находим
(2.9)
$\begin{gathered} \frac{1}{2}\partial _{{0t}}^{\alpha }\left\| u \right\|_{0}^{2} + \frac{1}{2}\int\limits_0^l \eta (x)\partial _{{0t}}^{\alpha }{{({{u}_{x}})}^{2}}dx + {{c}_{0}}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant \\ \leqslant \;\left. {u\Pi (x,t)} \right|_{0}^{l} + {{M}_{1}}\left( {\left\| u \right\|_{0}^{2} + \parallel {{u}_{x}}\parallel _{0}^{2}} \right) + {{M}_{2}}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{0}^{2}d\tau } + \frac{1}{2}\left\| f \right\|_{0}^{2}. \\ \end{gathered} $
Перепишем (2.9) с учетом (1.2), тогда получим
(2.10)
$\partial _{{0t}}^{\alpha }\left\| u \right\|_{0}^{2} + \int\limits_0^l \eta (x)\partial _{{0t}}^{\alpha }{{({{u}_{x}})}^{2}}dx + \left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant {{M}_{3}}\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + {{M}_{4}}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{0}^{2}} d\tau + {{M}_{6}}\left\| f \right\|_{0}^{2},$
где $\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} = \left\| u \right\|_{0}^{2} + \left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}$.

Учитывая (1.2), имеем оценку

(2.11)
$\left\| u \right\|_{0}^{2} \leqslant \frac{{{{l}^{2}}}}{2}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}.$
В силу (2.11) из (2.10) находим
(2.12)
$\partial _{{0t}}^{\alpha }\left\| u \right\|_{0}^{2} + \int\limits_0^l {\eta (x)} \partial _{{0t}}^{\alpha }{{({{u}_{x}})}^{2}}dx + \left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant {{M}_{3}}\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + {{M}_{5}}\int\limits_0^t {\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}} d\tau + {{M}_{6}}\left\| f \right\|_{0}^{2}.$
Оценим $\int_0^t {\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}} d\tau $, для чего перепишем (2.12) в виде
$\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant {{M}_{5}}\int\limits_0^t {\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}} d\tau + F,$
где
(2.13)
$F = {{M}_{4}}\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + {{M}_{6}}\left\| f \right\|_{0}^{2}.$
Применяя лемму Гронуола [28] к (2.13), получаем
(2.14)
$\int\limits_0^t {\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}} \leqslant {{M}_{6}}\int\limits_0^t {Fd\tau } .$
Учитывая (2.14), из (2.12) получаем
(2.15)
$\partial _{{0t}}^{\alpha }\left\| u \right\|_{0}^{2} + \int\limits_0^l {\eta (x)} \partial _{{0t}}^{\alpha }{{({{u}_{x}})}^{2}}dx + \left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant {{M}_{7}}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} d\tau + {{M}_{8}}\int\limits_0^t {\left\| f \right\|_{0}^{2}} d\tau .$
Применяя к обеим частям (2.15), оператор дробного интегрирования $D_{{0t}}^{{ - \alpha }}$, находим
(2.16)
$\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant {{M}_{7}}D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} d\tau + {{M}_{9}}\left( {D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\int\limits_0^t {\left\| f \right\|_{0}^{2}} d\tau + \left\| {{{u}_{0}}(x)} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} \right).$
Преобразуем первое слагаемое в правой части (2.16) следующим образом
$D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} d\tau = \frac{1}{{\Gamma (\alpha )}}\int\limits_0^t {\frac{{d\tau }}{{{{{(t - \tau )}}^{{1 - \alpha }}}}}} \int\limits_0^\tau {\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} ds = \frac{1}{{\Gamma (\alpha )}}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} \int\limits_s^t {\frac{{d\tau }}{{{{{(t - \tau )}}^{{1 - \alpha }}}}}} = $
$ = \frac{1}{{\Gamma (\alpha )}}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} \left( { - \left. {\frac{{{{{(t - \tau )}}^{\alpha }}}}{\alpha }} \right|_{s}^{t}} \right)ds = \frac{1}{{\alpha \Gamma (\alpha )}}\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{\alpha }}} \left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}ds = $
$ = \;\frac{1}{{\Gamma (\alpha + 1)}}\int\limits_0^t {{{{(t - \tau )}}^{\alpha }}} \left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}d\tau \leqslant \frac{1}{{\alpha \Gamma (\alpha )}}\int\limits_0^t {\frac{{(t - \tau )\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}d\tau }}{{{{{(t - \tau )}}^{{1 - \alpha }}}}}} \leqslant \frac{T}{\alpha }D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}.$
В результате получаем
(2.17)
$D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} d\tau \leqslant \frac{T}{\alpha }D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}.$
С помощью (2.17) из (2.16) находим
(2.18)
$\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant {{M}_{{10}}}D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + {{M}_{{12}}}\left( {D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left\| {{{u}_{0}}(x)} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} \right).$
Справедлива (см. [23]) следующая

Лемма 2. Пусть неотрицательная абсолютно непрерывная функция $y(t)$ удовлетворяет для почти всех t из [0, T] неравенству

$\partial _{{0t}}^{\alpha }y(t) \leqslant {{c}_{1}}y(t) + {{c}_{2}}(t),\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 1,$
где ${{c}_{1}} > 0$, ${{c}_{2}}(t)$ – суммируемая на $[0,T]$ неотрицательная функция. Тогда
$y(t) \leqslant y(0){{E}_{\alpha }}({{c}_{1}}{{t}^{\alpha }}) + {\Gamma }(\alpha ){{E}_{{\alpha ,\alpha }}}({{c}_{1}}{{t}^{\alpha }})D_{{0t}}^{{ - \alpha }}{{c}_{2}}(t),$

где

${{E}_{\alpha }}(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \tfrac{{{{z}^{n}}}}{{\Gamma (\alpha n + 1)}},\quad {{E}_{{\alpha ,\mu }}}(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \tfrac{{{{z}^{n}}}}{{\Gamma (\alpha n + \mu )}}$

суть функции Миттаг-Леффлера.

С помощью леммы 2 оценим первое слагаемое в правой части (2.18)

(2.19)
$D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} \leqslant {{M}_{{13}}}\left( {D_{{0t}}^{{ - 2\alpha }}\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left\| {{{u}_{0}}(x)} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} \right).$
Так как для всей неотрицательной интегрируемой на $[0,T]$ функции $g(t)$ справедливо неравенство
(2.20)
$D_{{0t}}^{{ - 2\alpha }}g(t) \leqslant \frac{{{{t}^{\alpha }}\Gamma (\alpha )}}{{\Gamma (2\alpha )}}D_{{0t}}^{{ - \alpha }}g(t),$
то из (2.18) с учетом (2.19), (2.20) находим искомую априорную оценку
(2.21)
$\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant M\left( {D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left\| {{{u}_{0}}(x)} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} \right),$
где M – положительная постоянная, зависящая только от входных данных задачи (1.1)–(1.3).

Теорема 1. Если $k(x,t) \in {{C}^{{1,0}}}({{Q}_{T}})$, $\eta (x) \in {{C}^{1}}[0,l]$, $r(x,t),q(x,t),f(x,t),\rho (x,t,\tau ) \in C({{Q}_{T}})$, $u(x,t) \in {{C}^{{(2,0)}}}({{Q}_{T}}) \cap {{C}^{{(1,0)}}}({{\bar {Q}}_{T}})$, $\partial _{{0t}}^{\alpha }u(x,t) \in C({{Q}_{T}})$ и выполнены условия (1.4), тогда для решения задачи (1.1)–(1.3) справедлива априорная оценка (2.21), из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части в смысле нормы

$\left\| {{{x}^{{\tfrac{m}{2}}}}u} \right\|_{1}^{2} = \left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2},$
где

$D_{{0t}}^{{ - \alpha }} = \frac{1}{{\Gamma (\alpha )}}\int\limits_0^t {\frac{{ud\tau }}{{{{{(t - \tau )}}^{{1 - \alpha }}}}}} .$

3. УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

Для решения задачи (1.1)–(1.3) применим метод конечных разностей. Построим монотонную схему второго порядка точности, содержащие односторонние производные, учитывающие знак $r(x,t)$. Для этого рассмотрим вместо уравнения (1.1) следующее уравнение с возмущенными коэффициентами

(3.1)
$\partial _{{0t}}^{\alpha }u = \varkappa {{(k{{u}_{x}})}_{x}} + \partial _{{0t}}^{\alpha }{{(\eta {{u}_{x}})}_{x}} + r{{u}_{x}} + \int\limits_0^t {p(x,t,\tau )} u(x,\tau )d\tau + f(x,t),$
где $\varkappa = \tfrac{1}{{1 + R}}$, $R = \tfrac{{0.5h\left| r \right|}}{k}$ – разностное число Рейнольдса.

На равномерной сетке ${{\bar {\omega }}_{{h\tau }}}$ дифференциальной задаче (1.1)–(1.3) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации $O({{h}^{2}} + {{\tau }^{2}}):$

(3.2)
$\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }y = \varkappa _{i}^{j}{{\left( {a_{i}^{j}y_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}} \right)}_{{x,i}}} + \Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{\left( {{{\gamma }_{i}}{{y}_{{\bar {x}}}}} \right)}_{{x,i}}} + b_{i}^{{ - j}}a_{i}^{j}{{y}_{{\bar {x},i}}} + b_{i}^{{ + j}}a_{{i + 1}}^{j}y_{{x,i}}^{{(\sigma )}} + \sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{i,s}}^{j}y_{i}^{s}\bar {\tau } + \varphi _{i}^{j},\quad (x,t) \in {{\omega }_{{h,\tau }}},$
(3.3)
$y_{0}^{{(\sigma )}} = y_{N}^{{(\sigma )}} = 0,$
(3.4)
$y(x,0) = {{u}_{0}}(x),$
где

$\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }y = \tfrac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\nolimits_{s = 0}^j {c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}y_{t}^{s}} $

есть дискретный аналог дробной производной Герасимова-Капуто порядка $\alpha $, $0 < \alpha < 1$ (см. [24]),

$a_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}} = {{\sigma }^{{1 - \alpha }}},\quad a_{l}^{{(\alpha ,\sigma )}} = {{\left( {l + \sigma } \right)}^{{1 - \alpha }}} - {{\left( {l - 1 + \sigma } \right)}^{{1 - \alpha }}},\quad l \geqslant 1,$
$b_{l}^{{(\alpha ,\sigma )}} = \frac{1}{{2 - \alpha }}\left[ {{{{\left( {l + \sigma } \right)}}^{{2 - \alpha }}} - {{{\left( {l - 1 + \sigma } \right)}}^{{2 - \alpha }}}} \right] - \frac{1}{2}\left[ {{{{\left( {l + \sigma } \right)}}^{{1 - \alpha }}} + {{{\left( {l - 1 + \sigma } \right)}}^{{1 - \alpha }}}} \right],\quad l \geqslant 1,$
${\text{п р и }}\quad j = 0,\quad c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}} = a_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}};$
${\text{п р и }}\;j > 0,\quad c_{s}^{{(\alpha ,\sigma )}} = \left\{ \begin{gathered} a_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}} + b_{1}^{{(\alpha ,\sigma )}},\quad s = 0, \hfill \\ a_{s}^{{(\alpha ,\sigma )}} + b_{{s + 1}}^{{(\alpha ,\sigma )}} - b_{s}^{{(\alpha ,\sigma )}},\quad 1 \leqslant s \leqslant j - 1, \hfill \\ a_{j}^{{(\alpha ,\sigma )}} - b_{j}^{{(\alpha ,\sigma )}},\quad s = j, \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad \bar {\tau } = \left\{ \begin{gathered} \frac{\tau }{2},\quad j = 0,m, \hfill \\ \tau ,\quad j \ne 0,m, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
${{a}_{i}}j = k\left( {{{x}_{{i - 0.5}}},{{t}^{{j + \sigma }}}} \right),\quad {{\gamma }_{i}} = \eta ({{x}_{{i - 0.5}}}),\quad b_{i}^{j} = \frac{{r\left( {x,{{t}^{{j + \sigma }}}} \right)}}{{k\left( {{{x}_{i}},{{t}^{{j + \sigma }}}} \right)}},\quad \varphi _{i}^{j} = f\left( {{{x}_{i}},{{t}^{{j + \sigma }}}} \right),\quad \sigma = 1 - \frac{\alpha }{2},$
$c_{s}^{{(\alpha ,\sigma )}} > \frac{{1 - \alpha }}{2} \geqslant {{\left( {s + \sigma } \right)}^{{ - \alpha }}} > 0,\quad {{y}^{{(\sigma )}}} = \sigma {{y}^{{j + 1}}} + \left( {1 - \sigma } \right){{y}^{j}},\quad p_{{i,s}}^{j} = p\left( {{{x}_{i}},{{t}^{{j + \sigma }}},{{\tau }_{{s + \sigma }}}} \right),\quad \rho _{{i,s}}^{j} = p_{{i,s}}^{{j + \sigma }}.$
Априорную оценку найдем методом энергетических неравенств, для этого введем скалярные производные и норму:
$\left( {u,\text{v}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{N - 1} {{{u}_{\text{i}}}{{\text{v}}_{i}}h} ,\quad \left( {u,\text{v}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^N {{{u}_{i}}{{\text{v}}_{i}}h,\quad \left( {u,u} \right)} = \left( {1,{{u}^{2}}} \right) = \left\| u \right\|_{0}^{2}.$
Умножим теперь (3.2) скалярно на ${{y}^{{(\sigma )}}}$:

(3.5)
$\begin{gathered} \left( {\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }y,{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) = \left( {\varkappa {{{\left( {ay_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}} \right)}}_{x}},{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) + \left( {\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{{\left( {{{\gamma }_{i}}{{y}_{{\bar {x}}}}} \right)}}_{x}},{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) + \left( {{{b}^{ - }}ay_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}},{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) + \\ + \;\left( {{{b}^{ + }}{{a}^{{( + 1)}}}y_{x}^{{(\sigma )}},{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) + \left( {\sum\limits_{s = 0}^{j + \frac{1}{2}} {\rho _{{i,s}}^{j}y_{i}^{s}\bar {\tau },{{y}^{{(\sigma )}}}} } \right) + \left( {\varphi ,{{y}^{{(\sigma )}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Справедлива (см. [24]) следующая

Лемма 3. Для любой функции $y(t)$, заданной на сетке ${{\bar {\omega }}_{\tau }}$, справедливо неравенство

${{y}^{{(\sigma )}}}\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }y \geqslant \frac{1}{2}\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }\left( {{{y}^{2}}} \right).$
Оценим суммы, входящие в (3.5), с учетом (3.3) и леммы 3:
(3.6)
$\left( {\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }y,{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) \geqslant \frac{1}{2}\left( {1,\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{y}^{2}}} \right) \geqslant \frac{1}{2}\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }\left\| y \right\|_{0}^{2}.$
(3.7)
$\begin{gathered} \left( {\varkappa {{{(ay_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}})}}_{x}},{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) = \left. {\varkappa ay_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}{{y}^{{(\sigma )}}}} \right|_{0}^{N} - \left( {ay_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}},{{{(\varkappa {{y}^{{(\sigma )}}})}}_{{\bar {x}}}}} \right] = - \left( {a{{\varkappa }_{{\bar {x}}}},y_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}{{y}^{{(\sigma )}}}} \right] - \left( {a{{\varkappa }^{{( - 1)}}},{{{(y_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}})}}^{2}}} \right] \leqslant \\ \leqslant \; - {\kern 1pt} \frac{1}{{\left( {1 + h{{M}_{1}}} \right)}}\left( {a\varkappa ,{{{(y_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}})}}^{2}}} \right] + {{M}_{1}}\left( {\left\| {{{y}^{{(\sigma )}}}} \right\|_{0}^{2} + \left. {\left\| {\left. {y_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}} \right]} \right.} \right|_{0}^{2}} \right); \\ \end{gathered} $
(3.8)
$\left( {\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{{(\gamma {{y}_{{\bar {x}}}})}}_{x}},{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) = \left. {{{y}^{{(\sigma )}}}\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }(\gamma {{y}_{{\bar {x}}}})} \right]_{0}^{N} - \left( {\gamma ,y_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }({{y}_{{\bar {x}}}})} \right] \leqslant - \frac{{{{c}_{0}}}}{2}\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }\left. {\left\| {\left. {{{y}_{{\bar {x}}}}} \right]} \right.} \right|_{0}^{2};$
(3.9)
$\left( {{{b}^{ - }}ay_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}},{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) + \left( {{{b}^{ + }}{{a}^{{( + 1)}}}y_{x}^{{(\sigma )}},{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) \leqslant {{M}_{2}}\left( {\left\| {{{y}^{{(\sigma )}}}} \right\|_{0}^{2} + \left. {\left\| {\left. {y_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}} \right]} \right.} \right|_{0}^{2}} \right);$
(3.10)
$\begin{gathered} \left( {\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{i,s}}^{j}y_{i}^{s}\bar {\tau },{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) \leqslant \left( {\frac{1}{2},{{{({{y}^{{(\sigma )}}})}}^{2}}} \right) + \left( {\frac{1}{2},{{{\left( {\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{i,s}}^{j}y_{i}^{s}\bar {\tau }} \right)}}^{2}}} \right) \leqslant \frac{1}{2}\left\| {{{y}^{{(\sigma )}}}} \right\|_{0}^{2} + \left( {\frac{1}{2},\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{i,s}}^{j}\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,y_{s}^{2}\bar {\tau }} \right) \leqslant \\ \leqslant \;\frac{1}{2}\left\| {{{y}^{{(\sigma )}}}} \right\|_{0}^{2} + {{M}_{3}}\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \left( {1,y_{s}^{2}} \right)\bar {\tau } \leqslant \frac{1}{2}\left\| {{{y}^{{(\sigma )}}}} \right\|_{0}^{2} + {{M}_{3}}\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \left\| {{{y}^{s}}} \right\|_{0}^{2}\bar {\tau }; \\ \end{gathered} $
(3.11)
$\left( {\varphi ,{{y}^{{(\sigma )}}}} \right) \leqslant \frac{1}{2}\left\| {{{y}^{{(\sigma )}}}} \right\|_{0}^{2} + \frac{1}{2}\left\| \varphi \right\|_{0}^{2}.$
Принимая во внимание преобразования (3.6)–(3.11), из (3.5) находим
(3.12)
$\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }\left\| y \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + \left. {\left\| {\left. {y_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}} \right]} \right.} \right|_{0}^{2} \leqslant {{M}_{4}}\left\| {{{y}^{{(\sigma )}}}} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + {{M}_{5}}\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \left\| {{{y}^{s}}} \right\|_{0}^{2}\bar {\tau } + {{M}_{6}}\left\| \varphi \right\|_{0}^{2},$
где $\left\| y \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} = \left\| y \right\|_{0}^{2} + \left. {\left\| {\left. {y_{{\bar {x}}}^{{}}} \right]} \right.} \right|_{0}^{2}.$

