Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 2, стр. 203-210

1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть $Z$ и $U$ – нормированные пространства с элементами $z$ и $u$ соответственно, а $A:Z \to U$ – линейный ограниченный оператор. Рассмотрим операторное уравнение

и предположим, что оно имеет для данной правой части $u \in U$ единственное решение $\bar {z} \in Z$, $\bar {z} \ne 0$. Кроме того, мы считаем, что вместо точных данных $(A,u)$ этого уравнения известны их приближения: оператор ${{A}_{h}}:Z \to U$ и элемент ${{u}_{\delta }} \in U$. Приближенные данные $({{A}_{h}},{{u}_{\delta }})$, аппроксимирующие точные данные $(A,u)$, удовлетворяют условиям $\left\| {{{A}_{h}}z - Az} \right\| \leqslant h\Omega [z]$ $\forall z \in Z,\;\left\| {{{u}_{\delta }} - u} \right\| \leqslant \delta $, в которых величины $\eta = (h,\delta )$ являются известными характеристиками точности аппроксимации. В оценке точности задания приближенного оператора используется функционал $\Omega [z]$, определенный на $Z$. Он определяется спецификой решаемого уравнения (1.1), видом оператора ${{A}_{h}}$, а также используемым методом решения. В некоторых случаях можно считать, что $\Omega [z] = \left\| z \right\|$.

Применим для решения задачи (1.1) некоторый метод и найдем с его помощью приближенное решение ${{z}_{\eta }} = {{z}_{\eta }}({{A}_{h}},{{u}_{\delta }},h,\delta ) \in Z$. Если используемый метод обладает свойством устойчивости по отношению к возмущениям данных, т.е. является регуляризующим алгоритмом (РА) [1], [2], то справедлива сходимость $\left\| {{{z}_{\eta }} - \bar {z}} \right\| \to 0$ при $\eta \to 0$.

Следующим этапом решения уравнения (1.1) должна являться оценка точности полученного приближенного решения ${{z}_{\eta }}$. В большинстве работ (см., например, [3]–[8] и др.) проводятся теоретические априорные оценки точности. Они, как правило, получаются при очень жестких дополнительных ограничениях на искомое решение $\bar {z}$. Кроме того, эти оценки зачастую содержат константы, практическое вычисление которых затруднительно. Поэтому получить априорную оценку точности в виде числа в большинстве случаев невозможно. В связи с этим в последнее время развита теория апостериорных оценок точности (см. [9]–[14]). Используя методы из этих работ, можно получить числовые оценки точности приближенных решений ${{z}_{\eta }}$.

Мы будем применять для апостериорной оценки точности подход из работ [15]–[17]. Схематично он состоит в следующем. Зная ${{z}_{\eta }}$, величины

Зададим константу $C > 1$, введем множество и предположим, что $\bar {z} \in {{\mathcal{Z}}_{\eta }}$. Тогда справедливо неравенство в котором величина $\varepsilon (\eta )$ есть глобальная апостериорная оценка точности приближенного решения ${{z}_{\eta }}$. Она может быть найдена путем приближенного вычисления точной верхней грани (1.2).

В работах [15]–[17] даны условия, при которых выполнено включение $\bar {z} \in {{\mathcal{Z}}_{\eta }}$, гарантирующее справедливость оценки (1.2), по крайней мере, при достаточно малых $h,\delta $, и установлена состоятельность оценочной функции $\varepsilon (\eta )$, т.е. сходимость $\varepsilon (\eta ) \to 0$ при $\eta \to 0$. Там же предложены численные алгоритмы нахождения функции $\varepsilon (\eta )$. Они реализуют условную максимизацию функционала $J[z] = \left\| {z - {{z}_{\eta }}} \right\|$ при двух ограничениях, определяющих множество ${{\mathcal{Z}}_{\eta }}$. Оказывается, что при некоторых дополнительных предположениях, указанных ниже в разд. 2, удается свести вычисление $\varepsilon (\eta )$ к условной максимизации некоторых других функционалов с фактически лишь одним ограничением и построить соответствующий численный алгоритм. При этом численные эксперименты показывают, что время расчета оценочной функции $\varepsilon (\eta )$ существенно уменьшается по сравнению с ее расчетами по алгоритмам из [15], [16]. Именно этому исследованию посвящена данная статья.

2. УТОЧНЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ

Уточним постановку задачи, считая, что выполнены следующие предположения:

1. $Z,U$ – гильбертовы пространства со скалярными произведениями $\mathop {\left( { \cdot , \cdot } \right)}\nolimits_Z $ и $\mathop {\left( { \cdot , \cdot } \right)}\nolimits_U $ соответственно; индексы у скалярных произведений и соответствующих норм будем далее для краткости опускать;

2. операторы $A:Z \to U$, $A \ne 0$, и ${{A}_{h}}:Z \to U$, ${{A}_{h}} \ne 0$, – линейные и ограниченные, причем $A$ имеет тривиальное ядро: $N(A) = \{ 0\} $; функционал $\Omega $ имеет специальный вид $\Omega [z] = \left\| z \right\|$;

3. искомое решение задачи (1) нетривиально: $\bar {z} \ne 0$;

4. используемый метод решения обратной задачи дает приближенные решения ${{z}_{\eta }} \in Z$ со свойством сходимости ${{z}_{\eta }}\;\xrightarrow{Z}\;\bar {z}$ при $\eta \to 0$.

Отметим очевидные следствия сделанных предположений. Из предположений 1–3 вытекает, что функционалы $\left\| {Az - u} \right\|$, $\left\| {{{A}_{h}}z - {{u}_{\delta }}} \right\|$ и $\Omega [z]$ слабо полунепрерывны снизу на $Z$ и непустые множества уровня ${{\Omega }_{K}} = \left\{ {z \in Z:\Omega [z] \leqslant K} \right\}$ функционала $\Omega $ являются слабыми компактами. Предположение 4 вместе с условиями аппроксимации обеспечивает сходимости

Отсюда как частные случаи более общих теорем, доказанных в [15], [16], получаются следующие утверждения.

Предложение 1. Пусть при $0 < \left\| \eta \right\| \leqslant {{\eta }_{0}} = {\text{const}}$ выполнено неравенство $\delta + h\Omega [\bar {z}] < C{{\Delta }_{\eta }}$. Тогда для этих $\eta $ справедливо включение $\bar {z} \in {{\mathcal{Z}}_{\eta }}$.

Предложение 2. При выполнении предположений 1–4: а) точная верхняя грань (1.2) достигается; б) справедлива сходимость $li{{m}_{{\eta \to 0}}}\varepsilon (\eta ) = 0$.

Предложение 1 гарантирует выполнение апостериорной оценки (1.2), по крайней мере, при достаточно малых $\eta $, а предложение 2 обосновывает состоятельность этой оценки и позволяет утверждать, что

Символ “$max$”, здесь и далее означает глобальный максимум соответствующего функционала. Экстремальная задача (2.1) может быть решена численно методами, основанными на использовании функции Лагранжа и необходимых условий экстремума первого порядка(см. [15], [16]).

Отметим также, что предположение 4 и условие $\bar {z} \ne 0$ обеспечивают неравенства $\left\| {{{z}_{\eta }}} \right\| > 0,\;\left\| {{{A}_{h}}{{z}_{\eta }} - {{u}_{\delta }}} \right\| > 0$ при “достаточно малых” $\eta $, т.е. при $0 < \left\| \eta \right\| \leqslant {{\eta }_{0}}$, где ${{\eta }_{0}}$ – некоторая константа.

3. РЕДУКЦИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ВЫЧИСЛЕНИЯ АПОСТЕРИОРНОЙ ОЦЕНКИ

Преобразуем задачу (2.1). Каждый элемент $z \in Z,\;z \ne {{z}_{\eta }}$, можно единственным образом представить в виде $z = {{z}_{\eta }} + tw$, где $w = (z - {{z}_{\eta }}){\text{/}}\left\| {z - {{z}_{\eta }}} \right\|,\;\left\| w \right\| = 1$ и $t = \left\| {z - {{z}_{\eta }}} \right\| \geqslant 0$. Для $z = {{z}_{\eta }}$ считаем, что $t = 0$ и $w = \bar {w}$, где $\bar {w} \in Z,\;\left\| {\bar {w}} \right\| = 1$ – некоторый фиксированный элемент. Тогда задачу (2.1) можно переписать в виде

где ${{v}_{\eta }} = {{u}_{\delta }} - {{A}_{h}}{{z}_{\eta }}$. Неравенства в ограничениях этой задачи раскрываются с учетом равенства $\left\| w \right\| = 1$ как где $D_{\eta }^{2} = ({{C}^{2}} - 1){{\left\| {{{v}_{\eta }}} \right\|}^{2}},\;r_{\eta }^{2} = ({{C}^{2}} - 1){{\left\| {{{z}_{\eta }}} \right\|}^{2}}$. Решая систему (3.1) при каждом допустимом $w \in Z$, получаем $t \in [0,{{t}_{\eta }}(w)]$. Здесь ${{t}_{\eta }}(w) = min\left\{ {t_{\eta }^{{(A)}}(w),t_{\eta }^{{(\Omega )}}(w)} \right\}$ и Таким образом, выполнено равенство и апостериорная оценка $\varepsilon (\eta )$ может быть вычислена из решения экстремальной задачи с целевым функционалом ${{t}_{\eta }}(w) = min\left\{ {t_{\eta }^{{(A)}}(w),t_{\eta }^{{(\Omega )}}(w)} \right\}$. Заметим, что задача (3.2) имеет решение ${{w}_{\eta }} = \tfrac{{{{{\tilde {z}}}_{\eta }} - {{z}_{\eta }}}}{{\left\| {{{{\tilde {z}}}_{\eta }} - {{z}_{\eta }}} \right\|}}$, где ${{\tilde {z}}_{\eta }}$ – какое-либо решение задачи (2.1), и поэтому $\varepsilon (\eta ) = {{t}_{\eta }}({{w}_{\eta }})$.

Введем множества $S = \left\{ {w \in Z:\left\| w \right\| = 1} \right\}$ и

Лемма 1. Справедливы оценки $t_{\eta }^{{(\Omega )}}(w) \leqslant (C + 1)\left\| {{{z}_{\eta }}} \right\|$ $\forall w \in S$; $t_{\eta }^{{(A)}}(w) \geqslant \tfrac{{(C - 1)\left\| {{{v}_{\eta }}} \right\|}}{{\left\| {{{A}_{h}}w} \right\|}}$ $\forall w \in S$, $\left\| {{{A}_{h}}w} \right\| \ne 0$.

Доказательство. Первая оценка получается из формулы для $t_{\eta }^{{(\Omega )}}(w)$:

Похожим образом получается и вторая оценка:

Теорема 1. Пусть ядро $N({{A}_{h}})$ содержит ненулевой элемент. Тогда множество ${{W}_{\eta }}$ непусто, а множество ${{V}_{\eta }}$ не может содержать элементы из множества $S \cap N({{A}_{h}})$. Если выполнено условие $(C + 1)\left\| {{{A}_{h}}{{z}_{\eta }} - {{u}_{\delta }}} \right\| \leqslant (C - 1)\left\| {{{A}_{h}}{{z}_{\eta }}} \right\|$, то множество ${{V}_{\eta }}$ непусто.

Доказательство. Возьмем произвольный элемент ${{z}_{0}} \in N({{A}_{h}})$, ${{z}_{0}} \ne 0$. Тогда для ${{w}_{0}} = \tfrac{{{{z}_{0}}}}{{\left\| {{{z}_{0}}} \right\|}} \in S$ выполнены соотношения $t_{\eta }^{{(A)}}({{w}_{0}}) = + \infty ,\;t_{\eta }^{{(\Omega )}}({{w}_{0}}) \leqslant (C + 1)\left\| {{{z}_{\eta }}} \right\|$, где учтена лемма 1. Значит, ${{w}_{0}} \in {{W}_{\eta }}$, но ${{w}_{0}} \notin {{V}_{\eta }}$. Далее, проверим, что элемент $\tilde {w} = \tfrac{{{{z}_{\eta }}}}{{\left\| {{{z}_{\eta }}} \right\|}}$ принадлежит множеству ${{V}_{\eta }}$. Действительно,

Из этих соотношений и условия теоремы получим т.е. $\tilde {w} \in {{v}_{\eta }}$.

Замечание 1. Отметим частные случаи, в которых гарантировано, что ${{W}_{\eta }} \ne \emptyset $ и ${{V}_{\eta }} \ne \emptyset $.

1. Если операторы ${{A}_{h}}$ вполне непрерывные, то множество ${{W}_{\eta }}$ непусто даже если $N({{A}_{h}}) = \{ 0\} $. Действительно, используем сингулярное разложение (см., например, [8]) оператора ${{A}_{h}}$, т.е. ортонормированные системы $\mathop {\left\{ {{{\varphi }_{n}}} \right\}}\nolimits_{n = 1}^\infty $, $\mathop {\left\{ {{{\psi }_{n}}} \right\}}\nolimits_{n = 1}^\infty $ и сингулярные числа $\mathop {\left\{ {{{\rho }_{n}}} \right\}}\nolimits_{n = 1}^\infty ,{{\rho }_{n}} \geqslant 0,\;{{\rho }_{n}} \to 0$, для которых ${{A}_{h}}{{\varphi }_{n}} = {{\rho }_{n}}{{\psi }_{n}},\;A_{h}^{*}{{\psi }_{n}} = \rho {{\varphi }_{n}}$. Тогда $\left\| {{{A}_{h}}{{\varphi }_{n}}} \right\| = {{\rho }_{n}}$ и по лемме 1 имеем

Поэтому найдется такой номер $N$, что выполнено неравенство и, значит, ${{\varphi }_{N}} \in {{W}_{\eta }}$.

2. Выполнение условия $(C + 1)\left\| {{{A}_{h}}{{z}_{\eta }} - {{u}_{\delta }}} \right\| \leqslant (C - 1)\left\| {{{A}_{h}}{{z}_{\eta }}} \right\|$ можно непосредственно проверить для имеющегося решения ${{z}_{\eta }}$. Это условие заведомо выполнено при достаточно малых $\eta $, так как $\left\| {{{A}_{h}}{{z}_{\eta }} - {{u}_{\delta }}} \right\| \to 0$ и $\left\| {{{A}_{h}}{{z}_{\eta }}} \right\| \to \left\| u \right\| \ne 0$ при $\eta \to 0$. Тем самым, ${{V}_{\eta }} \ne \emptyset $ при таких $\eta $.

Теорема 1 и замечание 1 позволяют рассматривать величины

Теорема 2. При допустимых $\eta $ выполнено равенство $\varepsilon (\eta ) = max\left\{ {{{t}_{A}}(\eta ),{{t}_{\Omega }}(\eta )} \right\}$.

Доказательство. Из включения ${{V}_{\eta }} \subset S$ ясно, что

Аналогично, из включения ${{W}_{\eta }} \subset S$ следует Далее, если ${{w}_{\eta }} \in {{V}_{\eta }}$, то неравенство в (3.4) переходит в равенство. Поэтому и из оценки (3.5) получим $\varepsilon (\eta ) = {{t}_{A}}(\eta ) \geqslant {{t}_{\Omega }}(\eta )$. Если же ${{w}_{\eta }} \in {{W}_{\eta }}$, то таким же образом получим $\varepsilon (\eta ) = {{t}_{\Omega }}(\eta ) \geqslant {{t}_{A}}(\eta )$. В итоге $\varepsilon (\eta ) = max\left\{ {{{t}_{A}}(\eta ),{{t}_{\Omega }}(\eta )} \right\}$, и теорема доказана.

Таким образом, получение апостериорной оценки точности сводится к вычислению величин (3.3). В связи с этим рассмотрим более подробно свойства функционалов $t_{\eta }^{{(A)}}(w),\;t_{\eta }^{{(\Omega )}}(w)$, определяющих эти величины.

Теорема 3. Функционалы ${{T}_{A}} = t_{\eta }^{{(A)}}(w),\;{{T}_{\Omega }} = t_{\eta }^{{(\Omega )}}(w)$ непрерывно дифференцируемы на множествах ${{V}_{\eta }}$ и ${{W}_{\eta }}$ соответственно. Для их градиентов справедливы формулы

Доказательство. Докажем утверждения теоремы, например, для ${{T}_{A}}$. Этот функционал удовлетворяет тождеству $\mathop {\left\| {{{A}_{h}}w} \right\|}\nolimits^2 T_{A}^{2} - 2\left( {{{A}_{h}}w,{{v}_{\eta }}} \right){{T}_{A}} - D_{\eta }^{2} = 0$ (см. (3.1)). Дифференцируя его, получаем

При этом, как показано в теореме 1, $\left\| {{{A}_{h}}w} \right\| \ne 0$ для $w \in {{V}_{\eta }}$. Отсюда можно вычислить $\nabla {{T}_{A}}$ в форме (3.6), так как ${{T}_{A}}\mathop {\left\| {{{A}_{h}}w} \right\|}\nolimits^2 - \left( {{{A}_{h}}w,{{v}_{\eta }}} \right) \ne 0$ для $w \in {{V}_{\eta }}$. Действительно, если предположить противное, т.е. считать, что ${{T}_{A}} = \tfrac{{\left( {{{A}_{h}}w,{{v}_{\eta }}} \right)}}{{\mathop {\left\| {{{A}_{h}}w} \right\|}\nolimits^2 }}$, то из (3.1) получилось бы равенство Это, однако, невозможно, так как $D_{\eta }^{2} \ne 0$. Непрерывность градиента $\nabla {{T}_{A}}$ на множестве ${{V}_{\eta }}$ следует из (3.6). Аналогично проводятся вычисление и исследование на непрерывность градиента функционала ${{T}_{\Omega }} = t_{\eta }^{{(\Omega )}}(w)$.

Полученные аналитические выражения для градиентов (3.6) можно использовать, если применять для численного решения экстремальных задач (3.3) методы глобальной оптимизации гладких функционалов с гладкими ограничениями (см., например, [18]). Сама по себе задача глобальной максимизации функционала достаточно сложна, но мы можем использовать для ее решения готовые программные продукты из пакетов прикладных программ MATLAB, SciLab, Python др.

Теорема 2 обосновывает следующий

Алгоритм вычисления апостериорной оценки

Шаг 1. Решаем экстремальные задачи задачи (3.3) путем построения максимизирующих последовательностей по некоторому выбранному методу глобальной оптимизации и таким путем вычисляем приближенно величины ${{t}_{A}}(\eta ),\;{{t}_{\Omega }}(\eta )$.

Шаг 2. Вычисляем апостериорную оценку как $\varepsilon (\eta ) = max\left\{ {{{t}_{A}}(\eta ),{{t}_{\Omega }}(\eta )} \right\}$.

4. КОНЕЧНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ АЛГОРИТМА АПОСТЕРИОРНОЙ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ

Кратко опишем используемую конечномерную аппроксимацию обратной задачи (1.1) и задач (3.3), решаемых для вычисления оценки $\varepsilon (\eta )$. Более подробно используемая схема конечномерной аппроксимации изложена в работе [15].

Будем считать, что определена последовательность конечномерных пространств ${{Z}_{n}}$ такая, что ${{Z}_{1}} \subset {{Z}_{2}} \subset ... \subset {{Z}_{n}} \subset ...Z,\;\bigcup\nolimits_{n = 1}^\infty {{{Z}_{n}}} = Z$. При каждом $n$ считаем заданным линейный ограниченный оператор ${{A}_{n}}:{{Z}_{n}} \to U$ и элемент ${{u}_{n}} \in U$, аппроксимирующие данные $({{A}_{h}},{{u}_{\delta }})$ задачи (1.1). При этом полагаем выполненными условия аппроксимации $\left\| {{{u}_{n}} - {{u}_{\delta }}} \right\| \leqslant {{\delta }_{n}},\;\left\| {{{A}_{n}}z - {{A}_{h}}z} \right\| \leqslant {{h}_{n}}\left\| z \right\|$ $\forall z \in {{Z}_{n}}$, где ${{\delta }_{n}},{{h}_{n}} \to 0$ при $n \to \infty $. Пусть также определено семейство операторов проектирования ${{P}_{n}}:Z \to {{Z}_{n}}$, обладающих свойством $li{{m}_{{n \to \infty }}}\left\| {{{P}_{n}}z - z} \right\| = 0$ $\forall z \in Z$.

Применим для решения задачи (1.1) некоторый РА. Пусть для данных $({{A}_{h}},{{u}_{\delta }},h,\delta )$ он может дать приближенное решение ${{z}_{\eta }} \in Z$, точность которого мы хотим оценить. Так как в нашем распоряжении имеются лишь конечномерные аппроксимации $({{A}_{n}},{{u}_{n}},{{h}_{n}},{{\delta }_{n}})$ данных $({{A}_{h}},{{u}_{\delta }},h,\delta )$, то РА дает на самом деле конечномерные приближения ${{z}_{{\eta n}}} = {{z}_{\eta }}({{A}_{n}},{{u}_{n}},{{h}_{n}},{{\delta }_{n}}) \in {{Z}_{n}}$. Будем считать, что ${{z}_{{\eta n}}} \to {{z}_{\eta }}$ в $Z$ при $n \to \infty $. Вместо апостериорной оценки точности $\varepsilon (\eta )$ приближенного решения ${{z}_{\eta }}$ будем рассматривать аналогичную оценку конечномерного приближенного решения ${{z}_{{\eta n}}}$, т.е. величину

В [15] указана следующая связь величины $\varepsilon (\eta )$ и ее конечномерного аналога ${{\varepsilon }_{n}}(\eta )$.

Предложение 3. Если множество ${{\mathcal{Z}}_{\eta }} = \left\{ {z \in Z:\left\| {{{A}_{h}}z - {{u}_{\delta }}} \right\| \leqslant C{{\Delta }_{\eta }},\;\Omega [z] \leqslant C{{R}_{\eta }}} \right\}$ при каждом $\eta ,\;0 < \left\| \eta \right\| \leqslant {{\eta }_{0}}$, имеет непустую внутренность $\operatorname{int} {{\mathcal{Z}}_{\eta }} \ne \emptyset $, то для этих $\eta $ справедливо соотношение ${{m}_{{n \to \infty }}}{{\varepsilon }_{n}}(\eta ) = \varepsilon (\eta )$. Если, кроме того, $\bar {z} \in \operatorname{int} {{\mathcal{Z}}_{\eta }}$, то $\left\| {{{P}_{n}}\bar {z} - {{z}_{{\eta n}}}} \right\| \leqslant {{\varepsilon }_{n}}(\eta )$.

Задачу (4.1) можно, как и задачу 2.1 в теореме 2, свести к вычислению величины ${{\varepsilon }_{n}}(\eta ) = max\left\{ {t_{A}^{{(n)}}(\eta ),t_{\Omega }^{{(n)}}(\eta )} \right\}$, где

и функционалы $t_{{\eta n}}^{{(A)}}(w)$, $t_{{\eta n}}^{{(\Omega )}}(w)$ из экстремальных задач (4.2) определяются равенствами при ${{v}_{{\eta n}}} = {{u}_{n}} - {{A}_{n}}{{z}_{{\eta n}}},\;D_{{\eta n}}^{2} = ({{C}^{2}} - 1){{\left\| {{{v}_{{\eta n}}}} \right\|}^{2}},\;r_{{\eta n}}^{2} = ({{C}^{2}} - 1){{\left\| {{{z}_{{\eta n}}}} \right\|}^{2}}$. Для этих функционалов справедлив конечномерный аналог теоремы 3. Заметим, что в задачах (4.2) ограничение $\left\| w \right\| = 1$, которое часто можно записать в конечномерном случае как $\sum\nolimits_{i = 1}^n \,w_{i}^{2} = 1$, позволяет исключить одну из координат вектора $w = ({{w}_{1}},\;...,\;{{w}_{n}})$. В итоге эти экстремальные задачи будут содержать лишь одно ограничение.

5. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА АПОСТЕРИОРНОЙ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ДЛЯ ТИХОНОВСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Будем использовать для решения задачи (1.1) метод Тихонова с регуляризатором $\mathop {\left\| {Lz} \right\|}\nolimits^2 $. Здесь $L:Z \to Z$ – линейный замкнутый оператор с областью определения $D(L)$, которая плотна в $Z$. Считается также, что $t\left\| {Lz} \right\| \geqslant k\left\| z \right\|$ $\forall z \in D(L)$, где $k > 0$ – некоторая константа, и что $\bar {z} \in D(L)$. Приближенное решение задачи в этом случае строится как ${{z}_{\eta }} = z_{\eta }^{{{{\alpha }_{\eta }}}}$, где $z_{\eta }^{\alpha }$ есть решение операторного уравнения $(\alpha L{\text{*}}L + A_{h}^{ * }{{A}_{h}})z = A_{h}^{ * }{{u}_{\delta }}$ при выбранном специальным образом параметре регуляризации $\alpha = {{\alpha }_{\eta }} > 0$. Мы будем использовать выбор параметра по обобщенному принципу невязки (ОПН), т.е. находить ${{\alpha }_{\eta }}$ как решение уравнения $\rho (\alpha ) \triangleq \left\| {{{A}_{h}}z_{\eta }^{\alpha } - {{u}_{\delta }}} \right\| - \left( {\delta + h\left\| {Lz_{\eta }^{\alpha }} \right\|} \right) = 0$. Теория ОПН и реализующие ее численные алгоритмы даны, например, в работах [2], [19].

Такой метод решения задачи (1.1) гарантирует сходимость $\left\| {L{{z}_{\eta }} - L\bar {z}} \right\| \to 0$, и поэтому $\left\| {{{z}_{\eta }} - \bar {z}} \right\| \to 0$ при $\eta \to 0$. Таким образом, для приближенных решений ${{z}_{\eta }}$ выполнены предположения 4 из разд. 2. Считая также выполненными остальные предположения, мы можем с учетом результатов предложения 1 получить апостериорную оценку точности вида $\left\| {{{z}_{\eta }} - \bar {z}} \right\| \leqslant \varepsilon (\eta )$, где величина $\varepsilon (\eta )$ имеет вид (2.1) и может быть вычислена по предложенному алгоритму.

Приведем пример численного получения такой апостериорной оценки точности. Рассмотрим известную тестовую задачу – линейное интегральное уравнение рода:

с точным решением $\bar {z} = {{(1 - {{s}^{2}})}^{2}} \in W_{2}^{2}[ - 1,1]$ (см. [1], [19]). Считаем $Z = U = {{L}_{2}}[ - 1,1]$, и будем использовать регуляризатор $\left\| {Lz} \right\| = \mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_{W_{2}^{1}[ - 1,1]} $. Вычислим по решению $\bar {z}$ правую часть уравнения $u(x)$ и наложим на нее аддитивную нормально распределенную помеху с нулевым средним так, чтобы приближенная правая часть ${{u}_{\delta }}$ имела относительную ошибку $\mathop {\left\| {{{u}_{\delta }} - u} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - 1,1]} {\text{/}}\mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - 1,1]} = \delta $. После дискретизации задачи на равномерных сетках $\left\{ {{{x}_{i}} = {{s}_{i}} = - 1 + 2(i - 1){\text{/}}(N - 1),i = 1,\;...,\;N} \right\}$ с шагом $h = 2{\text{/}}(N - 1)$ по $x,\;s$ для N = 201 и аппроксимации оператора $A$ по формуле трапеций, решим полученную систему линейных уравнений $\hat {A}\hat {z} = \hat {u},\;\hat {z} \in {{\mathbb{R}}^{N}},$ с приближенными (сеточными) данными ${{A}_{{hN}}} = \hat {A},\;{{u}_{{\delta N}}} = \hat {u}$: по конечномерному варианту применяемого метода регуляризации Тихонова. Детали этой процедуры описаны, например, в [19].

Далее, используем конечномерный вариант алгоритма апостериорной оценки точности из разд. 4 с $C = 1.01$ для вычисления величины (4.1). При этом мы будем предполагать, что погрешность конечномерной аппроксимации оператора много меньше погрешности правой части уравнения, так что фактически ${{\varepsilon }_{N}}(\eta ) \approx {{\varepsilon }_{N}}(\delta )$. При фиксированной дискретизации задачи это означает, что величины $\delta $ не должны браться “слишком малыми”. Полученные относительные апостериорные оценки точности ${{\varepsilon }_{N}}(\delta ) = \tfrac{{{{\varepsilon }_{N}}(\delta )}}{{\left\| {\bar {z}} \right\|}}$ для типичных значений $\delta $, усредненные по 60 расчетам для каждого $\delta $ с различными реализациями случайных ошибок величины ${{u}_{\delta }}$, приведены на фиг. 1. На нем линия с точками соответствует усредненной относительной ошибке $\Delta (\delta ) = \tfrac{{\left\| {{{z}_{\delta }} - \bar {z}} \right\|}}{{\left\| {\bar {z}} \right\|}}$ найденных решений ${{z}_{\delta }}$ нашей модельной обратной задачи, а линия с кружками – вычисленной оценке ${{\varepsilon }_{N}}(\delta )$. Расчеты проводились с помощью стандартных средств оптимизации пакета МАТЛАБ. Если сравнить скорости алгоритмов решения задачи апостериорной оценки точности из работ [15], [16] и предлагаемого алгоритма, то оказалось, что последний позволяет получить оценку в среднем в 1.4 раза быстрее. В этом заключается его преимущество.