Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 3, стр. 380-390

Классическое и обобщенное решения смешанной задачи для системы уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом

М. Ш. Бурлуцкая^*

Воронежский гос. ун-т
394006 Воронеж, Университетская пл., 1, Россия

^* E-mail: bmsh2001@mail.ru

Поступила в редакцию 02.05.2018

DOI: 10.1134/S0044466919030050

Аннотация

Исследуется смешанная задача для дифференциальной системы первого порядка с двумя независимыми переменными и непрерывным потенциалом, соответствующая спектральная задача для которой представляет собой систему Дирака. Используя специальное преобразование формального решения и уточненные асимптотики собственных функций, получаем классическое решение задачи. При этом не требуются завышенные условия на гладкость начальных данных. В случае произвольной суммируемой с квадратом начальной функции получено обобщенное решение. Библ. 17.

Ключевые слова: метод Фурье, смешанная задача, система Дирака.

Рассмотрим следующую смешанную задачу:

(1)

$\frac{{\partial u(x,t)}}{{\partial t}} = B\frac{{\partial u(x,t)}}{{\partial x}} + Q(x)u(x,t),\quad x \in [0,1],\quad t \in ( - \infty , + \infty ),$

(2)

${{u}_{1}}(0,t) = {{u}_{2}}(0,t),\quad {{u}_{1}}(1,t) = {{u}_{2}}(1,t),$

(3)

$u(x,0) = \varphi (x),$

где $u(x,t) = {{({{u}_{1}}(x,t),{{u}_{2}}(x,t))}^{{\text{т }}}}$, $\varphi (x) = {{({{\varphi }_{1}}(x),{{\varphi }_{2}}(x))}^{{\text{т }}}}$ (${\text{т }}$ – знак транспонирования), ${{u}_{j}}(x,t)$ и ${{\varphi }_{j}}(x)$ – скалярные функции, $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right)$, $Q(x) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {{q}_{2}}(x)} \\ {{{q}_{1}}(x)}&0 \end{array}} \right)$, ${{q}_{j}} \in C[0,\;1]$, все функции комплекснозначные.

Несмотря на то что это простейшая система всего лишь второго порядка, она достаточно сложна в исследовании и вызывает интерес своими приложениями. Соответствующая спектральная задача представляет собой систему Дирака, спектральным свойствам которой в последние годы посвящено много работ. Существенные трудности возникают в случае негладкого потенциала $Q(x)$. Впервые системы Дирака с негладкой $Q(x)$ изучались в работах П.В. Джакова и Б.С. Митягина (см. [1], [2]). Близкие исследования для таких систем проводились в [3]–[6] (см. также библиографию в [5]). В работах [7]–[9] предложен сравнительно простой способ изучения системы Дирака с негладким потенциалом, базирующийся на операторах преобразования и позволяющий получить уточненные асимптотики решения спектральной задачи. В данной работе исследования проводятся, опираясь на результаты из [7], [8].

Будем предполагать выполненными следующие условия:

(4)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varphi }_{j}}(x)\; - \;{\text{а б с о л ю т н о }}\;{\text{н е п р е р ы в н ы }},\quad \varphi _{j}^{'} \in {{L}_{2}}[0,1],\quad j = 1,2,} \\ {{{\varphi }_{1}}(0) = {{\varphi }_{2}}(0),\quad {{\varphi }_{1}}(1) = {{\varphi }_{2}}(1).} \end{array}$

Задача будет исследоваться с помощью метода Фурье. Метод Фурье применялся и для более общих систем (см., например, [10]). Но рассматривались только случаи непрерывно дифференцируемой $Q(x)$, при этом традиционно метод Фурье применялся при завышенных требованиях гладкости начальных данных задачи. Здесь же для $Q(x)$ предполагается только непрерывность, а для $\varphi (x)$ требуется минимальное количество производных.

Классическим решением задачи будем называть вектор-функцию $u(x,t) = {{({{u}_{1}}(x,t),{{u}_{2}}(x,t))}^{{\text{т }}}}$, компоненты которой абсолютно непрерывны по $x$ и $t$, и которая удовлетворяет уравнению (1) почти всюду, и условиям (2), (3).

В работе [11] классическое решение задачи (1)–(3) получено при условии $\varphi \in {{D}_{{{{L}^{2}}}}}$. Здесь доказано, что для существования классического решения достаточно требовать $\varphi \in {{D}_{L}}$. При этом используется техника, разработанная в [12], [13] для скалярных уравнений с инволюцией. Основной используемый здесь прием, идущий еще от идей А.Н. Крылова [14] об ускорении сходимости рядов (см. также [15]), связан с преобразованием формального решения, а именно, выделения из него ряда, который явно суммируется, и ряда, который имеет хорошую скорость сходимости, что обеспечивается построением уточненных асимптотик решения соответствующей спектральной задачи.

В случае произвольной функции $\varphi \in L_{2}^{2}[0,\;1]$ получено обобщенное решение, понимаемое как предел классических решений задач (1)–(3) с начальными функциями ${{\varphi }_{h}} \in {{D}_{L}}$, аппроксимирующими $\varphi (x)$.

1. СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

Метод Фурье для задачи (1)–(3) связан со спектральной задачей для оператора $L$:

$(Ly)(x) = By{\text{'}}(x) + Q(x)y(x),$

${{y}_{1}}(0) = {{y}_{2}}(0),\quad {{y}_{1}}(1) = {{y}_{2}}(1),$

где $y(x) = {{({{y}_{1}}(x),{{y}_{2}}(x))}^{{\text{т }}}}$. Оператор $L$ есть оператор Дирака с условиями Дирихле.

Приведем необходимые результаты из [7], [8].

Лемма 1. Собственные значения оператора $L$, достаточно большие по модулю, простые с асимптотикой

${{\lambda }_{n}} = \pi ni + {{\beta }_{n}},\quad (n = \pm {{n}_{0}}, \pm ({{n}_{0}} + 1),\; \ldots ),$

а для собственных функций ${{y}_{n}}(x) = {{({{y}_{{n1}}}(x),{{y}_{{n2}}}(x))}^{{\text{т }}}}$ оператора $L$ имеют место асимптотические формулы:

(5)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{y}_{{nj}}}(x) = {{e}^{{{{p}_{j}}\pi nix}}}\left( {1 + {{\beta }_{n}}x} \right) + \int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau + \int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{ - \pi ni\tau }}}d\tau + } \\ { + \;{{\beta }_{n}}\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau + {{\beta }_{n}}\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{ - \pi ni\tau }}}d\tau + O(\beta _{n}^{2}),} \end{array}$

$j = 1,2$, где ${{p}_{1}} = 1$, ${{p}_{2}} = - 1$, и оценка $O( \ldots )$ равномерна по $x \in [0,\;1]$.

