Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 2, стр. 247-251

Алгоритм решения задачи Коши для одной бесконечномерной системы нелинейных дифференциальных уравнений

Аг. Х. Ханмамедов^{1, 2, 4, *}, А. М. Гусейнов³, М. М. Векилов¹

¹ Бакинский гос. ун-т
AZ1148 Баку, ул. З. Халилова, 23, Азербайджан

² Ин-т матем. и механ. НАН Азербайджана
AZ1141 Баку, ул. Б. Вагабзаде, 9, Азербайджан

³ Гянджинский Гос. Ун-т
AZ2000 Гянджа, пр. Шах Исмаил Хатаи 187, Азербайджан

⁴ Университет
AZ1007 Гянджа, ул. Дж. Гаджибекли, 71, Азербайджан

^* E-mail: agil_khanmamedov@yahoo.com

Поступила в редакцию 21.11.2016
После доработки 30.08.2018

DOI: 10.1134/S004446691902008X

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрена задача Коши для бесконечномерной системы нелинейных эволюционных уравнений, являющиеся обобщением ленгмюровской цепочки. Установлена глобальная разрешимость задачи в классе быстроубывающих функций. Методом обратной спектральной задачи получен алгоритм для построения решения. Библ. 9.

Ключевые слова: нелинейное эволюционное уравнение, ленгмюровская цепочка, данные рассеяния, метод обратной спектральной задачи.

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается следующая бесконечномерная система нелинейных эволюционных уравнений

(1)

${{\dot {c}}_{n}} = {{c}_{n}}\left( {\alpha \left( {{{c}_{{n + 1}}} - {{c}_{{n - 1}}}} \right) - \beta \left( {\left( {{{c}_{{n + 1}}} - {{c}_{{n - 1}}}} \right)\sum\limits_{k = 0}^2 {{{c}_{{n + k}}}} } \right)} \right),\quad {{c}_{n}} = {{c}_{n}}(t),\quad n \in Z,\quad t \in \left( {0,\infty } \right],\quad \cdot = \frac{d}{{dt}},$

где $\alpha ,\beta $ – действительные числа. Эта система впервые исследовалась в работе [1]. Там же установлено, что система уравнений (1) может быть интегрирована методом обратной спектральной задачи. При $\alpha = 1,\;\beta = 0$ система уравнений (1) представляет собой хорошо известную модель Вольтерра, которая методом обратной спектральной задачи исследовалась в работах многих авторов (см. [1]–[7]).

Для системы уравнений (1) поставим задачу Коши: требуется найти ее решение $c(t) = {{\left( {{{c}_{n}}(t)} \right)}_{{n \in Z}}}$ по заданному начальному условию

(2)

${{c}_{n}}(0) = {{\hat {c}}_{n}} > 0,\quad n \in Z,$

где последовательность ${{\hat {c}}_{n}}$ удовлетворяет условию $\sum\nolimits_{n \in Z}^{} {\left| n \right|\left| {{{{\hat {c}}}_{n}} - 1} \right|} < \infty $. Будем искать решение $c\left( t \right) = {{\left( {{{c}_{n}}(t)} \right)}_{{n \in Z}}}$ задачи (1)–(2) такое, что

${{x}_{n}}(t) = {{c}_{n}}(t) - 1$ суть быстроубывающая функция, т.е. при любом $T > 0$ удовлетворяет неравенству

(3)

${{\left\| {{{M}_{1}}(t)} \right\|}_{{C\left[ {0,T} \right]}}} < \infty ,$

где ${{M}_{1}}(t) = \sum\nolimits_{n \in Z}^{} {\left( {1 + \left| n \right|} \right)\left| {{{x}_{n}}(t)} \right|} $.

В данной работе установлена глобальная разрешимость задачи (1), (2) в классе (3). Методом обратной спектральной задачи указан алгоритм нахождения решения задачи (1), (2). Подобные вопросы для различных нелинейных эволюционных уравнений исследовались в работах [1]–[8].

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Как следует из работы [1], ассоциированной с (1) линейной задачей, является дискретное уравнение Штурма–Лиувилля

(4)

$\sqrt {{{c}_{{n - 1}}}} {{y}_{{n - 1}}} + \sqrt {{{c}_{n}}} {{y}_{{n + 1}}} = \lambda {{y}_{n}},\quad n \in Z,$

где ${{c}_{n}} > 0$ удовлетворяет условию $\sum\nolimits_{n \in Z}^{} {\left| n \right|\left| {{{c}_{n}} - 1} \right|} < \infty .$ Поэтому при исследовании задачи (1)–(2) нам понадобится построенная в [2], [4] теория рассеяния для уравнения (4). Пусть $\lambda = z + {{z}^{{ - 1}}}$. Тогда уравнение (4) имеет решения $f_{n}^{ \pm }(z)$, представимые в виде

(5)

$f_{n}^{ \pm }(z) = \alpha _{n}^{ \pm }{{z}^{{ \pm n}}}\left( {1 + \sum\limits_{ \pm m \geqslant 1} {A_{{nm}}^{ \pm }{{z}^{{ \pm 2m}}}} } \right).$

На непрерывном спектре, т.е. при $\left| z \right| = 1,\;{{z}^{2}} \ne 1$ верны соотношения

(6)

$f_{n}^{ \mp }(z) = a\left( z \right)\overline {f_{n}^{ \pm }(z)} \pm b({{z}^{{ \pm 1}}})f_{n}^{ \pm }(z),$

где коэффициенты $a(z),\;b(z)$ определяются формулами

$a(z) = \frac{{\left\{ {f_{n}^{ + }(z),f_{n}^{ - }(z)} \right\}}}{{z - {{z}^{{ - 1}}}}},\quad b(z) = \frac{{\left\{ {\overline {f_{n}^{ + }(z)} ,f_{n}^{ - }(z)} \right\}}}{{{{z}^{{ - 1}}} - z}},$

здесь $\left\{ {{{\varphi }_{n}},{{\psi }_{n}}} \right\} = \sqrt {{{c}_{n}}} \left( {{{\varphi }_{n}}{{\psi }_{{n + 1}}} - {{\varphi }_{{n + 1}}}{{\psi }_{n}}} \right)$ – вронскиан двух решений ${{\varphi }_{n}}$ и ${{\psi }_{n}}$. При этом функции $(z - {{z}^{{ - 1}}})a(z),\;(z - {{z}^{{ - 1}}})b(z)$ непрерывны на окружности $\left| z \right| = 1$. Кроме того, функция $a(z)$ допускает аналитическое продолжение в круг $\left| z \right| < 1$ и там может иметь конечное число простых вещественных нулей ${{z}_{k}},\;0 < z_{k}^{2} < 1,\;k = 1,\;...,\;N$.

Положим

${{r}^{ \pm }}(z) = \pm \frac{{b({{z}^{{ \pm 1}}})}}{{a(z)}},\quad m_{k}^{ \pm } = {{\left( {\sum\limits_{n \in Z} {{{{\left| {f_{n}^{ \pm }{\kern 1pt} \left( {{{z}_{k}}} \right)} \right|}}^{2}}} } \right)}^{{ - 1}}},\quad k = 1,\;...,\;N.$

Набор величин $\left\{ {{{r}^{ \pm }}(z),\;\left| z \right| = 1;\;{{z}_{k}},\;0 < z_{k}^{2} < 1;\;m_{k}^{ \pm },\quad k = 1,\;...,\;N} \right\}$ соответственно называется правыми и левыми данными рассеяния. Известно, что одни данные рассеяния однозначно определяются другими. По данным рассеяния коэффициент ${{c}_{n}}$ уравнения (4) однозначно восстанавливается по следующему алгоритму.

Алгоритм 1

Пусть известны данные рассеяния.

Шаг 1. Построим функцию

(7)

$F_{n}^{ + } = \sum\limits_{k = 1}^N {m_{k}^{ + }} z_{k}^{n} + \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\left| z \right| = 1} {{{r}^{ + }}(z){{z}^{{n - 1}}}dz} .$

Шаг 2. Найдем $A_{{nm}}^{ + }$ из уравнения типа Марченко

(8)

$F_{{2n + 2m}}^{ + } + A_{{nm}}^{ + } + \sum\limits_{k \geqslant 1} {A_{{nk}}^{ + }F_{{2n + 2m + 2k}}^{ + } = 0,\quad n \in Z,\quad m \geqslant 1} ,$

которое имеет (см. [4]) единственное решение.

Шаг 3. Вычисляем ${{c}_{n}}$ по формулам

(9)

${{(\alpha _{n}^{ + })}^{{ - 2}}} = 1 + F_{{2n}}^{ + } + \sum\limits_{k \geqslant 1} {A_{{nk}}^{ + }F_{{2n + 2k}}^{ + }} ,$

(10)

${{c}_{n}} = {{\left( {\frac{{\alpha _{{n + 1}}^{ + }}}{{\alpha _{n}^{ + }}}} \right)}^{2}}.$

2. РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ (1), (2)

Исследуем глобальную разрешимость задачи (1), (2).

Теорема 1. Решение задачи (1)–(2) существует и единственно в классе (3), если ${{M}_{1}}\left( 0 \right) < \infty $.

Доказательство. Заметим прежде всего, что задача (1)–(2) эквивалентна задаче

(11)

${{\dot {x}}_{n}} = ({{x}_{n}} + 1)({{x}_{{n + 1}}} - {{x}_{{n - 1}}})\left\{ {\alpha - 3\beta - \beta \sum\limits_{k = 0}^2 {{{x}_{{n + k}}}} } \right\},$

(12)

${{x}_{n}}(0) = x_{n}^{0},$

где

${{x}_{n}} = {{x}_{n}}(t) = {{c}_{n}}(t) - 1$. Пусть $B$ – банахово пространство последовательностей $x = {{\left( {{{x}_{n}}} \right)}_{{n \in Z}}}$ с нормой ${{\left\| x \right\|}_{B}} = \sum\nolimits_{n \in Z}^{} {\left( {1 + \left| n \right|} \right)\left| {{{x}_{n}}} \right|} < \infty $. Тогда множество $C\left( {\left[ {0,T} \right];B} \right)$ непрерывных на отрезке $\left[ {0,T} \right]$ функций $x\left( t \right)$ со значениями в $B$ относительно нормы ${{\left\| {x\left( t \right)} \right\|}_{{C\left( {\left[ {0,T} \right]:B} \right)}}} = \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {{\left\| {x\left( t \right)} \right\|}_{B}}$ является банаховым пространством (см., напр., [9, с. 14]).

Перепишем задачу (11)–(12) в виде операторного уравнения

$x(t) = x(0) + \int\limits_0^T {F\left( {x(\tau )} \right)d\tau } ,$

где $x(t) = {{\left( {{{x}_{n}}(t)} \right)}_{{n \in Z}}}$, $F$ есть оператор, порожденный правой частью системы (11). Так как правая часть системы (11) суть многочлен от переменной $x = {{\left( {{{x}_{n}}} \right)}_{{n \in Z}}}$, то при каждом $T > 0$ оператор $F$ непрерывно дифференцируемо отображает пространство $C\left( {\left[ {0,T} \right];B} \right)$ в себя. Поэтому принцип сжатых отображений применим к последнему уравнению. В результате получаем, что в некотором сегменте $\left[ {0,\delta } \right]$ задача (11)–(12) имеет решение $x(t) = {{\left( {{{x}_{n}}(t)} \right)}_{{n \in Z}}}$ с конечной нормой ${{\left\| {x(t)} \right\|}_{{C\left( {\left[ {0,\delta } \right]:B} \right)}}} < \infty $. Докажем, что это решение продолжаемо на каждый конечный отрезок $\left[ {0,T} \right]$. Допустим противное. Тогда существует точка ${{t}_{0}} < T$ такая, что задача (11)–(12) имеет непрерывное на интервале $\left[ {0,T} \right)$ решение $x(t) = {{\left( {{{x}_{n}}(t)} \right)}_{{n \in Z}}}$, но $\mathop {\overline {\lim } }\limits_{t \to {{t}_{0}}} {{\left\| {x(t)} \right\|}_{B}} = + \infty $.

Пользуясь (11), имеем

(13)

${{x}_{n}}(t) = {{x}_{n}}(0) + \int\limits_0^t {\left( {{{x}_{n}}(\tau ) + 1} \right)\left( {{{x}_{{n + 1}}}(\tau ) - {{x}_{{n - 1}}}(\tau )} \right)\left\{ {\alpha - 3\beta - \beta \sum\limits_{k = 0}^2 {{{x}_{{n + k}}}(\tau )} } \right\}d\tau ,\quad t \in \left[ {0,{{t}_{0}}} \right)} .$

Вводим семейство операторов $L = L(t)$, действующее в пространстве ${{\ell }_{2}}$ по формуле

${{\left( {Ly} \right)}_{n}} = \sqrt {{{c}_{{n - 1}}}(t)} {{y}_{{n - 1}}} + \sqrt {{{c}_{n}}(t)} {{y}_{{n + 1}}},\quad n \in Z$.

Очевидно, что оператор $L = L(t)$ сильно непрерывно дифференцируем, если только коэффициент ${{c}_{n}} = {{c}_{n}}(t)$ удовлетворяет системе уравнений (1).

Вводим также семейство операторов $A = A(t)$, действующее в пространстве ${{\ell }_{2}}$ по формуле

$\begin{gathered} {{\left( {Ay} \right)}_{n}} = \frac{1}{2}\left( { - \beta \prod\limits_{k - 0}^3 {\sqrt {{{c}_{{n - 1 - k}}}} {{y}_{{n - 4}}}} - } \right.\sqrt {{{c}_{{n - 1}}}{{c}_{{n - 2}}}} \left( { - \alpha + \beta \sum\limits_{k = - 1}^2 {{{c}_{{n - 1 - k}}}} } \right){{y}_{{n - 2}}} + \\ \left. { + \;\sqrt {{{c}_{n}}{{c}_{{n + 1}}}} \left( { - \alpha + \beta \sum\limits_{k = - 1}^2 {{{c}_{{n + k}}}} } \right){{y}_{{n + 2}}} + \beta \prod\limits_{k = 0}^3 {\sqrt {{{c}_{{n + k}}}} {{y}_{{n + 4}}}} } \right). \\ \end{gathered} $

Легко усмотреть, что операторы $L$ и $A$ образуют пару Лакса, т.е. система уравнений (1) эквивалентна операторному уравнению

(14)

$\dot {L} = \left[ {L,\,A} \right] = LA - AL.$

Из последнего соотношения следует [4], что семейство операторов $L(t)$ унитарно эквивалентно. Поэтому при всех $t \in \left[ {0,{{t}_{0}}} \right)$ имеет место равенство $\left\| {L(t)} \right\| = \left\| {L(0)} \right\|$. Легко проверить, что при любом $n \in Z$ верна оценка $\left| {{{c}_{n}}(t)} \right| \leqslant {{\left\| {L(t)} \right\|}^{2}}$. Полагая тогда $C = {{\left\| {L\left( 0 \right)} \right\|}^{2}} + 1$, получим $\left| {{{x}_{n}}(t)} \right| < C,\;n \in Z,$ $t \in \left[ {0,{{t}_{0}}} \right)$. Используя теперь (13), находим, что

${{\left\| {x(t)} \right\|}_{B}} \leqslant {{\left\| {x(0)} \right\|}_{B}} + \left( {2C + 4} \right)\left( {\left| {\alpha - 3\beta } \right| + 3\left| \beta \right|C} \right)\int\limits_0^t {{{{\left\| {x(\tau )} \right\|}}_{B}}d\tau } .$

Учитывая лемму Грануолла, из последнего неравенства получаем

${{\left\| {x(t)} \right\|}_{B}} \leqslant {{\left\| {x(0)} \right\|}_{B}}\exp \left\{ {\left( {2C + 4} \right)\left( {\left| {\alpha - 3\beta } \right| + 3\left| \beta \right|C} \right)T} \right\},\quad t \in \left( {0,{{t}_{0}}} \right),$

которое противоречит нашему предположению. Следовательно, задача (11)–(12) имеет на отрезке $\left[ {0,T} \right]$ единственное решение $x(t) = {{\left( {{{x}_{n}}(t)} \right)}_{{n \in Z}}}$ с конечной нормой ${{\left\| {x(t)} \right\|}_{{C\left( {\left[ {0,T} \right]:B} \right)}}} < \infty $. Тем самым однозначная разрешимость задачи (1)–(2) в классе (4) доказана.

3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1), (2)

Предположим теперь, что коэффициент ${{c}_{n}} = {{c}_{n}}(t)$ в уравнении (4) зависит от времени и удовлетворяет системе уравнений (1). Установим, каким образом тогда меняются данные рассеяния во времени.

Теорема 2. Если в уравнении (4) с коэффициентом ${{c}_{n}} = {{c}_{n}}(t)$, где ${{c}_{n}}(t)$ является решением системы уравнений (1), то эволюция правых данных рассеяния описывается формулами

(15)

$\begin{gathered} {{r}^{ + }}{\kern 1pt} \left( {z,t} \right) = {{r}^{ + }}{\kern 1pt} \left( {z,0} \right)\exp \left\{ {\beta ({{z}^{{ - 4}}} - {{z}^{4}})t + \left( {4\beta - \alpha } \right)({{z}^{{ - 2}}} - {{z}^{2}})t} \right\},\quad {{z}_{k}}(t) = {{z}_{k}}(0) = {{z}_{k}}, \\ m_{k}^{ + }(t) = m_{k}^{ + }(0)\exp \left\{ {\beta (z_{k}^{{ - 4}} - z_{k}^{4})t + \left( {4\beta - \alpha } \right)(z_{k}^{{ - 2}} - z_{k}^{2})t} \right\},\quad k = 1,\;...,\;N. \\ \end{gathered} $

Доказательство. Из соотношения (14) следует, что оператор $B = \frac{d}{{dt}} + A$ переводит решения уравнения (4) с параметром $t$ в решения того же уравнения. Используя (5), обычным образом (см. [2], [4], [5]) можно обосновать, что при $n \to \pm \infty $

$Bf_{n}^{ \pm }{\kern 1pt} \left( {z,t} \right) = \frac{1}{2}\left\{ { \pm \beta ({{z}^{4}} - {{z}^{{ - 4}}}) \pm \left( {4\beta - \alpha } \right)({{z}^{2}} - {{z}^{{ - 2}}})} \right\}{{z}^{{ \pm n}}} + o\left( 1 \right)$.

Так как уравнение (4) с параметром $t$ имеет единственное решение с такой асимптотикой (см. [2], [4]), то

$Bf_{n}^{ \pm }\left( {z,t} \right) = \frac{1}{2}\left\{ { \pm \beta ({{z}^{4}} - {{z}^{{ - 4}}}) \pm \left( {4\beta - \alpha } \right)({{z}^{2}} - {{z}^{{ - 2}}})} \right\}f_{n}^{ \pm }\left( {z,t} \right).$

С другой стороны, используя (6), найдем, что при $n \to + \infty $

$\begin{gathered} Bf_{n}^{ - }\left( {z,t} \right) = \frac{1}{2}\left\{ {\dot {a}\left( {z,t} \right) - \frac{1}{2}\left( {\beta ({{z}^{4}} - {{z}^{{ - 4}}}) + \left( {4\beta - \alpha } \right)({{z}^{2}} - {{z}^{{ - 2}}})} \right)a\left( {z,t} \right)} \right\}\overline {f_{n}^{ + }\left( {z,t} \right)} + \\ + \;\left\{ {\dot {b}\left( {z,t} \right) + \frac{1}{2}\left( {\beta ({{z}^{4}} - {{z}^{{ - 4}}}) + \left( {4\beta - \alpha } \right)({{z}^{2}} - {{z}^{{ - 2}}})} \right)b\left( {z,t} \right)} \right\}f_{n}^{ + }\left( {z,t} \right). \\ \end{gathered} $

Сопоставляя это равенство с равенством (6) с параметром $t$ получим два первых равенства из (15). Третье равенство из (15) доказывается аналогично. Разумеется, существуют подобные формулы и для левых данных рассеяния.

Пользуясь теперь соотношениями (15), получаем следующий алгоритм решения задачи (1), (2) методом обратной спектральной задачи.

Алгоритм 2

Дано начальное условие ${{c}_{n}}(0) = {{\hat {c}}_{n}}$.

Шаг 1. Строим данные рассеяния $\left\{ {{{r}^{ + }}{\kern 1pt} \left( {z,0} \right);{{z}_{k}}(0);m_{k}^{ + }(0),\quad k = 1,\;...,\;N} \right\}$.

Шаг 2. Вычисляем совокупность $\left\{ {{{r}^{ + }}\left( {z,t} \right);{{z}_{k}}(t);m_{k}^{ + }(t),\quad k = 1,\;...,\;N} \right\}$ по формулам (15).

Шаг 3. Решая по совокупности $\left\{ {{{r}^{ + }}{\kern 1pt} \left( {z,t} \right);{{z}_{k}}(t);m_{k}^{ + }(t),\quad k = 1,\;...,\;N} \right\}$ обратную спектральную задачу с помощью алгоритма 1, где в (7) вместо ${{r}^{ + }}\left( z \right),\,\,m_{k}^{ + }$ следует подставить ${{r}^{ + }}{\kern 1pt} \left( {z,t} \right),\;m_{k}^{ + }(t)$, строим решение.

В заключение приведем пример, когда можно построить явное решение задачи (1)–(2). Рассмотрим начальное условие ${{c}_{n}}(0) = {{\hat {c}}_{n}}$, соответствующее данным рассеяния $\left\{ {{{r}^{ + }}{\kern 1pt} \left( {z,0} \right) \equiv 0;\;{{z}_{1}}(0) = } \right.$ $\left. { = {{z}_{0}},\;0 < z_{0}^{2} < 1;\;m_{1}^{ + }(0) = m,\;m > 0} \right\}$. Если величина ${{r}^{ + }}\left( {z,t} \right)$ равна нулю в начальный момент времени, она остается равной нулю на всех временах. По формулам (15) определим совокупность $\left\{ {{{r}^{ + }}{\kern 1pt} \left( {z,t} \right) \equiv 0;{{z}_{1}}(t) = {{z}_{0}},\;0 < z_{0}^{2} < 1;\;m_{1}^{ + }(t)} \right\}$. Применим алгоритм 1. С этой целью строим

(16)

$F_{n}^{ + }(t) = mz_{0}^{n}{{e}^{{\omega \,t}}},$

где $\omega = \beta (z_{0}^{{ - 4}} - z_{0}^{4}) + \left( {4\beta - \alpha } \right)(z_{0}^{{ - 2}} - z_{0}^{2})$. В этом случае уравнение (8) с параметром $t$ сводится к линейному алгебраическому уравнению и решается явно. Ищем решение уравнения (8) с параметром $t$ в виде

(17)

$A_{{nm}}^{ + }(t) = a\left( {n,t} \right)z_{0}^{{2m}}.$

Подставляя (16), (17) в уравнение (8), получаем

$a\left( {n,t} \right) = - \frac{{m(1 - z_{0}^{2}){{e}^{{\omega t}}}}}{{1 - z_{0}^{2} + mz_{0}^{{2n + 2}}{{e}^{{\omega t}}}}}.$

Следовательно,

$A_{{nm}}^{ + }(t) = - \frac{{m(1 - z_{0}^{2})z_{0}^{{2m}}{{e}^{{\omega t}}}}}{{1 - z_{0}^{2} + mz_{0}^{{2n + 2}}{{e}^{{\omega t}}}}}.$

Воспользовавшись теперь (9), (10), найдем решение

${{c}_{n}}(t) = \frac{{1 + mz_{0}^{{2n}}{{e}^{{\omega t}}}\left[ {1 - \frac{{mz_{0}^{4}{{e}^{{\omega t}}}}}{{1 - z_{0}^{2} + mz_{0}^{{2n + 2}}{{e}^{{\omega t}}}}}\frac{{z_{0}^{4}}}{{1 + z_{0}^{2}}}} \right]}}{{1 + mz_{0}^{{2n + 2}}{{e}^{{\omega t}}}\left[ {1 - \frac{{mz_{0}^{4}{{e}^{{\omega t}}}}}{{1 - z_{0}^{2} + mz_{0}^{{2n + 4}}{{e}^{{\omega t}}}}}\frac{{z_{0}^{4}}}{{1 + z_{0}^{2}}}} \right]}}.$

Такое решение называется солитонным решением. Аналогично можно построить N-солитонное решение, которое имеет место, когда начальному условию ${{c}_{n}}\left( 0 \right) = {{\hat {c}}_{n}}$ соответствуют данные рассеяния вида $\left\{ {{{r}^{ + }}{\kern 1pt} \left( {z,0} \right) \equiv 0;\;{{z}_{k}}(0) = {{z}_{k}},\;0 < z_{k}^{2} < 1;\;m_{k}^{ + }(0) = {{m}_{k}} > 0,\;k = 1,2,\;...,\;N} \right\}$.

Авторы выражают благодарность рецензенту за полезные замечания, которые способствовали улучшению содержания работы.

Список литературы

Богоявленский О.И. Некоторые конструкции интегрируемых динамических систем// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1987. Т. 51. № 4. С. 737–767.
Манаков C.B. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах // Ж. эксперим. и теор. физ. 1974. Т. 67. № 2. С. 543–555.
Березанский Ю.М. Интегрирование нелинейных разностных уравнений методом обратной спектральнойзадачи // Докл. АН СССР. 1985. Т. 281. № КС. 16–19.
Teschl G. Jacobi operators and completely integrable nonlinear lattices // Math. Surv. and Monographs, 72. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2000.
Ханмамедов Аг.Х. Метод интегрирования задачи Коши для ленгмюровской цепочки с расходящимсяначальным условием // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 9. С. 1639–1650.
Верещагин B.Л. Интегрируемая краевая задача для цепочки Вольтерра на полуоси / / Матем. заметки. 2006. Т. 80. № 5. С. 696–700.
Махмудова М.Г., Ханмамедов Аг.Х. Асимптотически периодическое решение задачи Коши для ленгмюровской цепочки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 12. С. 1639–1650.
Осипов А.С. Дискретный аналог уравнения Кортевега-де Фриза: интегрирование методом обратной задачи // Матем. заметки. 1994. Т. 56. № 6. С. 141–144.
Крейн C.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал