Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 5, стр. 731-738

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость эффективно обрабатывать числовые информационные потоки, в том числе цифровые потоки от измерительных приборов, повышает интерес к локальным аппроксимациям с помощью сплайнов, вейвлетов, сплайн-вейвлетных разложений и др. Наиболее популярны непрерывные или непрерывно дифференцируемые полиномиальныe сплайны (см., например, [1]–[3]). В некоторых случаях интерполяции и аппроксимации целесообразно применять неполиномиальные сплайны, обладающие свойством точности на некоторых, вообще говоря, неполиномиальных функциях. Построение таких сплайнов предложено в [4] и развивалось в [5], [6]. Оно основано на применении так называемых аппроксимационных соотношений, использующих ограниченность носителей сплайн-функций на введенной сетке и некоторую априори заданную генерирующую вектор-функцию, компоненты которой могут быть и неполиномиальными функциями. Если коэффициенты в аппроксимационных соотношениях специальным образом связать с генерирующей функцией, то построенная аппроксимация станет непрерывной интерполирующей функцией. В случае, когда генерирующую функцию удается задать так, чтобы она примерно соответствовала закономерностям в цифровом потоке, то получается аппроксимация высокой точности.

Данная работа посвящена апробации нового подхода, разработанного в [4], реализации аппроксимаций цифрового потока с помощью неполиномиальных сплайнов лагранжева типа первого порядка и неполиномиальных сплайнов эрмитова типа третьего порядка и численному исследованию эффективности таких аппроксимаций.

При построении аппроксимирующих сплайнов для задания исходного потока используются значения, которые генерируются модельными функциями на заданной сетке. В случае сплайнов лагранжева типа первого порядка используются только значения функций, для сплайнов эрмитова типа используются значения функций и их производных первого порядка на упомянутой сетке. В данной работе в качестве модельных рассматриваются функции $\sin (t),\;{{{\text{e}}}^{t}},\;1{\text{/(}}1 + {{t}^{2}}{\text{)}}$ и т.п. Указанный подход в построении аппроксимаций приводит к достаточно простым алгоритмам с небольшим числом арифметических операций. Для оценивания эффективности исследуются уклонения полученных аппроксимаций от исходных функций. Полученные численные результаты согласуются с теоретическими оценками, а также дают представление о неизвестных константах в упомянутых оценках.

1. АППРОКСИМАЦИИ ЛАГРАНЖЕВА ТИПА

Пусть требуется аппроксимировать функцию $u(t) \in C(\alpha ,\beta )$. Аппроксимирующая функция $\tilde {u}(t)$ ищется в виде

где числовые коэффициенты ${{c}_{j}}$ и координатные сплайны ${{\omega }_{j}}(t)$ определяются ниже.

Для того, чтобы построить координатные сплайны ${{\omega }_{j}}(t)$, достаточно выполнить следующие действия: 1) ввести сетку, например, равномерную: ${{x}_{k}} = k \cdot h,\;h > 0,\;k \in Z$; 2) задать носитель функции ${{\omega }_{j}}(t)$, например, $\operatorname{supp} \;{{\omega }_{j}}(t) = [{{x}_{j}},\;{{x}_{{j + 2}}}]$, и двухкомпонентную вектор-функцию $\phi (t) = {{(1,\quad{{\phi }_{1}}(t))}^{{\text{т }}}},\quad\;{{\phi }_{1}}(t) \in C({{R}^{1}})$, например, ${{\phi }_{1}}(t) = \sin (t)$; 3) использовать аппроксимационные соотношения (см. [4, с. 187]):

в которых ${{a}_{{i - 1}}},\;{{a}_{i}}$ – двухкомпонентные числовые векторы, ${{a}_{i}} = {{(a_{i}^{{(0)}},a_{i}^{{(1)}})}^{{\text{т }}}}$. Поэтому соотношение (1.2) соответствует системе линейных уравнений относительно неизвестных ${{\omega }_{{i - 1}}}(t),\;{{\omega }_{i}}(t)$Предполагая, что из (1.3) легко найти Множество векторов ${{a}_{j}} \in {{R}^{2}}$, удовлетворяющих условию (1.4), называется полной цепочкой векторов.