Учитывая, что

$\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \left\| {{{y}^{s}}} \right\|_{0}^{2}\bar {\tau } = \sum\limits_{s = 0}^j \left\| {{{y}^{s}}} \right\|_{0}^{2}\bar {\tau } + 0.5\tau \left\| {{{y}^{j}}} \right\|_{0}^{2},$
перепишем (3.12) в другой форме:
(3.13)
$\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }\left\| y \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} \leqslant M_{7}^{\sigma }\left\| {{{y}^{{j + 1}}}} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + M_{8}^{\sigma }\left\| {{{y}^{j}}} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + {{M}_{9}}{{F}^{j}},$
где
${{F}^{j}} = \sum\limits_{s = 0}^j \left\| {{{y}^{s}}} \right\|_{0}^{2}\bar {\tau } + \left\| \varphi \right\|_{0}^{2}.$
Справедлива (см. [29]) следующая

Лемма 4. Пусть $\left\{ {{{p}_{j}}} \right\}$ – последовательность, удовлетворяющая следующим условиям:

${{p}_{0}} = 1,\quad {{\bar {\sigma }}^{{1 - \alpha }}}{{p}_{j}} = \sum\limits_{s = 1}^j \left( {c_{{s - 1}}^{{\alpha ,\sigma }} - c_{s}^{{\alpha ,\sigma }}} \right){{p}_{{j - s}}},\quad j \geqslant 1,$
тогда
(3.14)
$0 < {{p}_{j}} < 1,\quad \sum\limits_{s = k}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{{s - k}}^{{\alpha ,\sigma }} = {{\bar {\sigma }}^{{1 - \alpha }}},\quad 1 \leqslant k \leqslant j,$
где ${{\bar {\sigma }}^{{1 - \alpha }}} = \tfrac{1}{{2 - \alpha }}\left( {{{{\left( {1 + \sigma } \right)}}^{{2 - \alpha }}} - {{\sigma }^{{2 - \alpha }}}} \right) - \tfrac{1}{2}\left( {{{{\left( {1 + \sigma } \right)}}^{{1 - \alpha }}} - {{\sigma }^{{1 - \alpha }}}} \right).$

Доказательство. Следуя [29], докажем равенство (3.14). Тогда, учитывая, что ${{c}_{s}} < {{c}_{{s - 1}}}$ для $s \geqslant 1$, получаем

(3.15)
$\sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{s}^{{\alpha ,\sigma }} < \sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{{s - 1}}^{{\alpha ,\sigma }},$
где
(3.16)
$\sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{{s - 1}}^{{\alpha ,\sigma }} = \sum\limits_{s = 0}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{s}^{{\alpha ,\sigma }}.$
Из (3.15), (3.16) находим
(3.17)
$\sum\limits_{s = j}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{{s - j}}^{{\alpha ,\sigma }} = {{p}_{0}}{{c}_{0}} = {{\bar {\sigma }}^{{1 - \alpha }}},$
где

${{\bar {\sigma }}^{{1 - \alpha }}} = \left\{ \begin{gathered} {{\sigma }^{{1 - \alpha }}},\quad j = 0, \hfill \\ \tfrac{1}{{2 - \alpha }}\left( {{{{\left( {1 + \sigma } \right)}}^{{2 - \alpha }}} - {{\sigma }^{{2 - \alpha }}}} \right) - \tfrac{1}{2}\left( {{{{\left( {1 + \sigma } \right)}}^{{1 - \alpha }}} - {{\sigma }^{{1 - \alpha }}}} \right),\quad j \geqslant 1, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(3.18)
$\sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{s}^{{\alpha ,\sigma }} < \sum\limits_{s = 0}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{s}^{{\alpha ,\sigma }} = {{p}_{0}}{{c}_{0}} = {{\bar {\sigma }}^{{1 - \alpha }}}.$
Учитывая (3.17), (3.18), получаем
(3.19)
$\begin{gathered} \sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{{s - 1}}^{{\alpha ,\sigma }} = {{{\bar {\sigma }}}^{{1 - \alpha }}},\quad \sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{s}^{{\alpha ,\sigma }} < {{{\bar {\sigma }}}^{{1 - \alpha }}},\quad \sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}\left( {c_{{s - 1}}^{{\alpha ,\sigma }} - c_{s}^{{\alpha ,\sigma }}} \right) < {{{\bar {\sigma }}}^{{1 - \alpha }}}, \\ \sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{s}^{{\alpha ,\sigma }} < \sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{s}^{{\alpha ,\sigma }} + {{p}_{j}}{{c}_{0}},\quad {{p}_{j}}{{c}_{0}} > 0,\quad {{c}_{0}} = {{{\bar {\sigma }}}^{{1 - \alpha }}}. \\ \end{gathered} $
Из (3.16) находим
${{c}_{0}}{{p}_{j}} = \sum\limits_{s = 1}^j \left( {c_{{s - 1}}^{{\alpha ,\sigma }} - c_{s}^{{\alpha ,\sigma }}} \right){{p}_{{j - s}}}.$
Из (3.18), (3.19) получаем
$0 < {{p}_{j}}{{c}_{0}} < {{\bar {\sigma }}^{{1 - \alpha }}},\quad 0 < {{p}_{j}} < 1.$
Пусть $s = l + k - 1$, тогда с учетом (3.17) получим
$\sum\limits_{s = k}^j \,{{p}_{{j - s}}}c_{{s - k}}^{{\alpha ,\sigma }} = \sum\limits_{l = 1}^{j - k + 1} {{p}_{{j - k + 1 - l}}}c_{{l - 1}}^{{\alpha ,\sigma }} = {{\bar {\sigma }}^{{1 - \alpha }}},\quad 1 \leqslant k \leqslant j.$
Лемма доказана.

Справедливы следующие

Лемма 5. Пусть выполнено (3.14), тогда для $m = 1,2,\; \ldots $. получим

(3.20)
$\frac{{\Gamma (2 - \alpha )}}{{\Gamma (1 + (m - 1)\alpha )}}\sum\limits_{s = 1}^j \,{{p}_{{j - s}}}{{s}^{{(m - 1)\alpha }}} \leqslant \frac{{{{{\bar {\sigma }}}^{{1 - \alpha }}}{{j}^{{m\alpha }}}}}{{\Gamma (1 + m\alpha )}}.$
Лемма 5 доказывается аналогично лемме 3.2 (см. [29]).

Лемма 6. Пусть $\vec {e} = {{(1,1, \ldots ,\;1)}^{{\text{Т }}}} \in {{R}^{j}}$ и

$J = 2{{\bar {\sigma }}^{{\alpha - 1}}}\Gamma (2 - \alpha )\lambda {{\tau }^{\alpha }}\mathop {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{{p}_{1}}}& \ldots &{{{p}_{{j - 2}}}}&{{{p}_{{j - 1}}}} \\ 0&0& \ldots &{{{p}_{{j - 3}}}}&{{{p}_{{j - 2}}}} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0&0& \ldots &0&{{{p}_{1}}} \\ 0&0& \ldots &0&0 \end{array}} \right]}\nolimits_{j \times j} $

и выполнено (3.20), тогда получим

${{J}^{i}} = 0,\quad i \geqslant j,$
${{J}^{m}}\vec {e} \leqslant \frac{1}{{\Gamma (1 + m\alpha )}}{{\left( {{{{\left( {2\lambda t_{j}^{\alpha }} \right)}}^{m}},{{{\left( {2\lambda t_{{j - 1}}^{\alpha }} \right)}}^{m}},\; \ldots ,\;{{{\left( {2\lambda t_{1}^{\alpha }} \right)}}^{m}}} \right)}^{{\text{T}}}},\quad m = 0,1,2,\; \ldots ,$
$\sum\limits_{s = 0}^i \,{{J}^{s}}\vec {e} = \sum\limits_{s = 0}^{j - 1} {{J}^{s}}\vec {e} \leqslant {{\left( {{{E}_{\alpha }}\left( {2\lambda t_{j}^{\alpha }} \right),{{E}_{\alpha }}\left( {2\lambda t_{{j - 1}}^{\alpha }} \right),\; \ldots ,\;{{E}_{\alpha }}\left( {2\lambda t_{1}^{\alpha }} \right)} \right)}^{{\text{T}}}},\quad i \geqslant j.$
Лемма 6 доказывается аналогично лемме 3.3 из [29].

Лемма 7. Предположим, что неотрицательные последовательности ${{y}^{j}}$, ${{\varphi }^{j}}$, $j = 0,1,2,\; \ldots $ удовлетворяют неравенству

$\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{y}^{j}} \leqslant {{\lambda }_{1}}{{y}^{{j + 1}}} + {{\lambda }_{2}}{{y}^{j}} + {{\varphi }^{j}},\quad j \geqslant 1,$
где ${{\lambda }_{1}} \geqslant 0$, ${{\lambda }_{2}} \geqslant 0$ – константы, тогда существует такое ${{\tau }_{0}}$, что если $\tau \leqslant {{\tau }_{0}},$ то
${{y}^{{j + 1}}} \leqslant 2\left( {{{y}^{0}} + \frac{{t_{j}^{\alpha }}}{{\Gamma (1 + \alpha )}}\mathop {max}\limits_{0 \leqslant j' \leqslant j} {{\varphi }^{{j'}}}} \right){{E}_{\alpha }}\left( {2\lambda t_{j}^{\alpha }} \right),\quad 1 \leqslant j \leqslant {{j}_{0}},$
где ${{E}_{\alpha }}(z) = \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {\tfrac{{{{z}^{k}}}}{{\Gamma (1 + k\alpha )}}} $ – функция Миттаг-Леффлера, $\lambda = {{\lambda }_{1}} + \tfrac{{{{\lambda }_{2}}}}{{2 + {{2}^{{1 - \alpha }}}}}.$

Лемма 7 доказывается на основании лемм 4–6 аналогично лемме 3.1 из [29].

На основании леммы 7 из (3.13) получаем

(3.21)
$\left\| {{{y}^{{j + 1}}}} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} \leqslant {{M}_{{10}}}\left( {\left\| {{{y}^{0}}} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + \frac{{t_{j}^{\alpha }}}{{\Gamma (1 + \alpha )}}\mathop {max}\limits_{0 \leqslant j' \leqslant j} {{F}^{{j'}}}} \right),$
где ${{M}_{{10}}}$ – положительная постоянная, не зависящая от $h$ и $\tau $.

Из (3.21) получим

(3.22)
$\left\| {{{y}^{{j + 1}}}} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} \leqslant {{M}_{{11}}}\left( {\left\| {{{y}^{0}}} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + \mathop {max}\limits_{0 \leqslant j' \leqslant j} \left( {\sum\limits_{s = 0}^{j'} \left\| {{{y}^{s}}} \right\|_{0}^{2}\bar {\tau } + \left\| {{{\varphi }^{{j'}}}} \right\|_{0}^{2}} \right)} \right).$
Введя обозначение ${{g}^{j}} = \mathop {max}\limits_{0 \leqslant j' \leqslant j} \left\| {{{y}^{{j'}}}} \right\|_{0}^{2}$, с учетом $\left\| y \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} = \left\| y \right\|_{0}^{2} + \left\| {\left. {\left. {{{y}_{{\bar {x}}}}} \right]} \right|} \right._{0}^{2}$ из (3.22) получим
(3.23)
${{g}^{{j + 1}}} \leqslant {{M}_{{12}}}\sum\limits_{s = 0}^j \,{{g}^{s}}\bar {\tau } + {{M}_{{13}}}F_{1}^{j},$
где
$F_{1}^{j} = \left\| {{{y}^{0}}} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + \frac{{t_{j}^{\alpha }}}{{\Gamma (1 + \alpha )}}\mathop {max}\limits_{0 \leqslant j' \leqslant j} \left\| {{{\varphi }^{{j'}}}} \right\|_{0}^{2}.$
На основании леммы 4 (см.[30, с. 171]) из (3.23) получаем
(3.24)
$\left\| {{{y}^{{j + 1}}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant M\left( {\left\| {{{y}^{0}}} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + \frac{{t_{j}^{\alpha }}}{{\Gamma (1 + \alpha )}}\mathop {max}\limits_{0 \leqslant j' \leqslant j} \left\| {{{\varphi }^{{j'}}}} \right\|_{0}^{2}} \right),$
где $M$ – положительная постоянная, не зависящая от $h$ и $\tau $.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1.4), тогда существует такое ${{\tau }_{0}}\left( {{{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},\alpha ,\sigma } \right)$, что если $\tau \leqslant {{\tau }_{0}}\left( {{{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},\alpha ,\sigma } \right),$ то для решения разностной задачи (3.2)–(3.4) справедлива априорная оценка (3.24), из чего следуют единственность и устойчивость решения разностной схемы (3.2)–(3.4) по начальным данным и правой части.

Пусть $u(x,t)$ – решение задачи (1.1)–1.3) $y({{x}_{i}},{{t}_{j}}) = y_{i}^{j}$ – решение разностной задачи (3.2)–(3.4). Для оценки точности разностной схемы (3.2)–(3.4) рассмотрим разность $z_{i}^{j} = y_{i}^{j} - u_{i}^{j}$, где $u_{i}^{j} = u({{x}_{i}},{{t}_{j}})$. Тогда, подставляя $y = z + u$ в соотношения (3.2)–(3.4), получаем задачу для функции $z$

(3.25)
$\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }z = \varkappa _{i}^{j}{{\left( {a_{i}^{j}z_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}} \right)}_{{x,i}}} + \Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{({{\gamma }_{i}}{{z}_{{\bar {x}}}})}_{{x,i}}} + b_{i}^{{ - j}}a_{i}^{j}{{z}_{{\bar {x},i}}} + b_{i}^{{ + j}}a_{{i + 1}}^{j}z_{{x,i}}^{{(\sigma )}} + \sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{i,s}}^{j}z_{i}^{s}\bar {\tau } + \Psi _{i}^{j},(x,t) \in {{\omega }_{{h,\tau }}},$
(3.26)
$z_{0}^{{(\sigma )}} = z_{N}^{{(\sigma )}} = 0,$
(3.27)
$z(x,0) = 0,$
где $\Psi = O({{h}^{2}} + {{\tau }^{2}})$ – погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1.1)–(1.4) разностной схемой (3.2)–(3.4) в классе решения $u = u(x,t)$ задачи (1.1)–(1.4).

Применяя априорную оценку (3.24) к решению задачи (3.25)–(3.27), получаем неравенство

(3.28)
$\left\| {{{z}^{{j + 1}}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant M\mathop {max}\limits_{0 \leqslant j' \leqslant j} \left\| {{{\Psi }^{{j{\kern 1pt} '}}}} \right\|_{0}^{2},$
где $M$ – положительная постоянная, не зависящая от $h$ и $\tau $.

Из априорной оценки (3.28) следует сходимость решения разностной задачи (3.2)–(3.4) к решению дифференциальной задачи (1.1)–(1.4) в смысле нормы $\left\| {{{z}^{{j + 1}}}} \right\|_{0}^{2}$ на каждом слое так, что существует такое ${{\tau }_{0}}\left( {{{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},\alpha ,\sigma } \right)$, что при $\tau \leqslant {{\tau }_{0}}\left( {{{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},\alpha ,\sigma } \right)$ справедлива оценка

${{\left\| {{{y}^{{j + 1}}} - {{u}^{{j + 1}}}} \right\|}_{0}} \leqslant M\left( {{{h}^{2}} + {{\tau }^{2}}} \right).$

4. ПОСТАНОВКА ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Рассмотрим теперь третью краевую задачу для уравнения (1.1)

(4.1)
$\Pi (0,t) = {{\beta }_{1}}(t)u(0,t) - {{\mu }_{1}}(t),\quad - {\kern 1pt} \Pi (l,t) = {{\beta }_{2}}(t)u(l,t) - {{\mu }_{2}}(t),$
где
(4.2)
$0 < {{c}_{0}} \leqslant k,\quad \eta \leqslant {{c}_{1}},\quad \left| {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},r,q,{{r}_{x}},{{k}_{x}},\rho } \right| \leqslant {{c}_{2}},\quad \Pi (x,t) = k(x,t){{u}_{x}} + \partial _{{0t}}^{\alpha }\left( {\eta {{u}_{x}}} \right).$
Умножим уравнение (1.1) скалярно на $u$:
(4.3)
$\left( {\partial _{{0t}}^{\alpha }u,u} \right) = \left( {{{{\left( {k{{u}_{x}}} \right)}}_{x}},u} \right) + \left( {\partial _{{0t}}^{\alpha }{{{\left( {\eta {{u}_{x}}} \right)}}_{x}},u} \right) + \left( {r{{u}_{x}},u} \right) + \left( {\int\limits_0^t {pud\tau } ,u} \right) + \left( {f,u} \right).$
Повторяя рассуждения (2.1)–(2.9), из (4.3) получаем
(4.4)
$\frac{1}{2}\partial _{{ot}}^{\alpha }\left\| u \right\|_{0}^{2} + \frac{1}{2}\int\limits_ - ^l {\eta (x)\partial _{{0t}}^{\alpha }{{{({{u}_{x}})}}^{2}}dx} + {{c}_{0}}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant u\Pi \left. {(x,t)} \right|_{0}^{l} + {{M}_{1}}\left( {\left\| u \right\|_{0}^{2} + \left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}} \right) + {{M}_{2}}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{0}^{2}} d\tau + \frac{1}{2}\left\| f \right\|_{0}^{2}.$
Преобразуем первое слагаемое в правой части (4.3), тогда получим
(4.5)
$\begin{gathered} \left. {u\Pi (x,t)} \right|_{0}^{l} = \Pi (l,t)u(l,t) - \Pi (0,t)u(0,t) = u(l,t)\left( {{{\mu }_{2}}(t) - {{\beta }_{2}}(t)u(l,t)} \right) + \\ + \;u(0,t)\left( {{{\mu }_{1}}(t) - {{\beta }_{1}}(t)u(0,t)} \right) = - {{\beta }_{2}}(t){{u}^{2}}(l,t) + {{\mu }_{2}}(t)(l,t) - {{\beta }_{1}}(t){{u}^{2}}(0,t) + {{\mu }_{1}}(t)u(0,t) \leqslant \\ \leqslant \;{{M}_{3}}\left( {\left\| u \right\|_{0}^{2} + \left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}} \right) + {{M}_{4}}\left( {\mu _{1}^{2}(t) + \mu _{2}^{2}(t)} \right). \\ \end{gathered} $
Учитывая (4.5), из (4.4) получаем
(4.6)
$\partial _{{0t}}^{\alpha }\left\| u \right\|_{0}^{2} + \int\limits_0^l {\eta (x)} \partial _{{0t}}^{\alpha }{{({{u}_{x}})}^{2}}dx + \left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant {{M}_{5}}\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + {{M}_{2}}\int\limits_0^t {\left\| u \right\|_{0}^{2}d\tau + {{M}_{6}}\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \mu _{1}^{2}(t) + \mu _{2}^{2}(t)} \right)} ,$
где $\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} = \left\| u \right\|_{0}^{2} + \left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2}.$

Применяя к обеим частям неравенства (4.6) оператор дробного интегрирования $D_{{0t}}^{{ - \alpha }}$ и повторяя рассуждения (2.16)–(2.21), из (4.6) получаем искомую априорную оценку

(4.7)
$\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2} \leqslant M\left( {D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \mu _{1}^{2}(t) + \mu _{2}^{2}(t)} \right) + \geqslant \left\| {{{u}_{0}}(x)} \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2}} \right),$
где $M$ – положительная постоянная, зависящая от входных данных задачи (1.1), (4.1), (1.3), $D_{{0t}}^{{ - \alpha }}u = \frac{1}{{\Gamma (\alpha )}}\int_0^t {\frac{{ud\tau }}{{{{{(t - \tau )}}^{{1 - \alpha }}}}}} $ – дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка $\alpha $, $0 < \alpha < 1$.

Теорема 3. Если $k(x,t) \in {{C}^{{1,0}}}({{\bar {Q}}_{T}})$, $\eta (x) \in {{C}^{1}}[0,l]$, $r(x,t),\;q(x,t),\;f(x,t),\;\rho (x,t,\tau ) \in C({{\bar {Q}}_{T}})$, $u(x,t) \in {{C}^{{(2,0)}}}({{Q}_{T}}) \cap {{C}^{{(1,0)}}}({{\bar {Q}}_{T}}),$ $\partial _{{0t}}^{\alpha }u(x,t) \in C({{\bar {Q}}_{T}})$ и выполнены условия (1.4), (4.2), тогда для решения задачи (1.1), (4.1), (1.3) справедлива априорная оценка (4.7), из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, в смысле нормы

$\left\| u \right\|_{1}^{2} = \left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{2} + D_{{0t}}^{{ - \alpha }}\left\| {{{u}_{x}}} \right\|_{0}^{2},$
где $D_{{0t}}^{{ - \alpha }} = \tfrac{1}{{\Gamma (\alpha )}}\int_0^t \tfrac{{ud\tau }}{{{{{(t - \tau )}}^{{1 - \alpha }}}}}.$

5. УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

На равномерной сетке ${{\bar {\omega }}_{{h\tau }}}$ дифференциальной задаче (1.1), (4.1), (1.3) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации $O({{h}^{2}} + {{\tau }^{2}})$

(5.1)
$\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }y = \varkappa _{i}^{j}{{\left( {a_{i}^{j}y_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}} \right)}_{{x,i}}} + \Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{\left( {{{\gamma }_{i}}{{y}_{{\bar {x}}}}} \right)}_{{x,i}}} + b_{i}^{{ - j}}a_{i}^{j}y_{{\bar {x},i}}^{{(\sigma )}} + b_{i}^{{ + j}}a_{{i + 1}}^{j}y_{{x,i}}^{{(\sigma )}} + \sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{i,s}}^{j}y_{i}^{s}\bar {\tau } + \varphi _{i}^{j},\quad (x,t) \in {{\omega }_{{h,\tau }}},$
(5.2)
${{\varkappa }_{0}}{{a}_{1}}y_{{x,0}}^{{(\sigma )}} + \Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{\kern 1pt} \left( {{{\gamma }_{1}}{{y}_{{\bar {x},0}}}} \right) = {{\beta }_{1}}{\kern 1pt} \left( {{{t}_{{j + \sigma }}}} \right)y_{0}^{{(\sigma )}} + 0.5h\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{y}_{0}} - 0.5h\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{0,s}}^{j}y_{0}^{s}\bar {\tau } - \mathop {\tilde {\mu }}\nolimits_1 ,\quad t \in {{\bar {\omega }}_{\tau }},\quad x = 0,$
(5.3)
$\begin{gathered} - \left( {{{\varkappa }_{N}}{{a}_{N}}y_{{\bar {x},N}}^{{(\sigma )}} + \Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }({{\gamma }_{N}}{{y}_{{\bar {x},N}}})} \right) = {{\beta }_{2}}({{t}_{{j + \sigma }}})y_{N}^{{(\sigma )}} + \hfill \\ + \;0.5h\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{y}_{N}} - 0.5h\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{N,s}}^{j}y_{N}^{s}\bar {\tau } - \mathop {\tilde {\mu }}\nolimits_2 ,\quad t \in {{{\bar {\omega }}}_{\tau }},\quad x = l, \hfill \\ \end{gathered} $
(5.4)
$y(x,0) = {{u}_{0}}(x),\quad x \in {{\bar {\omega }}_{h}},$
где
$\mathop {\tilde {\mu }}\nolimits_1 ({{t}_{{j + \sigma }}}) = {{\mu }_{1}}({{t}_{{j + \sigma }}}) + 0.5h{{\varphi }_{0}},\mathop {\quad \tilde {\mu }}\nolimits_2 ({{t}_{{j + \sigma }}}) = {{\mu }_{2}}({{t}_{{j + \sigma }}}) + 0.5h{{\varphi }_{N}}.$
Введем скалярное произведение и норму:
$\left[ {u,\text{v}} \right] = \sum\limits_{i = 0}^N {{{u}_{i}}{{\text{v}}_{i}}\hbar } ,\quad \hbar = \left\{ \begin{gathered} 0.5h,\quad i = 0,N, \hfill \\ h,\quad i \ne 0,N, \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad \left( {u,\text{v}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^N {{{u}_{i}}{{\text{v}}_{i}}h,\quad \left[ {u,u} \right]} = \left[ {1,{{u}^{2}}} \right] = \left| {\left[ u \right]} \right|_{0}^{2}.$
Перепишем (5.1)–(5.4) в операторной форме
(5.5)
$\begin{gathered} \Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }y = \bar {\Lambda }\left( {{{t}_{{j + \sigma }}}} \right){{y}^{{(\sigma )}}} + \bar {\delta }(t)y + \bar {\Phi }, \hfill \\ y(x,0) = {{u}_{0}}(x),\quad x \in {{{\bar {\omega }}}_{h}}, \hfill \\ \end{gathered} $
где
$\varkappa {\kern 1pt} {\text{*}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\varkappa = \frac{1}{{1 + \frac{{0.5h\left| r \right|}}{k}}},} \\ {{{\varkappa }_{0}} = \frac{1}{{1 + \frac{{0.5h\left| {{{r}_{0}}} \right|}}{{{{k}_{{0.5}}}}}}},\quad\quad {{r}_{0}} \leqslant 0,\quad t{\kern 1pt} {\text{*}} = {{t}^{{j + 1/2}}},} \\ {{{\varkappa }_{N}} = \frac{1}{{1 + \frac{{0.5h\left| {{{r}_{N}}} \right|}}{{{{k}_{{N - 0.5}}}}}}},\quad\quad {{r}_{N}} \geqslant 0.} \end{array}} \right.$
Умножим (5.5) теперь скалярно на ${{y}^{{(\sigma )}}}$:
(5.6)
$\left[ {\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }y,{{y}^{{(\sigma )}}}} \right] = \left[ {\bar {\Lambda }\left( {{{t}_{{j + \sigma }}}} \right){{y}^{{(\sigma )}}},{{y}^{{(\sigma )}}}} \right] + \left[ {\bar {\delta }y,{{y}^{{(\sigma )}}}} \right] + \left[ {\Phi ,{{y}^{{(\sigma )}}}} \right].$
После несложных преобразований из (5.6) находим
(5.7)
${\Delta }_{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }\left| {\left[ y \right]} \right|_{{W_{2}^{1}\left( {0,l} \right)}}^{2} + {{M}_{4}}\left\| {[y_{{\bar {x}}}^{{\left( \sigma \right)}}]} \right\|_{0}^{2} \leqslant {{M}_{8}}\left| {[{{y}^{\sigma }}]} \right|_{{W_{2}^{1}\left( {0,l} \right)}}^{2} + {{M}_{9}}\mathop \sum \limits_{s = 0}^{j + \frac{1}{2}} \left| {[{{y}^{s}}]} \right|_{0}^{2}\bar {\tau } + {{M}_{7}}(\left| {[\varphi ]} \right|)_{0}^{2} + \mu _{1}^{2} + \mu _{2}^{2}),$
где $\left| {\left[ y \right]} \right|_{{W_{2}^{1}(0,l)}}^{{}} = \left| {\left[ y \right]} \right|_{0}^{2} + \left\| {\left. {\left. {{{y}_{x}}} \right]} \right|} \right._{0}^{2}.$

Повторяя рассуждения (3.12)–(3.24), из (5.7) получаем искомую априорную оценку

(5.8)
$\left| {\left[ {{{y}^{{j + 1}}}} \right]} \right|_{0}^{2} \leqslant M\left( {\left| {\left[ {{{y}^{0}}} \right]} \right|_{{W_{2}^{2}(0,l)}}^{2} + \frac{{t_{j}^{\alpha }}}{{\Gamma (1 + \alpha )}}\mathop {max}\limits_{0 \leqslant j' \leqslant j} \left( {\left| {\left[ {{{\varphi }^{{j'}}}} \right]} \right|_{0}^{2} + \mu _{1}^{{j'2}} + \mu _{2}^{{j'2}}} \right)} \right),$
где M – положительная постоянная, не зависящая от $h$ и $\tau $.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (1.4), (4.2), тогда существует такое ${{\tau }_{0}}({{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},\alpha ,\sigma )$, что если $\tau \leqslant {{\tau }_{0}}({{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},\alpha ,\sigma )$, то для решения разностной задачи (5.1)–(5.4) справедлива априорная оценка (5.8), из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части.

Пусть $u(x,t)$ – решение задачи (1.1), (4.1), (1.3), $y({{x}_{i}},{{t}_{j}}) = y_{i}^{j}$ – решение разностной задачи (5.1)–(5.4). Для оценки точности разностной схемы (5.1)–(5.4) рассмотрим разность $z_{i}^{j} = y_{i}^{j} - u_{i}^{j}$, где $u_{i}^{j} = u({{x}_{i}},{{t}_{j}})$. Тогда, подставляя $y = z + u$ в соотношения (5.1)–(5.4), получаем задачу для функции $z$:

(5.9)
$\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }z = \varkappa _{i}^{j}{{\left( {a_{i}^{j}z_{{\bar {x}}}^{{(\sigma )}}} \right)}_{{x,i}}} + \Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{\left( {{{\gamma }_{i}}{{z}_{{\bar {x}}}}} \right)}_{{x,i}}} + b_{i}^{{ - j}}a_{i}^{j}{{z}_{{\bar {x},i}}} + b_{i}^{{ + j}}a_{{i + 1}}^{j}z_{{x,i}}^{{(\sigma )}} + \sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{i,s}}^{j}z_{i}^{s}\bar {\tau } + \Psi _{i}^{j},\quad (x,t) \in {{\omega }_{{h,\tau }}},$
(5.10)
${{\varkappa }_{0}}{{a}_{1}}z_{{x,0}}^{{(\sigma )}} + \Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }\left( {{{\gamma }_{1}}{{z}_{{\bar {x},0}}}} \right) = {{\beta }_{1}}z_{0}^{{(\sigma )}} + 0.5h\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{z}_{0}} - 0.5h\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{0,s}}^{j}z_{0}^{s}\bar {\tau } - {{\tilde {\nu }}_{1}},\quad t \in {{\bar {\omega }}_{\tau }},\quad x = 0,$
(5.11)
$ - \left( {{{\varkappa }_{N}}{{a}_{N}}z_{{\bar {x},N}}^{{(\sigma )}} + \Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }({{\gamma }_{N}}{{z}_{{\bar {x},N}}})} \right) = {{\beta }_{2}}z_{N}^{{(\sigma )}} + 0.5h\Delta _{{0{{t}_{{j + \sigma }}}}}^{\alpha }{{z}_{N}} - 0.5h\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{N,s}}^{j}z_{N}^{s}\bar {\tau } - {{\tilde {\nu }}_{2}},\quad t \in {{\bar {\omega }}_{\tau }},\quad x = l,$
(5.12)
$z(x,0) = 0,$
где $\Psi = O\left( {{{h}^{2}} + {{\tau }^{2}}} \right)$, ${{\nu }_{1}} = O\left( {{{h}^{2}} + {{\tau }^{2}}} \right)$, ${{\nu }_{2}} = O\left( {{{h}^{2}} + {{\tau }^{2}}} \right)$ – погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1.1), (4.1), (1.4) разностной схемой (5.1)–(5.4) в классе решения $u = u(x,t)$ задачи (1.1), (4.1), (1.4).

Применяя априорную оценку (5.8) к решению задачи (5.9)–(5.12), получаем неравенство

(5.13)
$\left| {\left[ {{{z}^{{j + 1}}}} \right]} \right|_{0}^{2} \leqslant M\mathop {max}\limits_{0 \leqslant j' \leqslant j} \left( {\left| {\left[ {{{\Psi }^{{j'}}}} \right]} \right|_{0}^{2} + \nu _{1}^{{j'2}} + \nu _{2}^{{j'2}}} \right),$
где $M$ – положительная постоянная, не зависящая от $h$ и $\tau $.

Из априорной оценки (5.13) следует сходимость решения разностной задачи (5.1)–(5.4) к решению дифференциальной задачи (1.1), (4.1), (1.4) в смысле нормы $\left| {\left[ {{{z}^{{j + 1}}}} \right]} \right|_{0}^{2}$ на каждом слое так, что существует такое ${{\tau }_{0}}\left( {{{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},\alpha ,\sigma } \right)$, что при $\tau \leqslant {{\tau }_{0}}\left( {{{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},\alpha ,\sigma } \right)$ справедлива оценка

${{\left| {\left[ {{{y}^{{j + 1}}} - {{u}^{{j + 1}}}} \right]{\kern 1pt} } \right|}_{0}} \leqslant M\left( {{{h}^{2}} + {{\tau }^{2}}} \right).$

6. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

Для численного решения разностных схем, полученных при аппроксимации рассматриваемых в данной работе краевых задач для нелокального по времени уравнения соболевского типа с дробной производной Герасимова-Капуто порядка $\alpha $, приведем разностную схему (5.1)–(5.4) к расчетному виду. Тогда уравнение (5.1) приводится к следующему виду:

(6.1)
${{A}_{i}}y_{{i - 1}}^{{j + 1}} - {{C}_{i}}y_{i}^{{j + 1}} + {{B}_{i}}y_{{i + 1}}^{{j + 1}} = - F_{i}^{j},\quad i = \overline {1,N - 1} ,$
где
${{A}_{i}} = \tau \sigma \varkappa _{i}^{j}a_{i}^{j} + {{\gamma }_{i}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}} - \tau h\sigma b_{i}^{{ - j}}a_{i}^{j},$
${{B}_{i}} = \tau \sigma \varkappa _{i}^{j}a_{{i + 1}}^{j} + {{\gamma }_{{i + 1}}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}} + \tau h\sigma b_{i}^{{ + j}}a_{{i + 1}}^{j},$
${{C}_{i}} = {{A}_{i}} + {{B}_{i}} + {{h}^{2}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}},$
$F_{i}^{j} = A{{A}_{i}}y_{{i - 1}}^{j} - C{{C}_{i}}y_{i}^{j} + B{{B}_{i}}y_{{i + 1}}^{j} + {{h}^{2}}\tau \varphi _{i}^{j} - {{h}^{2}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {y_{i}^{{s + 1}} - y_{i}^{s}} \right) + $
$ + \;\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} \,c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {{{{\left( {{{\gamma }_{{i + 1}}}{{y}_{{i + 1}}}} \right)}}^{{s + 1}}} - {{{\left( {{{\gamma }_{{i + 1}}}{{y}_{{i + 1}}}} \right)}}^{s}}} \right) + \tau {{h}^{2}}\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{i,s}}^{j}y_{i}^{s}\bar {\tau } - $
$ - \;\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {{{{\left( {\left( {{{\gamma }_{i}} + {{\gamma }_{{i + 1}}}} \right){{y}_{i}}} \right)}}^{{s + 1}}} - {{{\left( {\left( {{{\gamma }_{i}} + {{\gamma }_{{i + 1}}}} \right){{y}_{i}}} \right)}}^{s}}} \right) + $
$ + \;\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {{{{\left( {{{\gamma }_{i}}{{y}_{{i - 1}}}} \right)}}^{{s + 1}}} - {{{\left( {{{\gamma }_{i}}{{y}_{{i - 1}}}} \right)}}^{s}}} \right),$
$A{{A}_{i}} = \tau (1 - \sigma )\varkappa _{i}^{j}a_{i}^{j} - {{\gamma }_{i}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}} - \tau h(1 - \sigma )b_{i}^{{ - j}}a_{i}^{j},$
$B{{B}_{i}} = \tau (1 - \sigma )\varkappa _{i}^{j}a_{{i + 1}}^{j} - {{\gamma }_{{i + 1}}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}} + \tau h(1 - \sigma )b_{i}^{{ + j}}a_{{i + 1}}^{j},$
$C{{C}_{i}} = A{{A}_{i}} + B{{B}_{i}} - {{h}^{2}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}.$
Краевое условие (5.2) принимает вид
(6.2)
${{y}_{0}} = {{\varkappa }_{1}}{{y}_{1}} + {{\tilde {\mu }}_{1}},$
где
${{\varkappa }_{1}} = \frac{{\tau \sigma {{\varkappa }_{0}}{{a}_{1}} + {{\gamma }_{1}}\tfrac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}}}{{\tau \sigma {{\varkappa }_{0}}a_{1}^{j} + {{\gamma }_{1}}\tfrac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}} + \sigma h\tau \beta _{1}^{j} + 0.5{{h}^{2}}\tfrac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}}},$
${{\tilde {\mu }}_{1}} = \left[ {{{\mu }_{1}}h\tau - \left( {1 - \sigma } \right)h\tau {{\beta }_{1}}y_{0}^{j} + \tau \left( {1 - \sigma } \right){{\varkappa }_{0}}{{a}_{1}}\left( {y_{1}^{j} - y_{0}^{j}} \right) - {{\gamma }_{1}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\left( {y_{1}^{j} - y_{0}^{j}} \right)} \right. + $
$ + \;0.5{{h}^{2}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}{{y}_{0}} + 0.5\tau {{h}^{2}}\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{0,s}}^{j}y_{0}^{s}\bar {\tau } - $
$ - \;0.5{{h}^{2}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} \,c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {y_{0}^{{s + 1}} - y_{0}^{s}} \right) + \frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} \,c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {{{{\left( {{{\gamma }_{1}}{{y}_{1}}} \right)}}^{{s + 1}}} - {{{\left( {{{\gamma }_{1}}{{y}_{1}}} \right)}}^{s}}} \right) - $
$ - \;{{\left. {\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} \,c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {{{{({{\gamma }_{1}}{{y}_{0}})}}^{{s + 1}}} - {{{({{\gamma }_{1}}{{y}_{0}})}}^{s}}} \right)} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left. {\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} \,c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {{{{({{\gamma }_{1}}{{y}_{0}})}}^{{s + 1}}} - {{{({{\gamma }_{1}}{{y}_{0}})}}^{s}}} \right)} \right]} {\left[ {\tau \sigma {{\varkappa }_{0}}a_{1}^{j} + {{\gamma }_{1}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}} + \sigma h\tau \beta _{1}^{j} + 0.5{{h}^{2}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}} \right]}}} \right. \kern-0em} {\left[ {\tau \sigma {{\varkappa }_{0}}a_{1}^{j} + {{\gamma }_{1}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}} + \sigma h\tau \beta _{1}^{j} + 0.5{{h}^{2}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}} \right]}}.$
Краевое условие (5.3) принимает вид
(6.3)
${{y}_{N}} = {{\varkappa }_{2}}{{y}_{{N - 1}}} + \mathop {\tilde {\mu }}\nolimits_2 ,$
где
${{\varkappa }_{2}} = \frac{{\tau \sigma {{\varkappa }_{N}}{{a}_{N}} + {{\gamma }_{N}}\tfrac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}}}{{\tau \sigma {{\varkappa }_{N}}a_{N}^{j} + {{\gamma }_{N}}\tfrac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}} + \sigma h\tau \beta _{2}^{j} + 0.5{{h}^{2}}\tfrac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}}},$
$\mathop {\tilde {\mu }}\nolimits_2 = \left[ {{{\mu }_{2}}h\tau - (1 - \sigma )h\tau {{\beta }_{2}}y_{N}^{j} - \tau (1 - \sigma ){{\varkappa }_{N}}{{a}_{N}}\left( {y_{N}^{j} - y_{{N - 1}}^{j}} \right)} \right. + $
$ + \;{{\gamma }_{N}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\left( {y_{N}^{j} - y_{{N - 1}}^{j}} \right) + 0.5{{h}^{2}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}{{y}_{N}} - 0.5{{h}^{2}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} \,c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {y_{N}^{{s + 1}} - y_{N}^{s}} \right) - $
$ - \;\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} \,c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {{{{\left( {{{\gamma }_{N}}{{y}_{N}}} \right)}}^{{s + 1}}} - {{{\left( {{{\gamma }_{N}}{{y}_{N}}} \right)}}^{s}}} \right) + 0.5\tau {{h}^{2}}\sum\limits_{s = 0}^{j + \tfrac{1}{2}} \,\rho _{{N,s}}^{j}y_{N}^{s}\bar {\tau } + $
$ + \;\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}{{\left. {\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} \,c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {{{{\left( {{{\gamma }_{N}}{{y}_{{N - 1}}}} \right)}}^{{s + 1}}} - {{{\left( {{{\gamma }_{N}}{{y}_{{N - 1}}}} \right)}}^{s}}} \right)} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left. {\sum\limits_{s = 0}^{j - 1} \,c_{{j - s}}^{{(\alpha ,\sigma )}}\left( {{{{\left( {{{\gamma }_{N}}{{y}_{{N - 1}}}} \right)}}^{{s + 1}}} - {{{\left( {{{\gamma }_{N}}{{y}_{{N - 1}}}} \right)}}^{s}}} \right)} \right]} {\left[ {\tau \sigma {{\varkappa }_{N}}a_{N}^{j} + {{\gamma }_{N}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}} \right.}}} \right. \kern-0em} {\left[ {\tau \sigma {{\varkappa }_{N}}a_{N}^{j} + {{\gamma }_{N}}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}} \right.}} + \sigma h\tau \beta _{2}^{j} + \left. {\frac{{{{h}^{2}}}}{2}\frac{{{{\tau }^{{1 - \alpha }}}c_{0}^{{(\alpha ,\sigma )}}}}{{\Gamma (2 - \alpha )}}} \right].$
Таким образом, с учетом (6.1)–(6.3), разностная схема (5.1)–(5.4) приводится к трехдиагональной системе линейных алгебраических уравнений, решение которой легко находится известным методом прогонки.

7. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Рассмотрим следующий тестовый пример:

$\partial _{{0t}}^{\alpha }u = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {k(x,t)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) + \partial _{{0t}}^{\alpha }\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\eta (x)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) + r(x,t)\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \int\limits_0^t \rho (x,t,\tau )u(x,\tau )d\tau + f(x,t),$
$0 < x < l,\quad 0 < t \leqslant T,$
$\Pi (0,t) = {{\beta }_{1}}(t)u(0,t) - {{\mu }_{1}}(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$
$ - \Pi (l,t) = {{\beta }_{2}}(t)u(l,t) - {{\mu }_{2}}(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$
$u(x,0) = {{u}_{0}}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant l,$
где
$k(x,t) = {{e}^{{x + t}}},\quad \eta (x) = {{e}^{x}},\quad r(x,t) = (x - 0.5)cos(x + t),\quad \rho (x,t,\tau ) = x{{t}^{2}}\tau ,$
$f(x,t) = {{e}^{x}}\frac{{6{{t}^{{3 - \alpha }}}}}{{\Gamma (4 - \alpha )}} - 2{{t}^{3}}{{e}^{{2x + t}}} - 2{{e}^{{2x}}}\left( {\frac{{6{{t}^{{3 - \alpha }}}}}{{\Gamma (4 - \alpha )}} + \frac{{24{{t}^{{4 - \alpha }}}}}{{\Gamma (5 - \alpha )}}} \right) - {{t}^{3}}{{e}^{x}}(x - 0.5)cos(x + t) - \frac{{x{{t}^{7}}{{e}^{x}}}}{5},$
${{\beta }_{1}} = 0.5{{e}^{t}},\quad {{\beta }_{2}} = {{e}^{{l + t}}},\quad {{\mu }_{1}} = - \frac{{6{{t}^{{3 - \alpha }}}}}{{\Gamma (4 - \alpha )}} - \frac{{24{{t}^{{4 - \alpha }}}}}{{\Gamma (5 - \alpha )}} - 0.5{{t}^{3}}{{e}^{t}},$
${{\mu }_{2}} = 2{{t}^{3}}{{e}^{{2l + t}}} + {{e}^{{2l}}}\frac{{6{{t}^{{3 - \alpha }}}}}{{\Gamma (4 - \alpha )}} + {{e}^{{2l}}}\frac{{24{{t}^{{4 - \alpha }}}}}{{\Gamma (5 - \alpha )}},\quad {{u}_{0}}(x) = 0,\quad l = 1,\quad T = 1.$
Точное решение задачи $u(x,t) = {{t}^{3}}{{e}^{x}}$.

Ниже в табл. 1–4 при различных значениях $\eta (x)$, $\rho (x,t,\tau )$ и $\alpha $ = 0.01; 0.5; 0.99 и уменьшении размера сетки приведены максимальное значение погрешности ($z = y - u$) и порядок сходимости (ПС) в нормах ${{\left| {\left[ {\, \cdot \,} \right]} \right|}_{0}}$ и ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$, где ${{\left\| y \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}} = \mathop {max}\limits_{({{x}_{i}},{{t}_{j}}) \in \mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } } \left| y \right|$, когда $h = \tau $. Погрешность уменьшается в соответствии с порядком аппроксимации $O({{h}^{2}} + {{\tau }^{2}})$. Порядок сходимости определяется по следующей формуле: ${\text{П С }} = lo{{g}_{{\tfrac{{{{h}_{1}}}}{{{{h}_{2}}}}}}}\tfrac{{{{{\left| {\left[ {{{z}_{1}}} \right]} \right|}}_{0}}}}{{{{{\left| {\left[ {{{z}_{2}}} \right]} \right|}}_{0}}}} = \tfrac{{ln\left( {\tfrac{{{{{\left| {\left[ {{{z}_{1}}} \right]} \right|}}_{0}}}}{{{{{\left| {\left[ {{{z}_{2}}} \right]} \right|}}_{0}}}}} \right)}}{{ln\left( {\tfrac{{{{{\left| {\left[ {{{N}_{2}}} \right]} \right|}}_{0}}}}{{{{{\left| {\left[ {{{N}_{1}}} \right]} \right|}}_{0}}}}} \right)}},$ где ${{z}_{i}}$ – это погрешность, соответствующая ${{h}_{i}}$.

Таблица 1.

Изменение погрешности и порядка сходимости в нормах ${{\left| {[\, \cdot \,]} \right|}_{0}}$ и ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$ при уменьшении размера сетки при различных значениях $\alpha = 0.01$; 0.5; 0.99 на $t = 1,$ когда $h = \tau $

$\alpha $ $h$ $\mathop {max}\limits_{0 < j < m} {{\left| {[{{z}^{j}}]} \right|}_{0}}$ ПС в ${{\left| {\left[ {\, \cdot \,} \right]} \right|}_{0}}$ ${{\left\| z \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$ ПС в ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$
0.01 $\tfrac{1}{{10}}$ 0.012362254   0.015681134  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.003063869 2.0125 0.003949375 1.9893
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.000761971 2.0075 0.000990709 1.9951
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.000189951 2.0041 0.000248080 1.9977
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.000047417 2.0021 0.000062069 1.9989
0.5 $\tfrac{1}{{10}}$ 0.023900850   0.031151058  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.005985695 1.9975 0.007805011 1.9968
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.001497030 1.9994 0.001950162 2.0008
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.000374352 1.9996 0.000486983 2.0017
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.000093612 1.9996 0.000121611 2.0016
0.99 $\tfrac{1}{{10}}$ 0.031285213   0.040875033  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.007813700 2.0014 0.010221328 1.9996
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.001951210 2.0016 0.002553472 2.0011
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.000487460 2.0010 0.000637939 2.0010
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.000121822 2.0005 0.000159403 2.0007
Таблица 2.  

Изменение погрешности и порядка сходимости в нормах ${{\left| {\left[ {\, \cdot \,} \right]} \right|}_{0}}$ и ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$ при уменьшении размера сетки при $\eta (x) = {{10}^{3}}{{e}^{x}}$ и различных значениях $\alpha = 0.01$; 0.5; 0.99 на $t = 1,$ когда $h = \tau $

$\alpha $ $h$ $\mathop {max}\limits_{0 < j < m} {{\left| {[{{z}^{j}}]} \right|}_{0}}$ ПС в ${{\left| {\left[ {\, \cdot \,} \right]} \right|}_{0}}$ ${{\left\| z \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$ ПС в ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$
0.01 $\tfrac{1}{{10}}$ 0.427328366   0.430722467  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.106867087 1.9995 0.107809103 1.9983
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.026714433 2.0001 0.026962741 1.9994
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.006677884 2.0002 0.006741626 1.9998
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.001669353 2.0001 0.001685501 1.9999
0.5 $\tfrac{1}{{10}}$ 0.768601726   0.773674947  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.192638696 1.9963 0.193912228 1.9963
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.048191891 1.9990 0.048505543 1.9992
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.012050488 1.9997 0.012127281 1.9999
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.003012892 1.9999 0.003031699 2.0001
0.99 $\tfrac{1}{{10}}$ 1.300442434   1.308694578  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.325831553 1.9968 0.327914720 1.9967
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.081500866 1.9992 0.082023260 1.9992
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.020377705 1.9998 0.020508306 1.9998
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.005094569 2.0000 0.005127171 2.0000
Таблица 3.  

Изменение погрешности и порядка сходимости в нормах ${{\left| {\left[ {\, \cdot \,} \right]} \right|}_{0}}$ и ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$ при уменьшении размера сетки при $\rho (x,t,\tau ) = {{10}^{3}}x{{t}^{2}}\tau $ и различных значениях $\alpha = 0.01$; 0.5; 0.99 на $t = 1,$ когда $h = \tau $

$\alpha $ $h$ $\mathop {max}\limits_{0 < j < m} {{\left| {[{{z}^{j}}]} \right|}_{0}}$ ПС в ${{\left| {\left[ {\, \cdot \,} \right]} \right|}_{0}}$ ${{\left\| z \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$ ПС в ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$
0.01 $\tfrac{1}{{10}}$ 0.235521279   0.244097429  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.069206433 1.7669 0.071718425 1.7670
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.018471997 1.9056 0.019144886 1.9054
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.004737528 1.9631 0.004910266 1.9631
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.001196792 1.9850 0.001240440 1.9849
0.5 $\tfrac{1}{{10}}$ 0.149619422   0.154412305  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.041424610 1.8527 0.042651310 1.8561
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.010739354 1.9476 0.011048266 1.9488
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.002719886 1.9813 0.002797166 1.9818
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.000683359 1.9928 0.000702653 1.9931
0.99 $\tfrac{1}{{10}}$ 0.083746441   0.093343780  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.021663577 1.9508 0.024067037 1.9555
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.005461233 1.9880 0.006062075 1.9892
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.001367708 1.9975 0.001517800 1.9978
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.000342007 1.9997 0.000379488 1.9999
Таблица 4.  

Изменение погрешности и порядка сходимости в нормах ${{\left| {\left[ {\, \cdot \,} \right]} \right|}_{0}}$ и ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$ при уменьшении размера сетки при $\eta (x) = {{10}^{3}}{{e}^{x}}$, $\rho (x,t,\tau ) = {{10}^{3}}x{{t}^{2}}\tau $ и различных значениях $\alpha = 0.01$; 0.5; 0.99 на $t = 1,$ когда $h = \tau $

$\alpha $ $h$ $\mathop {max}\limits_{0 < j < m} {{\left| {[{{z}^{j}}]} \right|}_{0}}$ ПС в ${{\left| {\left[ {\, \cdot \,} \right]} \right|}_{0}}$ ${{\left\| z \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$ ПС в ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C(\mathop {\bar {w}}\nolimits_{h\tau } )}}}$
0.01 $\tfrac{1}{{10}}$ 1.279174186   1.281357738  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.353417431 1.8558 0.353910821 1.8562
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.091586696 1.9482 0.091706773 1.9483
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.023164777 1.9832 0.023194603 1.9832
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.005813090 1.9946 0.005820532 1.9946
0.5 $\tfrac{1}{{10}}$ 1.870907081   1.875118090  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.501806708 1.8985 0.502842392 1.8988
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.128190732 1.9688 0.128443238 1.9690
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.032244004 1.9912 0.032305415 1.9913
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.008074897 1.9975 0.008089857 1.9976
0.99 $\tfrac{1}{{10}}$ 2.453183349   2.461320805  
  $\tfrac{1}{{20}}$ 0.634838681 1.9502 0.636891924 1.9503
  $\tfrac{1}{{40}}$ 0.160150348 1.9870 0.160665190 1.9870
  $\tfrac{1}{{80}}$ 0.040128764 1.9967 0.040257472 1.9967
  $\tfrac{1}{{160}}$ 0.010037842 1.9992 0.010069971 1.9992

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена изучению начально-краевых задач для одномерного по пространству нелокального дифференциального уравнения в частных производных соболевского типа с переменными коэффициентами с дробной по времени производной, в котором неизвестная функция входит в дифференциальное выражение и, вместе с тем, фигурирует под знаком интеграла. Изучаются разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи на равномерных сетках. Рассмотрен случай уравнения, в котором коэффициенты при старших производных отделены от нуля положительной константой. Граничные условия локальные (I и III рода). Для решения краевых задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи со скоростью $O({{h}^{2}} + {{\tau }^{2}}).$

Полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда рассматривается уравнение с нелокальным линейным источником вида

$\partial _{{0t}}^{\alpha }u = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {k(x,t)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) + \partial _{{0t}}^{\alpha }\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\eta (x)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) + r(x,t)\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - \int\limits_0^x {p(s,t)} u(s,t)ds + f(x,t).$

Считаю своим приятным долгом выразить искреннюю и глубокую благодарность моему учителю Мухамеду Хабаловичу Шханукову-Лафишеву.

Список литературы

  1. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ. 1983.

  2. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.

  3. Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces. N.-Y.: Marcel Dekker, Inc., 1999.

  4. Ting T.W. Parabolic and pseudoparabolic partial differential equations // J. Math. Soc. Jap. 1969. V. 21. № 3. P. 440–453.

  5. Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest – Order Derivative. N.-Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.

  6. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

  7. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

  8. Showalter R.E. The Sobolev equations I. (II) // Appl. Anal. 1975. V. 5. № 1. P. 15–22; № 2. P. 81–99.

  9. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24. № 5. С. 58–73.

  10. Дзекцер Е.С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // ДАН СССР. 1975. Т. 220. № 3. С. 540–543.

  11. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.

  12. Hallaire M. On a theory of moisture-transfer // Inst. Rech. Agronom. 1964. № 3. P. 60–72.

  13. Chen P.J., Gurtin M.E. On a theory of heat conduction involving two temperatures // Z. Angew. Math. Phys. 1968. V. 19. P. 614–627.

  14. Рубинштейн Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах // Известия АН СССР, Сер. геогр. 1948. Т. 12. № 1. С. 27–45.

  15. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

  16. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Издательство “Артишок”, 2008. 512 с.

  17. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. 688 с.

  18. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. Вып. 5(11). С. 1875–1884.

  19. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 4. С. 660–670.

  20. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткий И.А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2003. 35 с.

  21. Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 10. С. 1871–1881.

  22. Бештоков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Римана–Лиувилля // Дифференц. ур-ния. 2018. T. 54. № 6. C. 763–778.

  23. Алиханов А.А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Дифференц. ур-ния. 2010. Т. 46. № 5. С. 660–666.

  24. Alikhanov A.A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. Computational Phys. 2015. V. 280. P. 424–438.

  25. Caputo H. Lineal model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II. Geophys // J. Astronom. Soc. 1967. V. 13. P. 529–539.

  26. Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения //АН СССР. Прикл. матем. и механ. 1948. Т. 12. С. 251–260.

  27. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

  28. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

  29. Li D., Liao H.-L., Sun W., Wang J., Zhang J. Analysis of L1-Galerkin FEMs for time-fractional nonlinear parabolic problems, 2016 (in press); arXiv:1612.00562v1.

  30. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал