Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 2, стр. 286-300

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается волновое уравнение

при условиях где все функции, входящие в (1)–(3), комплекснозначные, причем $q(x)$, $\varphi (x)$, $\psi (x)$ из $L[0,1]$ и $f(x,t) \in L[{{Q}_{T}}]$, ${{Q}_{T}} = [0,1] \times [0,T]$ при любом $T > 0$.

Исследование задачи (1)–(3) проводится методом Фурье с использованием резольвентного подхода, предложенного в [1], [2], связанного с разбиением формального решения на части, следуя рекомендациям А.Н. Крылова (см. [3, гл. VI] по ускорению сходимости рядов Фурье, и является продолжением исследований работ [1], [2], [4]–[7]).

1. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

Под  классическим  решением  понимаем  функцию $u(x,t)$, непрерывную  вместе  с $u_{x}^{'}(x,t)$ и $u_{t}^{'}(x,t)$, причем $u_{x}^{'}(x,t)$ и $u_{t}^{'}(x,t)$ абсолютно непрерывны по $x$ и $t$ соответственно, удовлетворяющую условиям (2), (3) и почти всюду уравнению (1).  Поэтому  в  случае классического решения задачи (1)–(3) считаем, что $\varphi (x)$, $\varphi '(x)$ и $\psi (x)$ абсолютно непрерывны, $\varphi (0) = \varphi (1) = \psi (0) = \psi (1) = 0$, $\varphi ''(x) \in L[0,1]$, $\psi '(x) \in L[0,1]$.

Формальное решение задачи (1)–(3) по методу Фурье можно представить в виде (см. [5])

Здесь ${{R}_{\lambda }} = {{(L - \lambda E)}^{{ - 1}}}$ – резольвента оператора $L$: $Ly = - y''(x) + q(x)y(x)$, $y(0) = y(1) = 0$, $\lambda $ – спектральный параметр, $E$ – единичный оператор, ${{R}_{\lambda }}(f( \cdot ,\tau ))$ означает, что ${{R}_{\lambda }}$ применяется к $f(x,\tau )$ по $x$, $\lambda = {{\rho }^{2}}$, ${\text{Re}}\rho \geqslant 0$, ${{\gamma }_{n}}$ – образ в $\lambda $-плоскости окружности $\mathop {\tilde {\gamma }}\nolimits_n = \{ \rho {\text{||}}\rho - n\pi {\text{|}} = \delta \} $, $\delta > 0$ и достаточно мало, $r$ – достаточно велико и фиксировано, ${{n}_{0}}$ – такой номер, что при $n \geqslant {{n}_{0}}$ внутри ${{\gamma }_{n}}$ находится по одному собственному значению оператора $L$ и все ${{\gamma }_{n}}$ при $n \geqslant {{n}_{0}}$ находятся вне ${\text{|}}\lambda {\text{|}} = r$.

Теорема 1. Если $u(x,t)$ – классическое решение задачи (1)–(3), причем дополнительно $\tfrac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$ при любом $T > 0$, то оно единственно и находится по формуле (4), в которой ряд справа при любом фиксированном $t > 0$ сходится абсолютно и равномерно по $x \in [0,1]$.

Доказательство. Пусть $u(x,t)$ – классическое решение при условиях теоремы. При фиксированном $t$ решение $u(x,t)$ как функция $x$ принадлежит области определения оператора $L$. Поэтому

где ${{R}_{\lambda }}u( \cdot ,t)$ означает, что ${{R}_{\lambda }}$ применяется к $u(x,t)$ по переменной $x$, и ряд (5) сходится абсолютно и равномерно по $x \in [0,1]$.

Положим ${{R}_{\lambda }}u( \cdot ,t) = y(x,t,\lambda )$. Тогда

Привлекая функцию Грина, имеем Отсюда верно А поскольку $u(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3), то имеем Из (6) получаем Но $G(x,\xi ,\lambda )u_{{tt}}^{{''}}(\xi ,\tau ) \in L[{{Q}_{T}}]$ по переменным $\xi $ и $\tau $. Поэтому по теореме Фубини по $\tau $. Значит, Отсюда следует, что $y_{t}^{'}(x,t,\lambda )$ абсолютно непрерывна по $t$ и почти при всех $t$ получаем Из этой формулы в силу (7) имеем Но ${{R}_{\lambda }}(L - \lambda E + \lambda E)u = u(x,t) + \lambda {{R}_{\lambda }}u = u(x,t) + \lambda y(x,t,\lambda )$. Следовательно, верно или Кроме того, имеем Из общего решения уравнения (8) при начальных условиях (9) получаем Теперь в силу того, что функция $\tfrac{1}{\rho }\int_0^t {sin\rho (t - \tau )u(x,\tau )d\tau } $ есть целая по $\lambda $, из (5) следует утверждение теоремы.