Для $t \in \left( {{{x}_{{i + 1}}},\;{{x}_{{i + 2}}}} \right)$, ввиду (1.2), имеем аппроксимационное соотношение ${{a}_{i}}{{\omega }_{i}}(t)\,\; + $ $ + \;{{a}_{{i + 1}}}{{\omega }_{{i + 1}}}(t) = \phi (t)$, из которого, аналогично (1.5), получим

Таким образом, из (1.5), (1.6) находим формулу сплайна, который называется координатным сплайномПоэтому в выражении (1.1) для аппроксимирующей функции $\tilde {u}(t)$ при любом $t \in ({{x}_{j}},\;{{x}_{{j + 1}}})$ имеется не более двух ненулевых слагаемых Координатный сплайн ${{\omega }_{j}}(t)$ определен на всей вещественной оси, за исключением узлов ${{x}_{j}},\;{{x}_{{j + 1}}},\quad\;{{x}_{{j + 2}}},$ в этих узлах он может оказаться разрывным. На практике обычно применяются непрерывные сплайны. В работе [4, с. 206] доказано, что сплайны (1.7) непрерывны лишь в случае, когда полная цепочка векторов ${{a}_{j}}$ в определении координатных сплайнов связана с вектор-функцией $\phi (t)$ следующим образом: Таким образом, аппроксимирующая функция $\tilde {u}(t)$ будет непрерывной, если ${{\phi }_{1}}(t) \in C({{R}^{1}})$ и координатные функции ${{\omega }_{j}}(t)$ в (1.1) вычисляются по формуле Из формулы (1.10) следуют равенства: ${{\omega }_{j}}({{x}_{{j + 1}}}) = 1$, ${{\omega }_{j}}({{x}_{j}}) = {{\omega }_{j}}({{x}_{{j + 2}}}) = 0$. Поэтому функция (1.8) при ${{c}_{j}} = u({{x}_{{j + 1}}})$ принимающая вид интерполирует функцию $u(t)$ в узлах ${{x}_{j}},\;{{x}_{{j + 1}}}$. В работе [5] доказано, что если $u \in {{C}^{2}}(\alpha ,\beta )$, то функция (1.11) обеспечивает 2-й порядок аппроксимации: где $C = {\text{const}} > 0$, зависит от $u(t)$ и $\phi (t)$, но не зависит от $h$. В случае, когда $u(t) = {{\phi }_{1}}(t)$ выполняется тождество: $\tilde {u}(t) \equiv {{\phi }_{1}}(t)$ $\forall t \in (\alpha ,\beta )$.

В данной работе в численных экспериментах ограничимся промежутком $(\alpha ,\beta ) \equiv [0;1]$ и упомянутой выше равномерной сеткой.

В табл. 1 представлены результаты реализации аппроксимирующей функции (1.11), (1.10) на сетках с различными значениями сеточного параметра $h\quad$ и неполиномиальной генерирующей функцией $\phi (t) = {{\left( {1,\sin (t)} \right)}^{{\text{т }}}}$ для ряда модельных функций $u(t)$. Величина погрешности аппроксимации здесь и далее вычислялась по формуле: $r \equiv \mathop {{\text{max}}}\limits_{t = j\tau } \left| {u(t) - \tilde {u}(t)} \right|$, $\tau = 0.005$ – шаг контрольной сетки на [0; 1], а значения $j \in {\rm Z}$ таковы, что $t \in \left[ {0;1} \right]$.

Табл. 1 иллюстрирует аппроксимацию с оценкой типа (1.12) для всех рассматриваемых функций $u(t)$ на промежутке [0; 1]; эта таблица подтверждает закономерность изменения погрешности аппроксимации в соответствии с изменением величины сеточного параметра $h$ и порядком аппроксимации в (1.12). Указанная закономерность нарушается только для функции $u(t) = \sqrt t $, которая не имеет 1-й производной при $t = 0$.

Описанный выше подход к построению аппроксимирующей функции по заданной генерирующей функции $\phi (t) = {{(1,{{\phi }_{1}}(t))}^{{\text{т }}}}$ является экономичным и легко реализуется при различном выборе функции ${{\phi }_{1}}(t)$.

Из табл. 2 видно, что наименьшая погрешность аппроксимации для заданной функции достигается при ${{\phi }_{1}}(t) = t$ и ${{\phi }_{1}}(t) = {{{\text{e}}}^{{ - t}}}$. Наибольшая погрешность аппроксимации, как и следовало ожидать, оказывается при порождающих функциях ${{\phi }_{1}}(t) = \sin (t) + \sin (2t)$, ${{\phi }_{1}}\left( t \right) = \sin (3t)$, поскольку они не учитывают поведение аппроксимируемой функции.

2. АППРОКСИМАЦИИ ЭРМИТОВА ТИПА

Аналогично случаю построения неполиномиальных аппроксимаций лагранжева типа можно построить неполиномиальные аппроксимации эрмитова типа, если известны не только функция $u(t)$, но и ее производная $u{\kern 1pt} '(t)$ в узлах сетки.

Для построения аппроксимирующей функции $\tilde {u}(t)$ снова будем использовать равномерную сетку, введенную в предыдущем разделе, и полагать

где ${{c}_{j}},\;{{\hat {c}}_{j}}$ – описываемые далее числовые коэффициенты, ${{\omega }_{j}}(t),\;{{\hat {\omega }}_{j}}(t)$ – координатные сплайны с заданным носителем

Зададим четырехкомпонентную вектор-функцию $\phi (t) = {{(1,{{\phi }_{1}}(t),{{\phi }_{2}}(t),{{\phi }_{3}}(t))}^{{\text{т }}}}$, удовлетворяющую условиям

Будем искать координатные функции ${{\omega }_{j}}(t),\;{{\hat {\omega }}_{j}}(t)$ из аппроксимационных соотношений вида (см. [4, с. 429]): Ввиду предположения (2.2) из (2.4) при $t \in ({{x}_{i}},{{x}_{{i + 1}}})$ получим

Соотношение (2.5) соответствует системе линейных уравнений

относительно неизвестных ${{\omega }_{{i - 1}}}(t),\;{{\hat {\omega }}_{{i - 1}}}(t),\;{{\omega }_{i}}(t),\;{{\hat {\omega }}_{i}}(t)$. Эта система однозначно разрешима для таких $\phi (t)$, которые удовлетворяют условиям (2.3), так как в этом случае имеем Решение (2.6) может быть записано следующим образом: При $t \in \left( {{{x}_{{i + 1}}},\;{{x}_{{i + 2}}}} \right)$ аппроксимационное соотношение (2.4) принимает вид Отсюда, аналогично решению (2.6), находим В работе [4, с. 430] доказано, что если $\phi (t)$ удовлетворяет условиям (2.3), то координатные функции ${{\omega }_{i}}(t),\;{{\hat {\omega }}_{i}}(t)$ принадлежат пространству ${{C}^{1}}{\kern 1pt} \left( {\alpha ,\beta } \right).$ Таким образом, если задать генерирующую функцию $\phi (t)$ так, чтобы для нее выполнялись условия (2.3), то координатные функции ${{\omega }_{i}}(t),\;{{\hat {\omega }}_{i}}(t)$ будут принадлежать пространству ${{C}^{1}}{\kern 1pt} \left( {\alpha ,\beta } \right)$ и описываться формулами Из (2.7a) , (2.7 б) следуют равенства Таким образом, в силу свойств координатных сплайнов (2.7), аппроксимирующая функция (2.1) с ${{c}_{j}} = u({{x}_{{j + 1}}})$, ${{\hat {c}}_{j}} = u{\kern 1pt} '({{x}_{{j + 1}}})$ при каждом содержит не более четырех слагаемых, отличных от нуля, и является интерполянтой для заданной функции $u(t)$. В работе [6] показано, что если функции $u(t),\;{{\phi }_{i}}(t),$ $i = 1,2,3,$ принадлежат пространству ${{C}^{4}}{\kern 1pt} \left( {\alpha ,\beta } \right)$ и для $\phi (t)$ выполняется условие то аппроксимация (2.8), (2.7) для функции $u(t)$ точна на компонентах ${{\phi }_{i}}(t),\;i = 1,2,3,$ генерирующей функции $\phi (t)$, то есть $\tilde {u}(t) \equiv u(t),$ $u(t) = {{\phi }_{i}}(t)$ $\forall t \in \left( {\alpha ,\beta } \right);$ кроме того, справедлива оценка где $C = {\text{const}} > 0,\;C$ зависит от $u(t),\;\phi (t)$ и их производных до 4-го порядка включительно, а также от значения константы $c$ из предположения (2.9).

В табл. 3 представлены результаты реализации аппроксимирующей функции $\tilde {u}(t)$ по формулам (2.8), (2.7) с различными по величине сеточными параметрами $h$ и генерирующей функцией $\phi (t) = {{(1,t,{{t}^{2}},{{t}^{3}})}^{{\text{т }}}}$.

Из табл. 3 видно, что аппроксимация с помощью функции (2.8), (2.7) точна на компонентах $t,\;{{t}^{2}},\;{{t}^{3}}$ генерирующей функции $\phi (t)$ (уклонение от нуля вызвано ошибками округления). Из этой таблицы также видно, что заданная генерирующая функция при различных значениях $h$ дает хорошую аппроксимацию для многих часто встречающихся на практике гладких функций. Такой выбор генерирующей функции соответствует известной аппроксимации кубическими эрмитовыми сплайнами [4, с. 431].

В табл. 4 представлены результаты численного исследования аппроксимирующих свойств функции (2.8), (2.7) в случае задания генерирующей функции с неполиномиальными компонентами: $\phi (t) = {{\left( {1,\sin (t),\cos (t),\sin (2t),} \right)}^{{\text{т }}}}$.

На компонентах $\sin (t),\;\cos (t)$ генерирующей функции при $h = 0.1$ аппроксимация точна (как и прежде уклонение от нуля вызвано ошибками округления). При уменьшении сеточного параметра $h$ точность вычислений может снижаться из-за ошибок округления. Сравнение величины погрешности для функций $t,\;{{t}^{2}},\;1{\text{/}}(1 + {{t}^{2}}),\;{{{\text{e}}}^{t}},\;\sin (3t)$ в табл. 1 и табл. 4 позволяет заключить, что аппроксимация эрмитова типа на 2 порядка лучше, чем аппроксимациия лагранжева типа.

В табл. 5 и табл. 6 представлены численные результаты аппроксимации модельных функций $u(t) = \sin (2t)$ и $u(t) = {{{\text{e}}}^{t}}$ соответственно. В них иллюстрируется зависимость погрешности аппроксимации эрмитова типа от выбора генерирующей функции $\phi (t)$ при сеточном параметре $h = 0.01$.

В строке 2 табл. 5 и в строке 3 табл. 6 указаны результаты численной аппроксимации функций $u(t)$, совпадающих с одной из компонент генерирующей вектор-функции $\phi (t)$. Как уже отмечалось, на величину погрешности могут существенно влиять ошибки округления. Поэтому при вычислениях на компьютере в этих случаях точного совпадения аппроксимируемой и аппроксимирующей функций нет. Однако из табл. 5 и 6 видно, что рассмотренные модельные потоки хорошо  аппроксимируются функциями вида (2.8), (2.7) при различных генерирующих функциях $\phi (t)$. Очевидно, что если известна предварительная информация о характере поведения функции $u(t)$, то можно задать наиболее подходящую генерирующую функцию $\phi (t)$. Если предварительной информации о поведении $u(t)$ нет, то представляется целесообразным в качестве генерирующей функции взять $\phi (t) = {{\left( {1,t,\sin (t),\cos (t)} \right)}^{{\text{т }}}}$.

Из табл. 7 видно, что для разнообразных входных функций при выбранной генерирующей вектор-функции обеспечивается хорошая аппроксимация с погрешностью не менее $C \times {{10}^{{ - 9}}},$ $C = {\text{const}}$, $C \in \left( {0;10} \right)$.

В заключение отметим, что новый подход построения аппроксимирующей функции на основе сплайн-всплесковых разложений, описанный в [4], позволил разработать экономичную реализацию неполиномиальных сплайн-всплесковых аппроксимаций лагранжева и эрмитова типов высокой точности. Преимуществом рассматриваемых аппроксимаций является их точность на компонентах генерирующей функции.