Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 3, стр. 429-440

2.1. Структура работы

Итак, будем рассматривать экспериментально полученную выборку временного ряда значений плотности низкочастотной турбулентной плазмы (единица измерения времени 1 мкс): $\rho = ({{\rho }_{k}};\;k = 1,\; \ldots ,\;n)$. Сигнал плотности нормирован на величину средней плотности плазмы на краю центральной зоны в Токамаке Т-10, которая составляет величину $1 \times {{10}^{{13}}}$ частиц/см³ (это типичное значение в токамаках) (см. [2, с. 907]). Исследованный сигнал измерен в зоне, где наблюдается явление перемежаемости с признаками дальних корреляций. На фиг. 1 приведен график упомянутого временного ряда.

Заметим, что при визуальном анализе этого графика наблюдается слабо возрастающая тенденция представленного временного ряда, это позволяет заранее предположить наличие степенного тренда с параметром степенного изменения $0 \leqslant \nu \leqslant 0.5$ (см. соотношение (3)).

Проверим адекватность модели нестационарного шума (2) на соответствие этим выборочным данным. Для этого мы реализуем следующую схему.

Схема оценки адекватности модели. 1. Для каждого $\nu \in [0,1]$ решаем систему (2) (в данной работе значение $\nu $ выбирается из множества {$k{\text{/}}{{10}^{3}}$: $k = 0, \ldots ,\;5 \times {{10}^{2}}$}). В итоге получаем последовательность ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ (зависящую от $\nu $).

2. Используя метод 1 (см. п. 3.1), с помощью последовательности ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ находим оценки параметров степенного изменения дисперсии ${{S}_{n}} = \sum\nolimits_{k = 1}^n \,{{X}_{k}}$, а именно: оценку $H{\text{*}}(\nu )$ параметра Хёрста и оценку $\sigma {\text{*}}(\nu )$ коэффициента степенного изменения.

3. На выборке ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ определяем меру соответствия ${{{\text{M}}}_{e}}(\nu )$ (где $e$ – наперед заданный уровень значимости) основной гипотезе о степенном поведении дисперсии ${{S}_{n}}$ и стационарности этой последовательности (см. п. 3.2, метод 2).

4. Выбираем $\nu {\text{*}}$, для которого ${{{\text{M}}}_{e}}(\nu )$ принимает максимальное значение.

5. Получаем пару значений $(\nu *,{\text{H*}})$ и значение меры соответствия ${{{\text{M}}}_{e}}(\nu {\kern 1pt} {\text{*}})$, при котором можно говорить об адекватности модели (2) по ее соответствию выборочным данным.

Далее, используя выборку (${{X}_{k}}$), соответствующую оценке $\nu {\text{*}}$, реализуем схему стохастического моделирования временного ряда $({{\rho }_{k}})$ (см. п. 3.3, метод 3 и п. 3.4).

В п. 3.5 приводятся численные результаты оценки адекватности модели нестационарного шума на выборке значений плотности плазмы, а также результаты стохастического моделирования.

В разд. 4 представлена модель блуждания, построенная по временному ряду значений плотности плазмы, для которой установлен супердиффузионный режим переноса.

Разд. 5 представляет собой заключение, в котором собраны основные результаты настоящей работы.

3.1. Вычисление параметра Хёрста

Приведем метод дисперсий (см., например, [8], [9]), который будет использоваться для поиска параметра Хёрста и коэффициента степенного изменения (см. соотношение (1)). Отметим, что для вычисления этих параметров в этом методе используются условия стационарности последовательности (${{X}_{k}}$) и степенного поведения дисперсии суммы ${{S}_{n}} = \sum\nolimits_{k = 1}^n \,{{X}_{k}}$.

Метод 1. 1. Центрируем выборку ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$, т.е. найдем $X_{k}^{ * } = {{X}_{k}} - a{\kern 1pt} *$, $k = 1,\; \ldots ,\;n$. В итоге получаем выборку ${{(X_{k}^{ * })}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$.

2. Для $L = 0,\; \ldots ,\;m - 2$ ($m = [lo{{g}_{2}}(n)]$, где $[ \cdot ]$ – целая часть числа) масштабируем данные:

$X_{j}^{{(L)}} = \sum\nolimits_{i = (j - 1){{2}^{L}} + 1}^{j{{2}^{L}}} \,X_{i}^{ * }$,    $j = 1,\; \ldots ,\;{{2}^{{m - L}}}$.

3. Находим стандартное отклонение ${{\bar {V}}_{L}}$ масштабированных данных:

4. Составляем модель линейной регрессии $ln{{\bar {V}}_{L}} = HLln2 + b + {{\varepsilon }_{L}}$, $L = 0,\; \ldots ,\;m - 2$, где ${{\varepsilon }_{L}}$ – ошибки модели.

5. Методом наименьших квадратов находим оценку ${\text{H*}}$ параметра Хёрста ${\text{H}}$ и свободный коэффициент $b$. Используя $b$, определяем оценку $\sigma * = expb$ параметра $\sigma $.

3.2. Проверка стационарности

Центрированную гауссовскую последовательность $f = ({{f}_{k}};\;k = 1,\; \ldots ,\;n)$ будем называть фрактальным шумом с параметром ${\text{H}} \in (0,1)$ (см., например, [8]), если ее ковариационная матрица $R = {{({{r}_{{ij}}})}_{{i,j = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ имеет вид

где $\delta $ – ненулевой параметр.

Непосредственно из определения следует стационарность последовательности $({{f}_{k}})$ и закон изменения дисперсии суммы $\left\langle {{{{\left( {\sum\nolimits_{k = 1}^n \,{{f}_{k}}} \right)}}^{2}}} \right\rangle = {{\delta }^{2}}{{n}^{{2{\text{H}}}}}$ (в случае ${\text{H}} = 1{\text{/}}2$ получаем белый шум).

Для любой невырожденной ковариационной матрицы $R$ гауссовской последовательности найдется ортогональная матрица $C$ и диагональная $D$ такие, что ${{C}^{{\text{т }}}}RC = D$ (для поиска матриц $C$ и $D$ автор использовал функцию eig математического пакета Matlab). Пусть $B = \sqrt D $. Отметим, что произведение $({{B}^{{ - 1}}}{{C}^{{\text{т }}}}){{f}^{{\text{т }}}}$ дает вектор ${{\eta }^{{\text{т }}}}$ с независимыми стандартными нормальными компонентами (см., например, [10]).

В следующем методе 2 мы приведем критерий проверки того, что выборка ($X_{j}^{{(\tau )}}$, $j = 1,\; \ldots ,\;[n{\text{/}}\tau ]$), где $X_{j}^{{(\tau )}} = \sum\nolimits_{i = (j - 1)\tau + 1}^{j\tau } \,({{X}_{i}} - a*)$ и $1 \leqslant \tau < n$ (напомним, что $a* = \tfrac{1}{n}\sum\nolimits_{i = 1}^n \,{{X}_{i}}$) является фрактальным шумом. Отметим, что масштабный параметр $\tau $ необходимо выбирать так, чтобы $\tau \gg 1$ и $n{\text{/}}\tau \gg 1$. Условие $n{\text{/}}\tau \gg 1$ обеспечивает корректное применение критерия Пирсона для проверки нормальности (см. ниже п. 6). Условие $\tau \gg 1$ должно обеспечить близость распределения случайной величины $\sum\nolimits_{i = 1}^\tau \,{{X}_{i}} - \tau a$ к нормальному закону, а также близость $\left\langle {{{{\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^\tau \,{{X}_{i}} - \tau a} \right)}}^{2}}} \right\rangle $ к ${{\sigma }^{2}}{{\tau }^{{2{\text{H}}}}}$ (см. соотношение (1)).

Метод 2. 1. Методом дисперсий (см. метод 1) находим оценки $\sigma {\text{*}}$ и ${\text{H*}}$ параметров $\sigma $ и ${\text{H}}$ соответственно.

2. Центрируем с помощью $a{\text{*}}$ выборку (${{X}_{k}}$; $k = 1,\; \ldots ,\;n$). Получаем $X_{k}^{ * } = {{X}_{k}} - a{\text{*}}$, $k = 1,\; \ldots ,\;n$.

3. Формируем выборку

4. Определяем ковариационную матрицу $R$ (см. соотношение 4), где $\delta = \sigma {\text{*}}{{\tau }^{{{\text{H*}}}}}$ (учитываем степенное поведение дисперсии блока длины $\tau $).

5. Используя матрицу $R$, находим матрицы $B$ и $C$. Умножив ${{B}^{{ - 1}}}{{C}^{{\text{т }}}}$ на вектор ${{(X_{j}^{{(\tau )}};\;j = 1, \ldots ,\;\left[ {n{\text{/}}\tau } \right])}^{{\text{т }}}}$, получаем выборку (${{\eta }_{i}}$; $i = 1,\; \ldots ,\;[n{\text{/}}\tau ]$).

6. На реализации выборки (${{\eta }_{i}}$; $i = 1,\; \ldots ,\;[n{\text{/}}\tau ]$) найдем реально достигнутый уровень значимости критерия Пирсона при основной гипотезе о стандартной нормальности выборки.

6.1. Пусть $m = [n{\text{/}}\tau ]$ (здесь $[ \cdot ]$ – целая часть числа). Разобьем числовую ось на $k = [lo{{g}_{2}}m] + 1$ непересекающихся интервалов ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}},\; \ldots ,{{\Delta }_{k}}$ так, чтобы $m{{\Phi }_{{0,1}}}({{\Delta }_{1}}) = m{{\Phi }_{{0,1}}}({{\Delta }_{2}}) = \ldots = m{{\Phi }_{{0,1}}}({{\Delta }_{k}}) = m{\text{/}}k$, где ${{\Phi }_{{0,1}}}$ – функция распределения стандартного нормального закона. Определяем на выборке (${{\eta }_{i}}$; $i = 1,\; \ldots ,\;[n{\text{/}}\tau ]$) значение статистики Пирсона $\Pi = \sum\nolimits_{i = 1}^k {{\left( {\tfrac{{{{\nu }_{i}} - m{\text{/}}k}}{{m{\text{/}}k}}} \right)}^{2}}$, где ${{\nu }_{i}}$ – число попаданий элементов выборки (${{\eta }_{i}}$) в ${{\Delta }_{i}}$, $i = 1,\; \ldots ,\;k$.

6.2. Имея в виду три оцениваемых параметра $a$, $\sigma $ и ${\text{H}}$, находим реально достигнутый уровень значимости критерия Пирсона, а именно: $\varepsilon (\tau ) = 1 - \chi _{{k - 4}}^{2}(\Pi )$, где $\chi _{{k - 4}}^{2}( \cdot )$ – известное распределение ${{\chi }^{2}}$ с $k - 4$ степенями свободы.

Заметим, что при дополнительных ограничениях на последовательность (${{X}_{k}}$), включая условие ${\text{H}} > 1{\text{/}}2$ и $\left\langle {X_{1}^{\alpha }} \right\rangle < + \infty $ при некотором $\alpha > 2$, из [11, теорема 3] следует “весьма грубая” оценка ${{\varepsilon }_{\tau }} = O\left( {{{\tau }^{{ - \frac{{\alpha - 2}}{{2(\alpha + 1)}}}}}} \right)$ нормальной аппроксимации распределения $\sum\nolimits_{i = 1}^\tau {{X}_{i}} - \tau a$.

При гипотезе о стационарности выборки ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ и степенном поведении дисперсии (см. соотношение (1)) (в дальнейшем эту гипотезу будем называть основной) приведем метод вычисления меры соответствия этой гипотезе. Выберем целочисленный интервал $T = \left\{ {\tau \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}{\text{:}}\;{{\tau }_{1}} \leqslant \tau \leqslant {{\tau }_{2}}} \right\}$ такой, что ${{\tau }_{1}} \gg 1$ и $n{\text{/}}{{\tau }_{2}} \gg 1$.

Если для значительного числа точек $\tau $ интервала $T$ (далее, мы формализуем, что это значит) удастся установить на некотором уровне значимости $e$, что выборка ($X_{j}^{{(\tau )}}$, $j = 1,\; \ldots ,\;[n{\text{/}}\tau ]$) является фрактальным шумом, то это и будет подтверждать основную гипотезу для выборки ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$.

Пусть $X$ – произвольное подмножество множества ${{\mathbb{Z}}_{ + }}$, через $l(X)$ будем обозначать число целых точек множества $X$. Для каждого значения $\tau $ из интервала $T$ найдем реально достигнутый уровень значимости: $\varepsilon (\tau )$ (см. п. 6.2). Заранее выберем некоторый уровень значимости $e$. Из интервала $T$ выделим подмножество $S = \left\{ {\tau \in T{\text{:}}\;\varepsilon (\tau ) > e} \right\}$. Определим отношение ${{{\text{M}}}_{e}} = l(S){\text{/}}l(T)$. В дальнейшем значение ${{{\text{M}}}_{e}}$ будем называть мерой соответствия основной гипотезе (о стационарности выборки ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ и степенном поведении дисперсии). Отметим, что при уровне значимости $e$ принимается ${{{\text{M}}}_{e}} \times 100$% (от общего числа $l(T)$) гипотез о том, что последовательность ($X_{j}^{{(\tau )}}$, $j = 1,\; \ldots ,\;[n{\text{/}}\tau ]$) для каждого $\tau \in S$ является фрактальным шумом. Следовательно, достаточно большое значение ${{{\text{M}}}_{e}}$ (скажем, более 0.05) свидетельствует в пользу принятия основной гипотезы для исследуемого ряда наблюдений ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$.

В настоящей работе исследуется выборка объемом $n = 500{\kern 1pt} {\kern 1pt} 001$, при этом $\tau $ выбирается из промежутка $T = [100,\;1000]$. В этом случае $m = [n{\text{/}}\tau ] \geqslant 500$ и $m{{\Phi }_{{0,1}}}({{\Delta }_{1}}) \geqslant 51$ (см. п. 6.1). Значение $e$ будем выбирать равным 0.05. Отметим, во-первых, что увеличение ${{\tau }_{2}}$ (правой границы интервала $T$) может привести к значительной погрешности при вычислении $\varepsilon ({{\tau }_{2}})$, возникающей при замене распределения статистики Пирсона на распределение ${{\chi }^{2}}$, и, во-вторых, уменьшение ${{\tau }_{1}}$ (левой границы интервала $T$) может привести к значительному отклонению распределения $\sum\nolimits_{i = 1}^{{{\tau }_{1}}} \,{{X}_{i}} - {{\tau }_{1}}a$ от нормального закона, а также отклонению $\left\langle {{{{\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^{{{\tau }_{1}}} \,{{X}_{i}} - {{\tau }_{1}}a} \right)}}^{2}}} \right\rangle $ от ${{\sigma }^{2}}\tau _{1}^{{2{\text{H}}}}$.

Заметим, что из-за отсутствия точных оценок нормальной аппроксимации распределения $\sum\nolimits_{i = 1}^\tau \,{{X}_{i}}$ и оценок скорости сходимости в теореме Пирсона не представляется возможным выбрать интервал ${{T}_{0}}$, для которого $mi{{n}_{{\tau \in {{T}_{0}}}}}\varepsilon (\tau )$ определит реально достигнутый уровень значимости при проверке вышеприведенной основной гипотезы. Поэтому рассматривается достаточно широкий интервал $T$, границы которого определяются априорными соображениями о “накоплении нормальности” и “корректности применения критерия Пирсона”. На этом интервале ${{{\text{M}}}_{e}}$ показывает относительное число всех превышений заранее заданного уровня значимости $e$ в множестве $\left\{ {\varepsilon (\tau ){\text{:}}\;\tau \in T} \right\}$, при этом величина ${{{\text{M}}}_{e}}$ (как это отмечено выше) определяет уровень соответствия основной гипотезе.

3.3. Моделирование стационарного шума

Пусть (${{Y}_{k}}$; $k = 1,\; \ldots ,\;n$) – некоторая центрированная стационарная последовательность случайных величин с ковариационной функцией $\gamma (l)$, $l = 0,\; \ldots ,\;n - 1$. Обозначим через $F$ распределение случайной величины ${{Y}_{1}}$. Будем моделировать стационарную последовательность с маргинальным распределением $F$ и ковариационной функцией $\gamma (l)$, $l = 0,\; \ldots ,\;n - 1$, методом обратной функции (см., например, [12], [13]).

Положим $Y_{k}^{ * } = {{F}^{{ - 1}}}({{\Phi }_{{0,1}}}(g(k)))$, $k = 1,\; \ldots ,\;n$, где ${{\Phi }_{{0,1}}}$ – функция распределения стандартного нормального закона, ($g(k)$; $k = 1,\; \ldots ,\;n$) – некоторая стационарная гауссовская последовательность с нулевым средним, единичной дисперсией и ковариационной функцией $\theta (l)$, $l = 0,\; \ldots ,\;n - 1$, ${{F}^{{ - 1}}}(t) = inf\left\{ {x{\text{:}}\;F(x) \geqslant t} \right\}$ – квантильное преобразование функции $F$. Отметим, что распределения случайных величин $Y_{1}^{ * }$ и ${{Y}_{1}}$ совпадают. Очевидно, что для ковариационной функции $\gamma {\text{*}}(l) = \left\langle {Y_{1}^{ * }Y_{{l + 1}}^{ * }} \right\rangle $, $l = 0,\; \ldots ,\;n - 1$, последовательности $(Y_{k}^{ * })$ выполняется соотношение

где ${{f}_{\theta }}$ – плотность распределения двумерного гауссовского вектора с нулевыми средними, единичной дисперсией компонент и коэффициентом корреляции между компонентами $\theta = \theta (l)$. Отметим, что интеграл (5) с помощью замены приводится к более удобному для вычислений виду

Если удается подобрать гауссовскую последовательность ($g(k)$; $k = 1,\; \ldots ,\;n$) такую, что $\gamma {\text{*}}(l) = \gamma (l)$ для всех $l = 0,\; \ldots ,\;n - 1$, то можно говорить о том, что $(Y_{k}^{ * })$ моделирует последовательность $({{Y}_{k}})$ (совпадают маргинальные распределения и ковариационные функции).

Отметим, что в данной работе нам неизвестно маргинальное распределение $F$ и ковариационная функция $\gamma $. Поэтому $F$ мы заменим на эмпирическую функцию распределения ${{F}_{n}}$, построенную по выборке (${{Y}_{k}}$; $k = 1,\; \ldots ,\;n$), а функцию $\gamma (l)$ заменим на ее оценку ${{\gamma }_{n}}(l) = \tfrac{1}{{n - l}}\sum\nolimits_{k = 1}^{n - l} \,{{Y}_{k}}{{Y}_{{k + l}}}$, где $l = 0,\; \ldots ,\;m$. Далее, рассмотрим соотношение (5) как уравнение относительно $\theta $, в котором в качестве левой части возьмем ${{\gamma }_{n}}(l)$. Решение этого уравнения обозначим через ${{\theta }_{n}}(l)$, $l = 0,\; \ldots ,\;m$. Отметим, что положительная определенность матрицы ${{({{a}_{{ij}}})}_{{i,j = 1,\; \ldots ,\;m + 1}}}$, где ${{a}_{{ij}}} = {{\theta }_{n}}\left( {\left| {i - j} \right|} \right)$, обеспечивает существование гауссовской последовательности $({{g}_{n}}(k))$ и, стало быть, возможность моделирования методом обратной функции.

Значение $m$ подбирается так, что выполняются следующие два условия: во-первых, $n - m \gg 1$ и, во-вторых, $m \gg 1$. Первое условие должно обеспечить близость оценки ${{\gamma }_{n}}(l)$ к истинному значению $\gamma (l)$. В итоге получаем последовательность $Y_{k}^{ * } = F_{n}^{{ - 1}}\left( {{{\Phi }_{{0,1}}}({{g}_{n}}(k))} \right)$, $k = 1,\; \ldots ,\;m + 1$. Второе условие обеспечивает достаточно большой объем выборки $(Y_{k}^{ * })$. Объединим вышесказанное в методе 3.

Пусть имеется стационарный ряд наблюдений ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$. Через $\beta * = \sqrt {\tfrac{1}{n}\sum\nolimits_{i = 1}^n \,{{{({{X}_{i}} - a*)}}^{2}}} $ обозначим оценку стандартного отклонения $\beta = \sqrt {\left\langle {X_{1}^{2}} \right\rangle - {{{\left\langle {{{X}_{1}}} \right\rangle }}^{2}}} $.

Метод 3. 1. Находим оценки $a{\text{*}}$ и $\beta {\text{*}}$ параметров $a$ и $\beta $ соответственно.

2. Центрируем и нормируем последовательность ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ с помощью $a{\text{*}}$ и $\beta {\text{*}}$ соответственно, получаем последовательность ${{({{Y}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$.

3. Выбираем $m$, так что $n - m \gg 1$ и $m \gg 1$.

4. Находим ${{\gamma }_{n}}(l) = \tfrac{1}{{n - l}}\sum\nolimits_{k = 1}^{n - l} \,{{Y}_{k}}{{Y}_{{k + l}}}$, где $l = 0,\; \ldots ,\;m$.

5. Решаем уравнение (5) относительно $\theta $, получаем последовательность ${{\theta }_{n}}(l)$, $l = 0,\; \ldots ,\;m$.

6. Для матрицы $A = {{({{a}_{{ij}}})}_{{i,j = 1,\; \ldots ,\;m + 1}}}$, где ${{a}_{{ij}}} = {{\theta }_{n}}\left( {\left| {i - j} \right|} \right)$, находим ортогональную матрицу $C$ и диагональную $D$, такие что ${{C}^{{\text{т }}}}AC = D$. Вычисляем $B = \sqrt D $.

7. Моделируем гауссовский вектор $\eta = ({{\eta }_{1}},\; \ldots ,\;{{\eta }_{{m + 1}}})$ с независимыми стандартными нормальными компонентами.

8. Находим вектор ${{g}_{n}} = {{({{g}_{n}}(k))}_{{k = 1,\; \ldots ,\;m + 1}}}$ в виде $g_{n}^{{\text{т }}} = (CB){{\eta }^{T}}$.

9. По выборке ${{({{Y}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ определяем квантильное преобразование $F_{n}^{{ - 1}}$ функции распределения ${{F}_{n}}$.

10. Находим последовательность $Y_{k}^{ * } = F_{n}^{{ - 1}}({{\Phi }_{{0,1}}}({{g}_{n}}(k)))$, $k = 1,\; \ldots ,\;m + 1$.

11. Моделируем последовательность ${{X}_{k}}$ в виде ${{X}_{k}} = \beta {\text{*}}Y_{k}^{ * } + a{\text{*}}$, $k = 1,\; \ldots ,\;m + 1$.

3.4. Моделирование нестационарного шума

Напомним, что мы имеем выборку ${{({{\rho }_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$. Формируем выборку ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$, зависящую от $\nu $ (см. п. 2.1). Используя схему проверки адекватности модели (см. п. 2.1), применяя методы 1, 2, находим оценку $\nu {\text{*}}$ параметра $\nu $. В итоге получаем выборку ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$, определяемую значением $\nu {\text{*}}$. Применяя метод 3, моделируем стационарную последовательность ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;m + 1}}}$, где $m$ такое, что $n - m \gg 1$ и $m \gg 1$. Далее, моделируем нестационарный шум $({{\rho }_{k}})$:

3.5. Численные результаты

Рассматривается выборка ${{({{\rho }_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ объемом $n = 500{\kern 1pt} {\kern 1pt} 001$, состоящая из значений плотности плазмы, измеренных в последовательные моменты времени с шагом $1$ мкс.

В табл. 1 для части значений параметра $\nu $ приведены реально достигнутые уровни значимости $\varepsilon (\tau ,\nu )$ критерия Пирсона при $490 \leqslant \tau \leqslant 510$ (напомним, что весь исследуемый диапазон $T = [100,\;1000]$). Кроме того, в последних двух строках для каждого $\nu $ приведено значение меры соответствия ${{{\text{M}}}_{e}}$ (см. п. 3.2), обозначим его через ${{{\text{M}}}_{e}}(\nu )$, где $e = 0.05$ (реализована схема оценки адекватности модели (см. п. 2.1) с применением методов 1 и 2). Отметим, что, например, в случае $\nu = 0.058$ получены достаточно высокие реально достигнутые уровни значимости, минимальный из которых равен 0.005.

Обозначим точку максимума функции $y = {{{\text{M}}}_{e}}(\nu )$ через $\nu {\text{*}}(e)$. Фиг. 2 иллюстрирует тот факт, что функция $y = {{{\text{M}}}_{e}}(\nu )$, для уровня $e$, равного 0.05, достигает максимального значения 0.292 при $\nu = 0.057$. Поэтому получаем, что $\nu {\text{*}}(0.05) = 0.057$, при этом ${\text{H*}} = 0.727$, $a* = 0.084$, $\beta * = 0.050$ и $\sigma * = 0.068$. Заметим, что усредненный уровень значимости $\bar {\varepsilon }(\nu {\text{*}}(0.05)) = \tfrac{1}{{901}}\sum\nolimits_{\tau = 100}^{1000} \,\varepsilon (\tau ,\nu {\text{*}}(0.05))$ равен 0.072.

Отметим, что при $0.01 \leqslant e \leqslant 0.1$ значение точки максимума $\nu {\text{*}}(e)$ находится в интервале $[0.057,\;0.066]$, т.е. получаем диапазон возможных значений параметра $\nu $.

Приведем график $\varepsilon = \varepsilon (\tau ,\nu {\text{*}}(0.05))$, $\tau \in T$, где $T = [100,\;1000]$ (см. фиг. 3). Этот график иллюстрирует, что на интервале $279 \leqslant \tau \leqslant 1000$ наблюдаются достаточно большие реально достигнутые уровни значимости.

Замечание 2. Пусть $X = {{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}}$ – выборка, определяемая значением $\nu = \nu {\text{*}}(0.05)$. Обозначим через ${{F}_{n}}$ эмпирическую функцию распределения этой выборки, кроме того, пусть ${{\Phi }_{{a*,\beta *}}}$ – функция распределения нормального закона с параметрами

Находим значение ${{D}_{n}}$ статистики Колмогорова: ${{D}_{n}} = \sqrt n su{{p}_{{ - \infty < x < + \infty }}}\left| {{{F}_{n}}(x)} \right.$ – $\left. {{{\Phi }_{{a*,\beta *}}}(x)} \right|$ = 25.22. Это означает, что можно говорить о существенном отличии распределения ${{X}_{1}}$ от нормального распределения. Отметим, что для выборки $X{\text{'}} = {{({{X}_{k}} - {{X}_{{k - 1}}})}_{{k = 2,\; \ldots ,\;n}}}$ коэффициент эксцесса равен 12.84 (для нормального распределения этот коэффициент равен 3), т.е. в данном случае можно надеяться на аппроксимацию эмпирического распределения выборки $X{\text{'}}$ сдвиг-масштабной смесью нормальных распределений (см. [3, § 2.3], [4]).

Применим полученные методы к моделированию временного ряда значений плотности плазмы. Выбрав $m = 2000$, будем моделировать, используя метод 3, последовательность ${{({{X}_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;m + 1}}}$. Далее, получаем последовательность ${{({{\rho }_{k}})}_{{k = 1,\; \ldots ,\;m + 1}}}$ (см. соотношение (6)). Приведем графики реализации такой последовательности (см. фиг. 4 и 5).

Приведем визуальный анализ графиков, представленных на фиг. 4 и 5 (напомним, что соответствующие временные ряды смоделированы, используя весь временной ряд плотности плазмы). График на фиг. 5 (в отличие от графика на фиг. 4) иллюстрирует слабую нестационарность, характерную для графика всего реального временного ряда (см. фиг. 1) (здесь также наблюдается слабо возрастающая тенденция). График на фиг. 4 подобен графику реального временного ряда плотности плазмы, состоящего из первых $2000$ наблюдений (см. фиг. 6). Подводя итог, c учетом меры соответствия ${{M}_{{0.05}}}(0.057) = 0.292$ можно говорить о нестационарном режиме поведения реального временного ряда плотности плазмы (при этом не всегда возможно выделить возрастающую тенденцию в течение первых 2 мс).

Заметим, что ключевым моментом в методе 3 является, во-первых, численное решение уравнения (5) относительно $\theta $ и получение последовательности ${{(\theta (k))}_{{k = 0,\; \ldots ,\;m}}}$, а во-вторых, проверка положительной определенности матрицы $A = {{({{a}_{{ij}}})}_{{i,j = 1,\; \ldots ,\;m + 1}}}$, где ${{a}_{{ij}}} = \theta \left( {\left| {i - j} \right|} \right)$. Отметим, что собственные значения матрицы $A$ изменяются в диапазоне (0.01, 28.92).