Следствие 1. Если классическое решение задачи (1)–(3) единственно, то оно определяется формулой (4), т.е. по методу Фурье.

Формула (4) приводит к представлению

где ${{u}_{1}}(x,t)$ есть (4) при $\psi (x) = f(x,t) = 0$, ${{u}_{2}}(x,t)$ есть (4) при  $\varphi (x) = f(x,t) = 0$, ${{u}_{3}}(x,t)$  есть  (4) при $\varphi (x) = \psi (x) = 0$. Считаем здесь, что все классические решения берутся при условии $\tfrac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$, а также, что $u(x,t)$ означает и ряд (4), и его сумму.

2. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА В СЛУЧАЕ $q(x) = \varphi (x) = \psi (x) = 0$

Рассмотрим задачу

Теорема 2. Если $f(x,t) \in L[{{Q}_{T}}]$, то ряд формального решения задачи (11)–(13) по методу Фурье сходится при всех $x$ и $t$ и его сумма есть

где $\tilde {f}(\eta ,\tau )$ – нечетная и $2$-периодическая по $\eta $, причем $\tilde {f}(\eta ,\tau ) = f(\eta ,\tau )$ при $\eta \in [0,1]$ (таким обозначением пользуемся и в дальнейшем).

Эта теорема установлена в [5] для $f(x,t) \in {{L}_{2}}[{{Q}_{T}}]$ и в [7] для $f(x,t) \in L[{{Q}_{T}}]$.

В этом разделе мы получим следующий результат.

Теорема 3. Пусть $f(x,t) \in L[{{Q}_{T}}]$, почти при каждом $x$ функция $f(x,t)$ абсолютно непрерывна по $t$ и $f_{t}^{'}(x,t) \in L[{{Q}_{T}}]$ при любом $T > 0$. Тогда существует классическое решение задачи (11)–(13) и оно дается формулой (14), причем $\tfrac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$.

Доказательство. Нам представляется удобным приступить сразу к доказательству этой теоремы. Оно весьма большое и некоторые его элементы будем выделять в виде лемм. Теорема 2 подсказывает, что можно ограничиться проверкой того, что в нашем случае формула (14) дает классическое решение. Без ограничения общности считаем, что $f(x,t)$ абсолютно непрерывна по $t$ при каждом $x \in [0,1]$, так как для тех $x$, где это не выполняется, можно положить $f(x,t) = 0$, что не влияет на значение $u(x,t)$.

Лемма 1. При каждом $t$ функция $f(x,t)$ суммируема по $x \in [0,1]$.

Доказательство. Так как $\iint_{{{Q}_{T}}} {{\text{|}}{\kern 1pt} f(x,t){\text{|}}dxdt < \infty }$, то по теореме Фубини функция $f(x,t)$ почти при каждом $t$ суммируема по $x$. Пусть ${{t}_{0}}$ одно из таких $t$. Тогда опять по теореме Фубини имеем

Отсюда следует, что $f(x,t) \in L[0,1]$ по $x$ при любом фиксированном $t$.

Лемма 2. Функция $u(x,t)$ непрерывна и $u(0,t) = u(1,t) = u(x,0) = 0$.

Доказательство. Ограничимся доказательством наименее очевидного факта, что $u(1,t) = 0$. В тождестве $\tilde {f}(\eta + 2,\tau ) = \tilde {f}(\eta ,\tau )$ положим $\eta = \xi - 1$, получим $\tilde {f}(\xi + 1,\tau ) = \tilde {f}(\xi - 1,\tau )$, откуда в силу нечетности $\tilde {f}(\eta ,\tau )$ по $\eta $ следует нечетность $\tilde {f}(\eta ,\tau )$ относительно $\eta = 1$: $\tilde {f}(1 + \xi ,\tau ) = - \tilde {f}(1 - \xi ,\tau )$. Таким образом,

Лемма 3. Функция $u(x,t)$ непрерывно дифференцируема по $t$, причем имеет место формула

гдеФункции ${{J}_{1}}(x,t)$ и ${{J}_{2}}(x,t)$ непрерывны по $x$ и $t$.

Доказательство. Если $\tilde {f}(x,t)$ непрерывна, то формула (15) получается обычным дифференцированием интеграла (14). Пусть теперь $f(x,t)$ удовлетворяет условиям теоремы 3. Тогда правая часть (15) пока что лишена смысла (нечто вроде формального решения по методу Фурье). Выполним в ${{J}_{1}}(x,t)$ пока формально замену переменного $\xi = x + t - \tau $. Получим

А вот теперь правая часть (16) имеет смысл, так как верно равенство

Отсюда получаем, что интеграл (16) существует и представляет собой непрерывную функцию по $x$ и $t$. Аналогично убеждаемся, что и ${{J}_{2}}(x,t)$ есть

т.е. и ${{J}_{2}}(x,t)$ есть непрерывная функция по $x$ и $t$.

Теперь, поскольку $u(x,0) = 0$, есть основание ожидать, что

В самом деле, пользуясь теоремой Фубини, имеем

Лемма 4. Функция $u(x,t)$ непрерывно дифференцируема по $x$, причем

Доказательство. Если $\tilde {f}(x,t)$ непрерывна, то очевидно, что $u(x,t)$ из (14) непрерывно дифференцируема по $x$ и справедлива (18). Пусть теперь $f(x,t)$ удовлетворяет условиям теоремы 3. В лемме 3 было показано, что ${{J}_{1}}(x,t)$ и ${{J}_{2}}(x,t)$ непрерывны по $x$ и $t$. Положим

Имеем

Теперь приступим к нахождению $u_{{tt}}^{{''}}$ и $u_{{xx}}^{{''}}$. Для этого в силу лемм 3 и 4 надо найти производные по $x$ и $t$ у функций ${{J}_{1}}(x,t)$ и ${{J}_{2}}(x,t)$.

Лемма 5. При фиксированном $x$ функция ${{J}_{1}}(x,t)$ абсолютно непрерывна по $t$, причем почти при всех $t$

Доказательство. Если $\tilde {f}(x,t)$ и $\tilde {f}_{t}^{'}(x,t)$ непрерывны, то (19) сразу следует из (16). Пусть теперь $\tilde {f}(x,t)$ удовлетворяет условиям теоремы 3. Обозначим правую часть (19) через

По лемме 1 функция $\tilde {f}(x + t,0)$ интегрируема по $t$. Рассмотрим интеграл

Покажем, что он существует. Выполнив в нем замену $\eta = {{\eta }_{1}}$ и $\xi = x + \eta - {{\xi }_{1}}$, получим ($D$ – ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{2}}$), который существует. По теореме Фубини существует и $A$, в котором при фиксированном $x$ интеграл $\int_x^{x + \eta } {\tilde {f}_{t}^{'}(\xi ,x + t - \xi )d\xi } $ существует почти при всех $\eta $ и интегрируем по $\eta $. Таким образом, $A$ как функция $t$ абсолютно непрерывна. Значит, интеграл $\int_0^t {g(x,\eta )d\eta } $ абсолютно непрерывен по $t$. В интеграле $A$ поменяем порядок интегрирования. Получим Во внутреннем интеграле в (20) выполним замену $\tau = x + \eta - \xi $. Тогда в силу (16) и (17) имеем Отсюда получаем Следовательно, ${{J}_{1}}(x,t)$ абсолютно непрерывна по $t$ и верна формула (20).

Лемма 6. При фиксированном $t$ функция ${{J}_{1}}(x,t)$ абсолютно непрерывна по $x$ и почти при всех $x$

Доказательство. Если $\tilde {f}(x,t)$ и $\tilde {f}_{t}^{'}(x,t)$ непрерывны, то формула (21) получается дифференцированием интеграла

Пусть теперь $f(x,t)$ удовлетворяет условиям теоремы 3. Фиксируем $t$. По лемме 1 функции $\tilde {f}(x + t,0)$ и $\tilde {f}(x,t)$ суммируемы по $x$. Положим Покажем, что $B$ как функция $x$ суммируема. В самом деле, повторный интеграл заменой ${{\xi }_{1}} = \xi $, ${{x}_{1}} = x + t - \xi $ превращается в сходящийся двойной и, следовательно, (22) как двойной существует. Поэтому по теореме Фубини $B$ как функция $x$ суммируема. Пусть Мы только что установили, что $g(x,t)$ суммируема по $x$ и тем самым функция $\int_0^x {g(\xi ,t)d\xi } $ абсолютно непрерывна по $x$. Изучим эту функцию. Имеем Повторный интеграл в (23) запишем в виде Изменяя в ${{M}_{1}}$ порядок интегрирования, получаем Аналогичная процедура для ${{M}_{2}}$ дает Из (23) с помощью (24)–(26) получаем т.е. ${{J}_{1}}(x,t)$ абсолютно непрерывна по $x$ и почти всюду $2\tfrac{{\partial {{J}_{1}}(x,t)}}{{\partial x}} = g(x,t)$.

Лемма 7. При фиксированном $x$ функция ${{J}_{2}}(x,t)$ абсолютно непрерывна по $t$, причем при почти всех $t$ имеем

Лемма 8. При фиксированном $t$ функция ${{J}_{2}}(x,t)$ абсолютно непрерывна по $x$, причем при почти всех $x$ имеем

Эти леммы получаются аналогично леммам 5 и 6.

Приступим к завершению доказательства теоремы 3. Из лемм 3 и 4 следует, что $u(x,t)$ непрерывна и непрерывно дифференцируема по $x$ и $t$, причем $u_{t}^{'}(x,0) = 0$. Таким образом, на основании леммы 2 начальные и граничные условия выполняются. Далее, из лемм 5–8 и формул (27), (28) заключаем, что функции $u_{x}^{'}(x,t)$ и $u_{t}^{'}(x,t)$ абсолютно непрерывны по $x$ и по $t$ соответственно и почти всюду по $x$ и $t$ верно

т.е. уравнение (1) выполняется почти всюду. Кроме того, согласно леммам 5 и 7, $\tfrac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$. Теорема полностью доказана.

3. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА В СЛУЧАЕ $\psi (x) = f(x,t) = 0$

В этом разделе считаем, что ${{u}_{1}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) при $\psi (x) = f(x,t) = 0$. Представим ряд (4) для ${{u}_{1}}(x,t)$ в виде

где ${{u}_{{10}}}(x,t)$ получатся из ${{u}_{1}}(x,t)$ заменой ${{R}_{\lambda }}\varphi $ на $R_{\lambda }^{0}\varphi $, ${{u}_{{11}}}(x,t)$ получается из ${{u}_{1}}(x,t)$ заменой ${{R}_{\lambda }}\varphi $ на ${{R}_{\lambda }}\varphi - R_{\lambda }^{0}\varphi $. Здесь $R_{\lambda }^{0} = {{({{L}^{0}} - \lambda E)}^{{ - 1}}}$ и ${{L}^{0}}$ есть $L$ при $q(x) = 0$.

Лемма 9. Сумма ряда ${{u}_{{10}}}(x,t)$ есть ${{a}_{0}}(x,t)$, где ${{a}_{0}}(x,t)\tfrac{1}{2}[\tilde {\varphi }(x + t) + \tilde {\varphi }(x - t)]$, $\tilde {\varphi }(x)$ нечетна и $2$-периодична по $x \in \mathbb{R}$ и $\tilde {\varphi }(x) = \varphi (x)$ при $x \in [0,1]$. Ряд ${{u}_{{11}}}(x,t)$ сходится при каждом $t$ абсолютно и равномерно по $x \in [0,1]$.

Доказательство. По теореме вычетов рядов ${{u}_{{10}}}(x,t)$ есть

где $(f,g) = \int_0^1 {f(x)\overline {g(x)} dx} $. Отсюда следует, что где

Поскольку ${{u}_{1}}(x,t)$ – классическое решение, то в силу условий на $\varphi (x)$ ряд $\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {(\varphi (\xi ),sinn\pi \xi )sinn\pi x} $ сходится абсолютно и равномерно по $x$ на всей оси и его сумма есть $\tfrac{1}{2}\tilde {\varphi }(x)$. Следовательно, сумма ряда ${{u}_{{10}}}(x,t)$ равна

Наконец, из теоремы 1 и полученной сходимости ряда ${{u}_{{10}}}(x,t)$ следует утверждение леммы для ряда ${{u}_{{11}}}(x,t)$.

Далее, очевидно, что ${{u}_{{10}}}(x,t) = {{a}_{0}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) в случае $q(x) = \psi (x) = f(x,t) = 0$ и $\tfrac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{{10}}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$, т.е. имеют место равенства

Обозначим через $\Pi $ множество всех функций $f(x,t)$ нечетных и 2-периодичных по $x$ на всей оси ($t$ – параметр). Таким образом, $\Pi $ является образом ранее введенной однозначной линейной операции $\tilde {f}(x,t)$ продолжения $f(x,t)$ по $x$ с отрезка $[0,1]$ на всю ось. Легко видеть, что если $f(x,t) \in \Pi $, то и $\int_0^t {d\tau } \int_{x - t + \tau }^{x + t - \tau } {f(\eta ,\tau )d\eta \in \Pi } $. Далее считаем, что $q(x)$ продолжена четно и 2-периодично на всю ось. Очевидно, что если $f(x,t) \in \Pi $, то и $q(x)f(x,t) \in \Pi $. Кроме того, для упрощения обозначений значком $ \sim $ теперь пользоваться не будем, так как из текста будет ясно, о каких функциях идет речь.

Отсюда следует, что ${{u}_{{11}}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) с условием $\tfrac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{{11}}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$ и $\varphi (x) = \psi (x) = 0$, $f(x,t) = {{f}_{0}}(x,t)$, где

Таким образом, имеют место равенства По теореме 1 для ${{u}_{{11}}}(x,t)$ имеет место формула Теперь так же, как для ${{u}_{1}}(x,t)$, представим ряд (31) в виде где ${{a}_{1}}(x,t)$ получается из (31) заменой ${{R}_{\lambda }}$ на $R_{\lambda }^{0}$, ${{u}_{{12}}}(x,t)$ получается заменой ${{R}_{\lambda }}$ на ${{R}_{\lambda }} - R_{\lambda }^{0}$. Исследование формулы (32) сложнее, чем формулы (29).

Лемма 10. Функция ${{f}_{0}}(x,t)$ является нечетной и $2$-периодической по $x \in \mathbb{R}$.

Доказательство. Из (30) имеем

т.е. ${{f}_{0}}(x,t)$ есть 2-периодическая функция. Рассмотрим т.е. ${{f}_{0}}(x,t)$ нечетная.

Лемма 11. Сумма ряда ${{a}_{1}}(x,t)$ есть

Ряд ${{u}_{{12}}}(x,t)$ сходится при каждом $t$ абсолютно и равномерно по $x \in [0,1]$.

Доказательство. Функция ${{f}_{0}}(x,t)$ удовлетворяет условиям теоремы 3. Поэтому, с учетом леммы 10, ряд ${{a}_{1}}(x,t)$ сходится к функции (33) и функция ${{a}_{1}}(x,t)$ является классическим решением задачи (1)–(3) в случае $q(x) = \varphi (x) = \psi (x) = 0$ и $f(x,t) = {{f}_{0}}(x,t)$. Следовательно, по теореме 1 ряд ${{a}_{1}}(x,t)$ при каждом $t$ сходится абсолютно и равномерно по $x \in [0,1]$. Отсюда, с учетом, что ${{u}_{{11}}}(x,t)$ – тоже классическое решение, следует утверждение леммы для ряда ${{u}_{{12}}}(x,t)$.

Следствие 2. Функция ${{u}_{{12}}}(x,t)$ является классическим решением задачи (1)–(3) с условиями

Лемма 12. Функция ${{a}_{1}}(x,t)$, определенная по формуле (33), является нечетной и $2$-периодической по $x \in \mathbb{R}$ и линейно зависит от $\varphi (x)$.

Доказательство. Линейная зависимость ${{a}_{1}}(x,t)$ от $\varphi (x)$ легко следует из определения ${{a}_{0}}(x,t)$ (лемма 9), формул (30), (33) и однозначного определения операции нечетного 2-периодического продолжения с $[0,1]$ на $\mathbb{R}$. Далее, в силу леммы 10

т.е. ${{a}_{1}}(x,t)$ – 2-периодическая. Убедимся теперь, что ${{a}_{1}}(x,t)$ нечетная. В самом деле. Но в силу леммы 10 имеем Поэтому верно

Продолжим этот процесс до бесконечности по формулам

Аналогично леммам 9–12 устанавливаются следующие две леммы.

Лемма 13. Функции ${{a}_{n}}(x,t)$, ${{f}_{n}}(x,t)$ принадлежат $\Pi $ и линейно зависят от $\varphi (x)$.

Лемма 14. Функции ${{u}_{{1n}}}(x,t)$, $n = 1,2,\; \ldots $, есть классическое решение задачи (1)–(3) при $\varphi (x) = \psi (x) = 0$, $f(x,t) = {{f}_{{n - 1}}}(x,t)$ и $\tfrac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{{1n}}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$.

Лемма 15. Имеют место формулы

где

Доказательство. По формулам (29) и (36) имеем

По лемме 14 функция ${{u}_{{1n}}}(x,t)$ – классическое решение. Тогда в силу теорем 1 и 3 получим

Отсюда и из (37) следует утверждение леммы.

Лемма 16. Пусть $t \in [0,T]$, $T$ – произвольное положительное число, $m$ – наименьшее натуральное число, такое что $T \leqslant m$. Тогда справедливы оценки

где ${{M}_{1}} = \;{{\left\| {{{a}_{1}}(x,t)} \right\|}_{{C[{{Q}_{T}}]}}}$, ${{M}_{2}} = (2m + 1){{\left\| q \right\|}_{1}}$ $({{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{1}}$ – норма в $L[0,1])$. Кроме того, ${{M}_{1}} \leqslant {{C}_{T}}{{\left\| \varphi \right\|}_{1}}$, постоянная ${{C}_{T}}$ не зависит от $\varphi (x)$.

Доказательство. Как видно из формул (34), (35),

При $n = 1$ оценка очевидно, выполняется.

Предположим, что (38) выполняется для некоторого $n$. Докажем, что она выполняется и для $n + 1$. Рассмотрим

Следовательно, (38) справедлива для любого $n = 1,2,\; \ldots $

Оценим ${{M}_{1}}$. Рассмотрим

Теорема 4. Если ${{u}_{1}}(x,t)$ – классическое решение задачи (1)–(3) при $\psi (x) = f(x,t) = 0$, то

и ряд $A(x,t)$ сходится абсолютно и равномерно по $x,t \in {{Q}_{T}}$ при любом $T > 0$.

Доказательство. Из леммы 16 следует, что ряд $A(x,t)$ сходится абсолютно и равномерно по $x,t \in {{Q}_{T}}$. На основании оценок, полученных в [5], заключаем, что при $\rho \in \mathop {\tilde {\gamma }}\nolimits_k $ имеем

где $c$ – константа, не зависящая от $k$ и $\tau $, а в силу леммы 16 получим Из оценок (40) и (41) получаем, что остаточный член ${{\Omega }_{n}}(x,t)$ в лемме 15 равномерно по $x,t \in {{Q}_{T}}$ стремится к нулю. Следовательно, справедлива формула (39).

Следствие 3. Как видно из доказательства, ряд $A(x,t)$ сходится и в случае $\varphi (x) \in L[0,1]$, при этом

Как показано в [4], имеет место

Теорема 5. Если $\varphi (x)$, $\varphi '(x)$ абсолютно непрерывны, $\varphi (0) = \varphi (1) = 0$, $L\varphi \in {{L}_{p}}[0,1]$ $(p > 1)$, то классическое решение ${{u}_{1}}(x,t)$ задачи (1)–(3) при любом $T > 0$ существует и для него справедлива формула (39).

Теорема 6. Пусть $\varphi (x) \in L[0,1]$ и ${{u}_{{1h}}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) для ${{u}_{1}}(x,t)$ с ${{\varphi }_{h}}(x)$ вместо $\varphi (x)$, $\mathop {lim}\limits_{h \to 0} {{\left\| {{{\varphi }_{h}} - \varphi } \right\|}_{1}} = 0$. Тогда $\mathop {lim}\limits_{h \to 0} {{\left\| {{{u}_{{1h}}}(x,t) - v(x,t)} \right\|}_{{L[{{Q}_{T}}]}}} = 0$.

Доказательство. По лемме 16 имеем

Поэтому

Неравенство (43) справедливо и для $v(x,t) = {{u}_{{1h}}}(x,t)$, $\varphi (x) = {{\varphi }_{h}}(x)$.

Из этих неравенств, учитывая, что в силу леммы 13 функция $v(x,t)$ линейно зависит от $\varphi (x)$, имеем

Отсюда следует утверждение теоремы.

Таким образом, функцию $v(x,t)$ из (34) можно рассматривать как обобщенное решение задачи (1)–(3) для ${{u}_{1}}(x,t)$.

4. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА В СЛУЧАЕ $\varphi (x) = f(x,t) = 0$

В этом разделе считаем, что ${{u}_{2}}(x,t)$ из (10) есть классическое решение (1)–(3) при $\varphi (x) = f(x,t) = 0$. Представим ряд (4) для ${{u}_{2}}(x,t)$ в виде

где ${{u}_{{20}}}(x,t)$ получается из ${{u}_{2}}(x,t)$ заменой ${{R}_{\lambda }}\psi $ на $R_{\lambda }^{0}\psi $, ${{u}_{{21}}}(x,t)$ получается из ${{u}_{2}}(x,t)$ заменой ${{R}_{\lambda }}\psi $ на ${{R}_{\lambda }}\psi - R_{\lambda }^{0}\psi $.

Лемма 17. Сумма ряда ${{u}_{{20}}}(x,t)$ есть ${{b}_{0}}(x,t) = \tfrac{1}{2}\int_{x - t}^{x + t} {\tilde {\psi }(\tau )d\tau } $, где $\tilde {\psi }(x)$ нечетна и $2$-периодична по $x \in \mathbb{R}$ и $\tilde {\psi }(x) = \psi (x)$ при $x \in [0,1]$. Ряд ${{u}_{{21}}}(x,t)$ сходится при каждом $t$ абсолютно и равномерно по $x \in [0,1]$.

Доказательство. В рассматриваемом случае $\psi (x)$ абсолютно непрерывна и $\psi (0) = \psi (1) = 0$, поэтому $\tilde {\psi }(x)$ тоже абсолютно непрерывна по $x \in \mathbb{R}$. Из определения ${{b}_{0}}(x,t)$ непосредственно следует, что ${{b}_{0}}(x,t)$ является классическим решением задачи (1)–(3) при $\psi (x) = q(x) = f(x,t) = 0$ и удовлетворяет условию $\tfrac{{{{\partial }^{2}}{{b}_{0}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$. Следовательно, по теореме 1 ряд ${{u}_{{20}}}(x,t)$ при каждом $t$ сходится к ${{b}_{0}}(x,t)$ равномерно по $x \in [0,1]$. Из этой сходимости следует утверждение леммы для ряда ${{u}_{{21}}}(x,t)$.

Итак, ${{u}_{{20}}}(x,t) = {{b}_{0}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) в случае $q(x) = \varphi (x) = f(x,t) = 0$ и с условием $\tfrac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{{20}}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$, т.е.

Отсюда следует, что ${{u}_{{21}}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) с условием $\tfrac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{{21}}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$ и $\varphi (x) = \psi (x) = 0$, $f(x,t) = {{g}_{0}}(x,t)$, где Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям разд. 3 после формулы (30). В результате верна

Теорема 7. Если ${{u}_{2}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) при $\varphi (x) = f(x,t) = 0$, то

гдеи ряд $B(x,t)$ сходится абсолютно и равномерно в ${{Q}_{T}}$ при любом $T > 0$.

Как показано в [6], такое классическое решение существует, если $\psi (x)$ абсолютно непрерывна, $\psi (0) = \psi (1) = 0$, $\psi {\kern 1pt} '(x) \in {{L}_{2}}[0,1]$.

Ряд $B(x,t)$ сходится абсолютно и равномерно в ${{Q}_{T}}$ и при любой $\psi (x) \in L[0,1]$. Обозначим его сумму в этом случае через $w(x,t)$. Теорема 6 имеет место и в этом случае, причем здесь из $\mathop {lim}\limits_{h \to 0} {{\left\| {{{\psi }_{h}} - \psi } \right\|}_{1}} = 0$ следует $\mathop {lim}\limits_{h \to 0} {{\left\| {{{u}_{{2h}}}(x,t) - w(x,t)} \right\|}_{{C[{{Q}_{T}}]}}} = 0$. Таким образом, функцию $w(x,t)$ можно рассматривать как обобщенное решение задачи (1)–(3) для ${{u}_{2}}(x,t)$.

5. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА В СЛУЧАЕ $\varphi (x) = \psi (x) = 0$

В этом разделе считаем, что ${{u}_{3}}(x,t)$ из (10) есть классическое решение (1)–(3) при $\varphi (x) = \psi (x) = 0$ и $f(x,t)$ удовлетворяет условиям теоремы 3.

Представим ряд (4) для ${{u}_{3}}(x,t)$ в виде

где ${{u}_{{30}}}(x,t)$ получается из ${{u}_{3}}(x,t)$ заменой ${{R}_{\lambda }}(f( \cdot ,\tau ))$ на $R_{\lambda }^{0}(f( \cdot ,\tau ))$, ${{u}_{{31}}}(x,t)$ получается из ${{u}_{3}}(x,t)$ заменой ${{R}_{\lambda }}(f( \cdot ,\tau ))$ на ${{R}_{\lambda }}(f( \cdot ,\tau )) - R_{\lambda }^{0}(f( \cdot ,\tau ))$.

Лемма 18. Сумма ряда ${{u}_{{30}}}(x,t)$ есть ${{d}_{0}}(x,t) = \tfrac{1}{2}\int_0^t {d\tau } \int_{x - t + \tau }^{x + t - \tau } {\tilde {f}(\eta ,\tau )d\eta } $, а ряд ${{u}_{{31}}}(x,t)$ сходится при каждом $t$ абсолютно и равномерно по $x \in [0,1]$.

Доказательство. По теореме 3 функция ${{d}_{0}}(x,t)$ является классическим решением задачи (1)–(3) при $q(x) = \varphi (x) = \psi (x) = 0$ и удовлетворяет условию $\tfrac{{{{\partial }^{2}}{{d}_{0}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$. Следовательно, по теореме 1 ряд ${{u}_{{30}}}(x,t)$ при каждом $t$ сходится к ${{d}_{0}}(x,t)$ равномерно по $x \in [0,1]$. Из этой сходимости следует утверждение леммы для ряда ${{u}_{{31}}}(x,t)$.

Итак, ${{u}_{{30}}}(x,t) = {{d}_{0}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) в случае $q(x) = \varphi (x) = \psi (x) = 0$ с условием $\tfrac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{{30}}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$, т.е.

Отсюда следует, что ${{u}_{{31}}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) с условием $\tfrac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{{31}}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} \in L[{{Q}_{T}}]$ и $\varphi (x) = \psi (x) = 0$, $f(x,t) = {{m}_{0}}(x,t)$, где Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям разд. 3 после формулы (30). В результате верна

Теорема 8. Если ${{u}_{3}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) при $\varphi (x) = \psi (x,t) = 0$ и $f(x,t)$ удовлетворяет условиям теоремы 3, то

гдеи ряд $D(x,t)$ сходится абсолютно и равномерно в ${{Q}_{T}}$ при любом $T > 0$.

Как показано в [5], такое классическое решение существует, если $f(x,t)$ и $f_{t}^{'}(x,t)$ непрерывны, $f(0,t) = f(1,t) = 0$.

Ряд $D(x,t)$ сходится при любой $f(x,t) \in L[{{Q}_{T}}]$. Обозначим его сумму через $z(x,t)$. Теорема 6 имеет место и в этом случае, причем здесь из $\mathop {lim}\limits_{h \to 0} {{\left\| {{{f}_{h}}(x,t) - f(x,t)} \right\|}_{{L[{{Q}_{T}}]}}} = 0$ следует $\mathop {lim}\limits_{h \to 0} {{\left\| {{{u}_{{3h}}}(x,t) - z(x,t)} \right\|}_{{C[{{Q}_{T}}]}}} = 0$. Поэтому функцию $z(x,t)$ можно рассматривать как обобщенное решение задачи (1)–(3) для ${{u}_{3}}(x,t)$.