Здесь и в дальнейшем через ${{\beta }_{n}}$ обозначаются различные числа такие, что $\sum {{{{\left| {{{\beta }_{n}}} \right|}}^{2}}} < \infty $, и ${{\beta }_{n}}$ не зависят от $\varphi (x)$. Через $b(x,t)$ обозначаются различные непрерывные функции из некоторого конечного набора.

Замечание 1. В [7], [8] приводятся точные выражения для ${{\beta }_{n}}$ и $b(x,t)$, но нам они не требуются, а вид (5) функций ${{y}_{{nj}}}$ более удобен в наших рассуждениях.

Сопряженный оператор $L{\text{*}}$ есть

$(L{\text{*}}z)(x) = - Bz{\text{'}}(x) + Q{\text{*}}(x)z(x),$

${{z}_{1}}(0) = {{z}_{2}}(0),\quad {{z}_{1}}(1) = {{z}_{2}}(1),$

где $z(x) = {{({{z}_{1}}(x),{{z}_{2}}(x))}^{{\text{т }}}}$, $Q{\text{*}}(x) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\mathop {\bar {q}}\nolimits_1 (x)} \\ { - \mathop {\bar {q}}\nolimits_2 (x)}&0 \end{array}} \right)$.

Лемма 2. Для собственных функций ${{z}_{n}}(x) = {{({{z}_{{n1}}}(x),{{z}_{{n2}}}(x))}^{{\text{т }}}}$ оператора $L{\text{*}}$ имеют место асимптотические формулы:

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{z}_{{nj}}}(x) = {{e}^{{{{p}_{j}}\pi nix}}}\left( {1 + {{\beta }_{n}}x} \right) + \int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau + \int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{ - \pi ni\tau }}}d\tau + } \\ { + \;{{\beta }_{n}}\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau + {{\beta }_{n}}\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{ - \pi ni\tau }}}d\tau + O(\beta _{n}^{2}),\quad j = 1,2,} \end{array}$

где $n = \pm {{n}_{0}}, \pm ({{n}_{0}} + 1),\; \ldots $, ${{p}_{1}} = 1$, ${{p}_{2}} = - 1$, (${{\beta }_{n}}$ и $b(x,t)$ другие, отличные от (5)).

Лемма 3. Множества собственных и присоединенных функций операторов $L$ и $L{\text{*}}$ полны в $L_{2}^{2}[0,\;1]$.

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Формальное решение задачи (1)–(3) по методу Фурье можно записать в виде (см. [10])

(6)

$u(x,t) = - \frac{1}{{2\pi i}}\left( {\int\limits_{|\lambda | = r} + \sum\limits_{|n| \geqslant {{n}_{0}}} \int\limits_{{{\gamma }_{n}}} } \right)({{R}_{\lambda }}\varphi )(x){{e}^{{\lambda t}}}d\lambda ,$

где $r > 0$ достаточно велико и фиксировано, ${{R}_{\lambda }} = {{(L - \lambda E)}^{{ - 1}}}$ – резольвента оператора $L$ ($E$ – единичный оператор, $\lambda $ – спектральный параметр), ${{\gamma }_{n}} = \left\{ {\lambda \,|\,\left| {\lambda - \pi ni} \right| = \delta } \right\},$ $\delta > 0$ и достаточно мало, чтобы собственные значения ${{\lambda }_{n}}$ попадали по одному внутрь ${{\gamma }_{n}}$. При этом

$ - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} ({{R}_{\lambda }}\varphi )(x){{e}^{{\lambda t}}}d\lambda = \frac{{(\varphi ,{{z}_{n}})}}{{({{y}_{n}},{{z}_{n}})}}{{y}_{n}}(x){{e}^{{{{\lambda }_{n}}t}}},$

где $( \cdot , \cdot )$ – скалярное произведение в $L_{2}^{2}[0,1]$ (это же обозначение сохраняется и для скалярного произведения в ${{L}_{2}}[0,1]$).

В соответствии с [12], [13] представим формальное решение в виде

(7)

$u(x,t) = {{u}_{0}}(x,t) + \text{v}(x,t),$

где

${{u}_{0}}(x,t) = - \frac{1}{{2\pi i}}\left( {\int\limits_{|\lambda | = r} + \sum\limits_{|n| \geqslant {{n}_{0}}} \,\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} } \right)\frac{{R_{\lambda }^{0}m}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda ,$

$\text{v}(x,t) = - \frac{1}{{2\pi i}}\left( {\int\limits_{|\lambda | = r} + \sum\limits_{|n| \geqslant {{n}_{0}}} \,\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} } \right)\frac{{\left[ {{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m} \right]}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda ,$

здесь $R_{\lambda }^{0}$ – резольвента оператора спектральной задачи, соответствующей (1)–(3) в случае $Q(x) \equiv 0$, $g = (L - {{\mu }_{0}}E)\varphi $, ${{\mu }_{0}}$ не является собственным значением, лежит вне ${{\gamma }_{n}}$ и $\left| {{{\mu }_{0}}} \right| > r$ (для краткости аргумент $x$ в интегралах опускаем). В отличие от [12], [13] здесь мы не требуем, чтобы $m$ совпадало с $g$, и определим $m$ позже.

3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

В дальнейшем нам потребуются следующие утверждения.

Лемма 4. Для любой функции $g \in {{L}_{2}}[0,\;1]$ имеют место соотношения

(8)

$(g(x),{{e}^{{\pi nix}}}) = {{\beta }_{n}},$

(9)

$\left( {g(x),\int\limits_0^x b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau } \right) = {{\beta }_{n}},$

(10)

$\left( {\int\limits_0^x b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau ,\int\limits_0^x b(x,\tau ){{e}^{{ \pm \pi ni\tau }}}d\tau } \right) = {{\beta }_{n}}.$

Доказательство. Так как

$\sum\limits_{{{n}_{1}}}^{{{n}_{2}}} {{\left| {(g,{{e}^{{\pi nix}}})} \right|}^{2}} = \sum\limits_{n = 2k \in [{{n}_{1}},{{n}_{2}}]} {{\left| {(g,{{e}^{{2\pi kix}}})} \right|}^{2}} + \sum\limits_{n = 2k + 1 \in [{{n}_{1}},{{n}_{2}}]} {{\left| {(g{{e}^{{ - \pi ix}}},{{e}^{{2\pi kix}}})} \right|}^{2}},$

то справедлива оценка (8).

Далее, (9) следует из

$\left( {g(x),\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau } \right) = \int\limits_0^1 \,g(x)dx\int\limits_0^x \,\overline {b(x,\tau )} {{e}^{{ - \pi ni\tau }}}d\tau = \int\limits_0^1 \,{{e}^{{ - \pi ni\tau }}}d\tau \int\limits_\tau ^1 \,g(x)\overline {b(x,\tau )} dx = {{\beta }_{n}}.$

При получении соотношения (10) для изменения порядка интегрирования удобно использовать функцию $\varepsilon (x,t)$: $\varepsilon (x,t) = 1$ при $x \geqslant t$, $\varepsilon (x,t) = 0$ при $x < t$. Имеем

$\left( {\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau ,\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau } \right) = \int\limits_0^1 \,dx\int\limits_0^x \,b(x,\tau )d\tau \int\limits_0^x \,\overline {b(x,\eta )} {{e}^{{\pi ni(\tau - \eta )}}}d\eta = $

$ = \;\int\limits_0^1 \,dx\int\limits_0^x \,b(x,\tau )d\tau \int\limits_{\tau - x}^\tau \overline {b(x,\tau - \xi )} {{e}^{{\pi ni\xi }}}d\xi = \int\limits_0^1 \,dx\int\limits_0^1 \,\varepsilon (x,\tau )b(x,\tau )d\tau \int\limits_0^1 \,\varepsilon (\tau ,\xi )\varepsilon (\xi ,\tau - x)\overline {b(x,\tau - \xi )} {{e}^{{\pi ni\xi }}}d\xi = $

$ = \;\int\limits_0^1 \,{{e}^{{\pi ni\xi }}}d\xi \int\limits_0^1 \,\varepsilon (x,\tau )b(x,\tau )d\tau \int\limits_0^1 \,\varepsilon (\tau ,\xi )\varepsilon (\xi ,\tau - x)\overline {b(x,\tau - \xi )} dx = \int\limits_0^1 \,\psi (\xi ){{e}^{{\pi ni\xi }}}d\xi = {{\beta }_{n}}.$

Последнее справедливо в силу ограниченности внутреннего интеграла $\psi (\xi )$. Аналогично доказывается случай со знаком “–” в (10).

Лемма 5. Ряды

$\sum\limits_{n \geqslant {{n}_{0}}} \,{{\beta }_{n}}\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni( \pm \tau + t)}}}d\tau $

и такие же ряды при $n \leqslant - {{n}_{0}}$ сходятся равномерно на множестве ${{Q}_{T}} = [0,\;1] \times [ - T,T]$ при любом $T > 0$.

Доказательство. Достаточно рассмотреть ряд

$\sum\limits_{n \geqslant {{n}_{0}}} \,{{\beta }_{n}}\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni(\tau + t)}}}d\tau .$

При $(x,t) \in {{Q}_{T}}$ имеем

$\left| {\sum\limits_{{{n}_{1}}}^{{{n}_{2}}} \,{{\beta }_{n}}\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni(\tau + t)}}}d\tau } \right| = \left| {\int\limits_t^{t + x} b(x,\xi - t)\sum\limits_{{{n}_{1}}}^{{{n}_{2}}} \,{{\beta }_{n}}{{e}^{{\pi ni\xi }}}d\xi } \right| \leqslant c\int\limits_{ - T}^{T + 1} \left| {\sum\limits_{{{n}_{1}}}^{{{n}_{2}}} \,{{\beta }_{n}}{{e}^{{\pi ni\xi }}}} \right|d\xi \leqslant c\int\limits_{ - N}^N \left| {\sum\limits_{{{n}_{1}}}^{{{n}_{2}}} \,{{\beta }_{n}}{{e}^{{\pi ni\xi }}}} \right|d\xi = $

$ = \;c\sum\limits_{k = - N}^{N - 1} \int\limits_k^{k + 1} \left| {\sum\limits_{{{n}_{1}}}^{{{n}_{2}}} {{\beta }_{n}}{{e}^{{\pi ni\xi }}}} \right|d\xi = c\sum\limits_{k = - N}^{N - 1} \int\limits_0^1 \left| {\sum\limits_{{{n}_{1}}}^{{{n}_{2}}} \,{{\beta }_{n}}{{{( - 1)}}^{{nk}}}{{e}^{{\pi ni\eta }}}} \right|d\eta \leqslant $

$ \leqslant \;c\sum\limits_{k = - N}^{N - 1} \mathop {\left( {\int\limits_0^1 \,\mathop {\left| {\sum\limits_{{{n}_{1}}}^{{{n}_{2}}} \,{{\beta }_{n}}{{{( - 1)}}^{{nk}}}{{e}^{{\pi ni\eta }}}} \right|}\nolimits^2 d\eta } \right)}\nolimits^{1/2} \leqslant 2Nc\mathop {\left( {\sum\limits_{{{n}_{1}}}^{{{n}_{2}}} {{{\left| {{{\beta }_{n}}} \right|}}^{2}}} \right)}\nolimits^{1/2} .$

Здесь $N$ – натуральное число, $N \geqslant T + 1$. Из сходимости ряда ${{\sum {\left| {{{\beta }_{n}}} \right|} }^{2}}$ следует равномерная сходимость исследуемого ряда.

Лемма 6. Для любой функции $g = {{({{g}_{1}},{{g}_{2}})}^{{\text{т }}}} \in L_{2}^{2}[0,\;1]$ имеют место соотношения

$\frac{{(g,{{z}_{n}})}}{{({{y}_{n}},{{z}_{n}})}}{{y}_{{nj}}}(x){{e}^{{{{\lambda }_{n}}t}}} = {{\Omega }_{{nj}}}(x,t) + {{\tilde {\Omega }}_{{nj}}}(x,t),\quad j = 1,2,$

где $n = \pm {{n}_{0}}, \pm ({{n}_{0}} + 1),\; \ldots $

(11)

${{\Omega }_{{nj}}}(x,t) = \left[ {({{g}_{ + }},{{e}^{{\pi nix}}}) + ({{g}_{ - }},{{e}^{{ - \pi nix}}})} \right]{{e}^{{\pi ni({{p}_{j}}x + t)}}},$

(12)

${{\tilde {\Omega }}_{{nj}}}(x,t) = \left[ {({{g}_{ + }},{{e}^{{\pi nix}}}) + ({{g}_{ - }},{{e}^{{ - \pi nix}}})} \right]\left( {\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau + \int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{ - \pi ni\tau }}}d\tau } \right){{e}^{{\pi nit}}} + O(\beta _{n}^{2}),$

${{p}_{j}} = {{( - 1)}^{j}}$, ${{g}_{ \pm }}$ – некоторые функции из конечного набора, оценка $O( \ldots )$ равномерна по $x$ и $t$ из ${{Q}_{T}}$.

Доказательство. По леммам 1, 2 для ${{y}_{{nj}}}(x)$ имеем следующее представление:

${{y}_{{nj}}}(x) = {{e}^{{{{p}_{j}}\pi nix}}}(1 + {{\beta }_{n}}x) + \sum\limits_{k = 1}^2 \,\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{{{{( - 1)}}^{k}}\pi ni\tau }}}d\tau + {{\beta }_{n}}{{b}_{n}}(x) + O(\beta _{n}^{2}),$

где ${{b}_{n}}(x)$ есть $\int_0^x {b(x,\tau ){{e}^{{ \pm \pi ni\tau }}}d\tau } $ или комбинации таких слагаемых, и аналогичное представление для ${{z}_{{nj}}}(x)$.

Согласно лемме 4, для любой функции $g \in {{L}_{2}}[0,\;1]$ имеем $(g,{{b}_{n}}) = {{\beta }_{n}}$, $({{b}_{n}},{{b}_{n}}) = {{\beta }_{n}}$, $(g,{{e}^{{\pi nix}}}) = {{\beta }_{n}}.$ Отсюда получаем $({{y}_{n}},{{z}_{n}}) = 2 + {{\beta }_{n}}$, а $(g,{{z}_{n}}) = {{\beta }_{n}}$. Тогда верно

(13)

$\begin{gathered} \frac{{(g,{{z}_{n}})}}{{({{y}_{n}},{{z}_{n}})}}{{y}_{{nj}}}(x){{e}^{{{{\lambda }_{n}}t}}} = \frac{1}{2}(g,{{z}_{n}})\left[ {{{e}^{{{{p}_{j}}\pi nix}}} + {{\beta }_{n}}x{{e}^{{\pi nix}}} + \sum\limits_{k = 1}^2 \,\int\limits_0^x b(x,\tau ){{e}^{{{{{( - 1)}}^{k}}\pi ni\tau }}}d\tau + {{\beta }_{n}}{{b}_{n}}(x)} \right] \times \\ \times \;{{e}^{{\pi nit}}}\left\{ {1 + {{\beta }_{n}}t + O(\beta _{n}^{2})} \right\} = \frac{1}{2}(g,{{z}_{n}}){{e}^{{{{p}_{j}}\pi nix}}}{{e}^{{\pi nit}}} + \\ + \;\frac{1}{2}(g,{{z}_{n}})\left[ {\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau + \int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{ - \pi ni\tau }}}d\tau } \right]{{e}^{{\pi nit}}} + O(\beta _{n}^{2}). \\ \end{gathered} $

Далее,

$\begin{gathered} (g,{{z}_{n}})\, = \,({{g}_{1}},{{e}^{{\pi nix}}})\, + \,({{g}_{2}},{{e}^{{ - \pi nix}}})\, + \,{{\beta }_{n}}({{g}_{1}}x,{{e}^{{\pi nix}}})\, + \,{{\beta }_{n}}({{g}_{2}}x,{{e}^{{ - \pi nix}}})\, + \,\sum\limits_{j = 1}^2 \,\sum\limits_{k = 1}^2 \left( {{{g}_{j}},\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{{{{( - 1)}}^{k}}\pi ni\tau }}}d\tau } \right)\, + \\ + \;\sum\limits_{j = 1}^2 \,{{\beta }_{n}}\left( {{{g}_{j}},{{b}_{n}}(x)} \right) + O(\beta _{n}^{2}) = ({{{\tilde {g}}}_{1}},{{e}^{{\pi nix}}}) + ({{{\tilde {g}}}_{2}},{{e}^{{ - \pi nix}}}) + O(\beta _{n}^{2}), \\ \end{gathered} $

где

${{\tilde {g}}_{k}} = {{g}_{k}} + \sum\nolimits_{p = 1}^2 {\int_x^1 {{{g}_{p}}(\tau )\overline {b(x,\tau )} d\tau } } $

(функции $b(x,\tau )$ в каждой формуле разные). Отсюда и из (13) следует утверждение леммы.

Из (8), (12) и леммы 5 следует

Лемма 7. Ряды $\sum\nolimits_{|n| \geqslant {{n}_{0}}}^{} {{{{\tilde {\Omega }}}_{{nj}}}(x,t)} $ равномерно сходятся в ${{Q}_{T}}$.

4. РЕШЕНИЕ ЭТАЛОННОЙ ЗАДАЧИ

В этом разделе получим классическое решение эталонной задачи

(14)

$\frac{{\partial {{u}_{0}}(x,t)}}{{\partial t}} = B\frac{{\partial {{u}_{0}}(x,t)}}{{\partial x}},\quad x \in [0,\;1],\quad t \in ( - \infty , + \infty ),$

(15)

${{u}_{{01}}}(0,t) = {{u}_{{02}}}(0,t),\quad {{u}_{{01}}}(1,t) = {{u}_{{02}}}(1,t),$

(16)

${{u}_{0}}(x,0) = {{\varphi }_{0}}(x).$

Требования на ${{\varphi }_{0}}(x)$ те же, что и на $\varphi (x)$.

Для соответствующих оператора и сопряженного оператора

$({{L}_{0}}y)(x) = By{\text{'}}(x),\quad (L_{0}^{ * }y)(x) = - By{\text{'}}(x),\quad y(x) = {{({{y}_{1}}(x),{{y}_{2}}(x))}^{{\text{т }}}},$

${{y}_{1}}(0) = {{y}_{2}}(0),\quad {{y}_{1}}(1) = {{y}_{2}}(1),$

имеет место

Лемма 8. Собственные значения оператора ${{L}_{0}}$ есть числа ${{\lambda }_{{0n}}} = \pi ni$, ($n \in \mathbb{Z}$), а собственные функции ${{y}_{{0n}}}(x) = {{({{e}^{{\pi nix}}},{{e}^{{ - \pi nix}}})}^{{\text{т }}}}$. Для сопряженного оператора $L_{0}^{ * }$ имеем $\lambda _{{0n}}^{ * } = {{\bar {\lambda }}_{{0n}}} = - \pi ni$, ($n \in \mathbb{Z}$), ${{z}_{{0n}}}(x) = {{({{e}^{{\pi nix}}},{{e}^{{ - \pi nix}}})}^{{\text{т }}}}$. Системы $\left\{ {{{y}_{{0n}}}(x)} \right\}$ и $\left\{ {{{z}_{{0n}}}(x)} \right\}$ биортогональны, причем $({{y}_{{0n}}},{{z}_{{0n}}}) = 2$.

Обозначим через ${{D}_{L}}$ область определения операторов $L$ и ${{L}_{0}}$, включающую функции $\varphi = {{({{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}})}^{{\text{т }}}}$, удовлетворяющие условию (4).

Лемма 9. Если ${{\varphi }_{0}} \in {{D}_{L}}$, то ${{\varphi }_{0}}(x)$ разлагается в равномерно сходящийся ряд

${{\varphi }_{0}}(x) = \frac{1}{2}\sum\limits_{ - \infty }^\infty \left[ {\left( {{{\varphi }_{{01}}},{{e}^{{\pi nix}}}} \right) + \left( {{{\varphi }_{{02}}},{{e}^{{ - \pi nix}}}} \right)} \right]{{\left( {{{e}^{{\pi nix}}},{{e}^{{ - \pi nix}}}} \right)}^{{\text{т }}}},$

сумма которого есть $\Phi (x) = {{({{\tilde {\varphi }}_{0}}(x),{{\tilde {\varphi }}_{0}}( - x))}^{{\text{т }}}}$, где ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x)$ – скалярная абсолютно непрерывная 2-периодическая функция такая, что ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x) = {{\varphi }_{{01}}}(x)$ при $x \in [0,\;1]$, и ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x) = {{\varphi }_{{02}}}( - x)$ при $x \in [ - 1,\;0]$.

Доказательство. Раскладывая ${{\varphi }_{0}}(x)$ по системе $\left\{ {{{y}_{{0n}}}(x)} \right\}$ имеем

${{\varphi }_{0}}(x) = \sum\limits_{ - \infty }^\infty \frac{{({{\varphi }_{0}},{{z}_{{n0}}})}}{2}{{y}_{{0n}}}(x) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}\sum\limits_{ - \infty }^\infty \left[ {\left( {{{\varphi }_{{01}}},{{e}^{{\pi nix}}}} \right) + \left( {{{\varphi }_{{02}}},{{e}^{{ - \pi nix}}}} \right)} \right]{{e}^{{\pi nix}}}} \\ {\frac{1}{2}\,\sum\limits_{ - \infty }^\infty \,\left[ {\left( {{{\varphi }_{{01}}},{{e}^{{\pi nix}}}} \right) + \left( {{{\varphi }_{{02}}},{{e}^{{ - \pi nix}}}} \right)} \right]{{e}^{{ - \pi nix}}}} \end{array}} \right).$

Равномерная сходимость ряда следует из соотношения

$({{\varphi }_{0}},{{z}_{{n0}}}) = \frac{1}{{{{\lambda }_{{0n}}}}}\left( {{{L}_{0}}{{\varphi }_{0}},{{z}_{{n0}}}} \right) = O\left( {{{n}^{{ - 1}}}{{\beta }_{n}}} \right),$

сходимости ряда $\sum {\tfrac{1}{n}} \left| {{{\beta }_{n}}} \right|$ и ограниченности ${{y}_{{0n}}}(x)$. Далее, так как $\left( {{{\varphi }_{{01}}},{{e}^{{\pi nix}}}} \right) + \left( {{{\varphi }_{{02}}},{{e}^{{ - \pi nix}}}} \right) = $ $ = \;\int_{ - 1}^1 \,{{\tilde {\varphi }}_{0}}(x){{e}^{{\pi nix}}}dx$, то первая компонента представляет собой разложение функции ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x)$ по тригонометрической системе $\left\{ {{{e}^{{\pi nix}}}{\text{/}}\sqrt 2 } \right\}$, ортонормированной и полной на отрезке $[ - 1,\;1]$, откуда следует сходимость ряда в первой компоненте к ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x)$ на $[ - 1,\;1]$. Аналогично доказывается сходимость второй компоненты к ${{\tilde {\varphi }}_{0}}( - x)$ на $[ - 1,\;1]$. В силу того, что ${{\varphi }_{0}} \in {{D}_{L}}$, то из краевых условий имеем ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(0 - 0) = {{\varphi }_{{02}}}(0) = {{\varphi }_{{01}}}(0) = {{\tilde {\varphi }}_{0}}(0 + 0)$, ${{\tilde {\varphi }}_{0}}( - 1 + 0) = {{\varphi }_{{02}}}(1) = {{\varphi }_{{01}}}(1) = {{\tilde {\varphi }}_{0}}(1 - 0)$, т.е. непрерывность ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x)$, а из абсолютной непрерывности ${{\varphi }_{0}}(x)$ следует абсолютная непрерывность ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x)$ на всей оси.

Теорема 1. Если ${{\varphi }_{0}} \in {{D}_{L}}$, то ${{u}_{0}}(x,t) = {{({{\tilde {\varphi }}_{0}}(x + t),{{\tilde {\varphi }}_{0}}( - x + t))}^{{\text{т }}}}$, где ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x)$ из леммы 9, является классическим решением задачи (14)–(16).

Доказательство. Для формального решения имеем

${{u}_{0}}(x,t) = \sum\limits_{ - \infty }^\infty \frac{{({{\varphi }_{0}},{{z}_{{n0}}})}}{2}{{y}_{{n0}}}(x){{e}^{{\lambda _{n}^{0}t}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{ - \infty }^\infty \frac{1}{2}({{{\tilde {\varphi }}}_{0}}(x),{{e}^{{\pi nix}}}){{e}^{{\pi ni(x + t)}}}} \\ {\sum\limits_{ - \infty }^\infty \,\frac{1}{2}({{{\tilde {\varphi }}}_{0}}(x),{{e}^{{\pi nix}}}){{e}^{{ - \pi ni(x - t)}}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\tilde {\varphi }}}_{0}}(x + t)} \\ {{{{\tilde {\varphi }}}_{0}}( - x + t)} \end{array}} \right).$

Из леммы 9 в силу абсолютной непрерывности ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x)$ следует абсолютная непрерывность ${{u}_{0}}(x,t)$ по $x$ и $t$. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что ${{u}_{0}}(x,t)$ удовлетворяет уравнению (14).

Далее, ${{u}_{0}}(0,t) = {{({{\tilde {\varphi }}_{0}}(t),{{\tilde {\varphi }}_{0}}(t))}^{{\text{т }}}}$, а в силу периодичности ${{\tilde {\varphi }}_{0}}(x)$, ${{u}_{0}}(1,t) = ({{\tilde {\varphi }}_{0}}(1 + t),$ ${{\tilde {\varphi }}_{0}}( - 1 + t){{)}^{{\text{т }}}} = $ $ = \;{{({{\tilde {\varphi }}_{0}}(1 + t),{{\tilde {\varphi }}_{0}}(1 + t))}^{{\text{т }}}}$, т.е. выполнены условия (15). Таким образом, при $x \in [0,\;1]$ имеем ${{u}_{0}}(x,0) = {{({{\tilde {\varphi }}_{0}}(x),{{\tilde {\varphi }}_{0}}( - x))}^{{\text{т }}}} = {{({{\varphi }_{{01}}}(x),{{\varphi }_{{02}}}(x))}^{{\text{т }}}}$, а значит, справедливо (16).

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Теперь исследуем компоненты в (7).

Лемма 10. Ряды ${{u}_{0}}(x,t)$ и $\text{v}(x,t)$ из (7) сходятся абсолютно и равномерно в ${{Q}_{T}}$.

Доказательство. В силу леммы 6, ограниченности ${{y}_{n}}(x)$, соотношений (8) и ${{(\lambda - {{\mu }_{0}})}^{{ - 1}}} = O({{n}^{{ - 1}}})$ получим, что каждое слагаемое

(17)

$ - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \frac{{({{R}_{\lambda }}g)(x)}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda = \frac{1}{{{{\lambda }_{n}} - {{\mu }_{0}}}}\frac{{(g,{{z}_{n}})}}{{({{y}_{n}},{{z}_{n}})}}{{y}_{n}}(x){{e}^{{{{\lambda }_{n}}t}}}$

имеет оценку $O\left( {\tfrac{1}{n}{{\beta }_{n}}} \right)$. Аналогичная оценка имеет место, если вместо $({{R}_{\lambda }}g)$ взять $(R_{\lambda }^{0}m)$. Отсюда следует утверждение леммы.

С учетом вида $z_{n}^{0}(x)$ и $y_{n}^{0}(x)$, справедлива

Лемма 11. Если ${{m}_{1}} = {{g}_{ - }}$, ${{m}_{2}} = {{g}_{ + }}$, где ${{g}_{ - }}$, ${{g}_{ + }}$ из (11), то

(18)

$\begin{gathered} - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} (R_{\lambda }^{0}m){{e}^{{\lambda t}}}d\lambda = {{\Omega }_{n}}(x,t) = {{({{\Omega }_{{n1}}}(x,t),{{\Omega }_{{n2}}}(x,t))}^{{\text{т }}}}, \\ - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \left( {{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m} \right){{e}^{{\lambda t}}}d\lambda = {{{\tilde {\Omega }}}_{n}}(x,t) = {{\left( {{{{\tilde {\Omega }}}_{{n1}}}(x,t),{{{\tilde {\Omega }}}_{{n2}}}(x,t)} \right)}^{{\text{т }}}}, \\ \end{gathered} $

где ${{\Omega }_{{nj}}}(x,t)$, ${{\tilde {\Omega }}_{{nj}}}(x,t)$ из леммы 6.

Положим

${{J}_{n}}(x,t) = - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \frac{{\left[ {{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m} \right]}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda .$

Лемма 12. Ряд $\sum {\tfrac{\partial }{{\partial t}}} ({{J}_{n}}(x,t))$ равномерно сходится в ${{Q}_{T}}$.

Доказательство. Имеем

$\begin{gathered} \frac{\partial }{{\partial t}}({{J}_{n}}(x,t)) = - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \,\lambda \frac{{[{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m]}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda = \\ = \; - {\kern 1pt} \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \left[ {{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m} \right]{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \,{{\mu }_{0}}\frac{{\left[ {{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m} \right]}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda . \\ \end{gathered} $

Равномерная сходимость ряда $\sum {\int_{{{\gamma }_{n}}}^{} {\left[ {{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m} \right]{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda } } $ следует из (18) и леммы 7, а равномерная сходимость ряда $\sum {\int_{{{\gamma }_{n}}}^{} {{{\mu }_{0}}\tfrac{{\left[ {{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m} \right]}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda } } $ доказана в лемме 10.

Лемма 13. Имеет место соотношение

(19)

$B\frac{{\partial {{J}_{n}}(x,t)}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {{J}_{n}}(x,t)}}{{\partial t}} + \frac{{Q(x)}}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \frac{{{{R}_{\lambda }}g}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda .$

Доказательство. Так как $g = (L - \lambda E){{R}_{\lambda }}g$, то

$B\frac{\partial }{{\partial x}}({{R}_{\lambda }}g) = g(x) - Q(x){{R}_{\lambda }}g + \lambda {{R}_{\lambda }}g.$

Аналогично,

$B\frac{\partial }{{\partial x}}(R_{\lambda }^{0}m) = m(x) + \lambda R_{\lambda }^{0}m.$

Тогда

$B\frac{{\partial {{J}_{n}}(x,t)}}{{\partial x}} = - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \frac{\lambda }{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}\left[ {{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m} \right]{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda + \frac{{Q(x)}}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \frac{{{{R}_{\lambda }}g}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda - \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} \frac{{g(x) - m(x)}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}{{e}^{{\lambda t}}}d\lambda ,$

откуда следует (19).

В силу (19), (17) и леммы 12 справедлива

Лемма 14. Ряд $\sum {B\tfrac{\partial }{{\partial x}}({{J}_{n}}(x,t))} $ равномерно сходится в ${{Q}_{T}}$.

Теорема 2. Если $\varphi (x) = {{({{\varphi }_{1}}(x),{{\varphi }_{2}}(x))}^{{\text{т }}}}$ удовлетворяет условиям (4), то $u(x,t) = {{u}_{0}}(x,t) + \text{v}(x,t)$ из (7) является классическим решением задачи (1)–(3).

Доказательство. Положим ${{\varphi }_{0}}(x) = (R_{\mu }^{0}m)(x)$, где $m(x)$ из леммы 11. Тогда из тождества Гильберта

$\frac{{R_{\lambda }^{0}m}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}} = \frac{{{{\varphi }_{0}}}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}} + R_{\lambda }^{0}{{\varphi }_{0}},$

а значит, в (7)

${{u}_{0}}(x,t) = - \frac{1}{{2\pi i}}\left( {\int\limits_{|\lambda | = r} + \sum\limits_{|n| \geqslant {{n}_{0}}} \,\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} } \right)(R_{\lambda }^{0}{{\varphi }_{0}})(x){{e}^{{\lambda t}}}d\lambda ,$

т.е. ${{u}_{0}}(x,t)$ является решением эталонной задачи (14)–(16) с ${{\varphi }_{0}}(x) = \left( {R_{\mu }^{0}m} \right)(x)$.

В силу лемм 12–14 ряд $\text{v}(x,t)$ можно почленно дифференцировать и

$B\frac{{\partial \text{v}(x,t)}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \text{v}(x,t)}}{{\partial t}} + Q(x)\text{v}(x,t).$

Таким образом, $u(x,t)$ удовлетворяет уравнению (1) почти всюду.

Поскольку для компонент ${{R}_{\lambda }}\varphi = \mathop {\left( {{{{({{R}_{\lambda }}\varphi )}}_{1}},{{{({{R}_{\lambda }}\varphi )}}_{2}}} \right)}\nolimits^{\text{т }} $ выполнено ${{({{R}_{\lambda }}\varphi )}_{1}}(0) = {{({{R}_{\lambda }}\varphi )}_{2}}(0)$, ${{({{R}_{\lambda }}\varphi )}_{1}}(1) = $ $ = \;{{({{R}_{\lambda }}\varphi )}_{2}}(1)$, то $u(x,t)$ удовлетворяет условию (2).

Далее, в силу теоремы о разложении по собственным функциям операторов $L$ и ${{L}_{0}}$ (для функций из области определения ${{D}_{L}}$ этих операторов) имеем

$\begin{gathered} u(x,0) = {{u}_{0}}(x,0) + \text{v}(x,0) = {{\varphi }_{0}}(x) - \frac{1}{{2\pi i}}\left( {\int\limits_{|\lambda | = r} + \sum\limits_{|n| \geqslant {{n}_{0}}} \,\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} } \right)\frac{{[{{R}_{\lambda }}g - R_{\lambda }^{0}m]}}{{\lambda - {{\mu }_{0}}}}d\lambda = \\ = \;{{\varphi }_{0}}(x) - \frac{1}{{2\pi i}}\left( {\int\limits_{|\lambda | = r} + \sum\limits_{|n| \geqslant {{n}_{0}}} \,\int\limits_{{{\gamma }_{n}}} } \right)[{{R}_{\lambda }}\varphi - R_{\lambda }^{0}{{\varphi }_{0}}]d\lambda = {{\varphi }_{0}}(x) + \varphi (x) - {{\varphi }_{0}}(x) = \varphi (x), \\ \end{gathered} $

что доказывает справедливость (3).

Замечание 2. С учетом замечания 3 из [7] результаты могут быть обобщены на случай ${{q}_{j}} \in {{L}_{2}}[0,\;1]$.

6. ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Получим теперь обобщенное решение задачи (1)–(3) в предположении, что $\varphi \in L_{2}^{2}[0,\;1]$. Здесь используется техника работ [16], [17].

Рассмотрим формальное решение (6). Вместо леммы 6 мы теперь используем утверждение, следующее из лемм 1 и 2 и неравенства $\sum {{{{\left| {\left( {\varphi ,{{e}^{{2\pi nix}}}} \right)} \right|}}^{2}}} \leqslant c{{\left\| \varphi \right\|}^{2}}$ (всюду далее $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ – норма в $L_{2}^{2}[0,\;1]$).

Лемма 15. Имеют место асимптотические формулы

$(\varphi ,{{z}_{n}}) = {{\nu }_{n}} + {{\nu }_{n}}{{\beta }_{n}},$

$\frac{{(\varphi ,{{z}_{n}})}}{{({{y}_{n}},{{z}_{n}})}}{{y}_{{nj}}}(x){{e}^{{{{\lambda }_{n}}t}}} = {{\nu }_{n}}\left[ {{{e}^{{{{p}_{j}}\pi nix}}} + \int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni\tau }}}d\tau + \int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{ - \pi ni\tau }}}d\tau } \right]{{e}^{{\pi nit}}} + O({{\nu }_{n}}{{\beta }_{n}}),\quad j = 1,2,$

где через ${{\nu }_{n}}$ обозначаются числа, которые зависят от $\varphi (x)$, но при этом $\sum {\mathop {\left| {{{\nu }_{n}}} \right|}\nolimits^2 } < c{{\left\| \varphi \right\|}^{2}}$, $x \in [0,\;1]$, $t \in [ - T,T]$, $T > 0$, – любое фиксированное число, и оценка $O( \ldots )$ равномерна по $x$ и $t$.

Лемма 16. Ряды

$\sum\limits_{n \geqslant {{n}_{0}}} \,{{\nu }_{n}}\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni( \pm \tau + t)}}}d\tau $

и такие же ряды при $n \leqslant - {{n}_{0}}$ сходятся равномерно на множестве ${{Q}_{T}} = [0,\;1] \times [ - T,T]$ при любом $T > 0$, и для их сумм ${{F}_{ \pm }}(x,t)$ имеют место оценки

(20)

$\mathop {\max }\limits_{{{Q}_{T}}} \left| {{{F}_{ \pm }}(x,t)} \right| \leqslant {{C}_{T}}\left\| \varphi \right\|,$

где ${{C}_{T}} > 0$ и зависит только от $T$.

Доказательство. Сходимость рядов доказана в лемме 5. Далее, как и в лемме 5, для любых $(x,t) \in {{Q}_{T}}$ и любого натурального $m$ получим

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\sum\limits_{{{n}_{0}}}^m \,{{\nu }_{n}}\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{\pi ni(\tau + t)}}}d\tau } \right| \leqslant 2Nc\mathop {\left( {\sum\limits_{{{n}_{0}}}^m {{{\left| {{{\nu }_{n}}} \right|}}^{2}}} \right)}\nolimits^{1/2} \leqslant {{C}_{T}}\left\| \varphi \right\|,} \end{array}$

откуда следует (20).

Очевидно справедлива

Лемма 17. Ряды $\sum {O({{\nu }_{n}}{{\beta }_{n}})} $ сходятся абсолютно и равномерно на множестве ${{Q}_{T}}$, причем $\sum {\left| {O({{\nu }_{n}}{{\beta }_{n}})} \right|} \leqslant {{C}_{T}}\left\| \varphi \right\|$.

Теорема 3. Если ${{q}_{j}} \in C[0,\;1]$ ($j = 1,\;2$) и $\varphi \in L_{2}^{2}[0,\;1]$, то ряд $u(x,t)$ формального решения сходится почти всюду по $x \in [0,\;1]$ и $t \in ( - \infty ,\infty )$. При этом для любых $(x,t) \in {{Q}_{T}}$ справедлива оценка

(21)

$\mathop {\left\| {u(x,t)} \right\|}\nolimits_{L_{2}^{2}[{{Q}_{T}}]} \leqslant {{c}_{T}}\left\| \varphi \right\|.$

Далее, если ${{\varphi }_{h}} \in {{D}_{L}}$ сходится к $\varphi (x)$ в $L_{2}^{2}[0,\;1]$ при $h \to 0$, то ${{u}_{h}}(x,t)$ сходится к $u(x,t)$ по норме $L_{2}^{2}[{{Q}_{T}}]$ при любом $T > 0$, где ${{u}_{h}}(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(3) с начальным условием ${{u}_{h}}(x,0) = {{\varphi }_{h}}(x)$.

Доказательство. Для доказательства сходимости достаточно рассмотреть только ряд

(22)

$\sum\limits_{n \geqslant {{n}_{0}}} {\frac{{(\varphi ,{{z}_{n}}){{y}_{n}}(x)}}{{({{y}_{n}},{{z}_{n}})}}{{e}^{{{{\lambda }_{n}}t}}}} $

(случай $\sum\nolimits_{n \leqslant - {{n}_{0}}}^{} {\kern 1pt} $ рассматривается аналогично).

По лемме 15 компоненты ряда (22) есть

$\sum\limits_{n \geqslant {{n}_{0}}} \,{{\nu }_{n}}\left[ {{{e}^{{ \pm \pi nix}}} + \sum\limits_{k = 1}^2 \,\int\limits_0^x \,b(x,\tau ){{e}^{{{{{( - 1)}}^{k}}\pi ni\tau }}}d\tau } \right]{{e}^{{\pi nit}}} + \sum\limits_{n \geqslant {{n}_{0}}} \,O({{\nu }_{n}}{{\beta }_{n}}).$

Рассмотрим ряд ${{\Sigma }_{0}} = \sum\nolimits_{n \geqslant {{n}_{0}}}^{} {{{\nu }_{n}}y_{n}^{0}(x){{e}^{{\pi nit}}}} $, $y_{n}^{0}(x) = {{({{e}^{{\pi nix}}},{{e}^{{ - \pi nix}}})}^{{\text{т }}}}$. Имеем

${{\Sigma }_{0}} = {{({{\Sigma }_{{01}}},{{\Sigma }_{{01}}})}^{{\text{т }}}},\quad {{\Sigma }_{{01}}} = \sum\limits_{n \geqslant {{n}_{0}}} \,{{\nu }_{n}}{{e}^{{n\pi i(x + t)}}},\quad {{\Sigma }_{{02}}} = \sum\limits_{n \geqslant {{n}_{0}}} \,{{\nu }_{n}}{{e}^{{ - n\pi i(x - t)}}}.$

Исследуем сходимость ${{\Sigma }_{{01}}} = \sum\nolimits_{n \geqslant {{n}_{0}}}^{} {{{\nu }_{n}}{{e}^{{n\pi i\eta t}}}} $, $\eta = x + t$. По теореме Карлесона (о сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье) ряд ${{\Sigma }_{{01}}}$ сходится почти при всех $\eta \in ( - \infty ,\infty )$. Докажем, что ряд ${{\Sigma }_{{01}}}$ сходится почти при всех $x \in [0,\;1]$ и $t \in ( - \infty ,\infty )$.

Обозначим ${{Q}_{1}} = \left\{ {(\eta ,\xi )\,|\,\eta \in [ - T,T + 1],\;\xi \in [ - T,T]} \right\}$, и через $e$ множество точек $\eta \in [ - T,T + 1]$, в которых ряд расходится, ${\text{mes}}e = 0$. Тогда для множества ${{e}_{1}} = \left\{ {(\eta ,\xi )\,|\,\eta \in e,\;\xi \in [ - T,T]} \right\}$ $\operatorname{mes} {{e}_{1}} = \iint_{{{Q}_{1}}} {\chi (\eta ,\xi )d\eta d\xi = 0}$ (здесь $\chi (\eta ,\xi )$ – характеристическая функция множества ${{e}_{1}}$). Преобразование $\eta = x + t$, $\xi = t$ переводит прямоугольник ${{Q}_{1}}$ в прямоугольник $Q$ в плоскости переменных $x,t$, а множество ${{e}_{1}}$ в множество ${{e}_{2}}$. Так как ${{Q}_{T}} \subset Q$ и $\operatorname{mes} {{e}_{2}} = 0$, то ряд ${{\Sigma }_{{01}}}$ сходится почти всюду в ${{Q}_{T}}$. Значит, он сходится почти всюду при всех $x \in [0,1]$ и $t \in ( - \infty ,\infty )$. Аналогично получаем сходимость ряда ${{\Sigma }_{{02}}}$. Отсюда с учетом лемм 16, 17 получаем сходимость ряда (22).

Оценка (21) следует из лемм 16, 17 для компонент ряда (22), аналогично получаемых оценок для ${{\Sigma }_{0}}$, и в силу ограниченности резольвенты.

Таким образом, доказано, что ряд $u(x,t)$ сходится почти всюду и $\mathop {\left\| {u(x,t)} \right\|}\nolimits_{L_{2}^{2}[{{Q}_{T}}]} \leqslant {{c}_{T}}\left\| \varphi \right\|$.

Далее, поскольку ${{u}_{h}}(x,t) - u(x,t)$ есть формальное решение смешанной задачи (1)–(3) при начальной функции ${{\varphi }_{h}}(x) - \varphi (x)$, то получаем, что $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \mathop {\left\| {{{u}_{h}}(x,t) - u(x,t)} \right\|}\nolimits_{L_{2}^{2}[{{Q}_{T}}]} = 0$, когда $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left\| {{{\varphi }_{h}}(x) - \varphi (x)} \right\| = 0$.

Замечание 3. Используя теорему Карлесона и теорему равносходимости из [6], теорему 3 можно усилить, показав, что $u(x,0) = \varphi (x)$ почти всюду на $[0,\;1]$. В самом деле, преобразуя формальный ряд

$u(x,0) = {{u}_{0}}(x,0) + u(x,0) - {{u}_{0}}(x,0),$

где ${{u}_{0}}(x,0)$ – соответствующий формальный ряд задачи (1)–(3) с $Q(x) \equiv 0$, получаем по теореме равносходимости [6, Теорема 1], что частичные суммы ряда $u(x,0) - {{u}_{0}}(x,0)$ равномерно стремятся к нулю на отрезке $[0,\;1]$, а сумма ряда ${{u}_{0}}(x,0)$ по теореме Карлесона почти всюду равна $\varphi (x)$ (см. также доказательство леммы 9).

Список литературы

Джаков П.В., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредингера и Дирака // Успехи матем. наук. 2006. Т. 61. № 4. С. 77–182.
Djakov P., Mityagin B. Bari-Markus property for Riesz projections of 1D periodic Dirac operators // Math. Nachr. 2010. V. 283. № 3. P. 443–462.
Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Изв. РАН. Серия матем. 2011. Т. 75. № 3. С. 3–28.
Савчук А.М., Садовничая И.В. Асимптотические формулы для фундаментальных решений системы Дирака с комплекснозначным суммируемым потенциалом // Дифференц. ур-ния. 2013. Т. 49. № 5. С. 573–584.
Savchuk A.M., Shkalikov A.A. Dirac operator with complex-valued summable potential // Math. Notes. 2014. V. 96. № 5-6. C. 777–810.
Садовничая И.В. ${{L}_{\mu }} \to {{L}_{\nu }}$ равносходимость спектральных разложений для системы Дирака с ${{L}_{\kappa }}$ потенциалом // Докл. АН. 2016. Т. 467. № 6. С. 641–644.
Бурлуцкая М.Ш., Курдюмов В.П., Хромов А.П. Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака // Докл. АН. 2012. Т. 443. № 4. С. 414–417.
Бурлуцкая М.Ш., Курдюмов В.П., Хромов А.П. Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака с недифференцируемым потенциалом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. Вып. 3. С. 22–30.
Бурлуцкая М.Ш., Корнев В.В., Хромов А.П. Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и периодическими краевыми условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 9. С. 1621–1632.
Вагабов А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского госуниверситета, 1994. 160 с.
Бурлуцкая М.Ш. Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. Вып. 2. С. 145–151.
Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Метод Фурье в смешанной задаче для уравнения с частными производными первого порядка с инволюцией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 12. С. 2233–2246.
Хромов А.П., Бурлуцкая М.Ш. Классическое решение методом Фурье смешанных задач при минимальных требованиях на исходные данные // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14. Вып. 2. С. 171–198.
Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. Л.: ГИТТЛ, 1950. 368 с.
Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. М.: Изд-во МГУ, 1991. 112 с.
Хромов А.П. Поведение формального решения смешанной задачи для волнового уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 2. С. 239–251.
Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Смешанная задача для волнового уравнения с суммируемым потенциалом в случае двухточечных граничных условий разных порядков // Дифференц. ур-ния. 2017. Т. 53. № 4. С. 505–515.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал